Apuntes de Geometría y Trigonometría

Transcripción

1 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Apuntes de Geometrí y Trigonometrí

2 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Geometrí G eometrí: Proviene del voblo griego Geo- que signifi tierr y metron- medid, sí entones geometrí se refiere l medid de l tierr. Aunque no solo l medid de l tierr pudo hber sido origen de l geometrí, sino tmbién de l neesidd que sentimos de onstruir, deorr, ontemplr, prever y medir el universo que nos rode. L geométri pr su estudio se bifur, l Plnimetrí: que estudi ls figurs en el plno, y l Estereometrí: que estudi ls figurs en el espio. Punto Definiiones Fundmentles Es el iniio y el fin de un ret, Es dimensionl y se les nombr on ls letrs myúsuls A, B, C, et. Ejemplo:.... A C E G... B D F Líne Es un suesión infinit de puntos. Tiene un sol dimensión y se les nombr on ls letrs minúsuls r, s, t o por dos letrs myúsuls AB, MN, et. Ejemplo: r B s N t A M

3 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Líne Ret: todos sus puntos están en un mism direión. Líne urv: Todos sus puntos están en diferente direión Líne quebrd: formd por segmentos de líne ret Líne mixt: est formd por segmentos de líne ret y urv. Ls propieddes de l líne ret son: 1. L líne ret es l distni ms ort entre dos puntos.. Dos línes rets no pueden tener más que un solo punto en omún. 3. Por dos puntos ps un líne ret y solmente un. 4. Un ret se extiende sin límite en dos sentidos. 5. Por un punto pueden psr un infinidd de rets, y en un ret hy un infinidd de puntos.

4 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Plno Es un onjunto pril de puntos infinitos, tiene dos dimensiones, y se les design on myúsuls P, M, N o bien letrs griegs et. Ls propieddes de un plno son: 1. Es un superfiie ilimitd.. Un ret que teng dos puntos omunes on el plno est ontenid en el, es deir tiene sus puntos en el plno. 3. Un ret ulquier que est ontenid en un plno, divide este en dos prtes llmds semiplnos. 4. Por tres puntos no situdos en líne ret ps un solo plno. Espio Es un onjunto ordendo de plnos, tiene tres dimensiones, y form el universo en el que se pueden representr uerpos geométrios tngibles. Ls propieddes del espio son: 1. Es un volumen ilimitdo que represent el universo.. Contiene tod l infinidd de puntos que formn rets y plnos. 3. Un Plno ulquier que est ontenid en el espio, divide este en dos prtes llmds semiespios. 4. Dos puntos ubidos en el espio definen un ret. 5. Tres puntos no situdos en líne ret ubidos en el espio definen un plno.

5 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Clsifiión de ls Rets Ret Prlel: Diremos que dos rets son prlels undo están en el mismo plno, y por muho que ls prolonguemos no llegn ortrse nun. El Angulo que formn on el eje XX Ambs rets es igul. Ls propieddes de ls rets prlels son: Dos rets prlels un terer son prlels entre sí. Si dos rets son prlels, tod ret que orte un, ort tmbién l otr. 5 Postuldo de Eulides: Por un punto exterior ulquier ret se puede trzr un prlel ell y solo un. m n Ret Perpendiulr: Diremos que dos rets son perpendiulres undo se ortn formndo ángulos igules, y por tnto retos. Ls propieddes de ls rets perpendiulres son: Dos rets perpendiulres un terer son prlels. Si dos rets son prlels, tod perpendiulr un, es perpendiulr tmbién l otr. Por un punto exterior un ret se puede trzr un perpendiulr ell y solo un. m n

6 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Rets Oblius: Son ls que se ortn sin ser neesrimente perpendiulres. m n Not: Pr deir que un ret r es perpendiulr l t lo expresmos omo r t, y r prlel t omo r// t.

7 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Ángulos formdos por dos Prlels y un Sente Si ortmos dos rets prlels on un ret sente se formn oho ángulos que tienen diverss propieddes. A C E G B D F H Ángulos Internos: C, D, E, F. Ángulos Externos: A, B, G, H. Ángulos Alternos Internos: Los Pres (E,D) (C,F) Son igules. Ángulos Alternos Externos: Los Pres (B,G) (A,H) Son igules. Ángulos Correspondientes: Los Pres (A,E) (B,F) (C,G) (D,H) Son igules. Ángulos Colterles Internos: Los Pres (C,E) (D,F) Son Suplementrios. Ángulos Colterles Externos: Los Pres (A.G) (B,H) Son Suplementrios. Ángulos Opuestos Por El vértie: Son quellos que los ldos de uno son prolongiones opuests de los ldos del otro. Su prinipl rterísti es que son ángulos igules. Nos estmos refiriendo Los Pres (A,D) (C,B) (G,F) (E,H).

