SISTEMAS DE CONTROL APLICADO A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA. Elaborado por: Ing. Rodmy Miranda Ordoñez

Transcripción

1 SISTEMAS DE CONTRO AICADO A SISTEMAS EÉCTRICOS DE OTENCIA Elaborado por: Ing. Rodmy Miranda Ordoñez a az, Marzo de 009

2 INDICE GENERA. INTRODUCCIÓN A OS SISTEMAS DE CONTRO INTRODUCCIÓN ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE CONTRO SISTEMA NO REAIMENTADO SISTEMA DE CONTRO REAIMENTADO CONCETO DE REAIMENTACIÓN ROBEMAS RESUETOS ROBEMAS ROUESTOS A TRANSFORMADA DE AACE INTRODUCCIÓN TRANSFORMADA DE AACE ROIEDADES DE A TRANSFORMADA DE AACE TEOREMA DE VAOR FINA TRANSFORMADA INVERSA DE A ACE ROBEMAS ROUESTOS MODEOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÁMICOS CONCETOS SOBRE MODEOS MATEMÁTICOS TÉCNICAS DE INEAIZACION Y NORMAIZACION INEAIZACION DE SISTEMAS DINÁMICOS NO INEAES NORMAIZACIÓN Criterio ue deben tomare en cuenta para la normalizacion del itema DIAGRAMAS DE BOQUES Y SU TRATAMIENTO CONCETO BOQUE FUNCIONA SUMADOR O COMARADOR FUJO DE SEÑA AGEBRA DE OS DIAGRAMAS DE BOQUE MODEADO EN ESACIOS DE ESTADOS RERESENTACIÓN DE ESACIO DE ESTADO E CONCETO DE ESTADO UNTOS DE EQUIIBRIO (O SINGUARIDADES) ROBEMAS ROUESTOS ANÁISIS DE A RESUESTA TRANSITORIA INTRODUCCIÓN SISTEMAS DE RIMER ORDEN SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ARÁMETROS DE A RESUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA ROBEMAS DE ANÁISIS roblema propueto Accione báica de control INTRODUCCIÓN CONTROADORES EFECTOS DE AS ACCIONES DE CONTRO INTEGRA Y DERIVATIVO SOBRE E DESEMEÑO DE UN SISTEMA CONTROADORES HIDRÁUICOS CONTROADOR INTEGRA CONTROADOR ROORCIONA REGAS DE SINTONIZACIÓN ARA CONTROADORES ID SISTEMAS DE ORDEN SUERIOR CRITERIO DE ESTABIIDAD DE ROUTH ROBEMAS DE ANÁISIS roblema de análii RODMY MIRANDA ORDOÑEZ

3 . INTRODUCCIÓN A OS SISTEMAS DE CONTRO.. INTRODUCCIÓN El control automático ha deempeñado un papel muy importante en el avance de la ingeniería y la ciencia dede principio del iglo XX. En el área de electricidad, la habilidad de un itema de potencia de mantener la etabilidad, depende de divero controladore diponible para amortiguar la ocilacione electromecánica producida por un debalance de potencia activa y/o reactiva, razón por la cual el etudio y dieño de itema de control e muy importante en la operación de itema eléctrico. Como lo avance en la teoría y la práctica del control automático proporcionan lo medio para coneguir un comportamiento óptimo de lo itema dinámico, mejorar la productividad, implificar el trabajo de mucha operacione manuale repetitiva y rutinaria, aí como de otra actividade, la mayoría de lo ingeniero deben tener un buen conocimiento de ete campo... ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE CONTRO El control de una variable de proceo reuiere de una etructura ue incluye cuatro elemento (roceo o lanta, Euipo de Medición o Senor, Controlador, Elemento de Control Final o Actuador) conectado de tal manera ue e etablece un flujo de información ue i e recirculada e decribe como un lazo de control retroalimentado (Feedback). Si el controlador dearrolla u acción in alimentare de la información ue e oberva en la variable de proceo, e dice ue e un control anticipatorio (Feedforward). Señal de Señal de roceo o lanta Señal de Salida Euipo de Medición Señal de Señal de Euipo de Actuación Señal Manipulada Controlador Figura.. Euema General de un Sitema de Control A continuación e litan alguno término utilizado en la teoría de itema de control. Sitema: Combinación de elemento ordenado ue actúan conjuntamente y cumplen un determinado objetivo. E un modelo de un dipoitivo o de un conjunto de ello exitente en el mundo real (itema fíico). En general, el etudio de itema fíico conta de cuatro parte: modelaje, decripción matemática, análii y dieño. roceo: E un dearrollo natural progreivamente continuo, marcado por una erie de cambio graduale ue e uceden uno al otro en forma relativamente fija y ue conducen a un reultado o RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 3

4 propóito determinado [Diccionario Merriam-Webter]. Un proceo e cualuier itema ue e deea controlar. lanta: lanta e denomina a cualuier euipo. or convención e le llamará planta a cualuier euipo fíico ue ha de er controlado. Una planta e grupo de itema a controlar, de forma ue la planta también puede er definida como un proceo cuando e controla un olo itema. erturbación: E una eñal ue tiende a afectar adveramente el valor de la alida de un itema. a preencia de eta eñale en un itema en mayor o menor grado, e lo ue jutifica el uo de rede de realimentación y obre todo de reguladore. Salida: Variable de interé ue e deea mantener dentro de un rango determinado, incluo ante la afluencia de perturbacione. Referencia: Entrada del itema. Señal de mando directamente utilizable por el itema, y ue indica al controlador el valor deeado de la alida del itema. Controlador o Regulador: arte del itema ue mantiene la alida dentro de un ámbito permitido, con variacione muy lenta y peueña (o in variacione) repecto a la referencia, eto a pear de la preencia de perturbacione. Actuador: Amplificador y mucha vece tranductor, ue permite el acople entre la eñal de alida del controlador (eñal de baja potencia) con la variable manipulada de la planta..3. SISTEMA NO REAIMENTADO E auel ue utiliza un controlador (un itema) en cacada con el itema a er controlado (planta o proceo) para obtener la repueta deeada, como e muetra en la Fig... Entrada Valor Deeado Controlador lanta Salida Figura.. Sitema de Control en azo Abierto.4. SISTEMA DE CONTRO REAIMENTADO E auel ue utiliza una medida de la alida actual para compararla con la repueta deeada, como e muetra en la Fig..3. Un enor o tranductor e un dipoitivo ue convierte una eñal a otra, generalmente eléctrica. Ejemplo: potenciómetro, tacogeneradore, termocupla, termitore, preótato, flotadore, etc. p r e u c Comparador Controlador Actuador lanta Tranductor Figura.3. Sitema de Control en azo Cerrado RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 4

