Antonio Fernández Caballero es profesor del Departamento de. Informática, Escuela Politécnica Superior de Albacete, Universidad de

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1 SIMULACIÓN DE LA VISIÓN ESTEREOSCÓPICA. PARTE I: ASPECTOS FÍSICOS Y GEOMÉTRICOS. Antono Fernández Caballero Gabrel Sebastán Rvera Juan Moreno García Antono Fernández Caballero es profesor del Departamento de Informátca, Escuela Poltécnca Superor de Albacete, Unversdad de Castlla-La Mancha. Gabrel Sebastán Rvera y Juan Moreno García son colaboradores en proyectos de nvestgacón. RESUMEN. Este artículo presenta la prmera parte de un trabajo sobre smulacón de la vsón estereoscópca medante un trazador de rayos. En esta prmera entrega se ofrecen los aspectos físcos báscos de la vsón humana, para pasar segudamente a ntroducr las nocones relaconadas con la geometría de la estereoscopía, hacendo un especal hncapé en la dea de dspardad. 1. INTRODUCCION La estereoscopa es una de los fenómenos más nteresantes ue tene la vsón humana y, sn embargo, cas nunca nos hemos parado a pensar como podemos calcular la dstanca a la ue se encuentra un determnado objeto o la sensacón de trdmensonaldad ue nos hace aprecar este mundo tal y como es. 1

2 Para poder hacer una smulacón de cómo funcona la vsón humana prmeramente tendremos ue explcar como está conformada nuestra vsón y cómo nterpreta una magen. Para explcar todo esto es precso comenzar ntroducendo brevemente los prncpos físcos de la óptca a partr de la cual podremos smular el funconamento de la vsón humana. A contnuacón explcaremos los prncpos de la vsón estereoscópca 2. PRINCIPIOS FISICOS DE LA OPTICA. Los rayos lumnosos atravesan el vacío con velocdad de aproxmadamente km./s y práctcamente con la msma atravesan el are y otros medos gaseosos, pero mucho más lentamente líudos y sóldos. El índce de refraccón de una substanca transparente es la proporcón entre la velocdad de luz en el are y en dcha substanca. Evdentemente, el índce del are es la undad. Cuando las ondas lumnosas, desplazándose en haz, chocan contra una nterfase perpendcular al haz, las ondas penetran en el segundo medo de refraccón sn desvarse de su curso. El únco efecto ue entonces ocurre es ue dsmnuye la rapdez de transmsón. S las ondas lumnosas chocan contra una nterfase ue forma ángulo, los rayos se nclnan y los índces de refraccón de los dos medos serán dferentes. La nclnacón de los rayos lumnosos en una nterfase angulada se denomna refraccón. Obsérvese en partcular ue el grado de refraccón aumente en funcón de: 1. Los índces de refraccón de los dos medos transparentes. 2. El grado de angulacón de la nterfase y el frente de la onda ue penetra. resultados: Los prncpos de refraccón se aplcan a las lentes, obtenéndose los sguentes 2

3 Lente convexa. La fgura 1 muestra rayos de luz paralelos ue atravesan una lente convexa. Los rayos de luz ue atravesan el centro de la lente son exactamente perpendculares a la msma; por tanto, atravesan sn refraccón alguna. Sn embargo, al rlos acercando al borde de la lente, los rayos chocan contra ella con ángulos progresvamente mayores. Por lo tanto, los rayos más externos cada vez se desvían más haca el centro. En consecuenca, los rayos de luz paralelos ue penetran a través de una lente convexa con la forma apropada caen en un sólo punto de enfoue a certa dstanca detrás del crstalno. Luz de fuente Longtud Focal convexa. Fgura 1. Desvacón de los rayos lumnosos en la superfce de una lente esférca Lente cóncava. La fgura 2 muestra el efecto de una lente cóncava sobre un haz de rayos lumnosos paralelos. Los rayos ue atravesan el centro de la msma son perpendculares a la nterfase; en consecuenca, no sufren refraccón. Los rayos ue se van acercando al borde de la lente atravesan antes ue los rayos cercanos al centro. Este efecto es opuesto al ue observamos en la lente convexa, y hace ue los rayos lumnosos perfércos sean dvergentes, separándose de los rayos lumnosos ue atravesan el centro de la lente. Así pues, la lente cóncava produce dvergenca de los rayos lumnosos, mentras ue la lente convexa produce convergenca. 3

