CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA

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1 CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA INTRODUCCIÓN Con lo que heos isto hasta el oento estaos en condiciones de analiza un oiiento en situaciones en que la ueza es constante. Una ez aplicada La segunda le de Newton, deteinaos la aceleación a /. De aquí podeos deteina la elocidad la posición. Peo en el caso en que la ueza no es constante, po ejeplo cuando se jala una asa situada en un eteo de un esote, el poblea se coplica. La igua uesta un cuepo de asa sobe una supeicie hoizontal lisa, conectado a un esote helicoidal. Si el esote se estia o se copie una longitud pequeña desde su posición no deoada o de equilibio, el esote ejeceá una ueza sobe el cuepo k, donde es el desplazaiento del cuepo desde la posición de equilibio ( ), k es la constante del esote, el signo negatio (-) signiica que la ueza es en sentido opuesto al sentido del desplazaiento. Esta le de ueza se conoce coo la le de Hooke, de la cual nos ocupaeos en el Capítulo de Elasticidad Apliqueos la segunda le de Newton: a d d Con k a, dt dt Obteneos: d k dt d k + dt A pesa de se una ecuación siple esta últia, todaía no tenenos el conociiento ateático paa esolela. Es deci, estaos en condiciones de plantea las ecuaciones del oiiento, peo no sabeos esolelas. Veeos aquí que se puede toa un atajo esole de ota oa el poblea. En este capitulo se eán los conceptos de Tabajo Enegía que se pueden aplica a la dináica de un sistea ecánico sin ecui a las lees de Newton. Sin ebago, es ipotante nota que los conceptos de Tabajo Enegía se undaentan en las lees de Newton po lo tanto no equieen ningún pincipio nueo. TRABAJO El téino tabajo que se usa en la ida cotidiana es paa deini una actiidad de algún tipo que inclue un esuezo ísico o ental cua inalidad sea el alcance de algún objetio deinido bien establecido. En el estudio de la ecánica tiene un signiicado ás estingido, po ejeplo si subios cieta altua h con una asa decios que heos ealizado un tabajo, si subios la isa altua h peo con una asa, se habá ealizado un tabajo, igual a que si se hubiese tanspotado una asa una altua h, o si se hubiese tanspotado dos eces la asa, la altua h. Estas obseaciones sugieen que el tabajo es una agnitud ísica popocional a la ueza a la distancia, peo que puede suase coo un escala. Cuando una ueza constante uee un cuepo ealizando un desplazaiento Δ que tiene la isa diección que la ueza, se deine la cantidad de tabajo ealizado po esta ueza coo: Δ Ahoa consideeos que sobe la isa asa actúa una ueza etical, eno que el peso g del bloque, coo tal no daá oigen a ningún oiiento etical po lo tanto no estaá ealizando tabajo. Si ahoa aplicaos al iso tiepo las dos uezas, la ueza aplicada es: iˆ + ˆ j Si el desplazaiento del bloque es únicaente en la diección,

2 Δ iˆ d d cosθ d ds cosθ d t ds Es el tabajo ealizado po la coponente tangencial de la ueza t. El tabajo de la coponente noal n es nulo. El tabajo ealizado es el poducto escala de la tueza po el desplazaiento es: Δ Δ O Δ Δ cosθ Donde + ( iˆ + ˆj ) Δiˆ Δ θ es el ángulo oado ente la ueza aplicada el desplazaiento. Consideeos el caso geneal de una ueza cualquiea que uee a una patícula sobe una taectoia cua coo se uesta en la siguiente igua. Sea P la posición de la patícula en un instante t, la posición con especto al oigen de coodenadas O está dada po OP La patícula en el tiepo Δ t descibe la taectoia PP', si esta es suicienteente pequeña se puede asiila coo la cueda PP', el desplazaiento de la patícula en el tiepo Δ t es PP' Δ Δt. Cuando P tiende a P ( ) La diección de la cueda en P, sentido. Δ es d El tabajo de la ueza d es un tabajo dieencial. d d PP' es el de la tangente PT, la ueza es constante en diección paa el desplazaiento Paa ealua el tabajo ealizado paa i desde el punto P (,, z ) a un punto P (,, z ) teneos que intega el tabajo dieencial. P P P d P P P d Paa esto teneos que conoce coo aía iˆ + ˆj + kˆ Siendo d diˆ + dj ˆ + dzkˆ z Teneos: d d + d + zdz z Luego: P + + P d d zdz z La unidad de tabajo es una unidad deiada de las unidades de ueza de longitud. [ ] L ML T En el sistea Intenacional la unidad de tabajo es el Joule (J). Joule ( Newton)( eto) Ejeplo. Un hobe leanta una asa con una ueza tal que la coloca a una altua h sobe el piso a elocidad constante. a) Cuánto tabajo ealiza la gaedad? b) Cuál es la agnitud de la ueza que ejece el hobe? a) h ( gkˆ ) dkˆ gaedad d h g d gh b) Podíaos hacelo diectaente po la le de Newton, peo lo haeos con los conceptos de tabajo. Coo la asa se uee con elocidad constante, el tabajo ealizado es ceo. hobe + gaedad h

3 gaedad gh hobe Tabién teneos: hobe h hobe d h kˆ dkˆ h d h Luego: h gh g Y gkˆ Ejeplo. Se aasta una caja de asa sobe un piso hoizontal, el coeiciente de icción cinético ente la caja el piso es μ, ediante una ueza que oa un ángulo θ con la hoizontal, la caja se desplaza un distancia s hacía la deecha, a) Calcule el tabajo ealizado po la ueza b) Calcule el tabajo eectuado po La ueza de icción. e) Deteine el tabajo neto eectuado sobe la caja po todas las uezas que actúan sobe ella. Calcule el tabajo cuando el cuepo se uee desde hasta 8. El tabajo ealizado po la ueza es eactaente igual al áea bajo la cua desde hasta 8. ( 5N)( ) + ( 5N)( 5 ) + ( 5N)( 8 5) ( ,5) N 7,5 J Ejeplo 4. Tabajo ealizado po un esote. a) El tabajo eectuado po Coo s d es: cosθ iˆ + senθ ˆj s ( cosθ iˆ + senθ ˆj ) diˆ d diˆ s cosθ s La coponente etical de no ealiza tabajo. b) Coo μniˆ Y N g senθ Obteneos μ( g senθ )iˆ El tabajo eectuado po es s s d μ ( g senθ ) iˆ μ( g senθ )s diˆ c) El tabajo neto sobe la caja es la sua de los esultados obtenidos en a) b). neto + cosθs μ( g senθ )s [ cosθ μ( g senθ )]s Ejeplo. Una ueza que actúa sobe un cuepo aía con especto a coo se uesta en la igua. El esote de la igua, cuando se deoa o estia hasta una cieta posición, ejeceá una ueza estauadoa k. Supongaos que el objeto se epuja hacia la izquieda una distancia especto a la posición de equilibio se deja libe. El tabajo ealizado desde hasta po la ueza del esote a edida que el objeto se uee es d ( k) d k Y si consideaos el tabajo ealizado po el esote a edida que se estia de a el tabajo es k Este esultado podeos obtenelo tabién de La gáica esus, coo se uesta en la igua siguiente. Ejeplo 5. La posición de una patícula en el plano está dada po tiˆ t ˆj (t en segundos, en

