CAPITULO III Interferencia y Difracción

Transcripción

1 CPITULO III Intncia y Diacción 3. Témino Intncia Si n una gión l spacio coxistn os onas amónicas la misma natualza igual cuncia ω, ntoncs, acuo con l pincipio supposición, la ona sultant s la suma amas. Supóngas os onas amónicas séicas: Ψ Ψ ( k ω t ) sn ϕ ( k ω t ) sn ϕ Ψ Ψ Ψ ( sn ωt θ snωt) ( snθ ωt θ snωt) snθ θ snθ ωt θ Ψ θ snωt on: θ k ϕ y θ k ϕ y amos: θ k ϕ Si s supon amás qu l sultao s una ona amónica séica, la oma: Ψ sn ( θ ωt) snθ ωt θ snωt Esta suposición s vália cuano amos sultaos son iénti. Lugo: snθ sn θ snθ θ θ θ Elvano al cuaao amas xpsions y sumano mimo a mimo, s tin:

2 3 ( snθ snθ θ ) θ ( θ ) θ Salvo una constant, la xpsión antio stá lacionaa con las intnsias las onas componnts y la intnsia la sultant, o sa: on l témino s nomina tmino intncia. ϕ [ k( ) ( ϕ )] En l caso onas planas l sultao s pacio: ΨΨ [( k k ) ( ϕ )] ϕ istancias gans, y n st caso: ( k[ ]) D acuo con sto los valos xtmos qu pu toma la intnsia s como mínimo y 4 como máximo. En la última xpsión s a jao lao l témino ( ϕ ϕ ) qu s laciona con l concpto concia y cuano s co s ic qu las unts son compltamnt conts, si s constant s ic qu son conts y cuano s vaial s ic qu son inconts.. Intncia poucia po os unts puntuals La igua siguint psnta os unts puntuals compltamnt conts uicaas so l j y un sistma coonaas catsianas y la cta x L, n on s sa conoc paa qu valos x xistn máximos o mínimos intnsia.

3 33 La intnsia n l punto P vin aa po la lación: ( k[ ]) Don k[ ] psnta la incia óptica nt los coios los os acs luz. La incia s apoximaamnt: tgθ Rmplazano stos valos n la xpsión la intnsia, la conición máximo intnsia s otin acino ( ky L) y la conición mínimo s ncunta acino ( ky L). Po lo tanto: y L Conición máximo: Conición mínimo: λ L y ± m m,,, 3,... λ L y ± m m,,, 3,... En la igua antio s musta un gáico la intnsia n unción la posición paa puntos so una pantalla uicaa n x L. Los valos sñalaos ponn a los máximos más ccanos al máximo cntal. El máximo cntal s ncunta n y.

4 34 3. Plículas ilécticas Los ctos intncia s osvan n matials tanspants con spsos mnos qu la longitu ona la luz asta placas con vaios cntímtos spso. S ic qu una capa matial s una plícula lgaa cuano l spso s l on la longitu ona. La igua siguint musta una placa tanspant, supicis planas paallas, spso y qu s no asont. En caa lxión la intnsia cc apcialmnt mana qu s pun consia sólo los os pimos acs luz ljaos. La lnt qu apac tin po ojto uni n un punto los ayos ljaos qu son paallos. D la igua s pu calcula la incia camino óptico paa stos os pimos ayos: [ ] ( B BC) n D n B BC θ C tgθ D C snθ tgθ n n snθ [ ] n θ

5 Los ayos ljaos intnamnt suián un camio ± π con spcto a los ayos ljaos xtnamnt. Si n la igua n n < n ntoncs s consia sta incia as, po lo tanto la intnsia vin aa po: I { ( k θ ± π )} I n El signo o π no s lvant y scogmos l signo paa qu la xpsión inal sa más simpl. Lugo, paa l caso po lxión: 35 Conición máximo: Conición mínimo: θ t m λ m,,, 3,... θ m λ m,,, 3,... t Plícula n oma cuña Las anjas intncia n plículas lgaas pun s útils paa tmina ints aspctos la supici lmntos ópti, po jmplo, paa v si una supici s opticamnt plana o no. Si s coloca la supici a xamina n contacto con un plano óptico (sviacions mnos qu λ 4 ), l ai nt amas supicis gna un patón intncia plículas lgaas. Si la supici s plana y la igua intncia psnta una si anas ctas igualmnt spaciaas, ntoncs la plícula ai tin oma cuña. En la igua siguint s musta una cuña matial ínic acción n inmso n mios ínics acción y n n

