TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiciones de Enseñanza Secundaria) TEMA 7

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1 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposcones de Enseñanza Secundaa) TEMA 7 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. MOMENTO LINEAL Y ANGULAR. PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. RELACIÓN TRABAJO-ENERGÍA. Esquea. Sstea de patículas ateales.. Dnáca de un sstea de patículas... Fuezas ntenas y extenas.... Sstea de dos patículas. Masa educda... Cento de asa.... Coponentes del Cento de Masa. (C.M.).... Cálculos de centos de asa.... Métodos geoétcos.... Teoeas de Pappus-Guldn..3. Movento del cento de asa. 3. Moento Lneal de un sstea de patículas. 3.. Defncón de Moento Lneal de un sstea de patículas. 3.. Pncpo de consevacón del Moento Lneal Sstea de efeenca en el Cento de Masa. 4. Moento Angula de un sstea de patículas. 4.. Defncón de Moento Angula de un sstea de patículas. 4.. Vaacón del Moento Angula Pncpo de consevacón del Moento Angula Moento Angula efedo al Cento de Masa Moento Angula de un sstea de dos patículas. 5. Enegía de un sstea de patículas. 5.. Enegía Cnétca. Teoea de Köng. 5.. Tabajo efectuado sobe el sstea Enegía Potencal Enegía total. Pncpo de consevacón de la enegía. 6. Ssteas de patículas de nteés especal. 6.. Estudo del choque de dos patículas Choques elástco e nelástco 6... Coefcente de esttucón. 6.. Estudo del choque fontal. /

2 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 TEMA 7 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. MOMENTO LINEAL Y ANGULAR. PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. RELACIÓN TRABAJO-ENERGÍA.. SISTEMA DE PARTÍCULAS MATERIALES La dnáca de la patícula estuda el ovento de la patícula consdeando a ésta coo un ente sepaado del esto del unveso, y éste, a su vez, queda epesentado o educdo a una fueza o a una enegía potencal que depende úncaente de las coodenadas de la patícula. Sn ebago, los ssteas físcos eales son conjuntos de patículas ateales que nteacconan ente sí, con fuezas ntenas de dvesa natualeza, y que adeás están soetdos a fuezas extenas poducdas po el esto del unveso o entono. La dnáca de los ssteas de patículas estuda el ovento de las N patículas consttuyentes, de asas (,, 3,, n ), que se suponen constantes y soetdas a fuezas ntenas tales que: a) S las patículas poseen una poscón elatva fja, debdo a unas fuezas ntenas de lgadua fuetes, tendeos un sóldo ígdo. Consdeaeos coo sóldo ígdo un sóldo cstalno, cuyas oléculas, átoos o ones se ataen fueteente y antenen una estuctua ígda e ndefoable. b) S las patículas pueden vaa sus poscones elatvas, debdo a unas fuezas débles, tendeos un líqudo o un gas. Las fuezas son débles paa antene una estuctua ígda, peo fuetes paa pet la sepaacón excesva de las oléculas. No líqudos no poseen foa peo sí poseen voluen. c) S no exsten fuezas ntenas apecables ente las patículas tendeos un sstea de patículas lbes. Los gases consttuyen un ejeplo clao de patículas (cas) lbes, poque aún antenen ente sus oléculas una cetas fuezas de cohesón. El sóldo ígdo y el sstea de patículas lbes son dos stuacones exteas e deales de la ealdad físca, y que coesponden a fuezas ntenas nfntas o nulas. Coo sóldos ígdos consdeaeos a cuepos cuyas densones son copaables a las tayectoas que descben sus puntos consttuyentes, coo po ejeplo, la Tea en su ovento de otacón alededo de su eje, en caso contao el sóldo puede se consdeado coo punto ateal, po ejeplo, la Tea en su ovento de taslacón alededo del Sol. El ovento de un sstea de patículas ateales puede se uy coplejo po el núeo de patículas que lo consttuyen. En geneal decos que hay ovento s, al enos, una coodenada de alguna de sus patículas, vaía con el tepo. Según esto, los oventos pueden clasfcase en: Taslacón, Rotacón y Defoacón. El objetvo del pesente tea seá genealza los conceptos de oento lneal, oento angula y enegía, paa un sstea de patículas ateales, establecendo las condcones de las leyes de consevacón. /

3 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS.. Fuezas Intenas y Extenas. Supongaos un sstea de n patículas de asas,, 3,, n y vectoes de poscón,, 3, n. El sstea es ceado, es dec, la asa peanece constante y se cuplen las leyes de la ecánca newtonana paa cada patícula ndvdual. Una patícula ejece una fueza F j sobe ota patícula j del sstea y esta patícula j ejece a su vez sobe ota fueza F j, gual y opuesta a la anteo (pncpo de accón y eaccón), tal que: F j F j Consdeando lo anteo, llaaeos F I ( ) a la esultante de todas las fuezas ntenas que actúan sobe la patícula, coespondentes a las n- patículas estantes: Peo el sstea no está aslado, de foa que cada patícula está soetda a un conjunto de fuezas extenas, cuya esultante denonaeos F E(). Po tanto, paa cada patícula, la ecuacón geneal del ovento seá: FI( ) + FE ( ) a () La ecuacón genealzada a todo el sstea de patículas seá: n n n F + F a () I ( ) E( )... Sstea de dos patículas. Masa educda. Consdeeos el caso de dos patículas soetdas solaente a su nteaccón utua, es dec, no actúa nnguna fueza extena sobe ellas, tal coo se uesta en la Fg.. Tal es el caso de ssteas ateales bnaos coo potón-electón de un átoo de hdógeno, el sstea Tea-Luna, el sstea Tea-satélte o los ssteas de estellas bnaas. Las fuezas utuas del sstea cuplen la Tecea Ley de Newton, de foa que F F La ecuacón del ovento de cada patícula especto a un obsevado necal O seá: dv dv F, F que podeos escb de la foa sguente: F dv F dv, y estando abas expesones ente sí, esulta: F dv dv F FIG. 3/

