LA RELACIÓN ENTRE LA VOLATILIDAD DEL PRECIO DE UN TÍTULO Y SU RENDIMIENTO: UNA REVISIÓN Josefina Martínez Barbeito 1 Universidade A Coruña

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1 REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL Vol., 8 No LA RELACIÓN ENTRE LA VOLATILIDAD DEL PRECIO DE UN TÍTULO Y SU RENDIMIENTO: UNA REVISIÓN Josena Martínez Barbeto 1 Unversdade A Coruña RESUMEN: Este trabajo presenta una revsón de los resultados ás portantes en la relacón entre la volatldad del preco de un título, β, y el rendento de la clase de actvos. La ayor parte de los estudos epírcos respecto a la relacón entre los valores de la volatldad y el rendento edo han utlzado edas artétcas de los tantos por cento de rendento dscretos. En este trabajo haceos una caracterzacón de tales relacones, no exstente en los lbros de texto y obvados en los trabajos teórcos. Esto pertrá establecer bases para un estudo teórco de los odelos ateátcos que aparecen en el estudo de probleas nanceros. ABSTRACT: Ths paper presents the state o the art o the ost portant results n the relaton between the volatle o the prce o an asset, β, and the return o the class o stocks. The ajorty o the eprcal studes on the relaton o the values o the volatle and the ean return have used arthetc eans o the percentages o dscrete returns. In ths paper we characterze these relatonshps, they are not present n text books and are not treated n theoretcal papers. Ths wll allow to establsh a bass or a theoretcal study o the atheatcal odels that appear n nancal probles. KEY WORDS: ean return, return o stocks, eprcal studes MSC:91B4, 91B4 1. INTRODUCCIÓN Los ses actores que aectan a los precos de las opcones de títulos son: a. El preco actual del título: S. El preco del título en T: S T. b. El preco de ejercco de la opcón: X. c. La echa de vencento de la opcón: T (oento actual: t) d. La volatldad del preco del título: β e. El tanto de nterés lbre de resgo: r. Los dvdendos esperados durante la vda de la opcón: C (valor de una opcón Call Europea ). Los eectos sobre el preco de una opcón (título) al varar un actor, antenéndose constantes los otros, se expresan de la ora sguente: C=(S,X,T,β,r) C/ S>0; C/ X<0; C/ T>0; C/ β>0; C/ r>0 La relacón entre el rendento de una cartera de títulos y el rendento en el ercado, vene dada por el paráetro β. Ésta es la pendente de la recta ejor ajustada obtenda cuando el rendento exceso de la cartera sobre el tanto sn resgo ha descenddo respecto al rendento exceso del ercado sobre el tanto sn resgo. Por ejeplo, cuando β=1, el rendento de la cartera tende a relejar el rendento en el ercado; cuando β=, el 1 barbeto@udc.es 45

2 rendento exceso de la cartera tende a ser dos veces ayor que el rendento exceso del ercado; cuando β=0.5, tende a ser la tad ayor. Entonces, sn deasado rgor, la volatldad del preco de un título es la edda de la ncertdubre de los oventos uturos de los precos de los títulos. Cuando crece la volatldad crece la probabldad de que el título sea uy bueno o uy alo. Para el poseedor de un título, estos dos resultados tenden a copensarse. Sn ebargo, esto no es así para el poseedor de una Call Europea. El poseedor de una Call se beneca del crecento del preco, pero tene ltado el resgo en el caso de que descenda el preco, puesto que lo ás que puede perder es el preco de la opcón. Análogaente, el poseedor de una put, se beneca del descenso del preco pero tene ltado el resgo en el caso de que suba el preco. Por tanto, los valores tanto de la call coo de la put, crecen cuando crece la volatldad. Este trabajo se centra en la relacón entre β y el rendento de las accones ordnaras. Tal relacón, es una condcón preva para la exstenca de una pra equtatva o rendento superor a largo plazo de las accones, coo resultado de la aversón a la volatldad de los partcpantes en el ercado de captales.. MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS (CAPM CAPITAL ASSET PRICING MODEL) En esta seccón, se exana la valoracón de equlbro de los títulos ndvduales. Se pueden consderar dos odelos de precos de actvos. 1)El odelo de equlbro de valoracón de actvos nanceros; )El odelo de equlbro por arbtraje..1 Modelo de valoracón de actvos nanceros. Este ue desarrollado por Sharpe (1963) y Lntner (1965). Es un odelo váldo para todo tpo de títulos, sean accones o bonos. Sn ebargo, hay una versón del MEDAF especalente convenente para bonos. El MEDAF es un odelo de equlbro de valoracón de actvos, que se basa explíctaente en la axzacón de la utldad y en un conjunto de oportundad dado de una cartera. Se puede decr que se deternan los precos de los actvos de un odo que equlbran la oerta de actvos con la deanda de los sos. El odelo de valoracón de actvos nanceros se expresa coo sgue: ~ r r ~ r = r +, ó ( r r ) ~ r = r + ~ β donde expresa la covaranza del rendento del actvo -éso con el rendento del ercado y β =, es la Beta del título -éso r~ es el rendento esperado de la cartera de ercado es la varanza del rendento de ercado. El MEDAF es un odelo de equlbro de valoracón de actvos basado explíctaente en la axzacón de la utldad y un conjunto de oportundad dado de una cartera especcada. Los precos de equlbro de los actvos se deternan de tal odo que ajusten la oerta de actvos con su deanda. Se supone que se cuenta con H nversores y con N títulos con resgo, y una deuda sn resgo que podeos denotar por N+1. 46