5 r: eñal de referencia e: eñal de error u: eñal de actuación o variable de control c: eñal de alida p: eñal de perturbación o ruido.5. CONCETO DE REAIMENTACIÓN El conocimiento del modelo matemático del itema obre el ue e debe tomar una deciión para gobernar u funcionamiento, no e uficiente para la toma de eta deciión. Se reuiere ademá información obre lo ue, de una forma intuitiva de momento e puede denominar etado actual del mimo. Conidere una perona ue debe realizar u recorrido habitual dede u domicilio al trabajo en u automóvil, definiendo como proceo el llevar el vehículo dede el domicilio al trabajo. En ete entido, el conductor repreentara dede u poición de gobierno de la conducción del automóvil al controlador del proceo y lo objeto exitente a lo largo del camino como er otro vehículo, eñale de tránito, traneúnte, etc., e convierten en perturbacione en el proceo. El conductor llevara adelante el proceo olamente i advierte lo obtáculo en el camino valiéndoe para eto de u ojo, ue le permiten tener información obre el etado actual del automóvil y lograr de eta forma la toma de deciión adecuada para evitar lo obtáculo. or lo eñalado, lo ojo del conductor repreentan la realimentación necearia para lograr un grado de eficacia en el proceo de llevar el vehículo al lugar de detino. Un itema de control realimentado o en lazo cerrado, e conoce como un itema de control automático. a Figura.4, e un diagrama de bloue de un itema de control indutrial ue conite de un controlador automático, un elemento de control final, un proceo y un enor (elemento de medición). E un lazo cerrado donde la variable de alida del proceo e mide y retroalimenta al controlador uien determina el error de dicha medida con u valor de referencia y genera una acción ue ejecuta el elemento de control final para ajutar la variable de control al valor deeado. Referencia + - Error Controlador Euipo de Actuación roceo Salida Senor Figura.4. Sitema de Control en azo Cerrado RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 5

6 .6. ROBEMAS RESUETOS. Señalar lo componente ue forman la etructura del itema de control de la iguiente figura. Figura E.. Sitema de Control en azo Abierto El itema de control en lazo abierto de una lavadora, tiene como eñal de entrada o referencia el grado de limpieza deeada, y como eñal de alida el grado de limpieza actual. El controlador y la planta correponden al euipo de lavado lavadora. Debido a ue la operación de la lavadora e define en bae a un tiempo determinado, la mauina no mide efectivamente ue la eñal de alida, ue e la limpieza de la ropa..7. ROBEMAS ROUESTOS. Señalar lo componente ue forman la etructura de lo itema de control preentado a continuación. a. Sitema de Control Manual RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 6

7 b. Sitema de Control en azo Cerrado de un itema térmico c. Sitema de Control en azo Cerrado multivariable RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 7

8 . A TRANSFORMADA DE AACE.. INTRODUCCIÓN a tranformada de aplace e una técnica Matemática ue forma parte de cierta tranformada integrale como la tranformada de Fourier, la tranformada de Hilbert, y la tranformada de Mellin entre otra. a tranformada de aplace puede er uada para reolver ecuacione diferenciale lineale y ecuacione integrale. Mediante el uo de la tranformada de aplace, e poible convertir mucha funcione comune tale como la funcione enoidale, elenoidale amortiguada y funcione exponenciale en funcione algebraica de una variable compleja. Una ventaja del método de la tranformada de aplace e ue permite el uo de técnica grafica para predecir el deempeño del itema, in tener ue reolver la ecuacione diferenciale del itema... TRANSFORMADA DE AACE Definimo: f(t) función del tiempo t tal ue f(t)=0, para t<0 variable compleja ímbolo operativo ue indica ue la cantidad a la ue antecede e va a tranformar mediante la integral de aplace a tranformada de aplace de f(t) e obtiene mediante: a tranformada invera de aplace para t>0 e: a tranformada de aplace de cualuier función f(t) e encuentra multiplicando f(t) por e integrando ete producto dede t=0 a t=. Sin embargo una vez ue conocemo el método para obtener la tranformada de aplace, no e neceario obtener cada vez la tranformada de aplace f(t). E poible uar tabla de tranformada de aplace (En el anexo, e preenta un reumen de la principale tranformada de aplace)..3. ROIEDADES DE A TRANSFORMADA DE AACE A continuación e preentan alguna propiedade má uada de la tranformada de aplace, donde e conidera f(t) y g(t) cuentan con tranformada de aplace. Teorema de inealidad: RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 8

9 Teorema de Convolución rimer Teorema de Tralación: Teorema de la Derivada 0 Teorema de la Integración 0.4. TEOREMA DE VAOR FINA El teorema del valor final relaciona el comportamiento en el etado etable de f(t) con el comportamiento de F() en la vecindad de =0. Sin embargo ete teorema e aplica i y olo i exite lim (lo ue ignifica ue f(t) e aienta en un valor definido para t ). Si todo lo polo de F() e encuentran en el emiplano izuierdo del plano, exite lim. ero i F() tiene polo en el eje imaginario o en el emiplano derecho del plano, f(t) contendrá funcione de tiempo ocilante o exponencialmente creciente repectivamente y lim no exitira. El teorema de valor final no e aplica en tale cao. lim lim El teorema de valor final plantea ue el comportamiento en etado etable de f(t) e igual ue el comportamiento de F() alrededor de =0. or lo tanto, e poible obtener f(t) en t= directamente de F()..5. TRANSFORMADA INVERSA DE A ACE Un método conveniente de obtener la tranformada de aplace e uar una tabla de tranformada de aplace. En ete cao, la tranformada de aplace debe tener una forma ue reconozca de inmediato en la tabla. Si una tranformada epecifica F() no e encuentra en la tabla, puede expandire en fraccione parciale y ecribir en término de funcione imple de para la cuale ya e conocen la tranformada invera de aplace. En la expanión de F()=B()/A() en fraccione parciale e importante ue la potencia má alta de en A() ea mayor ue la potencia má alta de en B(). Si tal no e el cao, el numerador B() debe dividire entre el denominador A() para producir un polinomio ademá de un reiduo (un cociente de polinomio en, cuyo numerador ea un grado menor ue el denominador). RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 9

