RAZONAMIENTO CUANTITATIVO

Transcripción

1 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies RZONMIENTO UNTITTIVO En est áe se nlizn ls pies e utilizión e númeos téminos mtemátios p esolve polems untittivos, l pi e nliz tos pesentos jo ivess foms tles omo tls gáfios. El onoimiento mtemátio eigio es e nivel elementl (los tems se estuin st el noveno éimo go e l moí e ls esuels el pís). Tos ls pegunts e est áe tienen l estutu e ls pegunts e ltentiv - un pegunt espués e ell uto opiones e espuest, e ls ules un sol es l espuest oet. Ls pegunts e l seión e zonmiento untittivo son e os tipos: pegunts polems, pegunts e infeeni pti e l ompensión e un gáfio o e un tl. Pegunts polems - Ests pegunts ttn e e un vie e tems el álge e l geometí. lguns pegunts son pesents en téminos mtemátios; ots pegunts son e fomulión vel en ells que tui pimemente el polem téminos mtemátios. Pegunts e infeeni pti e l ompensión e un gáfio o e un tl. Ests pegunts se efieen l infomión suminist po meio e un gáfio o e un tl. En los gáfios se eien tos en fom gáfi, po ejemplo, po meio e un igm e s, e un gáfio, e un igm e ispesión, et. En ls tls se pesentn tos oenos en olumns fils. En un e ests lses ls pegunts están oens po lo genel en un oen eiente e ifiult. l pinipio ls pegunts son fáiles el tiempo equeio p esponels es eltivmente oto; pultinmente se vn ieno más ifíiles equieen más tiempo. Los iujos que ompñn lguns e ls pegunts, no están neesimente esl. No que infei sólo el speto el iujo e e longitues e segmentos, e l mgnitu e ángulos, et. No ostnte lo ul, si un líne pee et en el iujo, se puee supone que es efetivmente et. l omienzo e l seión un "oj e fómuls": en i oj instuiones, iniiones fómuls ivess. Us. poán e uso e ell unte el emen. L "oj e fómuls" está inlui tmién en est guí (en l págin 0) en ls seiones e zonmiento untittivo el emen e páti. Es onveniente que onozn su ontenio que sepn mnejl ntes el momento el emen. En ls págins - un epso e oneptos ásios e mtemáti, que eflej en gn mei los ontenios temátios en los que se sn ls pegunts e ls seiones e zonmiento untittivo. on too, en el emen mismo poín pee pegunts, u esoluión emn oneptos teoems mtemátios iionles, que no peen en is págins. En ls págins - lgunos ejemplos e los ivesos tipos e pegunts, p ejemplo se suminist l soluión on un epliión etll.

2 Rzonmiento untittivo HOJ E FÓRMULS. Poentjes : % e es 00 $. Potenis : P too istinto e 0, p too n m enteos -. n n. m + n m n. m n m _ i n (0 <, 0 < m). n m ( n ) m. Pouto e inomios : ( ± ) ± + ( + )( ). Polems e eoio : istni veloi tiempo. Polems e enimiento : nti e tjo enimiento tiempo. Ftoil : n! n(n )(n ).... Popoiones : Si E F entones E EF tmién E F. Tiángulo :. El áe e un tiángulo u se es ספרדית l ltu oesponiente i se משולב es, es $ צרפתית משולב צרפתית. Teoem e Pitágos : En un tiángulo etángulo teto se umple: + leg ôté ניצב leg ôté ניצב. En too tiángulo etángulo uos leg ôté ángulos son e 0, 0, leg ôté l longitu el teto opuesto l ángulo e 0 es igul l mit ספרדית e l longitu e l ipotenus. potenuse potenuse potenuse poténuse poténuse poténuse. El áe e un etángulo e lgo e no es יתר יתר יתר ניצב ניצב E E F F. ilino :. El áe e l supefiie ltel e un ilino e io e fntn leg ltu es π قاي م fntn leg. El áe e l supefiie totl el قاي م ilino قاي م es π + π π( + ). El volumen قاي م el ilino es π وتر وتر وتر רוסית רוסית fntn fntn 0 ugjntepf ugjntepf ugjntepf fntn fntn Est seión inlue 0 pegunts. El tiempo tu isposiión es e 0 minutos. En est seión peen pegunts polems que eigen zonmiento untittivo. P pegunt se poponen uto espuests. een elegi l espuest oet señl su númeo en el lug oesponiente en l oj e espuests. Oseviones geneles * Los iujos que peen junto un pte e ls pegunts están estinos u esolvels, peo no están tzos neesimente esl. pti el iujo solo, no een sse onlusiones espeto longitues e segmentos, mgnitues e ángulos, et. * Si un líne pee et en el iujo se puee supone que es efetivmente et. * uno en un pegunt pez un témino geométio (lo, io, áe, volumen, et) omo to, se ttá e un témino uo vlo es mo que eo, menos que se g iniión epes e lo ontio. * uno en un pegunt pee esito ( > 0), se tt e l íz positiv e. * "0" es un númeo que no es ni positivo ni negtivo. * "0" es un númeo p. * "" no es un númeo pimo. Fómuls teto ipotenus teto 0. El áe e un tpeio un e us ses es, l ot se es l ltu es, es ] + g $.. Ángulos inteioes e un polígono e n los L sum e los ángulos inteioes el polígono es (0n 0) gos.. Si el polígono es egul, l mgnitu e uno e los ángulos inteioes es 0n 0 n k 0 0 n k gos.. El íulo l iunfeeni :. El áe e un íulo e io es π (π...). El peímeto e un iunfeeni e io es π. El áe e un seto iul on ángulo l ento e es π $ 0. j, uo :. El volumen e un j e longitu, e no e ltu es. El áe e l supefiie totl e l j es + + משולב. En un uo, רוסית ugjntepf potenuse. משולבEl volumen e un צרפתיתono u se es π $ e io u ltu es es. El volumen e l piámie u áe e leg ôté l se es S su ltu es es S$ ניצב ôté צרפתית leg משולב רוסית ספרדית ipotenus teto potenuse poténuse E ôté F ôté צרפתית poténuse E F יתר E ניצב FE ניצב قاي م م רוסית fntn ugjntepf fntn

3 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies REPSO E ONEPTOS ÁSIOS E MTEMÁTI SIGNOS «< <, + : ls ets son plels l et es pepeniul l et Ángulo e 0, ángulo eto El ángulo onveo fomo ente los segmentos es igul es istinto e es meno que es meno o igul que e son moes que puee se igul o - el vlo soluto e l elión ente e LSES E NÚMEROS Enteo: Un númeo enteo es un númeo ompuesto e unies entes. Un númeo enteo puee se positivo, negtivo, o 0. Po ejemplo:..., -, -, -, -, 0,,,,,... Pesten tenión: 0 es un númeo enteo que no es ni positivo ni negtivo. צרפתית משולב No enteo: onseutivos: P: Imp: Númeo que no puee se epeso en unies entes. Po ejemplo:.,, -, tmién (-) (-) son númeos onseutivos. vees se ie: (n + ) es el sueso e n. Son númeos enteos que vienen uno ontinuión el oto on ifeeni e un uni. Po ejemplo, el el son númeos onseutivos,,, En genel, si n es un enteo entones n (n + ) son númeos onseutivos. Es un númeo enteo tl que si se lo ivie po se otiene un númeo enteo (es ei, Ees ivisile po sin esto). En genel, si n es enteo entones n es p. F Pesten tenión: 0 es un númeo p. Es un númeo enteo, tl que si se lo ivie po, se otiene un númeo no enteo (es ei, uno se lo ivie po el esto es ). En genel, si n es un númeo enteo, entones n + es un númeo imp. leg potenuse leg Pimo: poténuse ôté ôté Es un númeo enteo positivo que se ivie sin esto po os númeos وتر יתר. mismo, po قاي م solmente: po sí ניצב Po ejemplo, es un númeo pimo, puesto que no puee ivise sin esto ניצב قاي م más que po po. Pesten tenión: el no se efine omo númeo pimo.