4 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 Coo F F, s llaaos F F F susttuyendo en la expesón anteo, tendeos: F F dv dv d + F ( v ) v + S ntoducos una agntud llaada asa educda del sstea de patículas, a la que desgnaeos con µ y la defnos coo: + + µ (3) µ + susttuyendo en la anteo nos queda: d d F ( v v ) v µ peo v v es la velocdad de especto de, es dec v y po tanto, la devada dv / es la aceleacón de especto a, a la que llaaeos a. La expesón queda fnalente: F F µ. a (4) µ a Este esultado expesa el hecho de que el ovento elatvo de dos patículas sujetas úncaente a una nteaccón utua, es equvalente al ovento de una sola patícula de asa gual a la asa educda del sstea, bajo una fueza gual a la fueza de nteaccón de abas patículas. Debeos tene en cuenta el caso patcula de que las dos asas sean guales:. entonces: µ + + es dec, la asa educda seá la tas de cada una (es el caso de dos potones nteactuando ente sí). En el caso patcula de que una de las asas sea ucho eno que la ota, po ejeplo: «, dvdendo la asa educda po la ayo, nos queda: µ y s apoxaos po desaollo en see: µ + po tanto podeos hacela equvale a la asa del cuepo ás lgeo. Este seía el caso de un satélte atfcal en su nteaccón alededo de la Tea. Sea el caso de que las dos patículas nteactuantes estén soetdas adeás a fuezas extenas, que llaaeos F E y F E, aplcando la ª ley de Newton a cada una: dp dp F E + F y F E + F dp dp y suando: FE + FE + F + F + y aplcando la tecea ley de Newton, ( F F), nos quedaá: d FE + FE ( p + p ) 4/

5 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 S llaaos FE FE + FE y p p + p tendeos que: dp F E (5) expesón déntca a la obtenda en la Segunda Ley de Newton paa una sola patícula... Cento de Masa.... Coponentes del Cento de Masa (C.M.). Sabeos que un sstea de patículas obedece la ley de consevacón de la asa, es dec: MΣ cte, po lo que se puede splfca el sstea de patículas educéndolo a una sola patícula de asa M, localzada en un punto sngula que llaaeos Cento de Masa (C.M.) del sstea de patículas. Supongaos un sstea de N patículas, tal coo se uesta en la Fg.3. Paa cualque patícula se cuplá la ª ley de Newton: d F a y paa la totaldad de las patículas: N N N d F F a N d que la podeos expesa así: F (6) Consdeando la defncón de Cento de Masa, y aplcando la ª ley de Newton: d CN d F M ( M. ) (7) e gualando (6) y (7) tendeos que: N M. (8) M De acuedo con esta defncón, el Cento de Masa es ndependente del sstea de efeenca y sólo depende de las asas de las patículas y de sus poscones espectvas. Sus coodenadas catesanas seán: X + Y j + X y desglosada: X x Y ( x + y j z k ) + k y z Z (9) S consdeaos un cuepo copuesto po un gan núeo de patículas, uy copacto, podeos supone que su estuctua es contnua (sóldo). S ρ es su densdad y toaos un eleento de voluen dv, su asa seá dρdv, debeos susttu en las expesones anteoes de las coodenadas del Cento de Masa, los suatoos po las ntegales y las asas po los eleentos de asa, o sea: 5/

6 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 x. d ρ. x. dv x. dv X d ρ. dv dv y. dv Y dv z. dv Z dv En cuepos fundaentalente planos donde una densón sea despecable fente a las otas dos, las expesones quedaán educdas a: x. ds X ds y. ds Y ds y en cuepos de caácte lneal, donde sólo pedone una densón fente a las otas dos, el Cento de Masa vendá dado po: x. dl X dl... Cálculos de Centos de Masa.... Métodos Geoétcos. Cuando el cuepo pesenta alguna setía, el cálculo se splfca poque el Cento de Masa debe esta en el eleento de setía sea cento, eje o plano de setía. Algunos ejeplos de esto lo podeos ve en el sguente esquea: (0) Veaos algunos ejeplos de cálculos de Centos de asa: Dos asas puntuales déntcas. El Cento de Masa del sstea se encuenta en el punto edo del segento que une abos puntos. 6/

