MÉTODO DE SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE RUTEO E INVENTARIOS DE MÚLTIPLES PRODUCTOS PARA UNA FLOTA HETEROGÉNEA DE NAVES

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1 MÉTODO DE SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE RUTEO E INVENTARIOS DE MÚLTIPLES PRODUCTOS PARA UNA FLOTA HETEROGÉNEA DE NAVES Rcardo Gesen, Juan Carlos Muñoz Deartamento de Ingenería de Transorte y Logístca Pontfca Unversdad Católca de Chle Vcuña Mackenna 4860, Macul, Caslla 306, Correo 22 Fax.: (56 2) , E-mal: Gesen@ng.uc.cl; jcm@ng.uc.cl Marela Slva, Mael Leva Gruo de Logístca Dvsón de Ingenería de Transorte DICTUC S.A. E-mal: mslva@ng.uc.cl, mleva@ng.uc.cl RESUMEN En este traajo se resenta un rolema oeraconal de ruteo e nventaros de múltles roductos ara una flota heterogénea de naves y un método heurístco de solucón ara resolverlo. En este sstema de dstrucón se dee transortar múltles roductos desde dstntos uertos de roduccón a un conjunto de uertos donde se consumen. El método desarrollado ermte determnar la asgnacón de una flota de naves a rutas, y estanques a roductos, de modo de satsfacer la demanda or múltles roductos en los dstntos termnales de un sstema de dstrucón. La heurístca desarrollada ermte encontrar solucones efcaces ara rolemas de tamaño real, en térmnos de velocdad comutaconal y caldad de las solucones, y resetando nveles de nventaro ojetvo en cada termnal, restrccones de acceso a termnales (calado, eslora), y restrccones de esta de las naves relaconadas a comatldad de roductos en estanques contguos y/o que comarten segregacón. Palaras clave: Programacón y ruteo de naves; Prolema de ruteo e nventaros; Prolema de Ruteo de Vehículos. ABSTRACT In ths aer an oeratonal martme nventory routng rolem wth multle roducts and a heterogeneous fleet of vessels s addressed. In the dstruton system consdered, the fleet needs to transort multle roducts from a set of roducton termnals to a set of demand termnals. The develoed method allows otanng the assgnment of vessels to routes, and the assgnment of comartments to roducts on each vessel for multle roducts, such that demand of each roduct at dfferent termnals n the system s satsfed. The develoed heurstc method allows otanng effectve solutons for real sze nstances, n terms of comutaton tme, qualty of solutons, satsfyng nventory targets at each faclty, access constrants to each termnal, and roduct comatlty n dfferent vessel comartments. Keywords: Sh routng and schedulng; Inventory Routng Prolem; Vehcle Routng Prolem. XIII Congreso Chleno de Ingenería de Transorte, Santago, Octure 2007

2 2 Rcardo Gesen, Juan Carlos Muñoz, Marela Slva, Mael Leva. INTRODUCCIÓN El transorte de carga or vía marítma reresenta aroxmadamente el 90% del volumen total, equvalente al 70% del valor de todos los enes transortados en la economía mundal (Psarafts, 999). El transorte marítmo ofrece el menor costo or tonelada-km. en el caso de graneles, y los graneles reresentan aroxmadamente el 80% de las tonelada-km. transortadas or vía marítma. Por lo tanto, una mejora ncluso margnal en la efcenca de las oeracones de transorte marítmo de carga uede tener un mortante efecto económco, reducendo el costo de los nsumos roductvos y roductos consumdos en el área de nfluenca de la red de dstrucón. En este traajo se resenta un rolema real de lanfcacón oeraconal de rutas naveras, en el que se comna el control de nventaros ara múltles roductos y el rolema de ruteo de naves. En este sstema de transorte navero, una flota heterogénea de arcos dee transortar múltles roductos desde un conjunto de uertos, donde se ucan untos de roduccón, or ejemlo refnerías, a un conjunto de uertos en los que se ucan los consumos de dstntos clentes, or ejemlo estanques. En este sstema el dstrudor y sus clentes oeran ajo contratos del to vendor managed nventory (VMI) en los que el dstrudor toma control de los nventaro de cada uno, asegurándole que se mantendrán nveles adecuados de nventaros. En este esquema, el dstrudor uede coordnar de mejor forma la dstrucón de roducto, or ejemlo, udendo adelantar la vsta de un determnado clente ara coordnar dcha vsta con la de otro clente cercano. De esta forma, el dstrudor dee determnar las rutas de sus naves y el mx de roductos a transortar en cada tramo, es decr, dee determnar la secuenca de uertos a vstar or cada nave, las cantdades a cargar o descargar en cada uerto, y la asgnacón de roductos a comartmentos de cada nave resetando restrccones de segurdad en el uso de estanques al nteror de una nave y de calado en cada uerto vstado, de forma de mantener nveles adecuados de servco ara cada clente. Chrstansen et al. (2004) resenta una revsón detallada de las nvestgacones revas en ruteo y rogramacón de naves. Más recentemente, Hwang (2005) resenta una formulacón de rogramacón entera mxta (MIP) ara el rolema de ruteo e nventaros marítmo con múltles roductos (MIRP) en la que se ncluyen comartmentos dedcados, y Chrstansen et al. (2006) resentó un traajo en desarrollo sore heurístcas ara rolemas de ruteo e nventaros con múltles roductos (MIRP). El rolema estudado en este traajo consdera un sstema con dversos graneles líqudos que deen ser transortados or una flota heterogénea de naves con múltles comartmentos. Este rolema se dferenca de nvestgacones anterores en la lteratura en que consdera dos suconjuntos de roductos -lmos y sucos- y varas restrccones resecto a comatldad en el to roductos que vajan en la msma segregacón y en estanques contguos. Además, las rutas de las naves deen resetar las rofunddades navegales máxmas en cada uerto, or lo que, se dee nclur una restrccón adconal en el rolema de ruteo, ya que el calado de cada nave es una funcón del eso de la carga transortada. El resente traajo se ha dvddo en ses artes. Luego de esta ntroduccón, en la seccón 2 se resenta el enfoque de solucón rouesto, esecfcando como se descomone el rolema lanteado. Posterormente, se resenta una descrcón detallada de cada una de las tres etaas del enfoque de solucón rouesto. En la seccón 3, se resenta la heurístca utlzada ara encontrar solucones ncales factles. En la seccón 4, se resenta la Etaa II del método rouesto, en el que secuencalmente se otmza las rutas de cada nave, mantenendo fjo el