6 Si l ángulo α s pquño, las conicions máximos y mínimos intncia stán aas po las lacions calculaas paa láminas lgaas. Sí n la igua n n < n : 36 Conición máximos: Conición mínimos: m λ m,,, 3,... m λ m,,, 3,... on quan: s l spso paa un punto paticula. Si xα, las lacions Conición máximos: Conición mínimos: λ x m α m,,, 3,... λ x m α m,,, 3, nillos Nwton Una lnt convxa istancia ocal gan qu yac con la supici cuva so una placa plana viio, ja un spacio ai nt la lnt y la placa viio spso vaial y s poucn anjas intncia ciculas (io a la simtía). Si la luz povnint una unt xtnsa ca so st ispositivo, pácticamnt nomal a él, las anjas ciculas qu s osvan tinn un cnto común y s conocn como anillos Nwton. Un cálculo apoximao paa nconta las lacions máximos y mínimos n unción x (istancia aial a pati l cnto los anillos), s pu ac utilizano l toma Pitágoas:

7 37 ( R ) x R Suponino << R qua: x R La conición máximo s ntoncs (paa l caso po lxión): x m R λ m,,, 3,... La conición mínimo ponint s: x m R λ m,,, 3, Intómto Miclson Básicamnt st tipo instumnto stá constituio po os spjos y una placa con una sus supicis uncionano como smi spjo. Tamién pu tn una placa compnsaoa qu limina la incia coio n l intio las placas. La luz povnint una unt puntual S inci so la placa y s pacialmnt ljaa n la sguna supici iigiénos acia l spjo E (tayctoia azul) n on s lja nuvamnt y sigu la tayctoia inicaa azul asta la pat inio l iujo. En la sguna supici la placa l ayo pacialmnt s acta siguino la tayctoia oja asta qu inalmnt llga al mismo luga qu l antio. La incia coio óptico sulta s igual al ol la incia las istancias los spjos E y E l punto n on los os acs s ivin (o sa la sguna supici la placa ). más xist una incia as aicional poqu l ayo ojo aliza una lxión

8 xtna más qu l oto. Lugo, la intnsia n l luga on s iign los ayos una vz qu s ncuntan nuvamnt s: 38 I { ( k [ ] ± π )} I La conición máxima intnsia s: ( ) λ m La conición intnsia mínima s: ( ) mλ 6. Diacción Fauno m,,, 3,... La popagación ctilína los ayos luminosos s una apoximación acuaa paa la mayoía los nómnos ópti. Sin mago, n alguna mia, la luz s cuva n las ccanías los ostáculos opa, mana qu las somas simp tinn límits algo oosos. Estas xcpcions a la popagación ctilína la luz s conocn como nómnos iacción. Cuano las unts luz, los ostáculos y la pantalla on s osva l nómno s ncuntan a istancias ctivas ininitas, la iacción ci l nom iacción Fauno. En l caso más gnal, n l cual no s cumpln las conicions antios, la iacción s llama iacción Fsnl. Las iguas antios mustan cómo s compotan las onas luminosas n l caso una iacción Fauno y una iacción Fsnl. Paa tmina cuál métoo s aplica n l cálculo una iacción, xist un citio asao n la gomtía. La igua a continuación siv paa st popósito.

