Capítulo VII. Árboles y Grafos. Un árbol binario T es una estructura tal que:

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1 Capítulo VII Ároles y Graos VII.. VII... Deiniión. Ároles Binarios Deiniiones Un árol inario T es una estrutura tal que: T es vaío, ó T onsiste e un noo, llamao la raíz e T, y os ároles inarios llamaos el suárol izquiero y el suárol ereho e T. aa uno e los uales es un arol inario. Deimos que un noo v está en un árol T si v es la raíz ó v está (reursivamente) en uno e los suároles e T. Un noo en un árol se llama terminal u hoja, si sus suároles son vaíos. Un noo que no es terminal se llama interno. Ejemplo. Un árol se ilustra omo se muestra en la igura. La raíz es a y se une on os aros a las raíes e sus suároles. Proeieno reursivamente se iuja too el árol. Los noos, g, j, k, i son terminales, y los otros son internos. a e g h i j k

2 2 CAPÍTULO VII. ÁRBOLES Y GRAFOS Deiniión. En un árol inario no vaío T, el nivel ó prounia e un noo v en T se eine omo, si v es la raíz e T, más el nivel e v en el suárol e T que ontiene v, si v no es la raíz e T El k-ésimo nivel e un árol T es el onjunto e noos on nivel k en T. El nivel e un noo es tamién el número e aros en el amino ese el noo hasta la raíz. Deiniión. La altura e un árol inario no vaío T es si T tiene amos suároles vaíos, y es el máximo e las alturas e sus suároles no vaíos más, en aso ontrario. La altura e un árol inario T es tamién el máximo nivel e ualquier noo en el árol. Por ejemplo, en el árol e la igura arria, el nivel e a (en el árol ompleto) es, el nivel e e es 2, y el nivel e k es 4. La altura e ese árol es 4. Proposiión. Para too n, ualquier árol inario e altura h tiene a lo mas 2 h terminales. La pruea es por inuión sore la altura usano la einiión reursiva e árol y e altura. Esto implia la siguiente proposiión. Proposiión. Sea T un árol inario on n terminales. Entones la altura e T es al menos log 2 n. VII..2. Ejemplo: Árol e Orenamiento Deiniión. Un árol e orenamiento para una lista L[ : n ] e ítems ierentes es un árol inario tal que aa noo interno v tiene asoiaa una omparaión L[i] : L[j] ; el suárol izquiero e v orrespone al resultao L[i] < L[j], y el suárol ereho e v orrespone al resultao L[i] > L[j] e la omparaión. aa terminal w tiene asoiao un orenamiento L[i ] < L[i ] < L[i 2 ] < < L[i n ] el ual es el únio onsistente on los resultaos e la omparaiones realizaas en los anestros e w

3 VII.. ÁRBOLES BINARIOS 3 a: : a: a<< a: <a< : a<< <a< <<a <<a Ejemplo. El siguiente árol orrespone a orenamiento por inserión on 3 elementos a,, : Es posile que no exista un orenamiento onsistente on uno e los resultaos e una omparaión y las anteriores omparaiones. En ese aso esa ramiiaión se elimina. Por ejemplo, en la omparaión a : en la parte izquiera es reunante, a: : a: a<< a: a<< a: <a< <a< <<a : <<a y no es posile que omo resultao se tenga a > (por lo tanto no se tiene el suárol orresponiente). Tenieno esto en uenta, el número e terminales el árol e orenamiento ee ser exatamente n!. Proposiión. Cualquier árol e orenamiento para n ítems ierentes tiene una altura al menos log 2 (n!). Pruea. Por la proposiión anterior puesto que el número e noos terminales es n!. Proposiión. Calquier algoritmo asao en omparaiones, para orenar n ítems ierentes requiere en el peor e los asos al menos (n/2) log 2 (n/2) omparaiones. Pruea. Corresponiente a un algoritmo A para orenar poemos onstruir un árol T e orenamiento. La primera omparaión que realiza el algoritmo orrespone a la omparaión en la raíz. El suárol izquiero orrespone a la ontinuaión el algoritmo en el aso que L[i] < L[j], y el suárol ereho orrespone a la ontinuaión el algoritmo en el aso que L[i] > L[j]. Por la proposiión anterior, T tiene una altura e al menos log 2 (n!). Esto signiia que T tiene una hoja on nivel al menos log 2 (n!). Esto signiia que el orenamiento orresponiente a esa hoja requiere al menos log 2 (n!) omparaiones.