10 .6. ROBEMAS ROUESTOS. Hallar la Tranformada invera de aplace de la iguiente funcione: a) b) c) d) e) f) F() 3 40 F() 5 F() 3 3 F() F() F() 5. Reolver mediante aplace la iguiente ecuacione diferenciale lineale: a) d d x(t) 3 x(t) 6 x(t) 0 dt dt ; x(0) 0 ; x(t) 3 b) d d x(t) 3 x(t) x(t) 0 dt dt ; x(0) a ; x(t) b c) d d x(t) x(t) 5 x(t) 3 dt dt ; x(0) 0 ; x(t) 0 3. Sea un vehículo ubmarino no pilotado (UFSS, Unmanned Free-Swimming Submerible ). a función de tranferencia ue relaciona u ángulo de cabeceo, θ(), con el ángulo de timón δe() e: ( ) 0. ( 0.5) ( ) ( ) ( ) e Utilizando la tranformada invera de aplace, encontrar la expreión analítica de la repueta temporal del ángulo de elevación θ(t) a una entrada ecalón unitario en el ángulo del timón δe(t). RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 0

11 3. MODEOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÁMICOS 3.. CONCETOS SOBRE MODEOS MATEMÁTICOS ara generar un modelo matemático, e neceario cumplir con una etapa previa, denominada etapa de cualificacion del fenómeno. Cualificar un fenómeno no e otra coa ue explicar y/o entender cualitativamente lo ue etá ucediendo. Una vez conolidado la etapa de cualificación del fenómeno, viene la etapa de cuantificación ue no e otra coa ue ponerle nombre y apellido a lo fenómeno producido. El reultado de ete proceo no genera el concepto "modelo matemático" (generar ecuacione). Un modelo matemático e puede definir como la ecuación o conjunto de ecuacione diferenciale ue cuantifican la dinámica o movimiento de un itema. o modelo matemático pueden explicitare tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia: a. Dominio del tiempo Ecuacione integro-diferenciale Indice de comportamiento Epacio de etado b. Dominio de la frecuencia Diagrama de bloue Flujo de enale 3.. TÉCNICAS DE INEAIZACION Y NORMAIZACION 3... INEAIZACION DE SISTEMAS DINÁMICOS NO INEAES Conideremo un itema no lineal con una entrada y una alida, como e preenta en la figura : x SISTEMA y Cuyo modulo matemático, eta dado por la ecuación: Donde: y = f(x) x y e la eñal de entrada del itema en el dominio del tiempo. e la eñal de alida del itema en el dominio del tiempo. ara linealizar el itema, e reuiere realizar alguna conideracione: RODMY MIRANDA ORDOÑEZ

12 a) El modelo linealizado debe er un modelo lo má precio y exacto poible. Exacto en u etructura. recio en lo reultado ue e deean obtener, como producto de u dinámica. b) Se debe etablecer, un nuevo punto de comportamiento o funcionamiento, ue etablezca la bae necearia para generar el modelo lineal, debe definire lo má próximo poible al punto definido como comportamiento o funcionamiento real del itema. De lo eñalado coniderando: (x, y) punto real de funcionamiento., nuevo punto de funcionamiento. 0 (valor muy peueño). Si dearrollamo: y = f(x) mediante la erie de Taylor para un el nuevo punto de funcionamiento, tenemo la iguiente expreión:!! 3! Aplicando el criterio de: 0, lo término elevado a potencia iguale o mayore a en la ecuación anterior, erán iguale a cero. Aimimo, coniderando la iguiente relacione: a expreión de y linealizada erá: () ara un itema no lineal cuya alida y e una función de do entrada x y x de forma imilar a lo eñalado anteriormente e tendrá lo iguiente: inealizando e tiene: Donde:, (), ; ; RODMY MIRANDA ORDOÑEZ

13 3... NORMAIZACIÓN E muy común en la práctica encontrare con itema de control ue e encuentran conformado por un conjunto de ubitema de naturaleza diferente. or ejemplo, i hablamo o hacemo mención a un itema de control de velocidad para un motor de corriente continua, vamo a poder obervar ue el mimo etá conformado por otro itema cuya naturaleza difieren entre í (naturaleza eléctrica, mecánica, electrónica, etc.). Si hacemo referencia a la unidade ue e manejan dentro de ete itema de control vamo a poder ver ue eta difieren una de la otra. Eto implica ue lo itema no tienen la mima unidade. En ete entido, reulta de uma importancia el de uniformizar de alguna manera la unidade ue e manejan en el itema. a técnica utilizada con ete propóito e denomina normalizacion de itema. Se genera una unidad etandar denominada "por unidad - porcentual", e definen: - Unidad de referencia (unidad bae) - Unidad real - Unidad o valor nominal Vn, e una cantidad contante independiente del tiempo, valor máximo permiible. - Unidad real V(t), unidad o valor intantáneo, dependiente del tiempo ue muetra la dinámica del itema en un tiempo determinado. Definimo al valor normalizado como:.. Ete valor e una magnitud adimenional Criterio ue deben tomare en cuenta para la normalizacion del itema a) Identificado lo valore intantáneo o reale ue deben formar parte de la dinámica del itema, debe etablecere una bae de dato de todo lo poible valore nominale ue e pueden obtener dentro del comportamiento del itema. b) En función de lo etablecido dentro del modelo matemático ue cuantifica la dinámica del itema (ue puede etar compueto por una o má ecuacione) e determinan la ecuacione normalizada DIAGRAMAS DE BOQUES Y SU TRATAMIENTO CONCETO E un modelo de carácter grafico, mediante el cual e repreenta la parte componente de un itema de control y u relacionamiento de eñale báicamente etá conformado por tre elemento: a) El bloue funcional b) El umador o comparador c) Un flujo de eñale RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 3

14 3.3.. BOQUE FUNCIONA E el elemento gráfico del diagrama de bloue, ue repreenta dentro del mimo a lo elemento, o en u cao ubitema de un determinado itema y/o itema de control. Se puede repreentar a travé de un rectángulo, con un denominativo epecifico. F() F() = Función de tranferencia (Denominativo). Como e puede obervar el denominativo e una función en el dominio de la frecuencia, comúnmente denominada función de de tranferencia. Se define a una función de tranferencia como la relación ue exite (cociente) entre la eñal de alida y la eñal de entrada de un determinado itema, en el dominio de la frecuencia y para condicione iníciale y/o de frontera nula. En término generale i conideramo ue el modelo matemático en el dominio del tiempo etá dado por la ecuación diferencial: En donde C(t) e la alida del itema y R(t) e la entrada. Aplicando la tranformada de aplace a la ecuación anterior y coniderando la condicione iníciale igual a cero, el itema en el dominio de la frecuencia erá: or definición, la función de tranferencia H() del itema erá: H C R SUMADOR O COMARADOR Se define como auel elemento abtracto en alguno cao uceptible a una interpretación fíica de un diagrama de bloue ue no permite repreentar el producto o la uma de do o má de do eñale. Se utiliza generalmente cuando no exite ningún vínculo de carácter etructural entre do o má eñale. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 4