3 Partos de una atrz en la que los eleentos típcos nvertdo en el ercado por el nversor h en el título, expresando denotan la proporcón del total el total nvertdo por el nversor h en la deuda sn resgo. Las suas de las colunas presentan las restrccones presupuestaras de los nversores: ϕ h es la proporcón del valor del nversor h en el porte total. La sua de cada la Q ndca la proporcón del título en el ercado total. La sua para todos los nversores de la deuda sn resgo es cero. W h W N +1, h Se supone que cada nversor ndvdual tene una uncón de utldad: U = U ( ~ r, r ) r ph el rendento esperado de la cartera del nversor h y la cartera del nversor h. La restrccón presupuestara del nversor h cuple: 1 ϕh N = 1 W h W N + 1, h = 1 h h ph ph, sendo r ph la varanza del rendento de El objetvo del nversor es la axzacón de su utldad sujeta a su restrccón presupuestara. S haceos los ajustes necesaros, tenendo en cuenta que s suaos todos los títulos nversores, e poneos condcones de equlbro de ercado, lograos la cartera de ercado, obteneos: ~ r r ~ r = r +, (1) ( r r ) ~ r = r + ~ β () donde = N j= 1 θ j j covaranza del rendento del título con el rendento de ercado. β =, Beta del título (3) La derenca entre (1) y () es que (1) expresa el preco de ercado del resgo en undades de resgo total, entras que () expresa el preco absoluto del resgo. Otra derenca es que las eddas de la cantdad de resgo deren lgeraente. La ecuacón (1) usa la covaranza del título -éso con el resgo relatvo del ercado con respecto al resgo total, tal coo se de por la desvacón típca del ercado. La ecuacón () usa la covaranza del título -éso con el resgo relatvo del ercado con respecto al resgo total eddo por la varanza del ercado. La últa edda se conoce coo Beta del título porque se dene del so odo que los coecentes Beta en una ecuacón de regresón. La Beta de la cartera es spleente el valor de la sua eda ponderada de las Betas de los actvos de los actvos de la cartera β p = N = 1 θ β El punto portante es que abas carteras denen la cantdad de resgo exactaente del so odo, a saber, el total de resgo de ercado no ssteátco o no dverscable. Esto es porque, en un odelo de equlbro sólo es el resgo de ercado lo que se valora, al resgo dverscable, coo se puede elnar por dverscacón no se valora. Se plca con esto que, 47

4 en el equlbro, los nversores no serán copensados por algo que se podría elnar con una dverscacón de bajo resgo. Esto se puede ver ás claraente s coparaos la recta del ercado de captales con la recta del ercado de títulos. La renta del ercado de captales (RMC) es una recta que relacona el rendento esperado contra el resgo total. La recta del ercado de títulos (RMT) es una recta que relacona el rendento esperado con relacón al resgo de ercado. Es decr, es la recta correspondente al MEDAF. De la dencón de beta, la beta de la cartera de ercado es 1. En el equlbro, todos los títulos se valorarán de ora que estén en la recta del ercado de captales, pero se valorarán en el equlbro para relejar solaente el resgo no dverscable contendo en ellas. A lo largo de la recta del ercado de captales todas las carteras (ecentes) están perectaente correlaconadas con el ercado, de odo de ρ p = 1. Esto se deduce porque todas las carteras a lo largo de la cartera de ercado de captales son cobnacones lneales de la cartera de ercado y de la cartera sn resgo y, por ello, por construccón, están perectaente correlaconadas con el ercado y esto se reconoce con la recta del ercado de títulos. La recta del ercado de títulos uestra que el resgo dverscable tene dos coponentes: el resgo total del título y su correlacón con el ercado ρ. La recta del ercado de títulos RMT es el odo correcto de valorar títulos, sean o no ecentes. Orece una relacón únca entre el rendento requerdo sobre un título y el total de resgo no dverscable (eddo por β) que contene. Se puede coparar el MEDAF con el odelo de ercado, dado por: ~ r = r + ~ ( r r ) β y rt r + β r + ε t o, toando esperanzas en la expresón anteror: = (4) ~ r = r + β ~ r (5) S el CAPM es correcto, entonces esto pone certas restrccones sobre la ecuacón de regresón. Reordenando (4), teneos: ~ r = r β ~ (6) ( 1 β ) + r Esto pone las restrccones: ( r = r 1 β ) (7) Se puede usar el MEDAF para deternar el tanto requerdo de rendento sobre un título s se va a antener en el equlbro. S el título tene una β ayor que la del ercado, el título es una accón agresva, puesto que su preco es ás volátl que el del ercado. S el título tene una Beta enor que el del ercado, el título es una accón deensva, puesto que su preco es enos volátl que el del ercado. Las accones agresvas coo tenen un resgo no dverscable ás alto que el del ercado, tenen tabén un tanto de rendento ás alto que el ercado. Las accones deensvas tenen un resgo enos dverscable que el ercado, por lo que requeren un tanto de rendento enor. 48

