n la Unidad anterior hemos estudiado el movimiento sin tener en cuenta las causas que

Transcripción

1 UNIDAD 3 Dinámica n la Unidad anteio hemos estudiado el movimiento sin tene en cuenta las causas que E lo poducen o lo altean. En ésta abodaemos las inteacciones existentes ente los cuepos que se manifiestan po fuezas más o menos intensas y que son la causa de la alteación de su estado de eposo o de movimiento. Estudiaemos las leyes de Newton que justifican matemáticamente el modo en que actúan las fuezas. También conoceemos dos magnitudes físicas diectamente elacionadas: el impulso mecánico y el momento lineal; y la impotantísima elación existente ente éstas, descubieta también po Newton, y que constituye el Pincipio fundamental de la dinámica según su enunciado oiginal. Conoceemos la Ley de la Gavitación Univesal, también debida a Newton, que consiguió obtene la expesión matemática definitiva basándose en las teoías de Keple y Galileo. También estudiaemos las fuezas de ozamiento, pesentes en la páctica totalidad de los movimientos que obsevamos diaiamente, y el modo en que actúan. Asimismo, veemos que las fuezas pueden defoma los cuepos y conoceemos la ley de Hooke po la que se ige la defomación de los cuepos elásticos. Po último, haemos un estudio de la dinámica del movimiento cicula donde se aplicaán algunos de los conceptos que habemos apendido a lo lago de esta inteesante Unidad. Los objetivos que petendemos alcanza en esta Unidad son los siguientes: 1. Identifica las fuezas que actúan sobe los cuepos, como esultado de inteacciones ente ellos. 2. Explica los pincipios de Newton y aplicalos en la esolución de poblemas. 3. Aplica el pincipio de consevación de la cantidad de movimiento. 4. Defini la Ley de la Gavitación Univesal. 5. Compende la impotancia de las fuezas de ozamiento y de las fuezas elásticas. 6. Conoce la dinámica del movimiento cicula. 62

2 LA DINÁMICA estudia las FUERZAS como causa de DEFORMACIÓN EN LOS CUERPOS MOVIMIENTO Y SUS VARIACIONES que se ige po la su estudio se basa en las que pueden se afectados po LEYES DE NEWTON de la Dinámica: Pincipio de Inecia Pincipio Fundamental de la Dinámica Pincipio de Acción y Reacción equivalente al establece la Pincipio de Consevación del Momento Lineal Igualdad ente el Impulso Mecánico y el Momento Lineal Ley de la Gavitación Univesal Ley de Hooke Fuezas de ozamiento ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. LA FUERZA COMO INTERACCIÓN LEYES DE NEWTON Pimea ley: Pincipio de inecia Segunda ley: Pincipio fundamental de la dinámica Tecea ley: Pincipio de acción y eacción IMPULSO MECÁNICO Y MOMENTO LINEAL. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN INTERACCIÓN GRAVITATORIA. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL FUERZAS DE ROZAMIENTO FUERZAS ELÁSTICAS. LEY DE HOOKE DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

3 UNIDAD 3 DINÁMICA 1. La fueza como inteacción Hemos visto que si la velocidad de un cuepo en movimiento vaía es debido a la existencia de una aceleación. Ahoa bien, cuál es la causa de que se poduzca una aceleación? La causa es siempe una inteacción con uno o más cuepos y la intensidad de esta inteacción es lo que conocemos con el nombe de fueza. Así pues, desde el punto de vista dinámico, podemos defini la fueza como una medida de la intensidad de la inteacción ente los cuepos capaz de altea sus estados de eposo o de movimiento. A pimea vista, la inteacción ente dos cuepos puede poducise po contacto o a distancia. Podemos obseva multitud de ejemplos de los dos tipos de inteacción en nuesta vida cotidiana. Los más sencillos de intepeta son los que se poducen po contacto, po ejemplo, cuando se empuja un objeto paa cambiale de sitio, se le da un golpe paa enviale a un sitio conceto, etc. Sin embago las inteacciones a distancia son menos intuitivas aunque no po ello dejan de se evidentes como la atacción ente un imán y un tozo de hieo, o ente la Tiea y la Luna, o las fuezas que se manifiestan ente las cagas elécticas ya sean de atacción o de epulsión. A pesa de la multitud de fomas en que podemos obseva las inteacciones, en el fondo éstas son manifestaciones, aisladas o conjuntas, de los cuato tipos de inteacciones fundamentales que existen: Nuclea fuete: Es la más intensa de todas, aunque de muy coto alcance, sus efectos sólo se manifiestan dento del núcleo atómico, y es la que pemite mantene confinados en su inteio a los potones y neutones. Nuclea débil: Es de intensidad mucho meno y su alcance también está limitado al inteio del núcleo. Contibuye a mantene el equilibio de éste y está elacionada con los fenómenos adiactivos. Electomagnética: Es una inteacción intensa a cota distancia, aunque menos que la nuclea fuete. Puede se de atacción o de epulsión y pemite mantene a los electones en la coteza de los átomos y a su vez a éstos foma moléculas. Puede tansmitise a enomes distancias po medio de ondas electomagnéticas como en el caso de la luz, ondas de adiofecuencia, etc. Gavitatoia: Es siempe de atacción, alcanza hasta el infinito, es la menos intensa y pemite a los astos pemanece en sus óbitas manteniendo el equilibio del Univeso. Esto es posible, a pesa de su baja intensidad, poque el valo de la fueza ejecida está en elación diecta con las enomes masas que inteactúan, según veemos más adelante en esta Unidad. Uno de los mayoes etos a los que se enfentan en la actualidad los físicos y matemáticos es la búsqueda de leyes que elacionen ente sí estas fuezas fundamentales en el afán de enconta un modelo de inteacción univesal que justifique la estuctua y oganización del Univeso, además de otos fenómenos físicos de difícil intepetación en la actualidad. 64

