CAPÍTULO VIII GRADIENTES

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1 VALOR FUTURO VALOR ACTUAL Taba de amortizació (aualidad vecida) Fodo de ahorro (aualidad vecida) Aboo Aualidad Iterés Capital Saldo Aboo Aualidad Iterés Saldo 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,000 1,200 10,000 8,000 6,000 4,000 2,000 9, , , , , , , , , , Series1 Series2 Series3 Series4 Series5 0 1, CAPÍTULO VIII GRADIENTES 354

2 8.1.- GRADIENTES Siguiedo el tema de Aualidades, se abre este otro tema deomiado Gradietes, de cuya defiició podemos partir: Defiició: Se refiere a ua serie aboos o pagos que aumeta o dismiuye (e $ ó %), sea para liquidar ua deuda o e su defecto para acumular u determiado fodo de ahorro que puede ser a corto, mediao o largo plazo, icluso a perpetuidad. Para clarificar mejor aú el cocepto, visualicemos u ejemplo co los flujos de efectivo que geera u proyecto de iversió: por su misma aturaleza éstos tiede a aumetar e catidad o e porcetaje costate cada período. Del gradiete que aumeta u porcetaje, teemos el caso de los flujos de efectivo que crece o dismiuye e determiado porcetaje por el efecto de la iflació costate por período. E igeiería fiaciera o igeiería ecoómica se le cooce co el ombre de Gradiete. De tal forma que tambié podemos idetificarla como la reta variable, y cuyo itervalo de pagos distitos se hace e itervalo de pagos iguales. LA CLASIFICACIÓN DE ESTE TIPO DE RENTAS PERIÓDICAS VARIABLES ES: Aualidad ó Retas periódica co gradiete aritmético: La cuota periódica varía e progresió aritmética (A+ g a ó Rp + G a). Aualidad ó Retas periódica co gradiete geométrico: La cuota periódica varía e progresió geométrica (A* g a ó Rp * Gg). Las características de este tipo de aualidades co gradietes aritméticos y geométricos so: 355

3 Los pagos o aboos distitos se realiza al fial de cada itervalo de pago (auque puede ser aticipado o prepagable). Se cooce desde la firma del coveio, las fechas de iicio y térmio del plazo de la aualidad o reta periódica Las capitalizacioes coicide co el itervalo de pago El plazo iicia co la firma del coveio Variables que se utiliza e este apartado: Mga ó VFga: Valor Futuro o Moto de ua serie de cuotas co gradiete: aritmético o geométrico (de la suma de uos pagos o aboos) A ó Rp: Aualidad o Reta periódica (cuota uiforme o aualidad) VAga: Valor actual del cojuto de retas periódicas i: Tasa de Iterés omial m: Capitalizació (por su tipo, mesual, bimestral etc., la tasa se divide: ejemplo de ello si teemos ua tasa omial del 12% capitalizable mesualmete = (12%/12) : Tiempo Ga= Es el gradiete aritmético Gg= Es el gradiete geométrico Rp1= Aualidad o Reta periódica úmero 1 ACLARACIÓN: Para o geerar cofusió e lo referete a la tasa, la represetació i/m, se refiere a la tasa omial que se divide etre el úmero de meses depediedo la capitalizació. Ejemplo si os da ua tasa del 12% omial capitalizable mesualmete, sabemos que debemos dividir 12/12=1% POR LO ANTERIOR El lector podrá ecotrar idistitamete la tasa e su forma i ó e su forma i/m. 356

4 GRADIENTES ARITMÉTICOS De maera particular el gradiete aritmético (Ga) o uiforme es ua serie de cuotas periódicas ó flujos de caja que aumeta o dismiuye de maera uiforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambia e la misma catidad etre cada período. A esto se le llama gradiete aritmético. La otació para la serie uiforme de cuotas: El gradiete (Ga) es ua catidad que aumeta o dismiuye (puede ser positivo o egativo). Rp: es la cuota periódica 1. La represetació i/m, se refiere a la tasa omial que se divide etre el úmero de meses depediedo la capitalizació. : tiempo (úmero de cuotas periódicas) Las fórmulas geeralmete utilizadas para las aualidades co gradiete aritmético vecidos o pospagables so: Para coocer el Valor Actual se tiee la siguiete fórmula: VA Rp (1 i m i ) ga m *ga i 1 (1 ) i m 1 i m m Para coocer el valor futuro teemos que: g i (1 ) 1 a m *ga Mga (Rp 1 ) i i i m m m Ejemplo: Cuado se desea coocer el moto de ua serie de aboos o retas vecidas que crece g a = $ etoces podemos señalar que las cuotas periódicas de ua reta variable vecida co gradiete aritmético crece $ co respecto a la cuota aterior. Como se visualiza e ua líea de tiempo si fuera 10 cuotas 357

5 sucesivamete hasta 5500 Aualidad vecida Moto del cojuto Supogamos el ejercicio aterior co los siguietes datos: Se desea coocer el importe total de las 10 cuotas vecidas, las que crece e forma aritmética a razó de G a= co ua tasa omial del 20% capitalizable mesualmete. Rp 1 = $1, G a = $ = 10 i/m =.20/12 (tasa de iterés omial capitalizable e m períodos por año) De la forma tradicioal del valor futuro de u moto compuesto se sabe que: M P (1 i ) 1 m y si teemos más cuotas, la expresió ahora es: M P i ) 1 (1 P (1 m 2 y así sucesivamete formado ua progresió. Para el ejemplo aterior teemos: i ) m 9 8 M (1.20/12) (1.20/12) M ( ) ( ) M $34, E Excel podría ser relativamete fácil solucioarlo 358

6 Rp i/m $ 1, $ 1, $ 1, $ 1, $ 2, $ 2, $ 2, $ 2, $ 3, $ 3, $ 3, $ 3, $ 4, $ 4, $ 4, $ 4, $ 5, $ 5, $ 5, $ 5, $ 34, Co la fórmula del Moto de u cojuto de retas variables vecidas co gradiete aritmético se resuelve de la siguiete maera: Así teemos: M ga M ga (Rp 1 ( $1, g (1 a ) i m (1 ) i ) m i m.20 ) *g i m * a M ga ( $1, ( ) ) * M ga ( ) 1 ( $ 1, ) M ga $299, ( $ ) M $34, La diferecia es por el maejo de los dígitos ga El resultado coicide co el cálculo e Excel 359

7 AHORA PARA CALCULAR EL VALOR ACTUAL DEL CONJUNTO DE RENTAS PERIÓDICAS CON GRADIENTE ARITMÉTICO: DE LA FÓRMULA DE VALOR PRESENTE VP ( 1 M i ) m Por lo que para calcular el valor actual del cojuto de retas periódicas co gradiete aritmético sería: VA ga M ga (1 i ) m $34, (1.20 ) $29, de forma aalítica VA 1 i (1 i) 2000 (1 i) 2500 (1 i) 3000 (1 i) 3500 (1 i) 4000 (1 i) 4500 (1 i) 5000 (1 i) 5500 (1 i) $29, E Excel: Rp i/m $1, $ $1, $1, $2, $1, $2, $2, $3, $2, $3, $3, $4, $3, $4, $3, $5, $4, $5, $4, $29,

