Facultad de Ingeniería Ing. Gladys Astargo, 2007 SUCESIONES

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1 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 SUCESIONES E esta secció veremos los siguietes coteidos: Págia Itroducció. Las sucesioes uméricas como fucioes reales de domiio atural ( ). Térmio geeral, eésimo o ley de formació. Represetació gráfica 4 4. Sucesioes moótoas 4 5. Sucesioes acotadas 5 6. Límite de sucesioes. Sucesioes covergetes 6 7. Propiedades de los límites 8 8. Covergecia de las sucesioes moótoas acotadas 0 9. El úmero e 0 0. Problemas de aplicació INTRODUCCIÓN Observa la siguiete historieta: Bue día Pepe! Se mejoró su hijo? Nos madaro u uevo refrigerate. Necesito que aote la temperatura cada horas. Les aviso tambié a los otros turos, pero cofío e usted para completar esta tabla. Bue día igeiero! Sí gracias, está mejor Ok jefe. Quédese traquilo. Hasta luego. Cuídese que parece que su hijo lo cotagió. Acuérdese del asado del sábado Hasta luego! Sif!!! Atchis! El igeiero le dio a Pepe la siguiete tabla que él completó co los datos de temperatura: Día Día h tº 56,5 56,4 56, 56 58, , ,5 56,5 56,4 56, 58,4 59, 59,5 58, 56, Mhm! voy a hacer el trabajo bie prolijo, como le gusta al igeiero. Etoces Pepe ordeó las temperaturas como sigue: tº 59,5 59,4 59, 59 58,6 58,4 58, 58 56,5 56,5 56,5 56,4 56,4 56, 56, 56, 56 Te parece que e este caso le servirá al igeiero la tabla de Pepe ordeada de mayor a meor?

2 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 Qué factor cosideras importate? Si se cooce la frecuecia e la toma de la temperatura, lo más importate e este caso (puede o serlo e otros), es el orde e que fuero obteidas. Así podríamos cosiderar que la primera lectura es t, la seguda t y así siguiedo. Se forma ua sucesió de temperaturas, que escribiremos utilizado la siguiete simbología: {t } = {t, t, t,..., t } = {56,5 ; 56,4 ; 56, ; 56 ; 58,6 ; 59 ; 59,4 ; 58 ; 56,5 ; 56,5 ; 56,4 ; 56, ; 58,4 ; 59, ; 59,5 ; 58, ; 56,} Esta sucesió tiee u úmero fiito de elemetos; e Aálisis Matemático I estudiaremos sucesioes uméricas co ifiitos elemetos.. LAS SUCESIONES NUMÉRICAS COMO FUNCIONES REALES DE DOMINIO NATURAL ( ) Se aplica e problemas geométricos y biológicos, e las seccioes áureas, e espectroscopia, etc. DEFINICIÓN: Se llama sucesió umérica a ua fució que aplica el cojuto de los úmeros aturales e el de los reales, tal que los elemetos de la image está relacioados co los del domiio mediate ua fució de, a = f(). E símbolos: f : / a = f() Los elemetos de la image se llama térmios de la sucesió. Forma u cojuto ordeado de ifiitos úmeros reales a que se obtiee mediate la expresió de la fució a = f(), siedo la variable idepediete.. TÉRMINO GENERAL, ENÉSIMO O LEY DE FORMACIÓN Tambié se suele idicar a la sucesió como { a } = = {a ; a ; a ; a 4 ;...; a ;...} que se lee: sucesió a desde = hasta ifiito. E geeral damos por sobreetedido la variació de y escribimos e forma abreviada: {a } e lugar de { a } = a se llama térmio eésimo (alguos autores lo llama -ésimo) o térmio geeral o térmio geérico y es el que da la ley de formació de los ifiitos térmios. Ejemplo : Escribe los elemetos de la sucesió cuyo térmio geeral es a = f() =. Para =, a = f() = = ; para =, a = f() = = 4,... se puede cotiuar dado a todos los valores aturales que se quiera. { } = {, 4, 8, 6,, } Ejemplo : A veces se defie la sucesió por recurrecia, dode se da reglas que permite obteer cada térmio partiedo de los ateriores. U ejemplo muy utilizado e biología es la sucesió de Fiboacci que surgió cuado estudiaba el crecimieto de ua població de coejos. Esta sucesió se defie como: Los dos primeros térmios vale y los que sigue a = ; a = ; a = a + a > se obtiee por la suma de los dos ateriores a = a + a = + = ; a 4 = a + a = + = ; a 5 = a + a 4 = + = 5; La sucesió resulta: {a } = {,,,, 5, 8,,...} 4 a = f() a a a 4