15 x () y () x () y () x 3 () y 3 () En forma general: De forma imilar para el producto de funcione: FUJO DE SEÑA E un elemento de un diagrama de bloue ue tiene la función de vincular de una u otra manera a lo bloue funcionale, comparadore y/o umadore de un determinado itema. En ete entido, e encuentra explicito la dinámica o movimiento del itema. H () Flujo de eñal H () a obtención de un diagrama de bloue etablece lo iguiente pao a eguir: a) En el itema dinámico a analizar, identificar cual erá la eñal de entrada y la eñal de alida. Eto erá definido en bae a lo ue e uiere obtener del itema de control. b) Una vez ue e han identificado la eñale de entrada y alida, e debe etablecer la ecuacione ue gobiernan la dinámica del itema. ara eto e adecuado ecribir una ecuación integro-diferencial por cada ubitema ue forma parte del itema dinámico a analizar. c) Mediante la tranformada de aplace, llevar toda la funcione en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Cada ecuación integro-diferencial en el dominio del tiempo, tranformada en una ecuación algebraica en el dominio de la frecuencia debe repreentar un bloue funcional. d) Utilizando flujo de eñale, comparadore y/o umadore vincular en forma lógica todo lo bloue funcionale del itema dinámico utilizando la eñale de alida de un ubitema como una eñal de entrada para otro ubitema. E neceario ue la eñale de entrada y alida del itema dinámico correpondan a la eñale de entrada y alida del conjunto de bloue funcionale ue forman la función de tranferencia del itema dinámico AGEBRA DE OS DIAGRAMAS DE BOQUE RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 5

16 Conite en reducir un diagrama de bloue en un olo bloue funcional con una ola entrada y alida. ara ete propóito e importante generar alguno criterio báico de reducción de diagrama de bloue encillo MODEADO EN ESACIOS DE ESTADOS a teoría de control moderna contrata con la teoría de control convencial en ue la primera e aplica a itema con entrada y alida múltiple, ue pueden er lineale o no lineale, en tanto ue la egunda olo e a aplica a itema lineale con una entrada y alida invariante en el tiempo. Aimimo, la teoría de control moderna e eencialmente un enfoue en el dominio del tiempo, en tanto ue la teoría de control cláico e un enfoue en el dominio de la frecuencia RERESENTACIÓN DE ESACIO DE ESTADO El comportamiento de un itema dinámico como el de un itema eléctrico de potencia, puede er decrito mediante un conjunto de n ecuacione diferenciale no lineale de primer orden de la iguiente forma:,,., ;,,., ;,,, Donde n e el orden del itema y r e el número de entrada. Eto puede er ecrito en la iguiente forma uando notación vector-matriz: Donde:,, El vector columna x e referido como vector de etado, y u elemento xi como variable de etado. El vector columna u e el vector de entrada del itema. Eta on la eñale externa ue influencian el funcionamiento del itema. El tiempo e denotado por t, y la derivada de una variable de etado x con repecto al tiempo e denotado por x E CONCETO DE ESTADO El etado de un itema repreenta la cantidad mínima de información acerca del itema en cualuier intante t0 ue e neceario para ue u comportamiento futuro pueda er determinado in neceidad de aber entrada anteriore a t 0. a variable de etado pueden er cantidade fíica en un itema, como el ángulo, velocidad, voltaje, o pueden er variable matemática abtracta aociada con la ecuacione diferenciale ue decriben la dinámica del itema. a elección de la variable de etado no e única. Eto no ignifica ue el etado del itema en cualuier tiempo no e única; olamente ue el ignificado de repreentación de la información de etado no e única. Cualuier conjunto de variable de etado ue nootro ecojamo producirá la mima información acerca del itema UNTOS DE EQUIIBRIO (O SINGUARIDADES) RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 6

17 o punto de euilibrio on auello donde toda la derivada x,x,.,x on imultáneamente cero. El euilibrio o punto de ingularidad debe atifacer la ecuación: 0 Donde: x 0 e el vector de etado x en el punto de euilibrio. Un itema lineal tiene un olo etado de euilibrio (i la matriz del itema e no ingular). ara itema no lineale puede exitir má de un punto de euilibrio. o punto de ingularidad on verdaderamente caracterítico del comportamiento de la dinámica del itema y por lo tanto e puede conocer acerca de la etabilidad dede u naturaleza ROBEMAS ROUESTOS. Reducir el iguiente diagrama de bloue a un olo bloue Y/R R G G G3 H H3 Y H. Encontrar la función de tranferencia V()/V() del circuito eléctrico motrado en la figura, en torno al punto de euilibrio i = i0 = 4.78 A. a reitencia eléctrica rnl e no lineal, con una relación tenión-corriente definida por ir = e0. Vr. Se upone ue la eñale aplicada on peueña. v(t) + i(t) = H r nl v (t) 0 V + 3. El circuito euivalente de la mauina incrónica de polo lio para etudio de etabilidad de centrale termoeléctrica e preenta en la iguiente figura, y la ecuacione ue gobiernan u funcionamiento e detallan línea abajo. a. Determinar el diagrama de bloue ue repreenta al modelo de ete generador incrónico. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 7

18 b. Coniderando un itema lineal, determinar la ecuacione de etado y u repreentación en epacio de etado. d ad a A continuación e preenta un umario de la ecuacione de la máuina incrónica, como un conjunto de ecuacione diferenciale de primer orden, con el tiempo (t) en egundo, el ángulo del rotor () en radiane eléctrico, y toda la otra cantidade en por unidad. Ecuacione de movimiento r T t H o r t M T e D r Donde: o = o rad eléctrico/ r = deviación de velocidad del rotor en p.u. Ecuacione de lo circuito en el rotor t fd d t t t or adu o o o fd R R R E i d d i i fd R o fd i fd a corriente del rotor etán dada por: RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 8

19 RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 9 a a ad d d d ad fd fd fd i i i i o enlace de flujo mutuo del eje directo y del eje de cuadratura on: d d fd fd d ad ad i " a a i " donde: d fd ad ad " a a " Donde ad y a on valore aturado de la inductancia mutua de lo eje directo y de cuadratura y e calculan mediante: au a adu d ad d y on calculado como una función del enlace de flujo del entrehierro at. Ecuacione del voltaje del etator

20 Sin tomar en cuenta lo tranitorio del etator velocidad o la iguiente manera: d, ni tampoco la variación de la t t, como e ugiere en la referencia, el voltaje del etor puede er ecrito de e e d R i a d R i a X '' X '' d i i d E'' E'' d Con: E'' E'' d '' '' ad a fd fd d d El par ó momento del entrehierro ( T ) reuerido para la olución de la ecuación de ocilación e: e T e ad i i a d RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 0