8 Utilizado la fórmula del Valor Actual presete del cojuto de retas periódicas vecidas co gradiete aritmético, teemos que: VA (1 i m i ga m * ga i ga Rp 1 (1 ) ) i m 1 i m m Por lo que se resuelve: V V A ga A ga (1 ) 1 * (1.20 ) ( ) * (1 ) ( ) 1 VA ga $30, $299, ( ) $30, $299, ( 0. ) VA ga $34, ( 0. ) VA ga VA ga $29, Resuelva los siguietes ejercicios: 1.- Calcular el moto de ua serie de cuotas periódicas mesuales vecidas, e dode la primera reta es de $ y las subsecuetes se icremeta cada ua de ellas. Cosidere la tasa del 22% omial aual capitalizable mesualmete. 2.- Para liquidar ua deuda co u proveedor, se acordó liquidar e cuotas trimestrales vecidas durate 3 años, siedo la primera cuota de 15, y se icremetará 2, las subsecuetes cuotas vecidas. Para ello se acordó u iterés omial del 25% capitalizable trimestralmete. Por lo que la preguta es: Cuál es el valor del adeudo? Ejercicios para resolver: Redacte al meos 5 casos de retas periódicas vecidas co gradiete aritmético, cosiderado diferetes tasas y capitalizacioes. Resuélvalos.. 361

9 GRADIENTES GEOMÉTRICOS La otra modalidad de gradiete, es precisamete el gradiete geométrico (G g) o serie de cuotas (retas) periódicas ó flujos de caja que aumeta o dismiuye e porcetajes costates e períodos cosecutivos de pago, e vez de aumetos costates de diero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambia e el mismo porcetaje etre cada período. A esto se le llama gradiete geométrico. La otació que utilizaremos: El gradiete (Gg) es el porcetaje que aumeta o dismiuye cada cuota (puede ser positivo o egativo). Rp1: es la cuota periódica 1. La represetació i/m, se refiere a la tasa omial capitalizable y la frecuecia de los pagos. : tiempo-plazo e años (úmero de cuotas periódicas) Para coocer el valor actual y valor futuro, las fórmulas a utilizar so distitas depediedo si la razó de la progresió (G g) coicide co el factor (1+i/m) Si (1 i ) m Gg : Mg g R 1 (1 i ) (1 Gg) m i - Gg m, A i (1 ) ( Gg) R m 1 (1 i ) (1 i - Gg) m m Si (1 i ) m Gg Mg g R (1 1 i ) m -1 R1 A 1 i m Ejemplo: Supogamos que se desea coocer el moto acumulado de u fodo de iversió costituido por 10 depósitos mesuales que crece a ua tasa del G g: 5.5% siedo el importe del primer depósito $1,

10 Cómo se visualiza e ua líea de tiempo si fuera 10 cuotas depositadas a iicio de mes? Cuotas aticipadas (prepagables) co Gg: 1000(1+i/m) (1+i/m) (1+i/m) (1+i/m) (1+i/m) Depósitos a iicio de mes Moto del cojuto de los depósitos del fodo de ahorro Otros autores (Villalobos, 2001) sugiere TG: como el gradiete geométrico 363

11 (1 i ) (1 Gg) De la fórmula: Si (1 i ) Gg : Mg Rp (1 i ) m, m g 1 m i - Gg m Dode: Rp 1 = $ G g = 5.5% = úmero de cuotas 10 i/m =.20/12 = (tasa de iterés omial capitalizable e m períodos por año) (1 20. ) 10 ( ) 10 Mg 1 000, 00. (1 20. ) 12 g ( ) 10 ( ) 10 Mg 1 000, 00. ( ) g ( ) Mg 1 000, 00. ( ) g Mg 1 000, 00. ( ) g Mg 1 000, 00. ( ) g 1 Mg g $14, Mg 1 000, 00. ( ) g 1 E Excel podría ser relativamete fácil solucioarlo Aticipados Rp i/m importe $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $12, $14,

12 Si fuera cuotas pospagables (vecidas) co Gg: 1000(1+i/m) (1+i/m) (1+i/m) (1+i/m) (1+i/m) Cuotas pospagables Moto del cojuto de cuotas pospagables De la fórmula: Si (1 i ) m Gg : Mg g Rp (1 1 Se modifica i ) m (1 i m i ) (1 Gg), - Gg m Si (1 i ) m Gg : Mg g (1 Rp 1 i m i ) (1 Gg), - Gg m Mismos datos: Rp 1 = $1, G g = 5.5% = úmero de cuotas 10 i/m =.20/12 = (tasa de iterés omial capitalizable e m períodos por año) 365

13 (1 20. ) 10 ( ) 10 Mg 1 000, 00. * 12 g ( ) 10 ( ) 10 Mg 1 000, 00. * g ( ) Mg 1 000, 00. * g Mg 1 000, 00. * g Mg 1 000, g Mg g $13, E Excel: Vecidos Rp i/m $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $1, $12, $13,

14 Ejercicio de Valor Actual de Rp: Para obteer u moto de $14,014.24, cuál debe ser el importe de la primera de 10 cuotas periódicas (=10) que aumeta e forma creciete e u 5.5 % y co ua tasa de iterés del 20% omial capitalizable mesualmete?: Resuélvalo e su formato de cuotas prepagables y pospagables: Si (1 i ) m Gg : Mg g Rp (1 1 i ) m (1 i m i ) (1 Gg), - Gg m Prepagables (aticipadas) (1.20 ) 10 ( ) 10 $ 14, Rp (1.20 ) ( ) 10 ( ) 10 1 (1 ) - $ 14, Rp ( ) $ 14, Rp ( ) $ 14, Rp ( ) Rp g $ 14, Rp ( ) $ , Rp 1 $1, Mismo caso, pero ahora si fuera cuotas pospagables (vecidas) Para obteer u moto de $13,784.50, cuál debe ser el importe de la primera de 10 cuotas periódicas (=10) que aumeta e forma creciete e u 5.5 % y co ua tasa de iterés del 20% omial capitalizable mesualmete?: (1.20 ) 10 ( ) 10 $ 13, Rp *

15 ( ) $ 13, Rp * $ 13, Rp $13, Rp Rp 1 $1,000. Si deseamos coocer ahora el plazo, teemos que despejarlo de la fórmula del moto de ua serie de cuotas co gradiete geométrico prepagables: Si (1 i ) m Gg: Mg g Rp (1 1 i ) m etoces Mg i x x (1 ) (1 G ) g m g Rp (1 i ) i 1 G m m g El_deomiador_del_cojuto_derecho_pasa_multiplicado_a_la_izquierda Se_obtiee : Mgg i i x *( G ) (1 ) (1 G ) Rp (1 i ) m g m g 1 m El_gradie te_pasa_sumado_a_la_izquierda Ahora_se_tiee_que_satisfacer_la_siguie te_ ecuació (1 i m i ) (1 Gg), - Gg m x (1 G g ) x (1 i ) m x Mgg Rp (1 i 1 *( i ) m m Gg) 0 Desarrollemos u ejercicio co los mismos datos que hemos veido utilizado e este tema: Mg g = $14, Rp 1 = $1, G g = 5.5% = úmero de cuotas x i/m =.20/12 = (tasa de iterés omial capitalizable e m períodos por año) 368

