SISTEMAS MULTIFASICOS

Transcripción

1 ITEMA MULTIFAICO CURO: MODELACIÓN MATEMÁTICA COMPUTACIONAL DE ITEMA TERRETRE I POGRADO: CIENCIA DE LA TIERRA Y CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM

2 . MODELO BAICO PARA EL TRAPORTE DE MÚLTIPLE EPECIE EN EL FLUJO DE UN FLUIDO MULTIFÁICO EN UN MEDIO POROO.

3 . MODELO BAICO El rocedimiento axiomático ara dearrollar lo modelo matemático báico de itema multifáico e alicará al dearrollo de ecuacione que decriben el flujo de fluido de múltile fae a travé de un medio oroo. Emieza con una decrición del tranorte de eecie individuale diuelta y entonce combina eta ecuacione ara roducir la ecuacione de flujo de fluido.

4 . MODELO BAICO Aquí el término eecie e uará como inónimo de comonente, e decir, una eecie e una ubtancia diuelta en una fae. La fae a coniderar on ólida, líquida o ga, la cuale a nivel microcóico etán earada de otra fae ólida, líquida o ga or una frontera o interfae. Cada fae erá identificada or el ímbolo α. Con bae en la definición dada, un uelo arcialmente aturado contendrá tre fae: una fae acuoa (α=),una fae gaeoa (α=g), y una fae ólida (lo grano α=).

5 . MODELO BAICO

6 dondev edenotará como e decir. MODELO BAICO La fracción devolumen de la fae e define como e el volumen ocuado or la fae y V e el volumen del itema. Cada fae fluida contiene eecie diuelta y e denotarán la eecie i en la fae adornando la variable de etado aroiada con la notación i. Por ejemlo la fracción de maa de la eecie i en la ae La fracción de maa etá relacionada con la concentración, definida como la maa de i or unidad de volumen de la fae, iα iα α, a travé de la relación i, i α donde e ladenidad de la fae.. V V,

7 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE i EN LA FAE α

8 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE Para alicar el método axiomático ara etablecer lo modelo báico de lo itema multifáico, e neceita identificar una familia de roiedade exteniva aroiada. Para toda eta alicacione, la maa de cada eecie contenida en cada fae, ara cada fae α y cada comonente i, e un miembro de ea familia. Dado M iα como la maa de la eecie i contenido en la fae α, donde i =,,N c (iendo N c el número total de eecie) y ea α =,,N (iendo N c el número total de fae); entonce la familia de roiedade exteniva caracterizando el modelo e contituida or { M iα, donde i =,,N c y α =,,N }

9 donde 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE La familia de roiedade exteniva caracterizando el modelo e contituida i la eecie i no e olube en la fae abemo que M E mejor dearrollar el modelo matemático de la familia reducida N M M, or, i,, N con en la fae α no e nula. i,, N y,, N El número total ara eta familia ede N C i iα c C e el número de eecie cuya olubilidad N y,, N c. i 0

10 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE La cardinalidad (el número total de miembro) de la famila reultante de roiedade exteniva e : N M N i C Ahora e derivarán la ecuacione diferenciale que gobiernan el tranorte de multile eecie en múltile fae. Para eto e exrea a la familia de roiedade eteniva como integrale obre lo cuero del itema multifae i t x, t x, t B t d x

11 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE La roiedade inteniva correondiente, que caracterizan el modelo ara el itema on lo integrando, lo que roduce la familia de roiedade inteniva iguiente : donde x, t x, t e i Deacuerdo a g i i dm dt on el i la, i,, y,, N C ecuación de balance i t g x, t B t d x global B t x, t nx, t fuente externa de maa de eecie i en la fae α, flujo de maa de eecie i a la fae α. i d x

12 El 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE término g g iα I iα E r g i i erá decomueto en tre arte :, debido a reaccione química que generan maa de la eecie i, en la fae α, debido al intercambio de maa entre la diferente fae,, que roviniene del exterior del itema de tranorte. El El término r término e i e la maa roducida or la reaccione química ocurriendo en la fae α iα β e la maa (or unidad de volumen total del itema) de la eecie i que va de la fae α a la fae β a travé de la interfae que eara a la do fae

