Métodos en el dominio de la frecuencia aplicados a mercados eléctricos

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1 X Congreso de Ingeniería de Organización Valencia, 7 y 8 de sepiembre de 2006 Méodos en el dominio de la frecuencia aplicados a mercados elécricos Juan R. rapero Arenas, Diego J. edregal ercero Dpo. de Adminisración de Empresas. Escuela écnica Superior de Ingenieros Indusriales de Ciudad Real. Universidad de Casilla- La Mancha. Campus de Ciudad Real, 307 Ciudad Real. JuanRamon.rapero@uclm.es, Diego.edregal@uclm.es alabras clave: Máima verosimiliud, dominio de la frecuencia, espacio de los esados, mercados elécricos, predicción.. Inroducción La indusria de la elecricidad ha esado inmersa en un proceso de reesrucuración durane los úlimos años en muchas pares del mundo. Una de las causas principales de ales cambios es la liberalización del mercado elécrico. ano los producores como consumidores de energía elécrica han enido que reausar sus esraegias para hacer frene a ales cambios. Una pare imporane en la esraegia de los agenes que paricipan en el mercado es la previsión. En ese puno las predicciones sobre la demanda y precios de energía elécrica a coro plazo son claves. De hecho la mala predicción de los precios fuuros puede conllevar grandes pérdidas económicas. * La lieraura dedicada al esudio de series emporales ales como el precio y la demanda de la energía elécrica es muy amplia. Enre las soluciones más conocidas se encuenran desde los clásicos modelos ARIMA (Auoregresive Inegraed Moving Average), por eemplo Conreras e al. (2003) y Coneo e al. (2005) hasa el uso de redes neuronales, por eemplo Kumluka y Erkmen (2003). Sin embargo, algunos auores, como Angelus (200), opinan que hay una necesidad de meodologías que sean sisemáicas, ransparenes y adapaivas. La meodología Bo-Jenkins carece de adapabilidad, mienras que las redes neuronales son modelos caa negra donde su funcionamieno no es del odo ransparene. Los modelos de componenes no observables (Unobserved Componens, UC) se encuenran bien siuados para su aplicación en las series esudiadas en ese arículo, ver rapero (2003, 2005). Oros méodos muy ciados son: méodo Bayesiano en Wes y arrison (989); espacio de los esados en el dominio del iempo en arvey (989), edregal y Young (2002); espacio de los esados en el dominio de la frecuencia en Young e al. (999); ambién méodos basados en reducciones del modelo, Kumluca y Erkmen (2003). odos esos méodos, aunque paren de una descomposición en componenes eóricos semeanes, ienen punos de visa compleamene diferenes en referencia a su forma de realizar la idenificación y esimación. Las aplicaciones esudiadas en arvey y Koopman (993) por un lado y edregal y Young (2006) por oro, ienen en común que ambas usan un marco de espacio de los esados para * Ese rabao ha sido parcialmene financiado por la Conseería de Ciencia y ecnología de la Juna de Comunidades de Casilla-La Mancha y la unión europea a ravés del ondo Social Europeo.

2 esablecer los modelos. Sin embargo, una diferencia muy imporane enre ellos, es que, la esimación esá hecha en el dominio del iempo en el primer caso y en el dominio de la frecuencia en el segundo. Esa peculiaridad adquiere gran imporancia para nuesro problema porque esá demosrado que la esimación por máima verosimiliud en el dominio del iempo esá muy limiada según el número de parámeros a esimar aumena. or el conrario, la esimación en el dominio de la frecuencia no iene dicha limiación. En ese arículo se propone una herramiena basada en el marco del espacio de los esados uilizando un modelo de componenes no observables donde la esimación de los parámeros se lleva a cabo en el dominio de la frecuencia mediane máima verosimiliud. Las venaas del modelo son: ala capacidad de racking de la serie; mayor eracción de información ya que podemos obener la componene de endencia, esacional e irregular además de la predicción; un proceso de idenificación auomáico en el dominio de la frecuencia. La poencia de esa aplicación se muesra sobre precios de energía elécrica en el mercado elécrico español. ay que desacar que el méodo aquí propueso, realiza las predicciones auomáicamene sin necesidad de diseñar diferenes modelos para cada esación del año como en Coneo e al. (2005). Eso facilia enormemene la are de predicción, ya que sería posible diseñar una herramiena a medida para cualquier empresa que necesie realizar predicciones. or ano, no sería necesario un epero que esé coninuamene modelando y realizando predicciones. A coninuación se muesra un breve sumario de cómo se ha organizado el arículo. El segundo aparado proporciona una inroducción al modelo uilizado en el Espacio de los Esados. En ese aparado se presenarán los modelos de componenes no observables y como paricularización el modelo BSM (Basic Srucural Model, arvey (989)). La aplicación a las series emporales de precios de energía del mercado liberalizado elécrico español se desarrollará en el ercer aparado. or úlimo se muesran las principales conclusiones. 2. Descripción general del modelo. 2.. La esrucura de modelos de series emporales Un modelo esadísico se basa en cieras hipóesis de carácer probabilísico, que inena capurar las caracerísicas esenciales del proceso generador de daos. Dado al modelo es posible: a) Esimar los parámeros por un procedimieno esadísico, como es el méodo de máima verosimiliud. b) redecir c) Realizar ess esadísicos para comprobar si el modelo puede ser simplificado o si es necesario ampliarlo. Un posible puno inicial para el desarrollo de modelos de series emporales es un modelo de regresión en que las variables eplicaivas son función eplícias del iempo (deerminisas). or eemplo, un modelo con componenes de endencia y esacional se puede formular al que: y α + β + γ z + ε ()

