RIESGO RELATIVO, SENSIBILIDAD Y ESPECIFICIDAD: UN ENFOQUE DESDE EL ANÁLISIS MATEMÁTICO Y EL ÁLGEBRA LINEAL

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1 RISGO RLATIO, SSIBILIDAD Y SCIICIDAD: U OQU DSD L AÁLISIS MATMÁTICO Y L ÁLGBRA LIAL RLATI RISK, SSITIITY, SCIICITY: A AROACH ROM MATHMATICAL AALYSIS AD LIAR ALGBRA Autor: Li. Rafael Ávila Ávila () Li. Maria el Carme pósito Gallaro () ) Grupo e Apliaioes uleares. Cetro e Ivestigaioes Serviios Ambietales Teológios e Holguí (CISAT). CITMA. -mail: hio@itmahlg.holgui.if.u ) Uiversia Méia e Holguí Mariaa Grajales Coello. RSUM l riesgo relativo (RR), la razó e proutos ruzaos (OR), la espeifiia () la sesibilia (S) ostitue meias e resume para variables ualitativas e iterés e Meiia. Se preseta el RR omo ua fuió otiua e os variables se aaliza la oiió para la ual este se aproima a la OR a partir e su esarrollo e serie e poteias. La sesibilia, la espeifiia los valores preitivos ( ) se aaliza omo fuioes otiuas e ua variable e too su omiio, o u omportamieto asitótio araterístio. A partir el estuio e u sistema e euaioes lieales homogéeo se eue ua euaió geeral que viula S,, se isute iferetes asos e iterés. ALABRAS CLAS: Sesibilia, espeifiia, riesgo relativo, razó e momios, series e poteia, sistema e euaioes lieales ABSTRACT The relative risk (RR), the os ratio (OR), the speifiit () a the sesitivit (S) are measures for qualitative variables of meial iterest i Meiie. It is aalse the RR as a otiue futio of two variables as well as the oitios b whih it is approimate to the OR b meas of a power

2 series epasio. It is aalse too the sesitivit, the speifiit a the preitive values as otiue futios of oe variable i all its omais of efiitio as well as the asmptoti behaviour of these futios. It is isusse ifferet iterestig ases b meas of a sstem of liear equatios i S,,,. KY WORDS: sesitivit, speifiit, relative risk, os ratio, power series, liear sstem of equatios. ITRODUCCIÓ l riesgo e u térmio empleao e iversos otetos. roteió Raiológia, se osiera omo ua magitu multiatributiva o la que se epresa el peligro o la posibilia e oseueias oivas o perjuiiales ate iertas oiioes que guara relaió o la probabilia e etermiaas oseueias añias la amplitu el aráter e tales oseueias. () Si se trata e estimar los riesgos e la eposiió a las raiaioes a osis bajas, el Comité Cietífio e las aioes Uias para el stuio e los fetos e las Raiaioes Ioizates osiera, etre las estimaioes raiobiológias, la probabilia e u eeso e efermeaes maligas el ore e. por año. () otros ámbitos la refereia al riesgo epresa la posibilia e péria e la via o año a las persoas, e moo que si se trata e riesgo iiviual se efatiza e la probabilia e año e aa iiviuo epuesto. () las efiiioes referias, la alusió a la probabilia es ireta, uestió que o está ausete e la esfera e las ieias méias. la piemiología el riesgo es e uso freuete para evaluar la posibilia e que los sujetos tega ua oiió espeífia e preseia e etermiaos atributos. s por tal razó que alguos autores lo osiera omo ua meia uatitativa epiemiológia e la posibilia e que el sujeto aquiera tal oiió ao que tiee el atributo partiular bajo osieraió. ste atributo represeta el fator e riesgo mietras que el riesgo mie la probabilia e iieia e la oiió. (,5) La ivestigaió e u estaio esriptivo e la posible relaió etre la eposiió a u fator e riesgo la apariió e u eveto o efermea puee efoarse a partir el aálisis e iterpretaió el riesgo relativo RR la razó e proutos ruzaos OR (Os ratio, razó e momios). sta última ofree u estimao el primero uao las efermeaes so poo freuetes e maera que la proporió e sujetos o la oiió es baja mietras que para evetos omues ambas meias puee teer valores mu istitos, siempre uao ambas puea alularse e el tipo e estuio osierao.