3 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 Ejercicio propuesto : Ídem para: a = ; a + = a + Respuesta No siempre es secillo ecotrar la expresió del térmio -ésimo, co frecuecia hay que probar varias veces. Ejemplo : Ecuetra la expresió del térmio eésimo para la sucesió: {b } = { /; /4; 0; /6; /7; /8, } Debemos ecotrar la ley de formació de los térmios, es decir, ua regularidad. Aalicemos umerador y deomiador por separado: Los umeradores so; ; ; 0; ; ;, es decir que para = se tiee b =, para = se tiee b = y así siguiedo, se va sumado ua uidad. Es decir que si aumeta ua uidad, b sube ua uidad, por lo tato el umerador es de la forma +? (coeficiete de e el umerador: ). Para que dé por resultado b =, debe ser el umerador igual a (ya que = ). Los deomiadores so:, 4,?, 6, 7, 8, es razoable pesar que e el sigo de preguta correspode 5 y que el umerador es 0 (es cierto pues para = queda: = 0). Para = se tiee y luego se va sumado ua uidad. De maera aáloga a la aterior, deducimos que el deomiador es: +. El térmio geeral etoces es b = + Revisa que todos los valores dados de la sucesió verifique esta expresió hallada. 5 5 Ejemplo 4: Ídem para {c } = { 0,,,,,,...} Observa que: Hay dos térmios iguales e distita posició, uo correspode a = y el otro a = 5, etoces podríamos pesar que las fraccioes está simplificadas. Todavía o podemos decir cuáles so las fraccioes equivaletes. Para = correspode c = ; como o tiee la misma forma de los otros térmios, tambié podemos pesar que proviee de ua fracció que se ha simplificado. El primer térmio es cero y tratádose de fraccioes, debe ser cero el umerador pero o el deomiador (pues 0 / k = 0, k 0). Por lo tato el umerador debe proveir de algú múltiplo de o de o cualquier otra potecia de la forma p co p. Si fuera los umeradores sería: 0,,,, o coicide, busquemos otra. Si fuera ( ) = los umeradores sería: 0,, tampoco coicide. Probemos co otra. Para los umeradores resulta: 0,, 8, 5, 4, 5, vemos que solamete o se cumple para el º y 5º térmios, que posiblemete está simplificados. Etoces las fraccioes equivaletes de estos térmios podría ser 8 / 8 = y 4 / = / 4 (para = queda = 8; para =5: 5 = 4) Si cosiderar el º y aceptado por ahora que el º y 5º térmios so 8 / 8 y 4 /, los deomiadores parece ser potecias de. El deomiador podría ser. Aparetemete el térmio -ésimo es c =, sólo queda verificar: c = = =