4 4 CAPÍTULO VII. ÁRBOLES Y GRAFOS Finalmente, tenemos la ota: log 2 (n!) = = log + log log log 2 n log 2 n/2 + log 2 ( n/2 + ) + + log 2 n ignorano términos log 2 n/2 + log 2 n/2 + + log 2 n/2 toos los términos son mayores que el primero = (n n/2 + ) log 2 n/2 el # e términos es n n/2 + = ( n/2 + ) log 2 n/2 (n/2) log 2 (n/2). VII..3. Una mejor aotaión e log 2 (n!). Esto sólo por inormaión a quien quiera ver omo integraión puee ser útil (no visto en lase). Proposiión. n log 2 (n/e) + log 2 e log 2 (n!) (n + ) log 2 ((n + )/e) + 2 log 2 (e/2). Pruea. Aotamos ln(n!). Se tiene que ln(n!) = n ln k. k= Usamos integrales para aotar esta suma omo (ver la igura) n n n n n Usano que n ln xx n ln k k= n+ ln xx = x ln x x + C 2 ln xx. se tiene entones n ln n n + ln(n!) (n + ) ln(n + ) (n + ) 2 ln y por lo tanto n ln(n/e) + ln(n!) (n + ) ln((n + )/e) + 2 ln(e/2). Reorano que log 2 X = ln X log 2 e tenemos que n log 2 (n/e) + log 2 e log 2 (n!) (n + ) log 2 ((n + )/e) + 2 log 2 (e/2).

5 VII.2. CÓDIGOS DE HUFFMAN 5 VII.2. Cóigos e Human En omputaión y omuniaiones igitales se usan representaiones para los ieretes símolos omo seuenias e s y s. Por ejemplo el estánar ASCII representa los aráteres alanumérios y otros espeiales omo seuenias ó aenas e 8 its. En omuniaiones es relevante tener representaiones ó óigos on longitues variales e tal manera que arateres más reuentes tengan óigos más ortos que arateres menos reuentes. Por ejemplo, tenemos la siguiente tala e aráteres, reuenias y óigos (en los ejemplos aquí, la reuenia va a ser un entero que se entiene omo un onteo; poría ser tamién un real entre y otenio iviieno por el onteo total): aráter reuenia óigo a e 9 5 Por ejemplo, si el mensaje es aaee entones su oiiaión orresponiente es El reeptor el mensaje entones ee eoiiarlo. Un óigo on longitues ijas no presenta prolema porque se toman grupos onseutivos e esa longitu ija y se usa la tala e óigos en orma inversa. Cóigos e longitu variale neesitarían una orma e iniar one omienza y termina un óigo lo ual requeriría el uso e más its. Una soluión son óigos lires e preijos, en que ningún óigo es preijo e otro. La oiiaión el ejemplo arria es lire e preijo. La eoiiaión es entones áil: se esanea el mensaje hasta que se enuentra el primer óigo, en lo que no hay amigüea, entones el seguno, y así onseutivamente. Un árol inario se puee usar para otener óigos e longitu variale y lires e preijo. Por ejemplo, el óigo e la tala arria se otuvo el siguiente árol inario: Los aráteres se asignan a los noos terminales e a y ramiiaiones a la izquiera y ereha se haen orresponer a y respetivamente. Entones el óigo e un aráter está ao por la aena e s y

6 6 CAPÍTULO VII. ÁRBOLES Y GRAFOS s que orrespone a las ramiiaiones que se siguen uano se reorre el árol ese la raíz hasta el noo terminal orresponiente a. Claramente los óigos otenios e esta manera son lires e preijo. Para una óigo que asigna óigo() al aráter, el valor el óigo que se usa minimizar es valor(óigo, C, ) = C longitu(óigo()) () Si el óigo proviene e un árol inario omo se ha esrito antes entones (para simpliar, ientiiamos un aráter on su terminal orresponiente): valor(t, C, ) = C nivel(, T) () Se usa entones minimizar este valor sore toos los ároles inarios posiles. A ontinuaión isutimos un algoritmo para resolver este prolema. VII.2.. Algoritmo e Human El algoritmo e Human enuentra un árol óptimo para un onjunto e arateres C y reuenias e la siguiente manera:. Determina os arateres x y y on mínimas reuenias (no son neesariamente únios porque varios elementos pueen tener la mínima reuenia, ó la seguna mínima). Estos x y y van a ser hermanos en un árol óptimo. 2. Se reemplazan x y y en C on un aráter nuevo z que tiene reuenia (z) = (x) + (y), y se enuentra reursivamente un árol óptimo T para C, moiiaos. 3. Un árol óptimo para C, original se otiene reemplazano el noo terminal e z on un noo on os hijos orresponientes a x y y. Aunque esrito reursivamente es áil e implementar más ien en orma iterativa. VII.2.2. Ejemplo Usamos el ejemplo C, arria para mostrar la ejeuión el algoritmo: aa olumna e la siguiente tala muestra arateres y reuenias (por ejemplo en la primera iteraión e y se onvierten en un arater que esriimos omo e on reuenia 4, y así suesivamente): ar re ar re ar re ar re ar re ar re a 45 a 45 a 45 a 45 a 45 a(()((e))) ()((e)) (e) 3 e 9 e 4 e 4 5