3 o obstate, e las epresioes algebraias usuales para el álulo e tales meias o se eue o laria otras epresioes que posibilite la realizaió e las estimaioes pertietes e ahí la utilia e abuar e las relaioes matemátias etre ihas meias así omo las oiioes bajo las uales ellas se aproima. or otra parte, la espeifiia la sesibilia so meias útiles para haer refereia a la efiaia, valiez o eatitu e las iversas pruebas iagóstias. La iterpretaió e los resultaos e tales pruebas se puee failitar partieo el ooimieto e los valores preitivos e maera que, el estableimieto e relaioes matemátias etre estas meias puee ostituir ua herramieta e iterés e el aálisis e iertos asos omo la preseia e efermeaes o freueias o altas.. DSARROLLO.. Riesgo relativo razó e proutos ruzaos l riesgo relativo (RR) la os ratio (OR) ostitue os razoes e iterés uao se eesita ofreer ua magitu e la relaió etre las meias omiales asoiaas a estuios que implia la meiió e riesgos e u resultao ao e relaió si está presete o o u fator preispoete. (6) l RR, o razó el riesgo e ua efermea, se alula meiate el oiete etre la iieia e persoas epuestas la iieia e persoas o epuestas al fator; se utiliza e los estuios e ohorte. or su parte la OR se puee alular tato e estuios e aso otrol omo e los prospetivos a partir el oiete etre los momios, os o vetajas el éito (7), ua vez que se ha ietifiao las variables iotómias estao e salu (efermo, o efermo) eposiió al fator e riesgo (si, o) los atos se ispoe aeuaamete e ua tabla e oble etraa. (6,7) Sea: a: atia e persoas efermas e preseia el fator e riesgo; b: atia e persoas o efermas epuestas al fator e riesgo; : atia e persoas efermas o epuestas al fator e riesgo; : atia e persoas o efermas e las que el fator e riesgo o está presete. : probabilia e paeer la efermea e preseia el fator e riesgo (probabilia e que ourra el eveto o proporió e que este tiee lugar). Q : probabilia e o estar efermo (estar sao) e preseia el fator e riesgo (probabilia e que o ourra iho eveto o proporió e que o ourre) : probabilia e estar efermo e auseia el fator e riesgo (probabilia e que ourra el eveto o proporió e que este tiee lugar).

4 Q : probabilia e o estar efermo (estar sao) e auseia el fator e riesgo (probabilia e que o ourra iho eveto o proporió e que o ourre) Dao que el momio se efie omo la razó etre la probabilia e que ourra el eveto la probabilia e que o ourra iho eveto, la os ratio la razó etre momios el RR el oiete etre el riesgo e sufrir u etermiao eveto e el grupo epuesto a u fator e riesgo ao el riesgo e sufrir iho eveto e el grupo e los o epuestos a iétio fator e riesgo, se tiee que: a a b Q o es ifíil emostrar que: a b b RR OR a( ( a ) b) a. Al realizar alguas trasformaioes algebraias, el riesgo relativo se puee represetar e la forma: a ( ) ( ) RR (, ). OR. b ( ) ( ) oe: =/ =a/b. Así, se puee aalizar iho riesgo omo ua fuió e os variables e o omiios: ara patologías poo freuetes, los efermos e preseia el fator e riesgo so muho meores que los o efermos (a<<b) e preseia el mismo fator e igual forma la atia e aquejaos e la efermea es muho meor que la atia e o efermos (<<) e auseia el propio fator. or tato: << e <<. l esarrollo e serie e poteias e ua fuió e os variables (,) alreeor el puto (,)=(,) (8) está ao por la epresió geeral: (, ) (,) (,) (,)... b.! Q (,) Si se limita el esarrollo hasta los térmios el primer ore resulta: (, ) (,) (,) (,) De maera que la fuió RR(,) esarrollaa e serie e Talor hasta el primer térmio aopta la forma: a a RR (, ) OR( ) OR ( OR) b b... (,)..

