Sistemas de Ecuaciones

Ttulcó: Asgtur: Autor: Grdo e Igeerí Métodos Numércos Césr Meédez Ultm ctulzcó: 8// Sstems de Ecucoes Plfccó: Mterles: Coocmetos prevos: 4.5 Teorí+,5 Práctcs+6 Lb. MATLAB Coocmetos de Álgebr: vlores y vectores propos, orms, sstems leles, determtes,

Métodos Numércos por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Sstems de ecucoes Motvcó: Crcuto eléctrco Nudo Ecucó Mll Ecucó + + = 4 R - R +V= - + 4 + 5 = 4 - R + R - 4 R 4 = 4 - - - 4 + 6 + 7 = 45 4 R 4 + 6 R 6-5 R 5 = 5-5 - 6 + 8 = 465-5 R 6 + 7 R 7-8 R 8 = 6-7 - 8 = R R R R4 R5 R6 R7 R8 V 5 6 4 I I I I4 I7 I6 I5 I8 8 7 6 5 4 8 7 6 6 5 4 4 V R R R R R R R R R R R

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Objetvos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Dstgur ls dos grdes fmls de métodos de resolucó de sstems, orígees, vetjs e coveetes Eteder el sgfcdo del codcometo, preder estmrlo.y coocer como fect los dferetes métodos. Utlzr l elmcó gus co sus dverss mejors, sí como fmlrzrse co l termologí: elmcó progresv, susttucó regresv, pvote. Coocer el terés de los métodos de fctorzcó e el cálculo de determtes y mtrces verss. Sber qué codcoes debe cumplr u lgortmo tertvo pr ser cosstete y covergete. Coocer l descomposcó mtrcl que org los métodos de Jcob, Guss-Sedel y reljcó, etededo ls vetjs que hbtulmete tee los segudos sobre el prmero. Iterpretr el cocepto de reljcó y su relcó co el rdo espectrl.

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 4 Temro Cuestoes prevs de álss mtrcl Tpos de mtrces - Vlores propos - Norms vectorles y Sstems leles: Métodos drectos El método de elmcó de Guss Téccs de pvoteo: prcl, escldo y totl - Evlucó del úmero de opercoes - Iterpretcó mtrcl del método de Guss - Método de Guss- Jord - Fctorzcó mtrcl: LU, LDL y LL - Codcometo de u sstem lel - Cots de error - Aplccoes l cálculo de l vers y del determte de u mtrz Sstems leles: Métodos tertvos Itroduccó - Sucesoes vectorles y mtrcles - Covergec de u método tertvo - Velocdd med de covergec - Test de prd - Métodos tertvos de Jcob, Guss-Sedel y reljcó - Aálss de l covergec - Comprcó de los métodos drectos co los métodos tertvos. Sstems o leles Itroduccó Métodos de puto fjo Métodos de Newto y cs- Newto Métodos de desceso.

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Defcoes elemetles Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 5 Se A u elemeto perteecete l espco vectorl de ls mtrces cudrds cudrd de orde sobre el cuerpo de los complejos: A M El polomo crcterístco se defe por P A deta I Los utovlores de A so ls ríces del polomo crcterístco / x : Ax x El espectro de A es el cojuto de utovlores ( A) / P A Autovector x socdo l vlor propo es todo vector o ulo verfcdo A I x Ax x Rdo espectrl Rdo espectrl de A,, es el máxmo de sus utovlores, e módulo (A) mx Trz es l sum de los térmos de l dgol Tms: trz( A) tr( A) tr(ab)=tr(ba) tr(a+b)=tr(a)+tr(b) AB = BA = A B

Métodos Numércos por Césr Meédez Ferádez 6 Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Sstems de ecucoes Dgol Trdgol Tpos especles de mtrces (I) j j j j j j j j Trgulr If. (Sup) Hexember If. (Sup.) Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Tpos especles de mtrces (II) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 7 Regulr: A Smétrc: A=A T Hermítc: A=A * co A * =coj(a T ) Ortogol: A - =A T Utr: AA * =A * A=I A - =A * Norml: AA T =A T A Defd postv (egtv): T x : x Ax ( A) : Semdefd postv (egtv): T x : x Ax ( A) : Semdefd egtv T x : x Ax ( A) : Defd egtv T x : x Ax ( A) : k Crtero de Sylvester (Defd postv) k T x : x Ax, k,, k k k k

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Propeddes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 8 T m : S A es u mtrz cudrd, exste u mtrz utr U tl que l mtrz U - AU es trgulr T m : S A es u mtrz orml, exste u mtrz utr U tl que l mtrz U - AU es dgol T m : S A es u mtrz rel, exste dos mtrces ortogoles U y V tl que l mtrz U - AV es dgol T m : S A es u mtrz smétrc, exste u mtrz ortogol U tl que l mtrz U - AU es dgol T m de Rouché-Frobeus Ddo el sstem Ax=b Solucó úc (Comptble determdo) rgo(a)=rgo(ab)=nº cog. Ifts solucoes (Comptble determdo) rgo(a)=rgo(ab)<nº cog S solucó úc (Icomptble) rgo(a)<rgo(ab)

