UNA INTRODUCCIÓN PRÁCTICA A LA TEORÍA DE PORTAFOLIOS Y EL CAPITAL ASSET PRICING MODEL *

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1 UNA INTRODUCCIÓN PRÁCTICA A LA TEORÍA DE PORTAFOLIOS Y EL CAPITAL ASSET PRICING MODEL * Julio A. Smiento Sbogl ** Edgdo Cyón Fllón *** Cundo pensmos en un cción como pte de un potfolio de mecdo, podemos dividi el iesgo totl de l cción en dos ptes, en iesgos sistemáticos y no sistemáticos. Como y se h demostdo en l teoí de potfolios, es posible divesific el iesgo no sistemático de est cción medinte l comp de ots cciones o de otos títulos de vlo. En pocs plbs, jmás pong todos los huevos en l mism cnst. A medid que gegmos más cciones o títulos de vlo nuesto potfolio, el iesgo debe disminui, y est disminución de iesgo se le conoce como divesificción. * Este documento hce pte de los esultdos del poyecto de investigción Ccteizción de los modelos de vloción en Colombi , finncido po l Pontifici Univesidd Jvein. ** Especilist en Geenci Finncie de l Pontifici Univesidd Jvein, 001; Administdo de Empess de l Pontifici Univesidd Jvein, Pofeso, Deptmento de Administción, Fcultd de Ciencis Económics y Administtiv, Pontifici Univesidd Jvein. Coodindo cdémico especilizción en Geenci Finncie, FCEA Pontifici Univesidd Jvein. Coeo electónico: smien@jvein.edu.co *** BS Economics nd Finnce, Sycuse Univesity, MBA McGill Univesity, Montel, Cndá, 001. Assistnt Pofeso, Mngement Deptment FCEA Pontifici Univesidd Jvein. Coeo electónico: ecyon@jvein.edu.co 7

2 Infotundmente, unque tengmos tods ls cciones y títulos de vloes posibles en nuesto potfolio, siempe v existi un pequeñ poción de iesgo, l cul (que siempe existe y no es posible divesific) se le llm iesgo sistemático no divesificble o de mecdo. A este iesgo lo deteminn ls condiciones extens que fectn el mecdo como un todo (un ejemplo pueden se ls cisis económics, ls gues, cmbios geopolíticos, etc.), po eso cd vez que se piens en iesgo sistemático, es más fácil efeise l iesgo de mecdo. Lo que conseguimos divesific es el iesgo no sistemático, iesgo único o de l cción como tl, un iesgo que petenece l cción o l título de vlo (un ejemplo puede se l ml geenci en un empes, que puede llevl l bncot, cmbios tecnológicos que fectn l cden de vlo o el secto de l empes como un todo, l posibilidd de bncot, etc.), po es zón, cd vez que se hble de iesgo no sistemático, es más fácil pens en él como el iesgo de l cción. Este iesgo de l cción es el que se mide con bet. El ß de un cción (definmos l cción como R ) se clcul po medio de l siguiente metodologí detlld en ls siguientes fómuls: Figu 1 Pocedimiento p el cálculo del Bet σ m β = σ m σ = Covinzdelcciónconel mecdo= ρ Donde: ρ m m m Entonces podemos deci que: del siguientemne: * x m T σ m = T 1 β puedeoscilente- y +, po definiciónel β del mecdoes 1,l tslibedeiesgoβ = 0 El vlo de = coelción delcciónconel mecdo σ = desviciónestánddelcción σ = desviciónestánddel mecdo m σ m = vinzdel mecdo(simplemente desviciónestnddl cuddo) T = númeodeobsevciones es lvibleindependiente y es lintecepci ón y = β,o seque = α + β x m σ β = ρmx σ m Lcovinzdel mecdoy lcción,sí comolvinzy desviciones estndddel mecdoy delcción medise puedenclcul σ m = σ m = σ m ( m T T 1 ) m m σ = σ = σ m xσ xσ en econometí nuestoβ es simplement e el coeficient e deegesiónlinel,o modelodemecdodondesimplement e lvibledependient e,o enálgebloqueseconocecomoy = b + x,dondeb m. ( m T 1 T ) 8