4 Rzonmiento untittivo Opuestos: Invesos: Un p e númeos u sum es igul eo se ien opuestos. Po ejemplo: (-) son opuestos. En genel: (-) son opuestos, + (-) 0 o, io e oto moo, (-) es el númeo opuesto e. Un p e númeos uo pouto es igul se ien invesos. Po ejemplo: son invesos tmién. En genel: P, 0: son invesos $ k, o en ots pls es el inveso e. son invesos $ l, o en ots pls es el inveso e. Vlo soluto: si > 0 entones si < 0 entones OPERIONES RITMÉTIS ON NÚMEROS PRES E IMPRES p + p p imp + imp p imp + p imp p p p imp imp p p imp imp imp p imp p p p imp imp imp imp p p No eisten egls peis p l opeión e l ivisión. Po ejemplo, el oiente e os númeos pes puee se imp l, p l o númeo no enteo l.

5 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies FTORES (IVISORES) Y MÚLTIPLOS Fto (iviso) e un númeo enteo positivo es too númeo enteo positivo po el ul io númeo puee se iviio sin esto. Po ejemplo, los númeos,,,,,,, son ftoes (ivisoes) e. Fto omún e e es un númeo que es fto (iviso) e tmién e. Po ejemplo, es un fto omún e e 0. Fto pimo es un fto que emás es un númeo pimo. Po ejemplo, son ftoes pimos e. Too númeo enteo positivo (mo que ) puee esiise omo el pouto e sus ftoes pimos. Po ejemplo,. Múltiplo e un númeo enteo es ulquie númeo enteo que es ivisile po sin ej esto. Po ejemplo,, son múltiplos e. uno en un pegunt esté esito "ivisile" se enteneá "ivisile sin esto". OPERIONES RITMÉTIS ON FRIONES Simplifiión uno el numeo el enomino e un fión tienen un fto omún, se los puee ivii sin esto po ese númeo otene un fión equivlente l oiginl, peo on numeo enomino más pequeños. Po ejemplo, si iviimos el numeo el enomino e l fión po se otená, k. Multipliión P multipli os fiones que multipli los os numeoes ente sí los os enominoes ente sí. Po ejemplo: $ $ $ 0 ivisión P ivii un númeo (enteo o fión) po un fión que multipli ese númeo po l fión inves e l fión iviso. Po ejemplo: : $ $ $ P multipli o ivii un númeo enteo po un fión, se puee tom l númeo enteo omo si fue un fión uo enomino es, po ejemplo:. Sum est P sum o est fiones, que onvetils en fiones on enomino omún. El enomino omún es un númeo que es ivisile, sin esto, po los enominoes e un e ls fiones s. Un vez que se enonto un númeo euo que pue e e enomino omún, se een "tui" ls fiones s ls equivlentes on enomino omún. P ello st multipli numeo enomino po el mismo númeo enteo, e moo que en el enomino se oteng el númeo que se elegio p e e enomino omún. Puesto que se multiplio el numeo el enomino po un mismo númeo, l fión oteni es equivlente ls s pues e eo se ls multiplio po. Un vez que tos ls fiones n sio "tuis" enomino omún se pueen sum o est los nuevos numeoes otenios, e se posile, se puee simplifi el esulto.

6 Rzonmiento untittivo EJEMPLO + +? Un enomino omún posile es el, pues es ivisile po uno e los enominoes e ls fiones s sin esto: ; ; "Tuiemos" un e ls fiones fiones on ese enomino omún:,, Y otenemos: + +? PORENTJES El poentje es un moo e ini entésimos: % e son entésims e, o se, 00 $. En ls pegunts en ls que pezn poentjes, se los ee tui fiones entesimles poee on ellos omo si se tt e fiones omunes. EJEMPLO uánto es el 0 po iento e 0? En lug e 0 po iento poemos esii 0 entésimos, esuélvnl omo un pouto e fiones: 00 0 $ $ 0 $ Es ei: 0% e 0 es. En ls pegunts que se efieen l mio e poentjes, que entene que se tt e un poentje el vlo iniil, menos que se inique epesmente ot os. EJEMPLO El peio e un tíulo que ost 0 pesos se umentó en un %. uál es su nuevo peio? o que se gego un % l peio ntiguo, su nuevo peio seá entones el % el peio oiginl (00% + %). Po lo tnto, se ee lul uánto es el % e 0 pesos. Esimos entésims en lug e poentjes: 00 $ 0 00, es ei, el nuevo peio el tíulo seá 00 pesos. EJEMPLO El peio e un tíulo que ost pesos jó pesos. En qué poentje fue ejo el peio? En este ejemplo se el mio e peio e un tíulo que lul el poentje el mio. L viión el peio es e pesos e un totl e. H que lul qué poentje e es (omo en el ejemplo ). Tuimos l pegunt su epesión mtemáti: 00 $ esolvieno l euión esult que $ 00 0, o se, que el peio se ejó en un 0%.

7 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies PROPORIONES (RELIONES) L elión o popoión en l que se enuentn e se esie :. EJEMPLO L elión ente el númeo e pes e meis e Peo el númeo e sus miss es :. Eso quiee ei que Peo tiene pes e meis po miss. O, lo que es lo mismo: el númeo e pes e meis e Peo es vees mo que el númeo e sus miss. PROMEIO Se llm pomeio (o mei itméti) e un onjunto e vloes l sum e toos esos vloes iviio po el númeo e vloes que se tomn en uent. uno en un pegunt pez simplemente l pl "pomeio" que entene que se tt e l mei itméti. Po ejemplo, l mei itméti el gupo e vloes,,, 0 es, pues Si se el pomeio e un onjunto e vloes, se puee lul l sum e esos vloes multiplino el pomeio po el númeo e ios vloes. EJEMPLO ni ompó tíulos uo peio pomeio es 0 pesos. uánto pgó ni po toos esos tíulos? En est pegunt que enont l sum soe l se el pomeio, po lo tnto, multiplimos el pomeio po el númeo e tíulos, otenemos 0 0, es ei ni pgó en totl 0 pesos po toos los tíulos que ompó. L mei pone es un pomeio que onsie el peso eltivo e uno e los vloes el onjunto. EJEMPLO En el emen pil l not e Pepe fue, en el emen finl otuvo 0. Si el peso el emen finl es vees mo que el peso el pil, uál seá l not finl que otená Pepe en el uso? El onjunto e vloes en este so es 0. Peo uno e ellos tiene un peso ifeente en l not finl el uso. L not tiene un peso e, mients que l not 0 tiene un peso e. P lul el pomeio poneo que multipli not po el peso que se le io $ $ 0 ivii po l sum e ios pesos. e. Este álulo equivle l álulo e l mei omún e tes númeos:, Po lo tnto, l not e Pepe en el uso es