7 VII.2. CÓDIGOS DE HUFFMAN 7 (Es más áil en el talero mostrar esto on una ilustraión, pero más áil aquí ar la tala.) El árol orresponiente se muestra en la igura. No es el mismo que se ió antes, pero los óigos tienen las mismas longitues y al valor es óptimo. a e VII.2.3. Pseuoóigo (No se esriió en lase.) Asumimos un tipo e estrutura e atos noo, tal que si z es un noo, entones tiene inormaión asoiaa z.izq y z.er que apuntan a los hijos izquiero y erehos. Con esto tenemos la siguiente versión iterativa el algoritmo e Human: Human (C, ). n C (el tamaño e C) 2. Q onjunto e noos, uno por aa C 3. para i a n 4. rear nuevo noo z 5. sean x y y e minimas reuenias en Q 6. Q Q {x, y} 7. z.izq x 8. z.er y 9. (z) (x) + (y). Q Q {z}. evolver el unio elemento que quea en Q Note que al inal el únio elemento que quea en Q es la raíz el árol onstruío. VII.2.4. Justiiaión La justiiaión e que el algoritmo e Human onstruye un árol óptimo se asa en las siguientes oservaiones. Se an un onjunto e aráteres C y sus reuenias. Oservaión. Si x y y son os arateres e reuenias mínimas, entones existe un árol óptimo que los tiene omo hermanos (en noos terminales)

8 8 CAPÍTULO VII. ÁRBOLES Y GRAFOS T T x a y a x y Figura VII.: En T se interamian x y a. El árol y las otras asignaiones e arateres a terminales no amia. El valor e estos ároles es igual. Si igualmente se interamian y y, se otiene un árol óptimo on x y y omo hermanos (en noos terminales). Sea T un árol e óptimo valor para C,. Sean a y os noos terminales en T e mayor nivel (prounia). Si estos son x y y no hay naa que proar. Si no, supongamos que x no es ni a ni (ver igura). Entones si se interamian x y a se otiene otro árol (y óigo) T. Pero puesto que nivel(x, T) nivel(a, T) (por la seleión e a y ), y (x) (a) (por la seleión e x y y), se tiene que valor(t, C, ) valor(t, C, ) = = (nivel(x, T)(x) + nivel(a, T)(a)) (nivel(x, T )(x) + nivel(a, T )(a)) = (nivel(x, T)(x) + nivel(a, T)(a)) (nivel(a, T)(x) + nivel(x, T)(a)) = nivel(a, T)((a) (x)) nivel(x, T)((a) (x)) = (nivel(a, T) nivel(x, T)((a) (x)) porque amos atores el prouto son. Por otra parte valor(t, C, ) valor(t, C, ) porque T es óptimo. Por lo tanto valor(t, C, ) = valor(t, C, ), y así T es tamién óptimo. Si no es y entones estos tamién se pueen interamiar para otener e la misma manera un árol óptimo one x y y son hermanos. Oservaión. Sean x y y son os arateres e reuenias mínimas en C, ; reemplazamos x y y on un arater z que tiene reuenia (z) = (x) + (y) (los otros arateres y reuenias no amian); sean C, el onjunto e arateres y reuenias resultantes. Entones, si T es un árol óptimo para C, entones T es óptimo para C, one T es otenio omo se muestra en la igura: al noo e z se le agregan hijos que orresponen a los arateres x y y. Esto no es iíil e ver y se eja omo ejeriio.

