FUNCIONES DE DAR ZARROUK

Transcripción

1 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN AMBIGÜDAD DL PROBLMA INVRO La solucón del problea nverso no es en general únca, ya que curvas de resstvdad aparente que dferen entre sí en enos del error experental pueden dar lugar a cortes uy dferentes. s decr: pese a estar deostrado que a cortes geoeléctrcos dferentes les corresponden curvas de V gualente dferentes, de las curvas de capo no puede decrse lo so Adeás, las curvas de capo venen dadas por sólo unos cuantos puntos, afectados de errores de edcón, por lo que en lugar de una curva geoétrca perfectaente deternada, se tene una sere de cortos segentos por los que pueden pasar nfntas curvas teórcas, coo lo uestra el gráfco de la fg. 53 (Orellana, 98),. quvalenca en cortes de tres capas Una anera sple de plantear la cuestón está dada por el prncpo de equvalenca de la escuela francesa para cortes de tres capas de tpo K y H. n el prer caso cuando se susttuye la capa ntereda (, ) por otra (n, /n), con n >, fg. 54, las CRA correspondentes uestran dferencas desprecables frente a los errores experentales. n el segundo, cuando (, ) se susttuye por ( /n, /n). Cuestones que analzadas por Mallet (947) condujeron a la ntroduccón de los paráetros de Dar Zarrouk y a partr de éstos a las funcones de Dar Zarrouk, teas que son desarrollados en el presente capítulo. a ; a (Ω.) AB/ Fg. 53 Incertdubre de los valores de a Corte CRA-Corte Corte CRA-Corte 0 Prof.; AB/ () Fg. 54 quvalenca en K 43

2 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN jeplo de abgüedad Un lustratvo ejeplo de abgüedad es el ostrado por Orellana y Hernández (979), para tres cortes geoeléctrcos de cuatro, cnco y nueve capas, cuyas CRV son uy dferentes entre sí, aunque uestren certos rasgos counes (fg. 55). Pese a tales dferencas, sus curvas de resstvdad aparente (fg. 56) dferen en enos del 5% lo que las hace ndferencables en la práctca. a (Ω -) 00 0 R COR GOLÉCRICO D CUARO, CINCO Y NUV CAPA 0, 0, Prof. () 0 00 e trata entonces de cortes equvalentes, puesto que cualquera de ellos puede toarse coo la solucón del problea nverso de una curva de capo que dfera de las anterores en solo el 5 %. stos probleas de abgüedad, que en prncpo desconcertan por la nsegurdad que provocan en la presentacón de los resultados, fueron advertdos por la escuela francesa apenas dspuseron de un catálogo de curvas patrón, sntetzándolos en los prncpos de equvalenca y supresón (Orellana, 97) No obstante, el anejo adecuado de esta cuestón puede ser uy favorable en el proceso de nterpretacón cuando esta se realza con un adecuado conocento de las condcones geológcas del edo en el que se aplca el étodo. Y a ello contrbuye favorableente el anejo de los paráetros y las funcones de Dar Zarrouk (Fg. 57) que perten una ejor coprensón y anejo de equvalencas y abgüedades a (Ω.) (Ω.) , 00 0 CURVA D RIIVIDAD APARN D LO R COR ANRIOR 0 AB/ () Y U CURVA D DAR ZARROUK Fgs. 55, 56, 57 CRV, CRA y CDZ de tres cortes equvalentes 0, 0 Az () Caso Caso Caso 3 44

3 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN LO PARÁMRO D DAR ZARROUK ben una capa geoeléctrca queda perfectaente deternada s se dan su espesor y su resstvdad, puede gualente ser expresada a través de los denonados paráetros de Dar Zarrouk (Mallet, 947) que se defnen edante las sguentes relacones:. (87) (88) recbe el nobre de resstenca transversal untara y el de conductanca longtudnal untara. on paráetros adtvos de odo que a un conjunto de n capas le corresponde la sua de sus paráetros ndvduales, es decr:. Por consguente sus densones son: [ ] Ω. y [ ] (seen) gnfcado de y de se consdera un voluen del terreno con fora de prsa con una base cuadrada de de lado (fg. 58), su resstenca eléctrca ante correntes transversales estará dada por: l s * y su conductanca ante correntes longtudnales, por: l s * La prncpal utldad de estos paráetros es que cualquer conjunto de capas geoeléctrcas, puede ser reeplazado por una sola capa hoogénea e sótropa de resstvdad y espesor, cuyos paráetros de Dar Zarrouk sean guales a los del conjunto anteror. 3 4 Fg. 58 Prsa de base untara Cuestón de gran utldad en el proceso de nterpretacón, en el que este tpo de transforacones (donde y peranecen nvarables) es frecuente, especalente cuando se anejan prograas cuya salda son cortes con un núero deasado grande de capas o cuando es necesaro ntroducr en el corte valores predeternados coo pueden ser espesores y/o profunddades de capas conocdos gracas a perforacones de exploracón. Pseudo ansotropía ea, por ejeplo, el caso de encontrar una capa equvalente a n capas del corte geoeléctrco de la parte zquerda de la Fg. 59: II Fg. 59 Capa equvalente sn cabo de espesor 3 se antene el espesor de la capa equvalente en: Ésta será ansótropa puesto que habtualente: II 45