9 39 La incia nt las longitus las tayctoias SFP y SGP s: ( ) ( ) ` ` ` ` L Δ ( ) ` ` ` L Δ Si las onas incints uan onas planas, solamnt xistiía l pim témino, lo qu inica qu l sguno s una mia l cto la cuvatua las onas. Si l sguno témino s muy pquño y compaao con la longitu ona, pomos spcialo. Lugo la conición valiz paa la iacción Fauno s: < λ ` Diacción Fauno po una nija: Paa analiza la iacción Fauno s utiliza l pincipio Huygns, qu ic caa punto un nt onas actúa como una unt onas scunaias, cuya supposición pouc un nuvo nt onas. Entoncs, s pu supon qu la nija s quivalnt a una unt linal (cta) unts puntuals, cuya supposición poucn la intncia (n st caso nominaa iacción). En la igua siguint, una nija anco s iluminaa con una ona plana longitu onas λ La nija s ivi n ininitas pats mana qu caa una llas tin un anco ininitsimal. Un y

10 lmnto nija s lgio n oma aitaia a una istancia cnto coonaas. y 4 l La contiución l lmnto ininitsimal al campo léctico n P s: E ( k ω t ) i( k ω t ) i C snθ En l nominao scogmos y n la xponncial, snθ. Lugo: E C i( k t ) ω ik y snθ Intgano con spcto a la vaial y nt los límits y, qua: C E y ( k ω t ) sn( k snθ ) i k snθ E C i ( k t ) ω snβ β β k snθ El témino xponncial s l qu l asigna popias onulatoias a la unción y po lo tanto lo qu lo acompaña psnta la amplitu la ona. Como la intnsia s popocional a la amplitu al cuaao, ntoncs:

11 4 C ct snβ β Si psnta la intnsia n θ, ntoncs: C ct Lugo, pomos scii la intnsia n téminos la intnsia paa θ como: snβ β,,8,6,4,, π π La intnsia s máxima paa θ y otos s psntan paa θ ± mπ (sino m un nto incluyno l co). Los mínimos s psntan paa β ± mπ (on m s un nto po no co). En unción θ los mínimos s psntan paa: snθ m λ Esta lación inica qu l anco l máximo cntal s invsamnt popocional al anco la nija y qu s ictamnt popocional a la longitu ona. La xpsión paa la intnsia l máximo cntal inica qu su amplitu s popocional al anco la nija. Diacción Fauno po una ol nija: El polma s simila al caso antio po cuano s aliza la intgal, sta s spaa n os intgals cuyos límits son, paa la pima intgal: ( ) ( ), paa la sguna intgal: ( ) ( ). En on psnta la istancia nt amas nijas (mias s sus cntos). Lugo: C i( k ω ) snβ t E γ β k snθ γ k snθ β

12 4 sn β β γ,,8,6,4,, π π Diacción Fauno po una tipl nija: En st caso s poc la misma mana. La intgal sultant s scompon n ts y caa una llas tin como límits lo siguint: ª intgal: ( ) ( ) ª intgal: 3ª intgal: ( ) ( ) El sultao la intgación s uc a: C 3 i( k ω t ) snβ sn3γ E β k snθ γ k snθ β 3snγ snβ β 3 sn3γ snγ,,,8,6,4,, R iacción: Es posil gnaliza las xpsions antios paa un númo N cualquia nijas o istiucions linals unts puntuals. El sultao qu s otin s: C N i( k ω ) snβ snnγ t E β k snθ γ k snθ β N snγ

13 43 β β sn snnγ N snγ Po solutivo una iacción Paa una anja pincipal s cumpl: ( Δ ) π γ smi anco N Una vaiación inita n la xpsión γ sulta: π π γ k snθ snθ Δγ θ Δθ λ λ Si sto s iguala al valo qu toma l smi-anco angula una anja pincipal s otin: ( Δ θ ) smi anco λ N θ Po oto lao, la posición los máximos pincipals s psnta paa: snθ m λ, ntoncs la vaiación inita sta xpsión paa m ct s: snθ m λ θ Δθ m Δλ m ct Lugo ( θ ) Δλ Δ ist. máx. m m ct θ D acuo al citio Raylig la posición límit paa la cual xist solución s otin igualano los os valos Δ θ. S in l po solución una iacción: Ρ λ m N Δλ on λ ( λ λ ) y Δ λ λ λ. El patón iacción s la supposición os patons uno cuano la s ilumina con luz longitu ona λ y l oto cuano s ilumina con luz longitu ona λ. Diacción Fauno po una atua cicula: Como una oma simpliica l cálculo, s supon una ivisión la atua n ininitas