21 4. ANÁISIS DE A RESUESTA TRANSITORIA 4.. INTRODUCCIÓN ara el análii analítico de lo itema de control, e utilizan eñale de prueba típica, tale como: ecalón, rampa, parábola, impulo, enoidale, etc. Ya ue con dicha eñale e poible realizar con facilidad análii matemático y experimental de lo itema de control. a forma de la entrada a la ue el itema etará ujeto con mayor frecuencia bajo una operación normal determinara cuál de la eñale de entrada típica e debe uar para analizar la caracterítica del itema. a repueta en el tiempo de un itema de control conta de do parte: repueta tranitoria y repueta en etado etable. ara mayor comprenión definiremo alguno concepto. Etabilidad Aboluta: E la caracterítica má importante del comportamiento dinámico de un itema de control, e decir i el itema e etable o inetable. Un itema erá etable i u polo imple e encentran en el emiplano izuierdo del plano complejo. Etabilidad relativa: E la etabilidad o repueta tranitoria, e decir la ue va de un etado inicial a un etado final. Eta repueta tranitoria, e debe a ue la alida del itema cuando etá ujeto a una entrada, no ucede a la entrada de inmediato, debido a ue todo itema de control fíico implica un almacenamiento de energía. Error en etado etable: E la diferencia entre la alida y la entrada de un itema. Ete error indica la preciión del itema. 4.. SISTEMAS DE RIMER ORDEN Dominio del tiempo (t): Su ecuación diferencial ue gobierna el comportamiento del itema e de orden. Dominio de la frecuencia (): El polinomio caracterítico de la función de tranferencia del itema e de grado SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN (t): El modelo matemático del itema tiene una ecuación diferencial de orden. (): El polinomio caracterítico de la función de tranferencia del itema e de grado. a función de tranferencia de un itema de egundo orden, puede er repreentado en forma general como: C( ) R( ) n n n donde: n, e la frecuencia natural no amortiguada., factor de amortiguamiento relativo del itema. El comportamiento dinámico de ete tipo de itema e decribe a continuación en término de y. Si 0< <, lo polo en lazo cerrado on complejo conjugado y e encuentran en el emiplano izuierdo del plano. El itema e denomina ubamortiguado y la repueta tranitoria e ocilatoria. Si =, el itema e denomina críticamente amortiguado. o itema n RODMY MIRANDA ORDOÑEZ

22 obreamortiguado correponden a >. a repueta de lo itema críticamente amortiguado y obreamortiguado no ocila. Si =0, la repueta tranitoria no e amortigua ARÁMETROS DE A RESUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA E una caracterítica ue defina la repueta tranitoria de un determinado itema. Eto parámetro on: Tiempo de retardo (td): e el tiempo reuerido para ue la repueta alcance la primera vez la mitad del valor final. Tiempo de levantamiento (tr): e el tiempo reuerido para ue la repueta pae del 0 al 90% o del 0 al 00% de u valor final. Tiempo pico (tp): e el tiempo reuerido para ue la repueta alcance el primer pico del obrepao. Sobrepao Máximo (Mp): e el valor pico máximo de la curva de repueta, medido a partir de la unidad. Tiempo de aentamiento (t): e el tiempo ue e reuiere para ue la curva de repueta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño epecificado por el porcentaje aboluto del valor final (por lo general de a 5%) y permanezca dentro de ete rango..4 Step Repone Epecificacione de la repueta tranitoria. Mp Amplitude c(t) / t td tr tp Time (ec.) o parámetro de la repueta tranitoria de un itema de egundo orden a caua de una entrada ecalón unitario, puede er calculada por la iguiente ecuacione: RODMY MIRANDA ORDOÑEZ

23 tp d Mp e ( / 4 t n )...() Nota.- t S, e coniderado con el criterio de % ROBEMAS DE ANÁISIS. Un termómetro reuiere de minuto para alcanzar el 98% del valor final de la repueta a una entrada ecalón. Suponiendo ue el termómetro e un itema de primer orden, encuentre la contante de tiempo. Si el termómetro e coloca en un baño, cuya temperatura cambia en forma lineal a una velocidad de 0 /min, Cuánto error muetra el termómetro? Determina la repueta del itema para una entrada impulo unitario. Solución. Un itema térmico de primer orden puede er repreentado, como: C( ) R ( ) T Dado ue la tranformada de aplace de la función ecalón unitario e /, utituyendo R()=/, en la anterior ecuación, tenemo: C( ) T...) (/ T ) Si tomamo la tranformada invera de aplace de la ecuación (), obtenemo: c( t) t / T e para t>=0 Según el problema, para t=60, c(t)=0.98, reemplazando lo valore numérico a c(t), hallamo T: T = 5,337 b) ara una entrada rampa, con pendiente 0, repreentamo la velocidad de 0 /min. a tranformada de aplace de una función rampa de pendiente 0 e 0/, remplazando R()=0/, obtenemo: 0 T T ( ) 0...3) C T T Tomando la tranformada invera de aplace de la ecuación (3), obtenemo: De ete modo la eñal de error e(t) e: c( t) 0( t T Te t / T ), para t>=0 RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 3

24 e( t) r( t) c( t) e( t) 0T ( e t / T ) Conforme t tiende a infinito, la eñal de error e: a repreentación del itema en MATAB, e: e( ) T rograma _ %----repueta ecalón unitario---- %. Introducir el numerador y denominador %del itema num=[0 ]; den=[5.337 ]; %. Determinando la repueta a una %entrada ecalón unitario tep(num,den) %.. dando un formato a la grafica grid title('repueta ecalón unitario de G()=/(T+)') paue Step Repone From: U() Amplitude To: Y() Time (ec.) %3. Encontramo la repueta y el error a una %entrada rampa %3..cambiando la función de tranferencia del itema %de manera de utilizar el comando tep, para obtener una %función rampa num=[0 0 0]; den=[ ]; t=0:0.8:80; %Epecificamo lo punto a evaluar en la graf. c=tep(num,den,t); %3..Al graficar la curva de la repueta rampa, añadimo la %entrada r(t)=0t. plot(t,c,'o',t,0*t,'-') %agregamo reticula, titulo y etiueta x y y. grid title('curva de repueta rampa de G()') RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 4