7 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Teao Específco-Tea 7 Dos asas puntuales dstntas. Toando coo eje X el segento que une abos puntos ateales de asas y y toando la pea de ellas coo ogen de coodenadas esultaá: OA X. L + + y las otas coodenadas seían evdenteente: Y Z 0 Tes asas puntuales déntcas no stuadas en línea ecta. Sean las tes asas, y 3 no stuadas en la sa ecta, coo se ndca en la Fg.6. Consdeeos en pe luga las asas y 3 cuyo cento de asa se encontaá en el punto C, cento de la línea que las une, po lo que abas asas puntuales se susttuyen po una asa puntual de asa ( y 3 ) stuada en C. Esta asa, junto con la asa consttuye un nuevo sstea de dos asas dfeentes (una doble de la ota) y el C.M. del sstea se encontaá en la línea que une el punto C con la asa y a una dstanca de C que vendá dada po: d L ( + ) 3 L 3 + o sea, el Cento de Masa se encuenta en la edana del tángulo foado po las tes asas guales, a dstanca de dos tecos del vétce y a un teco del lado opuesto. Este punto es el bacento del tángulo. 3 L Sstea contnuo en foa de baa clíndca o psátca de longtud L. Stuaos la baa en el eje X del sstea coodenado y la dvdos en eleentos de asa d po cotes pependculaes al eje X. Consdeeos el eleento d stuado a la dstanca x del ogen (exteo de la baa) y de espeso dx. El eleento de asa es: d ρ. dv ρ. S. dx sendo S la seccón constante del eleento (seccón de la baa): L L x L X x. d x S. dx x. dx 0 M SL ρ 0 L 0 L L ρ 0 es dec, el Cento de Masa se encuenta en el punto edo de la baa. Sstea contnuo en foa de tángulo ectángulo sósceles. Stuaos en tángulo sobe el sstea coodenado, con sus catetos sobe los ejes X-Y. Elegos un eleento de asa d, de longtud x, paalelo al eje X, de espeso dy y stuado a dstanca y del ogen, po lo que podeos escb ds x. dy y susttuyendo en la expesón del cento de asa, paa la coodenada y, (po azones de setía, la coodenada X se calcula de gual odo), tendeos: L L 7/

8 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 Y... S S S S A y y A A 3 A A... A A A 3 A Análogaente paa la coodenada X c se seguá un pocedento seejante y esultaá: X A 3 y 0 A yds yx. dy ( A y) y. dy ( Ay y ) dy 0... Teoeas de Pappus-Guldn. Estos teoeas son aplcables exclusvaente a la detenacón del Cento de Masa de dstbucones contnuas y hoogéneas de asa. En estos casos, el Cento de Masa se llaa Centode y su poscón depende de la geoetía del cuepo. El pe teoea de Pappus-Guldn, se enunca: El áea S de la supefce que engenda una cuva plana al ga alededo de un eje stuado en su plano y que no la cota, es gual al poducto de la longtud s de la cuva, po la longtud L de la ccunfeenca descta po su cento de asa (centode). Z La cuva plana de la Fg.9, al ga alededo del eje x engenda una supefce S paa cuya detenacón se consdea el eleento longtud de la cuva ds, que al ga genea un clndo eleental de supefce ds S ds π. y. ds S π y. ds S y. ds S π y la longtud L de la ccunfeenca descta po el centode o Cento de Masa, vene dada po: LπY FIG. 9 y de acuedo con la defncón de Cento de Masa: y. ds y. ds Y y susttuyendo Y ds S S S π. Y. s L. s πs El Segundo Teoea de Pappus-Guldn, se enunca: El voluen V engendado po una supefce plana al ga alededo de un eje que le es coplanao y no la cota, es gual al poducto de su áea S po la longtud L de la ccunfeenca de su Cento de Masa (centode). La supefce plana epesentada en la Fg.0, al ga alededo del eje X, que le es coplanao, engenda un voluen que se puede detena consdeando el eleento de áea d Sdx.dy, a dstanca y del eje X y cuyo voluen seá: dvπ y.ds y el voluen total engendado seá: V V π y. ds S y ds S π y coo la longtud de la ccunfeenca descta po el centode es: Lπ.Y de acuedo con la defncón de cento de asa (centode) tendeos:. FIG. 0 8/

9 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 Y y. ds ds y. ds S y susttuyendo Y V V πy. S L. S πs.3. Movento del Cento de Masa. Las fuezas totales (ntenas y extenas) que actúan sobe un sstea de patículas, según vos anteoente, vene dada po: F F FE ( ) + FI( ) a Coo sabeos que la esultante de las fuezas ntenas en el total del sstea de patículas, al aplca la Tecea Ley de Newton, es nula, ya que F j F, no ntevenen en el ovento del sstea coo conjunto, luego: F F FE ( ) a y desaollando esta expesón tendeos: s d d d d F M. M. M. a () luego el sstea se copota coo una sola patícula de asa total M, (sua de las asas de las patículas) y soetda a la esultante de las fuezas extenas al sstea. Los pncpos de la Dnáca del punto, se aplcan pues, tanto a puntos ateales coo a ssteas de puntos y a sóldos extensos, consdeando en éstos, su Cento de Masa. S el ovento de estos ssteas es de taslacón, el pocedento es coecto ya que los ssteas no puntuales son consdeados puntuales cuando su asa se consdea concentada en el cento de asa soetda a la fueza extena esultante. El concepto de Cento de Masa splfca los pobleas de la dnáca de los ssteas de patículas, a un poblea de dnáca del punto, ucho ás sencllo de esolve. 3. MOMENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 3.. Defncón de oento Lneal de un sstea de patículas. El Moento Lneal (o Cantdad de Movento) de un sstea de patículas es la sua vectoal de los oentos lneales de cada una de las patículas que consttuyen el sstea: sendo: p v esultaá p p v y s consdeaos que v d / susttuyendo y desaollando: d d d d p M. M. M. v () lo que se expesa dcendo que: El Moento Lneal de un sstea de patículas es gual al poducto de la asa total del sstea po la velocdad de su cento de asa, lo que llaaeos Moento Lneal del Cento de Masa. S devaos la expesón anteo paa una asa constante, esultaá: dp d dv ( M. v ) M. M. a FE (3) j 9/