8 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Los Ángulos Angulo: Es l bertur omprendid entre dos rets que se enuentrn girndo lrededor de un punto de origen llmdo vértie. Ls rets se llmn ldos del ángulo. Se onsiderr Angulo positivo quel que se obtiene si uno de sus ldos lo girmos en sentido ontrrio l de ls mneills de un reloj. Si lo hemos en el mismo sentido, el Angulo será negtivo. Sistems pr Medir Ángulos Existen 4 tipos de sistems los ules podemos utilizr en l mediión de ángulos, tenemos el sistem sexgesiml, el entesiml, el trigonométrio, y el horrio. Sistem Sexgesiml: Utiliz omo unidd fundmentl el grdo sexgesiml (1 ) que es l 360v prte de un irunfereni. Como submúltiplo del grdo se emple el minuto que es l 60v prte del grdo, o se, que un grdo (1 ) equivle sesent minutos (60 ). El segundo es l 60v prte del minuto, o se, un minuto (1 ) equivle sesent segundos (60 ). Los segundos se subdividen en déims, entésims, milésims, et Sistem Centesiml: Utiliz omo unidd fundmentl el grdo entesiml (1 g ) que es l Centésim prte de Un Angulo Reto. Como submúltiplos del grdo entesiml, tenemos el minuto y el segundo entesiml, que son igules respetivmente l entésim prte del grdo y el minuto g 1 g 100 m 1 m 100 s

9 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Sistem Trigonométrio: Utiliz omo unidd fundmentl el Rdin, que se define omo quel Angulo uyos ldos omprenden un ro uy longitud es igul l del rdio. A Aro AB r Rdio r B P D A r D r Pr deduir el vlor de un rdin prtiremos de l formul pr lulr el perímetro de un irunfereni. P D Donde el perímetro es igul multiplir el diámetro, por el Vlor de ( ), o de otr form, que el diámetro be vees en l irunfereni. Si el rdio es l mitd del diámetro, entones el rdio br vees en l irunfereni. Tmbién sbemos que el giro ompleto de un irunfereni vle 360, entones si dividimos los 360 entre el número de vees que be el rdio en l irunfereni (), obtendremos el vlor de un Rdin

10 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Simplifindo el quebrdo nterior obtendremos que un rdin equivle l oiente de 180 entre Rd. Despejndo los 180 tenemos que 180 (1 Rd.)( ) π O se que Rdines Es igul 180. Y gris estos quebrdos podremos obtener ls siguientes equivlenis Rd. o π 6 π 4 π 3 π 3π 3 4π 5 π 6π Grdos Rd. 7 6π 5 4π 4 3π 3 π 5 3π 7 4π 11 6π π Grdos Sistem Horrio: Utiliz omo unidd fundmentl l hor (1 h ), que equivle l sext prte del Angulo reto, o se, 15 Sus submúltiplos son el minuto que es igul l 60v prte de l hor, y el segundo que es igul l 60v prte del minuto. 1 h 15 1 h 60 m 1 m 60 s Not: El sistem Centesiml, Tnto omo el sistem horrio hn queddo en desuso.

11 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Clsifiión de los Ángulos Pr l siguiente lsifiión tomremos omo refereni el sistem sexgesiml. Angulo Agudo: El que mide entre 0 y 90 sexgesimles. A O B Angulo Reto: Cundo Mide 90 sexgesimles. A O B Angulo Obtuso: Cundo mide entre 90 y 180 sexgesimles. A O B

12 Guí de Estudio Geometrí Y Trigonometrí Llno o Colinel: Cundo mide 180 sexgesimles. A O B Entrnte: Cundo mide entre 180 y 360 sexgesimles. O B A Perígono: Cundo mide 360 sexgesimles. O B A Cónvos: Miden entre 0 y 180 sexgesimles. Convexos: Miden entre 180 y 360 sexgesimles. Complementrios: Ángulos uy sum vle 90 sexgesimles. Suplementrios: Ángulos uy sum vle 180 sexgesimles. Conseutivos o Contiguos: Aquellos ángulos que tienen un vértie y un ldo omún. Adyentes: Ángulos onseutivos que sumn 180 sexgesimles. Igules: Ángulos que undo se superponen oiniden.