16 De la fórmula: Mg x i x g (1 G ) * ( i g ) (1 G ) 0 m Rp (1 i ) m g 1 m Se tiee que satisfacer la siguiete ecuació: (1. 055) x x (1.20 ) 14, *( ) ,000.00(1.20 ) A prueba y error utilizamos para x = 9, 11 respectivamete y obteemos: (1.055) 9 9 ( ) *( ) 0 ( ) ( ) (1.055) ( ) *( ) 0 ( ) ( ) Los resultados sugiere que etre 9 y 11 puede estar el plazo, por lo que diseñamos e Excel ua herramieta para simular co varias opcioes de x : Mg x i x g (1 G ) * ( i g ) (1 G ) 0 m Rp (1 i ) m g 1 m 369

17 DATOS: Desarrollo de la fórmula e Excel Mgg: Rp1: 1000 i/m:.20/12 x: Gg: 5.50% Prueba y error x: (Mgg/(Rp1*1+i/m) ((i/m)-gg)) (Mgg/(Rp1*1+i/m)* ((i/m)- Gg)) (1+i/m) El valor de =9.997, que redodeado al úmero etero es 10 Comprobació: (1.055) ( ) *( ) 0 ( ) ( ) El resultado es cocordate co el ejercicio e dode se calculó el moto Dode: Rp 1 = $1, G g = 5.5% = úmero de cuotas 10 i/m =.20/12 = (tasa de iterés omial capitalizable e m períodos por año) 370

18 (1.20 ) 10 ( ) 10 Mg $1, (1.20 ) 12 g ( ) 10 ( ) 10 Mg $1, ( ) g ( ) Mg $1, ( ) g Mg $1, ( ) g 1 Mg $1, ( ) g Mg $1, ( ) g Mg Este resultado es su comprobació $14, g 371

19 GRADIENTE ARITMÉTICO-GEOMÉTRICO Cómo poder mezclar el gradiete aritmético y geométrico e el desarrollo de u caso?: Supogamos que para costruir la Escuela de Medicia, la Uiversidad Cristóbal Coló se ha propuesto costituir u fodo co 10 depósitos mesuales co aumetos crecietes de $350, cada ua de las cuotas. La tasa de iterés que le ofrece es del 25% co capitalizació mesual y el importe del primer depósito ascedió a $3 500, La preguta es: Cuáto acumulará al fial de la última cuota? El moto acumulado de esta serie aritmética y geométrica esta dado por la siguiete expresió: Mg ag (1 i ) (MA m at MG g ) Dode: MA at i ( 1 ) 1 A m 1 y i m MG g ( 1 i ) m G g 2 (*i) 1) i m Se fusioa las expresioes MA at y MG g obteiedo la siguiete fórmula: Μg ag i (1 ) 1 (1 i ) (1 i ) (A m ) G ( m m 1 g 2 i m ( * i) i m 1 Su omeclatura: Mg ag = El moto acumulado del gradiete aritmético-geométrico MA at = El moto acumulado de la aualidad aticipada MG g = El moto acumulado de la aualidad aticipada A 1 : la primera cuota : el úmero de cuotas i: es la tasa omial (ormalmete es aual) i/m: La tasa capitalizable Gg: El gradiete geométrico 372

20 La solució etoces es ahora: Los Datos so: Mg ag = El moto acumulado del gradiete aritmético-geométrico MA at = El moto acumulado de la aualidad aticipada Rp 1 : la primera cuota : el úmero de cuotas i/m: La tasa capitalizable Gg: El gradiete geométrico ( ) 1 ( ) ( 10 / 12 *. 25) 1 ΜG (1.25 ag ) ). 35( ( ) 1 ( ) ( *. 25) 1 ΜG ag * 3. 5 ). 35( ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ΜG ag * 3. 5 ). 35( ΜG ag * 3. 5( ) ΜG ag * ΜG ag * ΜG ag $ 56' 276,

21 La solució e ua hoja de cálculo e Excel: Aticipados A i/m $3,500, $4,301, $3,850, $4,635, $4,200, $4,953, $4,550, $5,256, $4,900, $5,545, $5,250, $5,820, $5,600, $6,081, $5,950, $6,329, $6,300, $6,565, $6,650, $6,788, $50,750, $56,276, Resultado factor 1 factor 2 i/m A: 3.5 Uidad 1 Resultados i 0.25 MA d 0.35 MG i/m Mgag: Valor de G Para el factor 2: / $ 56,276, (i/m)

22 Ejercicios para resolver Calcular el moto de ua serie de cuotas periódicas mesuales vecidas, e dode la primera reta es de $5, y las subsecuetes se icremeta cada ua de ellas. Cosidere la tasa del 29.4% omial aual capitalizable mesualmete. De u cojuto de 30 cuotas vecidas que geera u iterés del 17.5% capitalizable bimestralmete, cuál es el moto que acumula si crece a razó de Ga=100.00? La Nucleoeléctrica japoesa, Japa Corporatio, desea ampliar las istalacioes de su plata e Cacú y para ello se ha propuesto costituir u fodo co 40 depósitos mesuales co aumetos crecietes de $850, dls., cada ua de las cuotas. La tasa de iterés que le ofrece es del 19.65% co capitalizació mesual y el importe del primer depósito ascedió a $5 500, de dls. La preguta es: Cuáto acumulará al fial de la última cuota? Para obteer u moto de $123,784.50, cuál debe ser el importe de la primera de 30 cuotas periódicas (=10) que crece e forma creciete e u 15.5 % y co ua tasa de iterés del 12% omial capitalizable mesualmete?: Resuélvalo e su formato de cuotas pospagables. Para obteer u moto de $124,514.24, cuál debe ser el importe de la primera de 30 cuotas periódicas (=30) que crece e forma creciete e u 15.5.% y co ua tasa de iterés del 12% omial capitalizable mesualmete?: Resuélvalo e su formato de cuotas prepagables y pospagables Se desea coocer el importe total de las 20 cuotas vecidas que crece e forma aritmética a razó de Ga=1, co ua tasa omial del 18% capitalizable mesualmete. Supogamos que se desea coocer el moto acumulado de u fodo de iversió costituido por 100 depósitos mesuales que crece a ua tasa del Gg: 8.5% siedo el importe del primer depósito $11, U deudor acordó co su proveedor liquidar su deuda e cuotas bimestrales vecidas durate dos años. La primera de dichas cuotas es por $12, y las subsecuetes se icremetará $ Para ello se acordó u iterés omial del 25% capitalizable mesualmete. Ahora la preguta es: Cuál es el valor del adeudo? 375

