1 Sistemas Numéricos

Transcripción

1 Sistemas Numéricos. Sistemas Numéricos Los úmeros eteros positivos que os permite eumerar y ordear como,,3 los llamamos úmeros aturales y los represetamos como. Sobre ellos podemos utilizar la adició pero o otras operacioes algebraicas. Para itroducir la sustracció y cotar co solucioes para las ecuacioes de la forma a+x=b, dode a y b so aturales, requerimos del cero y los eteros egativos: -,-,, co ellos formamos el sistema de úmeros eteros y los represetamos como. Observe que cuado ab,, la ecuació a+ x= bsiempre ecuetra ua solució e. La misma afirmació es cierta cuado ab,. Los úmeros racioales so aquellos que podemos formar como fraccioes de eteros: a q= co a, b siedo b 0 b Observe que u mismo racioal q puede represetarse de varias formas como u cociete de eteros. Esta ambigüedad se resuelve exigiedo que el sigo lo determie el umerador a y que o haya factores comues etre a y b. Es importate otar que toda ecuació de la forma ax + b = c siempre ecuetra ua solució e cuado abc,,. La misma afirmació es cierta cuado abc,, siedo a 0. El lector debe otar que las operacioes de suma, multiplicació y sustracció está bie defiidas e, si embargo o es posible realizar divisioes ta sólo co los úmeros eteros. Para ello requerimos el sistema de los úmeros racioales dode podemos efectuar sumas, restas, multiplicacioes y divisioes. Desde este puto de vista el sistema de úmeros racioales parece suficiete para las operacioes algebraicas básicas, si embargo para otros propósitos los racioales so bastate limitados. Por ejemplo, la ecuació de segudo grado x = 0, tiee solució e los úmeros ± que o so racioales, so úmeros irracioales. El lector debe imagiar fácilmete ua situació e la que deba platear x = (p.e.: costruir u cuadrado de área ). Otros ejemplos de úmeros irracioales so π y e, siedo π el área de u círculo de radio y e la base para los logaritmos aturales. Determiar cuádo u úmero es irracioal es u problema iteresate y e muchos casos extremadamete difícil. Más adelate presetaremos la demostració formal de la irracioalidad de. Para exteder el sistema

2 de los úmeros racioales e icluir los irracioales, se emplea el sistema de los úmeros reales represetado como. E cotamos co todas las operacioes algebraicas y además icluimos ua relació de orde <, deomiada iformalmete meor que la cual es ua relació biaria co las siguietes propiedades: i. 0< ii. Dados dos úmeros reales a y b siempre se cumple ua y sólo ua de las siguietes afirmacioes: I. a< b II. b< a III. a = b iii. Cuado c es real y a< b etoces a+ c< b+ c. iv. El sistema de úmeros reales queda dividido e tres grades grupos: I. El cero II. Los úmeros positivos, aquellos a e tales que 0 < a III. Los úmeros egativos, aquellos a e tales que a < 0 v. El producto de dos úmeros, ambos positivos o ambos egativos es siempre positivo. vi. El producto de u úmero positivo co otro egativo es egativo. vii. Cuado 0 < y a < b etoces a < b. E este puto supoemos que el lector está iformado sobre las propiedades aritméticas y algebraicas eseciales que tiee lugar sobre los úmeros reales, p.e.: que la multiplicació por cero da cero, que la suma y la multiplicació so operacioes comutativas, que o podemos dividir por cero, etc Tambié e este puto el lector debe otar que todas las operacioes y propiedades que hemos presetado para, tambié aplica para. Etoces Qué hace distito a, aparte de icluir uos cuatos úmeros diferetes llamados irracioales?, la respuesta está e ua propiedad sutil que despreveidamete euciamos como: Todo cojuto de úmeros reales acotado superiormete tiee u supremo Descifráremos paso a paso esta afirmació: Si cosideramos el sistema de úmeros reales como ua gra familia, podemos hablar de cojutos o subcojutos de úmeros reales. Empleado otació de cojutos defiimos itervalos como: ( ab, ) = { x a< x< b} tambié itervalos cerrados como: [ ab, ] = { x a x b} o itervalos semiabiertos como:

3 ( ab, ] = { x a< x b} y aálogamete [ ab, ). Tambié podemos defiir itervalos o acotados como: (, ) = (otra forma de escribir ) (, a) = { x x< a} (, a] = { x x a} ( a, ) = { x a< x} [ a, ) = { x a x} dode ( a, ) es u itervalo abierto o acotado y [, ) a es u itervalo cerrado o acotado. Observe que las palabras cerrado y abierto las empleamos segú los extremos del itervalo esté o o esté icluidos e el cojuto. La palabra acotado se refiere a la situació e la cual el itervalo tiee extremo derecho e izquierdo, dicho de otra forma, cuado el itervalo o se extiede si límite hacia la derecha o hacia la izquierda. Los itervalos de los diferetes tipos que hemos presetado so bueos ejemplos de cojutos de úmeros reales. Otros cojutos de úmeros reales de gra iterés so las sucesioes. Ua sucesió es ua lista (ormalmete si fi) de úmeros reales, que eumeramos co u subídice que es u úmero atural que os permite formar la lista. E geeral decimos que: x, x, x3,..., x, x +,... es ua sucesió de úmeros reales si podemos determiar co toda precisió cual es x para cada. Como ejemplo teemos:,,,,...,,, dode x =, para cada.

4 Otro ejemplo de sucesió es: ( ),4,9,6,5,36,...,, +,... dode x = para cada. Normalmete usamos ua otació abreviada como { x} expuestos teemos = y { }. = = ; así, e los casos Evidetemete hay quie elige comezar la sucesió co = 0, esto es muy válido y así aparece e muchos casos. Presetados estos diferetes tipos de cojutos de úmeros reales (sucesioes e itervalos) podemos avazar e la explicació sobre qué hace diferete los úmeros reales de los úmeros racioales. Como ya ha otado el lector, emplearemos la otació " " para referiros a la comparació mayor o igual a la cual cotempla " > " mayor que estricto o posiblemete " = " igualdad. Dado u cojuto A de úmeros reales, diremos que A está acotado superiormete si existe u úmero c real tal que: x c x A. Es decir c es mayor o igual que cualquiera de los elemetos de A. E estas codicioes decimos que el úmero c es ua cota superior para el cojuto A de úmeros reales. De ua maera similar podemos defiir cojutos acotados iferiormete y cota iferior para cojutos de úmeros reales. Como ejemplo, diremos que la sucesió = 0 está acotada superiormete, evidetemete es cota superior para esta sucesió. Si embargo { } = está acotado superiormete, pero sí está acotado iferiormete. El es cota iferior para esta última sucesió. Note que u cojuto acotado superiormete o iferiormete, tiee muchas cotas superiores o iferiores. Por ejemplo,3, 4,... y cualquier úmero atural so cotas superiores para = úmero egativo es cota iferior de { } = o. Cualquier. Tambié observe que ua cota superior o iferior puede o o puede perteecer al cojuto A. Por ejemplo 0,. es cota superior de [ 0, ) pero o perteece al cojuto [ ) Dado u cojuto A acotado superiormete o iferiormete, decimos que A tiee u máximo c cuado c es ua cota superior de A, que además perteece al cojuto A. Cuado A es acotado iferiormete, decimos que c

5 es u míimo de si A c es ua cota iferior que perteece a A. Es fácil ver que si A tiee u máximo, este debe ser úico. Lo mismo si A tiee u míimo, este debe ser úico. Por ejemplo, ote que tiee u máximo e, pero = 0, o tiee u máximo pero su míimo es 0. o tiee u míimo. Note que [ ) Cuado A es u cojuto acotado iferiormete, existe ua (y muchas más) cotas superiores para A, etoces podemos cosiderar el cojuto C( A ) formado por todas las cotas superiores de A. Si aceptamos que A o es vacío, cada úmero e A es ua cota iferior para C( A ). Lo que hace particular al sistema de los úmeros reales es ua propiedad fácil de euciar: Cuado A es u cojuto de úmeros reales acotado superiormete, el cojuto de las cotas superiores C( A ) siempre tiee u míimo. E otras palabras, todo cojuto de úmeros reales cotado superiormete posee ua míima cota superior. A este valor (que propoemos que siempre existe) se le llama supremo del cojuto A, por eso hemos dicho previamete que todo cojuto acotado superiormete e, tiee u supremo. Esta propiedad de se suele llamar propiedad del supremo. Los mismos cometarios aplica para máximas cotas iferiores de cojutos acotados iferiormete e, llamados ífimos. Vemos por qué esto hace diferete a de, si cosideramos el cojuto vemos que es acotado superiormete e, vemos que es ua cota superior para esta sucesió. Pero además es la míima cota superior de esta sucesió (Explique por qué). Observe que el supremo o tiee que perteecer al cojuto, el supremo de [ 0, ) es. Tambié es fácil ver que el supremo es úico (Explique). Cosideremos la sucesió { x } defiida recursivamete como: x = x + + x, dode el valor iicial x 0 etoces la sucesió { x } (está icluido e ). Por procedimietos de cálculo o demasiado difíciles, podemos mostrar que x, es decir que x se acerca progresivamete a cuado crece. Decimos que la serie { x } coverge al valor y o es difícil ver que x > para cualquier, etoces { x } es ua sucesió de úmeros racioales acotada iferiormete, veremos que { x } o tiee ua máxima cota iferior, es decir u ífimo e. Notemos que x < + x, es decir { x } es ua sucesió decreciete, cualquier úmero racioal q < es ua cota iferior de