10 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 es dec, el oento lneal de un sstea de patículas sólo se odfca po la accón de las fuezas extenas actuantes. 3.. Pncpo de consevacón del Moento Lneal. En el caso de que las fuezas extenas sean nulas o den esultante nula: F E 0 d p 0 p cte (4) lo que consttuye el Pncpo de Consevacón del Moento Lneal, que se pude enunca dcendo que en todo sstea aslado (no soetdo a fuezas extenas), el Moento Lneal se conseva. Coo ejeplo de aplcacón del Pncpo de Consevacón, consdeeos el sstea foado po dos patículas de asas y, con velocdades ncales v y v espectvaente, que nteacconan ente sí, tas lo cual adqueen unas velocdades fnales v ' y v '. Coo la nteaccón utua ente ellas es exclusvaente debda a fuezas ntenas, el sstea es aslado, luego F E 0 y po tanto p p luego f v + v v' + v ' ejeplo de esta stuacón dnáca es el choque de dos patículas, debdo al cual caban sus velocdades y sus deccones y po tanto sus oentos lneales ndvduales sn que vaíe el oento lneal total. De la ecuacón anteo: ( v' v ) ( v' v ). v. v s una patícula expeenta una vaacón de su velocdad v la ota patícula expeentaá una vaacón v de sentdo opuesto, nvesaente popoconal a las asas de las espectvas patículas, tal que se cuple la expesón v v S las patículas están ncalente en eposo v v 0 se deduce: s 0 v' + v ' o sea ' v v ' y coo ejeplo de esta stuacón podeos pone el etoceso de un aa de fuego al dspaa, donde el aa y el poyectl se ueven con velocdades opuestas según expesa la últa ecuacón Sstea de Refeenca en el Cento de Masa. Los oentos lneales estudados en el sstea de patículas, están efedos a un sstea de efeenca necal lgado a Tea (sstea laboatoo), aunque no heos hecho encón expesa de ello. Desde otos ssteas necales, las velocdades y los oentos lneales seían dstntos aunque se seguían cuplendo el Teoea del Moento lneal y su Pncpo de Consevacón. S toaos coo efeenca un sstea coodenado con ogen en el Cento de Masa, el sstea de patículas peaneceá en eposo ya que la velocdad del cento de Masa seá nula especto de él o lo que sgnfca que su oento Lneal es ceo. 0/

11 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 Es potante elacona el ovento del sstea de patículas especto de un efeencal necal lgado a la Tea (sstea laboatoo) con el ovento del so sstea especto a un efeencal centado en el cento de asa (sstea C.M.), paa lo cual, consdeaeos el caso sencllo foado po dos asas y, de velocdades v y v que consttuyen un sstea de dos patículas de asa total M + y cuyo cento de asa tene una velocdad v c tal que: v + v ( + ) v v + v de donde: v + Paa el sstea efedo al Cento de Masa (sstea C.M.), las velocdades seán. v ' y v '. Po tanto se cuplán: v ' v v y v ' v v y los oentos seán: p ' p v y p ' p v y suando ebo a ebo: p ' + p' p + p v v p ' + p' p + p ( ) v coo: p + p v + v susttuyendo esultaá: p ' + p' v + v ( ) v y susttuyendo v c po su valo, nos queda fnalente: p ' + p' 0 luego podeos dec que el oento lneal de un sstea de patículas especto al sstea Cento de Masa, es sepe nulo. 4. MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 4.. Defncón del Moento Angula de un Sstea de Patículas. El Moento Angula (o Moento Cnétco) paa una patícula se defne coo el Moento de su Moento Lneal, o sea: L p v Paa un sstea de patículas, el Moento Angula seá la sua vectoal de los oentos angulaes de sus patículas coponentes: L L p v (5) 4.. Vaacón del Moento Angula. Este concepto tene una potanca fundaental cuando el sstea posee ovento de otacón po la actuacón de Moentos de Fueza sobe las patículas del sstea. La accón de oentos de fuezas extenas poduce vaacón de los oentos angulaes de las patículas, lo que se anfesta coo una vaacón del oento angula total del sstea. La vaacón del Moento Angula del sstea se obtene devando la expesón anteo: dl d d d ( v ) ( v ) v +... /

