Informe sobre el Cálculo de Errores de Muestreo. Encuesta sobre Condiciones de Vida ECV

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1 Iforme sobre el Cálculo de Errores de Muestreo Ecuesta sobre Codicioes de Vida ECV EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDA

2 INDICE. Itroducció Método de expasió de Taylor Métodos de Replicació Cálculo de errores. ECV Diseño Muestral Procedimieto de cálculo Estadísticos y domiios para el cálculo de errores e la ECV Resultados e Iterpretació...7 Bibliografía...9 2

3 . Itroducció. Podemos defiir error de muestreo como la imprecisió que se comete al estimar ua característica de la població de estudio (parámetro) mediate el valor obteido a partir de ua parte o muestra de esa població (estadístico). Este error depede de mucos factores, etre ellos, del procedimieto de extracció de esa parte de la població (diseño muestral), del úmero de uidades que se extrae (tamaño de la muestra), de la aturaleza de la característica a estimar, etc. Ua expresió geeralizada del error de muestreo sería la siguiete: Error de muestreo = Var(θˆ) () θˆ Siedo el estadístico de iterés (media, total, proporció,..). Este estadístico tomará valores distitos depediedo de la muestra extraída. La variabilidad del estadístico e el muestreo determiará el error muestral. La expresió de este error cambiará depediedo de la técica de muestreo utilizada, aciédose más complejo su cálculo coforme más complicado sea el diseño muestral. La mayoría de las ecuestas de EUSTAT tiee u diseño muestral complejo que icluye estratificació, probabilidades de selecció desiguales y varias etapas de muestreo. Estos diseños se aplica co el fi de producir estimadores putuales lo más bueos posibles, pero e la práctica complica sobremaera la estimació de los errores de muestreo. La literatura a sugerido alguas alterativas a los métodos covecioales de cálculo de errores muestrales. Estas técicas eurísticas proporcioa ua buea estimació del error muestral a partir de los pesos fiales y las características del diseño muestral [], [6]. E lo que sigue itroduciremos estos métodos y su aplicació cocreta e el caso de la Ecuesta sobre Codicioes de Vida para los datos referetes a Método de expasió de Taylor [2], [6]. Este método permite calcular estimacioes del error muestral para totales, medias y proporcioes e muestras co estratificació, clústers y probabilidades desiguales, como es el caso de mucas operacioes estadísticas e EUSTAT. El método admite e su formulació varias etapas de muestreo pero sólo tiee e cosideració la variabilidad de las uidades de primera etapa para la estimació del error muestral. Se obtiee aproximacioes lieales del estimador y se calcula la variaza utilizado ésta como estimació del error muestral. La expresió para el cálculo de la variaza estimada para la media poblacioal es la siguiete: Vˆ( Yˆ ) = H ( f ) = i= ( e i. e.. ) 2 (2) Dode: 3

4 e i. = m i j= w ij ( y ij w... Yˆ ) e.. y = w... = Notació: j= H e i. m i = i= j= w ij =, 2,..., H idica el estrato co u total de H estratos. i =, 2,..., idica el úmero de clusters e el estrato, co u total de clusters. j =, 2,..., m i idica el úmero de uidad detro del cluster i del estrato, co u total de m i uidades = H = i= m i es el úmero total de observacioes e la muestra. w ij idica el elevador de la observació j e el cluster i del estrato y ij = ( y ij (), y ij (2),..., y ij (P)) so los valores observados de la variable Y e la observació j del cluster i del estrato. (variables uméricas y categóricas). El procedimieto PROC SURVEYMEANS del paquete estadístico SAS [4], implemeta este método de estimació de errores muestrales y será la erramieta que se utilice para el cálculo de los errores muestrales del ficero de familias de la operació que os ocupa. 3. Métodos de Replicació []. El cálculo de errores de muestreo mediate replicació es u método útil para aproximar la variaza de estadísticos o-lieales. Además, produce resultados asitóticamete equivaletes a la liealizació. Al cotrario que el aterior, estos métodos sí cosidera la variabilidad e posteriores etapas del muestreo (muestreo multietápico) a la ora de estimar el error muestral [3]. El método cosiste e elegir submuestras (replicadas) de la muestra total y calcular el estadístico de iterés e cada ua de las submuestras. La variaza del estadístico de la muestra total se estima usado la variabilidad de las estimacioes calculadas para cada submuestra. 4