4 etos), la ueza ejecida sobe la isa es 4iˆ 5 ˆj (en Newton). Qué tabajo se ealiza sobe la patícula en el intealo de t l s a t s? tiˆ t Luego ˆj d dtiˆ 4tdtˆj d d ( 4iˆ 5 ˆj ) ( dtiˆ 4tdtj ˆ) dt + tdt El tabajo ealizado sobe la patícula ente t t. t d ( + t)dt t t + t 6 4 J El tabajo ealizado sobe la patícula es 4 Joules. ENERGIA CINETICA Consideeos una patícula de asa bajo la acción de la ueza. La segunda le de Newton aia que: d a dt Tabién sabeos que d dt. Multiplicando escalaente: d d dt dt d Coo d es el tabajo dieencial d d d d dt dt d d + dt dt d dt De aquí: d d Reeplazando obteneos: d d El tabajo paa i de P donde la elocidad es al punto P donde la elocidad es seá: P P d d Aquí teneos una edida paa el tabajo ealizado sobe la patícula epesada en unción de la aiación de la agnitud. Esta agnitud se deine coo la ENERGIA CINETICA K de la patícula. Entonces: K La enegía cinética es una popiedad geneal del oiiento de la patícula es la ENERGIA DEL MOVIMIENTO. Sus diensiones son las de tabajo. K ML T [ ] - Su unidad es la isa que la del tabajo. Resulta coneniente escibi: K K ΔK El tabajo ealizado po la ueza al desplaza una patícula es igual al cabio de enegía cinética de la patícula. Ejeplo 6. Enconta la aiación de la enegía cinética de un poectil en unción de su altua. Se lanza un poectil de asa desde el punto P (, ) con una elocidad inicial iˆ + ˆj. Paa un poectil la posición en unción del tiepo es; + t, + t gt Y la elocidad, gt La enegía cinética en P es K ( + ) La enegía cinética en P es K ( + ) ( + gt + g t ) 4

5 La aiación de enegía ente P P es: Δ K K K ( gt + g t ) g t gt Coo t gt Δ K g Resulta ( ) Ejeplo 7. En una deostación epeiental paa ilusta la conseación de la enegía po edio del dispositio siguiente. Se ata una bola del bowling a un eteo de una cueda, se sujeta el oto eteo al techo de la sala de coneencias. Se sostiene la bola paado en una escala tijeas alta, Paa la deostación se suelta del eposo en el eteo de la naiz, la bola oleá de la oscilación ás aiba golpeaá iolentaente la caa, (intente esto alguna ez si usted desea epeienta un juego paa asusta) La deostación ipesiona a la clase, peo no po la azón espeada. Aunque la cueda es bastante uete paa sostene la bola cuando está inóil, cuando la dejé i, la cueda se opió en el ondo del aco la bola ue despedida alededo del salón "Boing boing, boing" dispesó a los pesentes en todas las diecciones. Una bola de bowling ealente ebota en el conceto. Suponga que la bola pesa 8 N la cueda tenía 4, de lago tenía una esistencia a uptua de N. Cuál es el áio ángulo con la etical con el que se había podido lanza la bola sin tene la otua de la cueda? diigida hacia abajo la bola se uee lo ás ápidaente. ueza adial T g hg h cosθ T g g( cosθ ) T g 8 cosθ,75 g ( 8) θ 4,4º Ejeplo 8. Se aasta una caja de asa sobe un piso hoizontal, el coeiciente de icción cinético ente la caja el piso es μ, ediante una ueza que oa un ángulo θ con la hoizontal. Si se epieza a jala desde el eposo consideando que a se inició el oiiento Cuál es la elocidad del bloque después que ecoe una distancia s? En este caso coo la ueza es constante, po la le de Newton podíaos enconta la aceleación, que es constante, peo aos a hacelo po conceptos de Enegía Cinética Tabajo. Encontaos que Neto [ cos θ μ( g senθ )]s Sabeos que Neto K K Coo: inalente: [ cosθ μ( g senθ )]s Ejeplo 9. Paa el caso de la asa atada a un esote con constante de igidez k. Cuál es la elocidad cuando pasa po la posición de equilibio después de estialo una longitud L soltalo? La cueda debe popociona suiciente ueza ascendente paa balancea el peso ás la ueza adial necesaia paa que la bola haga la cua hacia aiba. La tensión en la cueda seá así la ao en el punto ás bajo del aco, donde la ueza de la gaedad está El tabajo ealizado desde L a po la ueza estauadoa del esote - k Es: 5

6 R kl Tabién R K K Siendo Teneos kl ± k L Paa el caso que ostaos la espuesta coecta es la negatia. Ejeplo. Un objeto de asa se uee en el eje A sujeto a la ueza iˆ donde A es una constante es la distancia desde el oigen. a) Cuánto tabajo ealiza esta ueza si el objeto se uee de a a b? b) Si la asa tenía una elocidad en la diección positia de, Cuál es su elocidad en b? a) El tabajo que ealiza la ueza paa oe la asa desde a a b es: b d ab, A i ˆ a Luego A b) Coo b A i diˆ A a b ab a b a A a b ab Siendo a K b, d diˆ d ˆ K a Teneos A a b b A + a b b b SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO CONSERVATIVOS Un sistea conseatio es aquel en el que el tabajo ealizado po las uezas del sistea es independiente de la taectoia seguida po el óil desde una posición a ota, no eisten uezas de ozaiento, ni dispositios que puedan poduci pédida de la enegía cinética. a Si en un sistea conseatio el tabajo eectuado po la ueza paa desplaza la patícula de A a B es independiente del caino ente A B, se puede escibi: AB BA En un cicuito ceado AA AB + BA Coo AB BA AA AB AB El tabajo total eectuado po una ueza conseatia sobe una patícula es ceo cuando la patícula se uee alededo de cualquie taectoia ceada egesa a su posición inicial. Natualente la deinición de un sistea no conseatio es aquel que no satisace las condiciones anteioes. Ejeplo. Sistea no Conseatio. - La ueza de icción. Supongaos que un bloque se uee del punto P (, ) al punto P (, ), siguiendo Las taectoias ostadas en las iguas siguientes, el coeiciente de icción ente el bloque la supeicie es μ. Calcula el tabajo ealizado po la icción en abos casos. Po la taectoia (a) P P Aquí Luego d μniˆ, d diˆ ( μ N ) d N( ) P P μ Po la taectoia (b) P + + P d d d Aquí μ μ μ Luego Nj ˆ, d dˆj Niˆ, d diˆ Nj ˆ, d dˆj 6

7 ( μ N ) d + ( N ) d ( N )d μ + μ N( ) μn ( ) + μn ( ) P P μ μ N( ) μn ( ) Obiaente el tabajo ealizado po la ueza de icción po las dos taectoias a) b) no son iguales, po consiguiente cuando ha ueza de icción el sistea no es conseatio. (La icción no es conseatia). Ejeplo. Sistea Conseatio. La ueza de la gaedad Supongaos que un bloque de asa se uee del punto P (, ) al punto P (, ) donde es la diección etical. Calcula el tabajo ealizado po la ueza gaitacional con los tes casos ostados en la igua. P P Aquí g g d + g d gj ˆ, d diˆ + dˆj g d Luego P P ( gj ˆ ) ( diˆ + dj ˆ) ( g)d ( g) d + ( g)d g( ) g( ) g( ) Resultado igual que en a) b) Luego la ueza de la gaedad es una ueza conseatia. Tabajo en una taectoia ceada. Si copletaos la taectoia oliendo al punto inicial, teneos una taectoia ceada el tabajo es ceo. Po la taectoia a) P P Aquí g Luego g d gj ˆ, d dˆj ( ) P P gd g Po la taectoia b) P + + P d d d g g g Aquí g Luego gj ˆ, d diˆ, d dˆj, d diˆ P P + ( g) d g( ) + Igual que en a) Po la taectoia c). + P P P P P P El tabajo paa i de a es ( iˆ + ˆj )( diˆ dj ˆ) d + d + d Coo gj ˆ : g. g( ) g( ) El tabajo paa i a es d d + d g( ) g( ) El tabajo total es + g( ) g( ) Esto no sucedeía en el caso de una ueza no conseatia, coo la ueza de icción. 7