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms vectorles: defcó y ejemplos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 9 Se deom orm vectorl tod plccó de u espco vectorl e los reles que cumple ls codcoes sguetes: L orm de culquer vector es myor o gul que cero y solo se ul cudo el vector es el ulo L orm de u esclr por u vector es gul l vlor bsoluto del esclr por l orm del vector L orm de l sum es meor o gul l sum de ls orms Ejemplos e R : x : x x x x x y x x y K x E x, ye x p x p x x x x sup x,.. p

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms vectorles: Norms equvletes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Dos orms y so equvletes cudo exste vlores reles y tles que x x Tods ls orms vsts so equvletes e R, es más Ejemplo x x E x x x x x x x C x x x x x x v 45 7 9 6 49 v sup v sup 45, 7,,,9, 6 45,..,.. v 45, 7,,,9, 6 v v 45 7 9 6 7.5 x x x 45 49 6 45 x x x 45 7.5 6 45 x x x 649 7.5 6 49 x x x 45 7.5 49 v Demo

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms vectorles: sgfcdo geométrco Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó - Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos - Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Norm - - x x x y x y x y x y x y x y x y x y x y - Norm - - - x x x y - Norm - - - x sup x,.. mx x, y

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms mtrcles: defcó y ejemplos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Se deom orm mtrcl tod plccó del espco vectorl de ls mtrces de orde e los reles que cumple ls codcoes sguetes: : R L orm de culquer mtrz es myor o gul que cero y solo se ul cudo l mtrz es l ul L orm de u esclr por u mtrz es gul l vlor bsoluto del esclr por l orm de l mtrz L orm de l sum es meor o gul l sum de ls orms L orm del producto es meor o gul que el producto de ls orms Ejemplo: Norm de Frobeus A A A A A K A M A B A B A, BM A B A B A, BM A E j j

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Norms mtrcles subordds Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó x Def.:S es u orm vectorl sobre C etoces se defe u orm mtrcl sobre el cojuto de ls mtrces cudrds de orde, deomd orm subordd, medte A sup xe Ax x sup xe x Ejemplos: j A sup A x mx (máxmo de colums) x j * A sup A x A A (rdo espectrl de l orml) x j A sup A x mx (máxmo de fls) x j Not: ls orms mtrcles o verfc (ver ejemplo sguete) Ax A A A Demo

Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Métodos Numércos Sstems de ecucoes Norms : ejemplo A A j por Césr Meédez Ferádez x x x A 4 x x y sup A x sup sup 4 y x 4y x y x y x y x x y y sup 4 sup x y x y 6 j mx mx, 4 mx 4, 6 6 4

Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Métodos Numércos A Sstems de ecucoes Norms : ejemplo A A x x por Césr Meédez Ferádez A 4 cos cos s sup A x sup sup 4 s cos 4s sup cos s cos 4s sup s s cos sup s s 5.67 * * AA.897,6.8 * A A j 7 * P A A x x A 6.8 5.67 5

Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez A Norms fto: ejemplo 4 x x y A sup A x sup sup x x 4 y x 4y x A sup x y, x 4y sup 5,5 5 mx x, y mx x, y j j mx mx, 4 mx 5,5 5 j A sup A x mx 6 x j A A x A A * sup 5.67 x j A sup A x mx 5 x j 6

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Clsfccó de los métodos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó Métodos drectos Coverte el sstem cl e otro u otros equvletes, pero más smples de resolver Opercoes de equvlec Multplcr u ecucó por u esclr Itercmbr el orde de dos ecucoes Sumr u ecucó otr Obtee l solucó exct e u úmero fto de psos (depede sólo del orde del sstem) Métodos tertvos Trsform el sstem cl pr poder plcr puto fjo El úmero de psos pr obteer l solucó proxmd depede del error dmsble 7

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Represetcó mtrcl Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Defcoes y T ms Norms Métodos Represetcó 4 x x x x4 x b 4 x x x x4 x b 4 x x x x4 x b 4 x x x x4 x b x b x b x b x b b b b Sstem de Ecucoes Represetcó Mtrcl Mtrz Ampld 8 b

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Método de Crmer Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 9 x b x b Ak x b Ax b xk A x b A b Cálculo del determte Opercoes Totl k k k A k b b b k + determtes de orde co cocetes Cd uo geer determtes de orde - juto co (-) sums y productos Productos: (+)! Sums! A A A A A A A

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Sstems más smples : Dgoles y trgulres Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí b x x b b x b x b x b x x b b x x b x b x b x x b x x b x x b x b k x b xk k x b x b x b x x b x b x x b x b k x b xk k Opercoes: Opercoes: Superor: x remote ½(-) ½(-)+ Iferor: desceso

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Método de Guss Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord El sstem equvlete es trgulr superor Oper pr ulr los coefcetes por debjo de l dgol Aulr el elemeto de l fl j-esm bjo l prmer dgol b b b b b j b m b j j j j j jª jª mª j j b j j b b Opercoes: cocete, productos y sums pr (-) fls Aulr el elemeto de l fl j-esm bjo l dgol -esm b b b j m b jª jª mª b j j j j b Opercoes: cocete, - productos y - sums pr (--) fls b b b b b b j

