Décimo Quinto Encuentro Regional Ibero-americano del CIGRÉ Foz de Iguazú-PR, Brasil 19 al 23 de mayo de 2013

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1 SISTEMA INFORMÁTICO PARA ANÁLISIS MODAL. CÁLCULO DE LA MATRIZ A USANDO MODELOS DE GENERADORES, AVR Y PSS. C. E. Btezk* J. L. Agüero* M. C. Beroqu* R. Caals* S. Barbero* * Isttuto de Ivestvacoes Tecológcas e Redes y Equpos Eléctrcos Laboratoro de Alta Tesó Facultad de Igeería Uversdad Nacoal de La Plata RESUMEN E este trabajo se preseta la seguda etapa de desarrollo del Sstema Iformatco para Aálss Modal (), e la cual se corpora, a sus característcas ya presetadas e [], el cálculo de la matrz de estado A del sstema, basado e los datos de flujo y e los datos de los modelos lealzados de Geerador, AVR y PSS. Asmsmo, se realza ua comparacó de resultados etre el y el PSS/E para u caso de refereca publcado. PALAVRAS-CLAVE Aálss Modal Osclacoes Electromecácas Matrz de estado Modos de osclacó. INTRODUCCIÓN La corporacó de uevas líeas de 500 kv durate los últmos años e el Sstema Argeto de Itercoexó (SADI) y el Sstema Itercoectado Patagóco (SIP), ha trasformado la estructura radal característca de este sstema e ua estructura que comeza a ser mallada. Esta modfcacó estructural trae aparejado cambos e el comportameto dámco del sstema, ya que camba los modos domates de osclacoes electromecácas, o sea los modos de osclacó etre máquas scrócas co más bajos amortguametos. Para aalzar las uevas codcoes de fucoameto del SADI-SIP se debe realzar estudos para determar estos modos de osclacó y sus amortguametos. Estos estudos puede ser hechos e el domo de Laplace (Aálss Modal). El Aálss Modal determa los Autovalores o modos de osclacó del sstema, expresádolos e fucó de su frecueca y amortguameto. Para realzar el Aálss Modal se requere la matrz de estados A del sstema, que vcula a las dervadas temporales de las Varables de Estado co las respectvas Varables de Estado. E la actualdad, para estudos del sstema argeto, esta matrz A se obtee co la actvdad ASTR del módulo para estudos de dámca del programa PSS/E a partr del modelo o leal, del SADI-SIP utlzado para smulacoes temporales e estudos de establdad. La base de datos de estos modelos es admstrada por CAMMESA y se ecuetra dspoble para el programa PSS/E. Para realzar el Aálss Modal medate el procesameto de la matrz de estado A se utlza, el módulo LSYSAN del programa PSS/E. Por su parte, para llevar adelate este procesameto, el IITREE-LAT ha desarrollado u programa e MATLAB deomado (Sstema Iformátco de / 8

2 Aálss Modal). Ambos programas permte obteer todos los Autovalores del sstema y, a su vez, permte calcular los Factores de Partcpacó y los Autovectores asocados a cada Autovalor. E este trabajo se preseta la seguda etapa de desarrollo del, la cual permte calcular la matrz de estado A del sstema, basados e los datos de flujo y e los datos de los modelos lealzados de Geerador, AVR y PSS. Co esta amplacó de las prestacoes del se pretede obteer ua herrameta más versátl para la realzacó de estudos establdad de pequeña señal del SADI-SIP. Como sólo se precsa datos de flujo, ya que la base de datos de modelos de Geeradores, AVR y PSS es la msma que utlza CAMMESA, la potecaldad de esta herrameta para su uso e cetros de cotrol es muy grade, tato para predccó off-le como así també ua posble alteratva de mplemetacó o-le.. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ALGEBRAICAS El comportameto dámco de u sstema eléctrco puede ser descrpto por u cojuto de ecuacoes dferecales o leales deomado Ecuacoes Dferecales Algebracas (DAE - dfferetal-algebrac equatos) mostrado e la ecuacó (). x f x, x, u d d a 0 g x, x, u y h x, x, u d d a a Las dos prmeras ecuacoes de () represeta el comportameto del sstema, metras que la tercera muestra el comportameto de ua o varas varables de salda. E la descrpcó que se desarrolla a cotuacó, o se tee e cuata las saldas (y) y se supoe que o exste varables depedetes o etradas (u) e el sstema a aalzar. Las varables de estado (VE) x d correspode a aquellas asocadas a los modelos correspodetes a los geeradores y elemetos del cotrol exstetes e el sstema, tales como reguladores automátcos de tesó (RAT o AVR de sus sglas e glés) y establzadores de sstemas de poteca (ESP ó PSS de sus sglas e glés). Las varables algebracas x a elegdas para el aálss cosste e las corretes yectadas por los geeradores (I g ) al sstema y las tesoes e todos los odos (U) del msmo. Como se mecoó, la fucó f represeta la característca dámca de los elemetos compoetes del sstema metras que g represeta las ecuacoes o leales de la red. A su vez g está compuesta por dos fucoes, ua que descrbe el vículo etre el estator del geerador y la red (g ), y otra correspodete a las relacoes etre odos de la red (g ). Deomaremos a estas dos fucoes: Ecuacó de estator y Ecuacó de red respectvamete. Tomado las premsas aucadas aterormete, la expresó () puede ser reescrta como: x f x, I, U 0 g x, I, U 0 g x, I, U g g g S se lealza la expresó ateror para u dado puto de trabajo, y se escrbe e forma matrcal, se tee: x A B B x 0 C D D I g (3) 0 C D3 D 4 U. Ecuacó de estator Para comezar co el aálss del sstema, se debe prmero ecotrar ua represetacó adecuada que muestre las relacoes exstetes etre el modelo del geerador y el modelo de la red. Estas relacoes () () / 8

3 se descrbe a través de la ecuacó del estator, la cual vcula la tesó del geerador y la correte del msmo yectada a la red, es decr, su poteca etregada []. E estado estacoaro, la dervada del flujo es ula, por lo tato, la tesó de bores del -ésmo geerador está dada por el producto del flujo por la velocdad meos la caída de tesó e la ressteca de estator. E valores por udad (ω=), la tesó es gual a: U ju j R I ji (4) d q q d e d q S cosderamos u geerador de rotor lso co arrollametos amortguadores, el flujo e cada eje, e fucó de las ductacas trastoras (L ) y subtrastoras (L ), esta dado por las ecuacoes (5) y (6): L d L E d q L d Ll Eje drecto d d L did d L d Id (5) L L L L d l d l Eje e cuadratura L L E L L q q d q l q q Lq Iq q Lq Iq L q Ll L q Ll (6) Al expresarse los parámetros e valores por udad, y sedo ω=pu la frecueca e radaes por segudo, los valores de L cocde co los de X. Se asume además que X d = X q =X. Reemplazado (5) y (6) e (4) e gulado a cero, se tee: U d juq q X qiq j d X did Re ( Id jiq ) 0 (7) U ju j I ji R jx 0 d q q d d q e E la Fgura se muestra el crcuto equvalete estatórco. Debdo a que las coordeadas dq de los geeradores está referecado a la f.m.m. del msmo, para vcular las ecuacoes del geerador co el sstema debeos realzar u cambo de refereca, para lo cual rotamos las varables tesó, flujo y correte u águlo (δ π/), dode δ es el águlo de rotor del -ésmo geerador respecto a la refereca del sstema. Los subídces e mayúsculas dca que las compoetes rectagulares se ecuetra rotadas. j j j e D Q q d Fgura : Crcuto equvalete para la resolucó de la ecuacó de estator. Reescrbedo (7) e fucó del cambo de refereca se tee: j j j U e j e R jx I ji e 0 (8) q d e d q El cojuto de ecuacoes de todos los geeradores del sstema costtuye la fucó g del sstema de ecuacoes ().. Ecuacó de red Las ecuacoes de la red puede platearse e base al balace de poteca e los odos. Se cosdera que tato los geeradores como las cargas yecta poteca al sstema. E el caso de las cargas esta yeccó será egatva cuado se trate de ua carga pasva e ductva []. Para expresar las ecuacoes de balace e los odos se emplea la matrz de admtaca odal de la red, resultado para la -ésma barra: j j j jk jk U e I ji e P jq U e U e Y e (9) + - jx j I ji I ji e D Q d q d q L L k k k Re + j j U e U ju U ju e - D Q d q 3 / 8

