EL ANÁLSS DE LA VARANZA (ANOVA). Estmacón de componentes de varanza Alca Maroto, Rcard Boqué Grupo de Qumometría y Cualmetría Unverstat Rovra Vrgl C/ Marcel.lí Domngo, s/n (Campus Sescelades) 43007-Tarragona En el artículo anteror [Boqué, 004] ntrodujmos el análss de la varanza (ANOVA) y mostramos un ejemplo de su aplcacón a la comparacón de múltples columnas de datos. En este capítulo nos ocupamos de una segunda aplcacón de gran nterés analítco: la estmacón de los componentes de varacón de un procedmento analítco. Estmacón de componentes de varanza Supongamos que queremos evaluar la varabldad debda al muestreo y a los tratamentos en un determnado procedmento analítco, por ejemplo, la determnacón de clembuterol en hígado (puede encontrarse una breve descrpcón del método en [Maroto, 003]). De esta forma, podríamos utlzar esta nformacón para saber cuánto afectan el muestreo y los tratamentos a nuestros resultados. A contnuacón, y en funcón de su efecto, podríamos plantearnos modfcar la etapa de muestreo o la de tratamentos con el fn de dsmnur dcha varabldad. Ahora ben, cómo podemos calcular esta varabldad? Un ANOVA de dos factores nos proporcona la herramenta adecuada para calcular dchas fuentes de varabldad en térmnos de varanza. Para llevar a cabo este ANOVA, es necesaro realzar el dseño epermental propuesto en la Fgura 1. Este dseño epermental es un dseño andado, donde se toman como factores de varacón el muestreo, los tratamentos y la medda nstrumental por HPLC. En la práctca, aplcar este dseño es sencllo. En este ejemplo concreto, se tomaron 6 muestras del hígado de un anmal al que se le había sumnstrado clembuterol. Después de homogenezar las muestras, cada 1
muestra se dvdó en dos submuestras. A cada una de estas submuestras se le realzaron los tratamentos (centrfugacón y etraccón) de forma ndependente. Fnalmente, se realzó por duplcado la determnacón cromatográfca de cada uno de los etractos obtendos durante los tratamentos. Muestra 1 1... Muestra...... Muestra Tratamentos Tratamento 1 Tratamento Tratamento 1 Tratamento j Medda nstrumetal k. 11 1 1 111 11 11 1. 11 1 1 Fgura 1. Dseño epermental para calcular las varanzas del muestreo, tratamentos y de la medda nstrumental a partr de un ANOVA de dos factores. La Tabla 1 muestra los resultados obtendos al segur el dseño epermental de la Fgura 1. A partr de estos resultados debe realzarse un ANOVA de dos factores para calcular las varanzas asocadas al muestreo, a los pretratamentos y a la medda nstrumental del método. El tpo de precsón asocada a la medda nstrumental obtenda a partr del ANOVA dependerá de cómo se hayan analzado los etractos por duplcado. En nuestro ejemplo, los duplcados se analzaron en condcones de repetbldad. Por tanto, a partr del ANOVA obtendremos la varanza asocada a la repetbldad de la determnacón cromatográfca. Sn embargo, s hubésemos querdo obtener a partr del ANOVA la varanza asocada a la precsón ntermeda de la determnacón cromatográfca, tendríamos que haber analzado los duplcados en condcones ntermedas (es decr, en dferentes días, con dferentes analstas, dferentes calbrados, etc.).
Tabla 1. Resultados obtendos al segur el dseño de la Fgura 1 para la determnacón de clembuterol en hígado (concentracones epresadas en µg/kg). Tratamento 1 Tratamento Muestra Réplca 1 Réplca Réplca 1 Réplca 1 1. 1.7 1.8 1.31 1.8 1.5 1.3 1.36 3 1.16 1.14 1.10 1.08 4 1.35 1.38 1.30 1.3 5 1. 1.19 1.6 1.4 6 1.18 1.15 1.05 1.09 La Tabla muestra las epresones que deben utlzarse para calcular el cuadrado de las medas asocado a cada una de las fuentes de varabldad. Una vez calculados, las varanzas asocadas al muestreo, a los tratamentos y a la medda nstrumental pueden calcularse fáclmente utlzando las epresones de la Tabla 3. Esten numerosos paquetes estadístcos que realzan el cálculo del ANOVA y proporconan el cuadrado de las medas. Por tanto, en la práctca úncamente es necesaro aplcar las epresones de la Tabla 3 para obtener las varanzas. Tabla. Epresones para calcular los cuadrados de las medas asocados al ANOVA de dos factores., y son el número de muestras, de tratamentos y de replcados, respectvamente. En nuestro ejemplo, = 6, = y =. Cuadrado de las medas Grados de lbertad muestreo = = 1 ( 1 ) -1 Tratamentos trat = = 1 j = 1 ( j ( 1) ) l (-1) ( ) Medda 1 1 1 nstrumental med = = = = jk j j k ( 1 ) l (-1) TOTAL TOTAL ( ) 1 1 1 = = = = jk j k 1-1 3
Tabla 3. Epresones para calcular las varanzas asocadas a cada una de las fuentes de varabldad de un ANOVA de dos factores. Tratamentos Medda nstrumental s Varanza Grados de lbertad muestreo trat muestreo = -1 s trat trat med = l (-1) s med = med (-1) La Tabla 4 muestra la suma de las medas y las varanzas asocadas al muestreo, a los pretratamentos y a la repetbldad de la medda nstrumental cromatográfca. A partr de los valores obtendos, podemos observar que el muestreo es la fuente de varabldad que más afecta a la determnacón de clembuterol en hígado. Por otro lado, la repetbldad cas no afecta a los resultados analítcos. Tabla 4. Cuadrado de las medas y varanzas obtendas para los resultados de la Tabla 1. Cuadrado de Desvacón Grados de Varanza las medas, estándar lbertad 3.45 10-7.56 10-3 8.69 10-6-1=5 Tratamentos 4.30 10-3 1.90 10-3 4.36 10-6 (-1)=6 Medda nstrumental 4.9 10-4 4.9 10-4. 10-6 (-1)=1 Conclusones En este artículo hemos vsto una de las prncpales aplcacones del ANOVA en químca analítca: la descomposcón de la varabldad total de un procedmento analítco en las fuentes de varabldad parcales más mportantes, como son el muestreo, los tratamentos y la medda nstrumental. Estas varanzas nos permten determnar qué etapa del procedmento ntroduce más ncertdumbre en los resultados fnales y, además, pueden resultar muy útles para determnar cuáles son los factores que afectan más a nuestro procedmento analítco. 4
Referencas bblográfcas Rcard Boqué, Alca Maroto, El análss de la varanza (ANOVA). 1. Comparacón de múltples poblacones, Técncas de Laboratoro, 004, en prensa. Alca Maroto, Rcard Boqué, ord Ru, F. Xaver Rus, Cálculo de ncertdumbre en meddas químcas: análss cromatográfco, Técncas de Laboratoro, 79 (003) 1-17. Los autores agradecen todos los comentaros relaconados con los contendos de este artículo. Pueden drgrse, medante mensaje electrónco, a la dreccón: qumo@qumca.urv.es. Una versón en soporte electrónco de este artículo e nformacón suplementara puede encontrarse en: http://www.qumca.urv.es/qumo 5