4 2. Leyes de Newton Se tadó mucho tiempo conoce el modo en que actúan las fuezas sobe los cuepos así como las definiciones cuantitativas de masa y de fueza, tan íntimamente elacionadas. Fue Si Isaac Newton ( ) quien, en su oba Pincipios Matemáticos de la Filosofía Natual, también llamada Pincipia, enunció las tes leyes en las que se fundamenta el estudio de la dinámica, y que siguen siendo válidas en la actualidad Pimea ley: Pincipio de inecia Todo cuepo pemanece en su estado de eposo o de movimiento ectilíneo y unifome mientas no actúe ninguna fueza sobe él. De esta definición podemos deduci que todos los cuepos tienen una tendencia a pemanece en el estado de eposo o de movimiento en que se encuentan. Esto lo obsevamos a diaio; po ejemplo cuando estamos en un vehículo paado y aanca, notamos como si algo nos empujaa hacia atás y sin embago no es así; sencillamente es la popia inecia de la masa de nuesto cuepo que se opone a inicia el movimiento. Asimismo cuando el vehículo fena notamos una fueza hacia adelante; es debido a que nuesta masa intenta mantene la velocidad que llevaba. Ejemplo Un cuioso ejemplo que pone claamente de manifiesto la fueza de inecia lo podemos ve en el siguiente expeimento: colocamos una hoja de papel encima de una mesa y encima de ella una moneda; a continuación tiamos lentamente de la hoja y veemos que la moneda se mueve solidaiamente con ella. Si po el contaio damos un fuete tión obsevamos que la moneda no se mueve del luga que ocupaba. En el pime caso, esulta que la aceleación popocionada a la moneda es muy pequeña y po lo tanto la fueza de inecia que apaece en ella también lo seá y no podá supea a la de ozamiento que existe ente la moneda y la hoja, po lo que seá aastada. En el segundo caso, la aceleación es mucho mayo y po lo tanto la fueza de inecia que se cea sobe la masa de la moneda es muy supeio a la de ozamiento, po lo que no seá aastada. De esto podemos deduci que la fueza de inecia es popocional a la aceleación y, po ota pate, es evidente que cuanto mayo sea la masa del cuepo mayo seá la fueza de inecia que apaece sobe él al vaia su velocidad. En consecuencia, podemos deci que la fueza de inecia que apaece sobe un cuepo al cambia su velocidad es igual al poducto de su masa po la aceleación que ha ecibido. Es deci: Fi = m a 65