4 j U e I ji e P jq es la poteca yectada por el geerador e la barra e j Dode d q G G j k Ye k es el elemeto -k de la matrz de admtaca odal del sstema. Igualado a cero la expresó ateror, se tee: j j j jk jk Ue Id jiq e PL jql Ue Uke Yk e 0 (0) Se debe teer e cueta que P L y Q L puede ser fucoes o leales de la magtud de la tesó. El modelo de carga comúmete usado resulta: P U P k U k U () k L L0 P P Q U Q k U k U () L L0 Q Q Las costates P L0 y Q L0 represeta las compoetes de poteca costate, k P y k Q represeta las compoetes de correte costates a factor de poteca costate y k P y k Q represeta las compoetes de mpedaca costate. E aquellas barras dode o exsta geeracó, las corretes será ulas, por lo tato se suprme el prmer térmo de la ecuacó (0). E caso de o exstr carga, se suprmrá el segudo térmo. El cojuto de ecuacoes de todos los odos del sstema costtuye la fucó g del sstema de ecuacoes (). 3. LINEALIZACION DEL SISTEMA Para obteer el sstema lealzado de la expresó (3) debemos obteer las expresoes correspodetes a las dervar las fucoes f, g y g de (). Para la lealzacó se supoe parámetros cotates co la frecueca. 3. Ecuacó dferecales Para poder obteer las ecuacoes lealzadas de la fucó f se debe hallar los elemetos costtutvos de las matrces A, B y B de la expresó (3). A su vez, cada ua de estas matrces está costtuda por submatrces, depedetes las uas de las otras, que represeta la lealzacó de cada uo de los modelos empleados. Tato A como B so matrces dagoales y está costtudas por m submatrces, sedo m el úmero de barras co geeracó. La matrz B sólo posee submatrces e las ubcacoes -j, sedo el úmero de geerador y j el úmero de barra. Sedo a su vez: AGEN A B B GEN AVR AGEN PSS GEN GEN APlata AAVR GEN AAVR A AVRPSS B Plata B B AVR Plata B (3) AVR APSS GEN APSS AVR A PSS B B PSS PSS La matrz A de ua plata cotee e su dagoal las matrces propas de cada compoete: geerador, AVR y PSS. La matrz propa cotee las dervadas de las VE de cada compoete geeradas por las VE propas del compoete. Las matrces fuera de la dagoal, determa las relacoes etre los dsttos compoetes de ua plata, por ejemplo, como las VE del geerador perturba a las dervadas de las VE del AVR o del PSS. Las matrces B y B determa como las varables algebracas (corretes y tesoes) asocadas a esa barra afecta a las dervadas de las VE de los dsttos compoetes de la plata. 3. Ecuacó de estator Para dervar la ecuacó de estator correspodete al -ésmo geerador, prmero se descompoe la expresó (8) e las dos dreccoes de los ejes dq para luego dervarse, resultado: 4 / 8

5 0 cos U U se R se X cos I R cos X se I o o o e o o d e o o q coso d seo q Uoseo (4) 0 seou Uocoso Re coso X seo Id Rese o X coso Iq se o d coso q Uo coso El flujo subtrastoro y el águlo δ depede de las VE del geerador, por lo tato la ecuacó (4) se puede escrbr: coso seo Uoseo A x Ax x seo cos o Uo cos o (5) Rese o X coso Recos o X se I o d U oseo coso Recos o X seo Rese o X cos 0 I o q Uocoso se o U Las matrces A ψ x y A δx depede del modelo de geerador empleado. O be, e forma compacta: c x d I g d U 0 (6) Dode I g Id Iq y T T U U. Procededo de gual maera a la descrpta para los m geeradores, se obtee la lealzacó de g como se muestra a cotuacó: C x D I D U (7) g 0 Tato C como D so matrces dagoales y está costtudas por m submatrces. La matrz D sólo posee submatrces e las ubcacoes -j, sedo el úmero de geerador y j el úmero de barra. 3.3 Ecuacó de red De gual modo como se procedó para el caso de g, la lealzacó de g se realza a partr de la dervacó de las ecuacoes de red descrptas por (0). j j o o jo j ko jk juoe Ido jiqo e j Uoe U koe Yke k k P o U Q U j j o L L jo jko j k e Ido jiqo e j e U koe Yke U U U k jo jko jk jo jko jk o ko k j U e U e Y e k k j o j o j j o o j o j o ju e I ji e U e e I ju e e I U e e Y e U k o k k k o do qo o d o q 0 Recordado que A x x, la ecuacó ateror expresada e forma matrcal compacta, resulta: c j x d 3j I g d 4 U d 4k U k d 4 U 0 (9) Procededo de gual maera a la descrpta para los odos, se obtee la lealzacó de g como se muestra a cotuacó: C x D I D U (0) 3 g 4 0 Tato C como D 3 posee submatrces e las ubcacoes -j, sedo el úmero de geerador y j el úmero de barra. La matrz D 4 se cooce como el Jacobao de la red y posee las expresoes de las dervads de la poteca actva y reactva respecto al módulo y águlo de la tesó. (8) 5 / 8