25 xlabel('t Seg.') ylabel('entrada y Salida') %el error erá e=0*t(,00)-c(00,) 800 Curva de repueta rampa de G() Entrada y Salida t Seg.. Conidere el itema mecánico de la figura, uponga ue el itema etá inicialmente en repoo y ue en t=0 e pone en movimiento mediante una fuerza impulo unitario. Obtenga un modelo matemático para el itema. Depué encuentre el movimiento del itema. Solución. El modelo matemático para ete itema erá: m x kx (t) Tomando la tranformada de aplace de ambo miembro de etá ultima ecuación, y coniderando la condicione iniciale igual a cero, la poición de la maa erá: X ( ) m k a poición de la maa en el dominio del tiempo e obtiene aplicando la tranformada invera de aplace a X(): x( t) mk en k t m RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 5

26 a ocilación e un movimiento armónico imple. a amplitud de la ocilación e / mk. 3. a figura a muetra un itema vibratorio mecánico. Cuando e aplica al itema una fuerza de lb (entrada ecalón), la maa ocila como e aprecia en la figura b. Determine m, b y k del itema a partir de etá curva de repueta. El deplazamiento x e mide a partir de la poición de euilibrio. Solución. a función de tranferencia de ete itema e: Dado ue: el valor en etado etable de x e: X ( ) ( ) m ( ) b k or tanto: = 0 lb f /ft x ) lim X ( ) lim 0 0 ( m ( b k) k 0. ft De la figura (b), podemo ver ue Mp = 9.5% correponde a =0.6. El tiempo pico t p e obtiene mediante: t p n a curva experimental muetra ue t p =. or tanto. n.96[ rad / ] Dado ue n k / m 0/ m, obtenemo: 0.8 n RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 6

27 Depué b e determina a partir de: 0 m 5.lug 66[ lb] n b m * 0.6 *.96 *5..[ lb / ft] n El programa _, muetra la repreentación del itema en MATAB: rograma _ %repueta ecalón de un itema de egundo orden %G()=/(m+b+k) %. Introducir el numerador y denominador del itema %mediante el uo de variable m=5.; b=.; k=0; num=[0 0 ]; %la entrada e ()=/ den=[m b k]; %. Determinando la repueta a una %entrada ecalón unitario tep(num,den) %.. dando un formato a la grafica grid title('repueta ecalón unitario de G()=/(m+b+k)') xlabel('t Seg.') ylabel('x(t)') 0. Repueta ecalón unitario de G()=/(m+b+k) From: U() f x(t) To: Y() t Seg. 4. Un diagrama de bloue implificado repreenta el control de velocidad de un generador hidráulico alimentando una carga ailada como e muetra en la figura. a turbina etá repreentada por el modelo cláico y el gobernador por una ganancia g=/r. El generador etá repreentado en término de la inercia combinada del rotor del generador y la turbina. Si Tw=, Tm=0, y d=0, determine (i) El valor mínimo de el amortiguamiento R para el cuál la velocidad del gobernador e etable, (ii) el valor de R para el cuál la acción del controlador e críticamente amortiguado, (iii) el valor de R de manera de obtener un obrepao máximo de 0% en 0.3. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 7

28 Ref. Vel. /R Gain -Tw+ Tw/.+ Turbina dm Tm.+d Generador dw Solución. a ecuación caracterítica de el itema en lazo cerrado e: 0 0 R ó 0R (0R 9 0 (i) ara ue el itema ea etable, la raíce de la ecuación caracterítica tienen ue etar en el lado izuierdo de el plano complejo. En el cao de una ecuación cuadrática, una condición necearia y uficiente e ue todo lo coeficiente de la ecuación ean poitivo. or lo tanto: 0R>0 ó R>0 y 0R->0 ó R>0. El valor má peueño de R ue reulta en una repueta etable e 0. ó 0% (ii) ara una amortiguamiento critico 0R 4(0R) 0 Reolviendo el itema R R Con R =0.746 obtenemo el amortiguamiento critico y repueta etable. Y R = e menor ue el valor limite de 0., por lo tanto no correponde a una repueta etable roblema propueto. Conidere el itema de la figura 3. Un ervomotor de cd controlado por armadura, maneja una carga formada por el momento de inercia Jl. El par ue dearrolla el motor e T. El deplazamiento angular del motor y del elemento de carga on m y, repectivamente. a relación de engrane e n= / m. Obtenga la función de tranferencia ( ) / Ei( ). Determine valore numérico del itema de manera de obtener un repueta con un obrepao de 5% para un tiempo pico de 0.5, debido a una entrada ecalón. Obtenga la repueta en Matlab de dicho itema. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 8

29 . a figura 4 muetra un itema ue conite en 4 unidade de 555 MVA, 4 kv, 60 Hz cada una. o valore paivo ue e muetran en la figura etán en por unidad obre una bae de 0 MVA, 4 kv (referido al lado de baja tenión, del tranformador elevador). El objetivo de ete ejemplo e de analizar la caracterítica de etabilidad del itema lineal cerca del punto de operación en etado etable, eguido de la perdida del circuito. a condicione de pofalla del itema obre la mima bae on: = 0.9; Q = 0.3 (obreexcitado); Et = /36 ; Eb = 0.995/0 o generadore pueden er modelado como un generador euivalente repreentado por el modelo cláico con lo iguiente parámetro expreado en por unidad obre la mima bae: Xd = 0.3; H = 3.5 MW*/MVA a) Ecriba la ecuacione de etado linealizada de el itema. Determine i el itema e etable o no, halle la frecuencia natural no amortiguada, amortiguada, el coeficiente relativo de amortiguamiento, para cada uno de lo iguiente valore de coeficiente de amortiguamiento (en torue pu/velocidad pu): (i) d=0 ; (ii) d=-0; (iii) d=0 b) ara el cao con d=0, determine la repueta en el tiempo i en t=0, 5 Obtenga etá repueta en Matlab. y 0. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 9

30 3. ara ue valore de g, el itema realimentado motrado en el iguiente diagrama e etable. X() (+3)(+) G() Y() g 4. Determinar lo valore de k ue hagan ue el iguiente itema ea etable. X() Y() (+) G() (+) G() k RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 30

