Toría d Sistmas y Sñals Trasparias: Aálisis ruial d sñals TD Autor: Dr. Jua Carlos Gómz
Aálisis ruial d Sñals Timpo Disrto. Sri d ourir d Sñals Timpo Disrto Sa () ua sñal priódia o príodo, s dir: ( ) + La rprstaió d () sri d ourir pud prsars omo: ( ) () dod { } so los ofiits d ourir. TSyS
TSyS 3 Para drivar la prsió d usamos la idtidad Rmplazado (), tmos: ± ± o..,, l l l l l l Sumado sobr
Lugo: l l o l,, K, Cofiits d ourir Como las ompots fruia S so priódias o príodo, tos los ofiits d ourir so tambié priódios uado s alula más allá dl rago,,..., -. S ti tos: + Es dir, { } s ua suia priódia o príodo fudamtal. TSyS 4 ()
Tmos tos qu l sptro d ua sñal () qu s priódia o príodo, s ua suia priódia o príodo. Cosutmt ualquir suia d mustras d la sñal o d su sptro prov ua dsripió omplta d la sñal l domiio tmporal o fruial. Si bi { } s ua suia priódia, os otrarmos u solo príodo l rago,,..., -. E l domiio fruial sto implia ubrir l rago d fruias: < o,, K, TSyS 5
TSyS 6 Idtidad d Parsval para sñals priódias TD. Esptro d Dsidad d Potia d Sñals. Esptro d Dsidad d Potia d Sñals Priódias Timpo Disrto Priódias Timpo Disrto La potia mdia d ua sñal priódia d príodo s: [ ] [ ] P
TSyS 7 La suia,,,..., - s domia Esptro d Dsidad d Potia La rgía d la sñal () u príodo s: Si la sñal () s ral, tos: E
Emplos: a) os f Como f o s u úmro raioal, () o s priódia o pud padirs sris d ourir. La sñal pos si mbargo u sptro qu osist d ua úia ompot d fruia b) os 3 f 3 f 6 () s priódia o príodo fudamtal 6 Los ofiits d ourir rsulta: 5 6 6 ;,, K, 5 TSyS 8
TSyS 9 Usado la prsió o poials omplas dl os(.), podmos sribir: por lo qu podmos oluir qu: - Cosidrado qu: vmos qu: - 5 Tido tos: 3 4 5 6 6 6 os + 6 6 6 5 6 6 5 6.
TSyS ) Dtrmiar los ofiits d ourir y l sptro d dsidad d potia d la sñal priódia mostrada la figura (oda uadrada timpo disrto) () s priódia d príodo Cosidrado qu:... - L () A A A L L L L L L L s s,, ; K
TSyS Rsultado tos qu: El sptro d dsidad d potia rsultat s:,, ; ; s L s A A L L K,, ; ; s L s A A L K
3. Trasformada d ourir Timpo Disrto La DTT d ua sñal () d rgía fiita s dfi omo: X X() rprsta l otido fruial d la sñal (); y s domia sptro d () Como l rago d fruias para ua sñal TD s (-, ), X() rsulta priódia d príodo. E fto, X ( + ) ( + ). X TSyS
Como X() s ua fuió priódia d la variabl, admit ua pasió sris d ourir, simpr qu s vrifiqu las odiios d Dirihlt. D la dfiiió atrior d X() vmos qu los ofiits d ourir so: (-) Si s oo X(), la sñal () pud tos ruprars omo: X d qu s la Trasformada d ourir TD Ivrsa () TSyS 3
Covrgia d la DTT Dfiamos: X Dimos qu X () ovrg uiformmt a X(), para todo, uado, si lim X X La ovrgia d X () quda garatizada si: E fto, si s vrifia (3) tos: X Lugo, (3) s odiió sufiit para istia d DTT TSyS 4 < (3) <
Alguas suias o so absolutamt sumabls (odiió (3) ) pro so uadrado sumabls, s dir so d rgía fiita E (4) < qu s ua odiió más débil qu (3) [ (3) (4) pro (4) > (3) ] Para podr dfiir la DTT d stas sñals, la odiió d ovrgia uiform s db rlaar a ovrgia mdia uadrátia; lim X La rgía dl rror X()-X () tid a ro, pro o sariamt l rror tid a ro para ada. TSyS 5 X d