12 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 dv... [ v v ] ( a ) ( F ) M M dl Resultando fnalente que: M (6) El pe téno de la devada es ceo poque se tata de dos vectoes paalelos, con poducto vectoal nulo. El segundo téno es la sua de los oentos que actúan sobe cada patícula, es dec, el Moento de Fueza esultante. En este Moento de Fueza, se ncluyen las fuezas ntenas y extenas, es dec: M M F F + F F + F ( ) ( ( ) ( ) ( ) E I E I peo el téno coespondente a las fuezas ntenas es nulo, coo podeos deosta toando sólo dos patículas y j del sstea y consdeando las fuezas ntenas que actúan ente ellas: Fj Fj F y los vectoes de poscón de abas patículas cuplán: j sendo el vecto de poscón de una patícula especto de la ota. La sua de los oentos de las dos fuezas ntenas seá: F + F F F F F j j j j j j ( ) 0 Po tanto nos queda paa la ecuacón anteo del Moento: ( ) dl M FE M E : (7) de foa que podeos dec que son las fuezas extenas las úncas que poducen vaacón del Moento Angula del sstea Pncpo de Consevacón del Moento Angula. S el sstea de patículas no está soetdo a nnguna fueza extena, o las fuezas extenas actuantes poducen un oento nulo, la vaacón del Moento Angula seá nula, luego el Moento Angula se antendá constante M 0 y d L 0 esulta L cte (8) lo que consttuye el Pncpo de Consevacón del Moento Angula, que se puede enunca dcendo que s un sstea de patículas no se encuenta soetdo a oento exteno alguno, el Moento Angula se conseva. Esto sgnfca que s una patícula expeenta una vaacón del oento angula, el esto del sstea debe suf una vaacón gual y opuesta de su oento angula Moento Angula efedo al Cento de Masa. Al gual que hcos con el oento lneal podeos efe el Moento Angula del sstea de patículas especto de un sstea de efeenca centado en el Cento de Masa. Consdeeos una patícula, de vecto de poscón, coo se ndca en la Fg.. Se deduce: '+ donde ' es el vecto de poscón de la sa patícula efedo al sstea Cento de Masa. j /

13 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Teao Específco-Tea 7 Devando especto del tepo: d d ' d + o sea v v' + v (0) donde v y v son las velocdades de la patícula y del cento de asa, efedas al sstea laboatoo y v ' es la velocdad de la patícula efeda al sstea de efeenca del cento de asa. Susttuyendo estas expesones de y v en la ecuacón (5) de defncón del Moento Angula del sstea de patículas, tendeos: L (( ' + ) ( v ' + v )) ( ' v ') + ( v ) + ( ' v ) + ( v ) () El pe téno es el oento angula del sstea de patículas especto al sstea de efeenca en el Cento de Masa. v. v M. v El segundo téno: ( ) ( ) es el oento angula de la asa total del sstea localzado en el Cento de Masa con especto al sstea laboatoo. El tece téno: ( ' v ) ( ') 0 v es nulo ya que contene el téno Σ ' que defne el cento de asa efedo al sstea del cento de asa, que es nulo po defncón. El cuato téno: d ' v ' es nulo po la sa azón que el tece téno. d ( ) ( ' ) Po lo tanto, la expesón () quedaá al fnal así: L ( ' v ') + M. v () de foa que el Moento Angula total del sstea de patículas especto al sstea laboatoo es gual al oento angula especto del sstea cento de asa ás el oento angula de la asa total del sstea localzada en el cento de asa, especto del sstea laboatoo. Una consecuenca que se deduce de la expesón anteo es que s el Cento de Masa del sstea tene velocdad ceo v 0 especto del sstea laboatoo (sstea de patículas en eposo), el oento angula especto de este sstea es nulo y el Moento Angula Total del sstea de patículas es sólo el oento angula especto del cento de asa, o sea, es ndependente de cualque sstea efeencal exteno Moento Angula de un sstea de dos patículas. Supongaos un sstea foado po dos patículas de especal nteés en la Natualeza, coo Sol-Planeta, Núcleo-Electón, estellas bnaas, etc. El sstea de dos patículas ga, genealente alededo de su cento de asa, con velocdad angula ω. 3/

14 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 Las fuezas centípetas a que están soetdas abas patículas son las sguentes: Masa gande: F c M. ω. x. ω. x Masa pequeña: ( ) F c y coo deben se guales po la tecea ley de FIG. 3 Newton: M. ω. x. ω ( x) M. x.. x M. x +. x. x M + El oento angula paa cada patícula seá: Masa gande: Lg x M. vg Lg x. M. vg x. M. ω. x M. ω. x L x. v L ( x).. v. ω. ( x) Masa pequeña: p ( ) p y el oento angula total seá: L M. ω. x +. ω. ( x) y susttuyendo el valo de x calculado anteoente e ntoducendo el téno de asa educda tendeos: L M + ω ( M + ) M + M +... M + ω ( M + ) M + M + M M. M. M + ω ( M ) ω ω µ. ω + ( M + ) ( M + ) ( M + ) M + es dec, el sstea de dos patículas queda educdo a un punto de asa µ (asa educda del sstea) y stuada a la dstanca del punto alededo del cual ga con velocdad angula ω. 5. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. 5.. Enegía Cnétca. Teoea de Köng. La enegía cnétca de un sstea de patículas es la sua de las enegías cnétcas de cada una de las patículas que consttuyen el sstea, efeda a un sstea necal (sstea laboatoo). EC EC v v En el sstea de efeenca del Cento de Masa, el Moento Lneal es nulo y consttuye un sstea adecuado paa el estudo del ovento de las patículas con especto del cual se ueven con gan setía. Vaos a efe la Enegía Cnétca total, al sstea de efeenca del C.M., paa ello, consdeeos el sstea de patículas de la Fg.4 donde: ' + y v v' + v y susttuyendo en la expesón anteo: p p 4/

