7. Desarrollo del Identificador Gráfico de Bifurcaciones

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1 78 7. Desarrollo del Idetificador Gráfico de Bifurcacioes El objeto de este capítulo es expoer la filosofía utilizada para el desarrollo del idetificador Gráfico de Bifurcacioes. El IGB es ua herramieta computacioal que se preseta como u toolbox para MATAB. Su objetivo es localizar putos de bifurcació por métodos idirectos (cotiuació), e idetificar bifurcacioes de codimesió por métodos directos (fució de prueba). os algoritmos utilizados e cada uo de estos métodos se expoe e el capítulo 6. E los capítulos 8 y 9, que so los mauales de referecia y de usuario del IGB, se puede cosultar tato el maejo del software como las características de cada ua de las fucioes que lo compoe. a iterfaz del IGB ha sido diseñada de forma que el usuario pueda cofigurar el sistema e estudio e ua sola patalla. Básicamete la iterfaz está costituida por los espacios para la referecia de los archivos dode se ecuetra defiidas las fucioes (campos de texto), los botoes de fucioes y las opcioes del meú. Figura 7. Iterfaz del IGB

2 79 Para eteder la forma como ha sido cocebido el IGB, es ecesario coocer e detalle las variables ivolucradas e el aálisis de u sistema diámico y cada uo de los métodos (directos e idirectos) utilizados para la idetificació de bifurcacioes. Esto desde la perspectiva del programador. 7. Variables del IGB Ates de abordar el estudio de los métodos para la detecció e idetificació de las bifurcacioes, es ecesario hacer ua presetació de las variables utilizadas por el IGB. Estas variables puede dividirse e dos tipos: exteras e iteras. a variables exteras so las que el usuario puede modificar. Hace parte de la iterfaz del toolbox y se preseta como campos de texto editables. Por otro lado, las variables iteras so variables de cotrol para el correcto fucioamieto del programa. El usuario puede modificarlas a través de los meús. Como se observa e la iterfaz del IGB (Figura 7.), las variables exteras se localiza alrededor de la gráfica. A la derecha se está las variables de tipo vector (Figura 7.), y debajo las variables tipo fució (Figura 7.3). 7.. Variables IGB exteras tipo vector ímites de la gráfica PIM. PIM especifica los límites de la gráfica dode se va a mostrar los putos fijos y los equilibrios. PIM es ua matriz x o 3x que cotiee los límites de cada uo de los ejes, e forma de vectores fila. E el caso de ua gráfica D, cotedrá los límites de los ejes horizotal y vertical. Para 3D cotedrá además los límites del eje trasversal. PIM=[h_if,h_sup; v_if,v_sup; t_if,t_sup].

3 80 Cada uo de los vectores fila que compoe la matriz PIM, se cosiga e su orde e los campos de texto editables marcados co X, Y y Z. El campo Z solo se habilita cuado se plotea e 3D. Figura 7. Variables exteras tipo vector Tamaño de paso S. Permite especificar las distacias para calcular para determiar los putos a partir de los cuales se determiará los equilibrios o putos fijos. S es u vector de dos o tres dimesioes cuyos compoetes idica las distacias sobre cada uo de los ejes. Precisió PREC. Permite especificar el úmero de cifras sigificativas después del cero para la presetació de los datos. Por defecto este úmero es 4. Medidas de covergecia DETA y EPSION. Como se ha estudiado e el capítulo 5, se establece dos medidas que determia la covergecia del algoritmo, defiidas como, η < δ,, + η f( x) + f( x) < ε (7.) Dode, tal como se explica e el capítulo 5, η j es la orma del desplazamieto y f(x j ) es la orma de la fució. DETA es el valor para el criterio de covergecia por tamaño de paso, y EPSION criterio por valor de la fució.

4 8 Número de iteracioes totales ITTOT e iiciales ITINI. E el método de detecció de bifurcacioes por el método de la fuerza bruta (simulació pura), el usuario puede especificar el úmero de iteracioes totales que desea ejecutar el sistema a partir de u puto iicial. Así mismo tiee la posibilidad de o graficar las iteracioes iiciales. Por defecto estos valor so de 00 para ITTOT y de 50 para ITINI. Toleracia TO. E alguos métodos, como el de Seidel por ejemplo, el criterio de covergecia se da mediate el tamaño del paso úicamete, tal como se explica e el capítulo 5. Por defecto este valor TO es 0^(-5). Posició de los parámetros idepedietes PPAR. Este es u vector que cotiee la posició de los parámetros idepedietes e el vector y = (x, α), e particular las del vector de etrada Y0. Estas posicioes debe mateerse e la defiició de las fucioes y sus derivadas: FUN, GRADFUN, FUNP, GRADFUNP. Es decir, PPAR o puede modificarse si modificar tambié estos archivos. Posició de las variables de ploteo PPT. Este vector cotiee las variables (x, α) que se va a graficar e su respectivo orde x, y, z. Debe aotarse que el programa sólo recooce o 3 dimesioes para graficar (Ver Maual de Referecia). 7.. Variables IGB exteras tipo fució Figura 7.3 Variables exteras tipo fució Fució cotiua FUN. Archivo de la fució cotiua. Describe la fució de estudio de la forma &x = f(y). Su sitaxis es XP=FUN(Y)