4 cóncava. Fgura 2. Desvacón de los rayos lumnosos en la superfce de una lente esférca La dstanca de una lente convexa a la cual los rayos lumnosos paralelos convergen en un punto focal común recbe el nombre de dstanca focal de la lente. El esuema en la parte alta de la fgura 3 ndca este enfoue de los rayos paralelos. En el esuema del centro de la fgura 3 los rayos lumnosos ue penetran en la lente convexa no son paralelos sno ue dvergen porue naceron en un punto stuado no muy lejos de la propa lente. Como ya se ha comentado, los rayos ue llegan al centro del crstalno lo atravesan sn nnguna refraccón y los ue chocan en los bordes se refractan haca el centro. Sn embargo, como estos rayos ya son dvergentes, a pesar de ue son desvados gual ue los paralelos, puede observarse ue no llegan a formar un punto focal a la msma dstanca de la lente ue los rayos paralelos. En otras palabras, cuando los rayos de luz ue ya dvergen penetran en una lente convexa, la dstanca focal en el otro lado de la lente es mayor ue en el caso de los rayos ue penetran paralelos. En el esuema nferor de la fgura 3 se observan rayos lumnosos ue tambén dvergen haca una lente convexa con una curvatura mucho mayor ue la ue tenen las dos lentes superores de la fgura. En este esuema la dstanca desde la lente a la cual llegan los 4

5 rayos lumnosos hasta el foco es exactamente la msma ue la de la lente en el prmer esuema, cuando la lente era convexa pero los rayos ue penetraban eran paralelos. Esto lustra el hecho de ue ambos tpos de rayos, paralelos y dvergentes, pueden enfocarse a gual dstanca por detrás de la lente sempre ue ésta cambe de convenda. Es evdente ue cuanto más cerca se halle el orgen de la luz de la lente, mayor será la dvergenca de los rayos lumnosos y mayor habrá de ser la curvatura de la msma para ue el foco se haga a la msma dstanca. Fgura 3. Las dos lentes superores de esta fgura tenen la msma fuerza, pero los rayos lumnosos ue penetran en la superor son paralelos, mentras ue los ue penetran en la segunda lente son dvergentes; se lustra el efecto de rayos paralelos y los dvergentes sobre la dstanca focal. La lente nferor tene mucho mayor poder refrngente ue cualuera de las otras dos, demostrando ue cuanto más fuerte es la lente, más cerca de la msma se halla el punto focal. La relacón entre dstanca focal de la lente, dstanca del punto lumnoso de orgen y dstanca del punto focal se expresa por la sguente fórmula: = f a b 5

6 en la cual f es la dstanca focal de la lente, a la dstanca entre el punto lumnoso de orgen y la lente y b la dstanca de la lente a su punto focal. El dbujo superor de la fgura 4 lustra una lente convexa con dos fuentes de luz a la zuerda. Como los rayos lumnosos de cualuer fuente pasan por el centro de una lente convexa sn refractarse en nnguna dreccón, se muestra ue los ue provenen de cada fuente de luz llegan en línea recta a un punto focal detrás del crstalno, desde la fuente al centro del crstalno. Todo punto orgen de rayo lumnosos en un objeto llega a un punto focal separado en el otro lado de la lente. S todas las porcones del objeto se hallan a gual dstanca de la lente, todos los puntos focales por detrás de ésta caerán en un msmo plano a certa dstanca por detrás. En la parte nferor de la fgura 4, vemos cómo una magen está completamente nvertda con respecto al objeto orgnal. Este es el método por el cual la lente de una cámara fotográfca enfoca los rayos lumnosos sobre la película. (a) Rayos dvergentes Puntos focales (b) Fgura 4. (a) Dos fuentes lumnosas en dos puntos separados a cada lado de una lente. (b) Formacón de una magen por una lente esférca convexa. 6

7 Cuanto más desvía la luz una lente, mayor es su poder de refraccón. Este poder de refraccón se mde en doptrías. El poder de refraccón de una lente convexa euvale a un metro dvddo por su dstanca focal (véanse algunos ejemplos en la fgura 5). Fgura 5. Efecto de la fuerza de las lentes sobre la dstanca focal. Por su lado, el poder de refraccón de las lentes cóncavas se ndca por su capacdad de producr dvergenca de rayos lumnosos en comparacón con la capacdad de producr convergenca las lentes convexas. Hablaremos en este caso de doptrías negatvas. Obsérvese, además, ue las lentes cóncavas pueden neutralzar el poder refrngente de las lentes convexas. 3. OPTICA DEL OJO. El ojo, según se lustra en la fgura 6, euvale óptcamente a la cámara fotográfca corrente; tene un sstema de lentes, un sstema de abertura varable (la pupla), y una retna ue corresponde a la placa. El sstema de lentes está formado por: 7