5 UNIDAD 3 DINÁMICA Nótese el signo menos que apaece en la fómula; significa que la fueza de inecia siempe tiene el sentido contaio al de la aceleación, aunque en la misma diección. En el azonamiento anteio nos hemos acecado un poco más al concepto de masa; es algo que tienen todos los cuepos, en mayo o meno cantidad, que pesenta una inecia a cambia su estado de eposo o de movimiento; po eso, desde esta pespectiva, se la denomina masa inete. Actividades 1. Po qué cuando viajamos en un vehículo y toma una cuva, notamos una fueza que nos hace inclinanos hacia un lado? 2. Calcula el valo de la fueza que ejece una pesona de 60 Kg de masa sobe el suelo de un ascenso cuando: a) Aanca con una aceleación de 1 ms -2 b) Sube con velocidad constante de 4 ms -1 c) Al final del tayecto fena con una aceleación de - 0,5 ms Segunda ley: Pincipio fundamental de la dinámica La aceleación que adquiee un cuepo es diectamente popocional a la fueza que actúa sobe él. F = m a Nótese que esta fómula es la misma que hemos visto en el pime pincipio, sin el signo menos. En ealidad el enunciado oiginal de la segunda ley fue: El cambio de movimiento es popocional a la fueza motiz impesa y se ealiza según la línea ecta en la que se impime esa fueza. Si compaamos este enunciado con el que vimos al pincipio, podemos obseva que en éste no se nomba la masa ni la aceleación po qué? Newton hablaba de cambio de movimiento. Podemos entende que hacía efeencia a la vaiación en el tiempo de lo que se conoce como cantidad de movimiento o momento lineal y que se define como el poducto de la masa de un cuepo po su velocidad: p = m v Según esto la expesión matemática de la segunda ley de Newton, tal como él la enunció, es: Δp Δ( mv ) F = F = Δt Δt 66

6 Δ Si la masa no vaía, podemos escibi: F = m v, o lo que es lo mismo: F = m a Δt Con esto podemos conclui que la definición actual es una consecuencia inmediata de la ealizada po Newton, más fácil de intepeta y aplica en muchos poblemas aunque en ningún caso la podemos considea de mayo tascendencia. La segunda ley de Newton, según él la enunció, constituye posiblemente el azonamiento más impotante de toda la Física. Podemos defini ahoa la unidad de fueza, que en el SI es el Newton, y se define como la fueza que aplicada a una masa de 1 kg le popociona una aceleación de 1 meto po segundo al cuadado. 2 Su ecuación de dimensiones es: [ F ]= MLT Toda fueza tiene un punto de aplicación, una intensidad, una diección y un sentido po lo que es una magnitud vectoial. El momento lineal no tiene una unidad específica, se expesa en función de la masa y de la velocidad (en el SI se mide en kg.m.s -1 ). Su ecuación de dimensiones 1 seá: [ p]= MLT y también es una magnitud vectoial. Actividades 3. Sobe un cuepo de 2 Kg de masa, inicialmente en eposo, actúa una fueza de 6 N. Calcula: a) La aceleación que adquiiá. b) La velocidad que tendá al cabo de 5 segundos Tecea ley: Pincipio de acción y eacción Si sobe un cuepo actúa una fueza (acción), éste se opone con ota fueza igual y de sentido contaio (eacción). Recodemos las dos pimeas leyes y fijémonos en lo siguiente: en la pimea se hacía efeencia a la fueza que apaece sobe una masa fente a una aceleación y la segunda se efiee a la aceleación que un cuepo adquiee al ecibi una fueza. Es deci la segunda ley tata sobe la fueza que actúa sobe una masa (acción) y la pimea a la fueza con la que ésta eacciona (eacción) y, según las fómulas obtenidas, estas dos fuezas son del mismo valo, peo de sentido contaio. Luego el tece pincipio es una consecuencia inmediata de los dos pimeos. Ejemplos Vamos a intenta compende mejo el significado de este pincipio apoyándonos en unos sencillos ejemplos. Un libo que está situado encima de una mesa ejece una fueza sobe ella que es su popio peso y la mesa ejece una fueza hacia aiba igual al peso del libo, de lo contaio éste caeía al suelo. Esta fueza que la mesa ejece es la fueza de eacción y su diección es pependicula al plano del tableo sobe el que está apoyado el libo. 67