31 5. Accione báica de control 5.. INTRODUCCIÓN Un controlador real automático compara el valor real de la alida de una planta con la entrada de referencia (valor deeado), determina la deviación y produce una eñal de control ue reducirá la deviación a cero ó a un valor peueño. 5.. CONTROADORES o controladore indutriale e claifican de acuerdo con u accione de control, como:. De do poicione o de encendido y apagado. roporcionale 3. Integrale 4. roporcionale integrale 5. roporcionale derivativo 6. roporcionale integrale derivativo Ó de acuerdo con el tipo de energía ue utilizan en u operación, como neumático, hidráulico ó electrónico. El controlador detecta la eñal de error, ue por lo general etá a un nivel de potencia bajo, y la amplifica a un nivel lo uficientemente alto. a alida del controlador e alimenta a un actuador, tal como un motor o una válvula neumática, un motor hidráulico, o un motor eléctrico. (El actuador e un dipoitivo de potencia ue produce la entrada para la planta de acuerdo con la eñal de control, a fin de ue la eñal de alida e aproxime a la eñal de referencia.) 5.3. EFECTOS DE AS ACCIONES DE CONTRO INTEGRA Y DERIVATIVO SOBRE E DESEMEÑO DE UN SISTEMA. Acción de control integral. En el control proporcional de una planta, cuya función de tranferencia no poee un integrador /, hay un error de etado etable, o deplazamiento (offet), en la repueta para una entrada ecalón. Tal offet e elimina i e incluye la acción del control integral en el controlador. Ejemplo 3.. Como ejemplo analizaremo la acción de control integral, obre un itema de primer orden (planta). R() E() controlador proporcional (a) T.+ lanta C() R() E() controlador integral (b) T.+ lanta C() Figura E3. rimero obtendremo la repueta para un cambio ecalón unitario en la entrada al itema de la figura E3.(a), el cuál tiene un controlador proporcional. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 3

32 RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 3 a función de tranferencia en lazo cerrado entre C() y R() e: T R C ) ( ) ( Ya ue la entrada e un ecalón unitario R()=/. a repueta C() erá: t T e t c T T C ) ( ) ( (3.) De acuerdo con eto obervamo ue, conforme t tiende a infinito, el valor de c(t) tiende a /(+). or lo tanto el error e(t) = r(t)-c(t), en etado etable erá: ) ( e e Ahora motraremo ue tal error e elimina i e incluye en el controlador una acción de control integral, como e muetra en la figura E3.(b). a función de tranferencia en lazo cerrado entre C() y R() e: T R C ) ( ) ( ) ( (3.) El error en etado etable para la repueta ecalón unitario e obtiene aplicando el teorema del valor final del modo iguiente: 0 ) ( 0 0 lim lim e T E e or lo vito, el control integral elimina el error en etado etable. Acción de control derivativa. Una ventaja de uar un control derivativo e ue reponde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección ignificativa ante de ue la magnitud del error e vuelva demaiado grande. or tanto, el control derivativo prevé el error, inicia una acción correctiva oportuna y tiende a aumentar la etabilidad del itema. Ete modo no e emplea olo, e ua junto con una acción proporcional o proporcional-integral. Caracterítica de la acción de control proporcional-integral-derivativa ID. El controlador ID tiene varia funcione importante: uminitra una retroalimentación, tiene la habilidad de

33 eliminar el error de etado etable a travé de la acción integral, e puede anticipar a poible falla a travé de la acción derivativa. Como e indico anteriormente, lo controladore pueden claificare como: neumático, hidráulico ó electrónico. A continuación decribiremo alguno controladore hidráulico y obtendremo u repreentación, como función de tranferencia CONTROADORES HIDRÁUICOS CONTROADOR INTEGRA Drenaje Aceite a preión Drenaje x Válvula iloto I II Servomotor y Flujo de aceite: ( kg / ) t( ) () 3 Deplazamiento del pitón = y( m) A( m ) ( g / m ) () Igualando y t A y (3) Suponemo ue el flujo de aceite () e proporcional al deplazamiento x de la válvula piloto x (4) reemplazando en la ecuación y aplicando la tranformada de a laca e obtiene: Y ( ) X ( ) i (5) Donde: i (6) A a ecuación (6), repreenta la expreión matemática de un integrador, por lo ue el mecanimo válvula piloto ervomotor actúa como un controlador integral. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 33

34 5.4.. CONTROADOR ROORCIONA e Drenaje Aceite a preión Drenaje a x y b I II Servomotor Y ( ) E( ) b a A continuación motramo una aplicación de eto: Controlador de velocidad mecánico-hidráulico En unidade antigua, la función del gobernador e realizada uando componente hidráulico y mecánico, como e muetra en la figura Tranient droop adjuter Needle valve d Fkyball Speeder rod Compenatin g dahpot Fat Slow ilot ervo b Speed droop Speed adjutment a Relay valve ilot valve g Gate ervomotor 5.5. REGAS DE SINTONIZACIÓN ARA CONTROADORES ID El proceo de eleccionar lo parámetro del controlador ue cumplan con la epecificacione de deempeño e conoce como intonización del controlador. A continuación motraremo la regla de intonización de Zeigler-Nichol. rimer Método: a repueta de la planta a una entrada ecalón unitario e obtiene de manera experimental Si la planta no contiene integradore ni polo dominante complejo conjugado, la curva de repueta ecalón puede tener la forma de S. Si la repueta de la planta al ecalón no tiene la forma de S no debe aplicare el método. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 34

35 u(t) lanta y(t) En ete cao, la función de tranferencia e aproxima mediante un itema de primer orden: Y ( ) U ( ) e T Ziegler y Nichol ugirieron etablecer lo valore de p, Ti, y Td, de acuerdo con la formula ue aparecen en la iguiente tabla. Tipo de p Ti Td Controlador T/ 0 I 0.9T/ /0.3 0 ID.T/ 0.5 Tabla Segundo Método. En el egundo método uamo olo la acción de control proporcional, como e ve en la figura, e buca el valor de con el cual e obtiene ocilacione otenida a la alida. El valor de para el cual ocila e denomina ganancia critica ( CR ) y el período de ocilación T CR. R() E() p controlador proporcional T.+ lanta C() Ziegler y Nichol ugirieron etablecer lo valore de p, T i, y T d, de acuerdo con la formula ue aparecen en la iguiente tabla. Tipo de p Ti Td Controlador 0.5cr 0 I 0.45cr cr/. 0 ID 0.6cr 0.5cr 0.5cr Tabla 5.6. SISTEMAS DE ORDEN SUERIOR a repueta de un itema de orden uperior etá compueta de vario término ue contienen la funcione imple encontrada en la repueta de lo itema de primer y egundo orden. El itema e etable i todo lo polo e encuentran en el emiplano izuierdo del plano complejo. a curva de repueta de un itema etable de orden uperior e la uma del número de curva exponenciale y curva enoidale amortiguada. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 35