4 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN con una ansotropía gual a: A II Pero, s se pretende que la capa equvalente sea sótropa, su resstvdad se puede calcular edante:. II en cuyo caso resultará que: y en consecuenca:. A II (89) A (A) Lo que sgnfca que el espesor de la capa equvalente, de resstvdad gual al espesor del paquete orgnal ultplcado por A: seudoespesor por Mallet) rángulo de ansotropía Las relacones anterores pueden obtenerse de una anera sple edante las relacones entre los lados de los trángulos seejantes nvolucrados en la fg. 60, construda sobre la base de representar en coordenadas logarítcas las resstvdades (en ordenadas) y los espesores (en abscsas) de un corte y su equvalente. LA II J C H A A (90), será (A fue llaado A Z JC CH CZ loga JHZ J H Z Fg. 60 rángulo de ansotropía sósceles Los paráetros y se defneron consderando un núero entero de capas, no obstante su deternacón puede hacerse para cualquer valor de z, es decr, para profunddades que no estén ltadas al pso de una capa. ntonces, s z es el espesor de las preras capas de un corte con y, dentro de la capa (+) será: (z) + (z z ) + (z) (z z + funcones de z defndas para cualquer z > 0 y que pueden consderarse ecuacones paraétrcas de una curva (). Reeplazando por z en las ecuacones 90, se deduce que: Az + (9) s decr, a cada parte del terreno entre la superfce y la profunddad z le corresponde un pseudo-espesor Az(z) y una resstvdad (z), que pueden consderarse coo ecuacones paraétrcas de una curva (Az) o curva de resstvdades edas, conocda habtual- ) 46

5 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN ente coo curva de Dar Zarrouk, denonacón justfcada por la representacón coún de () y (Az), coo se deuestra en base al gráfco de la fg. 6: log Az + log log log Az log log -/ logaz π/4 -/ log.p Az s decr, las coordenadas de los puntos () están afectadas del ódulo -/ respecto de los puntos (Az) -/ logaz -/ log cuacón general de las curvas de Dar Zarrouk Fg. 6 Relacón entre P( ;Az) y P(,) z, x ln( Az) P ( ) y ln Az dx dz + Fg. 6 Ubcacón de P y su representacón en funcón de ( ;Az) dy dx x ln(az) (ln + ln) (9) y ln( ) (ln ln) (93) + dy ; dz e (94) y e ecuacón dferencal del arco de la CDZ de una capa de resstvdad, que se puede ntegrar por separacón de varables: y + e dx dy y (95) e x + K ntroducendo el cabo de varable e y w (de donde: dyw - dw) resulta: + e e y y dy y (96) 47

6 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN + K que calculada la ntegral nos lleva a: o sea: + w x x + K ln w dw w w w y x w e Ce y (99) w e que es la ecuacón general de las CDZ en funcón de x e y eddas sobre el gráfco logarítco. Pasando a antlogartos resulta: C(Az) (00) Propedades de las CDZ a) De la c. 94 surge que en los puntos de la CDZ correspondentes al contacto entre capas (z Σ ) la pendente tene valores dstntos por la zquerda ( ) y por la derecha ( + ). dy dx + >>>>>> s decr, la CDZ se copone de tantos arcos coo capas tenga el corte geoeléctrco (fg. 6), los que se unen en puntos angulosos. b) egún la c. 00, cuando en la últa capa, Az tende a nfnto, tende a (fg. 63). la capa consderada no es la últa, el arco de la CDZ concde con el del caso anteror hasta la z del contacto con la sguente. Por lo tanto, tenendo cada arco de la CDZ una asíntota horzontal por la derecha, los arcos ascendentes tenen concavdad haca abajo y los descendentes haca arrba. c) Cuando el corte geoeléctrco se lta a una sola capa de resstvdad (pendente nula) la CDZ se reduce a la recta (c. 94)., , CRV CDZ (97) (98) 0 z, Az Fg. 63 CDZ de un corte de tres capas 48