5 8 dode el vector de etrada y = (x, α) cotiee las variables de estado x = [x, x,..., x ], y los parámetros idepedietes α = [α, α,..., α m ]. y = [y, y,..., y +m ] y = [x, x,..., x, α, α,..., α m ] El vector de etrada y es de dimesió + m, y cotiee variables de estado y m parámetros idepedietes, dode =,,... y m = 0,,,... El vector de respuesta &x es de dimesió, y cotiee el estado de las variables de estado. x& = [ x&, x&,..., x& ]. Tal como se explica e los capítulos 5 y 6, la defiició de esta fució FUN, es aplicable a sistemas diámicos cotiuos y discretos. Veamos por ejemplo el siguiete sistema diámico cotiuo defiido como u archivo.m para MATAB. fuctio yp=fold(y) x=y();alfa=y(); yp=alfa + x^; Fució 7. Fució FOD a iformació sobre el procedimieto para geerar u archivo FUN, se ecuetra e el Maual del Usuario y tambié puede cosultarse e el código mismo de la fució. Jacobiao cotiuo GRADFUN. Archivo del Jacobiao de la fució cotiua. Este archivo cotiee el Jacobiao de la fució FUN. Su sitaxis es, [J,ValPr,z]=GRADFUN(Y) El vector de etrada y = (x, α), tal como se describió ateriormete, cotiee las variables de estado x = [x, x,..., x ], y los parámetros idepedietes α = [α, α,..., α m ]. El vector de etrada y es de dimesió + m.

6 83 y = [y, y,..., y +m ] y = [x, x,..., x, α, α,..., α m ] El Jacobiao J es ua matriz x que evalúa las derivadas de las fucioes del vector de fucioes descrito e FUN, respecto a la variables de estado. J = M M O M Fialmete, ValPr cosiga los valores propios de J evaluados e y, y la matriz Z cosiga las derivadas de la fució FUN respecto a los parámetros idepedietes. z = M M O m m M m Por ejemplo, fuctio [J,ValPr,z]=foldj(y) x=y(); alfa=y(); J=*x; ValPr=eig(J); z=; Fució 7. Jacobiao de la fució FOD FODJ

7 84 Fució parametrizada FUNP. Este archivo cotiee la fució cotiua de estudio e forma parametrizada x& p = F(y). Su sitaxis es XPP=FUNP(Y) El vector de etrada y es de dimesió + m +. Cotiee variables de estado, m parámetros idepedietes, codicioes iiciales de las variables de estado, m codicioes iiciales de los parámetros idepedietes y u parámetro adicioal s que es la logitud de arco. Es decir, y = [y, y,..., y +m+ ] y = [x, x,..., x, α, α,..., α m, x 0, x 0,..., x 0, α 0, α 0,..., α 0m, s] El vector de respuesta x& p es de dimesió + m, y cotiee el estado de las variables de estado más m fucioes adicioales que parametriza la fució respecto a la logitud de arco s. Tal como se ha explicado e el capítulo 6, para la parametrizació por logitud de arco, se agrega a la fució cotiua u poliomio p. E el caso de ua fució de k parámetros idepedietes, se agregará k poliomios. 0 = p k (x, α, s) = ( x i x0 i ) + (α k α 0k ) s, k =,,..., m (7.) i= Tal como se explica e el capítulo 6, la fució queda extedida así, x& p = F(x, α, s) = f ( x, α) = 0, k =,,..., m (7.3) pk ( x, α, s) Por ejemplo, Fució 7.3 Fució FOD parametrizada FODP fuctio ypp=foldp(y) x=y(); alfa=y(); x0=y(3); alfa0=y(4); h=y(5); ypp=[alfa + x^;(x-x0)^ + (alfa-alfa0)^ - h^];

8 85 Jacobiao parametrizado GRADFUNP. Este archivo cosiga el Jacobiao de la fució parametrizada FUNP, de la misma forma e que GRADFUN cosiga el Jacobiao de la fució cotiua FUN. Su sitaxis es JP=GRADFUNP(Y) El vector de etrada y es de dimesió + m +. Cotiee variables de estado, m parámetros idepedietes, codicioes iiciales de las variables de estado, m codicioes iiciales de los parámetros idepedietes y u parámetro adicioal s que es la logitud de arco. Es decir, y = [y, y,..., y +m+ ] y = [x, x,..., x, α, α,..., α m, x 0, x 0,..., x 0, α 0, α 0,..., α 0m, s] El Jacobiao de la fució parametrizada Jp es ua matriz (+m) x (+m) que evalúa las derivadas de las fucioes del vector de fucioes descrito e FUNP, respecto a la variables de estado y a los m parámetros idepedietes. J z Jp = dp (7.4) Dode el Jacobiao J es ua matriz x que evalúa las derivadas de las fucioes del vector de fucioes descrito e FUN, respecto a la variables de estado. J = M M O M a matriz z cosiga las derivadas de la fució FUN respecto a los parámetros idepedietes.