8 LA UNCION ENERGÍA POTENCIAL El tabajo ealizado po la ueza iˆ + ˆ j + zkˆ Paa oe una patícula de P (., z ) a P (,, z ) es igual a: P P d ( ) P d + d + zdz P Paa un sistea conseatio el tabajo es independiente de la taectoia seguida. Su integal debe se un dieencial eacto, digaos - du, tal que integándolo, solaente los líites deteinan el alo de la integal. Esto es: P P P ( du ) ( U ) ( U U ) ΔU Aquí llaaos a U, enegía potencial, cuas unidades son las isas que las de tabajo. P Heos deteinado la unción enegía potencial a pati de una ueza dada. Consideeos ahoa el poblea ineso, a pati de una unción enegía potencial deteina la ueza du d d d zdz Coo U es unción de, z, podeos escibi esta deiada en unción de sus deiadas paciales: du (,, z ) d + d + dz z Relacionando con los coponentes de la ueza obteneos,, z z iˆ + ˆ j + kˆ z Ejeplo. La ueza de la gaedad es un ejeplo de ueza conseatia. Toeos la etical a la tiea coo el eje, tal que: g ˆ g j gj ˆ El tabajo ealizado po la gaedad cuando la patícula se desplaza desde el punto al punto es: gj ˆ dj ˆ g d Coo g g( ) ΔU ΔU U U : ( ) ( ) ( ) Δ U U U g g O ( ) ( ) Si consideaos la enegía potencial igual a ceo en el niel de eeencia, la enegía potencial a cualquie altua con especto a es: U( ) g Tabién podíaos habe deteinado esta unción a pati de: du g d du ( g) d gd Integando du gd + C U( ) g + C Donde C es una constante elacionada con las condiciones de cada caso, po ejeplo aquí consideaos paa U ( ). La constante es C U ( ) g Coo copobación, a pati de esta enegía potencial podeos enconta la ueza. g g g g z z z Luego: gˆj Ejeplo 4. Deteina la unción enegía potencial asociada a un esote de constante de igidez k. Consideeos que el esote está en el eje, se estia en esa diección. kiˆ Teneos que: du d ( k) d kd Integando U k + C Si paa la posición de equilibio, la enegía potencial es ceo, C es igual a ceo U k Ahoa ealiceos el poblea ineso: Dado U k enconta la ueza coespondiente: k k 8

9 z z Luego kiˆ Ejeplo 5. Enegía potencial gaitatoia ceca de la tiea. Po la le de Newton de la gaitación uniesal, la ueza de atacción de dos asas es diectaente popocional al poducto de estas e inesaente popocional al cuadado de la distancia. M G ˆ Donde es la asa e un cuepo, M la asa de la tiea, la distancia ente las asas, G es la constante gaitatoia uniesal. Si R (adio de la tiea), la asa está sobe la supeicie de la tiea M G ˆ gˆ R La enegía potencial es M du d G d M U G d + C M U G + C Paa ealua la constante C consideeos que el potencial U es ceo paa ininito, de aquí C es igual a ceo, Luego U G ( ) M Colocando las enegías iniciales a un lado las inales al oto teneos: K + U K + U Esta ecuación es la oa ateática de El pincipio de conseación de la enegía ecánica. Si deinios la enegía ecánica total del sistea E coo la sua de la enegía cinética potencial se puede epesa la conseación de la enegía ecánica coo: E K + U Constante Ejeplo 6. ueza de la gaedad: Se suelta una patícula de asa desde la altua h sobe el suelo. Cuando la patícula está a una altua del suelo, su elocidad es. Su enegía potencial es U g Su enegía cinética es K La enegía ecánica total es: E K + U + g Paa h, E + gh gh Paa, E + Paa cualquie instante E + g gh g h De aquí ( ) g( h ) El gáico de la aiación de enegía potencial cinética es: CONSERVACION DE LA ENERGÍA Hasta esta pate teneos dos oas de enconta el tabajo ealizado sobe un objeto po una ueza, la piea álida paa todo caso a sea ueza conseatia o no conseatia K K ΔK. Y la segunda paa el caso de uezas conseatias U U ΔU Luego podeos escibi K K U U Ejeplo 7. Una asa pequeña se suelta desde el eposo de la pate ás alta de una supeicie eséica de adio R, sin icción. A qué ángulo con etical dejaá el contacto con la esea? Cuando la asa está a una altua h su enegía es igual a cuando está en el punto ás alto. 9

10 gh gr + + Con h Rcosθ gr cosθ gr cosθ gr + ( ) La segunda ecuación de Newton cuando la asa esta en la posición del ángulo θ: E + Paa cualquie instante E + k kl k De aquí: ( L ) k ( L ) El gáico de la aiación de la enegía potencial cinética es: Con a c : R N g cos θ R La asa deja la supeicie eséica cuando: N gr( cosθ ) g cos θ R R cosθ cosθ Rg cos θ θ 48,º Ejeplo 8. ueza de un esote: Se jala una asa a sujeta a un esote de constante k sobe una supeicie sin icción, desde la posición de equilibio hasta una distancia L se suelta. A una distancia de la posición de equilibio la elocidad de la asa es. Su enegía potencial es U k Su enegía cinética es K Su enegía ecánica total es: E K + U + k Paa L, E + kl kl Paa, Ejeplo 9. Calcula la elocidad necesaia paa que una patícula pueda escapa de la atacción de la tiea. La enegía total E de una patícula de asa que está a una distancia del cento de la tiea que tiene una elocidad es: E K + U, donde K M U G M Luego: E G Constante Si la patícula escapa de la atacción de la tiea se sitúa a una distancia ininita de ésta su potencial es ceo. M, U G En esta egión con la elocidad eno posible Teneos K Luego: E K + U Coo E es constante E La enegía E de la patícula en la supeicie de la tiea con la elocidad e paa que pueda escapa: M E e G R GM e R Coo en la supeicie de la tiea M GM G g g R R Teneos: e gr

11 Siendo 6 g 9,8 R 6,4 s 4 Obteneos; e, s Ejeplo. Se tiene un esote de longitud L constante k conectado a la base de un bloque de asa, Se suelta el bloque desde la altua H. Cuál seá la distancia as cecana al piso que alcanzaá el bloque antes de ebota? En el instante inicial la enegía es solaente la potencia gaitatoia es U gh, la enegía cinética es ceo, tal que la enegía total es E gh. En el instante inal: La enegía potencial es la coespondiente a la asa a una altua, ás la del esote copiido una longitud ( L ), es deci: U U U g k( L ) g + + Coo en ese instante ha cesado el oiiento, la enegía cinética es ceo, La enegía total es: E g + k L ( ) Po la conseación de la enegía gh g + k( L ) Velocidad de la patícula: Teneos que E Total K + U + U( ) E U ( ) ( E U ( )) La enegía cinética: - Es igual a ceo en 5. - Tiene su alo áio donde U () es ínio, el punto La patícula se uee ente 5, uea de estos aloes la elocidad seía iaginaia. du ( ) Coo, la pendiente del gáico de dt U () en deteinado punto coesponde a La ueza actuante, tal que la ueza se hace ceo donde la pendiente es ceo, coo en, 4. La ueza es positia ente.ente 4. La ueza es negatia ente, ente 4 5. Los puntos en que U es ínio, son posiciones de equilibio estable, coo son 4. Ejeplo. En la igua, un auto de juguete de asa se libea del eposo en la pista cicula. Si se suelta a una altua R sobe el piso, cuán aiba sobe el piso estaá cuando sale de la pista, despecie la icción? La solución de esta ecuación es: g g k L ± + H L R k g ( ) Siendo el alo positio de la solución signiicatia. Ejeplo. El gáico de la igua uesta la unción potencial la enegía total de un oiiento. Qué podeos deci aceca del oiiento? En la igua de aiba: h R( + senθ ) Despeciando las pédidas po icción la enegía total es constante, de tal anea que: Siendo la elocidad del auto a la altua h.