4 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 Se verifica todos Ejercicio propuesto : Ídem para: {d } = {,,,,,,,...} Respuesta. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SUCESIONES Las sucesioes se puede graficar e diagramas de Ve, o e u eje real, o e u diagrama de ejes coordeados cartesiaos. Usaremos acá este último. Represetemos gráficamete alguas sucesioes. a Ejemplo 5: {a } = { 5} Graficamos: para =, a = ; para =, a =,... {a } = { 5} = { ; ; ; ;.5 ; 7 ;... } Si observas la gráfica, las imágees se ubica sobre la recta y = x 5, a la derecha del eje y, pero so solamete los putos aislados, pues el domiio de las sucesioes es el cojuto. No es correcto uir los putos co ua líea Ejemplo 6: {b } = { } = {-5/, -, -/, -, -/, 0, /,, /,, 5/,, 7/, 4, } b Ejemplo 7: {c } = {5 } = {4,, 4,, } c Ejercicio propuesto : Ecuetra los primeros térmios y represeta gráficamete. a), b) ( ) + c) { 4} Ayuda: la image es 4 Respuesta 4. SUCESIONES MONÓTONAS Los coceptos de crecimieto, mootoía y acotamieto so parecidos a los que aprediste e las fucioes de variable real x. La diferecia está e que acá la variable idepediete es atural. {a } es moótoa : ( {a } creciete {a } decreciete ) Sucesioes crecietes y decrecietes {a } es creciete : a < a + {a } es decreciete : a > a + Observa las gráficas de las sucesioes vistas: {a } = { 5} = { ; ; ; ;.5 ; 7 ;... } {b } = { } = {-5/, -, -/, -, -/, 0, /,, /,, 5/,, 7/, 4, } 4 o e setido excluyete

5 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 {c } = {5 } = {4,, 4,, } E las dos primeras, a medida que crece, los térmios tambié lo hace. Decimos etoces que {a } y {b } so sucesioes crecietes. E cambio {c } es decreciete. A veces podemos aalizar el crecimieto si realizar la gráfica, aplicado la defiició como sigue: Ejemplo 8: Aaliza si {d } = es moótoa creciete o decreciete + Debemos comparar d co d +, para ver si es meor o mayor ( + )? El sigo? represeta ua desigualdad de < o > que todavía o coocemos.? ( ) ( + )? ( ) (( + ) ? + Comparado los dos miembros de la desigualdad (que seguimos si coocer) observamos que: =, o ifluye para ua desigualdad, =, tampoco ifluye. Podemos aplicar la propiedad de mootoía y sumar e ambos miembros sus opuestos: para cacelarlos. Queda 6? como 6 < etoces el sigo buscado es < Hemos ecotrado que d < d +, y por lo tato la sucesió es moótoa creciete Ejercicio propuesto 4: Determia si la sucesió cuyo térmio geeral es a =, es creciete o decreciete. 5. SUCESIONES ACOTADAS 5 + Respuesta La defiició es parecida a la de fucioes: {a } es acotada k > 0 / : a k Las sucesioes a, b y c vistas e los ejemplos 5, 6 y 7, so moótoas pero o acotadas. Las dos primeras crece más allá de cualquier úmero k > 0 por grade que se quiera elegir. La tercera, c, decrece de maera que su valor absoluto es siempre mayor que cualquier úmero k > 0 por muy grade que sea. Si embargo a y b tiee cotas iferiores: y 5/ respectivamete y c tiee cota superior 4. e Ejemplo 9: Aaliza si la sucesió de térmio geeral a = es acotada o o. + Mira la gráfica. Si observamos el comportamieto de los térmios de la sucesió, cuado crece idefiidamete, vemos que crece, pero co ua tedecia a estabilizarse. Esta sucesió crece pero es acotada, co cota superior pues < + y por lo tato el cociete es siempre meor que. La cota iferior es igual e este caso al primer térmio: / porque la sucesió es moótoa creciete. Como la cota k es el valor positivo tal que a k, decimos que k = pues : < +

