REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No. 2, 2001 FUNCIÓN DELTA DE DIRAC Y FUNCIÓN PASO, UN ESTUDIO CON OSCILADORES

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1 REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, N., 001 FUNCIÓN DELTA DE DIRAC Y FUNCIÓN PASO, UN ESTUDIO CON OSCILADORES * B.A. Paz 1, A. Mrn y * H. Méndz * Grup d Plículas Dlgadas Dpartamnt d Física, Pntiicia Univrsidad Javriana Bgtá, D.C/Clmbia RESUMEN En ls curss d vibracins y ndas, n particular para ls sistmas scilatris cn un grad d librtad, s studia l cmprtamint d la ptncia y d la as n dpndncia cn la rcuncia d la sñal impulsra para btnr alguna rlación ntr las ds. El bjtiv d st trabaj, s tmar cm punt d partida ss rsultads y mstrar d manra natural qu a través d una prsntación adcuada dl mdl ísic, s pud tnr una rlación muy bin dinida ntr la rma altrnativa d la unción dlta y d la unción pas salv alguns actrs d nrmalización. Cm jmpl particular s cnsidra l circuit RLC sri rzad, para l cual s tman valrs aprpiads n ls lmnts qu rman l circuit, s dcir inductancia, L, capacitancia, C, impdancia, R. INTRODUCCION El curs d matmáticas spcials qu gnralmnt s impart a ls studiants d las carrras d Física, ingniría y tras disciplinas; cntmpla una gran varidad d hrramintas qu n principi sn d ayuda para l studiant y l prsinal n su dsmpñ. Pr, n muchas prtunidads s bsrva un dscntnt n l studiant, dbid a qu n v una clara rlación ntr l cntnid d la asignatura qu rcib y su rlación cn tras y más aún, n particular cn su prpia carrra. Cm cas particular dl curs d matmáticas spcials s cmún studiar uncins muy particulars pr qu sirvn para mdlar cmprtamints ísics. Entr stas s tin la unción gamma, unción bta, unción pas, unción dlta, tc. En st trabaj s rinta l studi hacia las uncins dlta y pas a la luz dl sciladr armónic amrtiguad rzad, pus s bsrva qu l cmprtamint d la ptncia prmdi, P, y la as, ϕ, guardan una strcha rlación cn stas ds uncins, cab ntar qu la xpsición hcha aquí s una rma altrnativa para xprsar stas ds uncins, cuyas aplicación s bastant amplia n divrss camps dl cncimint. 1, ASPECTOS GENERALES La xprsión d la cuación dinámica dl sciladr armónic amrtiguad rzad s da pr 3 α&& q + bq& + βq F( t, b, α, β > 0 [1] 1 -mail: bapaz@lycs.cm 89

2 REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, N cn α, b, β cantidads qu para l circuit RLC sn inductancia (L, rsistncia (R, invrs d capacitancia (1/C rspctivamnt; y q Q la carga léctrica. En particular s cnsidra cm sñal impulsra una d la rma Ft ( F cs( ω t [] para l circuit RLC sta sñal impulsra s la prvnint d un gnradr d nda simplmnt un vltaj cnstant. Cn la sñal dada pr la Ec.( s ncuntra qu la rspusta tin ds cmpsicins, una natural y tra particular muy ligada cn la rma d la sñal impulsra, 3 la rma d la rspusta particular bdc la rlación q B j ( ω t ϕ [3] D tr lad, la ptncia s da pr mdi d la xprsión 3 jωt j( ωt ϕ+ π/ & P F q BF ω l valr prmdi d la ptncia n un príd s Fγ ωω Fω 1 P( ω β ( ω Q ω + ( γω β ω ω 1 [4] + ω ω Q y cn la as γω ϕω ( 1 ( 1 1 / Q tan tan ( [5] cn ω β/ α la rcuncia natural dl sciladr armónic (sin atnuación y Q ω / γ s l actr d calidad. Las gráicas d las cantidads P( ω y ϕ ( ω tindn a la rma d las uncins dlta y pas rspctivamnt, cuand la atnuación n l sciladr s prácticamnt nula. 3 ADECUACIÓN DE P(ω Y ϕ ( ω PARA LA OBTENCION DE LAS FUNCIONES DELTA Y PASO RESPECTIVAMENTE El prcdimint qu s prpn cm punt d partida stá basad n las siguints cndicins d ξp( ω η ϕ ( ω [6] 90 dϕω ( ξp( ω η 1 [7]

3 REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, N., 001 ψω ( ξp( ω ψω ( rs [8] n stas xprsins s han intrducid ls actrs ξ, η qu sn términs d nrmalización y cm s v más adlant dpndn d ls lmnts ísics dl sciladr. La cndición dada pr la Ec.(8 s dcisiva para llvar a ξp( ω, a la rma d una unción dlta, y su cnxión cn la as pr mdi d la drivada, Ec.(6, cnllva a la unción pas. Hacind la drivada d ϕ( ω, Ec.(5, y cmparand ést rsultad d acurd cn la Ec.(6 rsulta F γω ω γω ( + ω ξ η β [9] ( ω ω + ( γω ( ω ω + ( γω a partir d st rsultad y cnsidrand un sciladr subamrtiguad, l qu signiica tnr atnuación muy pquña ( γ b/ α R / L<< 1, pr tant la ptncia xhibiría un pic muy agud justamnt cn ω ω. Cn stas cndicins ls actrs d nrmalización s rlacinan pr mdi d ξ β 4 [10] η F ω baj la cndición d sciladr subamrtiguad y cn las Ecs.(4,7 s btin η 1 4β, ξ π πf ω [11] adicinalmnt, n l cmprtamint d atnuación pquña s tin también 5 (. ω Finalmnt, las unción dlta y pas rspctivamnt n Términs d la ptncia mdia y d la as sn rspctivamnt γ 1 δω ( ω ξp( ω π ( [1] + ( γω θω ( ω ηϕω ( 1 1 γ tan [13] π ( la graica d stas ds uncins s v n la Fig N. 1. (a Figura N. 1. Funcins (a dlta y (b pas (b 91