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Opercoes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Covertr el sstem e trgulr j j U sstem de orde 9 requere 4 productos U sstem de orde requere. productos, 6 6 Resolucó de u sstem trgulr, Totl, 6

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Ejemplo del método de Guss 4 4 5 5 ª ª ª ª 5 4 4ª ª 4 4 5 4 4 5 5 5 7 5 5 7 5 7 5 9 4 ª 4 ª 9 9 8 7 4ª ª 4ª 5 ª 5 4x x 4x4 x 4 4 5 5 5 5 5 x 7x 4 7 x 5 9 4 4 9 x4 59 59 x 5 5 x4

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Justfccó Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord 4 Se deom pvote l térmo de l dgol que ul ls colums Debdo los errores heretes l represetcó lmtd de u úmero e el ordedor, es coveete o dvdr por úmeros "pequeños". Iteres que el pvote se (e vlor bsoluto) muy lto pr dsmur l propgcó de errores e l dvsó. Ejemplo:.x 59.4x 59.7 x 5.9x 6.x 46.78 x Resolucó co 4 cfrs decmles 5.9. 59.4 59.7 Ax b m 76.6 764. 4 44.x 59.7 59. x x. 59.4. 59. Resolucó co 4 cfrs decmles e tercmbo de fls 5.9 6. 46.78. 4 5.67. 59.4 m 59.7 5.9 5.9 6. 46.78 5.9x 46.78 6. x 59.4 59.4 x. 6.. 6'

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Algortmo de Guss y modfccoes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí ENTRADA: Mtrz mpld A SALIDA: Solucó x, o mesje de determcó ALGORITMO. Repetr pr tods ls fls {Proceso de trgulrzcó}. Ecotrr el pvote y su fl. S el pvote es ulo PARAR 'No exste solucó úc' 4. S l fl/colum ctul o es l del pvote, tercmbrls 5. Repetr desde l fl ctul hst l ultm 6. Clculr el coefcete m 7. Aulr el elemeto combdo mbs fls 8. Resolver el sstem trgulr resultte (Susttucó regresv) - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord 5

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Téccs de pvoteo (I) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord 6 Pvote smple: Se tercmb fls pr tomr como pvote el myor térmo e vlor bsoluto de l colum bjo l dgol Pvote doble: Se tercmb fls y colums pr tomr como pvote el myor térmo e vlor bsoluto de l submtrz Se lter el orde de ls solucoes) Pvote escldo: Algortmo Algortmo Algortmo Actú como el pvote smple pero tomdo como térmo de comprcó el vlor poderdo de l colum, esto es, dvddo etre el máxmo de l fl 5 6 5 6 5 6 5 6 x 5 6 6 5 x 5 6

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Téccs de pvoteo: justfccó práctc Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Sstem: Pvote smple 4.x 59.4x 59.7 5.9x 6.x 46.78 594 597 x 5.9 6. 46.78 x. (resolucó co 4 cfrs) 5 p 5.7 Pvote escldo mx,594 x 5.9 x. p.86 mx 5.9, 6. Sstem: x x 7x 5x 7 x 5 x (resolucó co 4 cfrs) 77 7 7 x 9.997 Pvote smple m. 5 5.667.67 x. 7 Pvote doble 7 7 7 7 x. m.74 5 5.4.4 x.

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Mtrz sgulr Sstem comptble determdo o comptble No hy solucó úc rgo(a)<nº cógts El pvote se ul 4 4 ª ()ª 5 7 ª ()ª 4 75 4 4ª ( )ª 5 8 4 5 7 ª (4)ª 4ª ( )ª 8

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo: Guss s pvote (4 dígtos) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord 9 4 4 5 4 4 5 ª ª 5.5 7 7.5 ª ª.5 4 8.5 5 4 4ª ª 9 8 7 4 4 5.5 7 7.5 ª ª.667 6. 4. 9 4ª ª.5 5.5 4 4 5.5 7 7.5.667 6. 4..5 4ª.667 ª 5.89 5.8 x 5 4x x 4x 4 x.99 x 7.5.5x 7x 4 x.997 x.667 4. 6.x 4 x.9958 x 5.8 4 5.89 x 4

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo: Guss pvote smple (4 dígtos) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord 4 4 5 4 4 5 ª ª 5.5 7 7.5 ª ª.5 4 8.5 5 4 4ª ª 9 8 7 4 4 5 4 4 5 ª 9 8 7 9 8 7 4ª.5 4 8.5 ª 9 ª.8 4.889.6.5 7 7.5 4ª 9 ª.5 4.4 5.7 4 4 5 4 4 5 ª 9 8 7 9 8 7 4ª.5 4.889.6.5 4.4 5.7.8.8 4.889.6 4ª.5 ª 8.97 6.79 x 5 4x x 4x 4 x x 9 7 x 8x 4 x x.5 5.7 4.4x 4 x.9994 x 6.79 4 8.97 x 4