36 olo dominante en lazo cerrado. Si lo cociente de la parte reale de lo polo en lazo cerrado on uperiore a 5 y no hay cero cerca, lo polo en lazo cerrado má cercano al eje jw dominarán el comportamiento de la repueta tranitoria, debido a ue correponden a lo término de la repueta tranitoria ue diminuyen lentamente. Un par polo-cero cercano entre i e cancelarán efectivamente uno al otro CRITERIO DE ESTABIIDAD DE ROUTH El criterio de etabilidad de Routh no dice i exite ó no raíce inetable en la ecuación caracterítica, in tener ue obtenerla en realidad. El procedimiento e el iguiente: Ecriba el polinomio en en la forma iguiente: donde lo coeficiente on reale y a n 0 a... a a 0...(3 n n 0 a n n Si alguno de lo coeficiente e cero ó negativo, ante la preencia de al meno un coeficiente poitivo, hay una raíz ó raíce imaginaria o ue tiene parte reale poitiva. En tal cao el itema no e etable. Si todo lo coeficiente on poitivo, ordene lo coeficiente del polinomio como igue: ) n n n 0 a a b d 0 a a b 3 a a b o coeficiente b,b,etc, e evalúan del modo iguiente: b b aa a0a3 a aa4 a0a5 a a evaluación de la b continúan hata ue toda la retante on cero. Se igue el mimo patrón de multiplicación cruzad de lo coeficiente de lo reglone anteriore al evaluar la c, d, etc. Ete criterio tiene una utilidad limitada, ya ue no ugiere como mejorar la etabilidad relativa ni como etabilizar un itema inetable. Sin embargo e poible determinar lo efecto de cambiar uno o do parámetro de un itema i e examinan lo valore ue producen inetabilidad ROBEMAS DE ANÁISIS RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 36

37 . El diagrama de bloue de la figura 3.., muetra un itema de control de velocidad de una central hidráulica alimentando una carga ailada. En el cuál el miembro de alida del itema eta ujeto a una perturbación de par. Utilice lo valore numérico del problema de análii 4, para analizar la repueta de ete itema para un par de perturbación ecalón unitario. Suponga ue la entrada de referencia e cero. dl Ref. Vel. /R Gain -Tw+ Tw/.+ Turbina dm Tm.+d Generador dw Figura 3. Solución. En auencia de un par de perturbación, la variación de la velocidad de alida e cero. a figura 3. e un diagrama de bloue modificado, conveniente para el análii preente. -dl dm Tm. Generador -Tw+ /R Tw/.+ Turbina Gain Figura 3. dw a función de tranferencia en lazo cerrado e: ( ) ( ) T M T R T ara un par de perturbación ecalón unitario, la variación de la velocidad de alida en etado etable e: SS SS ( ) im ( ) im 0 0 T R M T R T RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 37

38 . A partir de ete análii concluimo ue, i e aplica un par de perturbación ecalón al miembro de la alida del itema, e producirá una velocidad de error tal ue el par en el rotor del generador reultante cancelara exactamente el par de perturbación. En el itema coniderado en el ejemplo anterior, determine un controlador capaz de eliminar el error de velocidad producido por el par de perturbación. Solución. Si elegimo un controlador conveniente cuya función de tranferencia ea G C (), como e oberva en la figura 3.3 dl Ref. Vel. Gc() Controlador -Tw+ Tw/.+ Turbina dm Tm.+d Generador dw Figura 3. En auencia de la entrada de referencia, la función de tranferencia en lazo cerrado e: ( ) ( ) T T Gc M ( ) T ara un par de perturbación ecalón unitario, la variación de la velocidad de alida en etado etable e: ara atifacer el reuerimiento de : ( ) 0 SS SS ( ) im ( ) im 0 0 T Gc(0) debemo eleccionar Gc(0)=. Eto e logra i elegimo: Gc( ) M T Gc( ) T Una acción de control integral elimina el offet ó deplazamiento. Sin embargo ete controlador preenta un problema, debido a ue la ecuación caracterítica tendrá raíce imaginaria ó parte reale poitiva egún el criterio de Routh. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 38

39 Un método para etabilizar un itema como ete e agregar un modo proporcional al controlador, o elegir: Gc( ) 3. Con la ayuda del criterio de Routh. Determine el rango de valore de y p del controlador del itema anterior. Solución. a ecuación caracterítica del itema e: T M T ( T M (0 T ) ( ) ( T ) 0 ) 0 El arreglo de coeficiente de Routh e: (0 ) (0 ) (4 0 30) ( ) 0 ara la etabilidad e neceario ue: (0 ) (4 0 30) 0 Reolviendo el itema de deigualdade: 5 (0 ) Si conideramo ue: = 4 ; debe er menor ue Apliue una de la regla de intonización de Ziegler-Nichol para la determinación de lo valore del controlador I del ejemplo anterior. A continuación obtenga una curva de repueta ecalón unitario y verifiue i el itema dieñado exhibe un obrepao máximo aproximado de 35 %. Si eto no e aí realice una intonización fina para lograrlo. Solución. Debido a ue la planta tiene un integrador, uamo el egundo método de la regla de intonización de Ziegler-Nichol. Etableciendo Ti igual a infinito, de manera ue el controlador olo erá repreentado por la ganancia p. a función de tranferencia en lazo cerrado, ue relaciona la variación de velocidad de la alida y la referencia de entrada del diagrama de bloue de la figura e: RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 39

40 R() Gc() Controlador -Tw+ Tw/.+ Turbina dm Tm.+d Generador dw() ( ) R( ) ( T ) TMT TM ( T ) El valor de p ue hace al itema marginalmente etable para ue ocurra una ocilación otenida e obtiene de la iguiente manera: T M T 0 ( T M (0 T ) ) 0 0 ara la etabilidad olo e neceario ue todo lo cociente ean poitivo en una ecuación cuadrática. or lo tanto: Encontramo ue ocurrirá una ocilación otenida i: =5. or lo tanto la ganancia critica e: CR =5. Con = CR, la ecuación caracterítica e vuelve: ara encontrar la frecuencia de ocilación otenida, utituimo = jw en la ecuación caracterítica, del modo iguiente: 0( j) A partir de lo cuál encontramo ue la frecuencia de ocilación otenida e: El periodo de ocilación otenida e: CR De acuerdo con la tabla, lo valore para un controlador I e calculan como igue: RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 40

41 T i 0.45 CR.5 CR or tanto la función de tranferencia del controlador I e: Gc( ).5 Ti Gc( ) El controlador tiene un polo en el origen y un cero en = a figura iguiente muetra el diagrama de bloue del itema R() Controlador I + Turbina dm 0 Generador dw() A continuación, examinemo la repueta ecalón unitario del itema. a función de tranferencia en lazo cerrado e: ( ) R( ) a repueta ecalón unitario de ete itema e obtiene fácilmente con Matlab. Véae programa 3_4. rograma 3_4 %repueta ecalón unitario %. Introducir el numerador y denominador del itema num=[ ]; den=[ ]; %. Determinando la repueta a una %entrada ecalón unitario tep(num,den) %.. dando un formato a la grafica grid on title('repueta ecalón unitario') xlabel('t Seg.') ylabel('amplitud') RODMY MIRANDA ORDOÑEZ 4