MatemáticasI. : 1, 1, 2, 3 y = 1, = 5, = 14, = 30,, n 2 = 6

Transcripción

1 UNIDAD 9: Sucesioes. Límites ACTIVIDADES-PÁG. 0. Los térmios pedidos so: ) : 0 y. b) b : y. c) c ) : - - y. d) d d d d d : y. ) Ls sums prciles y l sum totl so: = + = + + = = = b) Ls sums prciles y l sum totl so: = + = + + = = =. Obteemos: er clvo = 00 euros. º clvo = 00 euros. er clvo = 00 euros. º clvo = 008 euros... º clvo = 00 euros. Por el cbllo pedí l sum de todos los térmios teriores: S 00 ) euros. L sucesió es u progresió geométric de rzó r =. E totl pedí euros. ACTIVIDADES-PÁG. 9. Vemos que pr = se cumple: = +. Supogmos que se cumple pr = p: p = p + p. Vemos qué ocurre pr = p + :

2 p + p + ) = p + p) + p + ) = p + p + = p + ) + p + ) Qued probdo que l iguldd es ciert pr todo úmero turl. 0. Vemos que pr = se cumple:. p 0 p Supogmos que se cumple pr = p:.... Vemos qué ocurre pr = p + : p p p p... p 0 Qued probdo que l iguldd es ciert pr todo úmero turl.. Vemos que pr = se cumple: ) = 0 = 8 Vemos que pr = se cumple: ) = 8 = 8 Supogmos que se cumple pr = p: p ) = 8 Vemos qué ocurre pr = p + : p p p p ) p ) p 8p Qued probdo que l iguldd es ciert pr todo úmero turl.. Vemos que pr = se cumple: S = = + )!! =!! =!! =! ) =! = Supogmos que se cumple pr = p: S p = p = p + )!!. Vemos qué ocurre pr = p + : S p + = [ p] + p + = p + )!! + p + ) p + )! = = + p + ) p + )!! = p + )!! Qued probdo que l iguldd es ciert pr todo úmero turl.

3 ACTIVIDADES-PÁG.. ) Itroducimos ls sucesioes tecledo si espcios itermedios): ) : = - ) / + ) b) : = + ) / ) c) : = - ) y después co ls expresioes: Sum [) 0] Sum [b) 0] Sum [c) 0] Obteemos los resultdos que puede verse e el gráfico. b) Los ites de ls solucioes del eucido so: ; b y c ) = ) = - Como ls sucesioes so covergetes los ites pedidos so: + b ) = 0 - b ) ) = - ) = - b ) = b ) = -

4 c ) = : b ) = - : c ) = / Los resultdos teriores puede verse e ls imágees: b = b = ACTIVIDADES-PÁG.. Ls sucesioes so: ) b) c) d)

5 e) 0 7 ). f) 8.. g) h) 08; 088; i) ).. Los térmios de ls sucesioes so: ) 0 7 y. b) 7 9 y 7 9 c) y d) 8 8 y 8 e) y 79 f) y 0 g) 9 8 y 7 h) 7 8 y. Los térmios de ls sucesioes so: ) y - b) y 8. Ls sucesioes so: ) ) = 0 - ) b) b ) = - 0 ) 7 9 c) c ) =... d) d ) = - - -) + )

6 e) e ) = ) f) f ) = ). L cotció de ls sucesioes qued: ) ) cotd superiormete por e iferiormete por 0. b) b ) cotd superiormete por e iferiormete por. c) c ) cotd superiormete por e iferiormete por.. Ls respuests so: ) ) está cotd etre y :. Demostrció: cierto 0 cierto b) b ) está cotd etre - y :. Demostrció: 0 cierto cierto c) c ) está cotd etre y 0: 0. Demostrció: 0 como 0 etoces 0. cierto 7. Ls sucesioes so: ) ).... Estrictmete decreciete. b) b ) = ; ; ; ; ; ; ). Creciete. c) c ) = + ; + ; + ; + ). Estrictmete creciete. 7

7 8 d)... ) d. Estrictmete decreciete. e) ) e = - 7 ). Estrictmete creciete. f) f ) = ). No es moóto es costte. 8. Ls solucioes so: ) ). Estrictmete decreciete. Vmos probr que > + : 0 ) Co lo que como est desiguldd es siempre ciert qued probdo que > +. b) ) b. Estrictmete creciete. Vmos probr que b < b + : 0 ) ) 0 ) ) L últim desiguldd es siempre ciert. c) ) c. Estrictmete creciete. Vmos probr que c < c + : 0 ) ) ) ) ) ) Est desiguldd es siempre ciert puesto que.

8 9 ACTIVIDADES-PÁG. 9. Ls sucesioes buscds so: ) + b ) = ) - b ) = b ) - ) = ) = ) b ) = 9 b = b = 0. Ls respuests so: ) está cotd etre y :. ) es moóto estrictmete decreciete. Vemos que > + : 0 A prtir del tercer térmio:.

