MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Identiddes y Euiones Trigonométris por Oliverio Rmírez Juárez En l tividd de prendizje nterior, se definieron ls funiones trigonométris omo reliones entre los ldos de un triángulo retángulo y se menionó, por ejemplo, que el seno y l osente son funiones reípros, esto es: sen(x) os(x) tn(x) s(x) se(x) ot(x) o sen(x) s(x) o os(x) se(x) o tn(x) ot(x) Tl. Identiddes y euiones Trigonométris En est tividd de prendizje, se profundizrá el estudio de dos tipos de euiones que implin funiones trigonométris: euiones idéntis y euiones ondiionles. Ls euiones trigonométris son quells euiones que involurn funiones trigonométris de ángulos desonoidos y se denominn, de uerdo on yres y Moyer (99, p. 8): Euiones idéntis o identiddes, si se stisfen pr todos los vlores de los ángulos desonoidos, uys funiones están definids. Euiones ondiionles, o euiones, si se stisfen solmente on vlores prtiulres de los ángulos desonoidos. Ls identiddes son utilizds generlmente pr simplifir expresiones, o pr her omproiones en expresiones más omplejs, y ls euiones nos permiten enontrr ángulos desonoidos en diferentes pliiones. Existen identiddes que hn sido omprods y que son utilizds pr ompror otrs identiddes más omplejs. En l siguiente tl se muestrn ls identiddes trigonométris más utilizds. UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto.
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Reípros Identiddes trigonométris ásis. De rzón Pitgóris sens se tn ot sen tn ot sen sen os se s tn ot Tl. Identiddes trigonométris más usds. Otrs identiddes Ángulo dole Ángulo mitd sen senos os os sen sen ± tn tn os ± tn tn ± Produtos de senos y osenos senos B senb os B sensenb [ sen( B) sen( B) ] [ sen( B) sen( B) ] [ os( B) os( B) ] [ os( B) os( B) ] sen os tn Sum de dos ángulos ( B) ( B) ( B) senos B senb os B sensenb tn tn B tn tn B Difereni de dos ángulos sen os tn ( B) ( B) ( B) Sum y difereni de senos y osenos sen senb sen sen senb os os B os os B sen senos B senb os B sensenb tn tn B tn tn B ( B) os ( B) ( B) sen ( B) ( B) os ( B) ( B) sen ( B) Tl 3. Otrs identiddes. UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto.
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Método pr ompror Identiddes de un solo ángulo Oserv l siguiente expresión: s ot Es un identidd trigonométri, deido que es verdder pr ulquier vlor de un ángulo. Pr ompror puedes sustituir el vlor de un ángulo ulquier. Por ejemplo: si 60 y lo sustituyes en l identidd trigonométri s ot os 60 s 60 ot 60 Como: l sustituir vlores: os 60 s 60, 3 ot 60 y 3 os 60 s 60 ot 60 3 3 Simplifindo el ldo izquierdo de l euión, ompromos que es l mism ntidd en mos ldos de l euión: 3 3 Simplifiión de Identiddes Pr poder simplifir un identidd trigonométri, se he uso de ls identiddes menionds en l tl nterior, y en lguns osiones, de ls operiones lgeris omo son: sum, rest, multipliión, división y ftorizión. Oserv ómo se puede ompror l identidd nterior: s ot UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 3
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Comienz por elegir el ldo izquierdo, donde se present un multipliión, y demuestr que el produto de ls dos funiones es igul l otngente. De l identidd reipro: sen s s ot Despej l osente: s sen Y l sustituyes en el ldo izquierdo de l euión: s sen Efetundo l multipliión: s sen Si oservs l identidd de rzón: ot sen Puedes ompror que: s ot sen Como puedes drte uent, utilizndo ls identiddes trigonométris ásis, puedes ompror que l multiplir el oseno de un ángulo por l osente del mismo ángulo, es lo mismo lulr solmente el ángulo de l otngente. Euiones utilizndo Identiddes Trigonométris hor oserv l siguiente expresión: s 3 UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto.