3 P entende cuál es el poceso p clcul un ß, se necesit tene un seie históic de etonos pocentules de l invesión l que le desemos detemin ß y un seie históic con ls misms obsevciones que l nteio de los etonos pocentules del poxy 1 del mecdo, que se eflej po medio de un índice compuesto (ejemplos de índices de mecdo son el índice genel de l bols de Colombi IGBC, si se dese medi cciones Colombins; el S&P 500 p cciones estdounidenses, o índices sectoiles, si se dese medi iesgo de secto específico). En el Ejemplo 1 se detlln los etonos pocentules históicos ( ) de un fondo de vloes ficticio llmdo Mgllnes (que denominemos ) y los etonos pocentules con igul númeo de obsevciones p el mismo peíodo del S&P 500 (que denominemos m ). El ejemplo detll pso pso todos los cálculos necesios p sc ls vinzs, desviciones estánd, covinz y finlmente el ß de Mgllnes. Más delnte explicemos con más detlle cuál es el impcto de ß, en l constucción del CAPM o modelo de fijción de pecios de ctivos de cpitl, cómo continución se detll en el Ejemplo 1: Ejemplo 1 Cálculo del CAPM del fondo de vloes Mgllnes COLUMNA No. 0 1 Fondo de Ts libe de Año Vloes iesgo Mgllnes Indíce de mecdo S&P ,0% 0,37% 5,91% ,0% 100,13% 39,73% 198 6,0% -0,68% -13,08% ,0% 87,70% 44,04% ,0% 8,77% 8,60% Pomedio: 6,0% 43,6% 17,04% Sumtoi: INFORMACION BASICA 16,9% 85,0% CALCULO DE VARIANZA Y COVARIANZA COLUMNA No FORMULA 1-(43.6%) -(17,04%) 3^ 4^ 3*4 (Rendimiento (Rendimiento Año Mgllnes)- Mecdo)- Cuddo Cuddo Pomedio Pomedio column 3 column 4 Acciones Mecdo Poductos cuzdos de 3* ,89% -11,13% 5,4% 1,4% 0, ,87%,69% 3,34% 5,15% 0, ,94% -30,1% 19,31% 9,07% 0, ,44% 7,00% 19,75% 7,9% 0, ,49% -8,44% 11,89% 0,71% 0, Vinz Mgllnes 17,71% Vinz del Mecdo 4,69% Covinz 0, CALCULO DEL CAPM Desvición estnd Mgllnes Desvición estnd Indice Coelción Bet Retono espedo CAPM: 4,08% 1,66% 0, , ,34% 1 L necesidd de utiliz un poxy se deiv de l imposibilidd en l páctic de clcul un índice que pued medi el mecdo como un todo y que pued bc tods ls tnscciones que ocuen en un economí competitiv y que esto es computcionlmente imposible. 9

4 Como se puede ve en el Ejemplo 1, estos cálculos pueden se un poco dispendiosos, y que en l elidd se equieen, como mínimo, sesent obsevciones p obtene esultdos que tengn cieto significdo estdístico o p que el modelo de mecdo teng vlidez. Si utilizmos culquie hoj de cálculo en el computdo p inges l infomción de y m, podemos obtene l siguiente infomción y honos el tiempo que se gst con el método lgo del Ejemplo 1. A continución, el Ejemplo detll los esultdos de un egesión linel po medio de Excel. Este enfoque nos pemite obtene infomción muy vlios que nos yud medi l eficci del modelo que estmos tbjndo. Ejemplo Significnci del modeleo CAPM p Mgllnes Estdístics de l egesión Coeficiente de coelción múltiple 0, Coeficiente de deteminción R^ 0, R^ justdo 0, Eo típico 0, Obsevciones 5 ANÁLISIS DE VARIANZA Gdos de libetd Sum de cuddos Pomedio de los cuddos F Vlo cítico de F Regesión 1 0, , , , Residuos 3 0, , Totl 4 0, Coeficientes Eo típico Estdístico t Pobbilidd Intecepción 0, , , , Vible X 1 1, , , , L vible X1 es l mism que el ß que clculmos en nuesto Ejemplo, R nos dice que el 91,50% de ls veces l vible independiente m explic nuest vible dependiente. Y el eo típico de vible X1 nos d el t-estdístico, el cul se obtiene dividiendo ß ente el eo típico (1,8581/0,3695) = t-estdístico de 5,68, que nos dice que ls vibles sí tienden un tendenci line (existe tendenci line con un nivel de confinz del 95% pti del 3,18 p 3 gdos de libetd, númeo que sle de culquie tbl t de un libo de estdístic). Igulmente se puede utiliz l pueb p, donde Excel nos d el f-cítico o el comúnmente conocido vlo p, que en este cso es meno que nuesto p-cítico de 0,05, y nos dice que si existe un elción line l 95% de confinz (p-cítico = 1-95% = 0,05), nuest egesión sive como modelo de ponóstico en el pocentje justdo de nuesto coeficiente de deteminción (en este cso el 88% de ls veces l egesión o el modelo de mecdo explic los esultdos). 10

