TEMA: 1. TEOREMA DE LOS SENOS despejndo h de ms igulddes: En generl tendremos que resolver triángulos no retángulos, y, en ellos, no es posile plir ls definiiones de ls rzones trigonométris de sus ángulos. Pr tener un triángulo retángulo trzmos un ltur ulquier, por ejemplo, l orrespondiente l vértie A. Es ltur divide el triángulo ABC en dos triángulos retángulos, BMA y AMC. En ellos plimos l definiión de seno: h sen Bˆ y h sen Cˆ, h senbˆ, igulndo h sencˆ sencˆ senbˆ, y de quí: senbˆ sencˆ Trzmos hor l ltur orrespondiente otro vértie, por ejemplo, C. Aplindo l definiión de seno en los triángulos retángulos ANC y CNB: h senbˆ y senaˆ Agrupdo ls dos igulddes se tiene: h ; proediendo igul que ntes, pero on h : senaˆ senbˆ. senaˆ senbˆ sencˆ (En un triángulo ulquier ls longitudes de los ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos). Ejeriio: 1º) Resuelve el triángulo on los siguientes dtos 5m, Â 50º, Bˆ 0º. TEOREMA DEL COSENO En el triángulo ABC se trz l ltur orrespondiente l vértie C: n h Por el teorem de Pitágors: y m n, m h despejndo n de l últim y h de l segund, y sustituyendo en l primer iguldd: ( m) m m m m 1/6 IBR IES LA NÍA
m, omo m os A ˆ m os Aˆ y quedrí osâ El teorem del oseno relion d ldo,, de un triángulo on los otros dos y el oseno del ángulo opuesto: osaˆ osbˆ oscˆ Ejeriios: º) Los ldos de un triángulo miden m y 5 m y formn un ángulo de 40º. Clul el otro ldo º) Hll el ángulo Bˆ del triángulo ABC, siendo que 9 m, 6 m y  6º. 4º) Hll el ldo del triángulo ABC, si 10m, 1m y  6º. 5º) Dos de los ldos de un triángulo miden 5m y 8 m respetivmente y formn un ángulo de 10º. Resuelve el triángulo. 6º) Resuelve el triángulo ABC del que se se que 0m, Bˆ 50º y Ĉ º. 7º) De un triángulo ABC se onoe 1m, 8m y  8º. Resuélvelo. 8º) Del triángulo ABC se se que 8m, 45m y Bˆ º. Clul los demás elementos. 9º) Resuelve el triángulo 5m, 1m y  40º. 10º) Dos ldos de un prlelogrmo miden 6m y 8 m, y formn un ángulo de 80º. Clul l longitud de sus digonles. 11º) Un vión vuel entre dos iuddes A y B que distn 80 km. Ls visules desde el vión A y B formn on l horizontl ángulos de 9 y 4, respetivmente. A qué ltur está el vión? A qué distni se enuentr de d iudd? 1º) Un jugdor de fútol ve l porterí jo un ángulo de 60, y está 5 y 8 m de los postes. Cuál es el nho de l porterí? A qué distni se enontr de ell? 1º) En un pirámide udrngulr, el ldo de l se mide 0m y el ángulo que form un r on l se es de 5. Clul: ) L ltur de l pirámide ) L ltur de un r ) L rist d) El ángulo que form l rist on l se e) El ángulo de l r en l úspide 14º) Clul los ldos de un prlelogrmo uys digonles miden 0 m. y 15 m., y formn un ángulo de 4. 15º) Oserv l figur y lul l longitud del puente que se quiere onstruir entre los puntos A y B. /6 IBR IES LA NÍA
16º) (Distni entre dos puntos esiles entre los que medi un ostáulo) Un túnel AB dee trvesr un montñ. Pr lulr su longitud se tomn desde el punto C ls siguientes medids: AC150 m, BC1700 m y ACB 1º. Hll l longitud del túnel 17º) (Distni entre un punto esile y otro inesile) Pr medir l nhur de un río fijmos un punto P en l orill opuest. En nuestr orill fijmos dos puntos A y B, seprdos 100 m, de modo que PAB 0 º, PBA 4º. Clul l nhur. 18º) (Altur de se inesile desde un terreno horizontl sin ostáulos) Desde un punto en el suelo medimos el ángulo de elevión de l umre de un montñ: 5º. Cminndo m hi l montñ sore l horizontl del punto G nterior, el ángulo de elevión ument 64º. Hll l ltur de l g montñ. ] 19º) (Altur de un punto de pie inesile en un terreno horizontl on ostáulos) Pr lulr l ltur de un gloo, se tomn desde B y C ls siguientes medids: [distni AB0m] Cuánto dist l umre de B? Y de A? A qué ltur está el gloo? 0º) (Distni entre dos puntos inesiles)pr lulr l