Análisis y control de un péndulo invertido sobre base móvil

Transcripción

1 6to. Congeso Nonl de Metón, Novembe 8-0, 007 Insttuto Tenológo de Sn Lus Potosí, S.L.P. Asoón Men de Metón A.C. Análss y ontol de un éndulo nvetdo sobe bse móvl Robeto Muuet-Fotz, Pblo Sánhez-Sánhez, Antono Mhu-Cmllo, Fenndo Reyes-Cotés W. Femín Gueeo-Sánhez nd J. Gullemo Cebd-Reyes Unvesdd Autónom de Puebl (F. C. E. & F. C. F. M. - Robots Tem "ooelo" leble@ee.bu.m, m@ee.bu.m, feyes@ee.bu.m Abstt - El objetvo nl de este tíulo es obtene el modelo mtemáto de un éndulo nvetdo tvés del no de otens vtules y hll ls euones no lneles de movmento usndo l fom de Cuhy lo que nos emte obtene los untos de equlbo del sstem, que l se lnelzdo lededo del unto de equlbo nestble, nos sve oone un ontol lnel otml estblzlo lededo de dho unto. El modelo mtemáto obtendo es evludo eementlmente en el éndulo nvetdo dgtl de l emes Feedbk. fuez ut ( lel l guí; est fuez ut ( es l ley de ontol on l que se etende ontol l osón de l vll (fgu []. El éndulo ot sobe un lno vetl lededo de un eje lolzdo en el ento de l bse. I. INTRODUCCIÓN El éndulo nvetdo es uno de los ejemlos más onodos de sstems estblz, fue mlmente estuddo o l ndust eoesl, y hoy en dí todví es un oblem motnte de ontol, y que d vez hy más sstems que ueden omse on este modelo [,]. Además de l ndust eoesl, el modelo del éndulo nvetdo tene lones en dvess áes de l en omo en l botenologí donde se modeln dvesos sstems (mndoes bíedos, etéte [3]; ó en ntomí, donde l ostu y l loomoón hn enontdo muh smltud on l dnám del éndulo nvetdo, donde l osón del e equee del ontol de blne, onsdendo que el blneo esult de est los músulos, lo ul es un to de estblzón lol o elmentón de l dnám nvolud en l osón de e [4]. Aho ben, el nteés sobe el oblem lol del éndulo nvetdo esde en l estblzón de un osón nestble en lzo beto, lo ul onsttuye un oblem de ontol notble que uede se esuelto o métodos lneles, y que en sstems lneles l estblzón de un unto nestble en lzo beto no ofee gn oblem, éstos een undo el sstem es no lnel []. El tíulo está ognzdo de l sguente fom: en l seón se desbe l dnám del ototo elzndo onsdeones que se utlzán en l evluón del sstem; se menon el no de otens vtules, se obtenen ls euones de movmento según l fom de Cuhy y se detemnn los untos de equlbo lnelz el sstem; en l seón 3 se detlln los ámetos del ototo; en l seón 4 se desbe el ontoldo lnel; y fnlmente ls onlusones se untulzn en l seón 5. II. DINÁMICA DEL PROTOTIPO El éndulo nvetdo sobe bse móvl es un sstem fomdo o un vll que g lbemente o uno de sus etemos mednte un tulón stud en un bse to o que se mueve sobe un el etlíneo hozontl bjo l ón de un Fg. Péndulo nvetdo sobe bse móvl. P efetos del nálss, onsdeemos que el sstem bseéndulo es un estutu ígd, es de, es un onjunto de tíuls oblgds emnee dstns eltvs bsolutmente fjs, heho váldo stuones áts [5]. Debdo l ontto ente ls ueds del móvl y l suefe de l guí este un fuez de fón que se oone l movmento, sn embgo, onsdendo que l fón es odud o un sólo ontto l onstón nemát nvolud se uede model omo en un unlo [6]. Ptendo de est onsdeón se oede enont ls euones de movmento del sstem, onsdendo que estmos nte un oblem de ueo ígdo on estones no holonóms de l fom [7]: n j q & j( t + b ( t = 0 ; ( =,,..., m ( j= donde ( qt es el veto de oodends genelzds del sstem de n gdos de lbetd no onsteñdos, que se eduen en númeo o ls m euones de onstón no holonóms. 5