5 Además, el modelo de mecdo nos pemite un intepetción especil con especto ß, y que cd vez que el mecdo se muev 1% p ib, el fondo Mgllnes se debe move un 1,85%. L elción ente los etonos de l cción y del mecdo se puede demost tvés de l líne ccteístic, que es simplemente l gáfic X y Y, donde X son los etonos de l cción ( ) y Y son los etonos del mecdo ( m ) (vése líne ccteístic). Gáfico 1 Líne ccteístic Mgllnes 10,00% 100,00% Fondo de vloes Mgllnes 80,00% 60,00% 40,00% 0,00% 0,00% -0,00% -10,00% 0,00% 10,00% 0,00% 30,00% 40,00% 50,00% -0,00% Retono S&P El ß es simplemente l pendiente de nuest líne de tendenci, y como sbemos que ß es l tendenci de incemento de iesgo y el ß del mecdo es igul uno, podemos lleg ls siguientes conclusiones: ß>1. L cción es gesiv y que tiene un iesgo myo que el mecdo. ß=1. L cción es el potfolio del mecdo. ß<1. L cción es defensiv o consevdo, es deci, tiene meno iesgo que el potfolio del mecdo. 11

6 Del modelo de mecdos su nombe se deiv del hecho de que un de ls vibles ( m ) siempe v se un poxy del mecdo se deiv el CAPM (Shpe, 1964). Los supuestos en los que se bs el modelo son los siguientes: Los mecdos son pefectos. Todos los invesionists tienen l mism infomción. Todos los ctivos son líquidos. No hy costos de tnscción ni hy impuestos. Se puede jug l bj, siempe pidiendo pestdo l ts libe de iesgo. Ls decisiones de comp y vent de vloes no fectn el mecdo. Tods ls cntiddes de ctivos son dds y fijs. Bsdo en estos supuestos y considendo que todos los invesionists tienen cceso l potfolio de mecdo, el CAPM estblece que el etono de l cción o del título de vlo de iesgo sólo depende del iesgo único o sistemático. El etono espedo de l cción y su iesgo único se dn po medio de l ect de mecdo de vloes, donde: R = R f + ß (R m - R f ) L ect de mecdo de vloes es simplemente el etono de tods ls cciones existentes con especto su ß como X y R como Y: Gáfico Rect del mecdo de vloes 60,000% Retono de ls cciones del mecdo 50,000% 40,000% 30,000% 0,000% 10,000% 0,000% 0 0,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 Bets de ls cciones del mecdo 1

7 Donde R = etono espedo de l cción, R f = l ts libe de iesgo (en el Ejemplo se denot un poxy de l ts libe de iesgo nulizd po el mismo peíodo de l medición del modelos mecdos) ß del iesgo de l cción. En este modelo el popósito es vlo y no hce ponóstico. P el ponóstico se utilizn ots seies de hemients que seán pesentds después. Siempe que utilice el CAPM, ecuede que p ello debe coe el modelo de mecdo como se pesentó nteiomente. Y todos los componentes (los etonos) deben se compdos en los mismos téminos (si son ños, todos los etonos en ños, si son meses, todos los etonos en meses y sí sucesivmente). P constui l ect de vloes de mecdo se comienz con l intecepción, que es simplemente l ts libe de iesgo, y que el iesgo (desvición estánd) de est ts es ceo y, po lo tnto, su ß, bsdo en ls fómuls nteioes, debe se ceo. Utilizndo el Ejemplo de Mgllnes podemos deci que R m (que se expes en pomedio nul) = 17,04% y que R f (tmbién en pomedio nul) = 6,0%. Si ß = 1,85, entonces nuesto etono espedo según el CAPM debe se: 6,0%+1,85(17,04%-6,0%) = R = 6,34% Si tommos en cuent que el etono históico pomedio de Mgllnes es del 43,6%, podemos deci que Mgllnes está sobevlodo y que, según el CAPM, su pecio debe bj si se cee en el modelo y l esttegi seí vende ho. Si el etono históico de Mgllnes fue meno, se dií que está subvlodo y l esttegi (gosso modo) seí comp más cciones, esto si ceemos que el CAPM d el pecio coecto cundo el mecdo se encuent en equilibio. P que el modelo funcione se deben cumpli sus supuestos, lo cul, sbemos, es imposible en culquie escenio de l vid el; peo un modelo mlo es pefeible que ningún modelo, y su plicción nos puede d un ide de hci qué diección se mueve el mecdo y del iesgo de l cción como tl. Tmbién nos d un pequeñ ide de l elción (l coelción) del mecdo con l cción en que queemos inveti. En l póxim sección discutiemos cómo medi el desempeño de un potfolio utilizndo el CAPM. Not de los utoes: ddo que hst los títulos de ent fij emitidos po píses sobenos contienen un mínim poción de iesgo, es pácticmente imposible que exist un ts libe de iesgo, po consiguiente, se utiliz como poxy tss de emisiones sobens, y que los gobienos siempe pueden emiti moned p espld sus títulos en sus espectivs moneds. 13