Métodos Numércos ª.6.6.8.6.8.6.6.6 4ª ª. 4.4 4..4.6 5.6 ª. 4. :ª 5 :ª 4ª ª ª.6.4 4. 5.6 4.4.. 4. ª Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Ejemplo: Guss pvote doble (4 dígtos) 4 4 5 5 5 4 5 4 5,4,, C F:ª 4ª C:ª ª,,,4 5 4 5 4 4 5 F 5 4 4 5 5 4 4.4.. 4. 4. ª 4.4 ª 6.454.5 7.95.8 4ª 4.4 ª.8 4 5.8 5 4 4.4.. 4.,4,, 6.454.5 7.95.8 4ª 6.454 ª.75.76 x 5 4x 4 x x x x 4 4.4 4..x.x x x 6.454 7.95.5x x.9994 x.76.75 x 4

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord Ejemplo: Guss pvote escldo (4 dígtos) 4 4 5 5 5 4.486 4 4 5 4 4 5 9 8 7 9 8 7 4 ª ª.8 4.889.6 5 5 7 4ª 9 ª.5 4.4 5.7 7 4.5 9 9 º 4ª 5 7 9.876 º 4ª x 5 4x x 4x 4 x x 9 7 x 8x 4 x x.8.6 4.889x 4 x.9994 x 6.79 4 8.97 x 4 4 5 5 4 4 5 ª.5 ª.5 7 7.5 ª.5 ª.5 4 8.5 4ª ª 9 8 7 4 4 5 4 4 5.8 4.889.5795.5 4.4 9 8 7 9 8 7.5 4.4 5.7.8 4.889.6.8.8 4.889.6 4ª.5 ª 8.97 6.79

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Método de Guss-Jord Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord El sstem equvlete es dgol Oper pr ulr los coefcetes por ecm y por debjo de l dgol Aulr el elemeto de l fl j-esm bjo l dgol -esm b b b j m b jª jª mª b j j j j b Opercoes: cocete, - productos y - sums pr (-) fls Totl de opercoes j, j U sstem de 9() ecucoes requere 88 (49.)productos b b b b b b j

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo: Guss-Jord Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Método de Guss - Téccs de pvoteo - Guss-Jord 4 4 4 5 5 5 4 4 4 5 5 ª ª 7 7.5 5 ª ª 4 8.5 4ª ª 9 8 7 4 ª ª 4. 5. 8..5 7 7.5 ª ª.667 6. 4. 9 4ª ª.5 5.5 4. ª.667 ª.79 45.57.5 ª.667 ª 6.5 9.667 6. 4..5 4ª.667 ª 5.89 5.8.79 ª 5.89 4ª.98 x 6.5 ª 5.99 5.89 4ª x 6. ª.667.67 5.89 4ª x 5.89 5.8 x 4.99.997.

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Itrepretcó mtrcl de Guss s pvoteo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 5 L U U L L L L A U L A U T m : Ls mtrces verfc L k verfc (L k ) - =I-L k Demo

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Iterpretcó mtrcl del tercmbo de fls y colums Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 6 Itercmbo I M / : Fl Colum A Propeddes: M A AM M M M M M M M Demo j l kl k l T k j j

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 7 T m : El producto de mtrces trgulres ferores (superores) es u mtrz trgulr feror (superor) T m : L vers de u mtrz trgulr feror (superor) es u mtrz trgulr feror (superor) L L LL A U LA U A L U LU Doodlttle (Mtrces regulres): A=LU L es trgulr feror co dgol utr U es trgulr superor Lyb LU x b U x y Crout (Mtrces smétrcs): A=LDL T L es trgulr feror co dgol utr Ly b D es dgol L T D L x b D z y T L x Cholesk (Mtrces defds postvs): A=L L T L es trgulr feror co dgol de térmos postvos o ecesrmete utros LL T x b z Lyb T L x y Demo Demo

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó de Doodlttle: (LU)x=Mb Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 8 Fctorzcó drect u u u l u u l l u - u u u u - - lu lu u lu u lu u k - - k lu lu l u l uk u l uk u Algortmo k k - - k k k k- k lu luk lu luk l uk - l uk u k k k 7 7 7 7 Ejemplo (4 cfrs) 5 5 5 ' '667 7 7 y y ' 5 '67 7 7 9'997 x x '667 '67 '

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó de Crout: (LDL T )Mx=Mb Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 9 Fctorzcó drect d l l l d l l l d d dl dl dl l d d ldl dl ldl dl k k k k k l d d l d l dl k k l d d k Ejemplo (4 cfrs) k k k k k 7 7 7 ' 7 5 75 7 5 ' ' 7 7 y y ' 75 ' 7 ' z z ' ' '999 ' ' 9'999 x x '999 '999 Algortmo

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó de Cholesk: (LL T )x=b Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 4 Fctorzcó drect l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l k l Ejemplo (4 cfrs) k k l l l ll k k k l l k Algortmo 7 69 '646 '646 '779 '779 '586 '586 '646 69 6'8 y y '779 '586 '586 '646 '779 6'8 x x '586 '586

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Opercoes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Iterpretcó mtrz. - Teorems - Dooltle (regulr) - Crout (smétrc) - Cholesk (defd+) - Comprcó 4 Crmer Guss G-Jord Dooltle Crout Cholesk Sums Productos Cocetes!!