5 Existe distitos métodos de replicació : Jackkife (JK, JK2, JK), Replicació de Equilibrio Repetido (BRR), métodos Bootstrap. La elecció del método más adecuado depede del diseño muestral. Todos ellos basa el cálculo del error muestral e la siguiete expresió: Var( ˆ) θ = c co : ˆ θ = Estimació de θ para la replicada g G = Número total de replicadas formadas c = Cos ta te que depede del método de replicació f ( g ) g g G g= g f g ( ˆ θ ( g ) ˆ) θ = Factores de ajuste ( JK) = Factor de correcció de poblacioes fiitas 2 (2) El método que más se adapta a los diseños muestrales más comues e EUSTAT es el Jackife () que se caracteriza por: Ajustarse a diseños muestrales estratificados co dos o más uidades e cada estrato. Cada replicada se forma excluyedo ua uidad de la muestra origial cada vez. G = replicadas (=úmero de uidades primarias e la muestra origial). c = g= (-)/ siedo el estrato asociado a la replicada g. El software WesVar de la empresa americaa Westat, Ic. [5] implemeta, etre otros, este método de replicació y será la erramieta que se utilizará para el cálculo de las replicadas y sus correspodietes estimadas para el ficero de idividuos (uidades de seguda etapa) de la ecuesta que os ocupa. 4. Cálculo de errores - ECV Diseño Muestral. La ECV es ua ecuesta por muestreo sobre la població de la CAE de 6 y más años. La ecuesta va dirigida a ua muestra de idividuos seleccioados aleatoriamete e dos etapas. E primer lugar se seleccioa las viviedas, y detro de cada vivieda se sortea u idividuo de forma aleatoria. El método de muestreo de las viviedas es el estratificado (primera etapa) y detro de las viviedas el muestreo, para seleccioar las persoas, es aleatorio (seguda etapa). E la primera etapa los estratos los compoe los Territorios Históricos, además de otras dos variables que se a cosiderado importates. Estas so el año de costrucció y el tamaño familiar agrupadas de la siguiete forma: - para el año de costrucció, los itervalos so 3: asta 940, , 97 y posterior; - e cuato al tamaño familiar, otros 4: pers, 2 pers, 3-4 persoas, 5 y más. 5

6 E total, por combiació de TH y las modalidades ateriores, tedremos 36 estratos (3*3*4). E la seguda etapa, ya se a dico que ua vez seleccioada la vivieda, el muestreo es aleatorio etre todos los idividuos de la vivieda. 4.2 Procedimieto de cálculo. La ecuesta se explota a ivel de familias (viviedas) e idividuos por lo que se dispodrá de dos ficeros que va a recibir tratamieto distito e cuato al cálculo de errores se refiere. E el primer caso, el diseño muestral es secillo (muestreo estratificado de viviedas) por lo que podrá ser tratado co el procedimieto que proporcioa SAS. E el caso de los idividuos el diseño pasa a ser multietápico (vivieda e idividuo) por lo que utilizaremos el método Jackife () de replicació implemetado e el software Wesvar. Ficero de Familias La sitaxis básica del procedimieto de SAS implemetado para el cálculo de errores es la siguiete [4]: PROC SURVEYMEANS < ombre_ficero > < opcioes de salida >; BY variables ; /*cálculo de errores por subpoblacioes idepedietes*/ CLASS variables ; /*cálculo de errores para variables cualitativas*/ DOMAIN variables ; /*variables que delimita el domiio/cruce para el que se calcula los errores*/ STRATA variables < / optio > ; /*variable que idica el estrato e el muestreo estatificado*/ VAR variables ; /* variables cuatitativas y cualitativas para las que se pretede calcular los errores muestrales*/ WEIGHT variable ; /* variable peso pre-calculada (opcioal)*/ Los parámetros geerales de esta sitaxis para el caso cocreto de la ECV será los siguietes: STRATA = Territorio Histórico*Año de costrucció*tamaño familiar WEIGHT = Elevador aual de familias. VAR = Variables propias de la ecuesta. DOMAIN = Cruces por variables geográficas y socio-demográficas. Ficero de Idividuos E las especificacioes propias del método de replicació y del propio programa Wesvar [5], es ecesario idicar la variable de estratificació (STRATA) y la uidad de muestreo e primera etapa (PSU). E uestro caso éstas será: STRATA = Territorio Histórico*Año de costrucció*tamaño familiar PSU = Idetificador de vivieda. El úmero de replicadas (submuestras) que calculará el método debe coicidir co el total de uidades primarias del muestreo (viviedas). La estimació fial del error muestral vedrá dada por la variabilidad del estimador calculado para cada submuestra. 4.3 Estadísticos y domiios para el cálculo de errores e la ECV Siguiedo el criterio adoptado por otras ecuestas de EUSTAT para la publicació de los errores muestrales, se difudirá tatas tablas de errores como cruces se publique e el apartado de tablas estadísticas de la Web para la operació dada. E este caso estas tablas so: 6

