La razón entre dos cantidades es la relación existente entre ellas expresada en forma de cociente.. La razón entre las cantidades a y b se expresa:

Transcripción

1 TEMA 7

2 PROPORCIONALIDAD RAZÓN ENTRE DOS CANTIDADES: La razó etre dos catidades es la relació existete etre ellas expresada e forma de cociete.. La razó etre las catidades a y b se expresa: a : b o a b Ejemplo: Expresa como razó la relació que existe etre los 20 chicos y 10 chicas que hay e ua clase Esto sigifica que hay el doble de chicos que de chicas. La expresió decimal ( resultado de la divisió) de ua razó se llama tato por uo, y expresa las veces que se repite ua catidad respecto a la uidad. Ejemplo: Ua persoa recorre 14 km e 2 horas. La razó etre el espacio recorrido y el tiempo empleado es: 14 2 El tato por uo es que idica que e ua hora la persoa recorre 7 km. PROPORCIÓN Se llama proporció a la igualdad de dos razoes a b c d E ua proporció, los térmios a y d (primero y cuarto) se deomia EXTREMOS y los térmios b y c ( segudo y tercero) se deomia MEDIOS. E todas las proporcioes se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c a d b c 8 b d Como aplicació de esta propiedad aprederemos a obteer uo de los térmios de la proporció, coocidos los otros tres: 2 7 Obteer el valor de e la siguiete proporció: JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 144

3 EJERCICIOS DE APLICACIÓN: Calcula el térmio que falta e las siguietes proporcioes: a ) b ) c ) d ) e ) f ) g ) h ) JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 145

4 i) j) k ) l) 6 1,2 7,2 m ) 2, ) 3,5 4 8,4 ñ ) 1,2 1,8 6 o) JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 146

5 MAGNITUDES Ua magitud es ua cualidad de los cuerpos que se puede medir. ( masa, logitud, capacidad,...) Dos magitudes so DIRECTAMENTE PROPORCIONALES si al aumetar o dismiuir ua de ellas, la otra aumeta o dismiuye e la misma proporció. Si la primera aumeta el doble, el triple,.. la seguda aumetará el doble, el triple,.. Dos magitudes so INVERSAMENTE PROPORCIONALES si al aumetar o dismiuir ua de ellas, la otra dismiuye o aumeta e la misma proporció. Si la primera aumeta el doble, el triple,.. la seguda dismiuirá a la mitad, la tercera parte,.. Idica si las siguietes magitudes se ecuetra e proporció directa, iversa o e igua de ellas: 1.- Talla de pataloes y precio de los pataloes 2.- Velocidad a la que circula u coche y espacio que recorre 3.- Diero que tiees para gastar y bolsas de chuches que puedes comprar 4.- Números de grifos que llea ua piscia y tiempo que esta tarda e llearse 5.- Catidad de garbazos e u cocido y úmero de racioes que se puede cociar 6.- Número de trabajadores y tiempo que tarda e hacer u muro 7.- Número de miembros de ua familia y litros de leche que cosume 8.- Edad de ua persoa y estatura que tiee 9.- Número de etradas vedidas para ua fiesta y diero recaudado 10.- Número de persoas y trozos de ua tarta que se puede comer 11.- Edad de ua persoa y úmero de amigos que tiee JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 147

6 TABLAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA Ejemplo: Completar la siguiete tabla de valores directamete proporcioales: a b c d e f Magitud Magitud Para completar ua tabla de magitudes directamete proporcioales procederemos de la siguiete forma: Paso 1: Establecemos el tato por uo (tambié llamado costate de proporcioalidad) etre la magitud 2 y la magitud 1 co los datos de la tabla: 9 6 1,5 Lo que sigifica que por cada elemeto de la magitud 1 teemos 1,5 elemetos de la magitud 2. Paso 2: Para obteer las catidades correspodietes de la magitud 2, multiplicamos las catidades de la magitud 1 por el tato por uo o costate de proporcioalidad. Para obteer las catidades correspodietes de la magitud 1, dividimos las catidades de la magitud 1 por el tato por uo o costate de proporcioalidad. a) 2 1,5 3 b) 4 1,5 6 d) 8 1,5 12 e) 10 1,5 15 f) 18 : 1,5 12 La tabla de proporcioalidad quedará: Magitud Magitud JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 148

7 Completa las siguietes tablas de proporcioalidad directa: 1.- Magitud Magitud Magitud Magitud Magitud 1 0,5 2 4,5 Magitud ,5 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 149

8 4.- Magitud 1 0,4 1,2 8 Magitud 2 1,5 1,8 5.- Magitud Magitud Magitud Magitud JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 150