9 86 z = M M O m m M m Y la matriz dp evalúa las derivadas de la matriz de los m poliomios de parametrizació de la fució parametrizada FUNP. dp dp dp = M dp m dp dp M dp m O dp dp M dp m dp dp M dp m dp dp M dp m O dp m dp m M dp m m Por ejemplo, Fució 7.4 Jacobiao de la fució FOD parametrizada FODJP fuctio Jp=foldjp(y) x=y(); alfa=y(); x0=y(3); alfa0=y(4); h=y(5); J=foldj(y); z=; dp=[*(x-x0),*(alfa-alfa0)]; Jp=[J,Z;dP]; Fució discreta FUND. Este archivo cotiee la fució discreta y k+ a g(y k ). a sitaxis de la fució es, YP=FUND(Y)

10 87 El vector de etrada y k es de dimesió + m, y cotiee variables de estado y m parámetros idepedietes. Es decir, y k = [y, y,..., y +m+ ] y k = [x, x,..., x, α, α,..., α m, x 0, x 0,..., x 0, α 0, α 0,..., α 0m, s] El vector de respuesta y k+ es de dimesió, y cotiee el estado de las variables de estado. y k+ = [x, x,..., x ] Por ejemplo, fuctio yp=foldd(y) x=y(); alfa=y(); yp=alfa+x+x^; Fució 7.5 Fució FOD discreta FODD Jacobiao discreto GRADFUND. Archivo del Jacobiao de la fució discreta. Este archivo cotiee el Jacobiao de la fució FUND. Su sitaxis es, [J,ValPr] = GRADFUND(Y) El vector de etrada y = (x, α), tal como se describió ateriormete, cotiee las variables de estado x = [x, x,..., x ], y los parámetros idepedietes α = [α, α,..., α m ]. El vector de etrada y es de dimesió + m. y = [y, y,..., y +m ] y = [x, x,..., x, α, α,..., α m ] El Jacobiao J es ua matriz x que evalúa las derivadas de las fucioes del vector de fucioes descrito e FUND, respecto a la variables de estado.

11 88 J = M M O M ValPr cosiga los valores propios de J evaluados e y. Por ejemplo, Fució 7.6 Jacobiao de la fució FOD discreta FODJP fuctio [J,ValPr]=foldjd(y) x=y(); alfa=y(); J=+*x; ValPr=eig(J); Fucioes de prueba TFUN y TFUND. Hay dos archivos de fucioes de prueba que viee co el IGB, TFUN para sistemas diámicos cotiuos y TFUND para sistemas diámicos discretos. a sitaxis de estos archivos es: tf=tfun(eig,eig) tf=tfund(eig,eig) os argumetos de etrada eig, ieg so los valores propios (o multiplicadores) del equilibrio o puto (o puto fijo) de los dos putos e medio de los cuales se quiere verificar la aparició de ua bifurcació. El método directo basado e la fució de prueba, tal como se expoe e el capítulo 6, solo requiere de estos dos vectores de etrada. El archivo de la fució de prueba retora tf, u flag que idica: tf Tf 0 No hay bifurcació 4 Bifurcació flip Bifurcació fold e Bifurcació de 5 sistema cotiuo Neimarck Sacker Bifurcació Hopf 6 Bifurcació descoocida 3 Bifurcació fold e sistema discreto

12 89 Por ejemplo, e el IGB se ha implemetado por defecto las siguietes, Fució 7.7 Fució de prueba TFUN fuctio tf=tfu(eig,eig) tf=0; if isreal(eig) & isreal(eig) if (eig*eig)<=0 tf=; %Bifurcació FOD ed else if (sum(real(eig))*sum(real(eig)))<=0 tf=; %Bifurcació HOPF ed ed fuctio tf=tfud(eig,eig) Fució 7.8 Fució de prueba TFUND if ~prod(size(eig)==size(eig)) tf=6; %bifurcació DESCONOCIDA else if (orm(eig())< & orm(eig())>=)... (orm(eig())>= & orm(eig())<) if isreal(eig) & isreal(eig) if eig>0 & eig>0 tf=3; %Bifurcació FOD dis elseif eig>0 & eig>0 tf=4; %Bifurcació FIP else tf=6; %Bifurcació DESCONOCIDA ed elseif ~isreal(eig) & ~isreal(eig) tf=5; %Bifurcació de NEIMARK-SACKER else tf=6; %Bifurcació descoocida ed ed ed

13 Variables IGB iteras as variables se utiliza para llevar u cotrol sobre las opcioes que el usuario seleccioa e los meús del IGB. Figura 7.4 Meú Cofiguració Variable del tipo de sistema FAG_SIS. Esta variable toma su valor de acuerdo a la selecció e el meú Sistema del IGB. os valores de FAG_SIS so: FAG_SIS Sistema cotiuo Sistema discreto Variable del tipo de simulació FAG_SIM. Esta variable toma su valor de acuerdo a la selecció e el meú Simulació del IGB. os valores de IG_SIM so: FAG_SIM Retrato de fase Diagrama de bifurcació 3 Gráfica de tiempo Variable del método idirecto FAG_MET. Esta variable toma su valor de acuerdo a la selecció e el meú Método del IGB.