6 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 Ejemplo 0: Realiza el estudio completo de las sucesioes cuyos térmios eésimos so: a) a =, b) b = Los gráficos fuero realizados co Maple V y se ha tomado distitas escalas para los ejes. {a } = {, /, /, / 4, / 5, / 6, 7 / 7, / 8, } a) {a } es moótoa decreciete {a } es acotada pues k = / a < Decimos que la cota es k = (auque la cota iferior más próxima sea 0). Observa: a qué valores se acerca los a cuado crece idefiidamete? lím a = {b } = {0, /, /, / 4, 4 / 5, 5 / 6, 6 / 7, 7 / 8, 8 / 9, 9 / 0, } {b } es moótoa creciete {b } es acotada pues k = / a < A qué valores se acerca los b cuado crece idefiidamete? lím a = 6. LÍMITE DE SUCESIONES. SUCESIONES CONVERGENTES Las sucesioes que tiede a u valor L (tiee límite) se llama covergetes. {a } covergete lím a = L Recuerda que para que exista límite éste debe ser úico y fiito. Si el límite o existe las sucesioes será o covergetes. Alguos autores clasifica las sucesioes e covergetes, divergetes y oscilates y otros e covergetes y divergetes (todas las que o so covergetes etra e esta última) Dos clasificacioes distitas A osotros sólo os iteresa saber si la sucesió es covergete o o lo es. Para calcular el límite de las sucesioes aplicaremos al térmio geeral a el mismo procedimieto que usamos e las fucioes de variable real cuado x tiee a ifiito. Ej.: lím = Esta sucesió es covergete, o coverge a o tiede a. + Sucesioes Sucesioes covergetes: L divergetes: L covergetes: L divergetes: a ± oscilates: a tiede a dos valores fiitos distitos 6

7 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 E las sucesioes solamete iteresa lo que sucede co los valores de a cuado crece idefiidamete. Es decir, sólo se calcula límite para tediedo a ifiito Por qué?, Defiició formal e iterpretació gráfica lím Aalicemos por partes: a = L ε > 0, 0 (ε) / > 0 : a L < ε. Recuerda que, al igual que e la defiició de límite de fucioes, se fija primero u ε positivo y arbitrariamete pequeño alrededor de L, determiado el etoro de cetro L y radio ε: E(L, ε). lím a = L, sigifica que los térmios de la sucesió se acerca a L a medida que crece. Esto está relacioado co la última parte de la defiició: a L < ε, que idica que las distacias de los térmios de la sucesió a L, so meores que ε. (Las imágees cae detro de la fraja determiada por (L ε, L+ε) ) ε > 0, 0 (ε) sigifica que para ese ε fijado, será posible ecotrar u valor 0 que depede de él. Si ε cambia, el valor 0 tambié se modificará. Observa la gráfica: este 0 es el último para el cual o se cumple la defiició de límite, es decir que su image queda fuera de la fraja o justo e el borde. Hay ua catidad fiita de térmios co 0. > 0 : a L < ε idica que para todos los térmios que cumple > 0 (so ifiitos) se verifica la defiició de límite, es decir que sus distacias a L, so meores que ε. La palabra todos es muy importate, pues si u solo térmio se llegara a escapar de la fraja, o se cumpliría la defiició de límite, como veremos e u caso más adelate. Ejemplo : Calcula el límite de la sucesió {d }= y ecuetra 0 para ε = 0,. + El límite lo calcularemos como e las fucioes: lím = la sucesió es covergete + Aplicamos la defiició de límite a uestro ejercicio, co ε = 0, lím = dado ε = 0,, 0 (ε) / > 0 : < 0, + + De maera aáloga a la determiació de δ e el límite de fucioes, partimos de lo que se debería cumplir > 0 : 5 < 0, < 0, < < (porque 5 = 5 y + >0 pues N) + > 50 > Lo que hemos ecotrado es que > 49 se verifica la defiició de límite (las distacias de los térmios de la sucesió a L, so meores que ε cuado > 49). Por lo tato el último térmio que o la cumple es el º 49 y ese es precisamete el valor de 0 que buscamos. 7 L+ε L L ε a 0 Sólo los que cumple 0 (ua catidad fiita de térmios) Todos los que cumple > 0 (so ifiitos)