23 Ejercicios resueltos: Caso 1: Co los siguietes datos calcule el ejercicio: 20 cuotas vecidas que crece e forma aritmética a razó de G a = $ i = 18% aual m = mesual R p1 = $21, Co la fórmula del Moto de u cojuto de retas variables vecidas co gradiete aritmético se resuelve co la siguiete fórmula: g i (1 ) 1 a m *ga Mga (Rp 1 ) i i i m m m Así teemos:.. ( ) 1. $,. 20* M ( ) 12 ga ( ) 1 10* M ( $ , 00. ) ga M ( $ ,. $ ,. ). $,. ga M ( $ ,. ). $. ga M $ ,. ga 376

24 El resultado coicide co el cálculo e Excel Rp i/m importe $ 21, $ 28, $ 22, $ 29, $ 23, $ 29, $ 23, $ 30, $ 24, $ 30, $ 25, $ 31, $ 26, $ 31, $ 26, $ 31, $ 27, $ 32, $ 28, $ 32, $ 29, $ 33, $ 29, $ 33, $ 30, $ 33, $ 31, $ 34, $ 32, $ 34, $ 32, $ 34, $ 33, $ 35, $ 34, $ 35, $ 35, $ 35, $ 35, $ 35, S $ 653, AHORA PARA CALCULAR EL VALOR ACTUAL DEL CONJUNTO DE RENTAS PERIÓDICAS CON GRADIENTE ARITMÉTICO: DE LA FÓRMULA DE VALOR PRESENTE: VP ( 1 Por lo que para calcular el valor actual del cojuto de retas periódicas co gradiete aritmético sería: M i ) m M $653, (1 + i ) ( ) m 12 ga VA = = = $485, ga

25 E Excel obteemos: Rp i/m importe $ 21, $ 21, $ 22, $ 21, $ 23, $ 21, $ 23, $ 22, $ 24, $ 22, $ 25, $ 23, $ 26, $ 23, $ 26, $ 23, $ 27, $ 24, $ 28, $ 24, $ 29, $ 24, $ 29, $ 24, $ 30, $ 25, $ 31, $ 25, $ 32, $ 25, $ 32, $ 25, $ 33, $ 26, $ 34, $ 26, $ 35, $ 26, $ 35, $ 26, $ 485, Utilizado la fórmula del Valor Actual presete del cojuto de retas periódicas vecidas co gradiete aritmético (Ga), teemos que: VA (1 i m i ga m * ga i ga Rp 1 (1 ) ) i m 1 i m m Ahora resolvemos:.. ( V ) 1 $,. 20* A (1 18 ) ga

26 ( ) 1 20* V A,.. ga (1 015) ( ) 1 V A $,. $ ',.. ga ( ) V A $,.. $ ',.. ga ( ) V A $,.. ga ( ) V A $ , 25. ga 20 Caso 2: Co los siguietes datos calcule el siguiete ejercicio: 35 cuotas vecidas que crece e forma aritmética a razó de G a = $ i = 7.8% aual m = c/21 días mesual R p1 = $7, Co la fórmula del Moto de u cojuto de retas variables vecidas co gradiete aritmético se resuelve co la siguiete fórmula: g i (1 ) 1 a m *ga Mga (Rp 1 ) i i i m m m Así teemos: (. * / ). $,. ( ) 1 35* M ( ) ga * * * M ( $ ,. $ ,. ). $ ',. ga M ( $ ,. ). $ ',. ga M $ ,. ga 379

27 El resultado coicide co el cálculo e Excel Rp i/m importe $ 7, $ 9, $ 8, $ 9, $ 8, $ 9, $ 8, $ 9, $ 8, $ 10, $ 9, $ 10, $ 9, $ 10, $ 9, $ 10, $ 9, $ 10, $ 9, $ 11, $ 10, $ 11, $ 10, $ 11, $ 10, $ 11, $ 10, $ 11, $ 11, $ 12, $ 11, $ 12, $ 11, $ 12, $ 11, $ 12, $ 11, $ 12, $ 12, $ 13, $ 12, $ 13, $ 12, $ 13, $ 12, $ 13, $ 13, $ 13, $ 13, $ 13, $ 13, $ 14, $ 13, $ 14, $ 14, $ 14, $ 14, $ 14, $ 14, $ 14, $ 14, $ 14, $ 14, $ 15, $ 15, $ 15, $ 15, $ 15, $ 15, $ 15, $ 441,

28 EL VALOR ACTUAL DEL CONJUNTO DE RENTAS PERIÓDICAS CON GRADIENTE ARITMÉTICO: DE LA FÓRMULA DE VALOR PRESENTE VP M ( 1 i ) m Por lo que para calcular el valor actual del cojuto de retas periódicas co gradiete aritmético sería: M $441, $441, (1 + i ) m (1 +( 0.078* 21 ) ga VA = = = = $377, ga 35 E Excel obteemos: Rp i/m importe $7, $7, $8, $8, $8, $8, $8, $8, $8, $8, $9, $8, $9, $9, $9, $9, $9, $9, $9, $9, $10, $9, $10, $9, $10, $10, $10, $10, $11, $10, $11, $10, $11, $10, $11, $10, $11, $11, $12, $11, $12, $11, $12, $11, $12, $11, $13, $11, $13, $11, $13, $12, $13, $12, $14, $12, $14, $12, $14, $12, $14, $12, $14, $12, $15, $13, $15, $13, $15, $13, $377,

29 Alguos ejercicios resueltos para revisar. Coviértase e u evaluador y verifique que el procedimieto sea correcto. De o ser así, repórtelo al autor: Nota: e todos los casos comprobar Rp 1 Co los siguietes datos, resuelva el ejercicio: ( 1 ) Rp1= $ = 65 cuotas i = 18% m= mesual crece: $18 aritmético/ 1.8% geométrico Mga=? Prepagable Aritmético (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) (1 i ) m i m i i m m m (1 ) *18 Mga (210 ) (1 ) (1.015) 1 1,170 Mga (210 ) (1.015) Mga (210 1, 200) (1.015) , 000 Mga (1, 410) , 000 Mga 155, , 000 Mga $77, (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) (1 i ) m (1 i ) i m i i m m m m VAga 77, VAga $29,

30 Pospagable (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) m i i i m m m Mga (1, 410) , 000 Mga 153, , 000 Mga $75, (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) m (1 i ) i i i m m m m VAga 75, VAga $28, Prepagable Geométrico (1 i ) (1 gg) Mgg Rp1 (1 i ) m m i gg m (1.015) (1.018) Mgg 210(1.015) Mgg Mgg Mgg Mgg $39, Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) (1 i ) m m i gg m 39, Rp Rp Rp , $ (1 i ) (1 gg) Mgg Rp m 1 i gg m Mgg Mgg $38, Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) m i gg m 38, Rp Rp $

31 ( 2 ) Rp1= $ = 50 cuotas i= 16% crece: $15 aritmético/ 1.5% geométrico m= cada 20 días Mga=? Prepagable (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) (1 i ) m i m i i m m m ( ) 1 50*15 Mga (180 ) ( ).16 * Mga (180 ) ( ) Mga (180 1, ) ( ) , Mga (1, ) , Mga 119, , Mga $33, Aritmético (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) (1 i ) m (1 i ) i m i i m m m m VAga 33, VAga $21, Pospagable (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) m i i i m m m Mga (1, ) , Mga 118, , Mga $30, (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) m (1 i ) i i i m m m m VAga 30, VAga $19,