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo de codcometo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo 4 Sstem cl: Ax=b Resolvemos sstem equvlete : Cx =d x =x+x x? AC? Resduo: R=Ax -b=ax!no es u bue referec de l bodd de l solucó! A xb 7 8 7 x 7 5 6 5 x 8 6 9 x 7 5 9 x4 x x b b A 7 8 7 x x ' 9. 7 5 6 5 x x '9.6 8 6 9 x x ' 4.5 7 5 9 x4 x4 '9. A A x x b 7 8' 7' x x 8 7'8 5'4 6 5 x x 7 8 5'98 9'89 9 x x 4 6'99 4'99 9 9'98x4 x4

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Iterpretcó geométrc Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo 4

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Acotcó Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo 44 A x=b x= A A A x x b b A x b b x b x b A A A b A x+ x = b+ b A δx = δb x A b A A A A A b x b b x b b x cod A b cod A b x b x cod A b A A A x A b cod A A A x b A A A A A A x b A b Demo

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Propeddes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo Pr culquer mtrz regulr A y u orm subordd culquer se verfc: Cod(I)= I Ix sup xe x Cod(A) I A A I A A A A A Cod(A - ) = cod(a) A A A A A A Cod(A) = cod(a) A A A A A A A coda A B S B sgulr x x / x : B x A B x A x A B x A x A A x x A B x A A A A A AB 45

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo: cot co vrcó de b Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos ; Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo 7 8 7 5 4 6 7 5 6 5-4 68 7 A A 8 6 9 7 5 7 5 9 6 ' 8' ' '6 b b x x x cod, '5 x ' ' A A b x A b b A x x b x 6 4488 9.4 5. 4 7.4 6.85. 98.6 984 6.. 9.94 6.4 8. 6 4488..6.6.6 b A b 46

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Motvcó - Iterpretcó - Acotcó - Propeddes - Ejemplo 47 Ejemplo: cot co vrcó de A.. 4.5 974. 5.8 88.7.8.4 6. 79. 887. 645.6 A A A.. 5. 848.. 67.5... 9.5 57.9 7.9.6 A A A A A A A A x x 4488 6. 669. 454 4 74 68.5 984 98.6. 4854..5 64 8. 4488 6. 6875 6.5 6 6 x cod A Not : A A No es plcble x A cod A A A A x x

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Cálculo del determte de u mtrz Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí A prtr de los resultdos de l fctorzcó de l mtrz Doodlttle A M L U A M L U Crout A L D L Cholesk T A L L T A L A L L T D L T L p p U D l d u - Determte - Ivers 48

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Aplccoes: Cálculo de l vers Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Determte - Ivers 4 4 ª 5 ª ª ª ª 5 4 4ª ª ª ª 5 7 ª 5 ª 4 ª 9 9 8 4ª ª 8 6 6 ª ª 5 7 6 6 ª ª 5 9 5 ª 6 4ª ª 9 7 9 ª 59 4ª 55 ª 59 4ª 9 8 5 5 5 5 ª 59 4ª 59 47 5 6 59 4ª 5 7 5 4 9 8 8 6 6 5 7 6 6 5 9 7 9 9 5 5 5 5 47 5 6 59 49 8 6 9 59 59 59 59 6 6 8 55 59 59 59 59 88 78 8 59 59 59 59 47 5 6 59 59 59 59 8 6 9 59 59 59 59 6 6 8 55 59 59 59 59 88 78 8 59 59 59 59 47 5 6 59 59 59 59

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Descrpcó Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 5 Ddo u sstem lel Ax=b buscmos u mtrz K y u vector c tl que l solucó úc del sstem y=ky+c se gulmete solucó del sstem cl. Ddo el método tertvo se debe segurr su: Covergec Cosstec Ax b y Ky c L form del sstem sugere u método de resolucó tertv x x Kx c lm x y y Ky c A b Ejemplo Cosstec Covergec x x A b S No Demo x x A b No S

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Defcoes y teorems (I) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 5 T m : U método tertvo es cosstete s y solmete s: (I-K) es versble c=(i-k)a - b Defcó: covergec de u sucesó vectorl x y s N Z / k N : y x T m : Dd u mtrz cudrd culquer y u orm mtrcl, se tee que A A A / A A T m : Ddo u método tertvo cosstete sguetes proposcoes so equvletes: El método es covergete Pr lgu orm mtrcl K lm K K x Kx, ls c Demo k Demo Demo

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Defcoes y teorems (II) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí T m : S lgu orm mtrcl de l mtrz de tercó es meor que l udd, etoces el método es covergete y se verfc ls sguetes cots de error: y x K y x K y x x x K T m : Dd u mtrz regulr A, l mtrz (A A) es defd postv. Esto permte cmbr el sstem Ax=b otro equvlete (A A)x=(A b) cuy mtrz se defd postv. Demo Demo T m : S A, C, (A+C) y (A+BCD) so mtrces cudrds o sgulres se verfc l sguete detdd mtrcl (A+BCD) - =A - - A - B(C - +DA - B)DA - Demo 5