3 donde α y β son los coeficienes asociados con la endencia y γ ' s son los coeficienes esacionales resringidos a sumar cero. Esa resricción se lleva a cabo esableciendo los z ' s como variables dummy definidas de forma que para, K, s,,, + s, + 2 s, K z 0,, + s, + 2 s, K, s, 2 s, 3 s, K (2) La caracerísica clave de (2) es que la única pare esocásica del modelo es la componene irregularε. Esa variable supone ser un érmino de perurbación aleaoria que se disribuye normalmene con media cero y varianzaσ 2 2, es decir ε NID( 0, σ ). El inconveniene de los modelos eplicados según () es que suelen ser poco apropiados debido al carácer deerminísico de los coeficienes de endencia y esacional. De hecho se les da el mismo peso a odas las observaciones cuando se realizan predicciones. Eso no es muy lógico, ya que las úlimas observaciones suelen ser más imporanes. La formulación esáica de () se puede converir en una dinámica incorporando procesos esocásicos. En el siguiene aparado se inroduce el modelo esocásico uilizado en la modelización del mercado elécrico Modelos de componenes no observables Un modelo esrucural básico, cuyas siglas en inglés son (BSM) es una paricularización del conuno de modelos de componenes no observables que adopa la siguiene forma: y µ + γ + ε (3) donde µ es la endencia,γ es la componene esacional y ε es la componene irregular. Con el fin de inroducir el carácer esocásico en (3), se uilizará la endencia lineal local (LL), siendo ésa una paricularización del paseo aleaorio generalizado, al que: µ µ w + * * * 0 µ µ w (4) * donde µ y µ son parámeros varianes en el iempo (V) que aporan la fleibilidad al modelo. De la misma forma la componene esacional γ se puede epresar como: γ cos ω sinω γ η γ ω ω γ η * * + * sin cos para,2,,/2 (5) dondeω,,2,,/2 hace referencia al conuno de la frecuencia fundamenal y sus /2 armónicos que coniene la serie emporal. En ese caso los (V) corresponden a los esados γ y γ *. La componene irregular ε se supone aleaoria con una disribución normal de media cero y varianza 2 σ. El modelo BSM se puede ausar a un marco del Espacio de los Esados. Una forma general de escribir el Espacio de los Esados es la siguiene:

4 Ecuaciones de esado: + A + w Ecuaciones de salida: z + v (6) donde z,,2,,n es la serie emporal escalar; es un vecor esocásico de dimensión n; w y v son vecores de ruido de dimensión n y respecivamene; y A y son las marices del sisema y de salida respecivamene. Como hipóesis de parida decimos que w es un ruido Gaussiano con vecor de medias cero y mariz de covarianzas Q *. De forma similar, el ruido escalar v es Gaussiano con media cero y varianzaσ. Además ambos ruidos son independienes. Las marices A,, Q * previamene y 2 v 2 σ v son conocidas o han sido esimadas Las ecuaciones de esado del BSM esarán formadas por un LL para modelizar la endencia y seguirán el formao viso en (5) para describir el comporamieno de los armónicos. or ano el modelo compleo podría escribirse: [ 0 0 K 0] y + ε (7) Siendo (7) la ecuación de observación. La evolución de los V s ( ) vendrán dados por la concaenación por bloques de las marices presenadas en (4) y (5). El modelo puede ser reparamerizado convenienemene sin perder generalidad mediane una * ransformación de la mariz de covarianza Q en un mariz de raios conocida como la mariz NVR (Noise Variance Raios), al que: σ σ * σ w w NVR diag para, 2, K, / 2 (8) σ ε σ ε σ ε donde diag ( ) es una mariz diagonal cuyo elemenos perenecen a la diagonal principal. El parámeroσ 2 ε es la varianza del ruido observado, y se uiliza en el modelo BSM para normalizar las varianzas, sin que influya sobre la esencia del modelo. Ora resricción habiual en el modelo es que las varianzas o NVR s correspondienes a cada frecuencia sean los mismos. Una vez idenificados odos los elemenos del sisema, el ilro de Kalman (K, en inglés) y el algorimo de Suavizado io (IS) producirían esimaciones ópimas de sus esados. El problema reside en que es necesario esimar a priori una serie de parámeros desconocidos, que son los NVR. Normalmene el méodo más ampliamene uilizado para esimar los NVR es por máima verosimiliud (ML) en el dominio del iempo a causa de sus buenas propiedades eóricas en una gran canidad de aplicaciones. Sin embargo, ese méodo no es el más apropiado cuando el número de parámeros a esimar es alo. En ese caso ocurre ese fenómeno por lo que se debe acudir a oras alernaivas. Aforunadamene, la esimación en el dominio de la frecuencia proporciona una alernaiva adecuada a ese problema. Además es paricularmene ineresane porque la esimación es auomáica en el dominio de la frecuencia dado el comporamieno esacional de la serie emporal de los precios de la elecricidad. A coninuación se esablecen los pasos a seguir para realizar la predicción 24 horas hacia delane:

5 . Análisis eploraorio. 2. Esablecer el modelo BSM con esacionalidad semanal y diaria incluyendo sus armónicos. 3. Calcular mediane ML en el dominio de la frecuencia los NVR. 4. Usar las esimaciones en 3 para eecuar los algorimos K/IS, para realizar la predicción, inerpolación, esimación de la componene de endencia o de la componene esacional, ec. La selección de las frecuencias relevanes en una serie emporal es un ema de idenificación. Aforunadamene para las series emporales esudiadas en ese arículo, correspondienes a los precios de energía elécrica, se posee un conocimieno a priori de esas frecuencias fundamenales. En nuesro caso paricular los periodos esacionales imporanes corresponden ano a 24 observaciones, que represena una esacionalidad diaria, y 24*768 observaciones, que represena una esacionalidad semanal La formulación uilizando el modelo de espacio de los esados permie manear sisemas dinámicos lineales no esacionarios. Si las perurbaciones en el modelo son gaussianos, los algorimos K/IS producen las esimaciones ópimas en el senido de minimizar los errores cuadráicos medios. La versión de ambos algorimos usados en ese arículo aparecen en el apéndice. Debido a que las predicciones se han de presenar en el mercado diario (en el caso del operador de mercado español) cada 24 horas no es necesario rabaar en línea, por lo que se puede uilizar un algorimo de suavizado como es el IS. La aplicación de los algorimos recursivos K/IS necesian el conocimieno de odas las marices del sisema A,, Q *, yσ. 2 v 2.3. Esimación del modelo La esimación de parámeros desconocidos en el modelo (2) se llevará a cabo mediane máima verosimiliud en el dominio de la frecuencia, ver arvey (989). Se uiliza esa écnica en vez del méodo de máima verosimiliud en el dominio del iempo porque ése úlimo presena serios problemas cuando el número de parámeros a esimar es grande, como es el caso esudiado en ese rabao. Ese méodo esá basado en la ransformada de ourier que permie escribir la función de verosimiliud en la siguiene forma: ( ω ) I log( L) log(2 π ) log( g ) π (9) g donde I ( ω ) y g son respecivamene el especro empírico (o periodograma), I ( ω ) ye 2π 2 iω (0) y la función generariz especral, i g g e ω ()