15 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 El pe téno, es la Enegía Cnétca de las patículas en el sstea de efeenca del C.M. El segundo téno es la Enegía Cnétca del conjunto de patículas, concentado y localzado en el Cento de Masa y a la velocdad de éste, con especto al sstea laboatoo (X,Y,Z). El tece téno es nulo pues contene el téno Σ v ' que coesponde al oento lneal del sstea de patículas efedo al cento de asa que ya heos deostado que es nulo. La enegía cnétca queda así: ECEC'+EC es dec: La enegía cnétca del sstea de patículas especto al sstea necal de laboatoo es gual a la enegía cnétca del sstea especto al cento de asa (enegía cnétca ntena) as la enegía cnétca del Cento de Masa especto al sstea necal de laboatoo (Teoea de Köng). Es potante esta sepaacón de la EC de un sstea en los dos ténos expesados, pues nos pete estuda el sstea de patículas efedo al Cento de Masa cualquea que sea el ovento de éste. Así, un sóldo lanzado al ae tendá oventos de taslacón y otacón y la EC del cuepo se detena calculando la que tene especto del Cento de Masa EC (otacón pua) ás la que tene el popo Cento de Masa EC ( taslacón pua). 5.. Tabajo efectuado sobe el sstea. Paa detena la enegía cnétca del sstea de patículas o la vaacón que expeenta, podeos consdea el tabajo que ealzan las fuezas que actúan sobe las patículas, ya que este tabajo nceenta la enegía cnétca que posee el sstea. Paa splfca la stuacón consdeeos un sstea de dos patículas y, soetdas a las fuezas extenas F y F y a las fuezas ntenas F y F, tales que: F F o sea F + F 0 Po la accón de estas fuezas, las patículas expeentan desplazaentos dfeencales d y d, po lo que ealzan unos tabajos: dw ( F + F ) d ( ) dw F + F d y el tabajo total seá: dw F d + F d + F d + F d... F d + F d + F ( d d ) F d + F d + F d El peo y segundo ténos epesentan los tabajos ealzados po las fuezas exteoes y el tece téno es el tabajo coespondente a las fuezas ntenas. Coo el tabajo total es gual al nceento de la enegía cnétca del sstea, tendeos: 5/

16 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 decdw E + dw I e ntegando EC B -EC A W E + W I En este tabajo se ncluyen las fuezas nteoes, pues aunque éstas se contaestan dos a dos, pueden ealza tabajo postvo s desplazan las poscones elatvas de las patículas. Paa que el tabajo de las fuezas ntenas sea nulo, no deben vaa las poscones elatvas de las patículas del sstea, condcón que sólo se cuple en el sóldo ígdo Enegía Potencal. S las fuezas extenas e ntenas son fuezas consevatvas, coo consecuenca de la exstenca de capos consevatvos, cada patícula poseeá una enegía potencal caacteístca y la sua de las enegías potencales de todas las patículas consttuye la enegía potencal total del sstea: EP E EP E ( ) y EP I EP I () S teneos en cuenta la defncón de Enegía Potencal en un capo consevatvo dada po dep F d y aplcándola a las fuezas extenas e ntenas, tendeos: EPE EPE FE d WE EPI EPI FI d WI que en ténos dfeencales podeos escb: depe dw ( EP E EP ) W E E e ntegando depi dwi ( EP EP ) W I I Estas ecuacones nos expesan que el tabajo de las fuezas consevatvas extenas e ntenas a que están soetdas las patículas del sstea, poducen vaacón de la enegía potencal total extena e ntena. S el tabajo es postvo, es dec, poducdo po las fuezas de los capos consevatvos, se poduce una dsnucón de la enegía potencal y s el tabajo es negatvo, es dec, que se ealza conta las fuezas de los capos, se ogna un auento de la enegía potencal Enegía total. Pncpo de Consevacón de la Enegía. La enegía total del sstea de patículas soetdo a fuezas consevatvas extenas e ntenas, vendá dado po la ecuacón dfeencal: de dec + dep E + dep I y susttuyendo dec y dep po sus valoes anteoes: de ( dwe + dwi ) dwe dwi 0 esultando deo luego Ecte que expesa el Pncpo de Consevacón de la Enegía Mecánca de un sstea de patículas soetdo sólo a fuezas consevatvas, es dec: "La enegía cnétca y potencal del sstea se antene constante": EC + EP + EP cte E I S englobaos los ténos EC + EPI U, llaando Enegía Intena al téno señalado U, esultaá: U + EP E cte lo que sgnfca que toda vaacón de la enegía potencal extena del sstea supone una vaacón opuesta de la enegía ntena. 6/