13 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Los Polígonos y su Clsifiión Polígono: Figur geométri formd por vrios segmentos unidos entre sí formndo vérties. Deimos que un polígono es Equiángulo undo todos sus ángulos son igules y Equilátero undo todos sus ldos son igules. Polígono Regulr es quel que tiene sus ldos y sus ángulos igules, es deir, es quel que es equilátero y equiángulo. Digonl de un Polígono: Ret que une dos vérties del mismo no onseutivos. Apotem: Distni entre el entro de un polígono regulr y el punto medio de d uno de sus ldos. Un polígono tiene tntos ángulos omo ldos (ángulos ldos) En un polígono de (n) vérties se pueden trzr (n 3). digonles en d vértie. El numero de digonles de un polígono de (n) ldos será n(n - 3)/ L sum de los ángulos internos de un polígono de (n) ldos será igul 180 (n ). Los Polígonos se lsifin según el numero de ldos: Triángulos (de tres), Cudriláteros (de utro), Pentágonos (de ino), Hexágonos (de seis), Heptágonos (de siete), Otágonos (de oho), Eneágonos (de nueve), Deágonos (de diez), Endeágonos (de one), Dodeágonos (de doe), Pentdeágono (de quine), Ioságono (de veinte), Et. Al trzr ls digonles de un pentágono Result l Estrell pentgonl o Estrell de Itli, er el símbolo de l esuel Pitgóri y servi los pitgórios pr Reonoerse entre sí.

14 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Triángulos U n tringulo es un polígono de tres ldos. Los elementos de un tringulo son: los tres ldos, los tres vérties, y los tres ángulos que sumn 180. Su lsifiión qued estruturd de l siguiente mner: EQUILATERO De uerdo sus ldos ESCALENO ISOCELES Clsifiión De los Triángulos ACUTANGULO De uerdo sus ángulos RECTANGULO OBTUSANGULO Not: se utilizr el término triángulos obliuángulos pr referirse los triángulos tnto utángulos omo obtusángulos. Pues hiendo homólogi respeto ls rets, los triángulos obliuángulos son quellos, en que en ninguno de sus ángulos se umple l propiedd de ser reto.

15 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Tringulo Equilátero: es quel que tiene sus tres ldos igules. Tringulo Isóseles: es quel que tiene dos ldos igules y uno desigul. b Tringulo Esleno: es quel que tiene sus tres ldos desigules. b

16 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Tringulo Autángulo: es quel que tiene sus tres ángulos gudos. A<90 B<90 C<90 B A C Tringulo Retángulo: es quel que tiene un ángulo reto y dos Agudos. A <90 B 90 C <90 A B C Tringulo Obtusángulo: es quel que tiene un ángulo obtuso y dos gudos. A A<90 B>90 C<90 B C Not: En ulquier tringulo l sum de sus 3 ángulos será igul 180

17 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Cudriláteros U n udrilátero es un polígono de utro ldos. Sus elementos son: los utro ldos, los utro vérties, y los utro ángulos que sumn 360. L lsifiión de udriláteros se orgniz de uerdo sus ldos y sus vérties, sí pues tenemos que onoer bien ls siguientes definiiones. Ldos opuestos serán quellos que no tienen ningún punto omún. Ldos ontiguos quellos que tienen un extremo omún. Vérties opuestos son quellos que no están en el mismo ldo. Vérties ontiguos son los que están sobre el mismo ldo. Clsifiión De los Cudriláteros Trpezoides Trpeios Prlelogrmos CUADRADOS RECTÁNGULOS ROMBOS ROMBOIDES

18 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Trpezoide: son los que no tienen ningún ldo prlelo Trpeios: son los que tienen un pr de ldos prlelos y los otros no. A los dos ldos prlelos se les llm bses del trpeio. Trpeio isóseles: sus ldos opuestos no prlelos son igules. Trpeio Retángulo: uno de sus ldos no prlelos es perpendiulr ls bses. Trpeio Esleno: ninguno de los dos ldos no prlelos es perpendiulr ls bses. Prlelogrmos: tienen los ldos prlelos dos dos. Cudrdo: tiene los utro ldos igules y los utro ángulos retos. Retángulo: tiene los ldos igules dos dos y los utro ángulos retos. Rombo: tiene los utro ldos igules pero los ángulos no son retos. Romboide: tiene los ldos igules dos dos y los ángulos no son retos.

