. Hallar "a" para que el complejo : a a) sea real puro b) sea magnaro puro Solucón. Lo prmero de todo es hacer la dvsón en forma bnómca, multplcando numerador y denomnador por el conjugado del denomnador, de esta forma se elmna la undad magnara del denomnador. a ( ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ( ) ) ( ( ) a) ( a ) ( a ) a a) Número complejo real puro la parte magnara nula. a : a : a 9 a b) Número complejo magnaro puro la parte real nula. a : a : a a ( k) a a a a a. Hallar el valor de k para que el complejo sea un nº real. Hallar su cocente. k Solucón. Se multplca numerador y denomnador por el conjugado del denomnador. ( k) ( ( k) ) ( k ) k ( k ) ( k ) ( ( ( k) ) k ) k ( ( k) ) ( ) ( k k ) ( k ) k k k k k k k Para que un número complejo sea real puro, la parte magnara debe ser nula. k : k : k k Para k : a. Hallar a y b para que el complejo b sea gual Solucón. a b Lo prmero es expresar el segundo membro de la gualdad en forma bnómca. cos cos( ) cos ( ) cos sen sen sen ( ) sen a b Los parámetros a y b se calculan por dentfcacón gualando las partes reales y las magnaras, para lo cual lo más sencllo es pasar el denomnador al segundo membro y operar el producto. a b ( ) ( )
a a ( ( ) b ) b ( ) ( b) ( b ) ( ) Re : a b a : Im : b b Otra forma mucho más complcada es operar tal como esta, el prmer membro de la gualdad se pasa a forma bnómca multplcando numerador y denomnador por el conjugado del denomnador ( b). a b ( a ) ( b) ( b) ( b) a b ab b { } ( ) ( ) a b ab a b ab 9 b 9 b 9 b El segundo membro de la ecuacón se pasa a forma bnómco medante la forma trgonométrca. Igualando. a b ab 9 b 9 b Identfcando parte real con parte real y parte magnara con parte magnara, se obtene un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas no lneal, que se resuelve por el método de susttucón. a b Re : 9 b ab Im : 9 b Ordenando. a b 9 b ab 9 b De la ª ecuacón se despeja a y se susttuye en la prmera. b a b b b 9 b b Resolvendo por Ruffn b b 9b b b b 9b a b. Hallar dos números complejos cuya dferenca es magnara, su suma tene como parte magnara y su producto vale. Solucón. Se pde hallar dos números complejos z a b y z c d que cumplan las sguentes condcones:. Re (z z ) z z a b (c d) (a c) (b d) Re (z z ) a c. Im (z z ) z z a b (c d) (a c) (b d) Im (z z ) b d
. z z z z (a b) (c d) (a c b d) (a d b c) Re : a c b d Im : a d b c Las condcones propuestas permten plantear un sstema de cuatro ecuacones y cuatro ncógntas. a c b d b d b d a c a bd a bd ac bd ad bc ad ba a( b d) Susttuyendo la ª en la ª: a a c b d b d bd bd Por susttucón d b b (b) Ordenando se obtene una ecuacón de º grado. b d b b : b d Posbles solucones: z y z ó z y z. Hallar dos nº complejos tales que su suma sea, el cocente de ambos real puro y la parte real del º sea gual a. Solucón. Se buscan dos números complejos de la forma: a b d Tales que: ( a) (b d) ( b) (a d) Igualando real con real e magnara con magnara Re : b b Im : a d Con lo obtendo hasta ahora nos quedan los complejos a y d y la relacón entre los parámetros a y d (a d ). La segunda relacón entre a y d que nos permta plantear un sstema se obtene del cocente entre y, que haremos en forma bnómca, multplcando numerador y denomnador por el conjugado del denomnador, para elmnar la undad magnara del denomnador. a d ( a) ( d) ( d) ( d) ( ( ) a ( d) ) ( ( d) a ) ( ) d Como el cocente es un número real puro, la parte magnara debe ser nula. d a d a d ad d a d d
d. Con las dos expresones obtendas se plantea un sstema que permte calcular los parámetros a y a d a d a d Los números peddos son a. Determne un número complejo cuyo cuadrado sea gual a su conjugado. Solucón. Se pde calcular un número complejo de la forma a b que cumpla: ( a b) a b Desarrollando el cuadrado e gualando parte real con parte real y parte magnara con parte magnara se obtene un sstema de ecuacones que nos permte calcular a y b. a ab b a b Ordenando el prmer membro: ( a b ) ab a b Igualando parte real con parte real y parte magnara con parte magnara: Re : a b a Im : ab b De la gualdad de las partes magnaras smplfcando b se obtene: a a Susttuyendo el valor de a en la ª gualdad se calcula b b b b ± Los posbles números complejos que cumplen la relacón pedda son: z ó z 7. Expresar en forma polar los sguentes nº complejos: a) b) c) d) e) Solucón. a) z. Numero complejo real puro postvo, con dbujarlo basta para obtener su forma polar. b) z. Numero complejo real puro negatvo.