13 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE Entonce g iα I e i y g iα r i e i g iα E El flujo de maa de la eecie i e debido a roceo de dierión difuión, llevado a cabo or la eecie diuelta en la fae, τ iα j i a la fae α, e decir, el camo vectorial y e ecribe generalmente como : El vector j i e el vector de dierión a la eecie i en la fae α

14 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE 0 tomado Por imlicidad e ha,,,, 0; correondiente on : Alicando la anteriore definicione la ecuacione de balance local i E C i i i i i g N y i e r j v t N i i i i i i N e r j v t C,, 0; fae eecie en la entonce umar obre toda la y fracción de maa ecuación en término de la E intereante ecribir la

15 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE N i i N i i N i i N i i N i i N e r j v t i v C C C C C,, 0; e obtiene, on indeendiente de y que y notando Moviendo la umatoria hacia lo diferente oeradore

16 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE Por definición la uma de la fraccione dema e uno. La conervación de maa imlica que N C i j r i N 0 Eto e cumle cuando la reaccione dentro de la fae on tomada en cuenta. Aí, el decaimiento radiactivo o la reccione de rimer orden, no deben er incororada en Ademá e define C i j i ; e N C i e i r i.

17 2. MODELADO DEL TRANPORTE DE EPECIE Notando que 0, e obtiene loiguiente v t j Eta ela ecuación del movimiento de la fae α. e 0;,, N El último término de la ecuación decribe la tranferencia de maa de la fae a toda la otra fae con la cuale la fae tiene contacto.

18 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO

19 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO En eta ección e dicute el flujo de un fluido, tal como el agua, fluyendo en medio oroo tal como un uelo. En el cao encillo e aume que no hay interacción entre el fluido y el ólido. Para el cao contrario, aquí e analizará el cao en el que el fluido e adorbido en el ólido. Lo modelo de eta clae tienen alicacione ignificativa en la ciencia de uelo y en hidrología. Como e verá, la ecuación báica erá uada y el intercambio entre el fluido y el ólido da lugar a un término fuente. Para mayor claridad e dearrollará ete modelo ab initio.

20 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO Recribiendo la fórmulación obtenida ara la fae agua : v e 0; t y ara el ólido v e 0; t

21 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO ; 0 término de velocidad de grano y que e obtenga : que e elimine el de forma ólido or Ahora multilicamo la ecuación ara el 0 roduce agua definición en la ecuación ara el La utitución de eta velocidad de Darcy como Definimo ahora la e v t e v q t e v q t v v q

22 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO Reagruando lo D D D q D D donde la derivada material ha ido tomada en cuenta con reecto a la velocidad de la artícula ólida. término de la ecuación e obtiene rimer término de la ecuación ara roducir D e iguiendo el dearrollo de Pinder y Gray (2008) e exande el e 0;

23 El 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO egundo término e uede ecribir de la D D iguiente ecuación D D iguiente D q e e 0; forma utituyendo el reultado en la ecuación e roduce la D D D equivalente

24 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO i ealica la regla de la cadena al rimer término D D D Donde e la comreibilidad del fluido. De manera imilar ara lo grano ólido, egundo término D D D Finalmente e conidera el terce término obtiene loiguiente D donde e define la b D comreibilidad aarente b D

25 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO i e incluye la exreión ara la ley de Darcy q k g y ie define el coeficient e de almacenamiento como g e obtiene la iguiente ecuación b D k g e e g la cual ela ecuación ara decribir el flujo aturado de agua ubterránea cuando hay intercambio de maa de agua entre la fae agua y la fae ólida 0;

26 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO i e aume que la matriz e deforma tan lentamente que la derivada utancial e uede remlazar or una derivada arcial con reecto al tiemo, e obtiene k g e e g t Eta ecuación e uede imlificar ara itema h ref d ' ' g gk g z z ref 0; ara lo que la denidad deende olo de la reión y el gradiente de denidad e equeño, tomando la definición de carga hidráulica, la cual e

27 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO g g g h y t g t h regla de Leibnitz e obtiene de una integral ara la difernciación Uando la. la e donde 0 0; ecuación en la La utitución de eta do derivada conductividad hidráuilica k g K e e h K t h o e e h k g t h

28 3. EL CAO DEL FLUJO ATURADO Coniderando que el flujo a deben balanceare e e 0; travé de la frontera de fae o h K h e 0 t Eta formulación tiene la ventaja de uar la carga hidráulica, la cual e facilmente medida en el camo como la variable de etado, la cual, a u vez, facilita la eecificación de condicione de frontera.