8 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 Verificació: Tomemos 0 = 49 (sabemos que o cumple) 49 Para 0 = 49: = = o es meor que ε sio que es igual, etoces o cumple la defiició de límite. Tomemos ahora u valor de que sí debe verificar, por ejemplo = 5: = = = 0,096 < 0, sí verifica PROPIEDADES Y ÁLGEBRA DE LOS LÍMITES Si k es ua costate, lím a = A y lím b = B a) lím ( a + b ) b) lím ( k a ) c) lím ( a b ) d) lím ( a b ) e) = A + B = k A, lím k = k = A B = A B a A lím = b, b 0, B 0 B p lím a = A, p R f) ( ) p Si a b, idetermiació ( ) Si a 0 b, idetermiació (0 ) Si a 0 b 0, idetermiació (0/0) Si a b, idetermiació ( / ) lím b Si a 0 b 0, idetermiació 0 b B g) lím [( a ) ] 0 = lím a = A Si a b 0, idetermiació 0 Si a b, idetermiació Teorema : Si lím f (x) = L y f() = a cuado es atural, etoces lím a = L x l Ejemplo : lím es idetermiado de la forma ( ) l x Para calcularlo podemos utilizar f(x) = y aplicar Regla de L Hospital al límite idetermiado. ( ) x l x lím = lím x = 0 x x x R L H Teorema : Teorema del emparedado. Tiee el mismo sigificado que para fucioes de variable real. E símbolos: ( lím a = lím b = L a c b ) lím c = L Ejercicio propuesto 5: Aaliza la covergecia de las siguietes sucesioes: a), b) + + ( ) c) { 4} d) {e }= Respuesta 8

9 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 Ejemplo : Aaliza la covergecia de la sucesió cuyo térmio geeral es lím ( )? Cuado, (/) 0 y los térmios de la sucesió se acerca a ( ) Es decir que si es par, los térmios tiede a + pero si es impar, tiede a. La siguiete gráfica ha sido realizada co Maple V, servirá para aclarar la situació. ( ) Si quisiéramos cosiderar que el límite es, os ecotraríamos co el siguiete problema: Fijado ε alrededor de, podemos determiar u 0 que depede de él y se verifica a < ε para ifiitos térmios co > 0. Pero o se cumple para todos los que le sigue, sólo para los de par, pues los impares se escapa de esa fraja y queda detro de otra fraja alrededor de. Los térmios se acerca por u lado a y por otro a, o tiede a u úico valor. Recuerda que ua propiedad del límite es su uicidad. Etoces o existe lím ( ) y por lo tato la sucesió o es covergete. Alguos autores dirá que es divergete y otros que es oscilate. 8 CONVERGENCIA DE LAS SUCESIONES MONÓTONAS ACOTADAS Teorema : Si ua sucesió es moótoa y acotada, etoces es covergete. Aalicemos por partes: Si ua sucesió es moótoa, quiere decir que es creciete o (e setido excluyete) decreciete. º) Si es creciete puede serlo de dos maeras distitas: que tieda a ifiito o que tega ua cota superior. E este último caso tedrá límite que podrá ser meor o igual que dicha cota superior. Gráficamete puede tomar algua de las formas de la figura de la derecha: a Si ua sucesió moótoa creciete tiee cota superior, es covergete. 9 k L a lím a = lím a = L k {a } coverge