8 Rzonmiento untittivo POTENIS Y RÍES L elevión e un númeo l poteni n (on n enteo positivo), es l multipliión el númeo po sí mismo n vees: $... $ $ n vees n Po ejemplo: (-) (-) (-) (-) - n es un poteni; n es el eponente es l se e l poteni. Too númeo istinto e eo elevo l poteni 0 equivle, es ei, p too 0 0. Elev un poteni on eponente negtivo es lo mismo que elev el inveso e l se l poteni e eponente opuesto: - n l Po ejemplo: - l $ $ n n L íz enésim e un númeo positivo, lo ul se ini lo elevmos l poteni n otenemos : n, es un númeo positivo tl que si n pues n Po ejemplo: pues uno no se esi el ínie e l íz se ttá e l íz e ínie. L íz e ínie se llm tmién íz u. Po ejemplo: Se puee tmién epes un íz omo poteni e eponente fionio. L fión es el númeo inveso el ínie e l íz: n (0 < ). n Es impotnte señl: uno se esie ] > 0g se quiee ini l íz positiv e. Regls ásis p ope on potenis (p too m n): Pouto: P multipli potenis e igul se que sum los eponentes e ls potenis: m n m + n ivisión: P ivii potenis e igul se que est el eponente el enomino el eponente el numeo: m ] m n g n Pesten tenión: uno ls ses no son igules no es posile sum o est los eponentes. Elevión e un poteni un poteni: P elev un poteni un poteni que multipli los eponentes ente sí _ i ] m n m $ ng Poteni e un pouto o e un oiente: ( ) m m m ; m m m. m Puesto que ls íes pueen se epess omo potenis, se pueen pli ls lees e l poteniión ls opeiones on íes. Po ejemplo, p lul $ ] 0 < g que epes pimemente ls íes omo pouto e potenis: $ m $ n, opemos m n m n + luego omo en el pouto e potenis, o se, sumno los eponentes: m $ n m n l.

9 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies esigules ente potenis: Si 0 < < 0 < n, entones n < n Si 0 < < n < 0, entones n < n Si < m < n, entones m < n Si 0 < < m < n entones n < m PROUTO SIMPLIFIO P multipli os epesiones que se lln ente péntesis, un e ls ules es un sum e téminos, que multipli uno e los téminos e l pime po uno e los téminos e l segun epesión luego sum los poutos. Po ejemplo: ( + ) ( + ) Est egl genel se pli p los siguientes sos espeiles que onviene eo p o tiempo: ( + ) ( + ) ( + ) + + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( + ) OMINTORI Epeimento e múltiples etps EJEMPLO ojmos un o luego e ello ojmos un mone, uál seá el númeo e esultos posiles e este epeimento? Este epeimento tiene os etps: l etp el lnzmiento el o l etp el lnzmiento e l mone. El númeo e esultos posiles e oj un o es el númeo e esultos posiles e oj un mone es. El númeo e esultos posiles e l totli e este epeimento seá. Uno e los oe esultos posiles es: en el o "" en l mone. e eo, el epeimento no mi si se oj pimeo l mone espués el o o si se ojn el o l mone l mismo tiempo. El númeo e esultos posiles es siempe. ontinuión nos efeiemos un epeimento ompuesto en el que se un gupo e n ojetos, se elige e él un ojeto l z vees. eleión e un ojeto el gupo es un etp el epeimento en totl en el epeimento etps. El númeo e esultos posiles e un e ls etps epene e l mne en que sen elegios los ojetos. El númeo e esultos posiles en el epeimento totl es el pouto e númeo e esultos posiles que se otienen en ls etps. Too esulto posile en el epeimento se llm muest. Muests oens on estituión El moo e eleión e los ojetos: Un ojeto elegio es estituio l onjunto inmeitmente espués e e sio elegio, tiene impotni el oen en que son elegios los ojetos. Númeo e esultos posiles: en etp el númeo e esultos posiles es n, po lo tnto, el númeo e esultos posiles en ls etps, es ei, en el epeimento totl es n n... n n. Pesten tenión: En este moo e eleión, un ojeto puee se elegio más e un vez. El númeo e muests oens on estituión es n

10 Rzonmiento untittivo EJEMPLO En un j nueve ols numes el l. Se ete l z un ol e l j, se l estitue, se epite l opeión os vees más. Se egist (e izquie ee) los númeos e ls ols que vn slieno, según el oen e sli e moo que esulte un númeo e tes ifs. uántos númeos ifeentes e tes ifs pueen otenese e este moo? En este epeimento el oen tiene impotni: Po ejemplo, si los númeo etíos son,, se otiene el númeo, peo si fuen etíos en el oen,, el númeo que se otiene es, éstos son os númeos istintos. El númeo e etps el epeimento es en etp el númeo e esultos posiles es, po lo tnto, el númeo e esultos posiles el epeimento totl es, es ei, que se pueen otene númeos ifeentes e tes ifs. Muests oens sin estituión El moo e eleión e los ojetos: un ojeto que sio elegio no es estituio l onjunto espués e e sio elegio, tiene impotni el oen en que son elegios los ojetos. Númeo e esultos posiles: el númeo e esultos posiles en l pime etp es n, el númeo e esultos posiles en l segun etp es n - (pues el ojeto elegio en l pime etp no fue estitutio, quen, po lo tnto, sólo n - ojetos p elegi ente ellos) sí siguieno st l últim etp, l etp en l que el númeo e esultos posiles seá n +. Po lo tnto, el numeo e esultos posiles el epeimento totl es n (n )... (n + ). El númeo e muests oens sin estituión es n (n )... (n + ) EJEMPLO En un j nueve ols numes el l. Se eten l z, un ts ot, tes ols, sin estitui l ol que sio etí, se egistn (e izquie ee) los númeos e ls ols que vn slieno, según el oen e sli e moo que esulte un númeo e tes ifs. uántos númeos ifeentes e tes ifs pueen otenese e este moo? Tmién en este epeimento el oen en que fueon etís ls ols tiene impotni, peo ifeeni el ejemplo nteio, en este epeimento no se estitue l j l ol etí, po lo tnto, el númeo e esultos posiles en l pime etp es, en l segun etp es en l tee etp es. El númeo e esultos posiles p el epeimento totl es 0, es ei, se pueen otene 0 númeos ifeentes e tes ifs. Pemutiones (oeniones intens) uno pouimos un muest oen sin estituión e l totli e los n ojetos e un onjunto (es ei, uno n ), esulto posile esie un pemutión e los ojetos: uál es el pime ojeto, uál es el seguno, et. L pegunt es: uánts pemutiones son posiles? Estlezmos n en l fómul p otene el númeo e ls muests oens sin estituión otenemos n (n ).... este númeo se lo llm "ftoil e n" se ini n!. El númeo e pemutiones (oeniones intens) e n ojetos es n! EJEMPLO L uel, l me l ij quieen oense en líne p un fotogfí. e uánts mnes ifeentes pueen elo? Se puee pens que quien se ll ui l ee es l pime, l el meio es l segun l que está l izquie es l tee, entones l pegunt es uánts pemutiones e uel, me e ij son posiles. L uel, l me l ij onstituen un onjunto e tes ojetos, po lo tnto, el númeo e pemutiones ente ells!. etllemos ls pemutiones posiles: uel-me-ij, uel-ij-me, me-uel-ij, me-ij, uel, ij-uel-me, ij-me-uel.

