Tema 2 : Sistemas de ecuaciones lineales. Colección de problemas explicados y resueltos

Transcripción

1 Tem : Sistems e euiones lineles Coleión e prolems eplios resueltos.- Resolver un sistem por Guss. Resolver el siguiente sistem e euiones en form mtriil por Guss:.. El primer pso será onvertir est euión mtriil en un sistem e euiones en form e mtri: Esto es equivlente :. hor resolvemos por Guss not: tmién se porí resolver por l mtri invers: Intermimos l fil on l pr evitr el en l igonl: Soluión:, -,

2 - Resolver el siguiente sistem e euiones por Guss: Lo primero es orenr el sistem pr que se pue plir Guss:. plimos Guss: Deshieno el sistem e euiones: El sistem es omptile inetermino. Pr otener ls soluiones prmetrios un prámetro. Lo más fáil es llmr o : Soluión: Comptile inetermino on,,

3 - Resolver el siguiente sistem e euiones por Guss: Cmi solmente un signo trnsform el sistem nterior en un sistem omptile inetermino. Primero resolvemos el sistem por Guss: Deshieno el sistem: L soluión es:,, Pr que fuer inomptile, l terer fil nos tenrí que quer: os que nos ourrirá si en l terer fil en ve el - nos quer. Y esto suee si l terer euión es

4 .- Resolver un sistem plino Rouhé-roenius. nli si el siguiente sistem e euiones tiene soluión, si l tiene, enuéntrl. Se trtrá e plir el métoo e Rouhé-roenius pr ver si tiene soluión o no e que tipo. Utiliremos l mtri su mtri mpli estuiremos el rngo e ms: Según el teorem e Rouhé-roenius, si rngo rngo * nº inógnits el sistem es Comptile Inetermino. Pr hllr ls soluiones, ponemos l mtri en form e euiones: Llmno, prmetriremos ls soluiones:. L soluión es:

5 - Disutir los siguientes sistems e euiones lineles usno el métoo e Rouhé- roenius: Como en el so nterior, plir el métoo e Rouhé-roenius nos permitirá eterminr el número e soluiones el sistem. Se hrá por omprión el rngo e l mtri on el rngo e su mtri mpli. Hremos: Como: inógnits nº rngo rngo * Sistem omptile inetermino Resolvemos el sistem: Hieno, tenremos,, Proeemos igul que ntes, unque on l slve e que en ve e tener omo inógnits,,, tenemos, :

6 De ls mtries nteriores se eue que: Inomptile * rngo rngo El sistem no tiene soluión Y se puee ompror: Despejno l e l segun sustitueno en l primer euión, nos sle: Efetivmente, el sistem no tiene soluión. - Importnte el prto Disutir los siguientes sistems e euiones lineles usno el métoo e Rouhé-roenius. Enuentr l soluión uno proe: Proeeremos igul que en el ejeriio nterior: inógnits nº rngo rngo * El sistem es Comptile Determino. Busquemos l soluión:

7 De l terer euión: De l segun euión:. De l primer euión:.. L soluión es Reorenno el sistem, nos que: Pr plir el teorem e Rouhé-roenius hemos e lulr el rngo e l mtri e l mtri * mtri mpli. Pr lulr el rngo e l mtri será mejor mir olumns por fils: T Rngo * Rngo * Por tnto inógnits nº rngo rngo * El sistem es Comptile Determino. L soluión es

8 - Disutir los siguientes sistems e euiones lineles usno el métoo e Rouhé- roenius. Enuentr l soluión uno proe: Como en los sos nteriores, se trt e omprr el rngo e l mtri, el e l mtri * el número e inógnits. Después, según el resulto, se usrá l soluión o no el sistem: Por tnto, inógnits nº rngo rngo * Comptile Inetermino Busmos ls soluiones prmetris: De l terer: De l segun: De l primer: L soluión finl es: Clulremos el rngo e l mtri e l mtri *. Pr lulr el rngo e l mtri poemos girr olumns por fils:

9 Rngo T Clulmos el rngo e l mtri mpli * * rngo * Por tnto, inógnits nº rngo rngo * Comptile Inetermino Busmos ls soluiones prmetris el sistem: De l urt: De l primer: Compromos los resultos on l segun terer euión: L soluión finl prmetri es:,,

10 - Cálulo e l soluión e un sistem por el métoo e l mtri invers. Consier el sistem: Epres mtriilmente.xb, lul l mtri invers us l soluión el sistem L epresión mtriil e l euión es: B X Pr resolver l euión, hremos: B. X B.X Clulmos l invers e, suponieno que se puee invertir: / / L mtri invers e eiste es el resulto finl será.