2 6to. Congeso Nonl de Metón, Novembe 8-0, 007 Insttuto Tenológo de Sn Lus Potosí, S.L.P. Asoón Men de Metón A.C. tmbén onodo omo no de Joudn es sml l no de tbjos vtules y fm que ls otens vtules de ls fuezs neles lds en un sstem son eo [8]. Este tene l ventj de noo ntulmente ls onstones no holonóms del sstem Joudn (905 y Kne (96. Ls fuezs que tún en el sstem B-P tvés del dgm de fuezs mostdo en l fgu 4, en el ul vemos que hy un fuez de fón T que se oone l movmento de l bse móvl, l fuez de eón V del el sobe el ul se mueve l bse del éndulo V, el eso ( m + m g del sstem, y l fuez de ontol ut (. Fg. Vst sueo. Fg 3. Esquem de oyeones (vst ltel. S dtmos el sstem bse-éndulo (en lo suesvo B-P l modelo del unlo, tenemos que s l bse móvl B es un unto en el eje que se elge on l msm deón del éndulo y los ejes { eˆ, eˆ } están fjos l sstem on ogen en el ento de ms del sstem omo se muest en ls fgus y 3. Ls onstones no holonóms quedn omo: VB ˆ = 0 ( e V B es l velodd en el unto B ubdo un donde dstn l del ento de ms. S denotmos l velodd del ento de ms o V [ ] T = v, v, y φ, omo l osón ngul del eje ê eltvo l eje, l onstón tom l fom de l euón esl: v lφ & = 0 (3 II-A. Pno de Potens Vtules El método de otens vtules tene l ventj de est eno ls leyes de Newton e ml el álulo de fuezs, eleones y momentos. El no de otens vtules Fg 4. Dgm de fuezs del sstem B-P. P desoll el modelo mtemáto del sstem B-P es neeso defn los sstems de efeen que se utlzán en el nálss; se vn onsde dos sstems de efeen; un sstem fjo S que ve movese l sstem B-P y uno nel S que t del movmento del sstem B-P omo se desbe en l fgu 3. L oentón de S es tl que l velodd lnel de l bse se d lo lgo del eje. P fnes del nálss se suone que en el sstem no hy movmento en l deón z lo que nd que los ejes z y z emneen lelos todo el temo. Así de ls tes oodends genelzds sólo dos son ndeendentes. Hehs ls onsdeones elmnes, se oede obtene ls euones de movmento que detemnn el omotmento dnámo del sstem B-P, on este fn elegmos omo oodends genelzds ls dests o el veto de velodd q& = { v, v, ω}, en este método de nálss ls euones de movmento tomn l fom: V ( M & ω V ( J 0 F + & ω L = q& q& j j (4 donde M = m + m es l ms totl del sstem ubd 6

3 6to. Congeso Nonl de Metón, Novembe 8-0, 007 Insttuto Tenológo de Sn Lus Potosí, S.L.P. Asoón Men de Metón A.C. en el ento de ms. L euón de onstón es: V lω = f( v, ω = 0. donde: u T V P F = + y L = l F L euón (4 qued omo: (5 (6 (7 de to kφ &, que se uede eesent omo módulo de l fom: D = Mglsn( φ = & φsn( φ (3 donde D Mgl = & es un onstnte, ó ben: φ = f & φ (4 donde f sn( φ =. De mne que el esultdo en funón de φ qued de l fom: ( M ve & ˆ+ ve & ˆ ( ve ˆ ve ˆ & + & ( u T + V P vj = 0. ω De est mne s j =, y de uedo on l fgu 4, tenemos que: M v& = M&& = u T. (9 P el so donde j = tenemos: M v = M&& y = V P, & (0 demás, undo j = y de uedo on (5, (8 esult: L eˆ l 3 ( J & ω = 0 ( Susttuyendo L se obtene: J & ω + Mglsn( φ = Vlsn( φ + ( u T los( φ ( (8 J && φ + f & φ = Vlsn( φ + ( u T los( φ (5 En esumen, ls euones que desben l dnám del sstem ls obtenemos susttuyendo los vloes de y y (obtendos en bse l fgu 4 en ls euones (9 y (0 esetvmente, o lo que onsdendo l euón ( y usdo nvblemente = φ tenemos: d u T ( sn = M l (6 d V Mg = M (os l (7 d d J + f = Vlsn + ( u T los (8 II-B. Euones de movmento (fom de Cuhy P ees ls euones de movmento según l fom de Cuhy debemos elmn V de ls euones (7 y (8, sí tenemos: d ( J + Ml sn ( El témno Mgl sn( φ en l euón ( es el toque que se oone l movmento de otón y se debe un fuez dstv que suge dunte el movmento de otón, este toque (denotdo omo D odudo o l fuez dstv d + Ml sn( ( os( Mgl sn( + D = ( u T l os(. P (9 7