11 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies ominiones (muests no oens) Moo e eleión e los ojetos: un ojeto que sio elegio no es estituio l onjunto espués e e sio elegio, no tiene impotni el oen en que son elegios los ojetos. uno el oen no tiene impotni, tos ls muests en ls que los mismos ojetos (sólo el oen e eleión ví en muest) se onsien omo el mismo esulto. El númeo e tles muests es en eli el númeo e pemutiones e ojetos, es ei!. P lul el númeo e esultos posiles e ominiones (muests no oens) se lul el númeo e esultos posiles omo si tuvie impotni el oen se lo ivie po el númeo e pemutiones e ojetos. Númeo e muests oens sin estituión n (n )... (n +) Númeo e ominiones Númeo e pemutiones en l muest! EJEMPLO En un j nueve ols numes el l. Se eten l z, un ts ot, tes ols, sin estitui l ol que sio etí, se ls olo en un someo. uánts ominiones posiles e ols pueen se en el someo? En est pegunt impot l ominión e ols en el someo no el oen en que fueon etís e l j. Po ejemplo, si ls ols fueon etís en el oen,, l ominión en el someo es, ést seá l ominión en el someo tmién si el oen e l etión fue,, o ulquie ot e ls! pemutiones posiles: --, --, --, --, (en eli no tiene ningun impotni el eo e que ls ols sen etís un ts ot, pueen se etís tos l vez sin que esto fete l esulto). $ $ Po lo tnto, el númeo e ominiones posiles es, es ei posiilies! istints e ominiones e ols en el someo. PROILIES L teoí e ls poilies es un moelo mtemátio p fenómenos (epeimentos) u oueni es iniet. esulto posile el epeimento se lo llm "evento simple" l onjunto e toos los esultos se lo llm "evento" (p simplifi, utilizemos l pl "evento" tmién p los "eventos simples"). evento se sign un númeo ente 0, que epesent l poili (l eventuli, l mei e l plusiili) e que el evento ontez. unto mo es l poili mo es l plusiili e que el evento ontez. uno l oueni el evento es iet l poili e i oueni es, uno el evento es imposile l poili e su oueni es 0. L sum e ls poilies e toos los eventos simples el epeimento es uno toos los n esultos e un epeimento son igulmente plusiles, se ien equipoles En este so l poili e esulto es n. EJEMPLO El epeimento: Lnzmiento e un mone. Los esultos posiles: ls s e l mone. Se ls ini o 0 ( o e). Si l mone es equili los os esultos son equipoles, es ei que l poili e que l mone ig soe el "" es l mism que l poili e otene "0", po lo tnto, l poili e esulto posile es.

12 Rzonmiento untittivo EJEMPLO El epeimento: lnzmiento e un o equilio. Los esultos posiles: los númeos,,,,, impesos en ls s el o. Si el o es equilio, l poili e uno e los esultos posiles es. uno toos los esultos posiles son equipoles, l poili e que ontez el evento es : Númeo e esultos el evento ptiul Totli e los esultos posiles el epeimento EJEMPLO El epeimento: lnzmiento e un o equilio. Evento : el esulto es meno que. Resultos el evento: los númeos, : L poili el evento EJEMPLO El epeimento: L etión e un olilleo e olills en el que olills lns olills negs. Evento: etión e un olill neg. Poili el evento: Númeo e olills negs Númeo totl e olills en el olilleo 0 Poili e l oueni e os eventos uno ouen os eventos en plelo, o uno espués el oto, pueen pesentse os sos:. Eventos inepenientes, es ei, quellos en los que l poili e l oueni e un evento no está influi po l oueni el oto evento.. Eventos epenientes, es ei, quellos en los que l poili e l oueni e un evento está influi po l oueni e oto. En ots pls, l poili e que ou un etemino evento espués (o on l oniión) e que ouio oto evento, es ifeente e l poili e ese etemino evento (uno no eiste l oniión). 0

13 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies EJEMPLO En un olilleo 0 olills: olills lns olills negs. Se eten os olills el olilleo un ts ot. Se se que l pime olill sio neg. uál es l poili e que l segun olill se tmién neg? Se n os situiones - () Se estitue l pime olill l olilleo. Puesto que emos estituio l olill l olilleo, no se pouio ningún mio en el númeo e olills en el olilleo, en ptiul no se pouio ningún mio en el númeo e olills negs. L poili e ete un segun olill neg es 0 es igul l poili e ete un pime olill neg. No se pouio ningún mio en l poili omo esulto el onoimiento e que l pime olill etí fue neg, es ei, los eventos fueon inepenientes. () No se estitue l pime olill l olilleo. espués e e etío un olill neg, queon en el olilleo olills en totl, e ls ules son negs. Po lo tnto, l poili e ete un segun olill neg es. Est poili es istint e l poili e ete un pime olill neg, o se, que los eventos son epenientes. L poili e l oueni e os eventos inepenientes (plelmente o uno ts oto) es el pouto e ls poilies e uno e los eventos po sepo. EJEMPLO El epeimento: lnzmiento e os os equilios, uno ojo uno millo. Iniemos el evento "otenión un númeo meno que en el o ojo" on l let. L poili el evento es. Iniemos el evento "otenión un númeo p en el o millo" on l let. L poili el evento es. Puesto que el esulto el lnzmiento e un o no influe soe l poili el esulto el lnzmiento e oto o, el evento el evento son inepenientes. L poili e l oueni el evento tmién el evento (onjuntmente) es, po lo tnto poili poili el evento el evento, es ei $. efiniemos os eventos epenientes (en un epeimento ulquie). L poili e l oueni el evento on l oniión e que el evento ouio es: El númeo e esultos omunes El númeo e esultos e

14 Rzonmiento untittivo EJEMPLO El epeimento: lnzmiento e un o. uál es l poili e otene un esulto meno que si se se que se otenio un esulto p? Iniemos el evento "otenión un esulto p" on l let. Iniemos el evento "otenión un esulto meno que " on l let. Refomulemos l pegunt po meio e los eventos: uál es l poili e si se se que (on l oniión e que) ouio? H esultos p el evento :,,. H esultos p el evento :,,. Peo si se se que el evento ouio, un sólo esulto posile p :. O en ots pls, el esulto "" es el únio esulto omún. Po lo tnto, l poili e si se se que ouio es. Est poili es ifeente e l poili e (sin l oniión) que es igul. REORRIO, VELOI, TIEMPO L veloi e un uepo es l istni eoi po el uepo en un uni e tiempo. L fómul que vinul ente l veloi, l istni eoi po un uepo el tiempo empleo po el uepo en eoel es: v Sieno: v veloi s istni eoi t tiempo s t e est fómul se pueen eiv tos ls eliones ente istni, tiempo veloi: s s v t, t v EJEMPLO Un ten eoió 0 km un veloi e 0 km/. uánto tiempo llevó eliz el vije? Están os v (0 km/), s (0 km). H que lul t. Puesto que l veloi está en km/ el tiempo e eoio se lulá en os. Utilizno l fómul t v s, t 0. 0 Es ei, el vije llevó os. Ls unies e mei e os e ls mgnitues eteminn ls unies e mei e l mgnitu estnte. Po ejemplo: Si l istni se ini en kilómetos, (km), el tiempo en os, l veloi se meiá entones en kilómetos po o (km/). Si l istni estuvie epes en metos el tiempo en segunos, l veloi se epesá en metos po seguno. Se pueen onveti los metos kilómetos, los segunos os, vieves. En km,000 metos ( meto es,000 e km). En un o,00 segunos ( seguno es, 00 e o) L veloi e km/ equivle l veloi e metos po seguno,, 000, 00 m., 000, 00 L veloi e meto po seguno equivle l veloi e. km/, 000.., 00