32 Prepagable Geométrico (1 i ) (1 gg) Mgg Rp1 (1 i ) m m i gg m ( ) (1.015) Mgg 180( ) Mgg Mgg Mgg Mgg $16, Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) (1 i ) m m i gg m 16, Rp Rp Rp , $ Pospagable (1 i ) (1 gg) Mgg Rp m 1 i gg m Mgg Mgg $16, Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) m i gg m 16, Rp Rp $ ( 3 ) Rp1= $ = 33 cuotas i=.13% mesual crece: $22.00 aritmético/ 2.2% geométrico m= cada 18 días Mga=? 385

33 Prepagable Aritmético (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) (1 i ) m i m i i m m m (1.078) 1 33* 22 Mga (310 ) (1.078).13 * Mga (310 ) (1.078) 9, Mga ( ) (1.078) , Mga ( ) , Mga 89, , Mga $80, Pospagable (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) (1 i ) m (1 i ) i m i i m m m m VAga 80, VAga $6, (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) m i i i m m m Mga ( ) , Mga 82, , Mga $73, (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) m (1 i ) i i i m m m m VAga 73, VAga $6,

34 Prepagable Geométrico (1 i ) (1 gg) Mgg Rp1 (1 i ) m m i gg m (1.078) (1.022) Mgg 310(1.078) Mgg Mgg Mgg $58, Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) (1 i ) m m i gg m 58, Rp Rp Rp 58, $ Pospagable (1 i ) (1 gg) Mgg Rp m 1 i gg m Mgg Mgg $54, Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) m i gg m 54, Rp Rp $

35 ( 4 ) Mga=? Rp1= $ = 22 cuotas i= 19% crece: $12 aritmético/ 1.2% geométrico m= quiceal Prepagable Aritmético (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) (1 i ) m i m i i m m m ( ) 1 22*12 Mga (400 ) ( ).19 * Mga (400 ) ( ) 33, Mga (400 1, ) ( ) , Mga (1, ) , Mga 46, , Mga $12, Pospagable (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) (1 i ) m (1 i ) i m i i m m m m VAga 12, VAga $10, (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) m i i i m m m Mga (1, ) , Mga 46, , Mga $12, (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) m (1 i ) i i i m m m m VAga 12, VAga $10,

36 Prepagable Geométrico (1 i ) (1 gg) Mgg Rp1 (1 i ) m m i gg m ( ) (1.012) Mgg 400( ) Mgg Mgg Mgg $10, Pospagable Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) (1 i ) m m i gg m 10, Rp Rp Rp , $ (1 i ) (1 gg) Mgg Rp m 1 i gg m Mgg Mgg $10, Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) m i gg m 10, Rp Rp $

37 ( 5 ) Mga=? Rp1= $ = 90 cuotas i= 32% biaual crece: $15.00 aritmético/ 1.5% geométrico m= mesual Prepagable Aritmético (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) (1 i ) m i m i i m m m ( ) 1 90*15 Mga (850 ) ( ) Mga (850 ) ( ) 101, Mga (850 1, ) ( ) , Mga (1, ) , Mga 344, , Mga $243, (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) (1 i ) m (1 i ) i m i i m m m m VAga 243, VAga $73, Pospagable (1 i ga ) 1 * ga Mga ( Rp1 ) m i i i m m m Mga (1, ) , Mga 344, , Mga $243, (1 i ga ) 1 * ga VAga ( Rp1 ) m (1 i ) i i i m m m m VAga 243, VAga $73,

38 Prepagable Geométrico Pospagable (1 i ) (1 gg) Mgg Rp1 (1 i ) m m i gg m ( ) (1.015) Mgg 850( ) Mgg Mgg Mgg $271, Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) (1 i ) m m i gg m 271, Rp Rp Rp 271, $ (1 i ) (1 gg) Mgg Rp m 1 i gg m Mgg Mgg $267, Mgg Rp1 (1 i ) (1 gg) m i gg m 267, Rp Rp $

39 Ejercicios co despeje de para desarrollar e clase su verificació 1. Co los siguietes datos: Colaboració especial de MARISOL DOMÍNGUEZ MARTÍNEZ (LAET) PREPAGABLE 392

40 POSPAGABLE ( ) ( ) VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] 393

41 PREPAGABLE POSPAGABLE 394

42 395

43 BUSCAR * ( )+ 396

44 2. Co los siguietes datos: PREPAGABLE 397

45 POSPAGABLE ( ) ( ) VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] 398

46 PREPAGABLE POSPAGABLE 399

47 400

48 BUSCAR * ( )+ 401

49 3. Co los siguietes datos: PREPAGABLE 402

50 POSPAGABLE ( ) ( ) VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] 403

51 PREPAGABLE POSPAGABLE 404

52 405

53 BUSCAR * ( )+ 406

54 4. Co los siguietes datos: PREPAGABLE 407

55 POSPAGABLE ( ) ( ) VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] 408

56 PREPAGABLE POSPAGABLE 409

57 410

58 BUSCAR * ( )+ 411

59 5. Co los siguietes datos: PREPAGABLE 412

60 POSPAGABLE ( ) ( ) VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] 413

61 PREPAGABLE POSPAGABLE 414

62 415

63 BUSCAR * ( )+ 6. Co los siguietes datos: PREPAGABLE 416

64 POSPAGABLE ( ) ( ) 417

65 VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] PREPAGABLE 418

66 POSPAGABLE 419

67 BUSCAR * ( )+ 420

68 7. Co los siguietes datos: PREPAGABLE 421

69 POSPAGABLE ( ) ( ) VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] 422

70 PREPAGABLE POSPAGABLE 423

71 ( ) * ( ) + 424

72 BUSCAR * ( )+ 8. Co los siguietes datos: PREPAGABLE 425

73 POSPAGABLE ( ) ( ) 426

74 VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] PREPAGABLE 427

75 POSPAGABLE 428

76 BUSCAR * ( )+ 429

77 9. Co los siguietes datos: PREPAGABLE 430

78 POSPAGABLE ( ) ( ) VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] 431

79 PREPAGABLE POSPAGABLE 432

80 433

81 BUSCAR * ( )+ 10. Co los siguietes datos:.00 PREPAGABLE 434

82 POSPAGABLE ( ) ( ) 435

83 VALOR ACTUAL *( ) + [( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] PREPAGABLE 436

84 POSPAGABLE 437

85 BUSCAR * ( )+ 438

86 EJERCICIOS PARA RESOLVER GRADIENTES ARITMETICOS PROBLEMA 1.- Jua Carlos pide prestada cierta catidad de diero y firma u cotrato-pagaré e el que se estipula la obligació de pagar e u año co pagos mesuales vecidos y ua tasa del iterés del 30% aual co capitalizació mesual. Si el primer pago mesual es por $1, y los pagos sucesivos aumetara $ cada mes, ecuetre la catidad de diero que Jua Carlos pidió prestada. 1,300; 1,500; 1,700; 1,900; 2,100; 2,300; 2,500; 2,700; 2,900.. Sucesivamete hasta $3, Aualidad vecida Moto del cojuto PROBLEMA 2.- El señor García desea coocer el moto de 30 cuotas vecidas, las que crece e forma aritmética a razó Ga=$1,500.00; co ua tasa omial del 35% capitalizable mesualmete, co pagos de $4, Cuál sería el moto de esas cuotas al termiar el plazo? 4,200 5,700 7,200 8,700 10,200 11,700 13,200 14,700 16,200.. Sucesivamete hasta $47, Aualidad vecida Moto del cojuto