12 g ( R) g( h) + g ( R) gr( + senθ ) + gr grsenθ + () Aplicando la segunda le de Newton en la altua h: a) Siendo la elocidad de la asa en la pate supeio del izo. Po conseación de la enegía: g ( H ) g( R) + gh gr + () Aplicando la segunda le de Newton en ese punto: g sen θ N a c N, condición de caída. a c R Luego: gsen θ R grsenθ () Reeplazando () en (): gr grsenθ + grsenθ gr gr senθ sen θ inalente: ` h R( + senθ ) R + 5 R,67 R Ejeplo. Una asa pequeña esbala sobe una supeicie inclinada pasando po un izo de adio R. a) Cuál es la altua ínia H de la que debe soltase a in de que el cuepo no deje la supeicie inteio del izo al da la uelta? b) Con que elocidad llega la asa al punto A? c) Cuál es el alo del ángulo α, con el que se puede etia el segento AB de la cicuneencia de tal odo que la asa que sale de A alcance el punto B después de iaja una cieta distancia en el aie. g N a c N, condición de caída. a c R Luego: g R gr () Reeplazando () en (): gh gr + gr 5 H R H, 5R b) Sea la elocidad en el punto A su altua es h R + cosα ( ) Po conseación de la enegía: g ( H ) gr ( h ) + g (,5R) gr( + cos ) + g(,5r) gr( + cosα ) gr grcosα α gr( cosα ) c) La asa sale del punto A, coo un poectil con elocidad inicial iˆ + ˆj

13 En el tiepo t de su ecoido etical debe alcanza al punto B. Recoido etical: senα t gt Cuando llega a B, : senα t gt t senα g Su ecoido hoizontal es t cosαt Paa t senα debe de esta en B, luego: g R senα cosα senα g gr cosα Igualando esta epesión de la elocidad con la encontada anteioente: gr gr ( cosα ) cosα cos α cosα + Resoliendo: cosα En nuesto caso toaos la solución ½, con la que obteneos α 6º Ejeplo 4. Un aco del tio al aco ejece la ueza k de la le de Hooke en una lecha cuando la cueda se jala una distancia. Se supone que un aqueo ejece una ueza de N jalando a la lecha una distancia de 64 c. a) Cuál es la constante del esote del aco? b) Cuál es la elocidad de una lecha de asa 4 g cuando deja el aco? a) k 44 N/,64 b) U + K U + K k + k + 44 (,64) 76,6 /s,4 Ejeplo 4. Puenting. Un saltado que pesa 8 N se ata con una cueda elástica al tobillo se salta de una toe alta. La cueda tiene una longitud si estia de, un eteo se une al punto donde el salto coienza. La constante del esote de la cueda elástica es N/. Cuánto ecoeá el saltado antes de que la cueda detenga su descenso? Sea el punto ás bajo del salto h. La enegía cinética inicial la enegía cinética en el punto ás bajo son abas igual a ceo. Tal que po la conseación de la enegía: gh + k, donde h. Sustituendo g 8 N k N/, esoliendo: h 68h + 9 ( 68) 4( 9) h 68 ± 5, o 8. La solución coecta es h 5. La solución h 8 coesponde al ebote que copie la cueda aotiguado auilia, peo una cueda no se copie coo un esote. Ejeplo 5. En la igua ostada, el hobe la plataoa tienen una asa, el hobe se elea una distancia h tiando la cueda del lado deecho. a) En cuánto auenta su enegía potencial gaitatoia? b) Qué ueza debe ejece paa elease? c) Qué longitud de cueda debe tia paa llega a la posición supeio? d) Despeciando el ozaiento Qué tabajo habá ealizado?

14 a) La enegía potencial gaitatoia es U( ) g + C Paa la posición inicial U g + C Paa la posición inal U g + C El auento de la enegía potencial gaitatoia es: U U U g( ) gh b) La ueza paa elea el sistea, siendo esta conseatia, g Coo la polea diide en dos, la ueza h que debe g ejece el hobe es: h. c) Paa llega a la posición supeio la cueda debe se tiada en una longitud dos eces h d h. d) EL tabajo ealizado po el hobe es: g h h d ( h) gh Justaente igual al cabio de enegía. Ejeplo 6. Obseadoes en oiiento elatio. Sobe una plataoa en oiiento hoizontal con una elocidad constante V. un hobe epuja una caja de asa con una ueza una distancia d patiendo del eposo. Deosta la alidez de la conseación de la enegía desde los puntos de ista de obseadoes en acos ineciales dieentes. Las lees de Newton se cuplen sólo en acos de eeencia ineciales. Si se cuplen en uno en paticula entonces se cuplen en todos los acos de eeencia que se uean a elocidad constante en elación a este aeo. a) Obseado en la plataoa. El obseado en la plataoa e que la caja, de asa, se uee bajo la acción de la ueza. El tabajo ealizado paa oe la distancia d es: d La aceleación de la caja es a Coo la caja pate del eposo su elocidad en la posición inal es: d ad El obseado deteina que el cabio de enegía: Δ K K K Coo d d ΔK d El obseado sobe la plataoa conclue que: d ΔK d ΔK b) Obseado situado en tiea: El obseado en tiea e que la caja se uee bajo la acción de la ueza, en este caso la caja se uee la distancia d ' Vt + d,. Siendo t el tiepo que deoa el ecoido de la distancia d sobe la plataoa, d d d t, luego d ' V + d a El tabajo es: d ' d' V + d ' d + V d El obseado e que la caja tiene una elocidad inicial ' V una elocidad inal d ' V + V + El obseado en tiea deteina que el cabio de enegía es: Δ K' K' K' ' ' Δ K' V + d V 4