7 UNIDAD 3 DINÁMICA Una lámpaa que cuelga del techo ejece una fueza hacia abajo sobe la cadena o cable que la sujeta igual a su peso y el cable ejece sobe la lámpaa una fueza igual hacia aiba. Esta fueza de eacción que ejecen los cables, cuedas, etc. se denomina tensión y en los casos pácticos puede aplicase en cualquie punto de ellos ya que todos sus puntos están sometidos a la misma fueza independientemente de donde actúe su extemo. Podíamos busca muchos más ejemplos y llegaíamos siempe a una conclusión: las fuezas actúan siempe po paejas (una de acción y ota de eacción). ob`boa^ T La fueza es la intensidad de la inteacción ente los cuepos. T En la natualeza existen cuato tipos de fuezas fundamentales. T Los cuepos tienden a pemanece en su estado de eposo o de movimiento debido a la fueza inecia que apaece al vaia este estado. T La fueza es igual al poducto de la masa po la aceleación. T A toda fueza (acción) se opone ota igual y de sentido contaio (eacción). Actividades 4. El moto de una gúa popociona a la caga una aceleación de 2 ms -2 al comenza la subida. Si la tensión máxima que sopota el cable es de 4000 N, cuál seá el mayo peso que puede subi sin que éste se ompa? 3. Impulso mecánico y momento lineal. Pincipio de consevación Del segundo pincipio de Newton, según él lo enunció, se despenden dos de las conclusiones más elevantes paa el estudio de la dinámica que son la elación existente ente el impulso mecánico y el momento lineal y la consevación de éste en ausencia de fuezas exteioes. Si en la ecuación del segundo pincipio de Newton pasamos Δt al pime miembo obtenemos: F Δt = Δp F Δt = m Δv La expesión F Δt que apaece en el miembo izquiedo de la ecuación anteio es lo que conocemos como impulso mecánico ( I ) que es el poducto de la fueza po el tiempo que actúa: I = F Δt También podemos ve que en el miembo deecho de la ecuación apaece la vaiación del momento lineal. Esta expesión se aplica con mucha fecuencia en la esolución de poblemas 68

8 de dinámica y podemos enunciala como: El impulso mecánico es igual a la vaiación del momento lineal. Dicho de oto modo: el impulso mecánico aplicado a un cuepo se inviete en vaia su cantidad de movimiento. Si no actúa ninguna fueza, el impulso mecánico vale ceo, po lo tanto la vaiación del momento lineal o cantidad de movimiento es nula, es deci: m Δv = 0 m( v v ) = 0 m v = m v v = v Lo que demuesta que si no actúa ninguna fueza, la velocidad no vaía. Esto es, según hemos visto, lo que afima el pime pincipio de Newton que también puede enunciase así: En ausencia de fuezas exteioes, el momento lineal se mantiene constante. Este enunciado también constituye el pincipio de consevación del momento lineal o de la cantidad de movimiento. Hasta el momento hemos ealizado el estudio sobe un cuepo. Sin embago, este impotantísimo pincipio adquiee su mayo elevancia cuando se tata de la inteacción ente vaios cuepos o, en adelante, masas. Si un sistema está fomado po vaias masas, éste puede considease, fente a las fuezas exteioes a él, como una masa única cuyo valo es la suma de las masas que le componen po lo que todo lo que hemos visto hasta ahoa lo podemos hace extensivo al sistema. Dicho esto, vamos a aplica el pincipio de consevación del momento lineal a un sistema aislado de masa total m fomado po dos masas m 1 y m 2 que sí pueden inteactua ente ellas sin altea po ello la condición de aislamiento. El momento lineal total seá la suma de los momentos lineales de las masas que lo foman, es deci: p = p + p 1 2 Supongamos ahoa que las masas m 1 y m 2 inteactúan ente sí, ya sea po un choque o po fuezas de atacción o de epulsión, esto haá que sus momentos lineales cambien, peo no el del sistema. Después de la inteacción, el momento lineal seá: p = p1 + p2. De donde se deduce que: p + p = p + p,o bien: mv + mv = mv + mv Análogamente si el sistema estuviea fomado po n masas tendíamos: mv + mv m v = mv + mv m v n n n n que es el modo más fecuente de utiliza este pincipio en la esolución de poblemas con inteacciones ente masas. Al igual que el momento lineal, el impulso mecánico no tiene una unidad popia y se expesa en función de la fueza y del tiempo (N.s en el SI). Tiene las mismas dimensiones que el momento lineal: 1 [ I ]= MLT 69

9 UNIDAD 3 DINÁMICA 1. Un futbolista lanza una falta y el balón, que tiene una masa de 2 kg, sale dispaado con una velocidad de 72 kilómetos po hoa. Si el tiempo que ha estado en contacto el pie con el balón es de 0,2 s cuál es el valo de la fueza media que se ha aplicado sobe el balón duante el dispao? Solución: Sabemos que el impulso mecánico se inviete en vaia la cantidad de movimiento. Es deci F Δt = m Δv Km En pime luga pasamos la velocidad a unidades del SI: m 1 = = 20m s h 3600s Pescindimos de la notación vectoial ya que nos piden sólo el valo de la fueza y no su diección ni sentido. Despejamos F que es lo que nos inteesa calcula: 1 2. Un patinado de masa 60 Kg se mueve sobe una pista de hielo a una velocidad de 5m s, 1 alcanza a una patinadoa de 50 kg que se desplaza a 3m s y la paeja continúa patinando unida. Qué velocidad tendá inmediatamente después del encuento? Solución: Ejemplos Aplicamos el pincipio de consevación del momento lineal. Momento lineal antes del encuento: p = mv 1 1+ m2v2 Momento lineal después del encuento: p = m + m v donde v es la velocidad con la que sale la paeja y es pecisamente lo que queemos conoce. Igualando las dos expesiones y despejando v : mv + mv = m + m v ( ) mv + mv v = m + m ( ) Δ F = m v = 2 20 = N Δt 02, = = 41, m s ob`boa^ T La cantidad de movimiento o momento lineal de un cuepo es el poducto de su masa po su velocidad. T El impulso mecánico es el poducto de la fueza po el tiempo que actúa. T El impulso mecánico es igual a la vaiación de la cantidad de movimiento. T En un sistema aislado, el momento lineal pemanece constante. 70