9 . Los ites so: ) ) = b) 7 = 7 c) = 0 7 d) = e) - ) = f) 8 = g) 0 h) 7 = 7 i) ) 0 j) = 0 k) = 0 l) = 0 m) ) o) = 0 = = 0

10 p) 7 = 0 q) ) = r) = 0. Los ites so: ) 0 b) 7 c) d) e) 0 ) ) f) ) 8 7 g) 0 h) ) 7 9 ) 7 9 i) 8 j) 7

11 k) 0 e e e l) 7 m) ) o)... p) 8 q) r) e e ) ACTIVIDADES-PÁG.. Los metros de perforció del túel sigue u progresió geométric de rzó 0 y que los primeros dís se perfor: = m = 0 m = 0 m = 0 m Teiedo e cuet l sum de térmios de u progresió geométric r r S obteemos: dís 9 99 log 0 log 0

12 . Los ites so: ) 9 e b) c) d) e! )! )! )! )! :! ). Ls sucesioes socids los cudrdos so: Ldos Perímetros Áres 8 Ls sucesioes socids los cudrdos so: Ldos 8 Perímetros 8 Áres 0

13 . Ls respuests los distitos prtdos so: ) El primer cilidro h de teer l ltur de logitud doble que el rdio de l bse. L segud esfer tedrá por rdio el rdio de l bse del cilidro e el que se ecj. 0 Primer cilidro: r r 0 r m. 0 Segudo cilidro: r r r m. Tercer cilidro: r r r m. 0 r.... L sucesió de los rdios de los cilidros es: c 0 R b) L sucesió del rdio de ls esfers es: e es u sucesió L sucesió de los volúmeos de ls esfers es: e geométric de rzó. L sucesió de los volúmees de los cilidros es: c geométric de rzó. V V es u sucesió 7. Operdo obteemos e cd cso: ) El vlor del ite es: Por tto co 0 obteemos. b) El vlor del ite es: e Teemos que si co 0 obteemos = -..

14 8. L respuest ls cuestioes es: ) Pr relizr l tbl pedid e Vist hcemos precer Hoj de Cálculo. Escribimos e ell lo que prece e l tbl djut. A B Profudidd Lumiosidd 0 00 =A+ Eter) =B-0/00)*B Eter) Aprece los vlores y 80 respectivmete. Selecciomos cd u de ests dos celds y desde el vértice iferior derecho y co el botó derecho de rtó presiodo rrstrmos hci bjo hst el vlor que deseemos. E l tbl que sigue prece los diez primeros vlores. U vez relizd l tbl selecciomos mbs colums y co el botó derecho del rtó desplegmos el meú y elegimos Cre list de putos. Aprece los putos dibujdos e l Vist Gráfic será ecesrio justr los ejes pr poder ver los putos). Tmbié podemos ver e l Vet lgebric l list de dichos putos.

15 Podemos ecotrr l curv que se juste los putos dibujdos y su ecució tecledo e l Vet de etrd: Si[x>0AjusteExp[list]] Obteemos l fució de expresió: f x) = 00 e - 0x L curv puede verse e el dibujo de bjo. b) L itesidd de luz que tiee el buzo l bjr 0 metros será: ) 00 = 89. Tmbié l podemos clculr co l fució terior es decir f 00) = 00 e ) = 898.

16 c) Si bj 0 metros l luz que detectrá será: ) 0 = Tmbié f 0) = 00 e - 0 0) = Gráficmete podemos hllrlo cortdo l curv co l rect x = 0 y determido el puto de corte que es P 0; ). d) Pr determir l profudidd l que puede bjr y ú detectr ciert lumiosidd l podemos clculr de l form que sigue: x x 0 l ) 0 080) 000 x l 080 l 000 x l e 0x 0 e 0 x x l e l 000 x l Gráficmete podemos hllrlo cortdo l curv co l rect y = 0 y determido el puto de corte que es Q 78; 0). Pr represetr gráficmete u sucesió por ejemplo cremos u deslizdor co ls codicioes que prece e el gráfico. Nombre: Míimo ; Máximo 0 e Icremeto. E el cmpo de etrd itroducimos: ^)/^+)) y prece u puto. E el Meú cotextul del puto ctivmos Propieddes del objeto Básico y Muestr rstro. 7

17 Movemos el deslizdor y v preciedo los putos de l sucesió que tiede l ite. ACTIVIDADES-PÁG. Explic l formció del copo de ieve: Dibujmos u triágulo equilátero dividimos cd ldo e tres prtes y sobre l prte cetrl dibujmos otro triágulo equilátero e el siguiete pso sobre cd uo de los triágulos equiláteros repetimos el proceso e iterdo obteemos est curv. Cosidermos que el triágulo equilátero iicil tiee de ldo uiddes. NÚMERO DE CURVA / 8/9 PERÍMETRO 9/7 eésim ÁREA