29 4. EL ITEMA AIRE AGUA

30 donde 4. EL ITEMA AIRE AGUA e decribirá rimero el flujo aire - agua or u imortancia ráctica, eecialmente en agronomía, y or er un ejemlo directo. i definimo la oroidad de un medio oroocomo, entonce V α α V v V v V α e la aturación de la fae α. iguendo el dearrollo general eguido en Pinder y Grey (2008), e uede obtener el itema de ecuacione ara do fluido D v D D q e e 0;, a a

31 4. EL ITEMA AIRE AGUA a e e e e q D D D D v a a, 0; : término ara el Cuando e combina con la ecuación de fae ólida

32 4. EL ITEMA AIRE AGUA Exiten relacione exerimentale que relacionan la aturación de la fae α con la reión en la fae α. Un ejemlo e muetra en la figura. La ordenada e la carga de reión cailar, el cual e definido como c /ρ g, donde c = - a en el itema aire agua. E de notar que la reión cailar e un número negativo, coniderando que la reión atmoférica e tradicionalmente definida como cero.

33 4. EL ITEMA AIRE AGUA e conideraran ahora la varia curva motrada en la figura. Una inicia con aturación ( =) y una reión cailar cero ( c =0). Conforme la reión e reducida, e decir conforme c e incrementa, inicialmente no cambia la aturación. Cuando la carga de reión cailar de alrededor de 5 cm, un decremento de aturación inicia conforme entra aire al medio oroo. La reión a la que eto inicia e llamada reión de burbujeo (bubbling reure).

34 4. EL ITEMA AIRE AGUA Conforme la reión e reducida la aturación decrece hata que forma una aíntota a una aturación de 0.3; eta aturación e denominada aturación irreductible. E en ete unto que la continuidad del agua e comrometida y la reión no uede er roagada a travé del medio oroo. Eta e la curva de drenaje rimario, denotada en la figura como PDC.

35 4. EL ITEMA AIRE AGUA i el roceo e invertido, e decir e incrementa la reión del agua (decrece c ) la aturación del agua e incrementa. in embargo no regrea a una aturación total orque el aire e atraado en el medio oroo. La aturación a la que eto toma lugar e llamada la aturación de aire reidual (or lo 0.82). Eta e la llamada curva de imbibición rincial denotada or MIC.

36 4. EL ITEMA AIRE AGUA i ahora la e diminuye la reión del agua otra vez, el reultado e un decrecimiento de la aturación hata la mima aíntota de aturación de agua irreducible. Eta e la curva de drenaje rincial y denotada como MDC. Nótee que dede cualquier aturación, dentro de lo valore irreducible y reidual, do reione exiten. La diferente curva reflejan la hitoria de drenaje o imbibición de la rueba. Ete e el fenómeno llamado hitérei.

37 4. EL ITEMA AIRE AGUA También e uede iniciar con un uelo totalmente eco y emezar a introducir agua. La reión del agua e incrementa conforme el agua entra al uelo. La aturación también e incrementa hata que la aturación reidual de aire e alcanza. Eta e la curva de imbibición rimaria y denotada como PIC en la figura. La curva denotada como MDC* y MIC* indican la evolución del itema i la aturacione iniciale etán entre 0 y la de agua irreductible y entre la de aturación reidual y la.

38 4. EL ITEMA AIRE AGUA Una egunda relación contitutiva requerida relaciona la ermeabilidad con la aturación. La coexitencia del agua y aire decrece la ermeabilidad a ambo. La fórmula de la ley de Darcy requiere una modificación que reconozca eta realidad fíica, como en la iguiente fórmula. donde k q r e la k r k en el rango 0 k r gˆ z ermeabilidad relativa

39 4. EL ITEMA AIRE AGUA Entre má eté reente la fae α en el itema, má alto e el valor de k rα. La relación entre ermeabilidad relativa y aturación en el cao de drenaje rimario y drenaje rincial y la imbibición e rovee en la figura.