3 MÉTODO DE SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE RUTEO E INVENTARIOS DE MÚLTIPLES PRODUCTOS 3 rograma de las restantes naves y relajando restrccones de uso de estanques. En la seccón 5, se descre la Etaa III del método en el que se resuelve el rolema rouesto consderando como fjas las rutas otendas en la Etaa II. Fnalmente, se resentan conclusones, realzando un análss de los rncales aortes del traajo y temas que requeren nvestgacón adconal. 2. ENFOQUE DE SOLUCIÓN PROPUESTO AL MIRP Para tratar este rolema de ruteo e nventaros con múltles roductos (MIRP), las tasas de consumo y roduccón or roducto se asumen fjas en cada termnal durante el horzonte de lanfcacón, y se utlza un enfoque de descomoscón en dos etaas. Prmero, se estalece el número de vstas requerdas en cada uerto y las ventanas de temo asocadas a cada una de ellas. En la segunda etaa, se formula un rolema de rogramacón entera mxta (MIP) que ermte determnar la ruta y rogramacón de naves, así como la asgnacón de roductos a los comartmentos de cada nave. En este rolema, la funcón ojetvo a mnmzar corresonde a la suma de costos totales de transorte, costos de carga y descarga, coros or recalada y servco a la nave en cada uerto, enaldades or queres de nventaro y volacones de nveles de nventaro de segurdad en el horzonte de lanfcacón y al fnal del horzonte de lanfcacón. Puesto que el MIP rouesto no uede resolverse en un temo razonale, en este traajo se desarrolló una heurístca en la que el rolema se descomone en las sguentes tres etaas: ) en la rmera etaa, se utlza una heurístca de to constructvo en la que se alca reglas greedy ara otener una solucón ncal factle. Para tal efecto, se consdera sólo un suconjunto de rutas redefndas. Estas son secuencas que comenzan en un uerto donde se roduce y vstan una secuenca de termnales de consumo. En cada aso, consderando solamente las vstas ya rogramadas a cada termnal, se seleccona el termnal que más ronto sufrría un quere de nventaro de no rogramarse nuevas vstas a éste. Luego, todas las comnacones de las rutas y naves factles que vstan dcho termnal son evaluadas, y se escoge la de mínmo costo. La asgnacón de roductos a transortar se otene de forma tal que el sguente quere de nventaro es retrasado lo más osle. Este roceso se rete teratvamente hasta construr un lan ara todo el horzonte de lanfcacón. ) en la segunda etaa, se utlza un rocedmento secuencal en el que se otmza la rogramacón de una nave a la vez, mantenendo la rogramacón de las restantes naves fjas, sn consderar restrccones de comartmentos. En esta segunda etaa, dado el conjunto de rutas factles otendas en la rmera etaa, se selecconan las naves de a una y se re-otmzan sus rutas. En esta re-otmzacón se utlza una versón relajada del MIP desarrollado, donde no se consdera restrccones de comatldad entre roductos y comartmentos, y las rutas de las restantes naves no se modfcan. Este roceso se rete teratvamente hasta que se han reotmzado las rutas de todas las naves. ) en la tercera etaa, a artr del conjunto de rutas otendas en (), se otmza la asgnacón de roductos consderando todas las restrccones en la asgnacón de roducto-comartmento. Es decr, en la tercera etaa, fjando las rutas otendas ara cada nave en la etaa anteror, se otmzan las cantdades a cargar y descargar en cada arada en cada comartmento consderando todas las restrccones de comatldad de roductos.