15 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies RENIMIENTO, TRJO, TIEMPO El enimiento es l nti e tjo po uni e tiempo. L fómul que elion ente enimiento, nti e tjo el tiempo neesio p w elizlo es: p t Sieno: p enimiento w nti e tjo t tiempo e est fómul se pueen eiv tos ls eliones ente enimiento, nti e tjo, w tiempo: w p t, t p w z EJEMPLO Un lñil temin e onstui un pe en os. uánto tiempo les emná lñiles, tjno l mismo itmo, onstui pees? En l pegunt están os l nti e tjo e un lñil (un pe) el tiempo insumio ( os). Po lo tnto, su enimiento es e pe po o. Ttánose e os lñiles su enimiento seá $ e pe po o. Se nos o tmién l nti e tjo que eeán e los os lñiles: pees, po lo tnto, se puee lul el tiempo que les emná levntls: t e $ f g os. O se, les emná os. p q e f g RETS PRLELS (LÍNES PRLELS) Rets plels que otn os ets ulesquie ivien ests os ets en segmentos e longitues popoionles. Po ejemplo, en el iujo:, tmién, + + Se pueen enont eliones iionles ente los segmentos pti e ls eliones s. ÁNGULOS El ángulo eto es el ángulo e 0. En los iujos se lo iniá El ángulo guo es el ángulo e menos e 0. El ángulo otuso es el ángulo e más e 0. El ángulo llno es e 0. Ángulos suplementios os ángulos entes geneos po un et un semiet que tiene oigen en l et se llmn suplementios. onjuntmente fomn un "ángulo llno" (ángulo e meio gio) su sum es e 0. Po ejemplo, en el iujo e son ángulos entes po lo tnto + 0. δ γ w z

16 Ángulos opuestos po el vétie os ets que se otn eteminn uto ángulos. Los pes e ángulos que no son entes se llmn opuestos po el vétie son e igul mgnitu. Po ejemplo, en el iujo, z son ángulos opuestos po el vétie, tmién w. Según lo fimo, z e w. uno os ets plels son ots po un tnsvesl se genen oo ángulos. Po ejemplo, en el iujo,,,,, e, f, g. Ángulos oesponientes Son los ángulos que estno el mismo lo e l tnsvesl están tmién el mismo lo en elión ls ets plels. Los ángulos oesponientes ente plels son e igul mgnitu. sí, en el iujo: e, f, g, Ángulos ltenos Son los ángulos que estno istintos los e l tnsvesl están en los istintos en elión ls ets plels (son mos intenos o mos etenos). Los ángulos ltenos ente plels son igules ente sí:, g, f e EJEMPLO s ls ets p q plels. + f? son suplementios po lo tnto + 0. f son ltenos intenos po lo tnto f. Po lo tnto, + f + 0, l espuest es 0. TRIÁNGULOS Ángulos e un tiángulo En too tiángulo, l sum e sus ángulos inteioes es 0. En el iujo + + g 0 El ángulo ente un ángulo inteio se llm ángulo eteio el tiángulo, es igul l sum e los otos os ángulos en el tiángulo. Po ejemplo, en el iujo, es un ángulo ente, po lo tnto, + g. En too tiángulo, mo ángulo se opone siempe un mo lo. Po ejemplo, en el iujo, g < <. Se sigue e esto que el lo (que se opone l ángulo ) es mo que el lo (que se opone l ángulo ) el lo es mo que el lo (que se opone l ángulo g). L mein el tiángulo es el segmento que une el vétie el tiángulo on el punto meio el lo opuesto io ángulo. Po ejemplo, en el tiángulo w z e f g γ δ p q w z e f g γ δ p q e w z e f g γ τ ε δ E F γ 0 poténuse ôté ôté תיתפרצ γ δ p q e f g w z e f g γ δ p q e w z e f g τ E ôté תיתפ γ δ p q e f g E Rzonmiento untittivo

17 w z Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies δ poténuseγ ôté el iujo es l mein p el lo, po lo tnto. ltu e un tiángulo L ltu oesponiente uno e los los e un tiángulo es el p segmento pepeniul io lo que v ese el vétie opuesto l lo (o su polongión). Po ejemplo, e en f uno e los tiángulos δ el γ g iujo, es l ltu oesponiente l lo. q e Áe e un tiángulo El áe e un tiángulo es igul l mit el pouto e su se po su ltu. Po ejemplo, el áe e uno e los tiángulos el iujo es: $ esigul tingul En too tiángulo, l longitu e un lo es siempe meno que l sum e los otos os. Po ejemplo en los tiángulos iujos más i ( + ) >. f g ôté 0 E τ δ ת ניצב 0 Tiángulos onguentes os foms geométis se ien onguentes uno es posile llev un soe l ot st e oinii δ tos γsus ptes. L ongueni e tiángulos es un so ptiul e ongueni. En tiángulos onguentes los los los ángulos son espetivmente igules. Po ejemplo: en el iujo, si el tiángulo es onguente on el tiángulo EF entones sus los son espetivmente igules: E, EF, F, tmién sus ángulos son oesponientemente igules, t, g e. H uto teoems que nos pemiten infei, si os tiángulos son onguentes o no:. Si os tiángulos tienen os los el ángulo ompenio oesponientemente onguentes, entones son onguentes (l..l. - lo-ángulo-lo). Po ejemplo, los tiángulos el iujo son onguentes si E, F,.. Si os tiángulos tienen un lo os ángulos entes oesponientemente onguentes, entones son onguentes. (ángulo-lo-ángulo,. l..). Po ejemplo, los tiángulos el iujo son onguentes si E,, t.. Si os tiángulos tienen sus tes los oesponientemente igules, entones son onguentes. (lo-lo-lo. l. l. l.). γ E τ ε δ F E 0 F E 0 ي م fn. Si os tiángulos tienen os los el ángulo opuesto l mo e ellos oesponientemente onguentes, entones son onguentes (lo-lo-ángulo, l. l..). Po ejemplo, los tiángulos el iujo son onguentes si E, F, tmién g e (sieno E > F > ).

18 Rzonmiento untittivo Semejnz e tiángulos os tiángulos se ien semejntes si los tes ángulos e uno e ellos son igules los tes ángulos el seguno. En los tiángulos semejntes, l elión ente os los ulequie e uno e los tiángulos es igul l elión ente los los oesponientes en el oto tiángulo. Po ejemplo, el tiángulo el tiángulo EF el iujo son semejntes po lo tnto, E. F e quí se sigue tmién que E F EF Los tiángulos onguentes son tmién, neesimente, semejntes. τ δ δ 0 E 0 ε γ F 0 0 F Tipos e tiángulos El tiángulo equiláteo es un tiángulo uos tes los son e igul longitu. Po ejemplo, en el iujo:. En este tiángulo, sus tes ángulos son e igul mgnitu (). emás, si l longitu el lo e un tiángulo equiláteo es, entones l ltu es, su áe es. El tiángulo isóseles es un tiángulo que tiene un p e los e igul longitu. Po ejemplo, en el iujo:. El tee lo el tiángulo isóseles se llm se. Los ángulos que se oponen los los igules, son e igul mgnitu. Po ejemplo, en el iujo: g. γ γ γ El tiángulo utángulo es el tiángulo en el que toos sus ángulos son guos. El tiángulo otusángulo es el tiángulo w z w zen el que uno e sus ángulos es otuso. Tiángulo etángulo es quel tiángulo w z que tiene uno e sus ángulos eto (0 ). El lo (en el iujo) opuesto l ángulo eto se llm "ipotenus", los otos os (en el iujo ) se llmn "tetos". Según el teoem e Pitágos: En un tiángulo etángulo "el uo γ e l ipotenus es igul l sum e los uos e los tetos", o se: +. p on u e est fómul, es posile enont l longitu el p tee lo onoieno l longitu e los otos e f eos. g f g צרפתית pq e f En el tiángulo etángulo que tiene ángulos e 0,, q e 0 l longitu g f g el teto opuesto l ángulo e 0 es igul e f l mit e l longitu e l g ipotenus. q e f w z g Po ejemplo, en el iujo, l longitu e l ipotenus es po lo tnto, l longitu el teto opuesto l ángulo e 0 poténuse es. simismo, según el teoem e Pitágos, l longitu ôtéel teto opuesto l ángulo e es igul. En el tiángulo etángulo isóseles, ls mgnitues e los ôté ángulos son e, 0. Los os tetos son e igul longitu l ipotenus es vees l longitu el teto (según el teoem e Pitágos). Si, po ejempo, l longitu e p los tetos es entones l longitu e l ipotenus en el iujo es igul. e f g q e f g γ 0 ב צרפתית צרפתית צרפתית ספרדית poténuse ôté poténuse ôté poténuse ipotenus ôté teto ôté ôté ôté teto אנגלית leg potenuse leg