8 Evlución de desempeño utilizndo el CAPM Como todos sbemos, p que un invesión se buen l tenemos que medi cont lgo que nos indique que fue supeio ots opciones del mecdo. Cundo se mnejn o se hcen invesiones fvo de un teceo, esto sive p demost que usted tiene un conocimiento supeio los demás, en cunto invesiones se efiee. El etono de un invesión no bst como efeenci, y que esto se puede tibui cuss económics o situciones especiles de mecdo, que hgn que es invesión pezc tctiv cundo en elidd nos podemos enfent con un coyuntu especil de mecdo. En pocs plbs, los movimientos fvobles en l economí nos fectn todos po igul y no específicmente l invesionist, que dice que su fómul es l que funcion y po eso tuvo un buen etono en su invesión. Po ejemplo, un comisionist le puede deci usted que el potfolio que él ofece supe en endimiento l índice genel de l bols de Colombi y que, po lo tnto, su desempeño es supeio. Esto es un flci, y que como hemos demostdo el potfolio del invesionist debe tene un iesgo muy difeente l índice genel de l bols de Colombi. P pode complos efectivmente debemos sbe pimeo si tienen el mismo iesgo (medido po ls espectivs desviciones estánd de cd uno, y que ésts denotn l vibilidd de cd ctivo), poque si no es sí, un posible cus de etono supeio es que el comisionist tom más iesgo p log ese myo etono. De nuest sección nteio sbemos que el etono espedo de l cción, tomndo en cuent iesgo y mecdo, puede se clculdo utilizndo el CAPM. Esto se puede hce po múltiples peíodos, substyendo el etono espedo pomedio del esultdo que nos oj el CAPM. A este esultdo se le llm etono noml. = β [ + )] f ( m f 14

9 Donde = etono noml espedo, = etono de l cción pomedio espedo y el esto es el CAPM como lo conocemos (si tenemos en cuent que todos sus componentes son los pomedios históicos de ls obsevciones espectivs). Si ecuedn nuesto ejemplo de l sección nteio (ejemplo Mgllnes), el etono espedo según CAPM e 6,34% y el pomedio históico, 43,6%. De est mne 43,6%-6,34% = +16,9%, que es nuesto etono noml. Esto nos quiee deci que Mgllnes se h desempeñdo un nivel supeio l que se espeb y el comisionist que lo mnej sí h hecho bien su tbjo. Ot mne de defini desempeño es usndo como bse los etonos en exceso sobe l ts libe de iesgo, tnto p el mecdo como p l cción, y el etono pomedio en exceso de ést. P ello se coe el modelo de mecdo, fin de clcul el ß con los siguientes justes l fómul de modelo de mecdo, detlldo en ls fómuls dds continución (el juste se hce medinte l substcción de l ts libe de iesgo ls obsevciones eles de etono del mecdo y ccionio): Figu Pocedimiento p el cálculo del CAPM usndo etonos en exceso P clcul el CAPM en téminos de etono en exceso de l ts libe de iesgo los siguientes justes l CAPM : ( f ) * ( m - f ) ( f ) x( m - f ) σ T m = T 1 ( ( ) ( ( )) ( ) m - f ( ) f σ m - f T σ f T m = T 1 = T 1 σ m = σ σ σ m = m se hcen Cuál es l ventj que ofece este enfoque? Un de ls ventjs es que en l elidd ls tss de inteés (ls que utilizmos como poxy p libe de iesgo) tienden cmbi de un momento oto. Este enfoque nos pemite tom en cuent este cmbio. Entonces, difeenci del enfoque que utiliz los etonos bsolutos, éste cptu l vibilidd de l ts libe de iesgo medid que en ést psn los cmbios. Tmbién, l utiliz este enfoque, l intecepción del modelo de mecdo es el etono pomedio noml, que elimin l necesidd de hce cálculos ext. Utilizndo el 15