5 El concepto de resgo ncluye 4 coponentes prncpales: un tanto real de nterés, una pra de nlacón, una pra de lqudez y una pra del resgo. El MEDAF ncluye las 4 coponentes ~ r = r + ( r~ r ) β = (tanto real, pra de nlacón, pra de lqudez)+pra del resgo. El tanto de nterés sn resgo ncluye las 3 preras coponentes, entras que el térno ( ~ r r ) β es la pra del resgo. El resgo no dverscable está contendo en la pra del resgo. Se ntroduce el concepto de α, que de el exceso de rendento sobre un título. Es gual a la derenca entre el tanto actual de rendento sobre un título y el tanto requerdo por el MEDAF: α = r ~ r = r r ~ r r β ( ) ( ) S un título se valora correctaente, α = 0. S un título es nra o sobre valorado, α <0. En este caso se espera que baje el preco, por lo que vale la pena venderlo. El valor α de una cartera de títulos es el valor de la sua ponderada de las α de la cartera. α p = N = 1 θ α Consderaos dos extensones del CAPM: a)el caso de que el tanto de endeudaento sea superor al tanto de los préstaos; b)el caso de nexstenca de actvo sn resgo. Este caso es todavía posble que exsta s hay un título con Beta gual a cero. Es un título que, coo el actvo sn resgo, no tene resgo de ercado, aunque podría tener un resgo especíco. Es posble calcular el coecente beta de un bono edante la regresón del tanto de rendento del bono con respecto al tanto de rendento del ercado. El coecente beta así estado es una edda del resgo no dverscable del bono. Igualente portante es el resgo del tanto de nterés y de la edda del resgo del tanto de nterés usado para los bonos en la duracón. La DURACIÓN, de el cabo del preco de un bono con el cabo del tanto de nterés subyacente. Cuando los tantos de nterés suben, los precos de los bonos bajan y vceversa. Un bono de duracón larga tal coo un bono de vencento largo- es uy sensble a los cabos del tanto de nterés. La versón del MEDAF que capta el eecto del tanto de nterés sn resgo es: s ~ r = r + ~ ( r r ) β donde: r~ = rendento esperado sobre el bono -éso. r~ = rendento esperado sobre la cartera de los bonos. β = D / D = duracón relatva, donde D es la duracón del bono -éso y D es la duracón de la cartera de ercado de los bonos. Esta orulacón se reere a la recta de ercado del bono, que es uy slar a la del MEDAF general, plantea que, s el tanto de nterés se eleva en un 1 por cento, el rendento del bono -éso se elevará el β, la duracón relatva del bono. El rendento esperado de un bono es una uncón lneal de su duracón. Exsten dos probleas con la expresón: En prer lugar valora en exceso el eecto de los cabos de los tantos de nterés a corto plazo sobre los rendentos y precos de los bonos 49

6 de larga duracón. En segundo lugar, al nclur un tanto de nterés a corto plazo coo varable explcatva, se supone plíctaente que, cuando caban los tantos de nterés, hay un cabo paralelo en la curva del rendento. En realdad, exsten raraente cabos paralelos de la curva del rendento, por lo que es precso recurrr a otros odelos.. El Meda y la versón para uturos y opcones Exsten dos versones del MEDAF portantes para contratos de uturos y opcones: Sabeos que el preco de un contrato de uturos sobre un título es gual al preco actual ás el coste de acarreo. sendo: P = 1+ [ ( d )] P S r, P S P d = preco de un contrato de uturos sobre el título -éso. = preco del título -éso. = renta sobre título -éso. Derencando la expresón anteror, toando esperanzas y edante las susttucones pertnentes, teneos: donde, S S ( r r ) β = r + ( r ) β ~ r = r = r + ~ ~ r S ( dp P ) S S ( dp P ) r = E / ~ r = E / Esta ecuacón uestra que el MEDAF para un contrato de uturos es déntco al del actvo subyacente, y que la Beta de un contrato de uturos ( β ) es gual al del título subyacente S β. ( ) Se puede aplcar tabén el MEDAF para contratos de opcones de copra o de venta. Aún cuando el MEDAF se conoce coo odelo unactoral, debdo a que los rendentos sobre los títulos se suponen relaconados sólo a un actor únco (el resgo de ercado contendo en cada título), se puede consderar un odelo ultactor, de los que se hablará en otra ocasón. En caso de no exstr una relacón sgncatva entre β y el rendento de las accones ordnaras, puede exstr una pra equtatva que no estaría relaconada con la aversón al resgo de los nversores en cartera. Entonces, la hpótess de que exstrá tal pra no está deasado clara. En el capo actuaral, se puede suponer que exste una relacón entre volatldad y rendento, ya que se puede deducr un resultado portante y es que exste una relacón lneal entre rendento esperado de los títulos ndvduales y los actores β. Aparte de algunas ltacones, el Modelo de Equlbro de Actvos Fnanceros (MEDAF), sgue sendo el punto de partda de una gran varedad de aplcacones. Por ejeplo, nos proporcona el conocento de que la pra de resgo sobre un actvo depende de su 50

7 covaranza con la cartera del ercado, ás ben de que su varanza pura. Esto se utlza bastante en la construccón de carteras y en el seguento del resgo de carteras. Convene observar que es aparente la exstenca de una relacón postva entre los valores de β y el rendento, en la ayoría de las publcacones sobre nversón. Por ejeplo, Bralsord y Heaney (1998), ndcaron que el MEDAF es nteresante por su splcdad y gran apltud en las aplcacones nanceras, tanto centíca coo proesonalente. De tal ora, que se cuple la relacón lneal que se ha supuesto en el MEDAF entre los valores de β y el rendento esperado. Se podría suponer que la relacón MEDAF entre los valores de β y los rendentos, es un odelo de expectatvas ás ben que de resultados. No obstante, para utlzarlo coo odelo de expectatvas se necesta una relacón entre las expectatvas del odelo y los resultados. Esta relacón la realzaron centícaente Black, Jensen y Scholes (197) y Ball, Brown y Ocer (1976). Las conclusones de estos estudos son los que se ponen en tela de juco. S no apareceran estos estudos para conrar la exstenca de una relacón teórcaente obtenda entre los valores de β y los rendentos, parece probable que el uso del MEDAF y la adopcón de sus hpótess se hubera dunddo tan aplaente. S no exstera la relacón sgncatva entre el valor de β y el rendento, entonces una gran parte de la teoría nancera oderna cuenta con la evdenca epírca que no se ha nterpretado correctaente. 3. LA VOLATILIDAD Y EL PARÁMETRO BETA. En térnos generales, la volatldad del preco de los títulos es una edda de nuestra ncertdubre sobre los oventos uturos de los precos de los sos. Cuando la volatldad auenta, la posbldad de que los títulos vayan uy ben o uy al auenta. Para el propetaro de actvos nanceros estos dos resultados tenden a copensarse el uno con el otro. Sn ebargo, esto no es así para el propetaro de una opcón de copra o de venta. El propetaro de una opcón de copra se beneca de los ncreentos de preco pero ha ltado el resgo de pérdda en el caso de un decreento del preco, de odo que lo áxo que puede perder es el preco de la opcón. De anera parecda, el propetaro de una opcón de venta se beneca de las dsnucones del preco pero tenen ltado el resgo en el caso de un ncreento de preco. El valor de abas opcones, de copra y de venta, auenta cuando la volatldad es ayor. De un título se puede calcular usando el análss estadístco o, ás especícaente, usando análss de regresón sobre los datos hstórcos para estar el odelo de ercado dado por la ecuacón: R (rendento)= α βr + ε, + M donde ε tende en la eda a cero. La pendente estada del odelo de ercado es el estador Beta. Se calcula una sere de ercado (S&P 500, por ejeplo) en un ntervalo aplo para un índce de rendento, edante la ecuacón: V1 V0 + R p = V0 D V 1= valor de ercado de la cartera al nal del ntervalo. V 0 = valor de ercado de la cartera al prncpo del ntervalo. D= Dstrbucones de caja (eectvo) para el nversor durante el ntervalo. 51