19 URILÁTEROS Se llm uiláteo un polígono e uto los. Po ejemplo: RETÁNGULO Y URO El etángulo es un uiláteo que tiene toos sus ángulos etos. Los los opuestos el etángulo son e igul longitu. El peímeto el etángulo el iujo es + o ( + ). L longitu e l igonl el etángulo el iujo es, (según el teoem e Pitágos), +. El áe el etángulo es el pouto e ls longitues e os los onseutivos, o se, en el iujo,. El uo es un etángulo en el que toos sus los son e igul longitu. El peímeto el uo es, po lo tnto, (ve iujo). L longitu e l igonl el uo el iujo es + El áe el uo es igul l uo e l longitu e su lo. Po ejemplo, en el iujo, es. PRLELOGRMO Y ROMO El plelogmo es un uiláteo que tiene sus los opuestos igules plelos. Po ejemplo, en el plelogmo el iujo:,, Ls igonles e un plelogmo se otn mutumente en ptes igules. El peímeto el plelogmo el iujo seá +. L ltu el plelogmo es el segmento pepeniul que une os los opuestos o sus polongiones. El áe el plelogmo es igul l pouto e un lo po su ltu. Po ejemplo, el plelogmo el iujo el áe es. El omo es un uiláteo que tiene sus uto los e igul longitu. En el omo los los opuestos son plelos, po lo tnto, puee eise que el omo es un plelogmo uos los son igules. Ls igonles el omo Puesto que el omo es un tipo e plelogmo sus igonles se otn en ptes igules. Ls igonles son emás pepeniules. El peímeto el omo el iujo es. + P Q + P Q + P Q + P Q + P Q Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies

20 Rzonmiento untittivo Áe el omo Puesto que el omo es un espeie e plelogmo tmién su áe puee eteminse omo pouto el lo po l ltu e io lo. Po ejemplo en el omo el iujo el áe es. simismo, se puee lul el áe el omo omo l mit el pouto e ls longitues e sus os igonles. Po ejemplo, el áe el omo el iujo es: $ TRPEIO El tpeio es un uiláteo que tiene solmente un p e los plelos. Los los plelos se llmn ses el tpeio. Puesto que ls ses no son igules, lmos e "l se mo" e "l se meno" el tpeio. L ltu el tpeio es l longitu e un segmento pepeniul ls ses que une un l ot. El áe el tpeio es igul l mit el pouto e l ltu po l sum e ls ses. Po ejemplo en el iujo, el áe el tpeio Ses $ ] + g Tpeio isóseles es un tpeio en el que los los no plelos son igules. Po ejemplo, en el iujo. En un tpeio isóseles, los ángulos e l se mo son igules ente sí los ángulos e l se meno son igules ente sí. Po ejemplo, en el iujo, ««, ««. Un tpeio isóseles puee iviise en un etángulo os tiángulos etángulos onguentes tzno ls ltus ese los etemos e l se meno l se mo. Se otiene un etángulo os tiángulos etángulos P Q onguentes. Tpeio etángulo es un tpeio tl que uno e los ángulos e su se mo es eto (, tmién, po supuesto, uno e los ángulos e su se meno). P Q P Q P Q ROMOIE El omoie es el uiláteo que se fom l uni po l se os tiángulos isóseles. Po ejemplo, en el iujo, el omoie está ompuesto po los tiángulos isóseles (, ). P L igonl que une los véties e los os tiángulos isóseles ot po el punto meio l igonl que es l se e estos os tiángulos es pepeniul ell. Po ejemplo, en el iujo ot en os ptes igules es pepeniul. El peímeto el omoie el iujo es +. El áe el omoie es igul l mit el pouto e ls longitues e sus igonles. Po ejemplo, l supefiie el omoie el iujo es $. +

21 Guí POLÍGONO REGULR P Polígono egul es el polígono tl que toos sus los son e igul longitu toos sus ángulos inteioes son e igul mgnitu. Po ejemplo: Un otágono egul es un polígono egul e los. Un pentágono egul es un polígono egul e los. Un uo es un polígono egul e los. Un tiángulo equiláteo es un polígono egul e los. + + P Emen psiométio e ingeso ls univesies Se puee lul l mgnitu el ángulo inteio e un polígono egul e n los, meinte l fómul siguiente: n k n 0 n k Po ejemplo, en el iujo se muest un eágono egul. L mgnitu e uno e sus ángulos inteioes es 0, pues, L IRUNFERENI, EL ÍRULO Rio es el segmento que une el ento e l iunfeeni on un punto ulquie e su peímeto. ue es un segmento que une os puntos el peímeto e l iunfeeni. iámeto es un ue que ps po el ento e l iunfeeni. L longitu el iámeto es el ole e l longitu el io. Si inimos l longitu el io po meio e, entones, l longitu el iámeto es. El peímeto e un iunfeeni e io es Pπ (el vlo Q e π es poimmente.). El áe el íulo e io es π. Un pte el peímeto e l iunfeeni Pque está ente Q os e sus puntos se llm un o. Un pte el íulo que está ente os ios un o se llm seto iul o simplemente seto. Ángulo insipto Un ángulo insipto es un ángulo uo vétie es un punto el peímeto e l iunfeeni sus los son ues e l iunfeeni. Ángulos insiptos que están poos soe un mismo o son e igul mgnitu. Po ejemplo, en el iujo, los ángulos son ángulos insiptos poos soe un mismo o, po lo tnto son igules. Un ángulo insipto que se po soe el iámeto, P (es ei, Q poo soe un o e meio gio) es un ángulo eto. + P º º Ángulo entl Ángulo entl es el ángulo uo vétie está en el ento e l iunfeeni uos los son ios e l iunfeeni. El ángulo entl equivle l ole el ángulo insipto que se po soe el mismo o. Po ejemplo, en el iujo, es el ángulo entl el ángulo insipto que se pon soe el mismo o, po lo tnto,. º