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres En este so se trt de un euión trigonométri, y que dees enontrr un vlor pr el ángulo que umpl on l iguldd nterior. Oserv ómo enontrr este vlor: Comienz por simplifir l expresión, reuerd que s de ompror en el ejeriio nterior que: s ot Por lo tnto, se puede deir que: s 3 es lo mismo que ot 3 Como l luldor no solmente puede lulr los vlores de sen, y tn, es neesrio sustituir l funión otngente on otr identidd, pr ello, utilizmos: tn ot Despejndo: ot tn Sustituyendo en: ot 3 tn 3 Despejndo nuevmente: tn 3 tn Reomodndo: 3 UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 5
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Pr lulr el vlor del ángulo, utiliz l luldor y l funión tn: tn 30 3, Reuerd que el vlor otenido en l luldor es el vlor del ángulo que se enuentr en el primer udrnte, y que el vlor de l tngente es positiv, sin emrgo, tmién es positiv en el terer udrnte, por lo que el ángulo tmién puede ser 80 30 0 Por lo tnto, los ángulos pr los ules l euión s 3 es verdder, son: 30 y 0 Comproión de Identiddes Trigonométris nteriormente menionmos que pr ompror un identidd trigonométri, demás de utilizr ls identiddes trigonométris, es neesrio utilizr lgunos proedimientos lgerios. ontinuión se muestrn lgunos ejemplos:. Verifi l siguiente identidd trigonométri: sen s sen UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 6
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Soluión Sustituyendo el seno y el oseno, del ángulo dole, en el ldo izquierdo de l identidd: sen sen os sen os sen sen sen s Sustituyendo por l identidd pitgóri despejd sen os sen sen sen sen sen sen sen Simplifindo: os sen sen sen sen sen sen Seprndo términos: os sen sen sen sen sen sen sen Simplifindo: os sen sen sen sen Sen sen Sumndo términos semejntes, se simplifi omo: UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 7
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres os sen sen sen sen Sustituyendo l identidd reípro s sen qued omprod l identidd: os sen sen sen s. Verifi l siguiente identidd trigonométri: Soluión: os( B)os( B) Sustituyendo ls identiddes os ( B) os B sensenb os os ( B) os B sensenb sen ( os B sensenb )( os B sensenb ) sen B B Resolviendo por inomios onjugdos: ( os B sensenb )( os B sensenb ) os B sen sen B Sustituyendo de l identidd pitgóri: os B sen B sen Multiplindo: os os B sen sen B ( sen B) sen B( ) ( sen B) sen B( ) sen B sen B sen B Simplifindo: UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 8
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres os ( sen B) sen B( ) sen B Qued omprodo que: ( os B sensenb )( os B sensenb ) sen B pliiones de ls Identiddes Trigonométris Ls identiddes trigonométris pueden yudr her trnsformiones de fórmuls y estleids, prtir de otrs. Por ejemplo: L fórmul pr enontrr el áre de ulquier triángulo estleid por Hrón de lejndrí, se puede otener on l fórmul de áre estleid, prtir de l ley de osenos. Quieres ver ómo? L fórmul pr otener el áre de ulquier triángulo, prtir de l ley de osenos, es l siguiente: senα Si est euión l elevs en mos ldos l udrdo, quedrí de l siguiente form: sen α Si sustituyes l identidd pitgóri sen ( os α ) Oserv que l identidd es un difereni de udrdos que se puede seprr: ( os α ) ( osα ) ( osα ) Si de l ley de osenos: osα UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 9
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 0 Sustituyes: os α ( ) ( ) os os α α Relizndo operiones: Simplifindo: Reomodndo: Ftorizndo: ( ) ( ) Seprndo por difereni de udrdos: ( ) ( ) Si se die que el semiperímetro es l sum de todos los ldos del triángulo entre dos, es deir:
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres s Entones puedes estleer ls siguientes expresiones: s s y s Si regress l expresión iniil y sustituyes ls expresiones nteriores, tienes: sen α s ( s )( s )( s ) Es deir, el áre de ulquier triángulo puede ser expresd omo sigue: s ( s )( s )( s ) s Donde el semiperímetro está representdo por: l expresión nterior se le denomin Fórmul de Hrón y permite onoer el áre de ulquier triángulo, si onoes l longitud de sus ldos. Como puedes drte uent, ls identiddes trigonométris, sí omo ls operiones lgeris, son herrmients que nos permiten her expresiones equivlentes, ls ules pueden ser de grn yud undo sólo tenemos iertos dtos. Ls euiones trigonométris permiten enontrr los vlores de los ángulos, que hen verdder un expresión. Oserv lgunos ejemplos, donde demás se he el uso de ls identiddes trigonométris. 3. Resuelve l siguiente euión enontrndo todos los ángulos positivos menores de 360, que l stisfen: 3 sen os UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto.
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Soluión: En est euión se tiene un ángulo dole, por lo que es onveniente omenzr por sustituir l identidd de ángulo dole: Quitndo préntesis: os 3sen 3sen os os sen ( sen ) sen hor tienes un expresión on senos y osenos, por lo que es onveniente dejrl en funión de un, sólo un de ells, en este so l dejremos en funión del seno sustituyendo l identidd pitgóri: Sustituyendo: Reomodndo: os 3sen sen ( sen ) sen 3sen sen sen sen 3sen 0 Oserv que en este so se form un euión udráti, l ul se puede resolver utilizndo l euión pr resolver euiones udrátis: sen ± donde:, 3 y Sustituyendo: sen 3 ± 9 ()( ) 3 ± 9 6 3 ± 5 () 3 5 sen UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto.
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres 3 5 8 sen está permitido. *El seno de un ángulo no puede ser myor, por lo tnto, este vlor no Por lo tnto, los vlores de los ángulos en los que: Por lo tnto: sen sen 30 Como el seno es positivo únimente en el primer y segundo udrnte, los vlores de los ángulos son: 30 y 50. Resuelve l siguiente euión enontrndo todos los ángulos positivos menores de 360, que l stisfen: tn tn 0 Soluión: En est euión se tiene un ángulo dole, por lo que es onveniente omenzr por sustituir l identidd de ángulo dole: tn tn tn UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 3
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Qued omo: tn tn 0 tn En este so se puede ftorizr: tn tn 0 tn Igulndo ero los dos ftores, tienes: Pr el primer ftor: tn 0 0 tn tn(0) 0, l tngente es ero en 0 y 80 UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto.