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Descomposcó y Métodos Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 5 Se A u mtrz regulr co elemetos o ulos e l dgol, etoces dmte l sguete descomposcó: j j j ( ) D j j A ; ( ) s >j, resto D L U L j j ( U) s <j, resto Ax b D L U x b x Kx c Jcob: D L U x b Dx L U x b x D L U x D b Guss Sedel D L U x b D L x Ux b x D L Ux D L b Reljcó (SOR) D D L D U x b L x D U x b x D L D U x D L b

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Jcob Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 54 x D L U x D b Dx b L U x k k k k x b x x b x x b x x b x k k Algortmo Bucle pr k desde hst el úmero de tercoes Bucle pr desde hst (orde del sstem) x F bucle k j j j j k k j j b x x F bucle k NOTA: L mtrz de tercó de Jcob tee l dgol ul

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 55 Guss-Sedel x D L Ux D L b Dx b Ux Lx k k k k k x b x x x b x x x b x x x b x x k Algortmo k Bucle pr k desde hst el úmero de tercoes Bucle pr desde hst (orde del sstem) F bucle F bucle k x k j j j j k k j j b x x k NOTA: L mtrz de tercó de Guss Sedel tee l prmer colum ul

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 56 k Reljcó x x b x x x x b x x x - x b x x x x b x k k x k Algortmo Bucle pr k desde hst el úmero de tercoes Bucle pr desde hst (orde del sstem) b x x F bucle F bucle k k x D L D U x D L b Dx - Dx ( b Ux Lx ) k k k k x j j j j k k j j k - xk NOTA: Guss Sedel es u cso prtculr de reljcó pr = k

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez SOR y Mtrces defds postvs Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 57 T m : S etoces K SOR y por tto el método SOR sólo puede coverger cudo << (Kh). Demo Todos los métodos vstos se bs e descompoer A=M-N, co M versble, pr geerr el método x=m - Nx+M - b T m : S A es u mtrz defd postv, descompuest e l form A=M-N, co M versble, y l mtrz (M +N) tmbé es defd postv, etoces (M - N) < y el método es covergete. Corolro I: S A es defd postv, el método de Jcob coverge pr culesquer eleccó del vector cl. Corolro II: S A es defd postv, el método de reljcó coverge pr culesquer eleccó del vector cl sempre que <<. (Ostrowsk-Rech ) Demo

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Mtrces trdgoles y especles Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 58 T m j : S l mtrz A del sstem verfc que j : etoces será váld u y sólo u de ls frmcoes sguetes (Ste-Roseberg): KGS K J KGS K J K K K K GS J J GS T m : S l mtrz A del sstem es trdgol, los rdos espectrles de Jcob y Guss-Sedel está relcodos medte. K GS K J Demo T m : S l mtrz A del sstem es defd postv y trdgol, el vlor óptmo del prámetro de rljcó y el rdo expectrl vee ddos por opt opt K SOR opt (J) Demo Demo

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Mtrces dgoles domtes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 59 Def: U mtrz se deom estrctmete dgol dom-te cudo pr cd fl, l sum e vlor bsoluto de sus elemetos es meor que el vlor bsoluto del elemeto de l dgol. S l relcó se verfc co meor o gul, etoces es dgol domte, T m : S l mtrz A del sstem es de dgol estrctmete domte, el método de Jcob coverge pr cules-quer eleccó del vector cl. T m : S l mtrz A del sstem es de dgol domte y lgu fl es estrctmete domte, el método de Guss-Sedel coverge pr culesquer eleccó del vector cl. Demo Demo NOTA: Auque e lguos csos hy relcoes etre el comportmeto de los métodos de Jcob y Guss-Sedel, o sempre l covergec (o dvergec) de uo de ellos segur l del otro.

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Covergec de Jcob y o GS (I) Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 6 K J P J K G x y z 5 - D L U - - - - x x K K D L U J - - K K P x x x,, G G G J

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Covergec de Jcob y o GS (II) - K S D-L - D+ U - - - - - - -4 6 4. '8 '4 '4 K S -'6 '88 '8 '56 -'9 '75 K '96 S - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 6

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 6 Covergec de GS y o Jcob x y 6 z K J D L U - - P J x x x K 4 J K G P G D L U - x K 4 - - x x x '5 J

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Covergec de GS y o Jcob (II) - K S D-L - D+ U - - - - - - - 4-4 4.85.8 - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 6

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (I) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 64 Ddo el sstem teror:. Clculr ls mtrces de tercó de los dferetes métodos. Estudr su covergec. Determr el úmero de tercoes ecesrs pr teer u error feror. prtedo del orge y utlzdo l orm fto 4. Relzr ls tercoes terores y comprobr cuts huber sdo relmete ecesrs. Jcob: '5 K J D L U '5 '5 cj D b '5 P J x x K '5 4 J Guss-Sedel '5 KG D L U '5 '5 cg D L b '75 P G x x x K '5 4 G Como cbí esperr (mtrz trdgol, de dgol estrctmete domte y defd postv ), mbos métodos coverge, y, el rdo espectrl de Guss-Sedel es el cudrdo del de Jcob, por lo que su covergec es más rápd.