8 El cálculo supone que cualquer renta de nterés o rendento recbdo por la cartera de títulos y no dstrbudo al nversor se renverte en la cartera y se releja luego en. V 1 Se pueden calcular los rendentos ensuales de los últos 5 años, orecendo 60 observacones del rendento tanto para el índce de ercado coo para el título o cartera. La teoría de Cartera no ndca s se usan rendentos ensuales, seanales o daros. Tapoco ndca un núero especíco de observacones, salvo que la etodología estadístca plantea que ás observacones orecen una edda de beta ás able Fabozz orece estacones de beta usando datos hstórcos y resgo ssteátco y no ssteátco para 5 accones con rendentos estados durante 60 eses desde Enero 1996 a Dcebre del 000. Otro producto para la técnca estadístca usado para la estacón de Beta es el porcentaje de resgo ssteátco con respecto al resgo total. En térnos estadístcos se de por el coecente de deternacón de la regresón, que ndca el porcentaje de varacón del rendento del actvo explcado por el de 0 a 1. El resgo no ssteátco o resgo únco es, entonces, el porte no explcado por la cartera de ercado. Es decr, es 1 enos el coecente de deternacón. Certos estudos uestran que la accón coún del NYSE (New York Stock Exchange) tene un resgo ssteátco del 30% y un resgo no ssteátco del 70%; por el contraro, el coecente de deternacón para una cartera ben dverscada ndca un resgo no ssteátco neror al 10% de la varabldad total La derenca en el Cálculo de Beta dependerá de los sguentes actores: a) la longtud de tepo sobre el que se calcula; b) el núero de observacones usadas; c) el período especco de tepo usado (depende de la antgüedad); d) el índce selecconado de ercado (S&P 500, ó un índce total ponderado por el valor relatvo de ercado). Queda la cuestón sobre la establdad o posble cabo de los valores de beta. Una cuestón nteresante a plantear se reere a s los deternantes econócos de la Beta de una copañía deberían estar relejadas en su Beta. Varos estudos epírcos han ntentado dentcar estos actores acro y acroeconócos. Exste la evdenca de que un error aleatoro (nsesgado) en la dentcacón de Beta, nos lleva a una pendente descendente sesgada y a un punto de nterseccón (ordenada en el orgen) ascendente. La relacón entre la volatldad y el rendento o, ás correctaente, la relacón entre la beta de un título, y su rendento esperado ha sdo una cuestón delcada, controvertda. La relacón es un punto esencal del MEDAF, que ha sdo una de las deas ás donantes de la teoría de Fnanzas desde hace décadas. En la práctca exsten 3 áreas aplas de aplcacón potencal del MEDAF: 1) La aceptacón de una relacón entre los valores de β y el rendento, dentro de las accones ordnaras coo una clase de actvos. ) Decsón de la posbldad de relacón entre la volatldad de una clase de actvos y su rendento edo. 3) La evaluacón del proyecto hallar el tanto adecuado de descuento a usar en la valoracón de un proyecto o una decsón epresaral. El prer punto se reere a la posble relacón sgncatva entre β y el rendento dentro de las accones ordnaras coo una clase de actvos. Tal relacón es un pre-requsto para la exstenca de una pra del captal, o rendento superor a largo plazo de las accones resultante de la aversón a la volatldad que tenen los partcpantes en el ercado de captales. S no hay relacón sgncatva entre β y el rendento todavía puede exstr una pra de captal, pero no se obtene de la aversón al resgo de los nversores de cartera. Dentro de la proesón actuaral han exstdo eleentos sgncatvos de dudas sobre cualquer relacón entre los valores de Beta y el rendento y el poder de predccón de los valores de β. 5