6 { } x, ahora bie, estas so las úicas cotas iferiores de { x } este cojuto C = { q q< }, o tiee u máximo, etoces { x } ua máxima cota iferior, luego carece de ífimo e. Si embargo x. ífimo de { } x e. Note tambié que o perteece a { }. Es claro que o tiee es el Las propiedades de covergecia de las sucesioes ifiitas e so la base del aálisis real y del cálculo avazado. Ejercicio Aceptamos que el sistema umérico decimal os permite represetar todos los úmeros reales, resaltamos que podemos distiguir etre racioales e irracioales observado que los racioales tedrá ua represetació fiita o periódica a partir de u puto e su expasió decimal, mietras que los irracioales se podrá expresar co ua expasió decimal ifiita e la que o aparece igú periodo. Co esta observació el lector debería poder mostrar los siguietes hechos: i. Siempre podemos ecotrar u úmero racioal arbitrariamete cerca de cualquier úmero real. Los racioales so desos E. ii. Etre cualquier pareja de úmeros reales siempre hay u racioal (tambié irracioal). iii. Propiedad Arquimediaa: Si r es u racioal positivo, r puede hacerse arbitrariamete grade. Esto sigifica que dado: s arbitrario, existe tal que s< r. Series Ifiitas E cálculo podemos estudiar la posibilidad de realizar sumas ifiitas gracias a las propiedades de los úmeros reales. Ua serie ifiita es ua expresió formal que cotempla la realizació de ua suma sobre todos los térmios de ua sucesió, idepedietemete de que tal suma tega setido o o... Sumas parciales Dada ua serie ifiita { s } = sucesió = x, defiimos sus sumas parciales como la sucesió cuyos térmios so las sumas de los primeros térmios e la s = x. i= i

7 Ua serie ifiita = x covergerá (o sumará) a u valor si y sólo si la sucesió de sus sumas parciales coverge a tal valor llamado suma o límite de la serie; decimos: = x = S, cuado S S... Series Geométricas Dado u úmero α, queremos sumar todas las potecias de α comezado 0 co α =, es decir: = 0 α = + α + α +... Sus sumas parciales so: S = + α + α α α α... α α α =. Co u cálculo secillo teemos: ( )( ) + α Así que S = = α = = 0. = 0 α α Cuado α > teemos S α α = α + cuado, si α <, etoces:, etoces S o coverge cuado. Si α = etoces S = +, lo que tampoco coverge. Si α = teemos: si es par S =, etoces tampoco coverge. 0 si es impar Caso Especial α = : Cosidere el dibujo y observe que: =, luego =, etoces = = = 0 Pero tomado α = el límite de la serie geométrica es α =.