9 VII.3. GRAFOS: CAMINOS MÁS CORTOS 9 T T z x z y Figura VII.2: Se enuentra un árol T óptimo para C,. Si en T se agregan al noo terminal e z os hijos terminales y se asignan a x y y, entones el árol T así otenio es óptimo para C,. VII.3. Graos: Caminos Más Cortos VII.3.. Graos Deiniión. Un grao G onsiste e un onjunto e noos ó vérties V(G) y un onjunto e aros ó aristas E(G) {{u, v} : u, v V(G), u v}. Si {u, v} E(G), entones se ie que u y v son ayaentes en G. (Aquí no permitimos múltiples aros entre noos, ni aros entre un noo y si mismo; aemás los aros no tienen ireión. En un ontexto más general one esos asos son permitios, los graos que estamos onsierano son llamaos graos simples y no irigios.) Deiniión. Un amino en un grao G es una seuenia e noos y aros v, e, v, e 2, v 2,..., v k, e k, v k tal que los e i = {v i, v i+ } son aros ierentes en E(G). Si los vérties son tamién ierentes, el amino e ie simple. Ver ejemplos aelante. Para los graos que onsieramos, para un amino es suiiente espeiiar su seuenia e vérties (la seuenia e arsitas está entones implíita). Los graos se usan para moelar muy ierentes relaiones (tanto e la via iaria, omo matemátias). Algunos ejemplos: () los noos son personas y los aros orresponen a la relaión e os personas onoerse mutuamente; (2) los noos son iuaes y los aros orresponen a la existenia e una arretera entre os iuaes; (3) los noos son onjuntos y los aros orresponen a una interseión no vaía entre un par e onjuntos; et. En Johnsonaugh se pueen enontrar muhos ejemplos.

10 VII.3.2. CAPÍTULO VII. ÁRBOLES Y GRAFOS Prolema: Los Caminos Más Cortos Consieramos el siguiente prolema motivao por ejemplo on el aso menionao antes e un grao one los noos son iuaes y los aros orresponen a onexiones on arretera. Caa una e estas tiene una longitu y uno está interesao en eterminar una ruta para llegar e una iua a otra pasano posilemente por otras iuaes, e tal manera que la istania total reorria es minimizaa. Formalmente, se tiene un grao G on noos V(G) y aros E(G), y una unión : E(G) R (reales no negativos) einia sore los aros (las longitues e los aros), y se espeiia un s V(G); se quiere eterminar los aminos lo más ortos (e mínima longitu), y sus istanias (longitues) totales ese s a aa uno e los otros noos u. La longitu e un amino s = v, v, v 2,..., v k = u es k ({v i, v i+ }). i= Por supuesto que una orma e resolver este prolema es listar los ierentes aminos y sus longitues y entre estos esoger los más ortos. Pero es posile haerlo en orma más eiiente, es eir, e tal manera que la ejeuión en un omputaor sea más rápia. (Estamos interesaos en aminos simples, pero no neesitamos preouparnos e esto porque repetir vérties no puee aortar istanias, y el algoritmo que vamos a ver elimina automátiamente la posiilia e repetiiones.) VII.3.3. Algoritmo e Dijkstra La iea el algoritmo es omenzar en el noo s, el ual es el noo más erano a si mismo, e iterativamente eterminar el siguiente noo más erano a s. Para esto el algoritmo mantiene para aa noo un valor D[u] el ual es la longitu el mejor amino enontrao hasta el momento (iniialmente D[u] = para too u s, ya que iniialmente no se onoe ningún amino). El algoritmo tamién mantiene para aa noo u un apuntaor π[u] al noo anterior en el amino más orto e s a u enontrao hasta el momento (el amino uya longitu es D[u]). Corresponientemente, π[u] es nulo (ó ineinio) iniialmente. Pseuoóigo El pseuoóigo el algoritmo, llamao el algoritmo e Dijkstra, es el siguiente:

11 VII.3. GRAFOS: CAMINOS MÁS CORTOS Dijkstra (G, ). para v V(G) 2. D[v] 3. π[v] nulo 4. D[s] 5. Q V(G) 6. mientras Q 7. sea u Q tal que D[u] es minimo 8. Q Q {u} 9. para v Ay[u] Q. si D[u] + ({u, v}) < D(v). D[v] D[u] + ({u, v}) el amino a traves e u es mejor 2. π[v] u 3. evolver (D, π) Aquí Ay[u] = {v V(G) : {u, v} E(G)}, el onjunto e noos ayaentes a u. Al inal, D[u] es igual a la istania más orta e s a u, y π[u] es igual al noo anterior a u en un amino más orto e s a u. El amino más orto hasta u se puee reonstruir omo u, π[u], π[π[u]], π[π[π[u]]],.... Ejemplo La siguiente igura muestra en la primera imagen un grao on noos a,,,..., j, y aros y sus longitues omo apareen allí. Las imágenes siguientes muestran los valores D[u], π[u] en los noos (exepto los valores que son y nulo) antes el mientras y al inalizar aa una e las iteraiones e este. Los noos el grao osureios (en azul) son los que han ejao e estar en Q (y entones están en S) y los aros entre ellos son los einios por los valores π[u]. VII.3.4. (No se hizo en lase.) Justiiaión Para el análisis general, sea δ(u) la istania más orta e s a u sore toos los aminos e s a u en G. Una oservaión importante en veriiar que el algoritmo uniona orretamente es la siguiente: ( ) Si s = v, v, v 2,..., v l, v l, v l+,..., v k, v k = u es un amino lo más orto e s a u en G entones la parte iniial e ese amino hasta v l (one v l puee ser ualquiera e los noos en ese amino) s = v, v, v 2,..., v l, v l es un amino lo más orto hasta v l.