TSyS 6 D sta forma podmos ampliar la las d sñals qu ti DTT para iluir a la sñals d rgía fiita. Emplo: Supogamos qu la sñal () ti DTT Rordmos qu X() s priódia o príodo La trasformada ivrsa rsulta: <,, ) ( X - - X() o s d d X
Para, tmos: d Es dir: o s o - Podmos vrifiar qu () o s absolutamt sumabl pro s uadrado sumabl (d rgía fiita). E fto: + TSyS 7 s () + Divrg
TSyS 8 Admás: Coluimos tos qu la DTT X() d () ovrg mdia uadrátia, pro o ovrg uiformmt puto a puto. Para vr sto mayor dtall osidrmos la suma fiita para distitos valors d rits. s + + Covrg X s
Vmos qu hay ua osilaió la fruia. Cuado aumta, la osilaió s más rápida y uado la osilaió ovrg al puto d disotiuidad, pro su amplitud o va a ro. Est fómo osilatorio d X () s domia ómo d Gibbs. TSyS 9
TSyS 5. Esptro d Dsidad d Ergía d Sñals 5. Esptro d Dsidad d Ergía d Sñals Apriódias Apriódias La rgía d la sñal () s: [ ] [ ] d X d X d X E Idtidad d Parsval para sñals apriódias TD X()
X() s, gral, ua fuió a valors omplos, qu pud prsars omo: θ ( ) X X dod: X() : Esptro d magitud θ() X() : Esptro d as S () X() s domia Esptro d dsidad d rgía d (). S () o oti iformaió d la fas. Si () s ua sñal ral, tos: X X X X X S S X Simtría Par Simtría Impar Simtría Par TSyS
Basados las propidads atriors d simtría podmos oluir qu para ua sñal ral basta o oor X() l rago d fruias para qu () (sñal ral) qud ompltamt dtrmiada. Emplo:. Calul y grafiqu l sptro d dsidad d rgía S () d la sñal: () a.µ() - < a <. Dtrmi la DTT y l sptro d dsidad d rgía d la sñal: A, L ( ),. o.. TSyS
6. Propidads d la DTT Lialidad a + a a X + a X Corrimito Tmporal Si tos Ivrsió l timpo Si tos X X X X TSyS 3
Covoluió d suias Si tos: X X X. X TSyS 4
Corrimito ruia: Si tos X X ( ) TSyS 5
Modulaió: Si X ( ) tos os [ X ( + ) + X ( )] y () () os,5.. y () () os. TSyS 6
Multipliaió d suias (Widowig Thorm) Si Lugo 3 X X. X X ( λ) X ( λ) dλ Produto l Covoluió l domiio tmporal domiio fruial Difriaió l domiio fruial Si tos X d 3 X d TSyS 7
Torma d Corrlaió Si Lugo r X X S X X Caso partiular: Wir-Khithi Sa () ua sñal a valors rals. Etos: r l S El sptro d dsidad d rgía d ua sñal d rgía fiita s la Trasformada d ourir Timpo Disrto d su suia d autoorrlaió. TSyS 8
Torma d Parsval Si Lugo X X X X d TSyS 9
7. DTT d Sñals priódias Si s admit omo posibls trasformadas los impulsos, pud ampliars la las d fuios TD qu so trasformabls ourir para iluir a las fuios priódias. Cosidrmos la sñal ( ) Su Trasformada d ourir (alulada apliado la dfiiió) rsulta ( ) X Pud probars qu rsulta igual a u tr d impulsos d la forma l ( l) X δ TSyS 3
TSyS 3 Para vr sto, basta o alular la Trasformada Ivrsa y vrifiar qu s igual a (). E fto d d d X + ) ( δ δ l l l l Dod l pasa al sgudo rgló s usó l hho d qu simpr ist u idi l d mara qu la fruia ( + l) a l itrvalo [-, ]. Cosidrmos ahora ua sñal () priódia o príodo, rprstada o su Sri d ourir ) (
Su Trasformada d ourir rsulta tos X δ l l Es dir qu la Trasformada d ourir d ua sñal priódia pud alulars forma dirta a partir d sus ofiits d ourir. Emplo : os La trasformada d ourir rsulta tos X + δ l l ( l) + δ ( + l) TSyS 3
X() Ara -- - -+ - - - + Emplo : Tr d impulsos priódio ( ) δ ( ) () - TSyS 33
Los ofiits d la sri d ourir rsulta ( ) ; por lo qu la Trasformada d ourir rsulta X δ l l X() ara TSyS 34