10 Actividades 1 5. La paeja de patinaje del ejemplo anteio ha ido disminuyendo su velocidad hasta 3 m s y en ese momento se sepaan, empujándose mutuamente. La patinadoa continúa en la misma diección y sentido que llevaba, peo con una velocidad de 1m s 1. A qué velocidad se moveá el patinado? 4. Inteacción gavitatoia. Ley de la gavitación univesal En el pime apatado de esta Unidad hemos visto que la inteacción gavitatoia es una de las cuato inteacciones fundamentales que existen en la natualeza. Fue también Isaac Newton quien basándose en descubimientos de Galileo, Descates, Copénico y Keple llegó a la conclusión de que ente cada planeta y el Sol se ejece una fueza atactiva popocional al poducto de las masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa. Con esta afimación dio sentido matemático a las leyes que igen los fenómenos gavitatoios. Si bien Newton se efeía inicialmente a las fuezas existentes ente el Sol y los planetas, sus conclusiones son genealizables de modo que dos cuepos cualesquiea se ataen po el hecho de tene masa. Estas fuezas de atacción se manifiestan en los dos cuepos y son de igual módulo y de sentido contaio de acuedo con el pincipio de acción y eacción. m 1 m 2 F 12 F 21 F12 = - F 21 Fígua 1: Ley de la Gavitación Univesal La Ley de la Gavitación Univesal establece que la fueza con que se ataen dos masas es diectamente popocional al poducto de ellas e invesamente popocional al cuadado de la distancia existente ente sus centos. F G m = m donde G es la constante de la gavitación univesal, cuyo valo es el mismo en todo el Univeso y su valo es: N m G = , 2 Kg 71

11 UNIDAD 3 DINÁMICA Dado que el valo de G es muy pequeño, la fueza gavitatoia sólo tiene efectos apeciables cuando, al menos, una de las masas es muy gande. Po esto también decíamos al pincipio que es una inteacción poco intensa. El modo más inmediato de obseva la manifestación de esta fueza de atacción es fijándonos en el peso de los cuepos. Si tenemos un cuepo cualquiea cecano a la supeficie de la Tiea, ente la masa de ésta (M T ) y la masa del cuepo (m) existiá una fueza de atacción cuyo valo seá: F G M m T = 2 R Esta fueza es pecisamente el peso del cuepo, que po ota pate sabemos que es igual al poducto de su masa po la aceleación de la gavedad: P = m g T Igualando las dos expesiones obtenemos: m g G M m T = 2 R T ; dividiendo po m en ambos miembos: g G M T = 2 donde g es la aceleación de la gavedad en la supeficie de la Tiea RT cuyo valo podemos calcula con sólo sustitui los datos que son todos conocidos: g = 667, N m 2 Kg , 10 Kg 638, 10 m ( ) 6 2 = 98, m s 2 Este valo se ha calculado tomando el valo pomedio del adio de la Tiea peo sabemos que éste es un poco meno en los polos que en el ecuado po lo cual el valo de la gavedad en los polos es algo mayo que en el Ecuado. Anteiomente, al estudia la pimea ley de Newton vimos que la masa ea una constante de los cuepos que pesentaba una inecia a cambia su estado de eposo o de movimiento y la llamábamos masa inete. Ahoa estamos viendo la masa desde ota pespectiva, es una constante que tiene un peso poque ota masa, más gande, la atae. Entendida así se la denomina masa pesante; en ambos casos, su valo es exactamente el mismo: la masa de un cuepo es constante en todo el Univeso. No ocue lo mismo con el peso ya que éste depende del valo de la aceleación de la gavedad en el punto donde se mida. Así un cuepo situado en la supeficie de la Luna, en la que el valo de la gavedad es, apoximadamente, 6 veces meno que en la Tiea, tendá un peso 6 veces meno del medido aquí. ob`boa^ T La fueza con que se ataen dos cuepos es popocional al poducto de sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia ente sus centos. T El peso de un cuepo es el poducto de la masa de un cuepo po la gavedad que exista en el luga donde se encuente. T La masa de un cuepo es la misma en cualquie luga del Univeso independientemente de la gavedad que exista. 72