15 Δ K' d + V d Aquí se cuple tabién la conseación de la enegía: ' ΔK' SISTEMAS NO CONSERVATIVOS. Supongaos que tabién inteienen uezas no conseatias, coo la icción. El tabajo total paa oe la patícula de a es K K Este tabajo es tabién igual a la sua del tabajo ealizado po las uezas conseatias del tabajo ealizado po las uezas no conseatias, es deci: + CONSERVATIVAS NO CONSERVATIVAS Coo: CONSERVATIVAS U U U U NO CONSERVATIVAS + De las epesiones de tabajo total teneos: K K U U + NO CONSERVATIVAS K U K U NO CONSERVATI ( ) ( ) VAS E E NO CONSERVATIVAS A dieencia que en un Sistea conseatio, no es igual a ceo. Esta últia epesión nos peite calcula el tabajo de uezas no conseatias, uezas que en geneal son coplicadas que en pincipio debeíaos de calcula esoliendo integales cuilíneas. Ejeplo 7. A un bloque de asa se le da un epujón tal que adquiee la elocidad a lo lago del eje. Después de esbala distancia L golpea un esote de constante k. Si el coeiciente de icción ente el bloque la asa es μ. Cuánto se copie el esote? Sea La longitud que se copie el esote. La distancia ecoida po la asa es (L + ). La enegía inicial es solo la enegía cinética de la asa: Ei La enegía inal es solo la enegía potencial del esote: E k El tabajo hecho po la icción d,, L +, μn μg Luego: L + ( g)d μ g L + Coo en un Sistea no Conseatio. μ ( ) NO CONSERVATIVAS E E μ g( L + ) k Ecuación de segundo gado cua solución es: μg μ g ± μ k k k ( gl ) Ejeplo 8. Un cuepo de asa kilogaos cae desde una altua de 5 etos alcanza el suelo en segundos. Consideando constante la ueza de esistencia del aie. a) Cuál ea la agnitud de la ueza de esistencia? b) Cuánta enegía ecánica se ha pedido? c) Qué elocidad tenía el cuepo inediataente antes de choca Conta el suelo? a) Siendo el peso la ueza de esistencia del aie las uezas que inteienen siendo abas constantes teneos que la aceleación a del cuepo es constante. Coo h at h ( 5) La aceleación es a 7,5 t s Aplicando la segunda le de Newton: g g a g ( g ) ( 9,8 7,5) N a b) La enegía que se ha pedido es el tabajo ealizado po las uezas no conseatias. ( )( 5) 45 J NO CONSERVATIVAS g d c) Coo NO CONSERVATIVAS E E Siendo E K + U + gh 47 J ( )( 9,8)( 5) E K + U + 5 5

16 Teneos: inalente: 5 s Una anea diecta de llega al iso esultado es considea que la aceleación eectia de salida es a 7,5, la elocidad después de segundos es: s at,5 s 7 5 s LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y LA RICCIÓN La le de la conseación de la enegía se puede aplica a los sisteas donde las uezas no conseatias coo actúan las uezas de la icción. Si un sistea tabaja conta la icción, la enegía ecánica del sistea disinuiá. Así si es el tabajo hecho conta la icción, entonces enegía inicial - la enegía pedida po la icción E E U + U + Ejeplo 9. Ceca de Lewiston, Idaho, ha una caetea u inclinada donde ciculan caiones cagados con adea. Han ocuido aios accidentes seios cuando los caos pedieon sus enos endo paa abajo de la colina a gan elocidad. Se han constuido apas de contención que se espea puedan detene a los ehículos sin enos. Suponga que un cao que iaja a 4 /s encuenta una apa inclinada paa aiba º sobe hoizontal. La gaa loja en la apa popociona una ueza iccional paa auda a detene al cao ientas sube la apa. La gaa tiene un coeiciente eicaz de icción de,5. Cuán lejos a lo lago de la apa el cao iajaía antes de detenese? N g cos θ N g cos μ μ U + θ + K U K + s gh + h s senθ ( μg cosθ ) s gs senθ s g ( senθ + μ cosθ ) ( 4) ( 9,8)( senº +,5cos º ) 87,5 POTENCIA Tan ipotante coo sabe cual es el tabajo ealizado es conoce tabién la apidez con la cual se ealiza. Paa popociona una edida cuantitatia de este concepto que inclue tanto el tabajo coo el tiepo necesaio paa ealizalo se tiene a la Potencia. La potencia ide la apidez con la que el tabajo se está ealizando. Si se ealiza un tabajo en un intealo de tiepo (de t a t ) la Potencia edia es: Δ P t t Δt Cuando t t, Δt, tendeos La Potencia instantánea en el instante t. Δ d P li Δt Δt dt Tabién coo d d Teneos P d dt P d dt El análisis diensional P L T M L T [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] Su unidad en el sistea intenacional es J/s llaado att ó Vatio cuo síbolo es. Un últiplo u usado es el kilowatt (k) k Eiste una unidad de enegía o tabajo en téinos de la unidad de potencia el kilowatt-hoa (kwh), es la enegía conetida o consuida en una hoa a una azón constante de k. kh ( )(6s),6 l 6.J Paa tene una idea de cuanto es att, iagineos que teneos que leanta una asa de 5 kg. a una altua de eto, cada 5 inutos ealiza este tabajo duante una jonada de 8 hoas. Si leanta cada 5 inutos, seán eces po hoa, siendo 8 hoas po día, haá un total de 8 96 eces al día. El tabajo ealizado es: 96gh 5Kg ( )( 9,8 /s)( ) J 6

17 Paa deteina la potencia teneos que diidilo po el núeo de segundos en un día. 474J P,6 8 6s Copaeos esta potencia con la potencia de un oto pequeño de hp (hose powe). El hp es la unidad de potencia en el sistea inglés hp 746 Ejeplo. Si un objeto que pate del eposo se desliza po un piso liso inclinado un ángulo θ con especto a la hoizontal de altua h, halla la potencia P gastada po la gaedad en unción de la posición del objeto con especto a la pate ineio plano inclinado. La potencia es: d P, siendo d dt Con g senθ d at g senθ t Teneos ( g senθ ) g senθ t g sen θ t d d P g sen θ t dt dt g sen θ Coo ha ecoido la distancia s: ( h ) s gsenθ t senθ Obteneos: ( h ) t gsen θ Luego ( h ) P g sen θ gsen θ gsenθ g h ( ) Ota anea de obtene es considea que: P Donde g senθ at gsenθ t Luego: P ( g senθ )( g senθ t) Coo t Obteneos: P g g sen θ t sen ( h ) gsen θ ( h ) gsen θ g h θ gsenθ ( ) Ejeplo. El lujo de agua de un ío es de 5 po segundo, se tiene un desniel de etos se quiee apoecha constuendo una hidoeléctica a) Si la enegía del agua que cae se utilizase totalente Que potencia se podía obtene? b) Si toda la enegía pocedente de la caída del ío se conitiese en enegía eléctica se endiese a un sol el kilowatt-hoa Cuánto dineo se cobaía en un día? a) El tabajo ealizado po una asa que cae desde una altua h es: gh Coo ρv, Donde ρ es la densidad del agua. V es el oluen. ρvgh La potencia que se obtiene al pie de la salida es d P dt d ρvgh dt De estas cantidades la que aía con el tiepo es V. dv dt Luego 5 s dv P ρgh dt Coo kg ρ, Obteneos kg P 9,8 s 9,8 7 g 9,8, h s ( ) 5 s b) Si teneos una potencia P 9,8 7 9,8 4 k consideaos que se consue las 4 hoas del día. La enegía obtenida es igual a todo el tabajo ealizado. d Pdt t P dt P( t t ) PΔt t 4 ( 9,8 k )( h) 4 5, 4 k-h 7