9 7.- Magitud Magitud 2 0,8 2,4 8.- Magitud Magitud ,8 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 151

10 PROBLEMAS DE PROPORCIÓN DIRECTA Para resolver problemas de proporció directa, debemos teer e cueta que siempre se cumple que la razó etre las catidades de la primera magitud es igual a la razó etre las catidades de la seguda magitud. Ejemplo: Si co 2 se puede comprar 8 bolsas de chuches. Cuátas bolsas se puede comprar co 5? DATOS: Co 2 se compra 8 bolsas Co 5 se compra x bolsas Razó etre las catidades de la primera magitud: Razó etre las catidades de la seguda magitud: x 2 Es ua PROPORCIÓN DIRECTA, se cumplirá etoces que: 5 8 x Resolvemos: 2 x 5 8 x bolsas de chuches se puede comprar co 8 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 152

11 PORCENTAJES U porcetaje o tato por cieto equivale a ua razó que os da ua determiada catidad de ua magitud por cada cie uidades: % equivale a la razó y al tato por uo: 0, Para calcular porcetajes, podemos utilizar tres métodos equivaletes: 1.- Método de proporcioes: Los porcetajes equivale a u problema de proporcioalidad directa. Ejemplo: Calcular el 25% de 50. Plateamieto: 50 equivale al 100 % x equivale al 25 % Es ua PROPORCIÓN DIRECTA, se cumplirá etoces que: 50 x Resolvemos: x x 12, 5 es el 25% de Método de las fraccioes. U porcetaje equivale a ua razó que os da ua determiada catidad de ua magitud por cada cie uidades. Podemos expresarlo como el cociete del porcetaje etre 100. Ejemplo: Calcular el 25% de 50. El 25% de 50 lo podemos expresar como los de 50. Si recordamos las fraccioes, tedremos: El 25% de 50 so los de es 12,5 el 25% de Método del tato por uo. El tato por uo es el resultado de realizar la divisió etre las catidades que se relacioa e ua razó, equivale a ua razó que os da ua determiada catidad de ua magitud por cada uidad. Ejemplo: Calcular el 25% de 50. El 25% de 50 lo podemos expresar como los de 50. El tato por uo equivalete a la razó es 0,25, es decir: 25 0,25. Por tato, El 25% de 50 es 0, ,5 100 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 153

12 EJERCICIOS SENCILLOS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y PORCENTAJES 20 % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de % de 70 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 154

13 20 % de % de % de % de % de % de 60 2 es a 6 como 5 es a :... 3 es a 6 como 4 es a : es a 5 como 4 es a :... 9 es a 18 como 6 es a: es a 15 como 20 es a:... 7 es a 49 como 10 es a: es a 5 como 16 es a: es a 3 como 30 es a:... 3 es a 21 como 5 es a:... JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 155

14 6 es a 12 como 8 es a: es a 5 como 63 es a: es a 24 como 9 es a:... APRENDER MATEMÁTICAS 5 es a 15 como 8 es a: es a 10 como 35 es a:... 6 es a 36 coo 5 es a: es a 11 como 12 es a: es a 7 como 54 es a:... 9 es a 81 como 4 es a: es a 9 como 24 es a:... 6 es a 24 como 5 es a: es a 5 como 12 es a... JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 156

15 PROBLEMAS: Problema 1: Si co 2 se puede comprar 8 bolsas de chuches e u kiosco. Cuátas bolsas se puede comprar co 5? Problema 2: Luis ha comprado 7 cuetos co 49. Cuátos comprará co 84? Problema 3: Por alquitraar 5 metros de carretera, se ha pagado Cuáto se pagará por alquitraar 15 metros? Problema 4: E tres cartoes de huevos cabe 36 huevos. Cuátos huevos cabe e cuatro cartoes y medio? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 157

16 Problema 5: Tres cuaderos iguales le ha costado a Adrea 3,75. Cuáto tedrá que pagar por 7 cuaderos? Cuátos cuaderos podrá comprar co 10? Problema 6: Por 450 g de lagostios Jua ha pagado 4,5. Cuáto cuesta el kilo de lagostios? Problema 7: Ua máquia fabrica 7500 torillos e media hora. Cuátos torillos fabricará si está fucioado cico horas? Problema 8: Alba ha percibido 16 euros por u trabajo de reparto de publicidad durate 4 horas. Cuáto recibirá Samuel, que ha trabajado 3 horas? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 158