10 Ejemplo 1, desolldo pso pso, y el Ejemplo, desde l óptic de etonos nomles, obtenemos el siguiente esultdo: Ejemplo 3 Cálculo del CAPM de Mgllnes usndo etonos en exceso INFORMACION BASICA COLUMNA No. 0 1 Año Ts libe de iesgo Fondo de Vloes Mgllnes Indíce de mecdo S&P ,0% 0,37% 5,91% ,0% 100,13% 39,73% 198 6,0% -0,68% -13,08% ,0% 87,70% 44,04% ,0% 8,77% 8,60% Pomedio: 6,0% 43,6% 17,04% Sumtoi: 16,9% 85,0% COLUMNA No FORMULA (37,06%) 4-(10,84%) 5^ 6^ 5*6 (Rendimiento (Rendimiento Año Indíce en exceso Mecdo Mgllnes en exceso de Mgllnes)- Exceso)- Cuddo Cuddo column exceso de libe libe de Pomedio Pomedio column 3 4 de Riesgo iesgo exceso Exceso Acciones Mecdo Poductos cuzdos de 3* ,17% -0,9% -,89% -11,13% 5,4% 1,4% 0, ,93% 33,53% 56,87%,69% 3,34% 5,15% 0, ,88% -19,8% -43,94% -30,1% 19,31% 9,07% 0, ,50% 37,84% 44,44% 7,00% 19,75% 7,9% 0, ,57%,40% -34,49% -8,44% 11,89% 0,71% 0,09108 Pomedio: 37,06% 10,84% Vinz 17,71% Vinz del Mecdo 4,69% Covinz 0, Desvición estnd Mgllnes Desvición estnd Indice Coelción Bet Intecepción Retono espedo CAPM CALCULO DEL CAPM CALCULO DE VARIANZA Y COVARIANZA 4,07931% 1,661768% 0, , ,915% 6,34% 16

11 Ejemplo 4 Significnci del modelo CAPM p Mgllnes usndo etonos en exceso Estdístics de l egesión Coeficiente de coelción múltiple 0, Coeficiente de deteminción R^ 0, R^ justdo 0, Eo típico 0, Obsevciones 5 ANÁLISIS DE VARIANZA Gdos de libetd Sum de cuddos Pomedio de los cuddos F Vlo cítico de F Regesión 1 0, , ,9906 0, Residuos 3 0, , Totl 4 0, Coeficientes Eo típico Estdístico t Pobbilidd Intecepción 0, , , , Vible X 1 1, , , , Los dtos son esencilmente los mismos, el único que ví es l intecepción, que nos d el etono noml. L infomción obtenid nos demuest que Mgllnes exhibe un desempeño supeio su mismo nivel de iesgo. A continución detllmos cuáles son los pincipios p confom un ctivo sintético o lo que comúnmente denominmos un potfolio de invesiones. Pequeñ not explictiv sobe l confomción de potfolios A pes de que en el mecdo hy cientos de cciones y difeentes instumentos de invesión, no siempe es posible encont l invesión que exctmente se dese. Po eso es posible que muchos invesionists no encuenten un invesión p sus niveles desedos de iesgo (clo está en l busc de un etono myo). Si el invesionist no quiee mucho iesgo, puede escoge un título de vlo del gobieno. Los que quien tene más iesgo po l pomes de un etono myo en l invesión debeán escoge ls cciones que ofece el mecdo. Sin embgo, el invesionist que quie un iesgo y etono modedo no los podá encont dento de ls ltentivs existentes; po ese motivo existen los potfolios de invesiones, y que medinte l combinción de difeentes títulos de vlo el invesionist puede confom su invesión como l desee. Po ejemplo, quellos que deseen un nivel de iesgo modedo pueden confom su potfolio con CDT, moned extnje, cciones, etc. Así, po medio de este sistem, el invesionist puede log l combinción que se más de su gdo y de est mne eplic el nivel de iesgo y etono desedo. 17