9 S se juzga la adopcón recente por el Insttuto de Actuaros de un crteros que dce: Se ha obtendo un resultado poderoso que prueba que exste una relacón lneal entre el rendento esperado de los títulos ndvduales y los así llaados actores β. Bralord and Heaney (1998) aran: El MEDAF es portante por su prograa de splcdad y los eectos de aplo alcance que tenen sobre el estudo de las nanzas. Se ncluye práctcaente en todos los cursos de nanzas y es usado para uchas aplcacones en el análss nancero, tanto por proesonales coo por acadécos. Después de analzar los puntos conlctvos y la evdenca añaden: La relacón lneal que predce el MEDAF entre los valores de β y el rendento esperado, se cuple generalente. Se ha tratado de ver s se puede probar que el MEDAF es verdadero o no. Se han llegado a consderar certas deudas al respecto, pero se puede decr que orece una vsón del coportaento del ercado de captales. Una cuestón práctca es preguntarse s hay otros odelos copettvos ejores. Se puede aclarar que exsten algunos odelos que son ejores para certos nes. La dea de la relacón entre la volatldad β y el rendento surgó en los años cncuenta, cuando se epezaron a utlzar los ordenadores para nvestgar el coportaento de las seres cronológcas de los precos de las accones. En aquel tepo exstía un punto de vsta respecto a los oventos del preco de las accones en perodos de tepo sucesvos, en el sentdo de que eran estadístcaente ndependentes. El hecho de que la ndependenca uera portante, ue debdo a que esta hpótess justcó el uso de la volatldad de los rendentos coo una edda del resgo. Markowtz (1959), deostró que s los nversores conoceran el rendento esperado, la volatldad de los rendentos de todas las nversones dsponbles y la correlacón de los rendentos entre todas las nversones dsponbles, entonces podrían usar un procedento de optzacón ateátca para obtener una cartera que produzca el ejor rendento esperado para un deternado nvel de volatldad. Alternatvaente, para deternado nvel aceptable de volatldad, se podría usar el so procedento de optzacón para selecconar una cartera que produzca el ayor rendento posble. En este aspecto, tanto Markowtz coo en general, se utlzó la palabra resgo en lugar de volatldad. Con el n de poder realzar el procedento de optzacón de Markowtz con n nversones posbles, se necestan n edas y varanzas, así coo n(n-1)/ correlacones. Entonces, debdo a la gran cantdad de noracón nuérca que se necesta para poner en práctca las deas de Markowtz, a tal enoque no se le do deasada portanca. Ahora ben, Jensen (197) consderó que los trabajos de Markowtz consttuyeron la base sobre la que Sharpe (1964), Ltntner (1965) y otros desarrollaron los odelos de equlbro de la relacón entre los tantos de rendento esperados de los actvos ndvduales, la covaranza de rendentos de actvos ndvduales con los de la cartera de ercado y el tanto de nterés sn resgo. Así coo las deas de Markowtz, el desarrollo teórco de los odelos de equlbro requeren hpótess tales coo: 1-.Todos los nversores son axzadores de la utldad esperada, en un solo perodo,, de los resultados nales. -.Los nversores elgen entre carteras alternatvas de acuerdo con el rendento esperado y la varanza (o desvacón típca) del rendento. 53

10 3-.Todos los nversores pueden prestar y pedr prestado cantdades ltadas a un tanto de nterés sn resgo dado, no habendo ltacón alguna respecto a las ventas en descuberto de cualquer actvo. 4-.Todos los nversores coparten estacones subjetvas déntcas respecto a las edas, varanzas y covaranzas del rendento de todos los actvos. 5-.Los actvos son copletaente dvsbles y perectaente lqudables, sn gastos de transaccones en sus copras y ventas. 6-.No exsten puestos. Observeos que no es necesaro que todos los nversores usen un odelo de optzacón de la volatldad del rendento. Basta con que algunos nversores utlcen este procedento para benecarse de las oportundades que surjan. Los odelos basados en estos aspectos teórcos establecen que, en un ercado que está donado por tales nversores, las característcas de la volatldad/rendento esperado de tales títulos deberían estar relaconados de ora sple. Posbleente, coo resultado de la evdenca epírca, se llegó a aceptar, después de grandes dscusones respeto al odelo de equlbro ás adecuado, que debería exstr la relacón lneal entre los rendentos esperados de todos los actvos y la covaranza de estos rendentos con la cartera de ercado. Coo resultado nal, se consderó el MEDAF, odelo lneal sple que se expresa en uncón de los rendentos y resgos esperados. En su ora ex-ante, teneos: E(R j )= R + [E(R ) R ]β j (8) donde E(R j ) es el rendento del actvo j durante un período; R, es el tanto de rendento sn resgo; E(R ), es el rendento de la cartera de ercado durante un período; β j, es el actor beta del actvo. Aunque uchas de las extensones del odelo soportan esta sple ora lneal, otros sugeren que puede no ser lneal, ya que otros actores dstntos del β se necestan para explcar E(R j ), o que R j no es el tanto sn resgo apropado. Por tanto, con tantas posbles alternatvas surgó la cuestón: cóo se ha de ajustar el odelo a los datos? El prer paso necesaro para contrastar epírcaente el odelo teórco MEDAF es transorarle de esperanzas o ora ex-ante (las esperanzas no pueden edrse) en una ora que utlce datos observados. Esto se puede hacer suponendo que el tanto de rendento de cualquer actvo es un juego equtatvo. Es decr, en eda el tanto de rendento esperado de un actvo es gual al tanto de rendento obtendo. Entonces, podeos expresar el juego equtatvo coo sgue: donde R jt =E(R jt )+β j δ t +ε jt (9) δ t =R t E(R t ) E(δ t )=0 ε jt = un térno resdual-error con eda cero E(ε jt )=0 y que no está autocorrelado de nnguna ora: cov (ε jt, δ t )=0 ; cov(ε jt, ε j,t-1 ) β jt = cov (R jt, R t ) /var (R t ) 54

11 La ecuacón (9), expresa un juego equtatvo ya que, s toaos esperanzas en ábos ebros, el rendento edo obtendo es gual al rendento esperado. Es decr, en eda, el rendento que se obtene es el esperado: E(R jt ) = E(R jt ) S utlzaos la hpótess de MEDAF de que los rendentos de los actvos son conjuntaente norales, entonces β j en el odelo juego-equtatvo está dendo exactaente de la sa ora que el β j en el MEDAF. Susttuyendo E(R j ) del MEDAF en (9), obteneos: R jt =R t + [E(R t )-R t ]β j +β j [R t -E(R t )]+ε jt =R t +(R t -R t )β j +ε jt Fnalente, restando R t de ábos ebros, obteneos: R jt -R t =(R t -R t )β j +ε jt (10) que es la ora ex-post del MEDAF. Deducos esto suponendo spleente que los rendentos están noralente dstrbuídos y que los ercados de captales son ecentes en el sentdo juego-equtatvo. Black, Jensen y Scholes (197), obtuveron un odelo entre los valores de β y los rendentos del tpo: Donde α j es una constante reerente al actvo j. R jt =R t +α j +(R t -R t )β j +ε jt Aunque observaron que sus resultados no se ajustaban exactaente a su odelo, no obstante había una relacón evdente entre los valores de β y los tantos de rendento edos, lo que coentó Walsh (1976) en el sentdo de que el trabajo de Black, Jensen y Scholes ndca que después de una contrastacón exhaustva sí exste una relacón lneal entre el resgo de ercado y el rendento de la nversón de un título. 4. LA BETA Y LA TEORÍA En base a los arguentos teórcos y la evdenca epírca, es natural que se establecera la dea de una relacón lneal postva entre valores de β y del tanto de rendento. En este sentdo, Faa y French (199) ndcaron que el MEDAF de Sharpe (1964) y Black (197) había delneado el cano de lo que centíca y proesonalente se pensaba respeto a los rendentos edos y del resgo. La predccón central del odelo era que la cartera de ercado del patrono nvertdo es ecente eda-varanza establecdo por Markowtz (1959). La ecenca de la cartera del ercado plca lo sguente: 1-.Los rendentos esperados de los títulos son una uncón lneal postva de sus betas de ercado (pendente de la regresón del rendento de un título respeto al rendento de ercado. -.Las betas del ercado bastan para descrbr la seccón transversal de los rendentos esperados. Entonces, es evdente que la hpótess de una relacón entre los valores de beta y el rendento esperado ha presddo durante ás de trenta años, en base a los trabajos teórcos de Markowtz, Sharpe y Black y la evdenca epírca establecda por Black, Jensen y Scholes. Cuando se consderan posbles nversones alternatvas o se nvestga la evdenca epírca, exsten varas dencones del térno rendento edo tales coo: 55