12 Actividades 6. Calcula la fueza con que se ataen dos bacos de Kg de masa cada uno cuando están anclados en un pueto de modo que ente sus centos de gavedad existe una distancia de 40 metos. A qué se debe un esultado tan pequeño? 7. Calcula el valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie de la Luna. Cuánto pesaá allí (en Newtons) un astonauta que en España tiene un peso, según el lenguaje común, de 72 kilos? Datos: ML = 7, Kg RL = 1, m 5. Fuezas de ozamiento Si lanzamos un cuepo de modo que deslice sobe una supeficie hoizontal compobamos que temina deteniéndose al cabo de un cieto tiempo, dependiendo del gado de ugosidad o aspeeza de las supeficies en contacto. Esto es debido a la esistencia que el cuepo encuenta paa movese; esta fueza de esistencia es lo que conocemos como fueza de ozamiento. Como toda fueza poduciá una aceleación y en este caso su sentido es siempe contaio al del movimiento. También sabemos, po expeiencia, que cuando empujamos un objeto pesado paa cambialo de posición, hay que ealiza una fueza mayo al comenza el movimiento que paa mantenele. Se debe a que las fuezas de ozamiento no actúan igual cuando el cuepo está en eposo que cuando está en movimiento. En el pime caso actúa la fueza de ozamiento estático y en el segundo, la fueza de ozamiento dinámico, siendo ésta meno que la pimea. Es evidente que cuanto más pesado sea el cuepo mayo seá la fueza de ozamiento, es deci, cuanto mayo sea la fueza que ejeza la supeficie de un cuepo pependiculamente conta la del oto, mayo seá la fueza de ozamiento. Esta fueza pependicula ente las supeficies en contacto es lo que se conoce como fueza nomal. Es fácil compoba expeimentalmente que la fueza de ozamiento no depende del tamaño de las supeficies en contacto ni de la velocidad con la que se desplacen mutuamente. Así pues, podemos afima que la fueza de ozamiento ente dos supeficies es diectamente popocional a la fueza nomal que ejece una supeficie conta la ota. Es deci: F = μ N donde μ es una constante de popocionalidad llamada coeficiente de ozamiento que depende de la natualeza de las supeficies y que, según hemos visto anteiomente, puede se estático (μe) o dinámico (μ), cumpliéndose que μe >μ. 73

13 UNIDAD 3 DINÁMICA Fuezas y movimiento en una supeficie hoizontal Supongamos que intentamos aasta un objeto sobe una supeficie hoizontal tiando de él. Al pincipio comenzamos a tia cada vez con más fueza hasta que comienza a movese; en ese instante la fueza con la que tiamos habá supeado a la fueza de ozamiento estático y a pati de ahí ésta deja de actua entando en juego la fueza de ozamiento dinámico que es de meno intensidad. Entonces podemos hace tes cosas: 1. Continua ejeciendo la misma fueza que hicimos al pincipio po lo que la velocidad del objeto aumentaá ya que la fueza ejecida es mayo que la de ozamiento dinámico y, según la segunda ley de Newton, la difeencia ente estas dos fuezas (esultante) causaá una aceleación. 2. Disminui la fueza con la que tiamos hasta consegui un movimiento unifome; en este momento la fueza ejecida seá igual a la fueza de ozamiento dinámico. 3. Aumenta la fueza con lo que se conseguiá una aceleación aún mayo al incementase la fueza esultante sobe el cuepo. Ejemplo Un caballo ha de aasta en una llanua de la taiga un tineo cuya masa, incluida la caga, es de 120 Kg. Si el coeficiente de ozamiento estático ente el tineo y la nieve es μ e = 0,12 y el coeficiente de ozamiento dinámico es μ = 0,10. Calcula: a) La fueza con la que ha de tia el caballo paa consegui aanca. b) La aceleación que mantendía el conjunto caballo-tineo si hubiea continuado ejeciendo la misma fueza que fue necesaia paa aanca. c) La fueza que habá de hace paa mantene una velocidad constante después de habe iniciado el movimiento. Solución: a) En pime luga calculamos el valo de la fueza nomal ente el tineo y el suelo que, al se hoizontal, coincide con su peso: N = m g = 120 9, 8 = 1176N La fueza que ha de ejece el caballo seá igual a la de ozamiento estático: F = μ N = 0, = 14112, N e e b) La aceleación obtenida, seía a consecuencia de la fueza esultante que es la difeencia ente la fueza de ozamiento estático y la fueza de ozamiento dinámico. Calculamos el valo de la fueza de ozamiento dinámico: F = μ N = 0, = 117, 6N ; F = Fe F = 14112, 117, 6 = 23, 52N F 23, 52 a = = = 0, 196m s m c) Paa continua con velocidad unifome, la fueza esultante debe se nula, po lo que la fueza que ejece el caballo debe se igual a la fueza de ozamiento dinámico, que ya hemos calculado y vale F = 117,6 N. 74