4 6to. Congeso Nonl de Metón, Novembe 8-0, 007 Insttuto Tenológo de Sn Lus Potosí, S.L.P. Asoón Men de Metón A.C. Ptendo de l euón (6 tenemos: d d M Ml(os( d + Ml = u T (sn( ( (0 Ls euones de movmento (9 y (0 ueden se eesds omo un euón dfeenl mtl no lnel de segundo oden, esto es: M ( X && + C(, X & + G( = τ (, ( donde ls vbles X, X & y X && son vetoes defndos omo: X =, X& =, X&& = ( M (, C(, & y ( y los oefentes mtes de l fom: M M Mlos( = 0 J + Ml sn ( 0 G = Mgl sn( G son (3 (4 que ontene tnto los témnos de fuezs de Cools de l fom && j omo los témnos de fuezs entífugs de l fom & y se onoe omo mtz de Cools y fuez n entíet; G ( R es el veto de es gvtonles y está fomdo o los témnos sodos l eso de l vll que genen momentos de fuez en l n tulón o l ón de l gvedd; y τ R eesent l veto de es y fuezs etens oduds o el moto ubdo en l bse móvl del éndulo [6]. Resolvendo X && en l euón ( tenemos que: X&& = M ( ( τ G( C(, X&. (7 Puesto que l nves de l mtz M es dstnt de eo y está defnd, l soluón de (7 es: ( X = β 0 M J + Ml sn Mlos && (8 donde β es un veto defndo omo: β = ( u T Mlsn & ( u T los ( & Ml sn ( os ( & sn f + Ml (9 Resolvendo el oduto ente ls mtes, eduendo témnos y sendo el veto X && en sus omonentes, obtenemos: C 0 Ml sn( =. 0 Ml sn( os( El ldo es un veto de l fom: (5 && ( u ( T µ sn( 4 = J + Ml sn ( + los( ( µ gsn( f 4 (30 u T τ =. ( u T los( D (6 L euón ( está fomd o los sguentes elementos: n n M ( R mtz que ontene los ámetos de ne y es llmd mtz de momentos de ne o n n smlemente mtz de ne; C (, & R mtz && (os( l ( u T µ sn( 4 = J + Ml sn ( + µ gsn( f (6 J donde l m+ m 4 = + y µ = ( m + m l. (3 8

5 6to. Congeso Nonl de Metón, Novembe 8-0, 007 Insttuto Tenológo de Sn Lus Potosí, S.L.P. Asoón Men de Metón A.C. Ests dos euones de segundo oden defnen onjuntmente un sstem de uto oden, l euón uede eduse más ntoduendo los mbos de vbles y en témnos de ls nuevs vbles odemos esb ls euones nteoes omo un onjunto de euones dfeenles de me oden, esto es: = 3 (3 & = 4 (33 ( u ( T µ sn( 4 3 = J + Ml sn ( + los ( µ sn( f 4 (34 El sstem de euones (36 lo odemos eesb omo: 3 4 ( ( µ 4 sn( + l os( ( µ sn( 4f & = + u ( T ( os( l ( µ 4 sn( + µ g sn( 4f + los( ( u T (38 & ( los( ( u T µ sn( 4 4 = J + Ml sn ( + µ gsn( f 4 (35 donde = + sn (. J Ml P el so undo τ = 0, es de, undo tenemos un sstem no ontolble uy funón f ( tene untos de equlbo tles que f( = 0, tenemos: En fom omt tenemos un eesón de l fom: = f (,,,, u ( nπ = y = (39 on = 4,. II-C. Puntos de equlbo del sstem Intutvmente sbemos que en el sstem B-P tenemos dos untos de equlbo, uno estble que está en l osón olgnte, y oto nestble que se enuent en l osón vetl desed. Así los untos de equlbo de l euón (36 son ls íes de l euón: II-D. Lnelzón del sstem El sguente so onsste en lnelz el sstem de euones desto en (38 lededo del unto de equlbo nestble lndo el teoem de Tylo vs vbles [9], obtenendo omo esultdo un eesón de l fom: y& j 4 f ( u, y f( u, u = + u s j ( eq ueq j ( eq ueq = = on j = 4,, donde los témnos: (40 f( = 0 (37 f (, u j ( eq ueq (4 9

6 6to. Congeso Nonl de Metón, Novembe 8-0, 007 Insttuto Tenológo de Sn Lus Potosí, S.L.P. Asoón Men de Metón A.C. fomn l j -ésm fl de un mtz (suongmos un mtz A y el témno: f (, u u j ( eq ueq (4 fomn l j -ésm fl de ot mtz B ; de tl mne que l lnelzón esult en un eesón del to: y& = Ay+ Bu (43 y & = ( y& y& y y ( y y4 on 4 Evlundo ls devds tenemos: = y y y& = µ lg lf + u ( J J y 3 J µ g f y 4 l 0 0 J J J III. DESCRIPCIÓN DEL PROTOTIPO El sstem es un éndulo nvetdo on bse móvl de l emes feedbk que se deslz sobe un el, fgu 5, uent on su et de oten y un omutdo entum IV GHz on doble oesdo elz el ontol. Los ámetos ooondos o l emes Feedbk; fbnte del éndulo nvetdo U ; son los sguentes: Tbl. Pámetos del fbnte Constnte Unddes Vlo Constnte µ Kg m Constnte de gvedd g m s Momento de ne J Kg m Fón del éndulo f Kg Constnte m s m Constnte l m Fón de Coulomb FC N Fón estát FS N IV. DISEÑO DE UN CONTROL LINEAL P dseñ el ontoldo lnel otml se utlz el esquem ouesto en [0], suonendo que se uent on el ontol el desblneo, lo que est es enont un ontol estblz el éndulo en el ogen. Susttuyendo los vloes de l tbl I en l euón (45 tenemos: y& ( y(4 = ( y3( (3 y4 0(6 0(7 + u ( (9 (45 y L estutu de l ley de ontol que se oone es l sguente: u = Ky( t. (46 Fg 5. Péndulo nvetdo sobe bse móvl U de Feedbk L mtz de gnns K l odemos onstu usndo el ogm Mtlb, lo ul usmos l nstuón: K=lq(A,B,Q,R, y que onoemos A y B y ls 0