12 1-.La eda artétca de los sucesvos tantos de rendento dscretos. Esta se ha usado bastante en los contrastes de la relacón rendento β, pero generalente no se utlza para propóstos tales coo edda del coportaento. -.El tanto de rendento ponderado en el tepo. Este se ha usado bastante para edr y coparar el coportaento de los drectores de ondos ya que de los resultados de nversón ndependenteente de los cash lows. Es un tanto de rendento eda geoétrca de los sucesvos períodos de tepo. 3-.El tanto de rendento onetaro ponderado o tanto de rendento nterno. Utlzada en la valoracón de proyectos y en la dstrbucón de los superávts en los ondos superanuales. 4-.El tanto de rendento captalzado de ora contnua edo. Usada en los trabajos teórcos, por ejeplo, en los odelos de tanto de nterés estocástcos. Es evdente que la dencón precsa del tanto de rendento edo, es uy portante. S se consdera que todos los nversores tratan de axzar su rqueza nal, esto no va de acuerdo con el uso de las edas artétcas de los tantos de rendento dscretos para valorar las alternatvas de nversón, pues de acuerdo con un estudo realzado realzado por Black, Jensen y Scholes las posbles derencas con relacón a β cas desaparecen cuando la dencón del rendento edo se caba de la eda artétca de los rendentos dscretos a la captalzacón de ora contnua. En 199, Faa y French estudaron la relacón posble entre el rato preco ercado/preco nonal durante el perodo en la Bolsa de Nueva York y concluyeron que había una relacón postva entre el valor preco ercado/preco nonal y el rendento. Parece ser que este estudo se basó en los rendentos edos dscretos ás ben que en la captalzacón contnua. Asso, observaron que sus resultados estaban en contra de la ora tradconal del MEDAF que suponía una relacón lneal entre β y el rendento. Basu en 1977 y 1983, sugró que la relacón entre los ratos preco/ganancas y los rendentos no era debdo a β. Ball en 1978 arguentó que ostrando que el coportaento superor de las carteras con ratos bajos preco/ganancas no depende de los valores ayores de β, no era sucente porque los ratos precos/ganancas bajos sntetzan alguna otra ora (no dentcada) de relacón entre el resgo y el rendento pero que no había relacón entre los valores de β y el rendento. Es dícl coprender la lógca del arguento de Ball ya que se basa en la hpótess de que la β no de el resgo. Ball (1979) y Ball-Brown (1986) no hceron reerenca a la posbldad de que la captalzacón contnua y las edas artétcas de los rendentos puderan dar resultados derentes, por lo que parece exstr un punto de vsta aplaente antendo de que esto no porta deasado. Bralsord y Heaney en 1998, ndcaron que exsten varos étodos de estar el rendento esperado. Los rendentos se podrían expresar coo rendentos artétcos, rendentos geoétrcos o rendentos captalzados de ora contnua. Entonces, aunque teórcaente éstos podrían aectar a los resultados de los contrastes del MEDAF, la eleccón de la estacón del rendento no parece aectar deasado. 5. EL USO DE LA BETA EN LA PRÁCTICA: ALGUNAS RECOMENDACIONES. 5.1 El Análss de la varanza El análss total de un título, que coprende tanto el resgo ssteátco SR coo el no ssteátco, se de por la varanza de los rendentos, que puede separarse en dos coponentes. 56