4 4 Rcardo Gesen, Juan Carlos Muñoz, Marela Slva, Mael Leva 3. ETAPA I: HEURÍSTICA DE BÚSQUEDA DE SOLUCIÓN INICIAL La heurístca rouesta trata de relcar la forma en que manualmente se odría realzar la lanfcacón mensual. Para acotar el esaco de úsqueda, se redefne un suconjunto de rutas a ror, rvlegando naves más económcas ara termnales con mayor movmento. Cada ruta redefnda corresonde a una secuenca de vstas ara una nave desde un termnal de oferta a uno o más termnales de demanda. Así, la lanfcacón comleta ara una nave consta de una o más de esas secuencas. Incalmente se consderan todas las comnacones osles de termnales y roductos. En cada teracón de la heurístca s el stock de un roducto en algún termnal no uede ser aumentado, esa comnacón es descartada. Como resultado de la heurístca se otenen rutas ara cada nave, además de cantdad de cada roducto (des)cargada ara cada nave en cada termnal. Sn emargo, la solucón en térmno de cantdades (des)cargadas no necesaramente reseta las restrccones de esta de cada nave, ya que dchas restrccones son sólo ncludas en la Etaa III. Fgura : Heurístca de Construccón de Rutas Incales En la Fgura, se resenta la heurístca rouesta en seudo-códgo, donde T y P reresentan el conjunto de termnales y roductos resectvamente, y cada ar defne un nodo. En el rmer loo se dentfca el roducto-termnal no descartado que caerá rmero ajo el stock de segurdad. Luego se dentfcan todas las rutas que vstan dcho termnal. A contnuacón se dentfca las naves que uedan llegar a ese termnal dentro del horzonte de lanfcacón. Mentras exsta alguna ruta-nave factle, se usca la comnacón roducto-termnal dentro de la ruta que caería

5 MÉTODO DE SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE RUTEO E INVENTARIOS DE MÚLTIPLES PRODUCTOS 5 rmero ajo el stock de segurdad, y se dentfca el estanque que ermtría ostergar lo más osle el nstante en que se alcanza el stock de segurdad en el roducto-termnal crítco, llenándolo con la máxma cantdad osle de ese roducto. Fnalmente, se escoge entre las rutasnave factles la de mínmo costo untaro, en $/m 3 transortado, agregándola al lan. 4. ETAPA II: OPTIMIZACIÓN PARCIAL DE RUTAS A artr de las rutas factles defndas en Etaa, se toma un suconjunto de naves artraramente, y se otmza sus rutas. Para dcha otmzacón se consdera como un dato exógeno los nstantes de llegada y las cantdades (des)cargadas de cada roducto en cada termnal or las naves que no serán otmzadas, ara así actualzar correctamente los nveles de nventaro de cada roducto. La defncón de las rutas ótmas ara las naves modeladas, se asa en la mnmzacón de costos oeraconales más enalzacones or nventaros nferores a lo deseado, estalecéndose los sguentes nveles: ) nventaro de segurdad; ) quere de nventaro; ) nventaro ojetvo al fnal del horzonte de lanfcacón; y v) nventaro sueror a la caacdad de almacenamento. En esta etaa se gnora la searacón en estanques de los roductos al nteror de cada nave, ero se consderan las restrccones de calado y eslora ermtdo en cada termnal. 4.. Formulacón Matemátca: Varales de Decsón y Parámetros del Modelo, s nave realza la k-ésma vsta a, (, k) N x = 0, s no, s nave realza la l-ésma vsta a j desues de la k-ésma vsta a, (, k) N,( j, l) N yjl = 0, s no, s nave termna su recorrdo en la k-ésma vsta al termnal, (, k) N f = 0, s no t, tcarga = Instante de llegada y temo de (des)carga, resectvamente, de la nave al termnal en la k-ésma vsta a, en caso de que dcha nave realce la vsta, de lo contraro amos son cero. t = Instante de llegada al termnal en la k-ésma vsta a, (,k) N. u jl = Cantdad de roducto que vaja en la nave desde la k-ésma vsta a hasta la l-ésma vsta a j, (,k) N, (j,l) N. I = Nvel de nventaro del roducto en al llegar la k-ésma vsta, (,k) N. Ifnal = Nvel de nventaro del roducto en al fnal del horzonte de lanfcacón. q = Volumen del roducto que será cargado ( 0) o descargado (<0) or la nave en la k- ésma vsta a, (,k) N. q = q, donde μ es una varale auxlar que ndca la cantdad de roducto que será cargada o descargada de la nave en la k-ésma vsta a. μ = q, (,k) N.