18 si el pecio de cada k-h es sol, cada día se obtendán,5 illones de soles. Ejeplo. En la igua, un bloque de asa descansa sobe una aja que se uee con elocidad constante. El coeiciente de icción ente el bloque la aja es μ k. Toando coo tiepo inicial t, una ueza hoizontal aplicada al bloque le poduce una aceleación constante a. a) Deteina la ueza la potencia disipada en icción coo unción del tiepo. b) Si la ueza es ejecida po un hobe que se encuenta sobe la aja. Deteina la potencia que este libea en unción del tiepo. e) Si la ueza es ejecida po un hobe que caina sobe el piso al costado de la aja. Deteina la potencia que este libea en unción del tiepo. a) Aplicando la segunda le de Newton a la asa en la igua Coo a + μ g a μ N μ g, obteneos: k k la potencia disipada en icción es k ( μkg) P, siendo at P μkgat b) La ueza que hace el hobe sobe la aja es a + μ g k Su elocidad en unción del tiepo es ' + + at la potencia que debe da el hobe es P ' ( a + μ g)at k c) La tueza que haá el hobe sobe el piso es igual al caso anteio: ' a + μ g k La elocidad del hobe en unción del tiepo en este caso es: ' + at Luego la potencia que debe da el hobe es: ( a + g)( at) P' ' ' μk + MÁQUINAS Una áquina siple es un dispositio usado paa agniica una ueza o paa cabia una desplazaiento pequeño en gande. Las áquinas counes son la palanca, el plano inclinado, el gato hidáulico, o una cobinación de enganajes. El tabajo se hace típicaente en la áquina (el tabajo de entada), entonces la áquina altenadaente hace un cieto tabajo de salida. El estado de la enegía de la áquina no cabia apeciable duante este poceso, así que si la icción es insigniicante,, basado en la idea de la conseación de enegía. Mu a enudo las uezas de entada de salida son constantes, en las cuales el caso, lo que llea a: d d d d Aquí actúa sobe una distancia d actúa sobe una distancia d. La entaja ecánica de la áquina se deine coo VM Ejeplo. La palanca de baa es un dispositio usado paa leanta objetos pesados (po ejeplo, un piano o una pieza gande de aquinaia). Consiste en una baa laga que se apoa en un ulco una distancia cota del eteo de leanta de la baa. Suponga que el ulco de una baa de la palanca está a centíetos de la caga, el punto donde usted epuja hacia abajo en el oto eteo está a,5 del ulco. Qué ueza ínia tendía que ejece paa leanta una caga de N? Si uee el eteo de la baa 4 centíetos hacia abajo, cuánto leantaá la caga? Si la baa ota con un ángulo pequeño Δθ, entonces d L Δθ d L Δθ LΔθ LΔθ L L (,) ( ),5 4 N Paa tiángulos seejantes d L L d d d L L 8

19 d (,) ( ) (,4),5 L,8 8. Obsee que una ueza pequeña de entada da luga a una ueza gande de salida, peo el pecio que se paga es que un desplazaiento gande de la entada poduce solaente un desplazaiento pequeño de salida. Ejeplo 4. Se bosqueja aquí un polipasto dieenciado de la clase usada paa leanta un oto de auto. Las poleas tienen dientes que enganan con una cadena continua. Las poleas están soldadas juntas, ha 8 dientes en la polea etena 6 dientes en la polea intena. Así cuando la polea hace una eolución, 8 acoplaientos de la cadena se leantan 6 acoplaientos bajan, dando po esultado la eleación de la caga. Cuál es la entaja ecánica de esta áquina? Así el tabajo de la salida es (L). Despeciando la icción. o (8 L) (L) La entaja ecánica del polipasto es VM 8. Ejeplo 5. Un taile está equipado de un sistea paa saca bacos del agua. Consiste en una anija laga de centíetos unido al eje de un enganaje pequeño con dientes. Este enganaje pequeño endienta con un enganaje ás gande con 6 dientes. Se une a este enganaje gande un tabo del adio centíetos en el cual se enolla la línea atada al baco (la línea es una cueda.) Qué tensión se puede aplica a la línea cuando la aniela se epuja con una ueza de 8 N? Soución. Considee que pasa cuando la aniela hace una eolución. La ano uee una distancia d πr. El enganaje gande uee /6 / eoluciones. La línea es jalada una distancia d πr /. Considee qué pasa cuando la polea supeio hace una eolución, es deci, cuando el tabajado jala 8 eslabones de la cadena hacia él con ueza. Sea L longitud de un eslabón. El tabajo de la entada es (8 L). El lazo de la cadena que a bajo de la caga es acotado así po 8 eslabones alagado po 6 eslabones, con un acotaiento neto de 8L - 6L L que acota al lazo L leanta la caga L (intente esto con un pedazo de cueda paa conencese de esta caacteística). d d d πr d πr / ( 8) 6 N. La entaja ecánica: 6 VM 45 8 R R La entaja ecánica del tono (despeciando la icción) es 45. Deina pieo en palabas luego en una epesión ateática. a) El tabajo ealizado po una ueza cualquiea. b) La enegía cinética de una patícula. PREGUNTAS Y PROBLEMAS Una patícula P en el plano está soetida a la ˆ i ˆj acción de la ueza. Calcula el tabajo eectuado po la ueza paa desplaza P sin icción desde B (,.b) a A (a, ). ab Respuesta. ( a + b). Un depósito cilíndico de altua H tiene una asa de agua que lo llena hasta la itad, que ha de bobease en su totalidad po encia del bode del io. Cuánto tabajo ha de ealiza la boba? 9

20 Respuesta. Δ 4 gh 4. Qué ueza hoizontal, constante debe aplicase a un cao de asa 5 kg que iaja en una caetea hoizontal a 6 k/h paa que se detenga en etos? Quién popociona la ueza? Respuesta. 5 N, popocionada po la caetea. 5. Un esote está unido en A a un plano etical ijo a un bloque B que esbala sobe una ailla lisa hoizontal O. La longitud del esote no estiado es 45 c la constante del esote es k I N/. Cuál es el tabajo ealizado po el esote sobe B cuando se uee 6 c desde O po eecto de la ueza? Respuesta: 99,8 J 6. Un esote de asa despeciable constante k cuelga del cieloaso de un ascenso llea suspendido una asa in. Cuando el ascenso se uee hacia aiba duante t segundos con una aceleación unioe a g. la eacción inecial hace que el esote se alague. a) Cuánto tabajo ealiza el ascenso sobe el sistea esote-asa? b) Cuánto tabajo ealiza sobe el esote? Respuesta. a) 4 g t b) 8 g k 7. En la igua se uee el cuepo A a lo lago de un plano hoizontal liso po edio de la ueza constante 5º N aplicada al eteo de una cueda unida a A que pasa po una pequeña polea sin ozaiento en B. Calcula el tabajo ealizado sobe A po la cueda ientas A se desplaza, cosθ ueza tabién aía tal que. El objeto se uee ente < <. Cuál es el tabajo ealizado cuando el objeto se uee de a a? Respuesta. 4 a a Aa + B B 4 9. Un bloque que se uee a lo lago del eje coienza del eposo en A se uee a B luego uele a A donde queda en eposo nueaente. Si una de las uezas actuante sobe el bloque es opuesta en diección popocional a la agnitud de la elocidad, tal que b con b Constante. Deosta que el tabajo ealizado po esta ueza no es ceo paa una taectoia ceada. ˆ. La ueza i + j actúa sobe la patícula.p (,) que se uee en el plano. a) Deosta que no es una ueza conseatia. b) Deteina el tabajo de cuando se uee de A a C, a lo lago de los cainos ABC, ADC AC. Respuesta. a) Si 4 4 a a ADC. AC ˆ, b) 4 a ABC,. El tubo de la igua se halla en un plano hoizontal, su esote copiido inicialente c.. al dispaase una bolita enta en una canaleta cicula de adio R, la icción es constante igual a Newton. Cuántas ueltas daá la bolita antes de detenese? R 5 c k 6 N/ Respuesta. J 8. Una ueza cua agnitud aía con de acuedo a A + B actúa sobe objeto que puede oese solaente en el eje. El ángulo con el que actúa la Respuesta. Una uelta.. Se aplica una ueza de N a una patícula de 5 g que está inicialente en eposo sobe una supeicie.