7 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN d) se noralza el corte ( y ), el prer arco es la serrecta ltada (por derecha) por el punto (Az) (analzar fgs.55 y 57). e) + >, el arco correspondente de la CDZ es una recta de pendente +, que corta al eje en un punto gual a Σ dy l l dx + +, +, corresponde al eje de abscsas del sstea (), y la recta de pendente +, al eje, que corta al eje, en sua de las conductancas longtudnales de las capas anterores. f) Cuando + >0, el arco correspondente de la CDZ es una recta de pendente -, que corta al eje en un punto gual a Σ, , 00 CRV CDZ prolongacón 0 z, Az Fg. 64 CDZ de un corte con + > l 0 dy dx l , +, corresponde al eje de ordenadas del sstea (), y la recta de pendente -, al eje, que corta al eje, en sua de las resstencas transversales de las capas anterores Una consecuenca de las dos últas propedades es que las capas de cortes nfrayacentes a una de conductvdad nula o nfnta, no se reflejan en la CDZ, 0, CRV CDZ 0 z, Az Fg. 65 CDZ de un corte con + > 0 n la ecuacón (00) la constante C es funcón, para cada arco +, de las coordenadas (A z, ) del punto anguloso en que se nca el arco y de la resstvdad + de la capa correspondente, es decr: C + (Az) + > el arco es ascendente y C es negatvo + < el arco es descendente y C es postvo Modfcando un poco la ecuacón (0), tendreos: (0) ± + + (AzC) (0) (+ ) AzC 49

8 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN cuacón correspondente al arco +, válda hasta el sguente punto anguloso. l sgno ha de toarse de odo que (+) sea postva. Curvas de Dar Zarrouk báscas Las CDZ poseen una propedad portante: todos sus arcos son segentos de una de dos curvas fundaentales. Cada arco de DZ depende de dos paráetros: la resstvdad de la capa consderada y la constante C, funcón de las capas anterores. ntonces, todos los arcos para los que C tene el so sgno (es decr, los ascendentes por un lado (C>0) y los descendentes por el otro (C<0)) pueden obtenerse partendo de un arco dado ultplcando C o (o abos) por factores postvos adecuados. endo: a > 0 y uln a, s en la c. 99 ultplcaos C por a, tendreos que dvdr el prer térno por e u, quedando: x u ( Ca) e y e y e y el arco de DZ se desplazará en dreccón paralela al eje Az (03) Igualente, sí; b > 0 y wln b, y buscando que la resstvdad cabe a b tendreos: y+ w x w e Ce ( y+ w ) e ( b) sa curva desplazada w en ordenadas y -w en abscsas. (04) Por tanto, hay solo dos tpos de arcos en las CDZ, que corresponden a los casos de C postva y negatva. algún arco es rectlíneo corresponde a las asíntotas de la curva general. stos arcos pueden calcularse edante la c (0) de (+) dando a C y a + valores fjos arbtraros (Fg. 66) y utlzar sus gráfcos coo ábacos para el trazado de CDZ, partendo de que cada arco de una curva de DZ queda deternado s se conoce un punto de él, que puede ser el ncal, y la resstvdad + de la capa correspondente (Fg. 67). l ábaco de la Fg. 66 contene las dos curvas báscas de DZ, ascendente y descendente, y las rectas y de pendentes + y -. Las curvas ascendente y descendente se construyeron con un procedento slar al de la págna sguente consderando en el prer caso un corte de dos capas con y 00, 000. Y en el segundo con 00, y, Fg. 66 Abaco para el trazado de curvas de Dar Zarrouk 50

9 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN jeplo del uso del Ábaco de Dar Zarrouk Construccón de una curva de dar zarrouk Fg. 67 Uso del ábaco de CDZ Coo alternatva al étodo gráfco, se puede construr una CDZ edante el cálculo de la cantdad de puntos consderados necesaros para hacerlo. ntonces, partendo del corte geoeléctrco dado por los valores de las dos preras colunas de la tabla sguente (gráfco de Fg. 68), se calculan en prer lugar los puntos angulosos y los valores de C para cada uno de los traos de la curva (c. 9 y 0): abla para el cálculo de Az, y C Az C,8,5 4,5 0,7 4,5 0,7,8,5 6,0 7,0 4 0,857 46,50,577 8,564 5,430-0, ,0,0 5 5,000 6,50 6,577 3,930,96 0, ,0 0, ,000 56,50 4,577 36,343 7,849-0, A contnuacón se calcula la curva trao por trao (c. 0) con un espacaento cualquera (en el ejeplo es del orden de los ses puntos por cclo logarítco) ncluyendo los puntos angulosos calculados antes (valores en rojo en la sguente tabla) abla para el cálculo de la curva de Dar Zarrouk Az C AzC (AzC) ( + ) +( + ) *(AzC) (+( + ) *(AzC) ) / +(-)Ant,5,8,5 3-0, ,949 0, ,869,697-0,697 3,5485 4,5-0, ,94 0, ,893,780 -,780 4, , ,3899 0, ,4477,9065 -,9065 4,890 8,56-0, ,556 0, ,589 4,098-3,098 5,493 0, ,4897 0,398,398,35,35 4, , ,6678 0,4460,4460,05,05 3,98 3,93 0,06038,45,008 3,008,7380,7380, , ,050 0,005 00,5,86-0,86, , ,0877 0, ,7693,330-0,330 3, , ,53 0,057 00,5699,603-0,603 4, , ,879 0, ,533,89 -,89 6, , ,506 0, ,796,698 -,698 6, , ,3759 0, ,9 3,8896 -,8896 7, , ,4085 0, ,6844 4,053-3,053 7, , ,50 0,5 00 6,85 5,06-4,06 8, , ,665 0, ,477 6,344-5,344 8,5304 5