87 PROBLEMA 3.- La compañía Alfa & Omega, S.A. pide prestado cierta catidad de diero y firma u cotrato -pagare e el que se estipula la obligació de pagar e 10 meses co pagos mesuales vecidos y ua tasa de iterés del 20% aual co capitalizació mesual. Si el primer pago mesual es de $35,000 y los pagos sucesivos aumetara $ cada mes, ecuetre la catidad de diero que la compañía Alfa &Omega pidió prestada. 35,000; 35,600; 36,200; 36,800; 37,400; 38,000; 38, Sucesivamete hasta $40, Aualidad vecida Moto del cojuto PROBLEMA 1.- GRADIENTES GEOMETRICOS U padre de familia ha destiado cierta catidad de diero para que su hijo estudie ua carrera uiversitaria que dura 9 semestres y debido a la iflació, la colegiatura aumeta el 3.5% semestral. Si el padre deposita el diero e ua cueta bacaria que paga el 10% capitalizable cada semestre, qué catidad de diero tedrá que depositar e la cueta, si la colegiatura correspodiete al primer semestre es de $24,870.00? 440

88 Depósitos a iicio de mes Moto del cojuto depósitos del fodo de iversió PROBLEMA 2.- La señora Laura, desea coocer el moto acumulado de ua iversió de 18 mesualidades (cuotas aticipadas), las que crece e forma aritmética a razó Gg=4.3%; co ua tasa omial del 27% capitalizable mesualmete, siedo su primer depósito de $2, Cuál sería el moto de la iversió al termiar el plazo? Depósitos a iicio de mes Moto del cojuto depósitos del fodo de

89 GRADIENTES ARITMETICO-GEOMETRICO PROBLEMA 1.- La familia López se ha propuesto costruir ua casa, por lo que cosideró realizar u fodo co 8 depósitos mesuales co aumetos crecietes de $170, para cada ua de las cuotas. La tasa de iterés que le ofrece es del 15% co capitalizació mesual y el importe del primer depósito asciede a $1 500, La preguta es: Cuáto acumulara al fial de la última cuota? PROBLEMA 2.- La Nucleoeléctrica Lagua Verde, desea ampliar las istalacioes de su plata e Veracruz y para ello se ha propuesto costruir u fodo co 40 depósitos mesuales co aumetos crecietes de $850, dls., para cada ua de las cuotas. La tasa de iterés que le ofrece es del 19.65% co capitalizació mesual y el importe del primer depósito asciede a $5 500, de dls. La preguta es: Cuáto acumulara al fial de la última cuota? La respuesta, e la secció de Aexos 442

90 A maera de repaso geeral GRADIENTES ARITMETICOS PROBLEMA 1.- El Sr. Martíez pagará u importe similar, al que resulte de los 6 depósitos de $80, que crece aritméticamete e $ co respecto a la cuota aterior. La tasa de iterés es del 24% capitalizable mesualmete. 80,000 80,200 80,400 80,600 80,800 81,000 Aualidad vecida Moto del cojuto

91 Para calcular el Valor futuro, utilizaremos los siguietes datos: Datos: Rp 1 = $80, G a = $ = 6 i/m =.24/12 = 0.02( tasa de iterés capitalizable e m periodos por año) Para resolverlo se ocupa la fórmula del Moto de u cojuto de retas variables vecidas co gradiete aritmético, la cual es la siguiete: M ga = Rp 1 + g a i m 1 + i m 1 i m g a i m Así teemos: M ga = $80, M ga = $80, M ga = $80, ,000 60, M ga = $90, $60, M ga = $507,

92 Para calcular el Valor Actual lo haremos de la siguiete maera: Datos: Rp 1 = $80, G a = $ = 6 i/m =.24/12 =0.02(tasa de iterés capitalizable e m periodos por año) VA ga = Rp 1 + g a i m 1 + i m 1 i m g a i m 1 + i m VA ga = 80, VA ga = 80, VA ga = 80, , , VA ga = 90, , VA ga = 507, VA ga = $450,

93 Solo como comprobació e Excel: E formato aticipado y vecido: GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fodos de ahorro) Rp1 = 80, Aualidad Vecida Aualidad Aticipada Ga = Mga= 507, Mga= 517, = 6.00 Ga = Ga = i= 2.00% = 6.00 = 6.00 Mga (aualidad vecida)= 507, i= 2.00% i= 2.00% Mga (aualidad aticipada)= 517, Rp1 = 80, Rp1 = 80, INICIO Fodo de ahorro (aualidad vecida) Fodo de ahorro (aualidad aticipada) Aboo Aualidad Iterés Saldo Aboo Aualidad Iterés Saldo 1 80, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Comprobació 6 81, , , Comprobació 446

94 PROBLEMA 2.- Después de clases El primer paso es trazar uestra líea de tiempo. 1,400 1,700 2,000 2,300 2,600 Aualidad vecida Moto del cojuto

95 Para resolverlo primero cooceremos el valor futuro, ocupado la siguiete fórmula del moto de u cojuto de retas variables vecidas co gradiete aritmético. M ga = Rp 1 + g a 1 + i m 1 g a i i i m m m E dode: Rp 1 = $1, G a = $ = 5 i/m =.10/12 = ( tasa de iterés capitalizable e m periodos por año) Al sustituir los datos e la fórmula quedaría de la siguiete M ga = $1, M ga = $1, M ga = $1, , , M ga = $37, $180, M ga = $10,

96 Utilizar la fórmula del Valor Actual Idetificado los Datos: Rp 1 = $1, G a = $ = 5 i/m =.10/12 = (tasa de iterés capitalizable e m periodos por año) VAga =? VA ga = Rp 1 + g a i m 1 + i m 1 i m g a i m 1 + i m VA ga = 1, VA ga = 1, VA ga = 1, , , VA ga = 37, , VA ga = 10, VA ga = $9,

97 GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fodos de ahorro) Rp1 = 1, Aualidad Vecida Aualidad Aticipada Ga = Mga= 10, Mga= 10, = 5.00 Ga = Ga = i= 0.83% = 5.00 = 5.00 Mga (aualidad vecida)= 10, i= 0.83% i= 0.83% Mga (aualidad aticipada)= 10, Rp1 = 1, Rp1 = 1, Fodo de ahorro (aualidad vecida) Fodo de ahorro (aualidad aticipada) Aboo Aualidad Iterés Saldo Aboo Aualidad Iterés Saldo 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , Comprobació 5 2, , Comprobació 450