6 6 Rcardo Gesen, Juan Carlos Muñoz, Marela Slva, Mael Leva δ, δ _ dos = Défct de nventaro de roducto en termnal durante la vsta k, resecto al nvel de segurdad y ajo cero resectvamente, ara todo (,k) N. δ fnal, δ fnal _ dos, δ fnal _ tres = Défct de nventaro de roducto en termnal al fnal del horzonte de lanfcacón, con resecto al nvel de nventaro ojetvo, nvel de segurdad, y ajo cero, resectvamente. δ ca, δ ca _ dos =Cantdad de roducto or sore la caacdad del termnal en la vsta k, cuando se realza una vsta de una nave, y cuando se roduce una mortacón, resectvamente. δ no _ neg, δ no _ neg _ dos = Défct de roducto en termnal de oferta en la vsta k, cuando se realza una vsta de una nave, y cuando se roduce una mortacón, resectvamente. T es el largo del horzonte de lanfcacón; N es el conjunto de nodos, corresondentes a comnacones entre termnales y vstas, (,k), rogramados ara naves del sstema. Los arámetros relaconados a las característcas de los termnales son: Lmax, eslora máxma acetada en el termnal ; Wmax, eso máxmo acetado en el termnal ; d, dstanca entre los termnales y j; a y, el comenzo y fnal resectvamente de la ventana de temo ara la k- k ésma vsta a ; Ca, caacdad de almacenaje del roducto en el termnal ; te, temo mínmo de detencón en termnal durante vsta k, uede varar de una vsta a otra, or ejemlo s se sae que hará mayor congestón el termnal; ξ, nstante rogramado ara que una nave externa al sstema realce la vsta k al termnal ; D, tasa de demanda (roduccón) del roducto en el termnal ; mort, volumen de roducto mortado drectamente or termnal en la vsta k; de, densdad del roducto ; ϕ, volumen mínmo de descarga de roducto en el termnal ; y K, vsta fnal al termnal. B es el conjunto de naves del sstema, y sus característcas son: v j, velocdad oeraconal de la nave ; Vol, caacdad máxma de almacenaje de la nave ; τ, tasa de carga/descarga (m 3 /día) del roducto ara nave en el termnal ; eslora, eslora de la nave ; draught, calado de la nave ; deadweght, eso muerto de la nave ; TPC, constante TPC de la nave ; knave, tonelaje mínmo de la nave, aún cuando no transorte roductos; y C, restrccón de calado máxmo ara nave en termnal. Los arámetros relaconados a costos de oeracón de la nave son:, costo untaro or día de navegacón; c, costo de atraque en el termnal ; cnavegacón cestadía, costo or hora estadía-eslora en el termnal ; y uerto c faena, costo untaro de (des)carga or temo de faena en. Los arámetros relaconados a restrccones landas del modelo son: α, α 2 y 3 α enaldades or m 3 de mantener un nventaro total del roducto, nferor al nvel mínmo estalecdo( Imn ), stock de segurdad ( SS ) y ajo cero, resectvamente, ara ese 2 3 termnal, al fnal del horzonte de lanfcacón; y m, m y m enaldades or m 3 de estar ajo el nventaro de segurdad exgdo ara el roducto en termnal. Fnalmente, los arámetros relaconados a las condcones ncales del sstema son: nco, ndcador de s el

7 MÉTODO DE SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE RUTEO E INVENTARIOS DE MÚLTIPLES PRODUCTOS 7 termnal es la oscón ncal de la nave, toma el valor s sí y 0 s no; to_termnal, ndcador de s el termnal es de oferta (=) o de demanda (=0); t_ nco, nstante de llegada al termnal, s este corresonde a la oscón ncal de la nave ; q _ ncal, carga ncal de la nave de cada roducto ; e nventaro, nventaro ncal del roducto en termnal Formulacón Matemátca: Funcón Ojetvo y Restrccones Mn. B j jl k cnavegacón + cfaena tcarga + cuerto x + cestadía eslora te = (, k) N ( j,) l N v, e fnal 2 fnal _ dos 3 fnal _ tres + m δ + (, ) N d y + α δ + α δ + α δ m δ _ dos + m δca 2 3 (, ) N (, ) N + m δca _ dos + m δno _ neg + m δno _ neg _ dos (, ) N (, ) N (, ) N x () Sujeto a: x = nco,,, k =0 (2) I = nventaro,,, k =0 (3) u e = q _ ncal e / nco =, k = 0,,, e (4) ( jl, ) N jl y x (, k) N,( j, l) N, B, l 0 jl y x (, k) N,( j, l) N, B, l 0 jl jl y = 0 (, k) N, B (7) yl = 0 (, k) N,(, l) N, B, l k, k 0 y + y (, k) N,( j, l) N, B, l 0, k 0, dj = 0 jl jl x =, k 0 (, ) N x = ymn + f (, k) N, B ( mn, ) yjl = yjlmn + f jl (, k) N,( j, l) N, B, l 0 (, ) ( mn, ) f (, ) / jl + y jlmn = j l N nco j = y l = 0, B ( mn, ) f = (, ) N Yjl + Yjl+ (, k) N,( j, l) N, / D > 0 k Yjl = 0 (, k) N,( j, l) N,, l > 0 / a + te + dj / v > jl (5) (6) (8) (9) (0) () (2) (3) (4) (5) (6)

8 8 Rcardo Gesen, Juan Carlos Muñoz, Marela Slva, Mael Leva d j k tjl t + ( yjl ) M+ tcarga + te (, k) N,( j, l) N, B, k 0, j v ( ) t t y M + tcarga (, k) N,( j, l) N, B, k 0, j / dj = 0 jl jl d j t jl t _ nco + ( yjl ) M (, k) N,( j, l) N, B, nco =, k = 0, j v ( ) t t _ nco y M (, k) N,( j, l) N, B, nco =, k = 0, l > 0, j = jl jl a x t x (, k) N, k 0, B k x = 0 (, k) N, k 0, B/ ( a ) <= te + 0,08 B t = t (, k) N, k 0 = t t (, k) N, k 0 t carga = μ τ e, e e e μ q (, k) N / k 0, B e e μ q (, ) N/ k 0, B q = 0 (, ) Nk, = 0, B q 0 (, ) N/ k 0 y to_termnal = 0,, B q 0 (, ) N/ k 0 y to_termnal =,, B q = u u (, k) N, k 0,, jl jl ( jl, ) N\(, ) ( jl, ) N\(, ) e u y Vol (, k) N,( j, l) N, jl jl μ Vol x (, k) N, u = 0 (, k) N,( j, l) N, l = 0,, jl q = q (, k) N, k 0, B Ifnal = I + q + mort ( T t) D k = K,, = Ifnal = nventaro T D, / K = 0 B I = I ( t t ) D + q + mort (, k) N, k >, = I = nventaro t D (, k) N, k =, (7) (8) (9) (20) (2) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (3) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39)