17 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 Paa un sstea aslado de fuezas exteoes, es dec ΣW E W E 0, la vaacón de enegía potencal extena es nula dep E O luego EP E cte y esulta paa la expesón anteo: U cte es dec, la enegía ntena de un sstea aslado se conseva, lo que no sgnfca que la enegía cnétca, es dec, su velocdad, sea constante, sno que a toda vaacón de la enegía cnétca se poducá una vaacón gual y opuesta de la enegía potencal ntena. 6. SISTEMAS DE PARTÍCULAS DE INTERES ESPECIAL Un sstea de patículas especalente nteesante es el de dos patículas que, con velocdades ndependentes se encuentan buscaente en un choque y se poduce po ello una ápda vaacón de sus velocdades. Las fuezas puestas en juego en los choques son fuezas de nteaccón consdeableente elevadas capaces de altea buscaente los oventos ncales de las patículas peo no pueden odfca el oento lneal del sstea po se dchas nteaccones fuezas ntenas. Podeos dstngu dos casos: ) Dos patículas chocan, es dec, al encontase se tocan físcaente duante un tepo uy pequeño y coo consecuenca de la nteaccón que se poduce, se ueven fnalente de dfeente anea a coo lo hacían ncalente. Po ejeplo dos bolas de blla que chocan. ) Dos patículas al acecase, nteacconan utuaente coo consecuenca del capo de fuezas que cada una cea, que les oblga a caba las deccones de los oentos lneales que ncalente tenían. Po ejeplo, dos potones u otas patículas cagadas, aceleadas una conta ota, que sufen una colsón aunque no se hayan puesto en contacto. Abos casos son déntcos pues las nteaccones utuas (fuezas ntenas) que actúan en un tepo uy pequeño, aunque de dstnta natualeza, poducen cabos en el estado de ovento de las patículas. Los cuepos que chocan, paten ncalente de una dstanca nfnta, lbes de fuezas, se acecan e nteacconan y coo consecuenca de la colsón, pueden poducse dstntas stuacones: a) Duante el choque, los cuepos no absoben enegía ecánca de anea peanente, ésta se conseva y los cuepos peanecen nvaables en su estuctua ntena (choque elástco). b) Duante el choque, los cuepos absoben ceta cantdad de enegía ecánca que se nvete en auenta la enegía ntena de ellos, po defoacón, otua, cobnacón, absocón, calentaento, etc. (choque nelástco). 6.. Estudo del choque de dos patículas. Consdeeos dos patículas que chocan coo se epesenta en la Fg.6. Aplcando al sstea el pncpo de consevacón del oento lneal y consdeando que las fuezas actuantes son ntenas, esulta: p 0 o sea p p f sendo: p (oento lneal ncal) v + v p (oento lneal fnal) v + ' f ' v 7/

18 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 esultando pues: v + v v ' + v ' Duante el choque (ben po contacto eal de las patículas o po las fuezas de ataccón o epulsón que se ejezan) cada patícula ejece sobe la ota una fueza que llaaeos F o F cupléndose F F, po lo que cada patícula ecbe un pulso: F. t que le poduce una vaacón del Moento lneal. F t p v ' v F t p v ' v y suadas ebo a ebo esulta la expesón anteo: v + v + ' v ' v 6... Choque elástco e nelástco. Podeos consdea ahoa qué pasa en cada uno de los dos choques. a) Elástco. Duante el choque las patículas dsnuyen su enegía cnétca tansfoándose en enegía potencal de defoacón (EP I ) que se alacena en las patículas hasta que cada patícula alcanza el líte de defoacón y coenza a ecupea su foa esttuyendo totalente la enegía de defoacón en enegía cnétca, pues en este caso toda la enegía alacenada en la defoacón se ha esttudo. Esta colsón es elástca y se cuplá la ecuacón anteo: v + v v ' + v ' b) Inelástco. S la enegía cnétca no se conseva, debdo a que la esttucón de la enegía de defoacón a cnétca, no es total sno que pate de dcha enegía queda coo defoacón peanente o se dspa en foa de calo no utlzable paa devolve a las patículas su enegía cnétca ncal, el choque se llaaá nelástco, coo ocue en el choque eal de todos los cuepos acoscópcos. Ejeplo: una pelota de goa que cae y choca con el suelo, al ebota no alcanza su altua ncal, poque el choque nelástco ha dspado una faccón de enegía. Sn ebago las colsones de las patículas atócas y nucleaes son genealente choques pefectaente elástcos Coefcente de esttucón. Ente los cuepos acoscópcos, los choques nunca son pefectaente elástcos n tapoco pefectaente nelástcos, po lo que no se pueden aplca las ecuacones anteoes s no se conoce alguna elacón ente las velocdades de antes y de después del choque. Dcha elacón la obteneos defnendo el coefcente de esttucón que es la elacón ente las velocdades elatvas fnal e ncal de las dos patículas que chocan: v ' v ' ε v v cuyos valoes osclan ente 0 y que coesponden a choque pefectaente nelástcos (εo) y a choques pefectaente elástcos (ε). 8/

19 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea Estudo del choque fontal. Vaos a estuda el caso del choque elástco onodensonal o choque fontal en el que dos patículas se ueven a lo lago de una ecta, chocan y después contnúan ovéndose en la sa ecta. Aplcando los pncpos de consevacón del oento lneal y de la enegía, tendeos: v + v + ' v ' v v + v v' v ' + eodenando ténos: ' v v v ' v ( v v' ) ( v ' v ) v v ' v ' + v ( v v' ) ( v ' v ) dvdendo ebo a ebo y desaollando los denonadoes: v v ' v' v ( v )( ) ( )( ) v ' v + v' v' v v ' + v v + v' v' + v esultando: v ' + v v + v ' ( v ' v ') v v v ' v es dec, las velocdades elatvas de las dos patículas son guales y opuestas pues se nveten en el choque. Sn ebago, vaos a analza el so poblea, aunque efedo a un sstea de efeenca stuado en el Cento de Masa de abas patículas. S llaaos y a los vectoes de poscón de las dos patículas especto al Cento de Masa (Fg.8), tendeos: '+ y '+ y devando esulta: v v '+ v y v v'+ v y coo el ovento efedo al C.M. es onodensonal, podeos pescnd de la notacón vectoal y consdea sólo sus ódulos: v v ' + v y v v' + v consdeando la velocdad del Cento de Masa: v v + v v + y susttuyendo en las ecuacones anteoes esultaá: ' v + v v + v v v ( v v ) v v ' v + v v + v v v ( v v ) v v y consdeando que especto al sstea del Cento de Masa, el Moento Lneal total del sstea es nulo Σp 0, esulta: v + v v ' + ' 0 v 9/