12 Los potfolios se fomn dividiendo un cpitl en el númeo de invesiones deseds. A mne de ejemplo, supong que tiene un cpitl de COP $ y lo divide de mne que COP $ queden en un CDT; $ , en cciones de Coltbco, y COP $ , en cciones de Avinc. Entonces se puede deci que está invitiendo el 30% de mi cpitl en un CDT, el 40% en Coltbco y el 30% en Avinc. Como l myo cntidd de dineo está invetid en cciones de Coltbco, podemos deci que los movimientos de mecdo en ls cciones de Coltbco son ls que tendán myo influenci en el etono globl de su potfolio. Expesdo de ot mne, ests fcciones de dineo invetido es lo que comúnmente se llm pesos de potfolio (de ho en delnte utilizemos l noción x p efeinos l peso de potfolio específico). Ddo que todo el cpitl debe se dividido en los títulos desedos, los pesos de potfolio siempe deben sum uno o 100%. P el potfolio que utilizmos en nuesto ejemplo: X CDT + X Avinc + X Coltbco = 0,30 + 0,30 + 0,40 = 1 Y est ccteístic es indispensble y l únic condición p stisfce el pincipio de confomción de potfolios. Esto es, p que un potfolio se vible los pesos de potfolio siempe deben sum uno. Cómo se seleccion un potfolio y qué se debe tene en cuent p ello? P seleccion un potfolio óptimo se deben tene en cuent los siguientes psos: P pode escoge el mejo potfolio o el potfolio óptimo se debe comenz po tene clidd en l elción iesgo-etono del invesionist. Esto se log peguntndo el nivel de etono desedo del invesionist o especificndo el nivel de iesgo desedo. De est mne, el poceso de selección está oientdo encont el potfolio que más se juste los citeios desedos. Po ejemplo, si el invesionist dese gn un 0% efectivo nul, el seso finncieo debeá encont un potfolio que se juste con el meno iesgo posible este etono desedo. 18

13 El siguiente pso es seleccion los títulos de vlo que integán el potfolio. Esto depende netmente de ls pefeencis individules del invesionist. Si, po ejemplo, éste quiee un potfolio bsdo en l vloizción de cciones (gnncis de cpitl), se escogen cciones que pguen pocos dividendos. Si el cso es l contio, el invesionist dese un flujo de efectivo constnte, se escogeán cciones y títulos que pguen dividendos puntules o cupones de inteés. Un vez se hn selecciondo los títulos coespondientes, se ecopil l infomción históic. Con est infomción clculmos l estdístic coespondiente cd título en cunto etono y iesgo (siempe hce los cálculos tomndo en cuent el hoizonte desedo del invesionist si es diio, mensul, nul, etc.). Con est infomción se confomn un seie de potfolios. El etono espedo y el iesgo p estos potfolios se clcul y de est mne se escoge el potfolio óptimo. Cálculo de l estdístic necesi p confom nuestos potfolios Hy dos métodos p clcul ls estdístics del potfolio. En el pimeo se tomn los etonos históicos de ls cciones que confomn el potfolio. El siguiente pso es epoduci un potfolio históico de cuedo con ests seies. Po ejemplo (vése Ejemplo 5) p clcul el etono del potfolio del dí 1 se utilizon los pesos signdos 0,3(0,93%) + 0,3(1,159%) + 0,4(-0,8%) = 0,37%, el cul es el etono históico del potfolio p ese dí. Un vez se epoducen los etonos históicos p el potfolio, se pomedin éstos (con esto deteminmos R p o el etono espedo del potfolio) y l desvición estánd del potfolio se clcul como lo hemos venido hciendo. 19

14 Ejemplo 5 Método 1 p clcul el etono y l desvición de un potfolio Metódo Dí Coltbco Bncolombi Éxito Retono Potfolio Potfolio - pomedio potfolio Cuddo column 5 1 0,93% 1,159% -0,8% 0,37% - 0,0175 0, ,114%,991% 0,04% 0,6447% - 0, ,08481E ,000% 7,079% 6,83% 4,8530% 0,0355 0, ,099% 8,641% 3,10% 3,9061% 0,0308 0, ,076% 0,136%,01% 0,8985% - 0, ,8905E ,034% 0,134% 7,835% 4,3841% 0,0786 0, ,44% 0,065% -1,058% 0,336% - 0,0174 0, ,05% -0,93%,58% 0,7608% - 0, ,00538E ,349% -1,943% 0,79% -0,3667% - 0, , ,557% 0,000% 0,11% 0,515% - 0, , Retono pomedio potfolio= 1,5978% Sum= 0, Vinz= 0, Desvición= 1,8630% El potfolio se compone de 30% Coltbco, 30% Bncolombi y 40% Éxito El segundo método es mucho más dispendioso, peo nos pemite tene más infomción sobe nuesto potfolio e implic utiliz tods ls estdístics que hemos visto y ce un pequeñ mtiz con ls estdístics que tenemos (vése Ejemplo 6). El etono espedo del potfolio es simplemente el pomedio pondedo del etono pomedio de cd cción de cuedo con su peso en el potfolio. Po ejemplo (ve cudo ) se utilizn los etonos pomedios históicos con sus espectivos pesos signdos 0,3(0,659%)+0,3(1,733%)+0,4(,01%) = 1,598%, que es el etono espedo según el pime método. P clcul l vinz del potfolio se utiliz l siguiente fómul: n n n σ = X p σ 1 + X X σ σ ρ i i i j i j ij i = 1 i= 1j = i + 1 Donde X = pocentje de dineo invetido en l cciones que compongn el potfolio l cuddo i σ = vinz individul de cd un de ls cciones que compongn el potfolio. X i = pocentje de dineo invetido en l cción coespondiente. i X = pocentje de dineo invetido de l i j de ls cciones que compongn el potfolio. j σ σ ρ = ls covinzs coespondiente ls cciones que teng el potfoloio de i j i j ij 0