40 4. EL ITEMA AIRE AGUA e conidera rimero el cao de drenaje rimario (Panel izquierdo). La ermeabilidad relativa del agua e unitaria ante la aturación total del agua. Conforme el la aturación del agua e aroxima a la aturación irreductible, la ermeabilidad relativa al agua e reduce a cero. En la aturación irreductible la fae agua ya no e continua, la reión no e uede roagar y el flujo no e oible.

41 4. EL ITEMA AIRE AGUA Por el otro lado, la ermeabilidad relativa del aire e cero con aturación de agua total y e incrementa conforme la aturación del agua decrece. No llega a er uno a caua de la exitencia de aturación irreductible del agua

42 4. EL ITEMA AIRE AGUA i la aturación del agua e incrementada dede la aturación irreductible (Panel derecho de la figura), la ermeabilidad relativa del aire decrece y alcanza el cero en la aturación reidual del aire. En ete unto la fae aire e hace dicontinua y no e oible el flujo. Mientra, conforme la aturación del agua e incrementa, la ermeabilidad relativa de la fae agua e incrementa hata que alcanza un máximo en la aturación de aire reidual.

43 4. EL ITEMA AIRE AGUA D Conidéree ahora el término de la ecuación de la forma. Emleando la relacione de aturación - reión de la rimera figura y la regla de la cadena, e uede ecribir D c D c a a D D Como ; Entonce Eto ermite uar curva de aturación ya introducida a D a a c D c y obtener

44 4. EL ITEMA AIRE AGUA Conidéree ahora el término de la rimera ecuación de la forma D. Emleando un reultado del caítulo de flujo en medio oroo, e uede ecribir D D Conidéree ahora el término de la egunda ecuación de la forma - α ρ ε α ρ D ε ρ

45 4. EL ITEMA AIRE AGUA comreibilidad de la matriz α D α D D ρ ε D ρ ε ρ - b b α α e la donde e uede ecribir Continuando con

46 4. EL ITEMA AIRE AGUA ólido comreibilidad del ρ D ε ρ Dρ ρ ε ρ o D ρ ρ ε ρ Dρ ρ ε ρ Dρ ρ ε ρ α α α α α α α α α α e la donde e uede ecribir término El

47 4. EL ITEMA AIRE AGUA La divergencia del flujo e uede abordar como igue k k r q gˆ z Hace falta coniderar lo término de interfae. En el cao agua - aire concierne a la evaoración y condenación de agua y la formación de hielo. Lo término de interfae on e a e En un itema iotérmino como el a coniderad aquí, término e anulan. no hay tranferencia de maa entre fae y eto e e con α,a

48 4. EL ITEMA AIRE AGUA Ahora e recolectará la información relevante ara crear la ecuacióndecribiendo el flujo no - aturado en un medio oroo. einiciará con la ecuación de flujo D Combinando eta D q 0; ara cada término e obtiene b de agua : : D exreión con la información obtenida D D kr k D D D gˆ z 0; c c

49 4. EL ITEMA AIRE AGUA i e aume que la comreibilidad y velocidad de lo ólido e equeña, e uede imlificar la ecuación : b D D k k D r Ahora e aume que lareión en lo ólido e uede ecribir, e tiene que : a c actuando en la uerficie de lo grano : c gˆ z 0; como el romedio onderado de la reione de agua y el aire Donde e el arámetro de Biho (Pinder y Gray, 2008). i e aume que la reión del agua e dominante y eelecciona

50 4. EL ITEMA AIRE AGUA ; 0 ˆ aara fae acuoa : e toma i z g k k t t t r a c b a c ; 0 ˆ imilar rovee de la ecuación ara la fae aérea : Un dearrollo z g k k t t a r a a a a a a c a a b a

51 4. EL ITEMA AIRE AGUA Dada la información ulementaria contenida en la relacione contitutiva, toda la variable de etado que aarecen ueden er exreada en término de y a. Ete conjunto de ecuacione no-lineale, acolada a travé de la reione, debe er reuelto imultáneamente.

52 5. EL MODELO DE FLUJO CON AIRE INMÓVIL

53 5. EL MODELO DE FLUJO CON AIRE INMÓVIL En ciencia de uelo e tradicional aumir que el aire, mientra eté reente, e una fae inmóvil. Cuando e hace eta uoición, e aceta imlícitamente que: La reión de la fae aérea e eencialmente contante y atmoférica; y No exite movimiento de aire ignificativo.