5 Si la efermea es e baja freueia, ao que la atia e sujetos o la oiió es tambié baja, a<<b, por lo que el térmio =a/b se puee espreiar se olue que e estos asos RR OR, o sea al umplirse tal oiió, el riesgo relativo se puee aproimar por la razó e proutos ruzaos, resultaos que oiie o el obteio e ()... Sesibilia espeifiia estas meias, las variables ualitativas ivoluraas so estao e salu (efermo, sao) resultao e la prueba iagóstia (positivo, egativo). La lasifiaió e ua atia etermiaa e persoas () e auero a los resultaos e la apliaió e la prueba iagóstia su estao e salu, permite obteer epresioes para la sesibilia espeifiia a partir e las siguietes efiiioes. Sesibilia (S): proporió e efermos que so bie lasifiaos ( ); esto es la proporió e veraeros positivos respeto al total igual a la suma e los veraeros positivos ( ) falsos egativos ( ): S speifiia (): proporió e saos bie lasifiaos ( ) omo resultao e la prueba, es eir la proporió e veraeros egativos respeto al total itegrao por la suma e los falsos positivos ( ) los veraeros egativos ( ): La sesibilia, a partir e trasformaioes algebraias e la epresió que la efie, puee represetarse omo ua fuió e = / por tato: S( ), La fuió S() es otiua e too su ampo e efiiió, moótoa ereiete e los etremos el itervalo, ) alaza los límites: lim S( ) lim S( ) l esarrollo e ua fuió () e ua variable, e serie e Talor se puee esribir omo: ( ) ( ) (! ) (! )... (! Si se esarrolla la fuió S() hasta el primer térmio alreeor el puto =, e auero a la epresió aterior, se obtiee: S ( ) )

6 llo orrespoe al aso e que tiee a ero (e maera que tambié es pequeño) oiie o la situaió e que la proporió e veraeros positivos o efermos bie lasifiaos es asi la uia o S(), por lo que la sesibilia es alta. Razoamietos similares se puee apliar a la espeifiia, e maera que: ( ) oe = / () es tambié ua fuió otiua e too su omiio eree moótoamete. Los valores límites e los etremos el itervalo, ) so: lim ( ) lim ( ) l esarrollo e la fuió () e serie e poteias alreeor e =, tiee la forma: ( )! Tal esarrollo e la fuió speifiia hasta el primer ore es e tipo:! ( ) o es ifíil obteer las siguietes epresioes para la espeifiia e térmios e la sesibilia e la variable. ( ) ( )... ( )! Las epresioes para el álulo e los valores preitivos positivo egativo so respetivamete: Se puee obteer epresioes semejates para estos valores e forma e fuioes otiuas e las variables z u moótoas ereietes: Los límites so: z) z ( oe: u) u ( oe: z z u u S

7 lim z lim u ( z) ( u) lim ( z) z lim ( u) Los esarrollos e series e poteias alreeor e z= u= so similares hasta el seguo ore tiee la forma: ( z) z ( u) u Toas las fuioes S(), (), (z) (u) ehibe, segú muestra el gráfio, u omportamieto similar (v)=/(+v), que es el tipo lieal ereiete (v) -v para valores pequeños e la variable iepeiete, mietras que para valores graes, el valor que aopta la fuió se aera asitótiamete al eje e las absisas, mostrao u omportamieto e tipo hiperbólio (/v). Tal omportamieto puee epliarse para la sesibilia si se reuera que = / por lo que a meia que aumeta los falsos egativos ismiue los veraeros positivos, la fraió se hae grae, el eomiaor e la fuió S() tambié ree la fuió eree rápiamete. aso e teer la fraió = / al valor ero, asi toas las persoas a las uales se les aplia la prueba iagóstia, oiie o los veraeros positivos apeas eistiría falsos egativos, iremetáose la sesibilia que e el límite aoptaría el valor, algo ifíil e lograr e asos prátios, a que, aú e el aso e que toos los resultaos fuese positivos ua vez realizaa la prueba, ello o sigifiaría preseia e la efermea e toas aa ua e las persoas a las que se le aplió, pues o eiste erteza ompleta para ifereiar los iiviuos saos e los efermos. Iterpretaioes aálogas se puee haer para las fuioes (), (z) (u) e térmios e las variables,z u. u

8 (v) Gráfio : represetaió e las fuioes S(), (), pp(z), p(u),,9,8,7,6,5,,,,, v.. Relaioes etre la sesibilia (S), espeifiia () los valores preitivos positivo ( ) egativo ( ) Combiao las epresioes para los valores preitivos positivo egativo, la sesibilia la espeifiia, se obtiee el siguiete sistema e uatro euaioes lieales para las variables,,, : ( S. (. ). ( ). (. ).. ).. l sistema aterior tiee la forma: a. X b. X. X. X a. X b. X. X. X.. a. X b. X. X. X. S.. a. X b. X. X. X.. sistema sistema Diho sistema homogéeo e uatro euaioes o las uatro iógitas X, X, X X tiee soluioes o triviales uao su etermiate se aula (9):