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Pr el segundo ftor: 0 tn Se reliz l operión: tn 0 tn tn 0 tn 3 ( tn ) tn ± 3 Pr tn 3 tn 3 60 l tngente es positiv en el primer y terer udrnte por lo tnto: 60 y 0 Pr tn 3 UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 5
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres l tngente es negtiv en el segundo y urto udrnte, por lo tnto: 0 y 300 Por lo tnto, ls soluiones l euión tn tn 0 son: 0, 60, 0, 80, 0, y 300 Prolems de pliión En lguns osiones es neesrio resolver un euión trigonométri pr resolver lgún prolem en espeífio, y pesr de que l euión pued tener vris soluiones, se dee esoger l que se más ongruente on el prolem. nliz el siguiente prolem: Se h demostrdo que l ltur de un montñ se puede lulr medinte l siguiente euión: d sen senb h sen sen B donde y B son los ángulos de elevión de dos oservdores seprdos un distni d UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 6
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres h.688 mi d0 mi B0º Figur Si se quiere iluminr l prte más lt de un montñ de.688 mills y se olon dos refletores, uno on un ángulo de elevión de 0 Qué ángulo de elevión dee tener el otro refletor, si se enuentrn seprdos un distni de 0 mills? Soluión: De l euión: Conoes: h d sen senb sen sen B d 0 mills. L distni de seprión h. 688 mills. L ltur de l montñ. El ángulo de elevión del refletor B 0 Sustituyendo los vlores en l euión: h d sen senb sen sen B UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 7
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres (0) sen (0 ) sen.688 sen sen (0 ) Hiendo operiones:.688 3. sen sen 0.69 Despejndo: 3. sen sen 0.69.688 ( 0. ) sen 0.69 795 sen sen 0.53sen 0.69 0.677 sen 0.69 sen 0.69 0.677 0.999 Despejndo el ángulo: sen(0.99) 9.99 30 pesr de que el seno es positivo en el primer y segundo udrnte, pr este prolem el ángulo que tiene sentido es el de 30, y que el de 50 no puntrí l im de l montñ. Como pudiste drte uent en est letur, el uso de ls identiddes trigonométris generlmente se utiliz pr her simplifiiones o trnsformiones, y son muy utilizds omo estrtegi pr resolver, y se euiones trigonométris, o simplemente pr enontrr un expresión equivlente, que nos permit her un operión más fáilmente. En mio, ls euiones permiten enontrr los vlores de los ángulos pr los ules se he verdder l euión. UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 8
MB0003 _ML_Identiddes Versión: Septiemre 0 Revisor: Ptrii Crdon Torres Referenis Plmer, C. I.; Flether, S.; Jrvis, J..; Mrhek, L.. (003). Mtemátis prátis. [Versión eletróni]. Reuperdo el 5 de ferero de 00 del sitio Google liros:http://ooks.google.om/ooks?idsvzubpzkjkc&printsefrontover&dqmtem%c 3%tispr%C3%tisCludeirwinplmer&hles&d#vonepge&q&fflse Pérez, M.. (007). Un histori de ls mtemátis: retos y onquists trvés de sus personjes. [Versión eletróni]. Reuperdo el 7 de mrzo de 00 del sitio Google liros:http://ooks.google.om.mx/ooks?idyofmzu5cuc&pgp09&dqf%c3%b3rm uldeher%c3%b3ndelejndr%c3%d&d3#vonepge&qf%c3%b3rmul%0de %0her%C3%B3n%0de%0lejndr%C3%D&fflse Sullivn, M. (998). Trigonometrí y geometrí nlíti. [Versión eletróni]. Reuperdo el 3 de ferero de 00 del sitio Google liros:http://ooks.google.om.mx/ooks?idnt6q3hx_t0c&printsefrontover&soureg s_v_summry_r&d0#vonepge&q&fflse Swokowski, E.; Swokowski, E. W.; Cole, J.. (009). Álger y trigonometrí on geometrí nlíti. [Versión eletróni]. Reuperdo el 5 de ferero de 00 del sitio Google liros: http://ooks.google.om.mx/ooks?ideql YeKsO8EC&printsefrontover&dq%C3%lgerontrigonometr%C3%Dswokows ki&d#vonepge&q%c3%lger%0on%0trigonometr%c3%d%0swokowski& fflse UVEG. Derehos reservdos. Est or no puede ser reproduid, modifid, distriuid, ni trnsmitid, pril o totlmente, medinte ulquier medio, método o sistem impreso, eletrónio, mgnétio, inluyendo el fotoopido, l fotogrfí, l grión o un sistem de reuperión de l informión, sin l utorizión por esrito de l Universidd Virtul del Estdo de Gunjuto. 9