10 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN 00 Llevando fnalente los valores de a un gráfco blogarítco y trazando la curva correspondente, la que se puede grafcar junto a la curva de resstvdad verdadera del corte geoeléctrco, tal coo en la Fg. 68. ; (Ω.) 0 Cortes equvalentes 0, Corte Geoeléctrco (CRV) Curva de Dar Zarrouk 0 Az; Prof. () Fg. 68 CDZ calculada edante tabla on cortes equvalentes aquellos que, aunque dferen en los paráetros de sus capas e ncluso en el núero de éstas, tenen curvas de capo y curvas de DZ que dferen entre sí en enos del líte del error experental (Orellana, 98) llo plca que dado un corte geoeléctrco, sus cortes equvalentes podrán obtenerse odfcando su CDZ dentro de lítes tolerables. La escuela francesa, prera en analzar este problea, dferencaba dos casos que explctaban en los prncpos de equvalenca y supresón. l prncpo de equvalenca se refería a las odfcacones en una capa de un corte de tpo (equvalenca en ) o tpo (equvalenca en ) sn alterar la profunddad del techo de la capa. quvalenca en Para explcarla toeos una capa de un corte geoeléctrco con ; debajo de una sere de capas con - y -, en el que es ucho ayor que -, de odo que para el pso de la capa será: susttuyendo en ellas por.a y por /a con a > tendreos: a ' ( ) + a + (05) (06) (07) ' a ( ) + + (08) a a a no varía entras que dsnuye, poco s es pequeño (ucho enor que - ) 5

11 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN jeplo: 00,5 5; 0 00; 0,5 0,5; Con a 5,75 ( )' 0,5;( )',5 Coo se ve en el gráfco de la fg 69, el arco de la CDZ apenas se odfca y lo so vale para la coordenada de su extreo por lo que la CDZ copleta se antene cas gual. quvalenca en ; (Ω.) 0 0, CRV ncal CRV equvalente CDZ ncal CDZ equvalente 0 z; Az () Fg. 69 quvalenca en e da en aquellos casos en los que es pequeño (ucho enor que - ) y pasaos a otro corte en el que se susttuye por /b y por /b, con b > en cuyo caso: no varía entras que dsnuye, poco s es pequeño. jeplo:,5, ,5,8 6 +,577,5 7 5; 5; 5 6,5; 6,577 Con b3 ' ( ) 48,7;( ) 6,577 al coo en el ejeplo anteror, y coo se ve en el gráfco de la Fg. 70, el arco de la CDZ y la coordenada de su extreo apenas se odfcan, por lo que la CDZ copleta se odfca uy poco. ' ' b ( ) + + b b b (09) b ' ( ) + + ; (Ω.) , CRV ncal CRV equvalente CDZ ncal (0) z; Az () Fg. 70 quvalenca en CDZ equvalente 53

12 MÉODO LÉCRICO D PROPCCIÓN quvalenca de Zohdy La propuesta de Zohdy (974) consste en ubcar la capa equvalente sn respetar necesaraente la profunddad del pso de la capa, lo que equvale a que el arco de Dar Zarrouk de la capa equvalente cruce al arco de la capa ncal. llo plca una odfcacón de - y -, adeás de Τ y, coo se observa en el gráfco de la Fg.7. ; (Ω.) , CRV ncal CRV equvalente CDZ ncal CDZ equvalente 0 z; Az () Fg. 7 quvalenca a la anera de Zohdy l prncpo de equvalenca puede generalzarse al caso en el que se busca una capa equvalente de varas capas de un corte, en cuyo caso, sguendo el crtero de Zohdy, el arco de DZ de la capa equvalente cruzaría los traos de la CDZ del corte ncal, tal coo se uestra en el gráfco de la fg. 7. ste es un ejeplo del llaado prncpo de supresón por la escuela francesa, el que era expresado para cortes de tpo A y Q, aunque debe quedar claro que puede generalzarse a otros tpos de cortes., (Ω.) , CRV ncal CRV equvalente CDZ ncal 0 z; Az () Fg. 7 Prncpo de supresón CDZ equvalente 54