14 nijas longitu vaial y anco musta n la igua siguint. y 44. La gomtía l polma s D mana simila a los casos antios la contiución l campo léctico una stas nijas ininitsimals n un punto P s: E ( k ω t ) i( k ω t ) i C S Hacino las mismas apoximacions, s otin: E C S C i( k ω t ) ik y snθ i( k ω t ) ik y snθ R y y El campo léctico sultant s la intgal sta xpsión, sino los límits la intgal nt los valos R y R. Paa solv la intgal s pu aliza l siguint camio vaial: y R snφ y R φ φ R y R Con la siguint inición: ρ π π φ k D snθ s llga a la siguint xpsión: E C R i( k ω t ) i ρ snφ φ φ C R E π ( k ω t ) ( ρ snφ ) i π φ φ La unción la intgal s la misma nt π qu nt π, ntoncs s pu scii:

15 45 E C R 4 i π ( k ω t ) ( ρ snφ ) φ φ E ( k ω t ) ( ) ( ρ ) π Γ 3 Γ ( 3 ) π 4 C R J i ρ Don ( ρ) C E ( k t ) ( ρ) π R i ω J J s la unción Bssl pima clas on. ρ J ρ ( ρ) La unción Bssl como una si potncias tin la oma: J ρ 3 ρ 4 5 ρ 4 ( ρ ) 6 lím J ρ ( ρ ) ρ Tamaño l isco iy El patón iacción qu s oma cuano la atua s cicula s un isco cntal oao anillos oscuos y illants, po la intnsia los anillos illants s muy ucia n compaación con l isco cntal mana qu n mu casos no s toman n cunta. El isco cntal s illant y su xtnsión s in como l áa ncaa n un cículo limitao po los puntos qu ponn al pim mínimo, s ci, a ρ 3,83. Si s ac un gáico la intnsia vsus, paa l isco iy s otin lo siguint:

16 46 Esto signiica qu l tamaño l isco iy (aio l isco iy) xpsao como un valo la vaial ρ s 3,83. O sa: ( Δρ ) k D ( Δsnθ ) 3, 83 iy ( Δ sn ) iy λ θ iy, D on D s l iámto la atua. Rsolución óptica El tamaño l isco iy tmina la solución los instumntos ópti qu tinn atuas ciculas como ntaa las onas luminosas. Po jmplo, la imagn un ojto n un micopio, tlscopio o cámaa otogáica cuyas atuas son lnts pon a una supposición iguas iy. Si consiamos os unts puntuals, las ponints iguas iy apacán nocaas n los puntos imágns po no sán puntuals sino qu psntaán una imnsión aa po l tamaño l isco iy. En l caso n qu stos is s taslapn xist una posición cítica a pati la cual la imagn pac s sólo una. El citio nominao citio Raylig in sta posición como aqulla n qu los is iy s ncuntan a una istancia igual a su aio, s ci, xist solución cuano s cumpl lo siguint: ( Δ snα ) ntis ( Δsnθ ) aio angula iy La igua siguint musta ts posicions ints n las cuals xist y no xist solución.

17 La igua siguint musta la lación nt la posición os ojtos y la posición los is iy. S S 47 y En la igua antio: sn L α ( Δ sn ) λ θ iy, D más s la istancia nt S y S y L la istancia las unts a la lnt. D acuo al citio Raylig, s pun iguala stas xpsions y scii:, λ D L En los micopios, io a la iiculta acca masiao los 5 ojtos a la lnt, ( D L) máx 3, 5, Lugo: mín,3λ. Si λ 5,6 [cm], l 5 valo mín [cm], lo cual s l límit solución paa los micopios ópti.