15 L fómul se ve complicd, peo un vez se entiende cómo se utiliz es eltivmente simple. El seceto está en entende que p N númeo de cciones siempe v existi un númeo limitdo de coelciones y covinzs. El númeo de coelciones y covinzs se detemin con l fómul n(n-1)/. P nuesto ejemplo (n = 3 númeo de cciones) est fómul qued 3(3-1)/=3, es deci, p tes cciones deben existi tes covinzs. De cuedo con l infomción que tenemos (vése Ejemplo 6). Ejemplo 6 Método p clcul el etono y l desvición Método Dí Coltbco Bncolombi Éxito Coltbco- Pomedio Bncolombi- Pomedio Éxito-Pomedio Cuddo 4 Cuddo 5 Cuddo 6 Poducto cuzdo 4 y 5 1 0,93% 1,159% -0,8% - 0,0037-0, ,048 1,33861E-05 3,98E-05 0, ,0000-1,114%,991% 0,04% - 0,0177 0,0158-0,000 0, , , , ,000% 7,079% 6,83% - 0,0066 0, ,046 4,347E-05 0, , , ,099% 8,641% 3,10% - 0,0056 0, ,0101 3,13831E-05 0, , , ,076% 0,136%,01% - 0,0074-0, ,0000 5,40379E-05 0, ,1934E-11 0, ,034% 0,134% 7,835% 0,0337-0, ,0563 0, , , , ,44% 0,065% -1,058% 0,0176-0, ,036 0, , , , ,05% -0,93%,58% - 0,0063-0,0665 0,0038 4,0339E-05 0, ,4584E-05 0, ,349% -1,943% 0,79% - 0,0031-0, ,019 9,60468E-06 0, , , ,557% 0,000% 0,11% - 0,0010-0, ,0199 1,0434E-06 0, , ,0000 Retonos= 0,659% 1,733%,01% Sum= 0, , , , Retono potfolio= 1,5978% Vinz= 0, , , Desvición= 1,39909% 3,314%,87574%, % Covinz: - 0, Covinz Acción Retono Desvición Vinz % Coltbco 0,659% 1,39909% 0, , , , % Bncolombi 1,733% 3,314% 0, , , , % Éxito,01%,87574% 0, , , , Desvición estánd potfolio: 0, ,8630% El potfolio se compone de 30% Coltbco, 30% Bncolombi y 40% Éxito Eficienci del efecto de divesificción Sin divesificción, el iesgo del potfolio debe se igul l pomedio pondedo del iesgo de ls cciones que componen ese potfolio. De nuestos ejemplos nteioes ls desviciones estánd (σ) de Coltbco, Bncolombi y Éxito en de 1,39909%, 3,314% y,87574%, espectivmente. Con est infomción podemos medi el efecto de divesificción de nuesto potfolio, y p el ejemplo nteio éste estb compuesto de 30% de Coltbco, 30% de Éxito y 40% de Bncolombi, con un iesgo totl (o desvición estánd) de 1,8630%. Si pondemos nuests desviciones estánd individules, obtenemos el siguiente esultdo [(0,3*1,39909%) + (0,3*3,314%) + (0,4*,87574%)] =,5637%. Si no existie el efecto de divesificción, ést debeí se nuest desvición estánd esped; peo ddo que el efecto de divesificción existe, podemos deci que [(0, ,018630)/(0,05637)] = 0,733 o 7,33% del iesgo h sido divesificdo. De est mne podemos tene un indicdo de divesificción que se mide como: η = X σ σ i X σ i p, donde n es simplemente nuesto indicdo de divesificción. 1