6 definida en los punos ω 2π, 0, K,. Los parámeros desconocidos, NVR, aparecen en la función generariz especral y por ano la esimación ML involucra la búsqueda de diferenes valores de NVR y por ano de g, hasa que (9) sea máimo. El méodo se encuenra desarrollado en más dealle en arvey (989). 3. Caso de esudio El mercado de elecricidad español es el conuno de ransacciones procedenes de la paricipación de los agenes del mercado en las sesiones del mercado diario e inradiario y de la aplicación de los procedimienos écnicos del operador del sisema. El mercado cubre un área con una población de más de 40 millones de personas. En 2005 la producción final de elecricidad esuvo sobre 246 millones de MWh. El operador del mercado ( se encarga de realizar las operaciones económicas. or oro lado el operador del sisema ( se encarga de las operaciones écnicas. La comisión nacional de la energía ( vela por que las acividades del mercado se lleven a cabo en régimen de libre compeencia. El modelo BSM se ha aplicado a los precios procedenes del mercado elécrico español, cuyos daos se han obenido de la página Web del operador de mercado ( Los cálculos realizados se han desarrollado en el enorno MALAB. En la igura se ha dibuado la serie emporal correspondiene a los precios de energía elécrica en el mercado español durane el año Se puede observar que al principio del año hay un fuere incremeno de los precios de energía elécrica c /kwh oras igura. recios horarios del mercado elécrico español.

7 Con el fin de comparar el modelo propueso se ha diseñado un modelo ARIMA idenificado auomáicamene. El procedimieno de idenificación consise el seleccionar el meor modelo ARIMA con esacionalidad diaria y semanal de un amplio rango de posibilidades de acuerdo a Scharz Bayesian Crierion (SBC) que combina el ause del modelo con el número de parámeros uilizados, para eviar la sobre-paramerización, de forma que: ( 2 ) SBC 2L a + K ln( n ) (2) donde a son los residuos del modelo, K es el número de parámeros uilizados, y n es el número de residuos calculados para el modelo. El meor modelo es aquel con el valor SBC más bao, ver Schwarz (978). Los modelos ARIMA esudiados incluyen órdenes de a 3 ano para la pare auorregresiva (AR) como para la media móvil (MA) (incluyendo pare regular, esacionalidad diaria y semanal), y varios órdenes para realizar las diferencias. De modo que los modelos esimados incluyen combinaciones de diferenes órdenes desde 0 a 2; y polinomios MA y/o AR desde 0 a 6 (regular), 0 a 3 (diaria) y 0 a 2 (semanal). El eercicio predicivo consise en realizar la predicción de 24 horas hacia delane durane la úlima semana de cada mes del año, eniendo en cuena la información correspondiene a los 53 días aneriores. Las comparaciones de las predicciones de ambos modelos se llevarán a cabo de acuerdo al Error absoluo medio normalizado (NMAE): NMAE z + l + l l z + l z 00 (3) donde z + l y z + l son los valores correspondienes a la predicción de la demanda y su valor real respecivamene, adelanados l pasos hacia delane respeco al iempo. El valor z + l será la media muesral de los l valores reales uilizados en la predicción. La razón de normalizar el error absoluo con la media muesral es para eviar valores de errores sobrevalorados cuando los precios son cercanos a cero. En la abla I se muesran los errores comeidos en la predicción de la úlima semana de cada mes del año 2002 para el mercado elécrico español. En dicha abla se puede observar que el modelo BSM proporciona menores errores de predicción en 8 de los 2 meses, donde se ha resalado en negria el menor error de predicción comeido en cada mes. Se puede observar que los errores esán en orno a un 0% de acuerdo a la medida de error definida en (3). Siendo el mes de febrero el que menor error presene y el mes de diciembre el que mayor error alcanza dado la gran irregularidad de dicho mes. Además la media del NMAE para los 2 meses ambién es menor para el modelo BSM. En la igura 2 se muesra un eemplo de predicción 24 horas hacia delane durane un periodo de una semana. En línea coninua se ha represenado los valores reales de los precios de elecricidad mienras que la predicción de dichos precios esá dibuada mediane línea disconinua. En dicha figura se aprecia el parón esacional cada 24 y 68 horas.