13 En los odelos de regresón, el punto hasta el que la varabldad total de la varable dependente se explca por la varabldad de la varable ndependente está dado por el R estadístco, el cuadrado del coecente de correlacón, que es el coecente de deternacón. R es una edda de bondad del ajuste de la línea de regresón a las observacones obtendas. S todas las observacones están en la línea de regresón, R =1 y las varacones en el rendento del ercado explcan totalente las varacones del rendento del título. En este caso, todo el resgo es resgo de ercado. Se deduce que cuanto ás bajo es R, ayor será la proporcón de resgo especíco del título. Los nversores que deseen dverscar el resgo especíco senten atraccón por estos títulos. Se ha de observar que un R =1 no plca una Beta gual a 1. Exsten títulos agresvos (β>1), neutrales (β=1) y deensvos (β<1) con R =1. (Los tres títulos tenen grados derentes de resgo de ercado). El resgo de ercado o ssteátco es gual a típca total=. T R x varanza total, T ; ó (1- rj )x desvacón La construccón de una teoría necesta de una splcacón de los enóenos estudados. Para coprender y odelar cualquer proceso, se splcan los eleentos del undo real. Mentras que se puede cuestonar un odelo basado en hpótess sples, debdo a dchas hpótess, el control o test relevante del daño obtendo por la splcacón se obtene exanando las relacones entre las predccones del odelo y los enóenos observados del undo real. En este caso, el test relevante es ver coo descrbe el coportaento de los ercados actuales de captales el MEDAF, u otro odelo general de equlbro. 5. Los Modelos: Esperanzas ex ante y test ex post La ayoría de los odelos de equlbro general se basan en el test estándar o en la ora de Beta cero (dos actores) del odelo de equlbro general. El MEDAF básco se puede escrbr: E ( R ) = R + β [ E( R ) R ] F M F La versón con préstaos o endeudaento conocda por odelo de dos actores, se puede escrbr: E( R ) = E R + β E R R ( ) [ ( ) ] z M ( Rz E ) z Se ha de tener en cuenta que en el rendento esperado de la cartera de varanza ína que no están correlaconada con la cartera de ercado. Se observa que estos odelos se orulan en térnos de expectatvas (esperanzas). Todas las varables se expresan en uncón de valores uturos. La Beta relevante es la Beta utura del título. Adeás tanto el rendento del ercado, coo el rendento de la cartera de varanza ína y Beta cero son rendentos esperados uturos. Puesto que no exsten datos ssteátcos a largo plazo sobre expectatvas, cas todos los tests del MEDAF se han realzado usando valores observados ex post o valores observados para las varables. Esto plantea la cuestón lógca de cóo justcar los tests de expectatvas en uncón de los resultados. Se han realzado uchos tests del odelo estándar y de la ora de los actores, cuya exposcón requerría un voluen copleto. 5.3 Algunas hpótess sobre el MEDAF Se han orulado algunas hpótess sobre el MEDAF que se deben cuplr, tanto en el caso del MEDAF sple coo en el odelo de equlbro general de dos actores: 57

14 1) la prera es que los ayores valores de resgo (Beta) han de estar asocados con un nvel ás alto de rendento. ) La segunda es que el rendento está lnealente relaconado con Beta, lo que sgnca que para cada undad de ncreento en Beta, exste el so ncreento del rendento. 3) La tercera es que no debe exstr rendento adconal por soportar resgo especíco (no dearcado) Black, Jensen y Scholes ueron los preros en realzar proundaente un test de seres teporales del MEDAF. Toaron coo odelo básco de seres teporales: R t R Ft ( RMt R t ) ε t = α + β + Cuando se esta esta ecuacón de seres teporales, los coecentes de regresón, α, deben ser guales a cero s el MEDAF sple descrbe rendentos. Con el n de realzar el test es deseable usar un núero grande de títulos. El étodo obvo es estar la ecuacón para cada una de las seres de títulos y luego exanar la dstrbucón de α. Sn ebargo, esto no es apropado porque los test de una dstrbucón de α suponen que los térnos resduales ( ) t e jt e, sean ndependentes, y no lo son. Un odo de splcar el problea es desarrollar la regresón de las seres teporales sobre carteras cuando Black, Jensen y Scholes oran carteras, pretenden axzar el derencal de las Betas en las carteras con el n de exanar el eecto de Beta en el rendento. El odo ás obvo de hacerlo era clascar los títulos en carteras por Betas verdaderas, pero sólo dsponían de Betas observadas. Introducen entonces una varable nstruental, que resultó ser la Beta para cada título del perodo prevo Scholes epleó los datos ensuales de 5 años para estar las Betas y clascar los títulos en decles (desde el ás alto al ás bajo). Fue un trabajo exhaustvo que él descrbe con sus resultados respectvos. Sgueron otros tests de Faa y MacBeth, y otros adconales. Heos de decr que Roll no ue deasado crítco con el MEDAF; no djo que no era aplcable sno que tenía sus dudas. S supuséraos que los nversores deberían toar las decsones de nversón en base a axzar su rqueza nal, entonces esto sería nconsstente con realzar las valoracones en base al rendento edo, a enos que denéraos el rendento edo coo eda de los rendentos captalzados de ora contnua o su equvalente. Coo étodo de estar los captales de los nversores, la eda artétca de los tantos de rendento dscretos es tan nexacto coo sesgado a avor de los actvos volátles. Las edas artétcas de los tantos de rendento dscretos, dstntas de las edas geoétrcas o edas del tanto nstantáneo de rendento, no den correctaente los captales de las carteras de nversón en ntervalos de tepo sucesvos. Por tanto, cualquer odelo de rendentos de nversón necesta establecer una relacón entre las varables del odelo y el rendento contnuaente captalzado edo. Con tal n, la evdenca epírca, basada en edas artétcas de tanto de rendento, necesta tratarse con gran cudado. Al MEDAF a veces se le deende en base a que es un odelo de período únco. UN odelo de período únco, especalente cuando la evdenca epírca se basa en edas artétcas de tantos de rendento dscretos, es poco probable que sea adecuado para períodos sucesvos últples, cuando el núero de períodos es grande, coo generalente sucede en la práctca. Cuando se observó una relacón aproxadaente lneal postva entre los valores de β y rendento, la dea de rendento relaconado con el resgo ue explotada desde un arguento de una clase nteractvo a una explcacón adsble del coportaento superor de los captales propos respecto a los títulos de nterés jo. 58