54 5. EL MODELO DE FLUJO CON AIRE INMÓVIL : forma iguiente de la e cual la eobtiene olo una ecuación, y fae edevanece ecuación ara la Dada eo uueto,la ; ˆ 0 z g k k t r b c

55 La ecuación anterior el una donde. 5. EL MODELO DE FLUJO La cual en u forma original e t K k r k K z CON AIRE INMÓVIL K g Nótee que el itema de ecuacione ha ido reducido a ecuación no - lineal, cuya incógnita extenión de la ecuación de Richard ela conductividad hidráulica definida como e la reión una z

56 6. CONDICIONE DE FRONTERA

57 En el 6. CONDICIONE DE FRONTERA cao de la la condición de frontera del rimer tio (Dirichlet) e una reión eecificada ( o, rearreglan do formulación baada x, t x, t La de egundo tio(neumann) condición uualmente reentada como flujo, e decir : q o o k n, gˆ z x n en la x, n k q x, t n x, tgˆ z n, x 2 o reión, 2 3 ) : Nóteeque ara la condición común de no flujo a x, n x, tgˆ z n travé de la frontera

58 El 6. CONDICIONE DE FRONTERA La formulación alternativa ara la ecuacione de flujo aturado ua el conceto de carga hidráulica incógnita ara la cual una olución e bucada. cao de carga h contantee de rimer tio o Dirichlet de la forma x, h x, t Prácticamente, eta condición alica donde el valor de la carga en una localidad de la frontera e conocida, como en el cao donde una orción de la frontera 0 como la variable de etado etá en contacto con un cuero de agua uerficial. Una condición de reión atmoférica contanteo, equivalentemente un valor de carga igual a la elevación del nivle del agua e uede uar. h

59 donde K 6. CONDICIONE DE FRONTERA La condición de de egundo tioo Neumann cuando eeecifica uando la carga e de la forma : q 0 la cual rearreglán dola da h n K n K h e la invera de la matriz K. En la ráctica, eta condición identifica condicione de flujo a travé de una artede la frontera q n 0 n 2.

60 donde 6. CONDICIONE DE FRONTERA La condición del tercer tio(de Robbin) e de la forma h f 0 x, t n h y un cuero de agua uerficial con una carga f 0 x, t e una función conocida. E una combinació n lineal de la condicione de Neumann y de Dirichlet. Una alicación común de ete tiode condición de frontera en flujo aturado e h h h z donde e un arámetro que decribe la habilidad del agua ara fluir a travé de de una caa earando al acuífero donde la carga e h Aí eta condición uede er enada como como la que decribe la filtración hacia el acuífero. h.

61 y como 6. CONDICIONE DE FRONTERA En el cao del flujo no - aturado uando una formulación de una ola ecuación la condicione definida ara la formulación de la reión e mantienen. Como la fae aire en ete cao e aumida como contante, e uede eecificar también la aturación también e eecifica a e contante, e uede eecificar la condicionde frontera bucada. c c, ya que eecificando a travé de la relacione aturación - reión,,

62 6. CONDICIONE DE FRONTERA imilarmenteeecificando el flujo entrando or la frontera, e define el gradiente de reión.in embargo e comlica, orque ara el cao de flujo no - aturado la condición e de la forma x, t n k La cual incluye la k r de frontera no - lineal c y e x, t n x, t ermeabilidad relativa gˆ z como arte de la condición de frontera. Aí eta q que la correondiente condición de frontera lineal. 0 k r má comleja de abordar numéricamente c e n, una x 2 condición

63 6. CONDICIONE DE FRONTERA En el cao del flujo multifáico, cuando la fae ara el aire y el agua on dinámica, la eecificación de una condición Dirichlet, de reión contante, debe er coniderada con cuidado. Coniderando que la reión cailar liga la reione del agua y del aire a tavé de la relación c n. Ademá, la aturación e deendinete de la reión cailar,edecir, c. Aí la do reione y la aturación etán ligada y no ueden er definida indeendientemente. En otra alabra, i la aturación en la frontera econocida, la reione uada en la frontera deben er auto - conitente con la aturación, y también, la do reione fluida deben er conitentecon la reión cailar.