17 Problema 9: Para hacer ua tarta para 8 persoas ecesito 4 tazoes de leche, 1 limó, 10 cucharadas de azúcar y 8 huevos. Halla la catidad ecesaria de cada igrediete para hacer ua tarta para 4 persoas. Problema 10: Si 3 euro equivale a 3,92 dólares, determia a cuátos euros equivale 50 dólares. Problema 11: U hotel sirve a sus 120 clietes 200 paecillos e el desayuo. Sabiedo que la proporció etre el úmero de clietes y el de paecillos se matiee, cuátos paecillos ecesitará el hotel para 168 clietes? Problema 12: U automóvil gasta 5 litros de gasolia cada 100 km. Si queda e el depósito 14 litros, cuátos kilómetros podrá recorrer el automóvil? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 159

18 Problema 13: Si por 12 camisetas pago 96, cuáto pagaré por 57 de esas camisetas? Problema 14: Trescietos gramos de queso cuesta 6 Cuáto podré comprar co 4,50? Problema 15: Ua máquia embotelladora llea 240 botellas e 20 miutos. Cuátas botellas lleará e hora y media? Problema 16: U corredor de marató ha avazado 2,4 km e los 8 primeros miutos de su recorrido. Si matiee la velocidad, cuáto tardará e completar los 42 km del recorrido? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 160

19 Problema 17: U padre le da la paga a sus tres hijas de forma que a cada ua le correspode ua catidad proporcioal a su edad. A la mayor, que tiee 15 años, le da 45 euros. Cuáto dará a las otras dos hijas de 12 y 8 años de edad? Problema 18: Ua fuete da 54 litros de agua e 6 miutos. Cuátos litros de agua dará e 20 miutos? Problema 19: U corredor da seis vueltas a ua pista e 18 miutos. Si sigue al mismo ritmo Cuáto tardará e dar 8 vueltas? Cuáto tiempo tardó e dar las 3 primeras vueltas? Problema 20: U coche de carreras ha recorrido los 11 primeros kilómetros del circuito e 4 miutos Cuáto tardará e recorrer 25km? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 161

20 21. Al comprar la Play S. 3, que cuesta 650, os hace u descueto del 8%. Cuáto os hemos ahorrado? 22. Si ua camiseta pasa e las rebajas de costar 20 a 15. Qué porcetaje de rebaja se le ha aplicado? 23. E las rebajas de eero, los precios se rebajaro primero u 40%. Si iicialmete ua camisa costaba 75, cuáto costará la camisa al después de las rebajas? 24. Si e u mes el úmero de discos que vede u catate es y e el mes siguiete las vetas desciede u 15%. Cuátos discos vede e el segudo mes? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 162

21 25. El 10% de ua catidad es 60, cuál es esa catidad? 26. El 30% del valor de u objeto so 2. Cuáto vale el cuadero? 27. Si mujeres correspode al 60% de los habitates de ua ciudad. Cuátos habitates tiee esa ciudad? 28. U vededor de coches recibe de comisió el 8% de las vetas. Si e ua semaa gaó Cuál fue el importe de las vetas realizadas? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 163

22 29. E u grupo de 28 alumos aprueba 16. Qué tato por cieto suspede? 30. De los 120 alumos de 1º de ESO de u istituto, 30 so repetidores. Qué porcetaje hay de alumos repetidores? 31. Calcula los euros que tego si aumetado e u 25% es igual a Compramos u libro por 12 y después de leerlo se lo vedemos a u amigo haciédole el 30% de descueto. Cuál es el precio de reveta? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 164

23 33. E ua cesta hay 80 mazaas, de las cuales se malogra el 40%. Cuátas mazaas está e bue estado? 34. Si el 30% de u úmero es 12, Cuál es dicho úmero? 35. E ua clase de 30 alumos, el 80% votaro a la actual delegada. Cuátos votos recibió la delegada? 36. U señor gaaba 1.500, le sube el sueldo u 6,5%. Cuáto gaará? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 165

24 37. Ua lavadora que cuesta 520 la rebaja u 10%, cuál es su uevo precio? 38. Se desea veder u artículo co IVA icluido por 29. Si el IVA es el 16%, cuál debe ser su precio si IVA? 39.- E ua caja hay 30 bolas rojas, 20 bolas amarillas y 15 bolas verdes. Qué porcetaje le correspode al úmero de bolas que hay de cada tipo? 40.- U equipo de balocesto aota 80 putos e u partido. Uo de los jugadores ha aotado 26 putos y otro 20. Cuál es su porcetaje de aotació e las estadísticas del partido? JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ - CARMEN GORDO CUEVAS PEDRO M. RIVERA LEBRATO 166