10 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 a L k a º) De maera aáloga ocurre si la sucesió es moótoa decreciete. Puede ser decreciete si cota iferior o co cota iferior. E este último caso existe límite que será mayor o igual que la cota iferior. lím a = lím a = L k {a } coverge Si ua sucesió moótoa decreciete tiee cota iferior, es covergete. Las dos partes se puede uir e el úico teorema del comiezo: Si ua sucesió es moótoa y acotada, etoces es covergete. Ejercicio propuesto 6: Aaliza el valor de verdad de las siguietes proposicioes e térmios de implicacioes. (Recuerda que para afirmar que ua proposició es falsa, basta co u cotraejemplo) a) Si ua sucesió es moótoa, etoces es covergete. b) Si ua sucesió es acotada, etoces es covergete. c) Si ua sucesió es covergete, etoces es acotada. d) Si ua sucesió es covergete, etoces es moótoa. Respuesta 9 EL NÚMERO e Estudiemos la sucesió {a } = ( ) + Para =: a = ( + ) = =: a = ( ) + = =: a = ( ) = {;,5;,7 ;,44 ;,488; ; ( ) ; } + = + + º) Es moótoa? Desarrollado a veremos que a < a + : Para = : Apliquemos la fórmula del biomio de Newto: (a + b) = 0 a + a b + a b + a b + + a b + a 0 b E uestro a a = y solamete queda las potecies de b = a = ( + ) = + ( ) + ( )( ) + ( )...[ ( )] !!! E cada térmio simplificamos y dividimos cada parétesis por ua de las que queda e el deomiador; luego aplicamos propiedad distributiva de la divisió respecto a la suma algebraica. ( )( ) Por ejemplo e el 4º térmio: = ( ) ( ) = ( )( )! a = + + ( ) + ( )( ) ( )( )...( )!!!!! Cuado aumeta, se agrega u uevo sumado que es positivo pues todos los parétesis lo so. Esto demuestra que la sucesió es moótoa creciete.

11 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 º) Es acotada? Parar respoder esta preguta debemos ecotrar u º positivo tal que a sea meor que ese º para todo. El térmio geeral a desarrollado e, tiee todos los parétesis meores que, ya que se trata de diferecias de la forma meos ua fracció meor que. Por lo tato podemos decir que a es meor que la siguiete expresió: b = + + +! ! a! < b A su vez b es meor que la expresió que sigue: c = pues <!; < 4!; - <! > a < b < c Por otra parte = < Por ejemplo para = = < 5 5 De aquí cocluimos que c <, ya que es igual a + más u º meor que. Es decir: a < b < c < Hemos demostrado que {a } tiee cota superior. Por el teorema, si es moótoa creciete y tiee cota superior, etoces es covergete y existe límite de su térmio eésimo: ( ) lím + y si existe le podemos dar u ombre, lo llamamos e. e = lím ( + ) =, PROBLEMAS DE APLICACIÓN Al resolver alguos problemas de igeiería se preseta ecuacioes como x + x = 0, se x x = 0, etre otras, que o tiee ua fórmula para resolverla y hay que buscar otros camios. Surge así métodos aproximados, uo de los cuales es el método iterativo de Picard que aproxima la solució de ua ecuació mediate ua sucesió que se acerca o tiede a dicha solució. Esta situació se preseta, por ejemplo, e el siguiete problema. Problema de la sooboya : Sea u submario que viaja siguiedo ua trayectoria parabólica y = x y ua sooboya (detector de soido e el agua) situada e el puto (, - ½). Se ecesita ecotrar el puto de máximo acercamieto (PMA) etre el submario y la sooboya, como muestra la figura. E realidad el problema cosiste e ecotrar las coordeadas del puto p de la parábola que miimiza la distacia D p D x Ese puto tiee coordeadas (x, y) = (x, x ) y la distacia D etre Extraído de Thomas / Fiey. Cálculo co Geometría Aalítica. Sexta edició. Ed. Addiso Wesley Iberoamericaa