19 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Cirunfereni Y Círulo B Aro d R r Tngente e d u i A C o Diámetro Sente Hemos estudido los polígonos. Sbemos que pueden existir polígonos Regulres de 50, 100, 1000, 10000, y más medid que umentn los ldos, estos se hen más pequeños, si se pudier dibujr un polígono on infinitos ldos, estos psrín ser puntos y el polígono se onvertirí en un irunfereni. L potem del polígono oinidirí on el rdio de l irunfereni. Así, podemos onluir que un irunfereni es quel polígono, que tiene el número máximo de ldos (infinito). A ontinuión se definirán los oneptos ms importntes de un irunfereni, y de un írulo, que son l mism figur, solo que en diferentes representiones dimensionles. Cirunfereni: Es un líne urv, errd y pln, uyos puntos equidistn de otro de su plno llmdo entro. Cirulo: Es l prte de plno limitd por un irunfereni.

20 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Rdio: Segmento de ret omprendid desde ulquier punto de l irunfereni, (en so de un irulo), o superfiie esféri (en so de un esfer), l entro del o de l mism. Diámetro: Segmento de ret de myor longitud omprendid entre dos puntos de l irunfereni o superfiie esféri, y que ps por el entro, Equivle dos rdios. Cuerd: Segmento de ret que une dos puntos ulesquier de l irunfereni, nun ps por el entro. Aro: Segmento de l irunfereni limitdo por los extremos de un uerd. Fleh: Segmento que une el punto medio de l uerd on el punto medio del ro. Sente: Es l ret que tiene dos puntos en omún on l irunfereni. Tngente. Es l ret que tiene un punto en omún on l irunfereni. Segmento irulr: es l prte del írulo limitd por un ro y su uerd. Setor irulr: Es l prte del írulo limitd por su ro y los rdios orrespondientes sus extremos. Cirunferenis onéntris: Son quells que tienen el mismo entro. Coron irulr: Es l prte de plno limitd por dos irunferenis onéntris. Elipse: Lugr geométrio de los puntos del plno uy sum de distnis dos puntos fijos del mismo plno (llmdos foos) es onstnte. A ontinuión se muestr un Formulrio de Áres y perímetros de ls figurs plns y estudids.

21 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Nombre Figur Notión Culquier Tringulo h b, b, y : ldos h: ltur S: semiperimetro Perímetro (P) P S +b + + b + Áre (A) A Error! No se pueden rer objetos modifindo ódigos de mpo. A S (S - )(S - b)(s - ) Tringulo Equilátero h : /u de los ldos h: ltur P 3 3 A 4 h 3 A 3 Tringulo Isóseles b,, y b: ldos h: ltur P + b b A P( - b) 4 Tringulo Retángulo b, b, y : ldos S: semiperimetro P +b + A A b (b)()(senα) Culquier Cudrilátero b D D 1 d, b,, d: ldos D1 y D: digonles P +b++d 4 (D1 D) - ( - b + - d ) 4 Cudrdo d : /u de los ldos d: digonl P 4 d A A d Retángulo b y b: ldos P (+b) A b

22 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Cuerpos Geométrios Los uerpos geométrios del espio tridimensionl se pueden lsifir en dos grndes grupos: Poliedros Regulres (tetredro, hexedro, otedro, et.), Poliedros Semirregulres (Prisms, y Pirámides) y Cuerpos Redondos (Cilindros, Conos, Esfers, et.) Poliedros Regulres: uerpos geométrios limitdos por polígonos regulres, según el número de rs que lo delimitn, los poliedros se lsifin en tetredros (4 rs), Pentedros (5 rs), Hexedros (6 rs), dodeedro (1 rs), e Iosedro (0 rs). Es importnte sber que solo existen 5 poliedros regulres y que sus elementos están reliondos por l formul del Teorem de Euler: Crs + Vérties Arists + Poliedro Figur de Numero de Numero de Numero de ls Crs Crs Vérties Arists. Tetredro Triángulos Hexedro Cudrdos Otedro Tringulo Dodeedro Pentágonos Iosedro Triángulos Poliedros semirregulres: uerpos geométrios limitdos por vris lses diferentes de polígonos regulres, se pueden lsifir en prisms y pirámides. Los Prisms están formdos por vrios prlelogrmos y dos polígonos regulres, denomindos bses que están ontenidos en dos plnos prlelos. Se lsifin en: ) Retos y Obliuos: Retos undo ls rs lterles son retángulos. b) Regulres e Irregulres: Según se los polígonos de ls bses. ) Form de ls bses: Pueden ser Tringulres, udrngulres, pentgonles, et.