11 - Clulr pr que un sistem se e un tipo etermino. Consier ls euiones: ñe un euión más pr que el sistem resultnte se: Comptile etermino. Enontrr l soluión. Comptile inetermino. Enontrr l soluión. Inomptile justifílo Pr que el sistem se Comptile etermino, el rngo e tiene que ser igul l e l mtri * l número e inógnits en este so. Por tnto el rngo e est mtri ee ser. Iremos ponieno oniiones e mner que siempre nos quee el rngo igul :,, * Pr que no se el sistem Inomptile no puee ser, si es es, el sistem será Comptile Inetermino. Pr que se Comptile Determino, hemos por ejemplo : De l terer: De l primer e l segun: De l primer:,, De *, hieno

12 Sistem Inomptile De *, hieno rngo rngo*; nº inóg. Se resuelve el sistem: L soluión prmetri es:,,.

13 - Resoluión e prolems on sistems e euiones. Un inversor v omprr iones e les empreses, B i C, i invertei C el ole que. Psst un n, l empres li v pgr el % e enefii, B el % i C el %. Si el enefii totl v ser e, pot ser que el vlor iniil e les ions fos e.? El primer pso es efinir ls inógnits el prolem. Si lgun ve tienes us sore uáles son ls inógnits el prolem, es un uen ie fijrte en qué os se pregunt. Cnti inverti en l empres Cnti inverti en l empres B Cnti inverti en l empres C L euión eriv e que se h invertio el ole en C que en : L enefiios son el resulto e sumr los enefiios otenios por ls tres empress: Y l euión el vlor el inero invertio es: Es eir, el sistem es: Rngo * nº inógnits Rngo Comptile etermino El sistem se puee resolver tiene un úni soluión. Deshieno l últim e ls mtries:

14 - L espes mensul en slris un empres e trellors és e.. Hi h tres tegories e trellors:, B i C. El slri mensul un trellor e l tegori és e, el un e l B és e. i el un e l C és e.. Sense omir ningú, l empres vol reuir l espes slril el %. Per onseguirho, h reit el % el slri l tegori, el % l B i el % l C. Esrin qunts trellors e tegori hi h. El primer pso es efinir ls inógnits el prolem. Número e trjores e l tegorí Número e trjores e l tegorí B Número e trjores e l tegorí C Por tnto: El número totl e trjores gener l euión: El inero totl estino slrios es: ormno el sistem: En form e mtri: R Rngo * nº inógnits Rngo Comptile etermino El sistem tiene un soluión es úni: Pr lulrl, será más fáil omenr por l últim e ls mtries, poniénol en form e euiones:

15 De l terer: / Sustitueno este resulto en l segun euión:. Y sustitueno e en l primer, nos que: L úni soluión el sistem es:

16 - En un supermert, hn post ofert ues mrques e etergent, i B. El propietri onsult el llire e omptes per veure les oniions un ofert nterior i tro quest informió: el nomre totl e pquets venuts v ser e unitts, el preu el pquet er e i l import totl e l ofert er e. No tro, però, el preu e ven el pquet B. Plntej un sistem equions per eterminr el nomre e pquets venuts e mr. I h lgun vlor que no pugui ser soluió? Esrin si el preu el pquet B és e o e,. El primer pso, omo siempre, es espeifir ls inógnits el sistem: Número e pquetes e etergente Número e pquetes e etergente B L primer euión he refereni l número e pquetes venios: Pr poer esriir l segun oniión, tenemos que introuir un nuev inógnit reltiv l preio el pquete e etergente mr B: El sistem resolver será: En form mtriil: ntes e emper vemos que no puee ser puesto que serín os euiones linelmente inepenientes. Clulemos el rngo e l mtri: Slvo pr, en uo so el sistem no tenrí soluión, en el resto e sos sí l tiene

17 - L ministror e l omunitt e veïns vol ser què or l hor un eletriist, un lmpist i un plet. Sp que: l t. L eletriist hi estt hor i el plet hores, i vn hver e pgr e mà or. l r D, vn pgr per les hores que hi v ser el lmpist i l hor que es v ser el plet. s mev hi v ser hor el lmpist, hor l eletriist i hores el plet, i ens vn orr. Qunt or per hor professionl? En este prolem, ls inógnits están mu lrs: slrio por hor el eletriist. slrio por hor el lmpist. slrio por hor el plet. En punto el enunio nos vn efinieno un euión Entre ls euiones se form un sistem que se puee epresr en form mtriil e l form:.b X.B..X B.X. Es eir, omo vemos que tenemos el mismo número e euiones que e inógnits, omo se supone por el onteto el prolem que esto tiene que tener soluión, intentremos soluionr el prolem por el métoo e l mtri invers.