9 MÉTODO DE SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE RUTEO E INVENTARIOS DE MÚLTIPLES PRODUCTOS 9 δ ca Ca I q B + + = δ ca 0 (, k) N, k 0, / D 0 δca _ dos Ca + I q ( t ) D mort B + ξ + = δ ca _ dos 0 (, k) N, k 0, / D 0, mort 0 δ no _ neg I q B + = δ no _ neg 0 (, k) N, k 0, / D < 0 δno _ neg _ dos I q ( t ) D mort 0 (, ), 0, / < 0, 0 δ _ dos 0 k 0,, B + ξ + = δ no neg dos k N k D mort δ SS I k 0,, δ 0 k 0,, δ _ dos I k 0,, δ δ δ δ δ δ I I, fnal mn fnal fnal 0, fnal _ dos fnal fnal _ dos SS I, 0, fnal _ tres fnal fnal _ tres I, 0, draught ( deadweght knave u de ) / TPC /00 C (, k) N,( j, l) N, j, l 0, jl draught ( deadweght knave u de )/ TPC /00 C (, k) N,( j, l) N, j, l 0, jl j x eslora Lmax (, k) N mn ( mn, ) mn ( mn, ) x knave + u de Wmax, k 0, x knave + u de Wmax, k 0, (40) (4) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) La funcón ojetvo (), consdera los costos de transorte ara el horzonte de lanfcacón más enaldades or queres de nventaro y volacones a los nveles de nventaro de segurdad y nveles de nventaro deseados al fnal del horzonte de lanfcacón. Las restrccones (2) a (4) reresentan condcones ncales del sstema. La ecuacón (2) asegura que las naves ncen sus

10 0 Rcardo Gesen, Juan Carlos Muñoz, Marela Slva, Mael Leva recorrdos en la ucacón ncal de cada una. La restrccón (3) ncalza la varale nventaro en el nventaro ncal de roducto en cada termnal. Por su arte, (4) ncalza la cantdad de roducto transortada en el estanque e de cada nave, entre el nodo ncal y su nodo sucesor con la carga ncal de la nave. Las restrccones (5) a (6) relaconan oeracones en arcos con las oeracones en nodos. Las restrccones (5) y (6) olgan a que sea necesaro que la nave haya vstado a en su k-ésma vsta y que vste j en su l-ésma vsta, ara que realce la l-ésma vsta al termnal j desués de la k-ésma vsta al termnal. Las restrccones (7) a (9) evtan que se formen loos. Como uede ocurrr que una nave arta ncalmente descargada en un uerto de oferta y dea ser cargada, se ermten arcos desde la vsta cero a un termnal a la sguente vsta al msmo termnal. La restrccón (0) mlca que sólo una nave realza la vsta k al termnal, excetuando la vsta cero en que uede haer más de una nave en un msmo termnal. En () se asegura que s una nave realza la vsta k a un termnal, tene dos alternatvas o vaja haca la vsta n a algún termnal m, o termna su recorrdo en el termnal. En (2) s una nave vsta el termnal j en su l-ésma vsta, uede salr haca la n-ésma vsta a algún termnal m o termnar su recorrdo en la vsta l del termnal j. En (3) s al comenzo del horzonte de lanfcacón, la nave se encuentra en el termnal j, uede salr haca la n-ésma vsta a algún uerto m o ermanecer en el termnal j. En (4) se asegura que una nave uede termnar su recorrdo en un sólo uerto. En (5) se restrnge a que una nave que va a un nodo de demanda no ueda volver nmedatamente. Fnalmente, en (6) se elmnan a ror arcos nfactles or restrccones de temo estalecdas ara cada ar termnal-vsta. Las restrccones (7) a (25) aseguran que se cumlan los temos de vajes y ventanas de temos. En (7), el nstante de llegada de la nave al termnal j en la vsta l, es gual o sueror al nstante de llegada de la nave al termnal en la vsta k, más el temo de vaje entre el termnal y el termnal j, más el temo de carga/descarga del roducto desde nave en el termnal y más el temo mínmo de detencón asocado a ese termnal en esa vsta. S el uque no vsta en l al termnal j, rovnendo de la vsta k del termnal, se suma una constante de gran tamaño, M, que nactva la restrccón. En (8), smlar a la restrccón anteror, esta versón es válda ara termnales con dstanca gual a cero, es decr ara los ares que nvolucren dos termnales en el msmo uerto, en este caso s hay un arco que los une se suma sólo una vez el temo de esera en cada termnal. En (9) el nstante de llegada de la nave al termnal j en la vsta l, es gual o sueror al nstante ncal de la nave, más el temo de vaje entre el termnal de nco y el termnal j. S la nave no vsta en l el termnal j, rovnendo desde su estado ncal, se suma una constante. de gran tamaño que nactva la restrccón. En (20), smlar a la restrccón anteror, esta versón es válda cuando la rmera vsta es al msmo termnal de nco. En (2), el nstante de llegada de la nave al termnal en la vsta k dee estar contendo en la ventana de temo que se defnó ara esa vsta en ese termnal. En (22), s el ancho de la ventana de temo asocada a una vsta k es nferor al temo de esera más dos horas, no uede asar una nave or dcho termnal. Esta restrccón ermte evtar congestón en termnales. En (23), el nstante en que se realza la vsta k al termnal es gual al nstante en que llega la nave que realza la vsta k al termnal. En (24), el nstante en que se realza la vsta k al termnal, dee ser osteror al nstante en que se realzó la vsta anteror (k-) al termnal. En (25), el temo de carga (descarga) de la nave en la vsta k al termnal es la suma de los temos de carga(descarga) de cada roducto. Las restrccones (26) a (35) corresonden a ecuacones de e e contnudad de flujos. Las ecuacones (26) y (27) ndcan que μ = q. En (28), se asegura que no se uede descargar roducto de una nave en la vsta ncal. En (29) y (30), se mde