22 Longitu el o os puntos ulesquie, soe un iunfeeni eteminn os os. Po ejemplo, en el iujo, uno oespone l ángulo entl el oto oespone l ángulo entl. El o más oto es el que oespone l ángulo más pequeño,. Si es el io e l iunfeeni l longitu e este o es 0 $ π. Áe el seto iul El seto iul es l poión e íulo ene ente os ios un o. Po ejemplo, el seto someo en el iujo es el seto iul uo ángulo entl e. El áe el seto iul es 0 $ π. Tngente un iunfeeni Tngente un iunfeeni es un et que tiene omo inteseión on l iunfeeni un únio punto. io punto se llm "punto e tngeni". El ángulo ente l tngente el io (en el punto e tngeni) es un ángulo eto. Po ejemplo, en el iujo l et es un tngente l iunfeeni e io. os ets tngentes un mism iunfeeni que se otn en un punto son tmién os tngentes l iunfeeni que slen e un mismo punto. L longitu e un e ls tngentes es l longitu el segmento que une el punto e inteseión e ls os ets on su punto e tngeni. Ls tngentes l iunfeeni que slen e un mismo punto son e igul longitu. Po ejemplo, en el iujo, es el punto e inteseión, son puntos e tngeni, po lo tnto,. Polígono que iunsie un iunfeeni Un polígono que iunsie un iunfeeni es un polígono tl que toos sus los son tngentes l iunfeeni. Polígono insipto en un iunfeeni Un polígono insipto en un iunfeeni es un polígono uos véties se enuentn soe el peímeto e l iunfeeni. Tiángulo insipto Too tiángulo puee insiise en un iunfeeni. Too tiángulo tiene un úni iunfeeni que lo iunsie. Si el tiángulo fue etángulo puee se insipto en un iunfeeni que tiene po ento el punto meio e l ipotenus. uiláteo insipto en un iunfeeni No too uiláteo puee se insipto en un iunfeeni. En un uiláteo insipto en un iunfeeni l sum e los ángulos opuestos vle siempe 0º. Po ejemplo, en el uiláteo el iujo: + g 0º + 0º º P Q º P Q º P Q + º P Q P Rzonmiento untittivo 0

23 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies uiláteo que iunsie un iunfeeni No too uiláteo puee iunsii un iunfeeni Si un uiláteo iunsie un iunfeeni l sum e p e los opuestos ee se e igul longitu. Po ejemplo, en el uiláteo el iujo, + + uno el uiláteo que iunsie un iunfeeni es un uo, l longitu el lo el uo es igul l iámeto e l iunfeeni. FORMS TRIIMENSIONLES (UERPOS) j uo Un j es un uepo tiimensionl on seis s etngules. Ls tes imensiones e l j son el lgo, el no l ltu (, en oesponeni on el iujo). es pepeniul ls ontigus. El áe e l j es l sum e ls áes e un e sus s. El áe e l j el iujo es El volumen e l j es el pouto el lgo po el no po el lto. El volumen e l j el iujo es El uo es un j en l que lgo, lto no son e igul longitu. En el uo ls supefiies e ls s son igules ente sí. El áe e el uo el iujo es, po lo tnto, áe el uo es su volumen es. ilino Un ilino eto es un uepo tiimensionl que posee os ses que son íulos onguentes se lln en plnos plelos un envoltu que une ls ses. L líne que une los entos e ls ses es pepeniul un e ells. El áe e l supefiie ltel el ilino e se e io e ltu es el pouto el peímeto e l se po l ltu el ilino, o se, π. El áe e l supefiie totl el ilino es l sum e ls áes e ls os ses más el áe e l supefiie ltel. El áe e un e ls ses es π el áe e l supefiie ltel es p, el áe e l supefiie totl seá, entones, π + π π ( + ). II III m El volumen el ilino es el pouto el áe e un e sus ses po l ltu; es ei: π. ono Un ono eto es un uepo tiimensionl que se fom l uni toos los puntos e un iunfeeni on un punto eteio l plno e ést. io punto se llm vétie el ono está soe un et pepeniul l plno e l iunfeeni ps po su ento (ve iujo). El volumen el ono e se e io ltu Ves π $.

24 Rzonmiento untittivo Pism El pism eto es un uepo tiimensionl us os ses son polígonos onguentes que se enuentn en plnos plelos us s son etngules. Too pism eie su nome e l fom e l se. Po ejemplo, el pism tingul es el pism u se es un tiángulo; un pism uiláteo es un pism us ses son uiláteos, et. (ve iujos). L ltu el pism es l longitu el segmento que une ls ses que es pepeniul ells. Es ei, es l istni ente ls ses el pism. El áe e l supefiie ltel el pism es l sum e ls áes e ls supefiies e tos ls s lteles el pism. Se lul tmién omo el pouto el peímeto e l se po l ltu. El áe e l supefiie totl el pism es l sum e ls áes e ls os ses más el áe e l supefiie ltel. El volumen el pism es el pouto el áe e un e sus ses po l ltu el pism. Piámie L piámie et es el uepo tiimensionl que esult e uni los véties e un polígono egul ulquie on un punto que no petenee l plno el polígono que se llm el "vétie e l piámie". El polígono se llm "se e l piámie". Ls s lteles e l piámie son tingules. piámie eie su nome el númeo e los e su se. sí, se l e piámies tingules uno l se es un tiángulo, piámies uilátes, uno su se es un uiláteo, et. (ve iujos). L ltu e l piámie es l longitu el segmento que une el vétie e l piámie on l se que es pepeniul ell. Es ei, es l istni ente l se e l piámie su vétie (ve iujo). Si S es el áe e l se e l piámie su ltu es, entones, el volumen e l piámie Ves S$ ist L ist e un uepo tiimensionl es un líne et fom po l inteseión e os s. En l piámie el iujo, el segmento esto es un e sus ists. II L j tiene ists. II I I III III k IV IV

25 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies EL EJE E LOS NÚMEROS El eje e los númeos pemite un pesentión geométi e ls eliones ente los númeos Los númeos soe el eje een uno se vnz e izquie ee. L istni ente os puntos soe el eje numéio es popoionl l II I ifeeni ente los vloes numéios que oesponen los puntos. Po ejemplo, l istni ente los puntos que oesponen los vloes (-) (-) es igul istni ente los puntos que oesponen los vloes. - Sistem - e ejes tesinos III - IV - En un sistem e ejes tesinos en el plno os ejes numéios otogonles. El eje oizontl - - o e siss se enomin el eje, el eje vetil o eje e oens se enomin eje. En el eje - - los númeos een uno se vnz i l ee en el eje los númeos een uno se - vnz i i. Los os ejes ivien l plno en uto untes que se numen omo en el iujo on númeos omnos I, II, III IV. k II I punto el plno se oespone on un p e vloes e E que esien l posiión en elión los ejes. m II I Po ejemplo, en el iujo, el vlo el punto es, su vlo F es. El vlo el punto es (-) el vlo es Se onviene ini - ls ooens e un punto no un p e vloes ente -péntesis e moo que el vlo e se ll l III - IV - izquie el vlo - e, sí: (, ). vees se inin los vloes el punto junto - l let que lo epesent; po ejemplo, el punto III - IV - se iniá ( -, ) el punto, (-, ). - - vees se llm los vloes el punto (, ) "ooens el punto". El punto el plno que oespone l (0, 0) es el punto e inteseión e los ejes se llm "oigen e los ejes ooenos". Toos los puntos soe l et plel l eje tienen el mismo vlo -, - toos - - los puntos soe l et plel l eje tienen el - mismo vlo. - - Po ejemplo, en el iujo l et k es plel l eje po lo - tnto, toos los puntos e l et k tienen el mismo vlo. (En el iujo es.) L et m es plel l eje, po lo tnto, toos los puntos e l et m tienen el mismo vlo. (En el iujo es.) m m k k