8 1. La nterfase entre are y superfce anteror a la córnea 2. La nterfase entre superfce posteror de la córnea y humor acuoso 3. La nterfase entre humor acuoso y superfce anteror del crstalno 4. La nterfase entre superfce posteror del crstalno y el humor vítreo Fgura 6. El ojo como cámara fotográfca. Los números ndcan los índces de refraccón. El índce de refraccón del are es 1, el de la córnea 1,38, el del humor acuoso 1,33, el del crstalno (en promedo) de 1,40 y el del humor vítreo 1,34. S se añaden algebracamente todas las superfces refrngentes del ojo y se consderan ue forman una lente únca, la óptca de un ojo puede smplfcarse sstemátcamente como ojo reducdo. Esto es útl para cálculos smples. En el ojo reducdo se consdera ue exste una sola lente a 17 mlímetros por delante de la retna, con poder de refraccón total de aproxmadamente 59 doptrías cuando el crstalno está acomodado para vsón lejana. El ojo, pues, puede asmlarse a un sstema óptca ue comprende: 8

9 Una lente convexa, con centro óptco O, con dstanca focal próxma a 17 mm, con eje prncpal ue puede confundrse con el eje vsual Una superfce sensble, peueña regón de la retna ue comprende la mancha amarlla, stuada, en un ojo normal, en el plano focal magen de la lente anteror Un dafragma, cuyo dámetro se regula automátcamente para dejar pasar una luz n demasado ntensa, n demasado débl De la msma manera ue una lente de vdro puede enfocar una magen sobre un papel, el sstema de lentes del ojo puede enfocar tambén una magen sobre la retna; esta magen está nvertda con respecto al objeto. Sn embargo, la mente percbe los objetos en la poscón adecuada, a pesar de la orentacón nversa de la magen de la retna, porue el cerebro está acostumbrado a consderar una magen nvertda como magen normal. El poder refrngente de la lente ocular puede aumentarse desde 15 doptrías hasta aproxmadamente 29 doptrías en los nños peueños; esto es, tene poder de acomodacón total de 14 doptrías. Para ello, la forma de la lente se camba desde moderadamente convexa a muy convexa. La funcón prncpal del rs estrba en aumentar la cantdad de luz ue entra en el ojo en la oscurdad y dsmnur la ue penetra cuando la lumnosdad es ntensa. La pupla del ojo humano puede llegar a ser muy peueña, de aproxmadamente 1,5 mm, y muy grande como de cas 8 mm de dámetro. Por tanto, la cantdad de luz ue penetra en el ojo puede varar unas 30 veces a consecuenca de cambos en las dmensones de la abertura puplar. S la dstanca de un objeto al crstalno del ojo es de 17 metros, y la dstanca de la lente a la magen es de 17 mm, la proporcón entre las dmensones del objeto y la dmensón de la magen es de 1000 a 1. Así, un objeto stuado 17 metros por delante del ojo y de 1 m de altura produce en la retna una magen de 1 mm. 9

10 Hay tres medos prncpales gracas a los cuales el aparato vsual percbe normalmente la dstanca, fenómeno ue se denomna percepcón de profunddad. Son los sguentes: 1. Dmensones relatvas de los objetos 2. Paralaje de movmento 3. Estereopss o estereoscopa S una persona sabe ue un hombre mde 180 cm y lo ve con un solo ojo, puede determnar a ué dstanca se halla según la dmensón ue tenga su magen en la retna. Esta sería la determnacón de la dstanca según unas dmensones relatvas conocdas. Cuanto mayor la dstanca, menor la magen; y cuanto menor la dstanca, mayor la magen. Otro medo mportante de determnar con los ojos la dstanca es el paralaje de movmento. S una persona mra a lo lejos con sus ojos completamente parados, no percbe paralaje de movmento; pero cuando mueve su cabeza de un lado a otro, las mágenes de los objetos cercanos se mueven rápdamente por la retna, mentras ue las mágenes de los objetos dstantes cas uedan estaconaras. Por este mecansmo del paralaje de movmento pueden saberse las dstancas relatvas de dferentes objetos, ncluso empleando un solo ojo. Otro método ue permte percbr el paralaje es el de la vsón bnocular. Como cada ojo se halla a poco menos de 5 cm del otro, las mágenes en las dos retnas son dferentes. Es cas por completo la estereopss la ue brnda a una persona con dos ojos mucha mayor capacdad de juzgar las dstancas relatvas cuando el objeto se halla cercano ue a una persona ue solo tene un ojo. Sn embargo, La estereopss práctcamente carece de mportanca para percepcón de profunddad a dstancas mayores de 50 metros. 10