14 Actividades 8. Que fueza debeía ejece el caballo del ejemplo anteio paa consegui una aceleación de 0,3 ms -2? Fuezas y movimiento en un plano inclinado Los fundamentos en este apatado son los mismos que en el anteio, peo ahoa el peso no es pependicula a la supeficie de contacto po lo que tendemos que descomponelo en dos fuezas: una pependicula a la supeficie de contacto (fueza nomal) y ota en la diección del movimiento (fueza tangencial). F = μ Fn N F n F t =mg senα F n = mg cos α P = mg α Fígua 2: Fuezas en un plano inclinado En la figua podemos ve cinco fuezas: El peso, siempe pesente, vetical y hacia abajo, de valo p = m g La fueza nomal, pependicula al plano, de valo F n = m g cos α La eacción del plano (N) igual a la fueza nomal La fueza tangencial, de valo F t = m g sen α La fueza de ozamiento, de valo F = μ F n Además pueden existi otas fuezas aplicadas, que pueden esta en la diección del movimiento (en un sentido u oto), o en ota diección, en cuyo caso había que descomponelas en las diecciones tangencial y nomal al movimiento. Todo esto se compendeá mejo en el siguiente ejemplo: 75

15 UNIDAD 3 DINÁMICA Un niño cuya masa es de 20 kg, está situado en un tobogán de 30º de inclinación, agaado a las baandillas y en un momento deteminado se suelta. Si el coeficiente de ozamiento ente el niño y el tobogán es μ = 0,1 con qué aceleación bajaá? Solución: Ejemplo F = μ F n N F n F t =mg senα F n = mg cos α P = mg α En la figua podemos ve que N = P cosα = m g cos α = 20 9, 8 cos 30º = 169, 74N Ft = P senα = m g senα = 20 9, 8 sen30º = 98N Ahoa hallamos la fueza de ozamiento: F = μ N = 0, 1 169, 74 = 16, 97N La fueza esultante en el sentido del movimiento seá: F = Ft F = 98 16, 97 = 81, 03N F 81, 03 2 Calculamos la aceleación: a = = = 405, m s m 20 ob`boa^ T La fueza de ozamiento depende de la natualeza de las supeficies en contacto y es popocional a la fueza nomal ejecida sobe la supeficie. T La fueza de ozamiento no depende de la velocidad ni del tamaño de las supeficies en contacto. T El valo de la aceleación de un cuepo es el cociente ente la fueza esultante en la diección del movimiento y su masa. Actividades 9. Un tacto sube una pendiente de 15º de inclinación aastando un bloque de pieda de 5000 Kg. Calcula la tensión del cable de enganche si el coeficiente de ozamiento ente la pieda y el suelo es μ = 0,3. 76