11 MÉTODO DE SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE RUTEO E INVENTARIOS DE MÚLTIPLES PRODUCTOS sacar (dejar) roductos en termnales de demanda (oferta). En (3), la cantdad (des)cargada de roducto de la nave en la vsta k al termnal, es gual a la cantdad transortada de roducto en la nave en los tramos nmedatamente osterores a la vsta k al termnal, menos la cantdad transortada de roducto en la nave en los tramos nmedatamente anterores a la vsta k al termnal. En (32), la cantdad transortada de roducto en la nave entre dos vstas, dee ser nferor o gual a la caacdad de almacenaje de la nave. En (33), la cantdad de roducto cargada o descargada desde estanque e de la nave, dee ser menor o gual a la caacdad del estanque, semre que la vsta se haya sdo realzada or la nave. En (34), se mde el transorte de roducto entre la vsta k a un termnal y la vsta 0 a un termnal j. En (35), el volumen cargado/descargado or la nave en el termnal en la vsta k es gual a la suma del volumen cargado/descargado de cada roducto. Las restrccones (36) a (47) corresonden a restrccones de nventaro. En (36), el nventaro de roducto en el termnal al fnal del horzonte de modelacón es gual al nventaro al nco de la últma vsta ( K ) más la cantdad (des)cargada de ese roducto en el termnal y la cantdad de roducto mortada drectamente or el termnal durante la últma vsta, menos el consumo de roducto desde el nstante en que se realzó la últma vsta y el fnal del horzonte de modelacón T. En (37), el nventaro de roducto en el termnal al fnal del horzonte de modelacón, s éste no fue vstado, es gual al nventaro al nco del horzonte de modelacón menos el consumo de roducto durante el horzonte de modelacón T. En (38), el nventaro de roducto en el termnal al llegar (antes de descargar) la vsta k, deer ser gual al nventaro de roducto al llegar la vsta anteror al msmo termnal, menos la cantdad consumda de roducto desde el nstante en que se realzó la vsta anteror al termnal, más la cantdad cargada o descargada de roducto en la vsta k- al termnal y más la cantdad de roducto mortada drectamente or termnal en la vsta k-. En (39), el nventaro de roducto en el termnal al llegar (antes de descargar) la rmera vsta, es gual al nventaro ncal de roducto menos la cantdad consumda de roducto, desde el nco hasta el día en que se realza la rmera vsta. En (40)-(42), el nventaro de roducto en el termnal al nco de la vsta k, más la cantdad (des)cargada de ese roducto en el termnal durante la vsta k y la cantdad de roducto mortada drectamente or el termnal en la vsta k, dee ser nferor o gual a la caacdad máxma de almacenamento del roducto en el termnal además dee ser ostvo (mayor o gual a cero ara los termnales de oferta). Estas restrccones se relajan a artr de las varales deltas resectvas, las cuales son enalzadas en la funcón ojetvo. En (43), el défct de nventaro (ajo el stock de segurdad) de roducto en el termnal durante la vsta k dee ser sueror a la dferenca entre el stock de segurdad exgdo ara el roducto en el termnal y el nventaro real de roducto en el termnal durante la vsta k. Además este défct dee ser no negatvo. En (44), el défct de nventaro (ajo cero) de roducto en el termnal durante la vsta k es mayor o gual a menos el nventaro real de roducto en el termnal durante la vsta k. Además este défct dee ser no negatvo. En (45), el défct de nventaro (ajo el nventaro ojetvo) de roducto en el termnal al fnal del horzonte, dee ser sueror a la dferenca entre el nventaro ojetvo ara el roducto en el termnal, y el nventaro real de roducto en el termnal al fnal del horzonte. Además este défct dee ser no negatvo. En (46), el défct de nventaro (ajo el stock de segurdad) de roducto en el termnal al fnal del horzonte, dee ser sueror a la dferenca entre el stock de segurdad ara el roducto en el termnal, y el nventaro real de roducto en el termnal al fnal del horzonte. Además este défct dee ser no negatvo. Análogamente en (47), el défct de nventaro (ajo cero) de roducto en el