7 6to. Congeso Nonl de Metón, Novembe 8-0, 007 Insttuto Tenológo de Sn Lus Potosí, S.L.P. Asoón Men de Metón A.C. mtes Q y R ls elegmos omo: Q= y R= [] (47 sí tenemos: Fg 6. Smulón del modelo. K = [ ] (48 Po lo tnto l ley de ontol según l euón (46 es: u = [ ] y (49 V. CONCLUCIÓN Como odemos ve de l fgu (, que l esuest del sstem oesonde un movmento desedo y tende lnz el equlbo en un temo zonblemente equeño. Podemos onlu que on el nálss lntedo y el ontol ouesto ubdo en l vendd del unto de equlbo nestble, l esuest del sstem es stsfto. l susttu l euón (45 en l euón (46 esult y& = ( A BK y = G, donde: G = los egenvloes de G son: [ ] (50 (5 estos egenvloes tenen te el negtv, de modo que el sstem dnámo B-P lededo del unto de equlbo y = [0000] T, tenen omotmento sntótmente eq estble en onodn on el teo de Huwtz []. S susttumos l ley de ontol (49, en el sstem de euones no lnel ognl (38 usndo el modelo de fón de uedo [] on oefentes que een en l tbl I y se gf onsdendo ondones nles ens l unto de ( = 0, = 0., = 0, = 0 equlbo, o ejemlo 3 4 odemos vsulz el omotmento del sstem lededo de dho unto (fgu 6. REFERENCIAS [] J. Al, F. Godllo, El Péndulo Invetdo: Un Desfío el Contol No Lnel, Esuel Sueo de Ingeneos, Unvesdd de Sevll, CEAIFAC, 005 [] G. Píz M, J. G del Pdo, L. Rodguez Cd, Toologí de ess, Métodos de Ausultón, Cento Unvesto de Méd, Unvesdd de Etemdu, Julo de 000 [3] K. Ogt,.Teoí de Contol y Sstems Dnámos. (C. 3, Pente Hll Hsnomen. [4] Kl J. Amstong, Dnel J. Blok y Mk W. Song, El éndulo on volnte de ne, Detmento de Contol Automáto, Colego de Ingeneí en Sstems de Contol y Lbotoos Centífos Coodndos, del Insttuto Tenológo de London, Unvesdd de Illnos en Ubn-Chmng esetvmente, C., 00. [5] Jey B. Mon, Dnám Clás de ls Ptíuls y Sstems, C., Pgs , Revet e,s.a., Es.n, 984. [6] Pt Mellodge, Abstón de Modelos en Sstems Dnámos: Alón Contol de Robots Mobles, Tess Dotol, Insttuto Tenológo de Vgn, 007 [7] Hebet. Goldsten, Chles Poole y John Sftko, Clssl Mehns, Addson Wesley, 3. edón, C., Sn Fnso, 00. [8] Ronld L. Huston, C. Q. Lu, Fomuls fo Dynm Anlyss, CRS Pess, Chte 0, 00. [9] Wtson Fulks, ADVANCED CALCULUS, An Intoduton Anlyss., John Wley & Sons In., C. 0, Pg. 30-3, EEUU, 969. [0] Mk W. Song, Swng U Contol of the Aobot Usng Ptl Feedbk Lnezton, Coodnted Sene Lbotoy, Unvesty of Illnos t Ubn-Chmgn, 994. [] V. V. Alendov, S. I. Zlohevsk, R. Reyes Sánhez, H. Slz Ibgddotuen, Intoduón l Modelón Mtemát de los Sstems Contolbles., C., Pg. 47, BUAP, Puebl, 000. [] Rfel Kelly y Víto Sntbáñez, Contol de Movmento de Robots Mnuldoes., PEARSON EDUCACI ON, S. A., Pg. 8-83, Mdd, 003.