18 / L mtri invers es: Con lo que el resulto finl es:..b Está lro que los tres son mu rtos.

19 - ls stronutes e l nu Enterprise se ls prepren osis m os tipus e omplements. C grm el omplement onté unitts e rioflvin, e ferro e rohirts. C grm el omplement B onté unitts e rioflvin, e ferro i e rohirts. Qunts grms e omplement són neessris per prouir etment un osi m unitts e rioflvin, e ferro i e rohirts? Este es un prolem on un enunio no mu lro que inue onfusión. Ls inógnits son: Número e grmos el omplemento Número e grmos el omplemento B unque sólo h os inógnits, nos n tres euiones, que son: simplifino ls euiones, quen: Vmos isutir el sistem ntes e resolverlo. Pr ello formmos l mtri su mpli *: Es rngo e es ponieno l olumns en form e fil es eviente que es porque no h ningún número α que umpl que: α α α luego ls os fils son linelmente inepenientes. Nos que l u sore si * tiene rngo o. Lo lulmos: El rngo e l mtri mpli * tmién es, luego inógnits nº * rngo rn Sistem Comptile Determino

20 Busmos l soluión Y el resulto otenio tmién umple l terer euión.

21 - Un grup e persones, entre homes, ones nens, es tro per nr eursió. Si omptem els homes i les ones junts, result que n hi h el triple que e nens. més, si hi nés un on més, el nomre e ones seri igul l nomre homes. Plntej un sistem per esrinr qunts homes, ones i nens vn eursió. Resol el sistem. Este es un prolem fáil, on inógnits ien efinis on euiones fáiles e plnter: número e homres número e mujeres número e niños Ls euiones son: Reorenno el sistem ejánolo e l mner orinri, nos querá. Este sistem tiene el mismo número e euiones que e inógnits. Por tnto, tnto se puee resolver por el métoo e l mtri invers omo por el métoo e Guss. Si urnte el esrrollo el álulo tnto en un so omo en el otro nos sle que el rngo e l mtri no es, eerímos volver l prinipio isutir según los rngos otenios tnto pr omo pr l mtri mpli *.Lo hremos, pr vrir, por el métoo e Guss: Compromos que inógnits nº * rngo rngo Sistem Comptile Determino hor poemos esher el sistem resolverlo:

22 - Un ovell, un r i un veell vlen, junts,. Pel preu un veell, poem omprr ovelles. més, sem que ovelles un r vlen. Clul el preu e niml i epli n el resultt. Este es el típio prolem que te puee her ir e e en Seletivi. Veremos que el sistem no tiene ningun soluión unque lo plnten omo sí l tuvier. Meteré l pt e profeso reionré hst enontrr l soluión eu. Está lro que ls inógnits son el preio e l ovej, el e l r el el ternero. Ls euiones tmién me preen fáiles e esriir: Como h el mismo número e euiones que e inógnits porímos resolverlo tnto por Guss omo por l mtri invers. Como supongo que el prolem ee tener soluión, lo intento resolver por el métoo que me pree más rápio omo los números que preen l seguno miemro son un poo ltos, se me ps por l e que el métoo más rápio será el métoo e l mtri invers: Como nos sle un fil omplet e eros en l mtri e l iquier, ompromos que est mtri no tiene invers, luego el sistem o no tiene soluión o tiene infinits. El métoo que nos lo irá será el e Guss. Volvmos emper, est ve por Guss: De l terer euión vemos que el sistem es Inomptile