23 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Dest de est lsifiión el Prlelepípedo que est formdo por seis rs que son prlelogrmos prlelos e igules dos dos, (espeil por que sus bses son prlelogrmos). Se le llmr ortoedro l prism el ul est formdo por rs retngulres, o udrds (Hexedro). Ls Pirámides es el espio omprendido entre el vértie de un Angulo poliedro y un plno que ort tods ls rists del mismo. Cuerpos Redondos: Cilindro Cono Esfer Toro Elipsoide Prboloide Superfiie Esféri: Es l engendrd por l rotión de un semiirunfereni lrededor de su diámetro, y limit un esfer. Esfer: Prte del espio limitd por un superfiie esféri. Hemisferio: Tmbién semiesfer, se form undo un plno divide l superfiie esféri en dos prtes igules, (ps por el entro). Csquete esfério: se form undo un plno divide l superfiie esféri, sin que el plno pse por el entro. Zon Esféri: Porión de superfiie esféri omprendid entre dos plnos prlelos que l orten. Rebnd esféri: es l prte del espio limitd entre dos plnos prlelos sentes un esfer y l zon orrespondiente. Huso Esfério: Es l porión de superfiie esféri limitd entre dos plnos que se ortn según un diámetro.

24 Cuñ esféri: Se llm sí l prte de espio omprendido entre dos plnos que se ortn según un diámetro y el huso esfério orrespondiente Setor Esfério: Porión de espio omprendido entre un Csquete y l superfiie óni.

25 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Trigonometrí L plbr trigonometrí proviene del voblo griego trígono tringulo-, y metron medid-, que se refiere ls medids de los ángulos de un tringulo. L trigonometrí es l rm de ls mtemátis que intent estbleer ls reliones entre los ldos y los ángulos de un tringulo, pr sí poder resolverlos. Así entones resolver un tringulo signifi enontrr el vlor de sus tres ldos, y el de sus tres ángulos, pr esto nos vldremos del teorem de Pitágors pr enontrr el vlor de un ldo, si es que y onoemos dos, y de ls funiones trigonometris pr onoer el vlor de los ángulos internos si es que y onoemos mínimo un ldo. Y sí posteriormente podremos ombinr ls funiones trigonometris on el teorem de Pitágors pr poder resolver problems de myor difiultd. Teorem de Pitágors Hipotenus B t e t + b o C A teto b "EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS"

26 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Funiones Trigonometris Como lo dijimos nteriormente ls funiones trigonometris nos servirán pr relionr los ldos de un tringulo retángulo pr sí hllr el vlor de sus ángulos internos. B Hipotenus C A b SEN A CATETO OPUESTO HIPOTENUSA CATETO OPUESTO b SEN B HIPOTENUSA COS A CATETO ADYACENTE HIPOTENUSA b CATETO ADYACENTE COS B HIPOTENUSA TAN A CATETO OPUESTO CATETO ADYACENTE b CATETO OPUESTO b TAN B CATETO ADYACENTE CTG A CATETOADYACENTE b CATETO OPUESTO CATETOADYACENTE CTG B CATETO OPUESTO b SEC A HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE b HIPOTENUSA SEC B CATETO ADYACENTE CSC A HIPOTENUSA CATETO OPUESTO HIPOTENUSA CSC B CATETO OPUESTO b