18 Como vemos e l tbl l sucesió de los perímetros es u sucesió geométric de rzó /. Por lo que su logitud es ifiit pues rzó /9. Su superficie es fiit pues:.l sucesió de ls áres es u sucesió geométric de 9 = L propiedd que tiee ests curvs es que siedo su logitud ifiit ecierr u superficie fiit. L curv Aticopo de ieve es l que vemos e el dibujo: Es l cofigurció opuest l copo de ieve. Se form del mismo modo pero metiedo los triágulos hci detro. Se obtiee los mismos resultdos que e l terior y tiee l mism propiedd. UNIDAD 0: Propieddes globles de ls fucioes ACTIVIDADES-PÁG.. El dí de julio ocuprá u superficie de 08 = 087 cm. L gráfic buscd podrí ser l siguiete: 9

19 . Ls crcterístics de ls fucioes prece e l tbl. Crcterístics ) b) c) Domiio R R R Recorrido 0 [- ] R Simetrí Eje OY Orige de No tiee coordeds Acotció Acotd iferiormete Acotd No cotd Máximos e Míimos e Míimo e 0 - ) Extremos - 0) y 0) k co reltivos Máximo e ) Máximo e 0 ) k Z Míimos e k co k Z Periodicidd No tiee Periodo T = π No tiee Tedecis Si x f x) Si x f x) No tiee Si x f x) Si x f x) ACTIVIDADES-PÁG.. Desigmos los colores por: rojo R) verde V) zul Z) y mrillo A); y ls cutro forms por: cudrd C) circulr O) trigulr T) y petgol P). Por esyo y error ls colocmos e u tblero x cumpliedo ls codicioes que mrc el eucido. U solució es: Podemos ecotrr hst 7 solucioes distits.. El úmero totl de mits h de ser múltiplo de 9 meos es decir 8 mits. Hciedo el problem medite ecucioes: 8 8 x x x = 8 mits 9 9 0

20 . El eucido del problem os muestr que el úmero de cjits de zumo debe ser u úmero impr. Por esyo y error dirigido obteemos: Hy 7 cjits de zumo. El º migo se bebe 7/ + 0 = cjits. Qued cjits. El º migo se bebe / + 0 = cjits. Qued cjit. El dueño de l cs se bebe / + 0 = cjit. Luego efectivmete hbí iicilmete 7 cjits de zumo. Este problem se puede resolver tmbié por medio de ecucioes.. Se u úmero rel. Vemos si ) = ) = -) + ) Si = etoces = y tmbié + ; por lo que -) + ) es múltiplo de. Si - = etoces = ; por lo que -) + ) es múltiplo de. Si + = etoces = ; por lo que -) + ) es múltiplo de. Por tto e todos los csos se cumple ) = múltiplo de. ACTIVIDADES-PÁG.. ) Itroducimos e l ptll que prece después de pulsr l tecl l expresió: -X^ + * X - Pulsmos l tecl pr represetr l fució y modificmos ls opcioes de l ptll co l tecl. Obteemos l gráfic del dibujo.

21 b) Procediedo como e el prtdo terior y tecledo e^x+) obteemos: c) Procediedo como e los prtdos teriores y tecledo l*x-) obteemos:. ) Escribimos e Y= l expresió: X^ ) * X < ) + /X) * X ) y obteemos l gráfic:

22 b) Escribimos e Y= l expresió: -X + ) * X 0) + ^X) * X > 0) y obteemos l gráfic:. ) Represetmos l fució f x) = + x - x x y co ls opcioes del meú que ofrece l tecl obteemos como vemos e l imge que l fució tiee tres cortes co OX e los putos - 0); - 0) y 0); u máximo reltivo e 0; ) y u míimo reltivo e - ; - 0). x b) Pr l fució g x) = procedemos como e el prtdo terior y obteemos como x vemos e l imge que l fució tiee dos cortes co OX e los putos - 0) y 0) y u míimo reltivo e 0 - ).