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (II) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 65 Reljcó (SOR) S - - K D-L - D+ U - 4 - '5 cs = D-L b '75...55 K S.55.5.65 c=.745 K PS x x x opt opt S.5. '.78.5 K.78 S

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (III) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 66 Número de tercoes K K x x l - l x x x x - K l K K Jcob.5.5.55 Guss-Sedel.5.5.55 Reljcó.65.65 9.6 Jcob Reljcó x - x x Guss Sedel x k k x x c j j j j k k j j b x x j j j j k k j j b x x > j j j j b xk xk j j k k

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (IV) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 67 Jcob Guss-Sedel Reljcó b x k b x k b xk xk xk xk -xk x k x k xk.xk. b xk b xk x k x k b xk x k - xk xk xk xk.xk. Jcob Guss-Sedel Reljcó x x x...65.65 x x x...745 4 4 5.745 x x 4 x..65..766 4 x x 5 4 7.766 x..745..986 4 8

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Ejemplo completo (V) x y Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 68 Jcob Guss-Sedel Reljcó (w=.).5 -.5.5 -.75.65 -.745.75 -.75.5 -.975.766 -.986.5 -.5. -.9844.4 -.9 4.975 -.975.78 -.996.9994 -. 5. -.. -.999.9999 -. 6.9844 -.9844.5 -.9998. -. 7.78 -.78. -.9999. -. 8.996 -.996. -.. -. 9. -.. -.. -..999 -.999. -.. -..5 -.5. -.. -..9998 -.9998. -.. -.. -.. -.. -. 4.9999 -.9999. -.. -. 5. -.. -.. -. 6. -.. -.. -. 7. -.. -.. -. 8. -.. -.. -. 9. -.. -.. -.. -.. -.. -.

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Ejemplo completo (VI) x y - Descomposcó - Jcob - Guss-Sedel - Reljcó - Tms Covergec - Ejemplos 69

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Aexo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Demostrcoes Algortmos 7

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Norms equvletes Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí x x, x, x, x, x x x x sup x v sup x,..,.. x sup s s s,.. xs x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 7 Volver

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Norms mtrcles subordds Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí x Def.:S es u orm vectorl sobre C etoces se defe u orm mtrcl sobre el cojuto de ls mtrces de orde, deomd orm subordd, medte Ejemplos: A sup xe Ax x sup xe x Ax j A sup A x mx (máxmo de colums) x j * A sup A x A A(rdo espectrl de l orml) x j A sup A x mx (máxmo de fls) x j Volver 7

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez MATLAB pr Guss co pvote smple Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí. [,m]=sze(a);f m~=+;error( fll mtrz mpld );ed. for =:. [p,j]=mx(bs( A(:,)) );j=j+-; 4. f p==; error( sstem determdo o comptble );ed 5. f j~=; p=a(j,:); A(j,:)=A(,:); A(,:)=p;ed 6. for j=+:; m=-a(j,)/a(,); A(j,:)=A(j,:)+m*A(,:); ed 7. ed 8. x()=a(,+)/a(,) 9. for =-,,-; x()=((,+)-(,+:)*x(i+:))/(,);ed OPERACIONES + Trgulrzr Resolver Totl j j 5 6 7 Volver

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez MATLAB pr Guss co pvote doble Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí. [,m]=sze(a);f m~=+;error( fll mtrz mpld );ed. orde=:;. for =: % Trgulrzcó 4. [p,j]=mx(bs( A(:,:)) );j=j+-; % Pvote y poscó 5. [p,k]=mx(p);j=j(k);k=k+-; 6. f p==; error( sstem determdo o comptble );ed 7. f j~=; p=a(j,:); A(j,:)=A(,:); A(,:)=p;ed % Itercmbo de fls 8. f k~=; 9. p=a(:,k); A(:,k)=A(:,); A(:,)=p;. p=orde(k); orde(k)=orde();orde()=p;. ed. for j=+:; m=-a(j,)/a(,); A(j,:)=A(j,:)+m*A(,:); ed. ed 4. x()=a(,+)/a(,); % Resolucó del sstem trgulr 5. for =-,,-; x()=((,+)-(,+:)*x(i+:))/(,);ed; 6. x=x(orde); % Ordecó de los resultdos Volver 74

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez MATLAB pr Guss co pvote escldo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí. [,m]=sze(a);f m~=+;error( fll mtrz mpld );ed. for =: % Trgulrzcó. escl=mx(bs( A(:,:) ) ); ; % Pvote y poscó 4. f y(escl); error( sstem determdo o comptble );ed 5. [p,j]=mx(bs( A(:,)./escl ) );j=j+-; 6. f j~=; p=a(j,:); A(j,:)=A(,:); A(,:)=p;ed % Itercmbo de fls 7. for j=+:; m=-a(j,)/a(,); A(j,:)=A(j,:)+m*A(,:); ed 8. ed 9. x()=a(,+)/a(,); % Resolucó del sstem trgulr. for =-,,-; x()=((,+)-(,+:)*x(i+:))/(,);ed Volver 75