7 Tablas de Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza. Ecuesta de Codicioes de Vida. ECV Familias F. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de familias por el grado de relacioes que matiee co familiares, amigos y vecios (%). F2. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de familias por el estado del medio ambiete y el grado de seguridad ciudadaa (%). F3. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de familias por el ivel de servicios y equipamietos de la vivieda (%). F4. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de familias por los servicios del edificio y del etoro (%). F5. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de familias por la situació ecoómica objetiva y la apreciació subjetiva (%). Idividuos P. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de població de 6 y más años estudiate por la distacia al cetro de estudios, la forma de realizarlo y la duració del trayecto (%). P2. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de població de 6 y más años estudiate por el grado de depedecia (%). P3. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de població de 6 y más años ocupada, por las codicioes del cetro de trabajo (%). P4. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de població de 6 y más años por la frecuecia co que sale a comer o cear los fies de semaa (%). P5. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de població de 6 y más años por la existecia y tipo de relacioes co amigos y vecios (%). 4.4 Resultados e Iterpretació. Juto co el estadístico de iterés se proporcioa otras medidas del error que so de utilidad y ayuda a la iterpretació del mismo. Etre éstas, las más iteresates so: - El Coeficiete de Variació. Es ua medida relativa del error que permite comparar precisioes etre distitos grupos o poblacioes. Se trata de ua magitud adimesioal muy utilizada como medida del error muestral y su expresió es: CV = Var( ˆ) θ ˆ θ - Itervalo de Cofiaza al 95%. Este itervalo de cofiaza se basa e la distribució e el muestreo del estadístico (proporció, media, tasa, ). Por el Teorema Cetral del Límite, la mayor 7

8 parte de las veces podemos asumir ua ley Normal para los estadísticos más comues, por lo que la costrucció de este itervalo vedrá dada por la siguiete expresió: ( ˆ θ,96 Var ( ˆ), θ ˆ θ +,96 Var( ˆ) θ ) El valor,96 es el percetil de ua distribució Normal co media 0 y desviació típica que ecierra ua probabilidad del 95%. Esto permite afirmar que el itervalo calculado para el estadístico θˆ cotiee al verdadero valor del parámetro poblacioal e el 95% de los casos (posibles muestras). Co esta iformació proporcioada, se costruirá las tablas defiitivas de errores que cotedrá la estimació del estadístico, el límite iferior y superior del itervalo de cofiaza al 95% y el coeficiete de variació e porcetaje. A cotiuació se preseta u modelo de tabla de difusió de errores: F5. Coeficietes de Variació e Itervalos de Cofiaza para el porcetaje de familias por la situació ecoómica objetiva y la apreciació subjetiva (%). C.A. de Euskadi Araba / Álava Bizkaia Gipuzkoa Situació ecoómica objetiva Mala L. Iferior 95% L. Superior 95% CV(%) Normal L. Iferior 95% L. Superior 95% CV(%) Buea L. Iferior 95% L. Superior 95% CV(%) Fuete: EUSTAT. Ecuesta de Codicioes de Vida. ECV Otra forma de iterpretar esta iformació cosiste e calcular el error relativo al 95% de cofiaza, que se obtiee al multiplicar el percetil,96 por el Coeficiete de Variació. Este error relativo os permite ablar e térmios de putos porcetuales del valor de la estimació. Para la tabla aterior, el error relativo al 95% para el porcetaje de familias co situació ecoómica ormal es del 3,4 % (,96*,6). O lo que es lo mismo, a u ivel de cofiaza del 95% podemos afirmar que el verdadero valor del porcetaje de familias co situació ecoómica ormal oscila e u itervalo del ±3,4 % de la estimació dada. Es decir: (46,6 ± 0,034*46,6) = etre 48,% y 45,% Es importate señalar aquellas estimacioes que sobrepase u determiado porcetaje del error relativo al 95%, para que el usuario tome las debidas cautelas a la ora de iterpretar la iformació dada. U umbral razoable estaría e aquellas estimacioes que sobrepase el 20% de error relativo (C.V. > 0% aprox.), señalado de forma especial aquellas casillas dode este error sea mayor que el 30% (C.V. > 5% aprox.). Se asume u tamaño muestral suficietemete grade ( >30). Cuado o podemos realizar esta asució, el itervalo de cofiaza se calculará co el correspodiete percetil al 95% de la distribució t-studet co - grados de libertad. 8

9 Bibliografía [] EUSTAT. 998 El método de replicació para la estimació de errores de muestreo. D. Morgastei, Semiario Iteracioal de Estadística, 37.. ttp:// [2] Fuller, W. A. (975), "Regressio Aalysis for Sample Survey," Saky, 37, Series C, Pt. 3, [3] Kalto, G. (979) Ultimate Cluster Samplig Joural of te Royal Statistical Society. Series A, Vol.42, No. 2, pp [4] Sas Istitute Ic. (2004), SAS/STAT 9. Guía de Usuario. Copyrigt 2004, Cary, NC, USA. ISBN [5] WESTAT, Ic. (2002) Maual del usuario WesVar 4.2 [6] Woodruff, R. S. (97), "A Simple Metod for Approximatig te Variace of a Complicated Estimate" Joural of te America Statistical Associatio, 66,