6 4. IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL Para poder costrur la matrz completa del sstema DAE mostrado e la ecuacó (3) se utlza dos programas, el programa PSS/E (PTI-SIEMENS) y u programa desarrollado e MATLAB (MathWorks Ic.) deomado (Sstema Iformatco de Aálss Modal). La estructura geeral del método para hallar la matrz se descrbe e la Fgura. Datos Dámcos Cálculo de Flujo de Carga Coversó de Geeradores y cargas Guardado de Datos Lectura de Datos de Flujo Computo de las Matrces de Plata m veces Guardado Matrz Completa Sstema DAE Cálculo de la Matrz de estado A Jacobao Fgura : Estructura de cálculo. Para el cálculo de los coefcetes de las dferetes submatrces que costtuye el sstema es ecesaro cotar co formacó referete a los resultados del flujo de carga del caso a aalzar. Estos resultados so obtedos e el etoro del PSS/E. Prevamete a la obtecó de los datos, todos los geeradores debe ser covertdos a geeradores de correte co mpedaca de salda gual a la mpedaca del estator de cada uo. Las cargas debe ser covertdas, teedo e cueta el valor de tesó del odo, a cargas de admtacas costates, correte costate o poteca costate segú correspoda. Co los datos obtedos del PSS/E se gresa al. E ua prmera etapa el programa ordea los datos de flujo e corpora a cada geerador los modelos correspodetes co sus ajustes. E este puto, el ya dspoe de todos los datos ecesaros para la costruccó de la matrz. El armado de la msma se realza computado las submatrces A Plata, B Plata, B Plata, C, C j, D, D y D 3j correspodetes a las m barras de geeracó, además del Jacobao (matrz D 4 ). Ua vez falzado el cálculo de todas las submatrces, las cuales fuero sedo guardadas e sus poscoes específcas, se completa co matrces ulas para así formar la matrz del sstema DAE. Para obteer la matrz de estado, se debe elmar las varables algebracas, obteédose ua ecuacó de la forma: x Asst x () Obteda la matrz de estado (A sst ), se realza el aálss modal medate el cálculo de los autovalores y autovectores de la msma, así como el cálculo de los factores de partcpacó []. 5. EJEMPLO NUMÉRICO Etoro PSS/E Barras ( odos) Máquas (m geeradores) Cargas Matrz de Admtaca Nodal Guardado Etoro MATLAB Procesameto de la Matrz A para el Aálss Modal Para el ejemplo umérco se toma el caso de áreas, barras y 4 geeradores presetados e la pag. 83 de la refereca [3]. El modelo de geerador empleado correspode al de rotor lso co u arrollameto amortguador e cada eje (modelo de lbrera GENROU del programa PSS/E [4]), que posee ses VE. Los datos de ajuste de los modelos, como así també los parámetros de los elemetos de sstema se ecuetra e la refereca [3]. La Fgura 3 muestra el dagrama uflar del caso propuesto. Como se explca e el cso ateror, la resolucó del flujo de carga se realza e el etoro PSS/E. A posteror se calcula la matrz de estado medate dos procedmetos, medate el y medate la actvdad ASTR del módulo para estudos dámcos del programa PSS/E. El proporcoa e forma drecta los autovalores de sstema, metras que para el caso de la matrz obteda medate el programa PSS/E se debe emplear el módulo Lysa que forma parte del msmo. 6 / 8

7 Fgura 3: Dagrama uflar del caso ejemplo ([3] pag. 83). La actvdad ASTR calcula la matrz de estado medate la aplcacó de ua perturbacó porcetual e cada ua de las VE para luego obteer su dervada (método cremetal). Al exstr alealdades e los modelos empleados, este método es muy sesble a la eleccó de la ampltud de la perturbacó. E la Fgura 4 se muestra los autovalores obtedos medate la actvdad ASTR y para dsttas ampltudes de pertubacó (0.%, % y 0%). De acuerdo a la expereca obteda e dveros estudos sobre el sstema argeto, el valor a utlzar es del %. Este valor evta grades excursoes de las varables de estado, lo cual os aparta del puto de trabajo, o excursoes muy pequeñas que se perde e rudo umérco del cálculo. La Fgura 5 muestra los resultados obtedos para ua perturbacó del % e el etoro PSS/E y los valores obtedos del cálculo de la matrz de estado e forma aalítca medate el. PSS/E (0.