26 Rzonmiento untittivo Po os puntos ulesquie el II plno ps un Isol et. L pte e es et que está ente II os puntos se I llm segmento. Si el segmento es plelo l eje, su longitu es l ifeeni (en vlo soluto) ente los vloes e los puntos. Po ejemplo, en el iujo, el - segmento es plelo l eje. - El vlo el punto es el - vlo - - -el punto es (-). III -- IV L ifeeni ente mos en vlo III soluto es - (-) po -- IV lo tnto, l longitu el segmento es. nálogmente se lul l longitu e un segmento plelo l eje. Si el segmento no es plelo ninguno e los ejes (po ejemplo, k el segmento EF el iujo), se puee lul su longitu k utilizno el teoem e Pitágos: se iuj un tiángulo etángulo u ipotenus es io m segmento, sus tetos son segmentos plelos los os ejes, m e. L longitu el teto plelo l eje equivle l ifeeni ente los vloes e los os puntos E F ( ), l longitu el teto plelo l eje - equivle l ifeeni e los -- vloes e los puntos E F ( ). on u el teoem -- e Pitágos se puee lul, po lo tnto, l longitu e l ipotenus: EF E E F F

27 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies PREGUNTS Y PROLEMS Ls pegunts el áe e álge ttn e un ieto númeo e tems tles omo: esoluión e euiones, polems e mino eoio e enimiento, omintoi, poili, et. Ls pegunts e geometí ttn e teístis e figus geométis omo supefiies, volúmenes, ángulos, et. lguns e ls pegunts son veles, en ells que tui pimemente el polem téminos mtemátios; ots son pegunts no veles en ls que el polem está epeso ese un pinipio en téminos mtemátios. ontinuión ofeemos pegunts e ejemplo, ompñs e sus soluiones epliiones. Pesten tenión: los ejemplos e est guí están lsifios según ls lses ifeentes e polems, peo el emen no está iviio e est mne. PREGUNTS VERLES E ÁLGER. Un onuto vijó e Hif Eilt. Un teio el mino lo eoió un veloi e km/. Un quinto el esto el mino lo eoió en un o, el tmo estnte lo eoió un veloi e 0 km/. L istni ente Hif Eilt es e 0 km. Si uie vijo un veloi onstnte lo lgo e too el eoio, uál eeí e sio es veloi p que el vije ente Hif Eilt le insumie el mismo tiempo? () 0 km/ () km/ () 0 km/ () 0 km/ Est pegunt está pesent en fom vel, po lo tnto, pimemente que tuil téminos mtemátios. Pimeo, efinn qué es lo que se ee veigu: o se, l veloi l que que vij p eoe l istni ente Hif Eilt en el mismo tiempo que le insumió l onuto e l pegunt. Sieno sí, se tt e un polem e eoio, se puee pli l fómul que vinul istni on veloi on tiempo: v s t, pues l istni (s) está el tiempo (t) se puee lul, mients que l veloi (v) es l inógnit que que espej. Se nuni en l pegunt que l istni ente Hif Eilt es e 0 km. El tiempo totl en el que el onuto eí eoe to l istni ente Hif Eilt se puee lul sí: El mino está iviio en l pegunt en tes segmentos. Vemos en uánto tiempo el onuto eoió uno e ellos:. Un teio el mino son 0 km pues 0 $ son 0 km. Este segmento el mino lo eoió el onuto en os os, pues es lo que se equiee p eoe 0 km un veloi e km/ 0 l.. Un quinto el esto el mino son 0 km. Esto se puee lul sieno que l longitu el esto el mino es km, e 00 km son 0 km. Se infom en l pegunt que el onuto eoió este tmo el mino en un o.. El esto el mino son 0 km, pues Este tmo lo eoió el onuto en tes os pues se equieen tes os p eoe 0 km un veloi e 0 km/. Es ei que el vije ese Hif st Eilt insumió un totl e os (os os más un o más tes os). o se puee lul l veloi onstnte l que que eoe los 0 km p eoelos en os, eemplzno los tos en l fómul: t ; s 0 km ; v s t 0. O se: l veloi v km/ l espuest oet es l ().

28 Rzonmiento untittivo. los iez ís e vi un elefntito omió melos. pti e entones su petito eió í omió os vees el númeo e melos que omió el í nteio. uántos melos omió en el í e vi? () 0 () 0 () 00 () 0 En su éimo í e vi el elefntito omió melos. Puesto que e quí en más omeá í vees el númeo e melos que omió el í nteio, en su í e vi, omeá 0 melos ( ); en el í e vi omeá 0 melos ( ), sí suesivmente. En genel, si n es un númeo enteo positivo, entones, en el í (0 + n) e vi el elefntito omeá n melos. Po lo tnto, en el í e vi omeá 0 melos ( 0), l espuest oet es l ().. En el mo e un menú e lmuezos e tjo, en un estunte se puee elegi uno e pltos e ent uno e pltos piniples ifeentes. emás e l ent el plto pinipl, se puee opt, omo plto iionl, ente un sop o un poste. uánts posiilies ifeentes e lmuezo e tjo e pltos se pueen fom en ese estunte? () () () () H tes posiilies p l eleión e l ent, po un e ls ents se puee omin uno e los uto pltos piniples. Es ei, ominiones ifeentes e ent plto pinipl un e ls ominiones se le puee geg o sop o poste, es ei, o se, ominiones ifeentes e un omi e pltos. Po lo tnto, l espuest oet es l ().. Un estuinte eie su pime título sólo si ps toos sus eámenes pesent toos sus tjos. e 00 estuintes, 0 pson toos los eámenes pesenton toos los tjos. uántos estuintes eiieon su pime título? () Po lo menos () lo sumo () Etmente () Po lo menos

29 Guí Emen psiométio e ingeso ls univesies Se pueen efini os onjuntos e estuintes: el onjunto e los estuintes que pson toos los eámenes el onjunto e los estuintes que pesenton toos los tjos. Too estuinte que se enuente l vez en mos onjuntos se eo eeo l título. El go e oinieni e los os onjuntos es esonoio, peo os situiones etems posiles que epesentemos en un iujo: צרפתית ספרדית אנגלית - En el so e oinieni máim ente los os onjuntos e estuintes, el númeo e eeoes l título seá 00 tmién máimo. L oinieni máim se pouiá si los estuintes que entegon toos los tjos n pso tmién seont toos los eámenes. eçus Es ei, estuintes lo sumo pueen eii título. - En el so e un oinieni mínim ente los os onjuntos e estuintes, el númeo e eeoes l título seá mínimo.inuent 0 (0) estuintes, (00 0), no son eeoes l título 00 po no e pso toos los eámenes, (00 ) no 0 son eeoes l título po no e pesento toos los tjos. Es ei, el númeo seont e estuintes que no son eeoes l título eio eçus -po lo menosun e ls uss es, 0 +. Este es el númeo máimo e estuintes no eeoes l título. Po lo tnto, el númeo mínimo e eeoes título es 00, es ei, po lo 0 menos estuintes son eeoes l título. eeoes l título Sieno sí, el númeo e eeoes l título puee flutu ente. Po lo tnto, l espuest oet es l (). 00 م 00 م. Un fái que tj un itmo onstnte poue 0 utomóviles م 00en ís. uántos utomóviles es posile fi en tes fáis similes, que tjn l mismo itmo, en ís? eeoes l título 0 entitle to egee entitle to egee 0 00 م () 0 () 0 () 0 () 0 Est es un pegunt e enimiento. Uno e los minos p espuest pegunts e este tipo es enont el enimiento e un uni e pouión (en este so e un fái) en l uni e tiempo (en este so un í) luego multipli po el númeo e unies e pouión ( fáis) po el númeo e unies e tiempo equeis ( ís). Si l fái poue 0 utomóviles en ís, poue utomóviles م 00 po í 0 k. Po lo tnto, fáis en ís pouián utomóviles, o se, 0 utomóviles, l espuest oet es l (). 00 م 00 M 00 M 00 M jjntnnetn jntne!@ 00 M jjn