98 PROBLEMA 3.- Primero lo resolveremos e Valor Futuro, utilizado esta fórmula: M ga = Rp 1 + g a 1 + i m 1 g a i i i m m m Idetificado los Datos: RP=$2, Ga=$ =12 i=34.8% aual =34.8/12=2.9% mesual Se desea coocer su moto Mga 451

99 Sustitució de Valores e la Formula: M ga = 2, M ga = 2, , , M ga = 19, , M ga = 19, , M ga = 19, , M ga = 272, , M ga = $66, Para resolverlo por Valor Actual, ahora utilizamos la siguiete fórmula: VA ga = Rp 1 + g a i m 1 + i m 1 i m g a i m 1 + i m Sustituiremos estos Datos: RP=$2, Ga=$ =12 i=34.8% aual =34.8/12=2.9% mesual VA ga 452

100 VA ga = Rp 1 + g a i m 1 + i m 1 i m g a i m 1 + i m VA ga = 2, VA ga = 2, , , VA ga = 19, , VA ga = 19, , VA ga = 19, , VA ga = 272, , VA ga = 66, VA ga = $46,

101 Solo como comprobació e Excel: E formato aticipado y vecido: GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fodos de ahorro) Rp1 = 2, Aualidad Vecida Aualidad Aticipada Ga = Mga= 66, Mga= 67, = Ga = Ga = i= 2.90% = = Mga (aualidad vecida)= 66, i= 2.90% i= 2.90% Mga (aualidad aticipada)= 67, Rp1 = 2, Rp1 = 2, Fodo de ahorro (aualidad vecida) Fodo de ahorro (aualidad aticipada) Aboo Aualidad Iterés Saldo Aboo Aualidad Iterés Saldo 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Comprobació 12 7, , , Comprobació 454

102 PROBLEMA 4.- De acuerdo a los datos que me proporcioó Adrés, me dice que pagará $3, mesuales co icremetos de $ durate u año e modalidad vecida. Y la tasa de iterés que le cargará es del 18% co capitalizació mesual mmmm veamos cómo se resuelve este problema, utilizado la fórmula del moto de u gradiete aritmético. Primero lo resolveremos e Valor Futuro, utilizado esta fórmula: M ga = Rp 1 + g a 1 + i m 1 g a i i i m m m Idetificado los Datos: RP=$3, Ga=$ =12 i=18% aual =18/12=1.5% mesual M ga =? 455

103 Sustitució de Valores e la Formula: M ga = 3, M ga = 3, , , M ga = 13, , M ga = 13, , M ga = 13, , M ga = , M ga = $56, Para resolverlo por Valor Actual, utilizado esta fórmula: VA ga = Rp 1 + g a i m 1 + i m 1 i m g a i m 1 + i m Idetificado los Datos: RP=$3, Ga=$ =12 i=18% aual =18/12=1.5% mesual VA ga =? 456

104 VA ga = Rp 1 + g a i m 1 + i m 1 i m g a i m 1 + i m VA ga = 3, VA ga = 3, , , VA ga = 13, , VA ga = 13, , VA ga = 13, , VA ga = 176, , VA ga = 656, VA ga = $46,

105 Solo como comprobació e Excel: E formato aticipado y vecido: GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fodos de ahorro) Rp1 = 3, Aualidad Vecida Aualidad Aticipada Ga = Mga= 56, Mga= 56, = Ga = Ga = i= 1.50% = = Mga (aualidad vecida)= 56, i= 1.50% i= 1.50% Mga (aualidad aticipada)= 56, Rp1 = 3, Rp1 = 3, INICIO Fodo de ahorro (aualidad vecida) Fodo de ahorro (aualidad aticipada) Aboo Aualidad Iterés Saldo Aboo Aualidad Iterés Saldo 1 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Comprobació 12 5, , Comprobació Etoces si realiza pagos de la siguiete forma: $3, mesuales co icremetos gradiete de $ a partir de la seguda cuota y co respecto de la aterior y así suscesivamete, etoces el aboa capital por $51, y la diferecia es el iteres que pago por el préstamo, de ahí que si el total que paga al baco es de $56, meos $51, etoces pago la catidad de$4, por cocepto de iteréses. Pago No aboos $ 3, $ 3, $ 3, $ 3, $ 4, $ 4, $ 4, $ 4, $ 4, $ 4, $ 5, $ 5, $ 51, Total depósit $ 51, calculado -56, iterés pagad-$ 4,

106 PROBLEMA 5.- Carolia tramito su crédito para comprar ua casa; e el que se estipula la obligació de pagar durate 10 años las mesualidades a fi de mes; y ua tasa del iterés del 12.30% aual co capitalizació mesual. Si el primer pago mesual es por $11, y los pagos sucesivos aumetara $ cada mes, ecuetre la catidad de diero que pagará Carolia. 459

107 Dibujaremos uestra líea del tiempo, para ayudaros a eteder el crédito de Carolia $11, ,650 12,000 12, ,700 13,050 13,400 13,750 14,100.. Sucesivamete Aualidad vecida Moto del cojuto Realizaremos el cálculo de u cojuto de aualidad vecida co gradietes aritméticos, co los siguietes datos: R P=$11, G a=$ =120 i=12.30% aual =12.30/12=1.025% mesual Para la cual Utilizaremos la fórmula: M ga = Rp 1 + g a i m 1 + i m 1 i m g a i m 460

108 Sustitució de Valores e la Fórmula: M ga = 11, Ahora sustituiremos los valores e la fórmula. M ga = 11, , , M ga = 45, ,097, M ga = 45, ,097, M ga = 45, ,097, M ga = 10,640, ,097, M ga = $6,542,

109 Su comprobació e Excel GRADIENTES ARITMÉTICOS. (Valor futuro y fodos de ahorro) Rp1 = 11, Aualidad Vecida Aualidad Aticipada Ga = Mga= 6,542, Mga= 6,610, = Ga = Ga = i= 1.03% = = Mga (aualidad vecida)= 6,542, i= 1.03% i= 1.03% Mga (aualidad aticipada)= 6,610, Rp1 = 11, Rp1 = 11, INICIO Fodo de ahorro (aualidad vecida) Fodo de ahorro (aualidad aticipada) Aboo Aualidad Iterés Saldo Aboo Aualidad Iterés Saldo 1 11, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,819, , , ,869, , , ,917, , , ,967, , , ,015, , , ,066, , , ,115, , , ,167, , , ,216, , , ,269, , , ,319, , , ,373, , , ,422, , , ,478, , , ,528, , , ,585, , , ,635, , , ,692, , , ,743, , , ,802, , , ,853, , , ,913, , , ,964, , , ,025, , , ,077, , , ,139, , , ,191, , , ,254, , , ,306, , , ,371, , , ,424, , , ,490, , , ,542, Comprobació , , ,610,

110 GRADIENTES GEOMETRICOS PROBLEMA 1.- A cotiuació se muestra la líea de tiempo de los 15 depósitos mesuales. Depósitos a iicio de mes Moto del cojuto depósitos del fodo de iversió