12 2 Rcardo Gesen, Juan Carlos Muñoz, Marela Slva, Mael Leva termnal al fnal del horzonte es mayor o gual al negatvo del nventaro fnal de roducto en el termnal. Además este défct dee ser no negatvo. Fnalmente, las exresones (48) a (50) ermten resetar las restrccones de calado, eslora, y eso resectvamente. En (48), se asegura que el calado de la nave a la salda del termnal dee ser nferor al calado máxmo ermtdo en ese termnal, y que el calado de la nave a la llegada al termnal j dee ser nferor al calado máxmo ermtdo en ese termnal. En (49), se asegura que una nave ueda vstar el termnal sólo s su eslora es menor o gual a la máxma ermtda or ese termnal. Por últmo, en (50) se asegura que una nave uede llegar o salr de un termnal sólo s su carga total es menor o gual al eso máxmo ermtdo or ese termnal. 5. ETAPA III: OPTIMIZACIÓN DE CANTIDAD (DES)CARGADA POR CADA NAVE A artr del resultado otendo en la Etaa II, se otmza la cantdad a (des)cargar de cada roducto en cada estanque ara cada nave, mantenendo fjas las rutas otendas en la Etaa II. La otencón de cantdades ótmas a (des)cargar en cada estanque ara las naves modeladas, se asa en la mnmzacón de la funcón ojetvo, (), utlzada en la Etaa II, y consdera ara cada nave sus restrccones de esta (msma segregacón o contgua), así como uso redefndo de estanques. A contnuacón se resenta la formulacón matemátca de este rolema. 5.. Formulacón Matemátca: Varales de Decsón y Parámetros del Modelo, s nave lleva roducto en estanque e durante el trayecto desde la k-ésma vsta e vjl = a a la l-ésma vsta a j, (, k) N,( j, l) N 0, s no t = Instante de llegada de la nave en la k-ésma vsta al termnal, en caso de que dcha nave realce la vsta, de lo contraro es cero, donde t = t es el nstante de llegada al termnal en la k-ésma vsta a, (,k) N. t carga =Temo de carga (descarga) de la nave en termnal en la k-ésma vsta, en caso de que dcha nave realce la vsta, de lo contraro es cero. u = Cantdad de roducto que vaja en el estanque e de la nave desde la k-ésma vsta a e jl hasta la l-ésma vsta a j, (,k) N, (j,l) N. q = Volumen del roducto que será cargado ( 0) o descargado (<0) en el estanque e de la e e nave en la k-ésma vsta a, (,k) N, donde μ es una varale auxlar que ndca la cantdad de roducto que será cargado o descargado en el estanque e de la nave en la k-ésma e e vsta a. μ = q, (,k) N., s se deja roducto en la k-ésma vsta al termnal (, k) N γ = 0, s no Además de los arámetros resentados en 4., se consdera x e y jl tal como fueron defndos en 4., ero en este caso son arámetros del rolema. Para asegurar que el rolema sea factle

13 MÉTODO DE SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE RUTEO E INVENTARIOS DE MÚLTIPLES PRODUCTOS 3 se consdera un conjunto B de naves fantasmas con velocdad nfnta que ermten cumlr con todas las ventanas de temo. L es el conjunto de roductos de lmos, y S es el conjunto de roductos sucos. Además, ara cada nave, se defne su conjunto de estanques, E = S( E) U L( E ), donde SE ( ) es el set de estanques sucos de la nave al nco del eríodo de lanfcacón, y L( E ) es el set de estanques lmos de la nave al nco del eríodo de e lanfcacón. Seg es el número de segregacones de la nave ; Seg es la segregacón a la que q ertenece el estanque e de la nave ; esta es un ndcador que toma el valor s la nave q admte roducto y q en msma segregacón, y 0 s no; esta2 es un ndcador que toma el valor s nave admte roducto y q en una segregacón contgua, y 0 s no; y es un e uso ndcador que toma el valor s el estanque e de la nave uede llevar roducto, y 0 s no Formulacón Matemátca: Funcón Ojetvo y Restrccones Utlzando la msma funcón ojetvo resentada en 4.2, se otene las cantdades y roductos a cargar y descargar en cada estanque de la nave ara las rutas otendas en la Etaa II del modelo. Para tal efecto, se consderan las restrccones resentadas en 4.2, ero modfcándolas ara tomar en cuenta que las rutas de las naves son un arámetro del rolema. Es mortante notar que como las cantdades a cargar y descargar ueden ser modfcadas, se ermte camar los nstantes de llegadas de las naves a los termnales. De esta forma, las restrccones (3) y (4) relaconadas a las condcones ncales del sstema se mantenen, elmnando la restrccón (2). Por el msmo motvo, se elmnan las restrccones (5) a (6). Las restrccones relaconadas a ventanas de temo y temos de vajes ueden reescrrse de la sguente forma: d j k tjl t + + tcarga + te (, k) N,( j, l) N, B, k 0, y =, dj > 0 kjl v t t + tcarga (, k) N,( j, l) N, B, k 0, y =, d = 0 jl jl j d j tjl t + (, k) N,( j, l) N, B, k = 0, yjl = v a x t x (, k) N, k 0, B t = ξ (, k) N, B', x = t = t (, k) N, k 0, B, x = t carga = μ τ e, e (5) (52) (53) (54) (55) (56) (57), donde las exresones (5) a (54) corresonden a la versón con rutas fjas de las restrccones (7) a (2). En (55) y (56), se exlcta el nstante en que se realza la vsta k al termnal. En (57), se asegura que el temo de (des)carga de la nave en la vsta k al termnal es la suma de los temos de (des)carga de cada roducto. Por su arte, las restrccones de contnudad de