c) z. Numero complejo magnaro puro. d) Módulo : r º Cuadrante : : Argumento : α arctg arctg e) ( ) ( ) ( ) ( ) Módulo : r º Cuadrante : : Argumento : α arctg arctg. Expresar en forma bnómca los sguentes complejos: a) b) c) 7 d) º Solucón. a) (cos sen ) ( ) b) (cos sen ) c) 7 (cos 7 sen 7) ( () ) cos º sen º d) ( ) º 9. El complejo de argumento 7º y módulo es el producto de dos complejos, uno de ellos tene de argumento º y el otro de módulo. Escrbr ambos en forma bnómca. Solucón. Se pde calcular dos números complejos de la forma r º y α que cumplan la sguente gualdad: r º α 7º Multplcando en forma polar el prmer membro de la gualdad: r ( ) 7º º α Igualando por un lado los módulos y por otro los argumentos se calcula r y α: Módulo : r r Argumento : º α 7º α Conocdos los complejos en forma polar, se pasan a bnómca a través de la forma trgonométrca
º ( cos º sen º ) º ( cos sen ). Sean los complejos: ; W ; P ; Q realzar las sguentes operacones: a) W b) W c) P² d) Q e) Q P Q f) W P Solucón. Excepto la suma o resta, las demás operacones es más fácl hacerlas en forma polar. P Módulo : r º Cuadrante : : P Argumento : α arctg arctg º º ( ) Módulo : r Q º Cuadrante : : Q Argumento : α arctg arctg a. W ( ) (cos sen ) W b. W ( ) ( ) ( cos sen ) ( cos sen ) º º P º º c. ( ) ( ) ( cos sen ) d. Q ( ) ( cos sen )
e. P Q ( ) º ( ) ( ) º 9 9 9 º ( cos sen ) ( cos sen ) 7 7 f. Q W P ( ) ( ) ( ) ( ) º 9 7 7 7 ( cos sen ) 7 ( cos sen ) ( cos sen ) ( cosº sen º ) ( ) ( ) 7 ( ) 7 ( 7 ) ( 7 ) ( ) 7 9 9 ( 7) ( ) ( ) ( ). Escrbr y en forma polar y calcular bnómca. Solucón. El prmer paso es pasar los números complejos a forma polar. en forma polar y en forma Módulo : r º Cuadrante : : º Argumento : α arctg arctg º Módulo : r ( ) 7 º Cuadrante : : 7 Argumento : α arctg arctg º 7 º º 7 º º 7 7 9 ( cos sen ) Nota El argumento de los números complejos en forma polar es convenente dejarlo en postvo. Para expresar en postvo un argumento negatvo se le suma, s el argumento es menor de, prmero se dvde por y al resto, en negatvo, se le suma 7
. Calcular (). Expresar la solucón en forma bnómca. Solucón. La forma más senclla de hacer la potencacón de números complejos es en polar. Módulo : r º Cuadrante : : º Argumento : α arctg arctg º ( ) ( ) ( ) º 9 º (cos sen ). Calcular las sguentes raíces a) b) c) d) 9 e) f) g) Solucón. Las raíces de números complejos se hacen en forma polar, por lo que el prmer paso será pasar el número complejo a forma polar. ( ) Módulo : r a) º Cuadrante : º Argumento : α arctg º º º º Los afjos de las solucones de una raíz de un número complejo son los vértces de un polígono regular de tantos lados como ndque el índce de la raíz º º º b) ( ) Módulo : r º Cuadrante : Argumento : α arctg º 7º º
9 c) d) 9 9 º º º º 9 9 9 9 9 e) 7 f) 7 7'º 7 7'º 7 7'º 7 7'º 7 7 g) ( ) ( ) arctg Argumento : r Módulo : Cuadrante : º α º º º º
. Hallar las raíces cuadradas de: a) b) c) d) Solucón. a) ± b) ( ) ± c) 9 º º º ( cos º sen º ) ( cos º sen º ) d) 7 º 7 7 º º ( cosº sen º ) ( cos º sen º ). Para escrbr un número complejo qué argumento debes poner en los sguentes casos? a) nº real postvo b) nº real negatvo c) nº magnaro postvo d) nº magnaro negatvo Solucón. a) z r. El afjo está stuado sobre el semeje real postvo. b) z r. El afjo está stuado sobre el semeje real negatvo. c) z r. El afjo está stuado sobre el semeje magnaro postvo. d) z r 7. El afjo está stuado sobre el semeje magnaro negatvo.. Dado un complejo en forma polar Qué transformacón sufre s se multplca por? Solucón. Tenendo en cuenta que la forma polar de número es, al multplcar un número complejo de la forma r α por I, el argumento se desplaza. r α ( r ) rα α 7. Calcula la raíz cúbca del complejo sendo y Solucón. El cocente y la radcacón de números complejos se hace en forma polar. ( ) ( ) Módulo : : Im : z Argumento : z º Cuadrante. α arctg arctg Re