111 Mg g = $2, Mg g = $2, Mg g = $2, Mg g = $2, Mg g = $2, Mg g = $2, Mg g = $57,

112 Para calcular el Moto de u cojuto de Cuotas Vecidas (Pospagables) co Gradiete geométrico (Gg), utilizaremos los siguietes datos: Datos: = 15 depósitos Mgg=? i/m= = (Tasa de iterés omial capitalizable e m periodos por año) R p =$2, G g = 7.6% Se Modifica bajo el mismo criterio si: Mg g = $2, Mg g = $2, Mg g = $2, Mg g = $2, Mg g = $2, Mg g = $56,

113 Solució e Excel GRADIENTES GEOMÉTRICOS (Valor futuro y fodos de ahorro) Rp1 = 2, Aualidad Vecida Aualidad Aticipada Gg = 7.60% Mgg= 56, Mgg= 57, = Gg = 0.08 Gg = 0.08 i= 1.25% = = Mgg (aualidad vecida)= 56, i= 1.25% i= 1.25% Mgg (aualidad aticipada)= 57, Rp1 = 2, Rp1 = 2, INIC Fodo de ahorro (aualidad vecida) Fodo de ahorro (aualidad aticipada) Aboo Aualidad Iterés Saldo Aboo Aualidad Iterés Saldo 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Comprobació 15 5, , Comprobació E el simulador de Visual Basic Ambos simuladores (Excel y Visual Basic) está dispoibles para compartirlos co los lectores de esta obra (solicitarlos a los correos descritos al fial de cada capítulo) 466

114 PROBLEMA 2.- Durate el receso El primer paso es trazar uestra líea de tiempo. Depósitos a iicio de cada mes Moto del cojuto de depósitos del fodo de iversió

115 E dode: = 10 depósitos i/m= = (Tasa de iterés omial capitalizable e m periodos por año) Rp=$6, Gg = 6.5% Al sustituir los datos e la fórmula, queda de la siguiete maera: Mg g = $6, Mg g = $6, Mg g = $6, Mg g = $6, Mg g = $6, Mg g = $6, Mg g = $91,

116 TABLA DE DESPEJES Valor Actual del Rp Fórmula origial: Si(1 i / m) Gg (1 i / m) (1 Gg) Mgg Rp1(1 i / m) ( i / m) Gg Despeje: Mgg Rp 1 (1 i / m) (1 Gg) (1 i/ m) ( i / m) Gg Datos: = $,. = =. = =. =. (Tasa de iterés omial capitalizable e m periodos por año) Valor de plazo Formula Origial: = 0 Se tiee que satisfacer la fórmula: $91, $6, = 0 A prueba y error utilizamos para x = 9, 11 respectivamete y obteemos: $91, $6, = = = No es exacto $, = = 0 $91, $6, $,.. [.... $,.. [.... $,.. [.. $,... = ] ] = ] = = = = = 0 No es exacto $91, $6, = 0 = $,.. =,. = $, = = 10 se comprueba el ejercicio 469

117 E Excel GRADIENTES GEOMÉTRICOS (Valor futuro y fodos de ahorro) Rp1 = 6, Aualidad Vecida Aualidad Aticipada Gg = 6.50% Mgg= 89, Mgg= 91, = Gg = 0.07 Gg = 0.07 i= 2.50% = = Mgg (aualidad vecida)= 89, i= 2.50% i= 2.50% Mgg (aualidad aticipada)= 91, Rp1 = 6, Rp1 = 6, INIC Fodo de ahorro (aualidad vecida) Fodo de ahorro (aualidad aticipada) Aboo Aualidad Iterés Saldo Aboo Aualidad Iterés Saldo 1 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Comprobació 10 10, , , Comprobació 470

118 Ahora E dode: Rp 1 = $6, G g =6.5% = mero de depositos 10 i m = = (Tasa de iterés omial capitalizable e m periodos por año) Al sustituir los datos e la fórmula, queda de la siguiete maera: Mg g = $6, Mg g = $6, Mg g = $6, Mg g = $6, Mg g = $89, Ahora para comprobar el resultado mostrado ateriormete, debemos realizar ua tabla de despejes e dode se calculará el valor de Rp y de. 471

119 TABLA DE DESPEJES Valor Actual Rp1 Fórmula origial: Si(1 i / m) Gg (1 i / m) (1 Gg) Mgg Rp1 ( i / m) Gg Despeje: Mgg Rp (1 i / m) (1 Gg) ( i / m) Gg Datos: = $,. = =. = =. =. (Tasa de iterés omial capitalizable e m periodos por año) $,. = $,. = $,... =.. $,. =. $,. =. = $, = $,. 1 Valor de plazo Fórmula Origial x x Mgg 1 Gg 1 i / m *( i / m Gg) 0 Rp1 Se tiee que satisfacer la fórmula: = $,. $6, = A prueba y error utilizamos para x = 9, 11 respectivamete y obteemos: $89, $6, = = = $89, $6, = = = El resultado oscila etre 9 y 11 Co =10 obteemos $91, $6, = = =

120 PROBLEMA 3.- Primero idetificamos el moto e el formato de cuotas Aticipadas (Prepagables) co Gg y lo resolveremos, utilizado esta fórmula: Para desarrollar el ejercicio, cosideramos los siguietes Datos: = 24 mesualidades Mg g=? i= 20% cap. mesual R p=$4, G g = 3.7% 473

121 Para despejar Rp, utilizamos la siguiete fórmula: Idetificado los siguietes datos: = 24 mesualidades Mgg=$189, i= 20% cap. mesual Rp=? Gg = 3.7% 474

122 PROBLEMA 4.- Las características de la operació: primero so cuotas Aticipadas (Prepagables) co crecimieto Gg por lo que debemos resolverlo utilizado la fórmula: Los datos de la operació so los siguietes = 18 mesualidades Mgg=? i= 17% cap. mesual Rp=$1, Gg = 2.6% 475

123 Para despejar Rp, utilizamos la siguiete fórmula: Idetificado los siguietes datos: = 18 mesualidades Mgg=$33, i= 17% cap. mesual Rp=? Gg = 2.6% 476

124 477

125 La comprobació de los ejercicios de las págs. 475 y 477, co el simulador de Visual Basic 478

126 PROBLEMA 5.- Iiciaremos dibujado uestra líea del tiempo, para eteder más fácil este ejercicio matemático. 479

127 Depósitos a iicio de mes Moto del cojuto depósitos del fodo de iversió Ya que trazamos uestra líea del tiempo, veamos la fórmula que requerimos para el cálculo y los datos que teemos tal fí. Utilizaremos la fórmula para gradietes geométricos, para cuotas aticipadas: Datos: = 22 mesualidades Mgg=? i= 29% cap. mesual Rp=$13, Gg = 3.7% 480

128 De la fórmula origial haremos u despeje, para realizar la comprobació, ahora buscaremos Rp. Posterior sustituimos los datos. 481

129 Cuotas Pos-pagables (vecidas) co Gg: Cuado se trata de Pagos o Aboos e la modalidad vecidos o pos-pagable, utilizamos la siguiete formula: Se Modifica: Datos: = 22 mesualidades Mgg=? i= 29% cap. mesual R p =$13, G g = 3.7% Sustituiremos los valores e la formula. 482