14 4 Rcardo Gesen, Juan Carlos Muñoz, Marela Slva, Mael Leva flujos (26) a (28) se mantenen. Las restrccones (29) y (30) se reescren consderando estanques: e q 0 (, k) N/ k 0 y to_termnal = 0,, B, e e q 0 (, k) N/ k 0 y to_termnal =,, B, e (58) (59) e, donde q = q. (60) se ncorora ara que la cantdad descargada del roducto en el e E termnal sea sueror al volumen mínmo exgdo. Las restrccones (3) a (35) se reescren de la sguente forma. q ϕ γ (, k) N / k 0, D > 0,, B, x = e e e q = u u (, k) N, k 0,,, e jl jl ( jl, ) N\(, ) ( jl, ) N\(, ) e e e u v Vol (, k) N,( j, l) N,,, e jl jl μ e Vol e uso e (, k) N,,, e, x = e q = 0 (, k) N,, B, e, x = 0 v = 0 (, k) N,( j, l) N, l = 0,,, e e jl q = q (, k) N, k 0, e q = q (, k) N, k 0,, e E e v (, k) N,( j, l) N,, e, y = jl e v = 0 (, k) N,( j, l) N,, e, y = 0 jl jl jl (60) (6) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69), donde (62) asegura que la cantdad transortada de roducto en el estanque e de la nave entre dos vstas, dee ser nferor o gual a la caacdad de almacenaje de roducto en el estanque e de la nave. En (63) se exge que la cantdad de roducto cargada o descargada desde estanque e de la nave, dee ser menor o gual a la caacdad del estanque, semre que el estanque esté dsonle ara llevar roducto. En (64) se asegura no cargar o descargar roductos en termnales no vstados. En (68) y (69) se asegura que la nave uede transortar sólo un roducto en el estanque e entre la vsta k al termnal y la vsta l al termnal j, s es que recorre este arco, s no, no uede llevar nngún roducto. Las restrccones de nventaro (36) a (47), ueden reescrrse fáclmente en el caso con rutas fjas. La resentacón de dchas restrccones se omte ara evtar extender nnecesaramente este traajo. Por su arte, las restrccones de calado y eso, se ueden reescrr consderando los estanques y rutas fjas, como se muestra en (70) y (7). Además, en este caso la restrccón de eslora es nnecesara, ya que las rutas construdas en la Etaa II or construccón resetan dcha restrccón. Sn emargo, en el rolema estudado se consdera dos tos de roductos, que ueden ser transortados en estanques dedcados exclusvamente a ese to de roductos. Para evtar asgnar roductos

15 MÉTODO DE SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE RUTEO E INVENTARIOS DE MÚLTIPLES PRODUCTOS 5 lmos a estanques dedcados al transorte de roductos sucos, y vceversa, se dee agregar las restrccones (72) y (73). Fnalmente, ara resetar restrccones de esta de las naves, que monen lmtacones al conjunto de roductos que uede transortarse en una msma segregacón, y a roductos que ueden transortarse en estanques contguos, se ncluye las restrccones (74) y (75), resectvamente. e draught ( deadweght knave u de )/ TPC /00 C (, k) N,( j, l) N,, y e E( ) jl jl e draught ( deadweght knave u de )/ TPC /00 C (, k) N,( j, l) N,, y = ( mn, ) e E ( mn, ) e E e E( ) jl j jl e knave + u de Wmax, k 0,, y = mn mn e knave + u de Wmax, k 0,, y = L S e q = 0, (, k) N,, e E( s) e q = 0, (, k) N,, e E( l) mn mn v + v + esta (, k) N,( j, l) N,, e, f, q, Seg = Seg e qf q e f jl jl v + v + esta (, k) N,( j, l) N,, e, f, q, Seg = ( Seg + ) e qf q e f jl jl 2 = (70) (7) (72) (73) (74) (75) 5. CONCLUSIONES En el resente traajo se desarrolló un modelo oeraconal ara rogramacón de rutas naveras en el que se comna control de nventaros ara múltles roductos y el rolema de ruteo de naves. Este traajo consdera los sguentes asectos novedosos: ) flota heterogénea de naves con consderacón exlícta de estanques dedcados a tos de roductos (lmos y sucos), ) ncororacón de restrccones relaconadas a comatldad de roductos transortados en la msma segregacón y en estanques contguos, y ) el desarrollo de un método heurístco ara resolver el rolema rouesto. En las rueas realzadas con nstancas de tamaño real, el enfoque rouesto uede resolver rolemas que consderan hasta ses naves y doce termnales ara un horzonte de lanfcacón de 25 días, en menos de dez mnutos de temo comutaconal. Además, los resultados ncales demuestran reduccones en costos oeraconales varales de el cas un 0% y reduccones mortantes en las enaldades or queres de nventaro mínmos con resecto a lanes realzados manualmente or ersonal exermentado en rogramacón de naves. La formulacón rouesta uede extenderse ncororando metaheurístcas ara resolver conjuntamente las Etaas II y III del método rouesto. Así como ara re-otmzar smultáneamente la ruta de más de una nave. Una extensón más amcosa consdera ncororar ncertdumre tanto en los temos de vaje y servco, así como en los consumos.

16 6 Rcardo Gesen, Juan Carlos Muñoz, Marela Slva, Mael Leva REFERENCIAS Chrstansen, M., K. Fagerholt y D. Ronen (2004) Sh routng and schedulng: Status and ersectves, Transortaton Scence 38(). 8. Chrstansen, M., K. Fagerholt, Ø. Haugen y E. H. Lund (2006) Comlex sh routng and schedulng, resented at Odysseus, Thrd Internatonal Worksho on Freght Transortaton and Logstcs. Altea, Esaña, Mayo 23-26, Hwang, S. J. (2005) Inventory constraned martme routng and schedulng for multcommodty lqud ulk, PhD Dssertaton, Georga Insttute of Technology, Atlanta, GA, EE.UU. Psarafts, H.N. (999) Foreword to focused ssue on martme transortaton, Transortaton Scence 33 (),.-2.