27 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Ls funiones nteriores ls llmmos funiones trigonometris direts, pues on ells estbleemos ls reliones entre los tetos y l hipotenus, ls primers 3 (sen, os, tn) son ls ms importntes, por ser ls ms utilizds, ls ultims 3 (Ctg, se, Cs) si se observ bien son reipros ls primers tres. Y l relión de reiproidd qued omo sigue: SEN X COS X TAN X 1 CSC X 1 SEC X 1 CTG X CTG X SEC X CSC X 1 TAN X 1 COS X 1 SEN X Existen tmbién ls funiones Trigonometris inverss, y on ests podemos obtener el vlor de un ángulo, si onoemos primero el vlor de l funión trigonométri diret, y se puede obtener utilizndo un luldor, o lgun tbl en l que se muestren los vlores orrespondientes. Ejemplo: Tn 45 1 Tn Como hemos visto es fáil obtener ls funiones trigonometris de un ángulo gudo, sin embrgo, undo se trt de ángulos myores, es neesrio trzr un sistem de ejes rtesinos, y trzr un irunfereni on entro en el origen (irulo unitrio) on un unidd de rdio, y simulr los ángulos de diferentes mgnitudes utilizndo pr esto los udrntes del plno. Se observr que d funión tendrá signos diferentes según en que udrnte se enuentre el ángulo.

28 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Funiones Trigonométris de Otros Ángulos Los tetos OC y BC son positivos. Y CATETO OPUESTO SEN A HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE b COS A HIPOTENUSA B CATETO OPUESTO TAN A CATETO ADYACENTE b CATETOADYACENTE CTG A CATETO OPUESTO b O C X HIPOTENUSA SEC A CATETO ADYACENTE b HIPOTENUSA CSC A CATETO OPUESTO El teto OC es negtivo. Y CATETO OPUESTO SEN A HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE b COS A HIPOTENUSA B X C O CATETO OPUESTO TAN A CATETO ADYACENTE b CATETOADYACENTE b CTG A CATETO OPUESTO HIPOTENUSA SEC A CATETO ADYACENTE b HIPOTENUSA CSC A CATETO OPUESTO

29 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises El teto OC y BC son negtivos. Y CATETO OPUESTO SEN A HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE b COS A HIPOTENUSA C CATETO OPUESTO TAN A CATETO ADYACENTE b CATETOADYACENTE CTG A CATETO OPUESTO b O X HIPOTENUSA SEC A CATETO ADYACENTE b B HIPOTENUSA CSC A CATETO OPUESTO El Cteto BC es negtivo. Y CATETO OPUESTO SEN A HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE b COS A HIPOTENUSA CATETO OPUESTO TAN A CATETO ADYACENTE b CATETOADYACENTE CTG A CATETO OPUESTO b O C X HIPOTENUSA SEC A CATETO ADYACENTE b B HIPOTENUSA CSC A CATETO OPUESTO

30 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Sen ordend/rdio BC/OB Cos bsis/rdio OC/OB Tn ordend/bsis BC/OC Ctg bsis/ordend OC/BC Se rdio/bsis OB/OC Cs rdio/ ordend OB/BC Ests funiones nos permiten generlizr pr ulquier ángulo. Aunque debe tenerse en uent el signo de d funión orrespondiente d udrnte, pues si el extremo B se enuentr en el primer udrnte, su ordend y bsis es positiv sí entones tods ls funiones del primer udrnte son positivs. Si el extremo B se enuentr en el segundo udrnte, su ordend es positiv y su bsis es negtiv; por tnto el seno y l osente son positivos Si el extremo B lleg hst el terer udrnte, ordend y bsis negtiv, serán positivs l tngente y l otngente Si el extremo se enuentr en el urto udrnte, es positiv l bsis y negtiv l ordend; luego son positivos el oseno y l sente. Podemos resumir estos resultdos en el siguiente udro. Cudrnte I (O) II III IV Sen Cos Tg Cotg Se Cs

31 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Ley del Seno y Coseno H st hor hemos visto l relión de ldos-ángulos de un tringulo retángulo, estbleiendo ls operiones que debemos de efetur pr resolver este tipo de triángulos. Aunque be menionr que el uso del teorem de Pitágors, y ls funiones trigonometris no nos servirán pr resolver triángulos obliuángulos, pr esto estbleeremos nuevs reliones pr obtener ls formuls orrespondientes (ley de seno y oseno), y sí enontrr los vlores inógnitos. C C b b A B A B A Ley Del Seno BL Ley Del Coseno SenA b SenB SenC b b b CosA CosB b b CosC Not: l ley del seno y oseno, nos yudn resolver triángulos obliuángulos, o se triángulos utángulos y obtusángulos, solo es neesrio plir l euión orrespondiente.