9 a b a b or tato si se impoe la oiió aterior al sistema, se tiee que: S Desarrollao este etermiate por la primera oluma empleao el métoo e meores, se obtiee la siguiete euaió geeral: a b a b S ( S )( ) ( )( ) S l miembro izquiero e la euaió aterior es el oiete e las eomiaas razoes e verosimilitu positiva egativa aas respetivamete por las epresioes siguietes: R or osiguiete: S S R R ( S)( ) ( )( ) R S Aálisis e iertas soluioes e la euaió aterior a) Si S= o =, el miembro izquiero es igual a ero por lo que la iguala se satisfae para los siguietes valores: = o = Sea () S() =; esto es porque: =, = por tato: u=, (u)= (z) puee tomar iferetes valores. Sea S() ()=; esto es porque =, = por tato (z)= (u) puee aoptar iferetes valores. Se ebe señalar que los asos e los que S= o = so poo freuetes por uato o eiste ua fiabilia total para ifereiar los iiviuos efermos e los o efermos, ao que o siempre u resultao positivo espués que se aplia ua prueba iagóstia quiere eir preseia e la efermea u resultao egativo auseia e la misma. () b) ara S +, etoes:

10 ( )( ) + = =- ) S=. este aso se obtiee la euaió siguiete: ( f oe: ) f ( )( La euaió obteia es el tipo a b, uas soluioes geerales para el aso e que su isrimiate sea maor que ero ( b a ) tiee la forma: b b a a or tato las soluioes para la speifiia so: Sustitueo e la epresió aterior, la orrespoiete a f osierao sólo el sigo positivo elate el raial (se puee efetuar u aálisis similar osierao el sigo egativo elate el raial) se obtiee: ( ( f )( Ua soluió real positiva es obteia si so simultáeamete válias las oiioes siguietes: ) La epresió subraial es maor que ero, lo ual se umple siempre ao que: f ) ) ) ( ) ( ) ) ( )( ) sta esiguala es vália si: ( ) l umplimieto e la oiió aterior oue a: ( ) lo que garatiza el valor positivo el eomiaor el aráter real e la soluió obteia para la espeifiia ().

11 . COCLUSIOS l riesgo relativo puee presetarse omo ua fuió e os variables uo esarrollo e serie e poteias e Talor hasta el primer ore, esogias oveietemete las variables e posibilita obteer omo aso partiular la epresió para el álulo e la razó e proutos ruzaos. La sesibilia, la espeifiia, el valor preitivo positivo el valor preitivo egativo se puee aalizar omo fuioes otiuas e ua variable que tiee u esarrollo e serie similar u omportamieto asitótio típiamete hiperbólio para valores e las variables iepeietes teietes a ifiito. Las meias, S o so iepeietes está relaioaas etre sí por u poliomio e seguo grao e S, uas soluioes geerales posibilita el aálisis e istitos asos e iterés las oiioes e valiez para las epresioes euias.. RRCIAS BIBLIOGRÁICAS () Orgaismo Iteraioal e ergía Atómia. ormas básias iteraioales e seguria para la proteió otra la raiaió ioizate para la seguria e las fuetes e raiaió. iea: OIA; 997. () Gozález AJ. Criterios Iteraioales e roteió Raiológia. II Cogreso aioal e roteió Raiológia. Maspalomas, Gra Caaria (spaña), 7-9 e septiembre;. () Salomó Llaes J, eromo Ojea M. Aálisis e riesgo iustrial. Caraas: Cetro e stuios Gereiales ISID, Istituto Superior e Ivestigaió Desarrollo;. () Maeville. Tips bioestaístios. Tema : razó e momios. Cieia UAL, Uiversia Autóoma e uevo Leó, abril-juio, ; 7. Dispoible e: (5) Woowar M. piemiolog: Stu Desig a Data Aalsis. Tet i Statistial Siee. Chapma & Hall/CRC; 999. (6) Dawso-Sauer B, Trapo RB. Bioestaístia Méia. Méio D..: l Maual Moero; 99. (7) Torres Delgao JA, Baarre ea H. et al. Iformátia Méia. Tomo. Bioestaístia. La Habaa: itorial Cieias Méias;. (8) Kuriatsev LD. Curso e Aálisis Matemátio. Tomo. Mosú: Mir; 98. (9) Ili BA, oziak G. Geometría Aalítia. Mosú: auka; 98. () Bermejo raile B. piemiología líia apliaa a la toma e eisioes e Meiia. avarra (spaña): Gobiero e avarra, Departameto e Salu;.

12 Reibio: septiembre Aprobao: 7 oviembre