23 - L Mòni i l Ev prlen per telèfon per omprovr si els sistemes que hn resolt els onen el mteios resultts. Només hi h un resultt iferent. L Mòni iu que les soluions el sistem són:, mentre que l Ev iu que µ són: µ µ. Després ssegurr-se que totes ues hn esrit l enunit el prolem e l mtei mner, omenen pensr que potser es trt e ues mneres e resolre el mtei sistem equions. Deiei-ho tu. Este prolem lo he inluio porque se prt e los típios prolems e sistems e euiones lineles. De entr vemos que se trt e un sistem e euiones on tres inógnits que les h slio Comptile Inetermino, por tnto, hn tenio que prmetrir ls soluiones: un h empeo l prmetriión por l otr por l, luego porí ser que ms soluiones fuern l mism. L mner e omprorlo es igulánols omprono que son l mism: µ Empeemos por ls ets: µ µ Compromos entones que, efetivmente, los os vlores e son los mismos. Nos fltn ls s: µ Efetivmente, se trt e l mism soluión, prmetri e otr form.

24 - Estui en funió el vlors e si l següent mtriu té invers L mtri se puee invertir si ls fils son l.i., es eir, si rngo Proemos: Too epene el vlor e entro e l mtri. Se trtrá e ver en qué oniiones se he ± ± Est euión e º gro no tiene ningun soluión rel, luego no h ningún vlor e que hg que l mtri no teng rngo. Por lo tnto, l mtri siempre tiene invers.

25 - Estui i resol el següent sistem equions Como vemos, el sistem epene e un prámetro. Emperemos resolviénolo normlmente ver qué ps: quí pree el primer prolem: Si vle, l últim fil e l mtri tenrá toos sus vlores por lo tnto, omo en l terer fil e l mtri mpli * h un -, el sistem será inomptile: Si es ulquier número istinto e, proseguimos el esrrollo: Busmos un ominión linel e l segun e l terer fil que hg el seguno término e l terer fil: α α Los álulos reltivos los ínies los hgo ontinuión porque pienso que no son evientes:. Con toos estos elementos poemos seprr istintos sos, prtieno e l se e que no puee ser porque hemos esrrollo ntes el so: S.I. * Rngo Rngo Si

26 El vlor es : En este so no se puee enontrr un vlor α que hg posile nulr el seguno elemento e l terer fil. En este so tenremos que l mtri es: En este so reorenmos l mtri, intermino l segun fil por l terer nos que: El sistem es omptile etermino. Efetivmente, el sistem es: hor estmos en el so e que no se ni ni. En ese so, se h poio otener el en l posiión nos que l mtri: El elemento sólo es si so visto o si. Si nlimos este último so : Que tmién es un sistem Inomptile. Por último: Si no es ni ni ni -, el elemento es istinto e, en onseueni, el sistem tiene soluión úni, que será:

27 . De l segun euión: Pr lulr l, l os ún se pone peor: Y sí se este senillo ejeriio e Seletivi lguien se le psó un poo l mno

28 - Estui i resol el següent sistem equions Importnte mirárselo Como vemos, el sistem epene e un prámetro. Emperemos resolviénolo normlmente omo hiimos en el ejeriio nterior: Este prolem tiene trmp: Si lo hemos e l mner orinri llegmos : Y hor, qué hemos?, pues usr lgo que multiplique que nule el que e pso hg que l epresión se hg. íjte omo lo hgo: ruo los números resto: {.. o se, multiplio por le resto -.. En el formto orinrio:.. De est form, los elementos querán:.. Con estos álulos l mtri que: Siempre que l epresión, el sistem será Comptile Determino. En mio, los vlores que son soluión e est euión e º gro hrán que queen eros en l terer fil.

29 Vmos ver so en onreto. Pr ello, lo primero es soluionr l euión e º gro: ± ± Csos: Si, l mtri que: * Rngo Rngo Sistem Inomptile Si, l mtri que: * Rngo Rngo Sistem Inomptile Pr ulquier otro vlor istinto e los os nteriores, l epresión tiene un vlor istinto e el sistem será omptile etermino. L soluión el sistem será:. L se otiene sustitueno los vlores e e en l nterior epresión.

30 - Consier les mtrius i B Estui en funió els vlors rels e si l mtriu B. té invers El primer pso es her l mtri prouto B.. Como B es B es, l mtri prouto será C :. B Busmos l invers e est mtri: L mtri se porá invertir siempre que el rngo e est mtri se, os que sueerá menos que l epresión se hg, en uo so el rngo serí l mtri no tenrí invers. Vemos pr que vlores se he l epresión nterior: ± Est euión no tiene ningun soluión. Luego l nterior mtri se porá invertir pr ulquier vlor e