4 REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, N EXPERIMENTAL Para llvar a cab una práctica dnd s va l cmprtamint d la ds uncins s dispn dl mntaj indicad n la Fig. 3. El arrgl xprimntal cnsist d: Circuit RLC sri impulsad cn una unt snidal cuya rcuncia s pud variar a través d un prgrama stablcid pr l usuari n l gnradr d nda (Stanrd Rsarch Systms Mdl DS340 Sythsizd Functin Gnratr,DS340. Ds scilscpis prriblmnt análgs, pus actualizan la lctura n la pantalla much más rápid qu ls digitals. El scilscpi un s cncta dl siguint md: un canal (p.. canal 1 tin cm sñal d ntrada la rcuncia dl gnradr un, aunqu para hacr st db hacrs un arrgl spcial n l dispsitiv d mdida pust qu la scala hrizntal rgistra s timp; l tr canal ( tin cm sñal d ntrada la amplitud máxima d la caída d tnsión n l cndnsadr d la bbina. Lug n la pantalla s graica l canal (j vrtical cntra canal un (j hrizntal. Al mdiicar l valr d la impdancia dl circuit y haciéndla muy pquña s bsrva un cmprtamint cm l d la Fig. 3(b. El sgund scilscpi rcib n un canal (1 la sñal d salida dl intgradr l cual tin cm sñals d ntrada las prvnints dl multiplicadr (p.. MC1595 d Mtrla, 6 qu tma las amplituds máximas d la caída d tnsión dl cndnsadr d la bbina, y las multiplica pr la sñal dl sgund gnradr d nda. En l canal s rgistra la sñal d la rcuncia dl gnradr un. A cntinuación s graican n la pantalla la dpndncia dl canal un n unción dl canal, cm rsultad s bsrva la Fig. 3(c, qu s l rsultad d la intgración dl prduct d la unción dlta cn tra unción (prvnint dl gnradr d nda, st s la pración dada n la Ec.(8. El rsultad crrspnd cn la unción prvnint dl gnradr d nda valuada justamnt n la rcuncia d rsnancia. En cuant a la btnción d la unción pas s pud dispnr dl mntaj así: n l scilscpi un rgistrar n l canal un la rcuncia la sñal impulsra (gnradr 1 y n l canal ds la rcuncia dl circuit qu s pud tmar d la bbina dl cndnsadr, y n l j vrtical s graica la dirncia ntr stas ds sñals n unción d la rcuncia d la sñal impulsra. 9

5 REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, N., 001 (b Salida dl Oscilscpi un (c Salida dl scilscpi ds lug d intgrar l prduct d (a Mntaj xprimntal la sñal dl scilscpi un, Fig. 3(b pr la sñal dl gnradr ds. Figura. Arrgl xprimntal para mdir las uncins dlta y pas pr mdi d un circuit RLC sri impulsad pr una sñal snidal d rcuncia ω. CONCLUSIONES Mdiant l análisis dl cmprtamint d las curvas d ptncia mdia, P(ω, y d as,, n un sciladr RLC impulsad cn una sñal ϕ( ω snidal d rcuncia, ω ; bdcn a las uncins dlta δ ( ω, y pas, ω θω (, rspctivamnt salv uns actrs d nrmalización valuads n ω ést trabaj. Ests cmprtamints s vn slamnt n la situación d sciladr subamrtiguad i.. R γ << 1s 1. Admás, las uncins dlta y pas L btnidas mdiant l prcdimint xpust, prsntan un crrimint n ω, sind sta la rcuncia natural dl sciladr armónic n la situación idal. Cn l mntaj xprimntal indicad n la Fig., s btin la pración indicada n la Ec.(8, s dcir, s v l ct d la intgración dl prduct d la unción dlta cuand s multiplica pr alguna sñal. Cn st trabaj s mustra un acrcamint tangibl a las uncins spcials dlta y pas, sind d gran imprtancia n divrss camps d la Física y d la Ingniría. REFERENCIAS [1] C. Lanczs, Linar Dirntial Opratrs, (Dvr, Enw Yrk, 1997 [] M.S. Swansn, Path Intgrals and Quantum Prcsss, (Acadmic Prss, Nw Yrk, 199 [3] B.A. Paz, Ntas d Vibracins y Ondas, Cap. (Pntiicia Univrsidad Javriana, 001, Bgtá D.C (Inédit [4] A.P. Frnch, Vibracins y Ondas (Rvrté, 1997, España [5] R.P. Fynman, R.R. Lightn y M. sands, Física V 1, Cap. 3 (Addisn - Wsly Ibramricana, S.A.; USA, 1987 [6] D.L. Schilling y Ch. Blv, Circuits lctrónics (3 ra d., McGrawHill, España,