12 2 CAPÍTULO VII. ÁRBOLES Y GRAFOS e 2 g 6 e 2 g 6 3,a e 2 4,a g 6 3,a 9, e 2 4,a 6, g 6 3,a 9, e 2 4,a 5, g 7, 6 3,a 9, e 2 4,a 5, 9, g 7, h 6 i j 3,a e 2 7,e 4a 5, 9, 7, 9,e g 6 3,a 7,e e 2 4,a 5, 9, 7, 9,e 2, g 6 3,a 7,e e 2 4,a 5, 8,h 7, 9,e 2, g 6 3,a 7,e e 2 4,a 5, 8,h 7, 9,e 2, g 6 3,a 7,e e 2 4,a 5, 8,h 7, 9.e,i g 6 3,a 7,e e 2 4,a 5, 8,h 7, 9,e,i g 6 Figura VII.3: Grao G on longitues e sus aros, y antes e la primera y espués e aa una e las iteraiones el algoritmo e Dijkstra, on noo a omo s.

13 VII.3. GRAFOS: CAMINOS MÁS CORTOS 3 Esto es áil e ver: si huiera otro amino más orto a v l, ese nos aría tamién un amino más orto a u, lo que es una ontraiión. Para el propósito e este análisis, y sea δ(u) igual la istania el amino más orto e s a u sea S = V(G) Q, el onjunto e noos ya removios e Q. Invariante: En aa iteraión el mientras, el algoritmo mantiene que (i) uano un nuevo noo u es removio e Q (y entones pasa a S), se tiene que δ(u) = D[u], es eir, el estimativo D[u] es igual a la istania más orta (ii) para los noos v que están en Q se mantiene que D[v] es la istania más orta sore aminos on noos en S, exepto v (el ual está en Q). De aquí que siempre δ(v) D[v] para too v en Q (porque D[v] es la mejor istania sore un suonjunto e los aminos, mientras que δ(v) es la istania sore toos los aminos). Justiiaión líneas -5: Iniialmente sólo la istania al noo s ha sio ientiiaa y es (D[s] =, las otras se iniializan a (un número más grane que ualquier otro), y los apuntaores π son iniialmente nulos. Justiiaión e líneas 7-8: Veamos que para el noo u Q on D[u] que es mínimo, su valor D[u] es la istania más orta a s. Se sae ya porque lo garantiza el invariante en la iteraión previa que D[u] es la mínima istania sore aminos C en S (exepto u). Así que onsieremos un amino C e s a u que no está ompletamente en S. Sea y el primer noo no en S y x el anterior noo el ual entones s S C x u y C

14 4 CAPÍTULO VII. ÁRBOLES Y GRAFOS está en S (ver igura). Por la oservaión ( ) arria, el segmento e C hasta y es tamién e mínima istania. Entones D[y] D[x] + ({x, y}) por la parte (ii) el invariante arria para y = δ(x) + ({x, y}) por la parte (i) el invariante arria para x = δ(y) porque son longitues meias en C δ(u) porque δ(u) es la longitu e too el amino C y la longitu e C hasta y es menor ó igual que eso D[u] porque δ(u) D[u] para too noo u De aquí que D[y] D[u]. Pero D[u] D[y] por que D[u] se ha esogio en la línea 7 omo mínimo sore noos en Q. Por lo tanto D[u] = D[y]. Y entones D[u] = δ(u) (porque está entre y y u en la aena e esigualaes arria). Así que D[u] si es la istania más orta sore toos los aminos e s a u. Justiiaión e líneas 9-2: De la iteraión anterior se onoe ya la istania más orta a v Q usano sólo vérties en S. Pero en esta iteraión, se está agregano u a S, por lo tanto se ee examinar si ir a u primero y luego a v (usano el aro {u, v}) es más orto. Esto se ee haer para too v Ay[u] Q. s x S v u