21 a) Cuánto tabajo ealiza sobe la patícula en l s si la supeicie es lisa la ueza es hoizontal? b) El iso caso de a) peo la ueza hace un ángulo de 6º con la hoizontal. c) El caso b) peo con ozaiento ente la patícula la supeicie,5 Cuánto tabajo se consue en ence el ozaiento? Respuesta. a) Δ J, b) Δ 55J, c) Δ 4J, Δ 46J. Enconta la unción enegía potencial de un esote si el oigen se coloca en la paed la longitud del esote sin estia es L. Respuesta. U( ) k kl + C Si kl k C ( ) ( L + L ) k( L) U 4. Una patícula que se uee a lo lago del eje está soetida a la acción de una ueza en un sistea conseatio a la que le coesponde la siguiente unción enegía potencial. 4 U( ) a + b c Deteina los coeicientes a. b c, si se sabe que el potencial se anula en el oigen, que en una posición de equilibio que una patícula de 5 kg con una elocidad en el oigen de /s queda en eposo en l. Respuesta. a, b 8/7 J/, c /7 J/ 4 5. La enegía potencial ente dos oléculas ecinas iene dada po: A U + B ( ) 6 siendo la sepaación ente las oléculas. a) Cuál es la ueza ente ellas en unción de? b) Cuál es la posición de equilibio de las dos oléculas? c) Qué enegía seia necesaia paa alejalas de su posición de equilibio indeinidaente? A + B Respuesta. a) ( ) 6, b) 7 6 B A, c) Δ E A 4 B 6. Halla la ueza conseatia que da oigen a la unción enegía potencial. U ( ) Respuesta. z z + iˆ 6 + z ˆj kˆ 7. Una patícula de asa 4 peneta en una egión en la cual su enegía potencial es la indicada en la igua pasa aloes gandes de, a los cuales su enegía potencial es ceo, tiene una enegía cinética de 6-7 J. a) Cuál es su enegía cinética en los puntos A, B C? b) Estando en el punto A, la patícula piede buscaente la itad de su enegía total. (la gáica de la enegía potencial no se altea). Descibe cualitatiaente el oiiento subsiguiente, dando el doinio de aloes de en el cual puede oese la patícula. Respuesta. E C E 8 J, J A -7 J E, 8. Un bloque de asa es lanzado hacia aiba en un plano inclinado con una elocidad de agnitud. El ángulo del plano es θ el coeiciente de icción del bloque el plano es μ. Si el bloque iaja una distancia L hasta detenese coienza a baja oliendo a su posición oiginal. Calcula, a) El tabajo ealizado po la ueza noal duante el oiiento. b) El tabajo ealizado po la ueza de icción duante el oiiento. c) El tabajo ealizado po la ueza de gaedad duante el oiiento. d) Enconta L en unción de, θ. e) Cuál es la elocidad del bloque cuando uele al punto inicial? Respuesta. a), b) μglcosθ, c), d) L, g ( μ cosθ + senθ ) e) 4μgLcosθ 9. Se dispaa un poectil con una elocidad inicial de agnitud oando un ángulo θ con la B

22 hoizontal. Usando la conseación de la enegía enconta. a) La altua áia alcanzada. b) La agnitud de la elocidad cuando el poectil está a la itad de su áia altua. sen θ Respuesta. a) h, g ( + cos θ ) b). Una ueza 8t (t en segundos, en Newton), actúa la patícula P de asa 4kg duante un tiepo t 6 s. Sí pate del eposo a pati del oigen. a) Calcula el tabajo eectuado. b) Calcula la enegía cinética al instante t. Respuesta. a) 59 J, b) K t 4 J.. Un esote de longitud l constante k se sujeta a un bloque de asa al piso. Si el bloque se leanta a una altua l soltado desde el eposo. a) Cuál seá la elocidad del bloque cuando esté a una altua l? b) Cuál seá la áia copesión del esote? k Respuesta. a) l + gl, b) kl g kl g ( kl + 6gl) + + k k k. Dos placas cuas asas son, espectiaente, están conectadas po un esote. Qué ueza debeá aplicase a la placa supeio paa elea la placa ineio después que se etia la pesión? No toa en cuenta la asa del esote. Respuesta. a),5 g, b). g, c),5 g d), g, e) 5,4 g 4. Un bloque pequeño de asa esbala patiendo de la pate supeio de una esea sin icción de adio R. Cuál es el ángulo en el que el bloque piede contacto con la esea. Respuesta. a) cos θ 5. n saco se epuja suaeente po el bode de una paed en A oscila en un plano etical colgado del eteo de una cueda de 4 que puede sopota una tensión áia igual a dos eces el peso del saco. a) Deteina la altua a la que se ope la cueda. b) A qué distancia de la paed etical caeá al.suelo el saco? Respuesta. a) > ( )g +. Una bolita de asa desliza a pati del eposo hacia abajo po un cail doblado coo se uesta en la igua, el ozaiento es despeciable, halla: a) La eacción noal del cail en A. b) La enegía cinética de la bolita en B. c) La eacción noal del cail en 8. d) La enegía cinética de la bolita en C. e) La eacción noal del cail en C. Respuesta. a), 6. Una bola pequeña de asa l g desliza hacia el ondo de un alle oiéndose sin ozaiento coo se indica en la igua. Patiendo del eposo, la bola cae desde una altua h abandona el ondo del alle oando un ángulo θ con la hoizontal. En el punto ás eleado de su taectoia la bola choca con un esote ontado sobe una paed lo copie c. La constante del esote es k 49 N/. a) A qué altua está el esote? b) Cual es el ángulo θ?

23 a) Consideando que la ueza de ozaiento es independiente de la elocidad, calcule su alo edio. b) Qué potencia debe consuise paa antene el autoóil en oiiento con una elocidad de 48 k/h? Respuesta. a) N b), P hp Respuesta. a), b) θ 45º 7. Una bola de aceo de asa kg está unida a un eteo de un alabe de de lago gia alededo del oto eteo con una elocidad angula de p. Cuál es la enegía cinética de la bola? Respuesta. 78,88 J 8. La aja tanspotadoa de la igua se uee con una elocidad constante descaga los paquetes sobe la apa AB. El coeiciente de ozaiento ente los paquetes la apa es,. Sabiendo que los paquetes deben alcanza el punto B con una elocidad de 4 /s, deteina la elocidad equeida en la aja tanspotadoa.. Un autoóil de 5 kg se desplaza ientas es aceleado unioeente desde 5 hasta 7 k/h. Duante todo el oiiento el autoóil se desplaza sobe una caetea hoizontal, la esistencia al oiiento es igual al po ciento del peso del autoóil. Deteina: a) La áia potencia equeida. b) La potencia equeida paa antene la elocidad constante de 75 k/h. Respuesta. a) 5 k, b) 6, k 4. Un peso D el contapeso C tienen cada uno una asa de 5 kg. Deteina la potencia equeida cuando el peso: a) Se uee hacia aiba con elocidad constante de 4/s. b) Tiene una elocidad instantánea de 4/s hacia aiba una aceleación hacia aiba de,9 n/s. Respuesta., /s 9. Una locootoa ejece un tio constante en la baa de tacción de 6 N ientas auenta la elocidad de 48 a 7 k/h. Cuál es la potencia que desaolla la locootoa: a) al coienzo del peiodo? b) al inal del peiodo? c) Cuáles la potencia.edia duante el peiodo? Respuesta. a) 859 hp, b) 49 hp c) 574 hp. Una gúa industial puede leanta su áia peitida de 5 toneladas a la elocidad de /s. Sabiendo que la gúa es oida po un oto de k. Deteina su endiiento. Respuesta. 49%. Cuál es la elocidad áia la que un oto capaz de suinista k puede elea un ascenso de asa 5kg, sin toa en cuenta las uezas de ozaiento? Respuesta., /s. Si a un autoóil de asa kg que se uee sobe una caetea hoizontal con una elocidad de 48 k/h se le apaga al oto, este ecoe aún,8 k antes de detenese. caga Respuesta. 6,86 k, 8.44 k 5. Un bloque de,5 kilogaos es sujetado conta el esote po una ueza etena hoizontal de 6 N. Se quita la ueza etena, el bloque se poecta con una elocidad, /s a pati de la sepaación del esote. El bloque desciende una apa tiene una elocidad,8 /s en la base. La pista es sin icción ente los puntos A B. El bloque ingesa a una sección ugosa en B, etendiendo hasta E. El coeiciente de icción cinética es,. La elocidad del bloque es,4 /s en C. El bloque se uee hasta C donde se detiene.