14 9 Figura 7.5 Meú Método os valores que toma esta variable so: FAG_MET FAG_MET Método de la simulació o de fuerza bruta 3 Cotiuació basada e el método de Newto Raphso o uiputo Método de Newto Raphso co múltiples putos o multiputo 4 Cotiuació basada e el método secate 5 Cotiuació basada e el método de Seidel 6 Cotiuació co predictor secate si parametrizació 7 Cotiuació co predictor secate co parametrizació 8 Cotiuació co predictor tagete si parametrizació 9 Cotiuació co predictor Tagete co parametrizació Variable del método directo o fució de prueba FAG_TFUN. Esta variable cambia de valor cada vez que he hace clic sobre la opció Fució de Prueba del meú Método (Figura 7.5). os valores de FAG_TFUN so: FAG_TFUN 0 Si fució de prueba Co fució de prueba

15 9 Además de estas, existe otras variables iteras relacioadas co la presetació de resultados e patalla, e particular co la gráfica. Estas variables puede estudiarse co detalle e el Maual del Usuario. 7. El Método de la fuerza bruta El método de la fuerza bruta cosiste e la localizació de u úmero determiado de putos del sistema, mediate la ejecució de la fució que lo describe. Este método tambié es coocido como el método de la simulació. a sitaxis para la simulació es: as variables ivolucradas so: yp=feval(fun,y0); Variable de etrada FUN y0 Archivo de la fució Vector iicial Variable de retoro yp Image del puto de etrada y0 Si el sistema es cotiuo, el siguiete puto iicial se calcula así: y0=y0+s*yp; Si el sistemas es discreto, se procede simplemete así: y0=yp; Cuado este método es utilizado para la detecció de bifurcacioes e ua regió defiida por los límites de la gráfica, la sitaxis es la siguiete:

16 93 flag_stop=fbruta(pim,fun,y0,ppt,ppar,s,ittot,itini,prec,flag_sis) as variables ivolucradas so: PIM FUN Y0 PPT PPAR s ITTOT ITINI PREC Variable de etrada flag_sis Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució cotiua Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Iteracioes totales Iteracioes iiciales Número de decimales sigificativos Tipo de sistema. -cotiuo, -discreto. Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo Mediate este método se calcula ITTOT putos a partir del puto iicial. os primeros ITINI putos o so tomados e cueta i para el ploteo i su registro. Cuado se ha hecho las iteracioes establecidas por el usuario, el la compoete del eje horizotal e la gráfica da u salto s y se calcula así u uevo valor iicial. Observe que el vector s juega u doble papel e los sistemas diámicos cotiuos. Este método permite la localizació de equilibrios y ciclos estables. A diferecia de los otros métodos para la detecció de bifurcacioes, o es posible idetificar la estabilidad de los equilibrios. Para la localizació de equilibrios y ciclos iestables, es ecesario trasformar la defiició del sistema, tal como se explica e el capítulo 5. Es decir, para sistemas cotiuos se debe cambiar el sigo del tiempo, y e los sistemas discretos se debe ivertir la fució.

17 El Método de Newto Raphso Para la localizació de equilibrios e sistemas diámicos cotiuos y discretos de la forma &x = f (x), x R (7.5) Se ha implemetado e el IGB el método de Newto Raphso. Este método se ecuetra descrito e el Maual de Referecia bajo la fució NEWTON. Si embargo, para la idetificació de bifurcacioes e sistemas multiparamétricos, este sistema ha sido adecuado de la forma presetada por la fució NEWTONMP. A cotiuació se preseta ua descripció de los métodos basados e el método de Newto Raphso para la localizació de equilibrios (y putos fijos) para la posterior detecció de bifurcacioes Cálculo de la primera solució El problema de la idetificació de bifurcacioes, se iicia calculado el primer equilibrio, es decir, la primera solució (x, α ) del sistema f (x, α) = 0, x R, α R m (7.6) Para esto se ha implemetado u método basado e el Método de Newto Raphso, expuesto e el capítulo 5. Este método, deomiado Método de Newto Raphso Multiparamétrico se preseta e detalle e el Maual de Referecia, bajo el ombre de NEWTONMP. a sitaxis de esta fució es la siguiete, [X,F,k,cod]=ewtomp(FUN,GRADFUN,Y0,PPAR,DETA,EPSION) as variables ivolucradas so:

18 95 FUN Variable de etrada GRADFUN Y0 PPAR DETA EPSION Archivo de la fució cotiua Archivo del Jacobiao de FUN Vector iicial (X,APHA) Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Criterio de covergecia por tamaño de paso Criterio de covergecia por valor de la fució Variable de retoro X F k cod Equilibrio ecotrado Valor de la fució evaluada e el equilibrio X Número de iteracioes Codició de la salida. (Ver Maual del Referecia) Para determiar el resto de los equilibrios (o putos fijos), utilizado el método de Newto Raphso, e el IGB se ha implemetado dos alterativas: úico puto y múltiples putos Solucioes a partir de u úico puto Ua vez se ha calculado el primer equilibrio o puto fijo por el método de Newto - Raphso, se procede a calcular las demás solucioes. Para esto el IGB cueta las fucioes PUNI para sistemas diámicos cotiuos, y PUNID para sistemas diámico discretos, cuyas descripcioes se ecuetra e el Maual de Referecia. a sitaxis de estas fucioes es: flag_stop=pui(pim,fun,gradfun,tfun,y0,ppt,ppar,s,... DETA,EPSION,PREC) flag_stop=puid(pim,fun,gradfun,gradfund,tfun,y0,ppt,ppar,... s,deta,epsion,prec)

19 96 PIM FUN Variable de etrada GRADFUN GRADFUND TFUN Y0 PPT PPAR S DETA EPSION PREC Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució cotiua Archivo del Jacobiao de FUN Archivo del Jacobiao de FUND. Solo para PUNID, se utiliza juto co TFUN. Archivo de la fució de prueba. De uso opcioal. Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por tamaño de paso Criterio de covergecia por valor de la fució Número de decimales sigificativos Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo Esta fució calcula la primera solució a partir del puto iicial Y0, y a partir de este puto aproxima la siguiete dado u salto S. Este es u procedimieto de cotiuació e el que se obtiee todos los equilibrios (o putos fijos) sobre u ramal. El programa retora la última solució calculada Y, y el booleao flag_stop que idica si se debe cotiuar y deteer el ploteo. El proceso de ploteo se detiee cuado o es posible ecotrar ua solució del sistema descrito e FUN, o cuado se ha producido algú error durate su localizació. a diferecia etre estas dos fucioes radica e la forma de iterpretar la estabilidad de la solució ecotrada. E PUNI se comprueba si los valores propios de la solució perteece al semiplao egativo (equilibrio estable), mietras que e PUNID se comprueba si perteece al círculo uitario (puto fijo estable).

20 Solucioes a partir de múltiples putos El método de úico puto y cualquier otro procedimieto que implique cotiuació, solo puede localizar los equilibrios o putos fijos que perteece a la misma rama. Por esta razó se ha implemetado métodos de múltiples putos para localizar todas las solucioes a partir múltiples putos. Para el estudio de bifurcacioes e sistemas cotiuos está la fució PMU, y para sistemas discretos la fució PMUD. Estas fucioes se ecuetra expuestas co detalle e el Maual de Referecia. a sitaxis de estas fucioes es: flag_stop=pmul(pim,fun,gradfun,y0,ppt,ppar,s,deta,epsion,prec) flag_stop=pmuld(pim,fun,gradfun,gradfund,y0,ppt,ppar,... s,deta,epsion,prec) as variables ivolucradas e esta fució so: PIM FUN Variable de etrada GRADFUN GRADFUND Y0 PPT PPAR s DETA EPSION PREC Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució cotiua Archivo del Jacobiao de FUN Archivo del Jacobiao de FUND. Solo para PUNID, se utiliza juto co TFUN. Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por tamaño de paso Criterio de covergecia por valor de la fució Número de decimales sigificativos Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo

21 98 El pricipio de operació es la ubicació de putos de iicio para el método de Newto Raphso e todo el espacio de la gráfica, e dos o tres dimesioes. uego, a partir de cada puto, iteta localizar u equilibrio cercao. Esta fució es útil cuado los equilibrios ubicados e el espacio, coforma ramales complejos que o podría ser idetificados co los métodos de cotiuació. Por su carácter, es u método leto que cosume muchos recursos computacioales. Además, co este método, o es posible utilizar ua fució de prueba para idetificar directamete ua bifurcació. 7.4 Método Secate Como alterativa al método de Newto, el IGB ha implemetado el método secate para la determiació de putos de equilibrio. Tal como se explica e el capítulo 5, mietras que el método de Newto Raphso requiere de la evaluació de dos fucioes: la fució del sistema y su Jacobiao, el método secate solo ecesita la fució del sistema para determiar sus raíces. Como e el caso del método de Newto Raphso, e el IGB se ha implemetado como herramieta el método secate clásico para resolver sistemas de la forma (7.5). Este método se ecuetra bajo la fució de ombre SECANT, y puede estudiarse co detalle e el Maual de Referecia. Si embargo, la determiació de los equilibrios del sistema (7.6) ha requerido el desarrollo del método del sistema secate multiparamétrico. Este método se ecuetra bajo la fució SECANTMP, y que tambié puede estudiarse e el Maual de Referecia. a sitaxis de esta fució es [X,F,k,cod]=secatmp(FUN,Y0,PPAR,S,DETA,EPSION) as variables ivolucradas e esta fució so:

22 99 FUN Variable de etrada GRADFUN Y0 PPAR S DETA EPSION Archivo de la fució cotiua Archivo del Jacobiao de FUN Vector iicial [X,APHA) Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por tamaño de paso Criterio de covergecia por valor de la fució Variable de retoro X F k cod Equilibrio ecotrado Valor de la fució evaluada e el equilibrio X Número de iteracioes Codició de la salida. (Ver Maual del Referecia) a pricipal limitate del método secate, es que su uso se restrige a sistemas diámicos de dos dimesioes. Cuado el método secate se utiliza para la idetificació de los equilibrios a lo largo de u ramal (cotiuació) e u sistema diámico cotiuo, la fució utilizada es PSECANT y e sistemas discretos es PSECANTD (Maual de Referecia). a sitaxis de estas fucioes so: flag_stop=psecat(pim,fun,gradfun,tfun,y0,ppt,ppar,s,... DETA,EPSION,PREC) flag_stop=psecatd(pim,fun,gradfund,tfun,y0,ppt,ppar,s,... DETA,EPSION,PREC) as variables ivolucradas e estas dos fucioes so:

23 00 PIM FUN Variable de etrada GRADFUN GRADFUND TFUN Y0 PPT PPAR s DETA EPSION PREC Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució cotiua Archivo del Jacobiao de FUN Archivo del Jacobiao de FUND Archivo de la fució de prueba Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por tamaño de paso Criterio de covergecia por valor de la fució Número de decimales sigificativos Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo os archivos de los Jacobiaos GRADFUN y GRADFUND se utiliza para evaluar la aturaleza del equilibrio o puto fijo y o para calcularlo, por lo cual su uso es opcioal. Si se utiliza fució de prueba TFUN, cuyo uso es tambié opcioal, si es ecesario usar GRADFUN y GRADFUND. 7.5 Método de Seidel Tal como se explica e el capítulo 5, la forma para localizar putos fijos e sistemas diámicos discretos, si cambiar la defiició del sistema, es mediate el método de Seidel. E el IGB se ha implemetado dos métodos uméricos. El primero es el método de Seidel clásico, que se emplea como herramieta para la localizació de equilibrios e sistemas diámicos discretos de la forma x a g(x), x R (7.7)

24 0 Este método se ecuetra bajo el ombre de SEIDE, y puede estudiarse e el Maual de Referecia. Al igual que e los casos ateriores, para la detecció de bifurcacioes ha sido ecesario desarrollar u método de Seidel multiparamétrico que pueda resolver sistemas de la forma x a g(x, α), x R, α R m (7.8) Este método se ecuetra implemetado e la fució SEIDEMP (Maual de Referecia). Así mismo es el método adecuado para la localizació de putos fijos e sistemas multiparamétricos. Su sitaxis es: [X,F,k,cod]=seidelmp(FUN,X,PPAR,TO) as variables ivolucrada so: FUN Y0 PPAR TO Variable de etrada Archivo de la fució cotiua Vector iicial [X,APHA) Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Criterio de covergecia por toleracia Variable de retoro X F k cod Equilibrio ecotrado Valor de la fució evaluada e el equilibrio X Número de iteracioes Codició de la salida. (Ver Maual del Referecia) Cuado este método es usado para la localizació de putos de bifurcació, la fució utilizada es

25 0 flag_stop=pseidel(pim,fund,gradfund,tfun,y0,ppt,ppar,s,to,prec) as variables ivolucradas so: PIM FUND Variable de etrada GRADFUND TFUN Y0 PPT PPAR s TO PREC Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució discreta Archivo del Jacobiao de FUND Archivo de la fució de prueba Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por toleracia Número de decimales sigificativos Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo El método de Seidel solo se utiliza para sistemas diámicos discretos y solo puede detectar putos fijos estables. Para la detecció de putos fijos iestables, se debe ivertir la fució que defie el sistema discreto. 7.6 Métodos de Cotiuació Se puede utilizar el mismo Método de Newto para el cálculo de las demás solucioes, pero e los putos de bifurcació el Jacobiao de la fució es sigular y o es posible hallar más solucioes a partir de este puto. Tal como se aota e el capítulo 6, los métodos de cotiuació desarrollados e el presete trabajo so los basados e los métodos de predictor corrector sobre el sistema diámico cotiuo,