8 Dibujo..3 Serie Armóica Dada la serie = cuyas sumas parciales so: = 3 4 S = = ; estudiaremos su covergecia. i 3 4 i= Haremos ua comparació empleado herramietas de cálculo itegral: Dibujo Área sombreada = dt = l( ) S, la fució l( x ) o es acotada, etoces t cuado x, l( x), l( x ) crece si cota, cuado x crece. Esto sigifica que si r positivo, existe S ' tal que l( x) si x S '. Esto muestra que la serie armóica o coverge. El sistema de los úmeros reales es el cotexto adecuado para presetar resultados de covergecia y procesos límite e cálculo y aálisis, las propiedades de los úmeros reales

9 que permite estos procedimietos se deomia topología o propiedades topológicas de la recta real. No etraremos e esta materia. A pesar de las fortalezas del sistema de los úmero reales, éste o es suficiete para resolver ecuacioes algebraicas muy secillas como x + = 0. Para estudiar las solucioes a este tipo de ecuacioes algebraicas, recurrimos al sistema de los úmeros complejos. Los úmeros complejos los represetamos como, pero su presetació puede hacerse de varias maeras. Usaremos u plao cartesiao compuesto de dos ejes: el horizotal lo llamaremos eje real, el vertical eje imagiario. Cada puto de coordeadas ( x, y ) e este plao represeta u úmero complejo e la forma: z = x+ iy dode llamamos parte real de z al úmero x y llamamos parte imagiaria de z al úmero real y. El úmero i se llama úmero imagiario y tomará setido más adelate, ote que él ocupa la posició (0,) e el plao complejo. El sistema de úmeros complejos cotiee a los reales puesto que podemos idetificar a la recta real co el eje real del plao complejo, así cada x se represeta como el puto ( x,0) o el úmero complejo z = x+ i0. Defiimos la suma etre dos úmeros complejos z = x+ iy y w= x' + iy' como z+ w= x+ x' + i( y+ y' ), esta operació correspode a la suma de vectores que geéricamete es la ley del paralelogramo e el plao cartesiao: Dibujo 3

10 Además ote que la suma compleja extiede a la suma de los úmeros reales y que tiee todas las propiedades algebraicas de la suma habitual e úmeros reales. La multiplicació para úmeros complejos se defie de la siguiete maera: zw = xx ' yy ' + i xy ' + x ' y. ( ) ( ) Esta operació extiede a la multiplicació de úmeros reales y tiee las mismas propiedades algebraicas. E los úmeros complejos toma u especial iterés la orma o valor absoluto que se defie como z = x + y cuado z = x+ iy. Geométricamete, z es la magitud del vector ( x, y ) e el plao e que represetamos los úmeros complejos. Alguas propiedades de la orma so: i. z = 0 si y sólo si z = 0 ii. z = z cuado es real iii. wz = w z cuado w es complejo iv. w+ z w + z desigualdad triagular v. z = x + y si z = x+ iy El lector debe otar que estas so las mismas propiedades de la orma para vectores e el plao (a excepció del puto iii ) y que extiede las propiedades del valor absoluto e los úmeros reales. Cada úmero complejo z = x+ iy admite ua represetació alterativa llamada represetació polar, e la cual utilizamos las coordeadas polares ( r, θ ) del puto ( x, y ) que represeta a z e el plao complejo. Recordamos que ( r, θ ) defie a x y y como: x= rcosθ y = rsiθ

11 Dibujo 4 de igual maera ( x, y ) defie a θ y r como: r = x + y y θ = arcta π < θ < π. x El lector debería ser cosciete de la ambigüedad e la represetació cuado sumamos águlos múltiplos de π al argumeto θ : θ ' = θ + π co De esta maera z = x+ iy, puede represetarse como z = rcosθ + irsiθ, o más i cocisamete z = re θ, dode la represetació expoecial hace uso de las propiedades de la fució expoecial: Teemos etoces la fórmula de Euler: e iθ = cosθ + isiθ Fórmula de Euler seθ cosθ Dibujo 5

12 La expresió aterior represeta todos los úmeros complejos e la circuferecia uitaria, cetrada e el orige del plao complejo. Es importate apreder a utilizar ambos sistemas de represetació para úmeros complejos: rectagular y polar. Podemos utilizar este sistema de represetació para eteder la multiplicació i e el sistema de úmeros complejos. Si z = re θ i ' y w= r' e θ etoces ( )( ' ) zw re r e rr e i θ i θ ' ' i( θ+ θ = = '). Utilizado las propiedades de la fució expoecial vemos que la magitud de zw es el producto de las magitudes de z y w : zw = rr ', y el argumeto de zw es θ + θ ', lo que idica que para formar el producto etre dos úmeros complejos debemos multiplicar las magitudes y sumar los argumetos. Dibujo 6 Observe que la multiplicació de úmeros complejos implica ua rotació (adició de argumetos) y el producto de magitudes. Esta propiedad hace que los úmeros complejos sea especialmete útiles para estudiar feómeos oscilatorios e física e igeiería. El caso de las potecias es particularmete iteresate: i Cuado z = e θ, claramete z es u puto e la circuferecia uitaria, cuyo radio vector forma u águlo θ co el semieje positivo del eje real. Etoces: i( θ+ θ) ( ) z = e = e e = e = e iθ iθ iθ iθ de maera que z es otro puto e la circuferecia uitaria pero que duplica el águlo que formaba z co el semieje de los reales positivos. E geeral i z = e θ. Así que tomado potecias eteras de z, hacemos que u puto circule sobre la circuferecia uitaria:

13 Dibujo 7 Esta argumetació geométrica os permite alcazar u resultado fudametal e cálculo complejo:..4 Fórmula de De Moivre ( θ ) si ( θ ) z i e θ z = cos + i cuado =. Co esta explicació geométrica podemos defiir la fució raíz -ésima e los úmeros complejos. Veremos que la raíz -ésima de está compuesta por úmeros complejos simétricamete repartidos e la circuferecia uitaria. Defiimos la raíz -ésima de, como aquellos úmeros complejos w tales que w =. Evidetemete w tiee que teer valor absoluto, e caso cotrario su -ésima potecia o tedrá magitud. i 0 Etoces podemos represetar w como w= e θ y veremos que iθ ( ) 0 iθ0 w e e = = =. La represetació polar de es e i0 iθ 0 i0, así que e = e, iθ0 i0 etoces θ 0 = 0, luego θ 0 = 0, así que w= e = e =, co lo cual w = es raíz -ésima compleja de. Esto es lo usual e los úmeros reales. Utilizado la ambigüedad presete e la represetació polar, vemos tambié i que = e π iθ 0 iπ π, w = toma la forma e = e, luego θ 0 = π, así que θ 0 =. E geeral las raíces de e el plao complejo so:

14 π i w= e co = 0,,,..., E el caso = 3 teemos: 3 + i 4π 3 π 3 π 4π i i 3 3, e, e 3 i Dibujo 8, que e forma cartesiaa so: 4 4, cos π isi π, cos π isi π , + i, i 3 La divisió e los úmeros complejos se itroduce de ua maera muy secilla i utilizado la represetació polar z = re θ, es así como defiimos: z e = = = r e. z r iθ iθ La divisió e forma rectagular toma la siguiete forma: ( x iy )( x iy) w w wz ' + ' x' x+ y' y xy' x' y = = = = + i z zz z x + y x + y x + y E el argumeto aterior hemos utilizado ua operació importate e el cálculo complejo llamada cojugació : dado u úmero complejo z = x+ iy

15 su cojugado es z = x iy, ote que z es la image especular de z respecto al eje real. Alguas propiedades so: i. z = z ii. zz = iii. zw = z w iv. z+ w= z + w v. iθ iθ re = re vi. = z z vii. z+ z = Rez viii. z z = Imz z Las operacioes algebraicas y sus propiedades e los úmeros complejos extiede todas las coocidas e los úmeros reales. El sistema de los úmeros complejos adquiere ua especial importacia al referiros a las solucioes de las ecuacioes algebraicas que podemos expresar como: Px ( ) = ax + a x ax+ a 0 dode a, a,.., a, a0.3 Resultados Básicos del Algebra i. Cada poliomio Px ( ) co coeficietes reales tiee solució e el plao complejo. ii. Cuado r es ua raíz real de Px, ( ) Px ( ) = ( x r) qx ( ) dode x r o divide a qx. ( ) Decimos que es la multiplicidad de r. iii. Cuado z = α + iβ es ua raíz compleja de Pz, ( ) su cojugado tambié lo es: z = α iβ y Podemos expresar P(x) como ( ) α β Px ( ) = x + qx ( ) que: ( x α) β ( x z)( x z) + =., dode ( ) x α + β o divide a qx. ( ) Observe iv. Cuado Px ( ) es u poliomio de coeficietes reales, podemos expresarlo como: Px ( ) = α ( x z) i, dode es el grado de ( ) i= Pxy z,..., z so sus raíces escritas de maera que las repetimos de veces ecesario para igualar a su multiplicidad.