32 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Ángulos Espeiles Cudrdo Sen 45 Cos 45 Tn Tringulo Equilátero Sen 60 3 Sen Cos 60 3 Cos 30 3 Tn Tn Not: En el seno y oseno de 45, sí omo en l tngente de 30, se h rionlizdo l frión prinipl, pr simplifir los rdiles en el denomindor, y psrlos l numerdor.

33 Geometrí Y Trigonometrí Glindo Herrer Moises Identiddes Trigonométris SEN X + COS SEC CSC X X X 1 TAN X 1 CTG X 1 TAN X SEN X COS X COS X CTG X SEN X Un identidd Trigonométri es un iguldd que se umple pr ulquier vlor, ls que quí se muestrn son ls de myor importni, pues ests nos yudrn simplifir identiddes ms omplejs, y sí logrr demostrr su iguldd. Así entones demostrr un identidd trigonométri es un onjunto de proedimientos que nos permiten omprobr que expresiones en prienis diferentes son en relidd igules entre sí. No existe un proedimiento únio, se puede llegr l resultdo siguiendo diferentes mners, sin embrgo pueden drse ls siguientes sugerenis: 1. Relizr ls operiones indids (sum, rest, multipliión, división, et.). Trbjr on el miembro de l euión prentemente ms omplejo 3. Ls funiones tn, Ctg, Se, Cs, ponerls en funión de Sen, y Cos.

34 Guí de Estudio Geometrí Y Trigonometrí Cofuniones Trigonométris Sen (90 x) Cos x Tn (90 x) Ctg x Se (90 x) Cs x Cos (90 x) Sen x Ctg (90 x) Tn x Cs (90 x) Se x Euiones Trigonométris Llmremos Euiones trigonométris quells en ls que intervengn un o vris rzones trigonométris de ls inógnits o de expresiones que ls ontengn. Existen tres tipos de euiones trigonométris: 1. Ls ms senills de l form: Sen x n; Cos x n; Tg x n Sen x ½ 4Tg x 4 Sen x O de l form sen (P (x))n; Cos (P (x))n; Tg (P (x))n 3 os x se x Tg x Tg x Tg x (1 + 3 ) tg x + 3 0

35 Guí de Estudio Geometrí Y Trigonometrí 3. O undo intervienen en un mism euión ms de un rzón trigonométri (Not: se esriben tods en funión de un de ells) Sen x + Cos x 5/4 Sen x sen (/3) Sen x Cos x Sen x + Cos x 1 Finlmente en el so de sistem de euiones trigonométris hbrá que plir onvenientemente los métodos onoidos. Cos x + Cos y -1 Cos x Sen y -3 NOTA: Pr enontrr todos los vlores que stisfgn l euión, tenemos que tomr en uent los signos de ls funiones en los udrntes.

36 Guí de Estudio Geometrí Y Trigonometrí Formuls Trigonometris Diverss 1. Adiión de ángulos Sen (+b) Sen Cos b + Cos Sen b Cos (+b) Cos Cos b Sen Sen b Tn Tn b Tn (+b) 1 - (Tn )(Tn b). Ángulos Dobles Sen () Sen Cos Cos () Cos Sen Tn Tn () 1- Tn 3. Difereni de ángulos Sen (-b) Sen Cos b - Cos Sen b Cos (-b) Cos Cos b + Sen Sen b Tn Tn b Tn (-b) 1 (Tn )(Tn b) 4. Ángulos Mitd Sen (/) Cos (/) 1 Cos 1 Cos Tn (/) (1 Cos )(1 Cos )

37 Guí de Estudio Geometrí Y Trigonometrí

38 Glindo Herrer Moises Guí de Geometrí y Trigonometrí Bibliogrfí Esreño, Fortino. Mtemátis. Ed. Trills. Primer Ediión. Méxio Briseño, Luis Alberto. Mtemátis 3. Ed. Trills. Primer Ediión. Sext reimpresión. Méxio Spiegel, Murry. Mnul de formuls y tbls Mtemátis. Ed. MGrw Hill. Primer Ediión. Méxio. 000 Fornls, Purifiión. Ayúdme on l Tre de Mtemátis 3. Ed. Lexus. Primer Ediión. Espñ. 00 Esrtin, Ros. Enilopedi Reymo: Mtemátis. Ed. Reymo. Primer Ediión. Espñ. 003 Cbllero, Arquímedes. Tbls Mtemátis. Ed. Esfinge. Quinugésimo urt ediión. Méxio