26 03 f (x, α) = 0, x R, α R (7.9) que como se ha visto ateriormete, es ua ecuació geérica aplicable tambié a sistemas diámicos discretos. E el IGB se ha implemetado los métodos de cotiuació co predictor secate y predictor tagete, co y si parametrizació. Para la correcció se utiliza e todos los casos el método de Newto Raphso multiparamétrico. Tal como se ha estudiado e el capítulo 6, la parametrizació permite la defiició de ua métrica sobre el ramal de equilibrios (o putos fijos), y de esta forma es posible pasar sobre las sigularidades de los putos de bifurcació de ua maera limpia y rápida. a parametrizació se realiza por logitud de arco, auque cabe la posibilidad de usar cualquier otro tipo de parametrizació. Así mismo, e estos métodos de cotiuació se ha implemetado u algoritmo para el cotrol de paso etre equilibrio y equilibrio del mismo ramal. De esta forma, cuado el equilibrio que se predice está cerca del siguiete equilibrio (pocas iteracioes para la correcció) el tamaño de paso se aumeta, y lo cotrario. Estos métodos se describe a cotiuació y se detalla e el Maual de Usuario Predictor secate E el caso de cotiuació co predictor secate a partir de u puto iicial y 0, es ecesario calcular ua seguda solució y. Esta seguda solució se calcula sumado u paso s al puto iicial: y = y 0 + s El paso s es u vector del mismo tamaño de y 0 y y. a fució que implemeta el método de cotiuació co predictor secate y corrector basado e el método de Newto Raphso multiparamétrico es CSC e el caso de los sistemas diámicos cotiuos, y CSCD e el caso de los discretos (Maual de Referecia). as sitaxis so:

27 04 flag_stop=csc(pim,fun,gradfun,tfun,y0,ppt,ppar,s,deta,epsion,prec) flag_stop=cscd(pim,fun,gradfun,gradfund,tfun,y0,ppt,ppar,s,... DETA,EPSION,PREC) as variables ivolucradas e estas dos fucioes so las siguietes: PIM FUN Variable de etrada GRADFUN GRADFUND TFUN Y0 PPT PPAR s DETA EPSION PREC Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució cotiua Archivo del Jacobiao de FUN Archivo del Jacobiao de FUND Archivo de la fució de prueba Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por tamaño de paso Criterio de covergecia por valor de la fució Número de decimales sigificativos Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo Co u tamaño de paso adecuado, el método de cotiuació co predictor secate puede seguir cualquier trayectoria e u ramal de equilibrios y putos fijos Predictor secate co parametrizació Ua forma de optimizar el desempeño del método de cotiuació co predictor secate, es agregado ua ecuació adicioal que parametrice el sistema. Para esto es ecesario que el usuario agregue dos fucioes adicioales FUNP y GRADFUNP. E la primera fució

28 05 debe agregar el poliomio de parametrizació. Auque se puede utilizar cualquiera de los métodos descritos e el capítulo 6, se recomieda la parametrizació por logitud de arco, co la cual se evita cualquier posible sigularidad e los putos de bifurcació. Este método se ha implemetado e la fució CSCP para sistemas cotiuos, y CSCPD para sistemas discretos. as sitaxis so: flag_stop=cscp(pim,fun,gradfun,funp,gradfunp,tfun,y0,ppt,ppar,s,... DETA,EPSION,PREC) flag_stop=cscpd(pim,fun,gradfun,funp,gradfunp,gradfund,tfun,y0,ppt,... PPAR,s,DETA,EPSION,PREC) as variables ivolucradas e estas dos fucioes so las siguietes: PIM FUN Variable de etrada GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y0 PPT PPAR s DETA EPSION PREC Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució cotiua Archivo del Jacobiao de FUN Archivo de la fució cotiua parametrizada Archivo del Jacobiao de FUNP Archivo del Jacobiao de FUND Archivo de la fució de prueba Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por tamaño de paso Criterio de covergecia por valor de la fució Número de decimales sigificativos Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo

29 Predictor tagete E el método de cotiuació co predictor tagete, sólo es ecesario calcular la primera solució y 0. a solució siguietes se estima a ua distacia s sobre ua líea tagete al ramal e el puto y 0, y = y 0 + s h dode h es el vector tagete al ramal e y 0. a fució que implemeta el método de cotiuació co predictor tagete y corrector basado e el método de Newto Raphso multiparamétrico es CTC e el caso de los sistemas diámicos cotiuos, y CTCD e el caso de los discretos (Maual de Referecia). as sitaxis so: flag_stop=ctc(pim,fun,gradfun,tfun,y0,ppt,ppar,s,deta,epsion,prec) flag_stop=ctcd(pim,fun,gradfun,gradfund,tfun,y0,ppt,ppar,s,... DETA,EPSION,PREC) as variables ivolucradas e estas dos fucioes so: PIM FUN Variable de etrada GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Y0 PPT PPAR s DETA EPSION PREC Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució cotiua Archivo del Jacobiao de FUN Archivo de la fució cotiua parametrizada Archivo del Jacobiao de FUNP Archivo del Jacobiao de FUND Archivo de la fució de prueba Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por tamaño de paso Criterio de covergecia por valor de la fució Número de decimales sigificativos