. Calcular en forma polar: ( ) ( ) 7 Solucón. Lo prmero es expresar los números complejos en polar, ya que las operacones (producto y potenca) en esta forma son más sencllas. Módulo : r ( ) º Cuadrante : Argumento : α arctg arctg Módulo : r ( ) º Cuadrante : Argumento : α arctg º º El orden de operacón es prmero las potencas y segundo el producto. 7 7 7 7 ( ) ( ) ( ) ( º ) ( ) 7 º 9º ( ) º º º º 9. Calcular y expresar en forma bnómca ( ) Solucón. Lo prmero es expresar los números complejos en polar, ya que las operacones (cocente y potenca) en esta forma son más sencllas. Módulo : r º Cuadrante : Argumento : α arctg arctg ( ) ( ) Módulo : r ( ) ( ) º Cuadrante : Argumento : α arctg º º El orden de operacón es prmero la potenca y segundo el cocente. ( ) ( º ) ( ) º ( cos sen ) 7 7. Calcular: Solucón. Lo prmero será operar las potencas de tenendo en cuenta su perodcdad. 7 7 ( ) ( ) ( ) 7 7 ( ) ( ) ( ) ( )
7. Dado el número complejo z calcular la expresón trgonométrca del nº z. Solucón. Lo prmero será operar las potencas de tenendo en cuenta su perodcdad. 7 ( ) z Lo más sencllo es trabajar en forma polar. Módulo : r º Cuadrante : Argumento : α arctg arctg º 7 º Módulo : r ( ) º Cuadrante : Argumento : α arctg arctg º z S 9 º. Sea z º 7 º º º z ( cos 7 sen 7 ) z 9 º 7. Calcular z, z Solucón. Lo prmero es expresar el número complejo en polar, ya que las operacones (potenca y radcacón) en esta forma son más sencllas. ( ) ( ) Módulo : r º Cuadrante : Argumento : α arctg arctg ( ) z z 'º 7'º 'º 'º. Calcular ( ) Solucón. La operacón se hace en forma polar. Módulo ( ) ( ) ( ) Argumento : º Cuadrante α arctg
( ) ( ) 7 7 7 7 7 7 º º 9º 7 º. Resolver la ecuacón: z Solucón. Lo prmero es smplfcar la potenca de, para ello se dvde el exponente entre cuatro, que es el perodo de las potencas de ( ; ; ; ), obtenendo de cocente y de resto. ( ) ) ( ) Susttuyendo en la ecuacón y despejando z: z : z Para operar se expresan los complejos en forma polar. Módulo : ( ) ( ) Im Argumento( º Cuadrante) α arctg arctg Re Módulo 9 º Argumento z. Dbuja los afjos de la ecuacón (z) (z² z ) Solucón. z : z ( z ) ( z z ) : z z Resolvemos la ecuacón de segundo grado z ± ± ± ± z z ± z Las solucones de la ecuacón son:: z z
Para dbujar los afjos, la mejor forma es expresar las solucones en forma polar. z Módulo : r z º Cuadrante : º Argumento : α arctg arctg Módulo : r z º Cuadrante : Argumento : α arctg arctg. Calcular los valores de z que verfcan: ( ) z Solucón. De la ecuacón propuesta despejamos z. ( ) z ( ) z z z Para calcular z la mejor forma es operar en forma polar. Imagnaro puro postvo Módulo : r º Cuadrante : Argumento : α arctg arctg º º Susttumos y operamos, prmero el cocente y luego la raíz. z º º º º º º º º º
7. Resolver la ecuacón x Solucón. De la ecuacón propuesta despejamos x. x Trabajamos en forma polar. Módulo : r ( ) º Cuadrante : º Argumento : α arctg arctg x º º '7º º '7º º '7º º '7º. Comprobar que el número complejo z es solucón de la ecuacón z z. En caso afrmatvo calcular la otra solucón. Solucón. Se puede hacer de dos formas dstntas. ª. Susttumos el valor de z en la ecuacón y se compraba s la cumple. z z : ( ) ( ) ( ) z La cumple, luego es solucón. La segunda solucón se obtene tenendo en cuenta que s un número complejo es solucón de una ecuacón, su conjugado tambén es solucón. ª. Resolvendo la ecuacón ( ) ± ( ) z z z z ± ± ± z ± z z 9. Encontrar las ecuacones de º grado cuyas raíces son: º, º Solucón. Expresamos los números en forma bnómco. º ( cos º sen º ) º ( cos º sen º ) La ecuacón de º grado será: ( x ( ) ) ( x ( ) ) Operando, smplfcando y ordenando se obtene la ecuacón. x x x x x x x x x x x x ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )( ) x x
. S z es una de las raíces cúbcas de un número complejo, determnar las otras dos raíces cúbcas y el número complejo. Solucón. El prmer paso es pasar el número complejo a forma polar, para ello se tendrá en cuenta que el afjo del número complejo esta stuado en el cuarto cuadrante. ( ) Módulo z : Argumento arctg S denomnamos como ω al número complejo del que z es una de sus raíces cúbcas, se cumplrá: ω z ω z ( ) ( cos sen ) ω 9 Las otras raíces de ω se pueden obtener tenendo en cuenta que las raíces de un número complejo solo se dferencan en el argumento, y esa dferenca es n sendo n el índce de la raíz. φ z z z