12 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 p(x, x ) y (, - ½) es etoces fució de x: D(x) = 4 (( x ) + (x + ) = x + x 4x + 7 / 4 Para ecotrar los valores de x que hace míima la distacia, derivamos co respecto a x e igualamos a 0 (como aprediste e la uidad de máximos y míimos). D (x) = = 0 4x + 4x 4 4. x + x 4x + 7 / 4 4( x + x ) = 0 x + x = 0 Por el teorema del valor itermedio para fucioes cotiuas (lo vimos e la uidad ), podemos asegurar que hay por lo meos u valor de x etre 0 y que verifica esta ecuació, pues: Llamado h(x) = x + x h(x) es cotiua e [0; ] h(0) = h() = h(x) cambia de sigo e los extremos del itervalo, etoces el teorema del valor itermedio aplicado a h(x) garatiza que x (0; ) / h(x) = 0 Ya sabemos que existe por lo meos ua solució de la ecuació, pero cómo la ecotramos? Alguie podría respoder: co ua calculadora. Es ua respuesta válida, pero cómo hace la calculadora? Aquí viee e auxilio los métodos iterativos como el de Picard, que trabaja co ua sucesió de úmeros que se acerca cada vez más al valor de la solució. Método de Picard: Ecotrar las raíces de la ecuació f(x) = 0, es equivalete a ecotrar la solució de f(x) + x = x. A esta ueva fució la llamamos g(x) Para que el método sea aplicable, se ecesita que g(x) cumpla co ua restricció: Si la raíz perteece al itervalo (a, b), debe ser g (x) < x (a, b) E uestro o podemos hacer directamete g(x) = x = x pues: Para x (0; ), g (x) = x (0; ) y o cumple la restricció g (x) <. Decir x + x = 0, equivale a x (x +) = = x, co g(x) = x = x + x + El método cosiste e dar a x u valor iicial x 0 e el domiio de g(x), y aplicarle sucesivamete la fució g: x = g(x 0 ), x = g(x ), x = g(x ),... E uestro caso hacemos x 0 = Se obtiee así ua sucesió de valores de x que se acerca (coverge) hacia el valor buscado. Apliquemos el método comezado co x 0 = X g(x) x 0 = x = 0,5 x = 0,5 x = 0,8 x = 0,8 x = 0, x = 0, x 4 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0, Los dos últimos valores de x so iguales hasta la 8ª cifra decimal, por lo que podemos cosiderar resuelto lo que se pedía.

13 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 Respuestas Ej. propuesto (Págia ) a = ; a + = a + a = + = ; a = + / = 5 / ; a 4 = 5 / + / = 7 / 6 ; a 5 = 7 / 6 + / 4 = 7 / ; {a } = {, 5 /, 7 / 6, 7 /, } Volver Ej. propuesto (Págia 4): d = + Volver Ej. propuesto (Págia 4) a) = {,, /, /, /5, /, /7, } b) + ( ) = {,, /, /, /5, /, /7, } c) { 4} = { 4, 4, 4, 4, } Volver a) b) c) a a a Ej. propuesto 4 (Págia 5) a =? a + = + + = ( ) (+)? ( ) (+) 9? 4 9 < 4 a < a + la sucesió es moótoa creciete Volver E las sucesioes o se puede calcular el límite para tediedo a algú valor fiito a, porque auque podemos elegir u ε arbitrariamete pequeño alrededor de L, o podemos ecotrar u etoro reducido de cetro a y radio δ, ya que es atural. Volver Ej. propuesto 5 (págia 8) a), b) y c) so covergetes; d) divergete d) lím + = lím + = lím + = la sucesió es divergete Volver Ej. propuesto 6 (págia 0): V o F a) F, b) F, c) V, d) F Volver

14 Uiversidad Nacioal de Cuyo Aálisis Matemático I Facultad de Igeiería Ig. Gladys Astargo, 007 Bibliografía Purcell / Varberg / Rigdo (00). Cálculo. Editorial Pretice Hall. 8ª edició. Rabuffetti Hebe. (986). Itroducció al Aálisis Matemático. Editorial Ell Ateeo, 0ª edició Sadosky / Guber. (004) Elemetos de Cálculo Diferecial e Itegral. Editorial Alsia, ª edició. Spivak Michael. (999). Cálculus. Editorial Reverté ª edició Stewart James. (006). Cálculo Diferecial e Itegral. Editorial Thomso ª edició Thomas / Fiey. Cálculo (ua variable). Editorial Addiso Wesley-Logma 4