16 Ots mnes p evlu el desempeño de los potfolios: un enfoque CAPM El simple hecho de clcul el etono de nuesto potfolio no signific que nuest te esté bien hech. Antes de complo y evlulo cont nuesto indicdo de gestión (índice de mecdo, índice específico, otos fondos de vloes, etc.), debemos justlo de cuedo con el iesgo p obtene un esultdo significtivo. Csi todos los métodos de desempeño que tomn en cuent el iesgo se deivn del CAPM, po eso ls medids más popules de desempeño de potfolio bsds en el juste de iesgo son ls siguientes: Medid Shpe: Medid Teyno: ( R p R f ( R p R f ) / σ ) / Medid Jensen: α = [ + βp )] p p f p β p ( m f L medid Shpe divide el etono en exceso pomedio del potfolio en l desvición estánd del peíodo y mide el scificio de un etono cont iesgo totl del potfolio (medido po l desvición estánd). L medid Teyno utiliz el mismo enfoque, peo en vez de utiliz el iesgo totl utiliz el iesgo no sistemático o el ß del potfolio. L medid Jensen es simplemente el etono en exceso (o lf) según el CAPM, no obstnte, en vez de utiliz un cción individul se utiliz todo el potfolio. En l medid Shpe un t myo implic que si hy coheenci ente el scificio de iesgo y entbilidd en difeentes peíodos históicos (si l entbilidd se h justdo históicmente l mismo nivel que los cmbios de iesgo en el potfolio lo equiee), lo mismo ocue con el cso Teyno, peo en cunto l iesgo no sistemático del potfolio que estmos midiendo. En el cso Jensen el lf positivo sólo nos dice si el potfolio tuvo un desempeño supeio un nivel de iesgo espedo dento del mco teóico del CAPM, en cso de un lf negtivo el desempeño es meno l espedo. En conclusión, l plic ests medids en conjunto podemos ce indicdoes de desempeño decudos p medi l competitividd de nuests invesiones con especto l mecdo. Es impotnte ecod que esto siempe debe hcese de fom comptiv con ots invesiones p pode, de est mne, estblece el benchmk equeido.

17 Refeencis Bibliogáfics Benning, S. (000), Finncil Modeling, Cmbidge, MIT Pess. (1997), Finncil Modeling, Cmbidge, MIT Pess. y Oded H., Sig (1997), Copote Finnce. A Vlution Appoch, s. l., McGw Hill. Beley, R. y Myes, S. (1997), Pincipios de finnzs copotivs, s. l., McGw Hill. Bugsthle, D. y Dichev, I. (1997), Enings, Adpttion nd Equity Vlue, en The Accounting Review, vol. 7, No.. Copelnd, T.; Kolle, T., y Muin, J. (1995), Vlution. Mesuing nd Mnging the Vlue of Compnies, New Yok, Wiley & Sons. Dmodn, A. (00), The Dk Side of Vlution, New Jesey, Finncil Times, Pentice Hll. (1998), Investment Vlution. Tools nd Techniques fo Detemining the Vlue of ny Asset, New Yok, John Wiley & Sons. Fbozzi, F. (1996), Mecdos e instituciones, Bogotá, Pentice Hll. Fseuk, A. y Cody, P. (1997), Evlution of Vlution Methodologies in Developed nd Developing Counties, en Jounl of Finncil Mngement nd Anlysis. Fenández, P. (001), Compny Vlutions Methods, the Most Common Eos in Vlutions, s. l., SSRN. (001b), Vlution using Multiples. How do Anlysts Rech thei Conclusions, s. l., SSRN. (000), Vluing Compnies by Csh Flow Discounting. Eight Methods nd Six Theoies, s. l., SSRN. (000b), vloción de empess: Cómo medi y gestion l ceción de vlo. Bcelon, Gestión 000. Ghosh, A. (1997), Accounting Bsed Pefomnce of cquiing fims nd Methods of pyment using cquisitions, s. l., SSRN. Jensen, M. C. (1991), Eclipse of the Public Copotion, en Oestele, D. A. (edit.), The Lw of Meges, Acquisitions, nd Reogniztions, St. Pul, West. Keste, W. C. (1984), Tody s Options fo Tomoow s Gowth, en Hvd Business Review, Mch-Apil. 3

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