24 8. Un cajón de kilogaos está en una supeicie áspea inclinada º. Una ueza etena constante P de 8 N se aplica hoizontalente al cajón. La ueza epuja el cajón una distancia de, aiba de la pendiente, en un intealo del tiepo de, s, la elocidad cabia de,8 /s a, /s. a) La constante del esote es: b) La copesión inicial del esote en c es: c) La altua h de la apa en c es: d) El tabajo ealizado po la icción ente los puntos B C es: e) La distancia s que el bloque iaja ente los puntos B D es: Respuesta. a) 8 N/, b),, c) 9, d) -. J e),55 6. Una baa sin asa de,5 se ija libeente a un piote sin icción en O. Una bola de, kilogaos se une al oto eteo de la baa. La bola se sostiene en A, donde la baa hace un ángulo º sobe el hoizontal, se lanza. El ontaje de la bola-baa puede gia libeente en un cículo etical ente A B a) La bola pasa a taés de C, donde la baa oa un ángulo de º debajo de la hoizontal. La apidez de la bola cuando pasa po C es: b) la tensión en la baa cuando la bola pasa po el punto ás bajo D es: Respuesta. a) 5,4 / s, b) N 7. Una ueza etena constante P N se aplica a una caja de kilogaos, que está en una supeicie hoizontal áspea. La ueza epuja la caja una distancia de 8,, en un intealo del tiepo de 4, s, la elocidad cabia de,5 /s a,5 /s. a) El tabajo ealizado po el peso es: b) El tabajo ealizado po la ueza de icción es: c) El tabajo ealizado po la ueza noal es: d) La potencia edia poducida po la ueza etena P duante los, segundos es: Respuesta. a) -5 J, b) - 4 J c) Ceo, d) 5 9. Una uchacha lanza una pieda de un puente. Considee las aneas siguientes que ella puede lanza la pieda. La elocidad de la pieda con la que lanza es igual en cada caso. Caso A: Lanzada deecho paa aiba. Caso B: Lanzada deecho paa abajo. Caso C: Lanzada con ángulo de 45º sobe hoizontal. Caso D: lanzada hoizontalente. En qué caso la elocidad de la pieda seá ao cuando llega al agua? Respuesta. la apidez es la isa en todos los casos. 4. Paa hace el tabajo sobe un objeto, A) es necesaio que haa icción. B) es necesaio que no haa icción. C) el objeto debe oese. D) la ueza que hace el tabajo debe esta diigida pependiculaente al oiiento del objeto. E) la ueza aplicada debe se ao que la ueza de la eacción del objeto. Respuesta. C) el objeto debe oese. 4. Un bloque de 8, kilogaos se lanza del eposo, l /s, en una pendiente ugosa. El bloque se uee una distancia de,6 abajo de la pendiente, en un tiepo de,8 s, adquiee una elocidad de 4, /s. a) El tabajo ealizado po la ueza etena es: b) El tabajo ealizado po la icción es: c) La azón de cabio poedio de la enegía cinética de la caja, en los 4, segundos es: Respuesta. a) 8 J, b) -7 J, c) a)) El tabajo ealizado po el peso es: b) La azón poedio a la cual la ueza de icción ealiza tabajo en el intealo de tiepo de,8 s es: 4

25 c) La azón poedio a la cual la ueza noal ealiza tabajo en el intealo de tiepo de,8 s es: d) La azón poedio a la cual el bloque gana enegía cinética duante el intealo de tiepo de,8 s es: Respuesta. a)) + 8 J, b) -, c) Ceo, d) 8 4. Una pesona de 6 kilogao cae desde el eposo uno distancia, sobe una plataoa de asa insigniicante apoada sobe un esote duo. La plataoa baja 6 c antes de que pesona uela al eposo. Cuál es la constante del esote? Respuesta. 4, 5 N/ 4. Un objeto está sujeto a una ueza estauadoa 6, donde es el desplazaiento del objeto desde su posición de equilibio. Qué tabajo debe ealizase paa oe al objeto desde,5? Respuesta. 7,59-4 J 44. Dos esotes idénticos tienen longitudes sin estia de,5 las constantes de la ueza de N/. Los esotes se unen a un bloque pequeño se estian a una longitud de, coo en la igua A. Una ueza etena P tia del bloque, a la deecha lo sostiene allí. (Véase La igua B) a) El esote estia,6. La constante de ueza del esote es: b) La constante de ueza del esote es igual a N/. La longitud sin estia del esote es: Respuesta. a) N/, b),5 46. Una baa ligea de,8 se ija libeente a un eje etical en A. Un disco de, kilogaos se une a la baa en B. Un esote se une a la asa en B a la anga en el eje en C. A La anga es sin icción, peitiendo que se baje suba libeente, de odo que el esote sea siepe hoizontal cuando esté estiado. La longitud del esote sin estia es,45 la constante es N/. a) El tabajo equeido paa ensabla los esotes el bloque (igua A) es : b) La ueza etena P, que antiene al bloque en su luga (igua B) es: c) El tabajo ealizado po la ueza etena P en jala el bloque, es: Respuesta. a),5 J, b) E) 8 N, c),8 45. El bloque A (,4 kg) el bloque B (, kg) están sobe una esa sin icción. El esote conecta al bloque A a una ailla sin ición O el esote conecta el bloque A el bloque B. Los bloques están en oiiento cicula unioe alededo de o, los esotes tienen longitudes de,6,4, coo se uesta. La elocidad lineal del bloque B es. /s. a) El eje está giando el esote estiado tiene una longitud de,48. La aceleación adial del disco es: b) El eje está giando la ailla oa un ángulo de 4º con el eje. El esote está estiado hoizontal. La aceleación adial del disco es: c) El eje está giando el esote tiene una longitud de,45. La aceleación adial del disco es: Respuesta. a),5 /s b) 5, /s, c) 6,7 / s 47. Cieto coche que iaja esbalones del ph a una paada en etos del punto donde los enos ueon aplicados. En qué distancia el coche paaía apoiadaente la tenía que a 4 ph? Respuesta. 8 etos 48. Un oto de la aena en una ina leanta. kilogaos de la aena po inuto una distancia etical de etos. La aena está inicialente en el esto se descaga en la tapa del oto de la aena con la elocidad 5 /s en un canal inclinado de cagaento. En qué taia ínia se debe la enegía poee a esta áquina? Respuesta. 4,4 k 49. La constante de un esote es 5 N/ su longitud sin estia es,6. Un bloque de 4, kilogaos se suspende del esote. Una ueza 5