20 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 o sea: v ' v v v ' p p p ' p ' especto al C.M. En lo efeente a la enegía cnétca total del sstea, que se conseva po se choque elástco, tendeos: v v p p EC v + v + + y consdeando que p p p p esultaá: p p + p EC + µ sendo µ /( + ) la Masa Reducda del sstea. Análogaente, después del choque tendeos: p ' EC ' p p ' y coo ECEC esulta o sea p p ' µ µ µ cuyas solucones son: p ' ± p S las ecuacones de EC y EC' las deostaos en funcón de p y p esultaá: p p' o sea p p' µ µ cuyas solucones son: p ' ± p Las solucones postvas, o sea p p ' y p p ' ndcan que no hay choque pues las patículas se alejan en vez de acecase. Las solucones negatvas, o sea p -p ' Y p -p ' ndcan la exstenca de un choque y los oentos lneales de las patículas se nveten po causa del choque (efedo al sstea del Cento de Masa), luego tabén se nveten sus velocdades: v v y v v La velocdad elatva de una patícula especto de la ota, antes del choque es v -v l y susttuyendo las anteoes expesones: v v v -v ( v ) (v v ) v es dec, la velocdad elatva antes del choque, es gual a la velocdad elatva después del choque peo cabada de sgno, lo que esulta genealzado paa cualque sstea de efeenca: v v (v v ) La velocdad elatva del sstea de patículas se nvete en el choque, coo se ha deostado anteoente. 0/

21 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Santago BURBANO DE ERCILLA, Enque BURBANO GARCÍA Y Calos GRACIA MUÑOZ. Físca Geneal. XXXI Edcón. Ma Eoes. ZARAGOZA. Jesús RUIZVAZQUEZ. Físca. Eoal Seleccones Centífcas. MADRID. Macelo ALONSO y Edwad J. FINN. Físca. Vol.. Mecánca. Addson-Wesley Ibeoaecana. MEJICO. Manuel R. ORTEGA GIRÓN. Leccones de FÍSICA. Mecánca. Depataento de Físca Aplcada. Unvesdad de Códoba. CÓRDOBA. Mao GUERRA, Juan CORREA, Isael NUÑEZ Y Juan Mguel SCARON. Físca. Eleentos Fundaentales. Mecánca y Teodnáca clásca. Too. Eoal Reveté BARCELONA. /

22 Oposcones Secundaa-Físca y Quíca- Antono Absqueta Gacía, 999 Teao Específco-Tea 7 Tataento Ddáctco OBJETIVOS El sstea de patículas coo odelo de todo sstea ateal en cualque fenóeno de la Natualeza. Aplcacón de los conceptos de la Dnáca de la patícula a los ssteas de uchas patículas paa explca fáclente el copotaento de esos ssteas.. Estudo y copensón del concepto fundaental de Cento de Masa. Intoduccón del concepto de Enegía edante la enegía cnétca y potencal coo consecuenca de un capo de fuezas consevatvo. UBICACIÓN El tea se ubcaá en 4º de ESO úncaente los conceptos báscos del sstea de patículas, coo ncacón. El tea copleto, con todos sus conceptos, sólo se puede ubca en el º de Bachlleato con un nvel conceptual y ateátco edanaente elevado. TEMPORALIZACIÓN Se dedcaá paa desaolla el tea un total de 8 hoas, dstbuídas así: - 6 hoas paa desaollo de la explcacón teóca de la atea. - hoa dedcada a ealzacón de pobleas teócos y nuécos. - hoa paa tabajos de expeentacón en el aula o en el laboatoo. METODOLOGÍA Exposcón de los conceptos del tea, oentando al aluno en el azonaento, en una etodología nductva, pesentando hechos y fenóenos de los que él va a deduc conclusones. Intepetacón físca de todas las conclusones que se deducen de las deostacones ateátcas coo esultados de las stuacones planteadas. Realzacón de expeentos de laboatoo que deuesten al aluno los pncpos estudados y sus aplcacones a la vda eal. Resolucón de pobleas nuécos de las dstntas stuacones estudadas. CONTENIDOS MÍNIMOS Idea básca de un sstea de patículas. Fuezas extenas e ntenas. Poscón eda del sstea. Idea de Cento de Masa. Su cálculo. Moento Lneal y Moento Angula del sstea de patículas. Su consevacón. Ssteas de efeenca laboatoo y sstea de efeenca Cento de Masa. Enegía Cnétca y Enegía Potencal del sstea de patículas. MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS Lbo de Texto copleentado con apuntes toados en clase de las explcacones del Pofeso, subayando los conceptos fundaentales. Mateal de laboatoo sencllo y adecuado a páctcas de otacón utlzando bolas de aceo, uelles, fguas geoétcas, dnaóetos, etc. Hojas de pobleas de Dnáca de ssteas de patículas (choques, cálculos de C.M., explosones, etc.) escogdos de dfcultad cecente y adaptados al nvel del cuso. EVALUACIÓN Puebas objetvas sobe los conceptos fundaentales del tea, valoando copensón, eozacón y aplcacón de estos conceptos a stuacones eales. Puebas esctas con pobleas nuécos exgendo esolucón copleta con ut lzacón de áqunas calculadoas. Valoacón de las páctcas ealzadas en el aula o en el laboatoo. Puebas de opcón últple con peguntas de vaas espuestas (3 falsas y ceta) que oblgue al aluno al azonaento de las stuacones planteadas. /