distni AB entre dos puntos inesiles, se elige ritrrimente un A se CD5 m y desde sus extremos se miden los ángulos: ACD100º, ACB7º, BDC85º y BDA57º. Clul l distni AB. 1º) Resuelve los triángulos on los siguientes dtos: ) A0º, B75º, 5 [ 6, 5, C75º] ) 5, 8, C40º [no tiene soluión] ) 8, 5, C40º [11 15, Aº69, B116º19 ] d) 6, 5 B5º [ 89, C1º ] e) Aº, B7º, 10 [C75º, 5 64, 9 85] f) 6 5, 5 1, [A16º5, B8º5, C14º15 ] g) 7, 4, A80º [7 4] h) 8 7, 9 8, A8º [B 1 4º54, C 1 98º5, 1 1 9; B 16º5, C 5º54, 1 5] i) 4, 4 y C80º [ 8, B8º, C61º7 ] j) 4 5, 6, A80º [no tiene soluión] k) 8 1, 8, C99º [no tiene soluión] l) 100, B140,A5 [C15º, 16 9, 48 5] º) Pr lulr l distni entre dos puntos inesiles A y B, se h medido un se CD de 40m, situd en el mismo plno que A y B; tmién se hn medido los ángulos DCA106, DCB9, CDB1 y CDA41. Clul l distni entre A y B. [577.m] C B D /6 IBR IES LA NÍA
. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS 1. Seno de l sum de dos ángulos En l figur el ángulo α de los triángulos OAB y CDB son igules porque los ldos que los determinn son perpendiulres. En el triángulo OEC: sen( α β ) EC ED DC Como EDAB, tenemos que En el triángulo CDB: En el triángulo OAB: sen( α β ) AB DC DC os α DC BC os α BC AB sen α AB OBsenα OB Sustituyendo: OBsenα BC osα OBsenα sen( α β ) OB os β En el triángulo OBC: BC senβ BC osα sen(α β) senα osβ osα senβ. Seno de l difereni de dos ángulos: sen( α β ) sen( α ( β )) senα os( β ) os α sen( β ) Reordndo que os( β ) os β y que sen( β ) senβ, result que sen(α β) senα osβ osα senβ. Coseno de l sum de dos ángulos: El omplementrio del ángulo (αβ) es 90º ( α β ), por tnto se umple que: [ 90º ( α β )] sen[ (90º α β ] os( α β ) sen ), si plimos l fórmul nterior sen(90º α ) os β os(90º α ) senβ osα os β senα senβ os(`α β) osα osβ senα senβ os( α 4. Coseno de l difereni de dos ángulos β ) os( α ( β )) osα os( β ) sen α sen( β ), omo os( β ) os β y sen( β ) senβ, result que os(α β) osα osβ senα senβ 4/6 IBR IES LA NÍA
Ejeriios: º) Otén el vlor exto de sen 75º, os 15º, tg 10º, os e 105º, sin usr luldor. 4º) Si 1 π π sen α y os β, siendo 0 α y β π, lul: ) sen( π α ) π ) os β ) os( α β ) d) sen( α β ) 5º) Demuestr ls siguientes identiddes: sen( α β ) ) tgα tgβ os α.os β os( ) os( ) ) tg sen( ) sen( ) ) sen().sen(-)sen sen d)sen().sen(-)os os 4. RAZONES DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD 1. Ángulo dole: Si en ls fórmuls pr l sum de ángulos se onsider trigonométris del ángulo dole de α: senα sen( α α ) senα osα osα senα.senα.osα osα os( α α ) osα osα senα senα os α sen α α β se otienen ls rzones. Ángulo mitd: Pr lulr ls rzones trigonométris del ángulo mitd de α, α : α α os sen 1 α α α os sen os osα α Si summos ls euiones os 1 osα α 1 os ± osα Si restmos ls euiones α sen 1 osα α sen ± 1 osα 5/6 IBR IES LA NÍA
Ejeriios: 6º) Siendo que senα 5 y que 0<α<90º, lul: ( α ) sen, os α y sen(180ºα). [ 10 10,7 5, 5 ] 7º) Siendo que sen 14º0.419, lul ls R.T de los ángulos: 8º, 15, 6, 59º. 8º) Si tg 4/, hll os. 9º) Si tg α -/4, y "α" está en el udrnte, hll ls R.T. de α/. 1 0º) Siendo que senα y que 0<α<90º lul l tgα. [ 15 7 ] 4 1º) Si os x 0, 0<x<π/, lul ls R.T de 4x y de (90º-x) º) Si 0<x<60º y x 1 sen, lul osx. En qué udrnte se enuentr x? 8 º) Si osα, 0<α<90º y sen β, 70º < β < 60º, lul: se(αβ) y sen(βα) 5 17 4º) Si senα0 6, 0<x<90º, senβ0 4 otuso, lul ls RT de : α α β, β, α β, β α 5º) Si osα0 6 0<α<90º y osβ0 5 70º<β<60º, lul: sen(αβ), tg(β), se, β os α, ose4β. 6º) Demuestr ls identiddes: ) tgα senα.ose α tg ) os.se sen α α ) sen os 1 senα d) tg tg sen e) tg tg 4tg ose 7º) Resuelve ls siguientes euiones trigonométris: ) osx osx 0 ) os x senx 4sen x ) osx senx d) senx tgx e) tgx tgx f) os x osx.osx 0 g) osx 4sen(x/) 6/6 IBR IES LA NÍA