8 0 9 ebrero rediccion Real 8 7 c /kwh horas igura 2. redicción de la úlima semana de febrero abla I. Errores NMAE comeidos en la predicción de la úlima semana del mercado elécrico español. Meses NMAE BSM AR-auo Enero ebrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agoso Sepiembre Ocubre Noviembre Diciembre Media

9 4. Conclusiones En el presene arículo se ha mosrado una herramiena de predicción a coro plazo, de precios de energía elécrica, compleamene auomáica basada en un modelo de componenes no observables epresado en forma de espacio de los esados y acualizado mediane el filro de kalman. Esa herramiena presena varias venaas que vamos a resumir: a) La esimación se realiza mediane máima verosimiliud en el dominio de la frecuencia, dada la múliple esacionalidad de las series esudiadas. Ese dominio nos permie idenificar de una manera obeiva las frecuencias a incluir, auomaizando así la realización de dichas areas. Debido al gran número de armónicos la esimación mediane máima verosimiliud en el dominio del iempo puede no converger. b) Debido a la uilización de un filro adapaivo como es el filro de kalman nos aseguramos que nuesro modelo se adape a los cambios ocurridos en las series emporales. c) El marco de espacio de los esados empleado nos permie eraer información muy valiosa como puede ser la endencia o la componene esacional de las series. d) Los errores de predicción calculados son muy compeiivos. En el caso de los precios del mercado español son en orno al 0%. Se ha comparado el méodo propueso con ora meodología ampliamene uilizada, como es la Bo-Jenkins. Además es posible la eracción de información an valiosa como la endencia, sus componenes esacionales y el error comeido con el fin de que los gerenes puedan incluirlos en sus sisemas de información para realizar sus esraegias de ofera/compra. odas esas venaas ano écnicas como de gesión siúan nuesra herramiena en una posición privilegiada para su uso en los mercados elécricos de cara a su aplicación por pare de los diferenes agenes del mercado Apéndice Los algorimos del filro de kalman y el suavizado de inervalo fio aplicados a los casos de esudio en ese arículo se pueden escribir en un formao general de espacio de los esados de la siguiene manera:. ilro de kalman: a) Ecuaciones de predicción: + A A A Q b) Ecuaciones de acualización: [ ] ( ) z / / Suavizado de inervalo fio ( ) N N N N z / wih / wih / Φ Φ Φ 0 S Φ S Φ S 0 s s Φ s S s + + +

10 Referencias Coneo, A; Conreras J, Espínola R, lazas M. (2005) orecasing elecriciy prices for a dayahead pool-based elecric energy marke, Inernaional Journal of orecasing, Vol. 2, pp Conreras, J; Espínola R.; Nogales,.J.; Coneo A. (2003). ARIMA models o predic neday elecriciy prices, IEEE rans. ower Sys., Vol. 8, pp arvey, A. C. (989) orecasing Srucural ime Series Models and he Kalman iler, Cambridge: Cambridge Universiy ress. arvey, A. C.; Koopman, S. J. (993). orecasing hourly elecriciy demand using imevarying splines. Journal of he American Saisical Associaion, vol. 88, pp Kumluca, A.; Erkmen, I. (2003), A hybrid learning for neural neworks applied o shor er load forecasing, Neurocompuing, Vol. 5, pp edregal D. J.; Young. C. (2002) Saisical approaches o modelling and forecasing ime series. In Clemes, M. and endry, D. (eds.). Companion o Economic orecasing. Blackwell ublishers, pp edregal D. J.; Young,. C. (2006). Modulaed cycles, a new approach o modelling seasonal/cyclical behaviour in unobserved componen models. Inernaional Journal of orecasing, 22, pp rapero J. R. (2003), Modelización de mercados elécricos mediane modelos de componenes no observables, royeco final de carrera. Área de organización de empresas, ES Ingenieros Indusriales, Universidad de Casilla-La Mancha. ych, W.; edregal D. J.; Young,. C.; Davies. J. (2002) A sofware package for muli-rae unobserved componen forecasing of elephone call demand, Inernaional Journal of orecasing, vol. 8, pp Wes, M.; arrison, J. (989) Bayesian orecasing and Dynamic Models, New Cork: Springer-Verlag. Young,.C. (994) ime-variable parameer and rend esimaion in Nonsaionary economic ime series. Journal of orecasing, vol. 3, pp Young,.C.; edregal D.J.; ych, W. (999), Dynamic armonic Regression, Journal of orecasing, vol. 8, pp Schwarz G. (978) Esimaing he dimension of a model, Annals of Saisics, vol. 6, pp rapero, J.R.; edregal D.J.; García.. (2006), redicción de precios y demandas de energía elécrica basada en modelos de regresión armónica dinámica. IX Congreso de Ingeniería de Organización, Gión.