16 6. Fuezas elásticas. Ley de Hooke La estuctua intena de los cuepos vaía mucho de unos a otos; cada uno tiene su compotamiento fente a las acciones extenas que ecibe, unos no se defoman (cuepos ígidos) como el ganito, y otos se adaptan a la acción, bien defomándose pemanentemente (cuepos plásticos) como la plastilina o ecupeando su foma inicial (cuepos elásticos) como las gomas, los muelles, etc... Cuando se ejece una fueza sobe un cuepo elástico éste sufe una defomación que esponde a la ley de Hooke: La defomación que expeimenta un cuepo elástico es popocional a la fueza aplicada sobe él. Expesado matemáticamente: F = K x donde K es la constante elástica que depende el cuepo en cuestión y x es la defomación que ha expeimentado. Los cuepos elásticos, al contaese o estiase almacenan enegía que se manifiesta ejeciendo una fueza en sentido contaio a la elongación y de valo: F = K x. Esto da luga a movimientos amónicos de gan inteés en el estudio de las ondas y, en geneal, de la física modena de los cuales, el más sencillo es el movimiento amónico simple que estudiaemos en el cuso siguiente. Aunque es inteesante que conozcamos ahoa la aceleación en este tipo de movimientos. Según el segundo pincipio de Newton: F = m a. Igualando las dos expesiones: m a = K x y despejando: a = K m x La aceleación que tiene un cuepo animado de un movimiento amónico simple es popocional a la constante elástica e invesamente popocional a la masa de cuepo y tiene sentido contaio a la elongación. Actividades 10. Se desea colga del techo de una habitación un muñeco de peluche de 50 gamos de masa; paa ello se adquiee un muelle de 40 cm de longitud cuya constante elástica es K = 5N m -1. Cuál seá la longitud del muelle después de colga el muñeco? 7. Dinámica del movimiento cicula Ya vimos en la Unidad anteio que cualquie punto de un cuepo que gia descibe un movimiento cicula y que en éste siempe existe una aceleación debida al cambio de diección que expeimenta la velocidad. 77

17 UNIDAD 3 DINÁMICA Según el pincipio de inecia si sobe un cuepo en movimiento no se ejece ninguna fueza, su movimiento seá ectilíneo y unifome, po tanto si un cuepo o una patícula descibe un movimiento cuvilíneo, en geneal, es poque existe una fueza que le obliga a cambia constantemente de diección, esta es la fueza centípeta, causante de la aceleación centípeta que hemos visto en la Unidad 2 cuyo valo es a = v 2 c. Po la segunda ley de Newton F m a, obtenemos que c = F m v c = 2 c Del mismo modo que podíamos expesa la aceleación centípeta en función de la velocidad angula también podemos expesa la fueza centípeta en función de ésta: F = m ω 2. La fueza centípeta tiene la misma diección y sentido que la aceleación centípeta, es deci va siempe diigida hacia el cento de la tayectoia que, en el caso del movimiento cicula, es el cento de la cicunfeencia que descibe el móvil. Al estudia el pincipio de acción y eacción vimos que las fuezas siempe van en paejas, acción y eacción, iguales y de sentido contaio. La fueza centípeta es la acción y la eacción es la llamada fueza centífuga. Ésta es una fueza vitual poque existe en vitud de la fueza centípeta po lo cual si la fueza centípeta es nula, no existe fueza centífuga. Paa compoba esto podemos ealiza la siguiente expeiencia: Si atamos un pequeño objeto al extemo de una cueda y lo hacemos gia sujetando po el oto extemo, seguiá una tayectoia cicula debido a la existencia de una fueza centípeta, que es la popocionada po la tensión de la cueda. Duante el gio notamos que el objeto paece quee escapa de esta tayectoia hacia fuea ejeciendo a su vez una fueza que se tansmite a nuesta mano a tavés de la cueda; ésta es pecisamente la fueza centífuga. Si soltamos la cueda, podemos obseva que el objeto no sale despedido en la diección de la cueda, que ea lo que paecía intenta, sino pependicula a ella, en diección tangente a la tayectoia y se debe a que, en el mismo instante que soltamos, deja de actua la fueza centípeta y, po lo tanto, también lo haá la centífuga, ya que ésta sólo existe mientas exista la fueza centípeta. ob`boa^ T Paa que haya un movimiento cicula es necesaio que exista una fueza centípeta. T La fueza centífuga sólo existe si hay fueza centípeta y es del mismo valo que ésta. 78

18 Ejemplo Cuál debe se el pealte de una cuva de adio de cuvatua paa que un vehículo de masa m que cicula a una velocidad v no deape en caso de mala adheencia de las uedas a la caetea po causa de hielo, nieve, etc.? N F C α α P Las fuezas que actúan sobe el automóvil son el peso y la eacción de la caetea; la esultante de estas dos fuezas debe se igual a la fueza centípeta necesaia paa mantene al coche en la tayectoia de la cuva. Sabemos que F m v c = En la figua podemos ve que, po lo que α= actg v 2 Fc m v v tagα= = = p m g g g Actividades 11. Un niño da vueltas a una pelota de 20 g de masa atada al extemo de una cueda de 30 cm de longitud que puede sopota una tensión máxima de 40 N. Cuál seá la velocidad angula máxima que puede sopota la cueda antes de ompese? 12 Qué velocidad angula debeá adquii una noia de 8 metos de adio paa que una pesona de masa m tenga la sensación de no pesa nada al pasa po la pate más alta? Qué fueza sopotaá su asiento cuando pase po el punto más bajo? 79