%) PSS/E (%) PSS/E (0%) Amortguameto 5% Amortguameto 0% PSS/E (%) Amortguameto 5% Amortguameto 0% Fgura 4: Autovalores medate la actvdad ASTR y dferetes ampltudes de perturbacó de las varables. Fgura 5: Comparacó de los resultados obtedos medate el PSS/E (%) y el. La frecueca de osclacó y el amortguameto de los modos más relevates obtedos por ambos programas se muestra e la Tabla I. La relevaca de los modos depede de su amortguameto, cosderádose mportates a aquellos que posea valores ferores al 0%. Los modos, y 3, 4 correspode a modos tra-área etre los geeradores - y 3-4 respectvamete. Exste u modo ter-área co frecueca de Hz y amortguameto del 4.4%. Esto se determa e base a los factores de partcpacó de las VE e cada modo (cálculo ya mplemetado e el []). Tabla I: Modos de osclacó sólo co modelos de geerador. PSS/E Modo Real Imagaro Amortguameto Frec. [Hz] Real Imagaro Amortguameto Frec. [Hz], ± ± , ± ± , ± ± Al corporarse el regulador automátco de tesó, se puede aprecar como el amortguameto de los dsttos modos dsmuye. El modelo empleado para e AVR es el IEEET [4] co los ajustes proporcoados e [3]. Los autovalores para este caso se muestra e la Fgura 7 y la frecueca de osclacó y el amortguameto de los modos obtedos por ambos programas de muestra e la Tabla II. Para mejorar el amortguameto, se corpora u PSS a cada uo de los geeradores. El modelo empleado se muestra e la Fgura 6. Los ajustes del msmo se elge para lograr valores de amortguametos mayores o guales al 0%, resultado: T =5s, T =s, T=0.s, T 3 =T 5 =0.4s, T 4 =T 6 =0.05s, Kss=0, Kr= y M=H de cada geerador. Auque T =5s es u valor alto para su 7 / 8

8 utlzacó e sstemas reales, exste u segudo wash-out co T =s. La Fgura 8 muestra los autovalores para este caso. La frecueca de osclacó y el amortguameto de los modos obtedos por ambos programas de muestra e la Tabla II. medda P e st st st st Ms Kr st 4 st N M st st Fgura 6: Modelo empleado de PSS. st3 st 4 st3 st 4 Kss V ss PSS/E (%) Amortguameto 5% Amortguameto 0% PSS/E (%) 5.00 Amortguameto 5% Amortguameto 0% Fgura 7: Comparacó de los resultados obtedos medate el PSS/E (%) y el cluyedo los AVR Fgura 8: Comparacó de los resultados obtedos medate el PSS/E (%) y el cluyedo los PSS CONCLUSIÓN Tabla II: Modos de osclacó cluyedo los AVR. Tabla III: Modos de osclacó cluyedo los AVR y PSS. Como se puede ver e el ejemplo umérco, medate la costruccó de la matrz de estado utlzado el se obtee resultados smlares a los logrados co el programa PSS/E, sedo dcho programa amplamete recoocdo a vel mudal para la realzacó de esta clase de estudos. Al utlzar el método que aplcar pertubacoes e las dsttas VE para obteer el valor de las dervadas, como lo hace el programa PSS/E, se produce errores umércos que se refleja e autovalores espuros e el semplao derecho. Debdo a que el obte la matrz e base al cálculo aalítco de las dervadas e el puto de trabajo del sstema y todos sus compoeetes, o aparece autovalores espuros e el semplao derecho de lugar de raíces. La dspobldad de la matrz completa del sstema, mostrada e la ecuacó (3), permte realzar cálculos adcoales a la obtecó de autovalores, autovectores y factores de partcpacó, como ser el cálculo de ídces de cotrolabldad y observabldad, que será reportados e futuras cotrbucoes. BIBLIOGRAFÍA PSS/E Modo Real Imagaro Amortguameto Frec. [Hz] Real Imagaro Amortguameto Frec. [Hz], ± ± , ± ± , ± ± PSS/E Modo Real Imagaro Amortguameto Frec. [Hz] Real Imagaro Amortguameto Frec. [Hz], ± ± , ± ± , ± ± [] J.L. Agüero, et al. Aálss modal. Expasó del sstema de trasmsó e 500 kv del SADI- SIP. Décmo Cuarto Ecuetro Iberoamercao del CIGRÉ, XIV ERIAC. 0. [] P. Sauer, M. Pa. Power System Dyamcs ad Stablty. Prtce Hall Cap. 6 y 7. [3] P. Kudur. Power System Stablty ad Cotrol.McGraw-Hll. Ic [4] PSS/E 30.. Program Operato Maual. Volume II. SIEMENS-PTI / 8