23 c) Pr l fució h x) = x e x procedemos como e los prtdos teriores y obteemos como vemos e l imge que l fució tiee u corte co OX e el puto 0 0); u máximo reltivo e -; 0) y u míimo reltivo e 0 0). ACTIVIDADES-PÁG.. E l tbl prece los resultdos. Vlores ) x f x) x b) g x) x x c) h x) x - Si No Si - / Si Si Si 0 No Si Si / Si Si Si Si Si No Si Si No Si Si No. Ls respuests so: ) Dom f = R; Im f = 0 b) Dom f = [- ; ] Im f = {- - 0 } c) Dom f = 0 Im f = 0. Los domiios de ls fucioes so: ) Dom f = R f) Dom f = R b) Dom f = R {0 - } g) Dom f = R c) Dom f = [- ] h) Dom f = 0 d) Dom f = R i) Dom f = R { k π; k Z} e) Dom f =

24 . ) Siempre se verific que - cos x por tto si summos e todos los miembros se mtiee l desiguldd cos x + de dode + cos x por lo que l fució dd est cotd etre y b) Por u ldo x > 0 siempre pues est fució rciol siempre es positiv. Por otro ldo vmos ver que x ; x - = x x 0 siempre. Por tto 0 < x es decir est cotd por 0 y.. ) Dom f = R {- }; Im f = R. Estrictmete creciete e ; Estrictmete decreciete e ;.. Tiee u máximo reltivo e - ; - ) y míimo reltivo e ; ). b) Dom f = R; Im f = 0 Estrictmete creciete e 0. Estrictmete decreciete e 0. Máximo reltivo 0 0).. ) Se h de verificr ls siguietes iecucioes: x + x Ls solucioes so todos los vlores de x perteecietes 0 E el dibujo vemos tmbié l solució:. b) Se h de verificr que x + ) + x + ) + 7 > x + x + 7. De dode obteemos x > -.

25 ACTIVIDADES-PÁG. 7. Ls gráfics puede ser como ls que prece el los gráficos que sigue. ) b) c)

26 8. Ls crcterístics de ls fucioes prece e l tbl. Crcterístics ) y = f x) b) y = g x) Domiio R R Recorrido 0 [- ] Acotció Acotd iferiormete Acotd Mootoí Decreciete e 0 ) Decreciete e Creciete e 0 ) Creciete e -) ) Extremos reltivos Míimo e 0 0) Máximo e ; 0) Míimo e - - ) Máximo e ) Simetrí No tiee Respecto del orige de coordeds 9. Ls respuests so: ) Simétric respecto l orige de coordeds. b) Simétric respecto l eje de ordeds. c) Simétric respecto l eje de ordeds. d) Simétric respecto l eje de ordeds. e) Simétric respecto l orige de coordeds. f) Crece de simetrí. 0. Ambs fucioes so periódics etediedo que cotiú de igul form izquierd y derech. L fució y = f x) tiee de periodo T = y l fució y = g x) tiee de periodo T =.. Ls respuests prece cotiució. x x ) f + h)x) = x b) f h)x) = x x c) f : g)x) = x x ) e x d) f - x) = x x x 8 e) f h) g) x) = f) g + h) x) = e x x x Dom f + g) = R - Dom f h) = R - Dom f g) = R - Dom f - ) = R - Dom f - h) g) = R - e x Dom g + h) = R - 7

27 g) g x) = l. Ls fucioes y vlores pedidos so. x ) f o g) x) = x x Dom g - = 0 c) h o h o h) x) = x b) g o g) - ) = d) h o f) ) = / ACTIVIDADES-PÁG.. ) El prámetro vle = -. b) El prámetro vle = -. Ls fucioes iverss pedids so: ) f x) x b) f x) x c) f x) log x d) e) f f x) x x x) f) f x x). Resolvemos l ecució x x x y obteemos x = ; x = - ; x = 7. ) Llmdo x l logitud de l bse l fució que os permite hllr el áre es Ax) = x 0 x). El domiio de est fució es 0 0) y el recorrido 0 00] b) Llmdo x l úmero de estudites que v l museo l fució que d el precio pgr por cd uo de ellos es: Px) = 00 / x. El domiio de est fució es [ 0] y el recorrido es [ 00] 7. L fució buscd es f r) = 0 r π + ) r 8

28 8. ) L simétric respecto OY quedrí: b) L simétric respecto del orige serí: c) L gráfic de l fució y = f x serí: 9. L fució buscd es 00 si f x) x si 0 8x 0 x 0 0 x 0 si x 0 9

29 0. Ls respuests los prtdos so: ) El beeficio es de 8. b) L fució beeficio es Bx) = 0 7 x x 9 00 c) El beeficio es ulo si vede proximdmete kg o kg. ACTIVIDADES-PÁG. 7 Ofrecemos bibliogrfí sobre l relció etre mtemátics y deporte. BOLT B. y HOBBS D. 99). 0 proyectos mtemáticos. Lbor. Brcelo. CORBALÁN Ferdo. 007) Mtemátics e l vid mism. Gró. Brcelo. CORBALÁN Ferdo. 0) Mtemátics de cerc. Gró. Brcelo. ORTEGA Tomás. 00). Coexioes mtemátics. Gró. Brcelo. SORANDO MUZÁS J. M. 0) Mtemátics y deporte. Sugerecis pr el ul. Revist Números. Volume 80. SORANDO MUZÁS J. M. VV. AA. 0). Mtemátics y deporte. Revist UNO. Gró. Brcelo. 70