15 Se arguentó que una relacón lneal entre los valores de β y el rendento sgncaba que la cartera de ercado era una cartera ecente y todas las deás carteras ecentes debían de constar de cobnacones lneales de la cartera de ercado y del actvo sn resgo. Este arguento exge un núero de hpótess, ncluyendo el uso de la volatldad coo una edda del resgo y la explcacón usual es que los nversores raconales nvertrán solaente en clases de actvos ás arresgados s su rendento esperado es ayor que el de las otras clases. Observadores experentados, coo Alan Kohler (001), han observado que los nversores proesonales,s son adversos al resgo, pueden estar ás preocupados por su propo resgo epresaral que por los resgos de nversón a los que están exponendo a sus clentes. Pues En lugar de estar nvertdos a largo plazo, los ahorros de jublacón están nvertdos en actvos a corto plazo, dseñados para proteger los resgos epresarales de aquellos que realzan la nversón, no para proteger los resgos de nversón de los clentes, ncluso, axzar los rendentos a largo plazo; el objetvo prncpal de los negocos de nversón nsttuconales es reducr su error de seguento y, por tanto, reducr las posbldades de ser despeddo. La nvestgacón relaconada con el coportaento del nversor está epezando a sugerr que los nversores pueden no ser adversos al resgo. Así Colean (001), decía que durante los últos vente años, los pscólogos y econostas del coportaento habían observado que la ayor parte de los ndvduos no son adversos al resgo, sno que son adversos a tener pérddas, que es uy derente. La propuesta de que ucha de la evdenca epírca en pro de una relacón rendento y resgo podría ser cuestonable, está basada en la crecente evdenca de que las explcacones undadas en la raconaldad del nversor tabén son cuestonables. Las ventajas teórcas de la captalzacón contnua son ben conocdas, ncluso aunque la exacttud adconal no se consdere sepre sucenteente portante. Sea por splcdad o, por otras razones, la ayor parte de las nvestgacones acadécas epírcas que soportan una relacón postva entre β y el rendento edo se ha basado en edas artétcas de tantos de rendento dscretos, tales coo Black, Jensen y Scholes (197) y Ball, Brown y Ocer (1976). Por otro lado, la ayor parte de la nvestgacón teprana sobre el poder predctvo de los ratos precos-ganancas, tales coo Mc-Wllas (1966) y Ncholson (1968) usaron tantos de rendento captalzados equvalentes que pueden ser drectaente transorados en tantos de rendento captalzados de ora contnua. La práctca aportada por la nvestgacón acadéca respecto a la relacón entre actores tales coo ratos precos-ganancas y los valores norales (contables) es varada. Basu (1977 y 1983) utlzó la captalzacón contnua entras que Faa y French (199) usaron predonanteente edas de rendentos dscretos. S la únca base aceptable para consderar la evdenca epírca que relacona las teorías de la nversón y/o los odelos son los tantos de rendento captalzados de ora contnua o sus equvalentes, entonces una gran parte de la evdenca exstente puede ser necesaro reodelarla o no consderarla, porque conduce a error. Realzar estudos respecto a la relacón entre β y el rendento, utlzando la captalzacón contnua, es evdenteente un área portante para nvestgacones posterores. Tenendo en cuenta los derentes odos de edr el rendento, parece probable que la controversa entre ercados ecentes y el poder predctvo entre los ndcadores de valor, tales coo los rendentos de los dvdendos, los ratos precos-ganancas y los valores nonales (contables) tuvo un allo de councacón entre los grupos que utlzaban dencones derentes del rendento edo. 59

16 Mentras tanto, la exstenca y extensón de cualquer relacón sgncatva entre β y el rendento edda por edo de los tantos de rendento captalzados de ora contnua está lejos de estar lo sucenteente claro. Desde el punto de vsta de un nversor a largo plazo, para quen un odelo de un solo período no es lo adecuado, la relacón puede llegar a ser bastante enor del uno por cento ensual que parece aplcarse a edas artétcas de tantos de rendento dscretos, tal coo lo han docuentado Black, Jensen y Scholes (197). Basados en la evdenca, no uy apla de Basu (1977 y 1983) y Drean (198) la relacón entre los valores de β y los tantos de rendento captalzados de ora contnua (o ben, ponderados en el tepo) puede ser ncluso lgeraente negatva. Debdo a la duda respecto a la relacón entre los valores de β y el rendento a largo plazo de los captales, la exportacón de este arguento coo explcacón del coportaento a largo plazo superor de las accones ordnaras, coparado con las oblgacones, está aberto a la dscusón. Puede exstr una pra equtatva, pero la volatldad y el coportaento adverso al resgo por los nversores puede no ser la explcacón. Receved June 005 Revsed Septeber 006 REFERENCIAS BALL, R.(1978) Anoales n Relatonshps between Securtes Yelds and Yeld- Surrogates, Journal o Fnancal Econocs, 6, BALL, R., BROWN, P., and OFFICER, R.R. (1976) Asset prcng n the Australan equty arket, Australan Journal o Manageent, 1, 1-3. BALL, R. and BROWN, P. (1980) Rsk and return ro equty nvestents n the Australan nng ndustry: January 1958 to February 1979, Australan Journal o Manageent, BASU, S. (1977), Investent perorance o Coon Stocks n relaton to ther Prce- Earnngs ratos: a test o the ecent arkets hypothess, Journal o Fnance, 3, BASU, S. (1983), The Relatonshp Between Earnngs Yeld, Market Value and Return or NYSE Coon Stocks: Further Evdence, Journal o Fnancal Econocs 1, BLACK, F. (197), Captal arket equlbru wth restrcted borrowng, Journal o Busness, 45, BLACK, F., JENSEN, M.C. and SCHOLES, M. (197), The Captal Asset Prcng Mode1: Soe Eprcal Tests Studes n the Theory o Captal Markets, Praeger Publshng, New York. BRAISFORD, T. and HEANEY, R. (1998), Investents: Concepts and Applcatons n Australa, Harcourt Brace, Sydney. COLEMAN, A.M. (001). Presdental Address. Australan Actuaral Joual,l 7. Issue 1. DREMAN, D.N. (198). The New Contraran Investent Strategy, Rando House, New York. FABOZZI, F. and MODIGLIANI, F. (003), Captal Markets, Prentce Hall, New Jersey. FAMA, E.F. and FRENCH, K.R. (199). The Cross-Secton o Expected Stock Returns, Journal o Fnance 47, JENSEN, M.C The Foundatons and Current State o Captal Market Theory, Studes n the Theory o Captal Markets, Praeger Publshng, New York. KOHLER, A. (001). The Super Mess, Australan Fnancal Revew, Aprl,

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