30 07 Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo Co este método se puede idetificar todos los putos de equilibrio e u ramal, siempre que la pediete de la recta tagete o pase por ifiito Predictor tagete co parametrizació Ua forma de optimizar el desempeño del método de cotiuació co predictor tagete, es co la parametrizació del sistema. Para esto se agrega a la fució del sistema u poliomio o fució de parametrizació e u archivo FUNP. Además el método requiere del Jacobiao de este uevo archivo GRADFUNP. Cuado se aaliza u sistema diámico cotiuo, el IGB utiliza la fució CTCP, e los sistemas discretos es la fució CCTPD. as sitaxis de estas fucioes so: flag_stop=ctcp(pim,fun,gradfun,funp,gradfunp,tfun,y0,ppt,ppar,s,... DETA,EPSION,PREC) flag_stop=ctcpd(pim,fun,gradfun,funp,gradfunp,gradfund,tfun,y0,ppt,... PPAR,s,DETA,EPSION,PREC) as variables ivolucradas so las siguietes: PIM FUN Variable de etrada GRADFUN FUNP GRADFUNP GRADFUND TFUN Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució cotiua Archivo del Jacobiao de FUN Archivo de la fució cotiua parametrizada Archivo del Jacobiao de FUNP Archivo del Jacobiao de FUND Archivo de la fució de prueba

31 08 Y0 PPT PPAR s DETA EPSION PREC Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por tamaño de paso Criterio de covergecia por valor de la fució Número de decimales sigificativos Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo 7.7 Fució de prueba El IGB permite la utilizació de ua fució de prueba para la localizació directa de las bifurcacioes. Este método directo, actúa juto co alguo de los métodos idirectos de cotiuació. Para cada tipo de sistema se ha desarrollado ua fució de prueba. E el los sistemas cotiuos es la fució TFUN, y e los discretos es la fució TFUND. a sitaxis de estas fucioes es: tf=tfu(eig,eig); tf=tfud(eig,eig) as variables ivolucradas so: eig eig Variable de etrada Valor propio de u equilibrio o puto fijo Valor propio de otro equilibrio o puto fijo Variable de retoro tf Idetificados del tipo de bifurcació.

32 09 tf 0 o hay bifurcació bifurcació FOD e sistemas cotiuos bifurcació HOPF 3 bifurcació FOD e sistemas discretos 4 bifurcació FIP 5 bifurcació NEIMARK-SACKER 6 bifurcació DESCONOCIDA Estas fucioes de prueba recibe los equilibrios (o putos fijos), determiados mediate alguo de los métodos implemetados e el IGB, y verifica si e medio de estos dos se preseta algua bifurcació. E el caso de los sistemas cotiuos verifica si uo se ecuetra a la derecha y otro a la izquierda del eje imagiario, y e el caso discreto si uo se ecuetra detro y otro fuera del círculo uitario. Depediedo del lugar e el plao R I por dode se haya atravesado, se determia el tipo de bifurcació, tal como se explica e los capítulos 3 y 4. El usuario puede cambiar la forma de hacer la detecció, pero debe coservar las variables de etrada y los valores de la variable de retoro tf. 7.8 Retrato de fase Además de las herramietas para detecció de bifurcacioes, el IGB ofrece la posibilidad de simular el comportamieto del sistema diámico cotiuo o discreto. a sitaxis de esta fució, deomiada rfase, es: flag_stop=rfase(pim,fun,y0,ppt,ppar,s,to,prec,flag_sis) as variables ivolucradas so: PIM Variable de etrada Matriz co los límites de la gráfica

33 0 FUN Y0 PPT PPAR s TO PREC flag_sis Archivo de la fució cotiua Vector iicial (X,APHA) Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por toleracia Número de decimales sigificativos Tipo de sistema. -cotiuo, -discreto. Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo Esta simulació puede apreciarse puto a puto. El usuario es libre de variar la velocidad de simulació (e el caso de los sistemas diámicos), y el puto iicial. 7.9 Gráficas de tiempo Ua de las ecesidades (o curiosidades) cuado se simula el comportamieto del sistema e su espacio de estados y parámetros, es el comportamieto de estas mismas variables e fució del tiempo. Por este motivo, a partir de la versió 5 del IGB, se cueta co la opció de hacer gráficas de tiempo. a sitaxis de esta fució, deomiada xvst, es: flag_stop=xvst(pim,fun,y0,ppt,ppar,s,to,prec,flag_sis) as variables ivolucradas so: PIM FUN Y0 Variable de etrada Matriz co los límites de la gráfica Archivo de la fució cotiua Vector iicial (X,APHA)

34 PPT PPAR s TO PREC flag_sis Vector de las variables de ploteo Vector co las posicioes de los parámetros idepedietes Tamaño de paso Criterio de covergecia por toleracia Número de decimales sigificativos Tipo de sistema. -cotiuo, -discreto. Variable de retoro flag_stop Booleao que idica la deteció del ploteo Esta simulació puede apreciarse puto a puto. El usuario es libre de variar la velocidad de simulació (e el caso de los sistemas diámicos), el tiempo (e sistemas cotiuo) o úmero de iteracioes (e sistemas discretos), así como el puto iicial. E el Maual de Referecia, que se expoe e el capítulo siguiete, se describe co detalle cada ua de las fucioes del IGB. Detro de éstas muchas fucioes se ecuetra, por supuesto, las referidas e este capítulo, además de otras que puede cosiderarse como recurretes (o fudametales). Icluso el IGB cueta co fucioes que por algua razó o so utilizadas e la detecció de bifurcacioes pero que so de utilidad e el mometo de idetificar características del sistema e estudio.