11 4. VISION ESTEREOSCÓPICA. Resumendo lo vsto hasta el momento, el hombre dspone de dos ojos ue forman mágenes lgeramente dstntas del mundo. La dferenca relatva en las poscones de los objetos en las mágenes se denomna dspardad y está provocada por las dferencas en su dstanca del observador. El cerebro humano es capaz de medr esta dspardad y de usarla para estmar las dstancas relatvas ue nos separan de los objetos. Se emplea el térmno dspardad absoluta para referrse a la dscrepanca angular en la poscón de la magen de un objeto en ambos ojos. El térmno dstanca se refere a la dstanca físca objetva del observador respecto del objeto, medda habtualmente desde uno de los ojos. El térmno profunddad se refere a la dstanca subjetva del objeto tal como la percbe el observador Dspardad y dstanca del observador a la superfce Supongamos un punto P a una dstanca del ojo zuerdo I del observador y con un ángulo ω respecto a su línea frontal de mrada, como se lustra en la fgura 7. Sea δ T la dstanca entre los ojos del observador; entonces, como la línea de mrada haca P no es totalmente recta, la dstanca efectva entre los ojos es sólo α = δ T cosω. S escrbmos = δ T senω, podremos ver ue, el ángulo entre las líneas de mrada de ambos ojos, vene dado por Para valores de peueños, podemos escrbr δ α = α δ tan = = 11

12 12 Fgura 7. Trgonometría del cálculo de la dstanca. Tomemos ahora dos puntos P y P a lo largo de la msma línea de mrada desde el ojo zuerdo, estando P stuado a una dstanca y P a una dstanca, como muestra la fgura 8. Se denomna dspardad relatva al ángulo entre P y P, o sea. Así, s = ' es el cambo fracconal en dstanca para la dspardad relatva dada, entonces α α = = α α α ) )( ( ) )( (1 1 1) 1 ( = = = ) (1 ) (1 δ α = = ω δ δ T ω α

13 En otras palabras, la dspardad relatva depende nversamente de la dstanca a la ue está el objeto; por lo tanto varía tambén nversamente respecto de la profunddad. Fgura 8. Recuperacón de la profunddad a partr de la dspardad Descrpcón formal de la geometría estéreo. El prncpo geométrco ue subyace tras la vsón estereoscópca, lustrado en la fgura 9, es bastante smple. Los dos ojos forman mágenes a través de los centros de perspectva zuerdo y derecho I y D en los planos Π y Π d, respectvamente. Los ojos están orentadas fjamente haca el punto v, o sea, los rayos perpendculares a los planos de las mágenes, y ue pasan por los centros de perspectva (los rayos prncpales) ntersecconan en el punto v. 13

14 p Círculo de Veth-Müller v I D Centro cclópeo Π I Π D Fgura 9. Geometría estereoscópca básca. Sea v el ángulo entre los rayos prncpales. Se denomna dspardad absoluta de v a v. Consderemos otro punto p proyectado en los planos de mágenes Π y Π d como muestra la fgura, y sea p el ángulo trazado por estos rayos. Dremos ue la dspardad relatva de p respecto de v es δ p v = p v. El círculo ue pasa por I, D y v se denomna círculo de Veth-Müller. Véase ue la dspardad relatva δ p v es postva para los puntos en el nteror del círculo, negatva para los puntos en el exteror del círculo y cero para los puntos del círculo. Se observa claramente ue la dspardad está relaconada con la dstanca. Sea c = (ID)/2 el punto medo entre los puntos focales (el centro cclópeo), y sean p y dos puntos alneados con el punto c. S p c > - c (o sea, p está más alejado del observador ), entonces p <. 14

15 BIBLIOGRAFIA S.D. BARNARD & M.A. FISCHLER (1990). Computatonal and Bologcal Models of Stereo Vson. Proceedngs, Image Understandng Workshop. Morgan-Kaufman. R. FAUCHER (1967). Physue. Classe de Premère Sectons C, D et E. Lbrare A. Hater. Pars. A.C. GUYTON (1988). Tratado de fsología médca. 6ª edcón. Interamercana/McGraw- Hll. Madrd. D. MARR (1985). La vsón. Alanza Pscología,12. Alanza Edtoral, Madrd. 15