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó: Demostrcoes I Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Lk I Lk k k k k k k Lk I Lk I k k k k k k Volver 76

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demostrcó de vers de L Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Lk I Lk k k k k k k L k I L I k k k k k k k Volver 77

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Fctorzcó: Demostrcoes II Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 78 T m : El producto de mtrces trgulres ferores (superores) es u mtrz trgulr feror (superor) j j C A B co A, B trg. f. j : b j k j k j k j k k k k k k j : c b b b k k k j b C trg. f. k T m : L vers de u mtrz trgulr feror (superor) es u mtrz trgulr feror (superor) Demostrcó por duccó: se verfc pr, supuesto que se verfc pr hy que demostrrlo pr + A A B d I B c d b A d b d B B B d b trg. feror Volver Volver

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Propeddes de l mtrz de tercmbo Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 79 M j esm jesm I I B I j I j B I j T I j T T M B T I j Smetrí Ortogoldd I I I B I I j j M M B B B I I I I j B B I j I j I j j j j j I j

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 8 Algortmo de Fctorzcó LU ENTRADA: Mtrz A y vector b SALIDA: Solucó x, o mesje de determcó ALGORITMO. Repetr pr desde hst (Proceso de fctorzcó).. Repetr pr j desde hst -. Clculr 4. Hcer l 5. Clculr u l u 6. Repetr pr j desde + hst 7. Clculr u l u 8. Repetr pr desde hst repetr (Resolucó sstem T.S.) 9. Clculr. Repetr pr desde hst (Resolucó sstem T.I.). Clculr. SALIDA x OPERACIONES k k k k y b l yk k k y u xk k x u j j l l u u j j k j j k j k j j k j k k, + = Volver

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 8 Algortmo de Fctorzcó de Crout ENTRADA: Mtrz A y vector b SALIDA: Solucó x, o mesje de determcó ALGORITMO. Repetr pr desde hst (Proceso de fctorzcó).. Repetr pr j desde hst -. Clculr 4. Hcer 5. Clculr 6. Repetr pr desde hst repetr (Resolucó sstem T.S.) 7. Clculr 8. Repetr pr desde hst (Resolucó sstem dgol) y 9. Clculr z d. Repetr pr desde hst (Resolucó sstem T.I.). Clculr l k k k k d l d l l d l d k k k y b l y k k k x z l x j j j j j k k k j k j j k Volver. SALIDA x 4 OPERACIONES 5 + =

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 8 Algortmo de Fctorzcó de Cholesk ENTRADA: Mtrz A y vector b SALIDA: Solucó x, o mesje de determcó ALGORITMO. Repetr pr desde hst (Proceso de fctorzcó).. Repetr pr j desde hst -. Clculr 4. Clculr 5. Repetr pr desde hst repetr (Resolucó sstem T.S.) 6. Clculr 7. Repetr pr desde hst (Resolucó sstem T.I.) 8. Clculr 9. SALIDA x l l k k j j y b l y l k k k x y l x l k k k j j k k j l l l j l j k OPERACIONES 4 4, + = Volver

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 8 Demo: codcometo A A x A b A x A x A A x x b b A x b A x A x x A b A x A x A A A A x b x A x b A x A A x A b cod A b A x A A A x b A cod A A A A A x A A A b A x x b b A A A x A x A A A b A Volver

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Cosstec y covergec Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí Ejemplo Cosstec Covergec lm x x x A b x x A b x x A b x x A b y A b S No No S y y A b y A b x x x x x x y y A b y A b x x x x x x y 84 Volver

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Acotcó del rdo espectrl Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 85 A A : / A : A A A A x Ax x A x Ax x A / A A UD AUD b b b b b U utr : U AU. Defmos D dg, etoces b b b b b b j j. S elegmos : b, j b j j A UD AUD mx b A Volver j

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Covergec Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí 86 A Covergec lm K x Kx c y x K y x K y x y Ky c A A / A A A A A lm y x lm K y x y x lm x y K Covergec y x K y x y x K y x lm y x lm K y x y x lm x y Covergec K y x K y x y x y x puesto que K K K K y x K y x lm y x lm K y x lm K K Volver K

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Acotcó del error Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí x Kx c y x K y x y x K y x y Ky c Se m x x x x x x x x x x x x x x x m m m m m m m m m m x x x x x x x x x x m m m m m m m como m sere geométrc x x K x x m m m k x x K K K K x x r r m K K K xm x x x K y tomdo límtes 87 lm m K xm x y x x x K Volver

Métodos Numércos Sstems de ecucoes por Césr Meédez Ferádez Demo: Mtrz orml Motvcó Objetvos Temro Cuestoes prevs Ss. L. - Drectos Fctorzcó Codcometo Aplccoes Ss. L. - Itertvos Ss. o leles Puto Fjo Desceso Bblogrfí t t B defd postv x : x Bx x Bx x B : t t t t x : x A A x Ax Ax x x x x Ax x A regulr A BCD A A BC DA BDA BCDA BCDA BC DA BDA A BCD A A B C DA B DA I B C DA B DA k k Volver Volver 88