PARADOJAS MATEMÁTICAS EN FORMALISMOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

Transcripción

1 Meora Encuentro Naconal de Óptca Conferenca ndna y del Carbe en Óptca y u plcacone Ecuela Reonal de Óptca Unverdad de Paplona Novebre 0 4 de 008 Paplona-Coloba ttp://enocancoa008unpaplonaeduco Tre Paradoa Mateátca en Óptca Cuántca a Partr de la Relacón de ncertdubre HRS Canónca y Varaconal Luí erardo Pedraa Saavedra Facultad de nenería epartaento de Cenca Naturale y Mateátca Pontfca Unverdad averana Calle 8 No 8-50 Vía a Pance Cal-Valle-Coloba-Suraérca e-al: luepea@averanacaleduco RESUMEN Con aluno eeplo ple e lutrará coo la falta de cudado ateátco puede llevar a paradoa ateátca en lo foralo de la ecánca ondulatora de Scrödner la ecánca atrcal de Heenber o el foralo BR KET de rac En partcular e darán tre eeplo en óptca cuántca a partr de la relacón de ncertdubre HRS canónca y varaconal Eta contradccone pueden paare por alto e ace un etudo ateátco cudadoo de lo problea en encón En concluón e lutrará coo pueden oluconare eto problea o al eno coo pueden evtare Palabra clave: operadore Herítco conutador de operadore epaco de Hlbert funcone de cuadrado nterable epaco de Scwart valor propo de un operador funcón propa de un operador operador auto-adunto epectro de un operador obervable ortonoralacón operador untaro oetría oorfo valor proedo de un operador relacón de ncertdubre de Heenber deualdad de Caucy-Scwar relacón de ncertdubre HRS BSTRCT By a ere of ple exaple t llutrated ow te lack of ateatcal concern can readly lead to urprn ateatcal paradoxe n Scrödner wave ecanc Heenber atrx ecanc or rac BR KET foral Partcularly tree exaple n quantu optc wll be ven fro canoncal and varatonal HRS wt uncertan relaton Tee contradcton can only be dcarded by appealn to a ore careful ateatcal forulaton of te proble n concluon t ndcated ow all of tee proble can be olved or at leat avoded Keyword: Hertan operator operator coutator Hlbert pace quare nterable functon Scwart pace operator eenvalue operator eenfuncton elf-adont operator operator pectru obervable ortonoralaton untary operator oetry oorp operator averae value Heenber uncertanty relaton Caucy-Scwar nequalty HRS uncertanty relaton PROS MTEMÁTCS EN FORMLSMOS E L MECÁNC CUÁNTC Prer eeplo Para una partícula en una denón lo operadore de oentu P y pocón Q atfacen la relacón canónca de conutacón de Heenber [ P Q] Toando la traa de eta relacón e encuentra un reultado nulo para el lado querdo Tr P Q entra que Tr 0 [ ] 0

2 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Cuál e la concluón? Supona la relacón de conutacón [ P Q] atfeca por lo operadore P y Q actuando en un epaco de Hlbert H de denón fnta n En ete cao P y Q pueden repreentare por atrce n x n u traa en una operacón ben defnda y e obtene el reultado Tr Tr n ) n 0 [ P Q] ( partr de ete reultado n entdo puede conclure que la relacón de Heenber no puede dare en un epaco de Hlbert denonalente fnto í la ecánca cuántca tene que forulare en un epaco de Hlbert denonalente nfnto: en un epaco tal la traa ya no e una operacón ben defnda para todo lo operadore (en partcular la traa del operador no exte) y por lo tanto ya no e puede deducr á una contradccón de la relacón de conutacón de Heenber en la fora ndcada Seundo eeplo Condere la funcone de onda ϕ y la cuale on de cuadrado nterable en R y el operador nterando por parte e obtene dxϕ ( x)( P )( x) dx( Pϕ)( x) ( x) [ ] ( ϕ )( x) P d dx Coo ϕ y on de cuadrado nterable uualente e concluye que eta funcone e anulan para x ± í el últo térno en la ecuacón preva e anula lo cual plca que el operador P e Herítco No obtante lo lbro de texto en ateátca no dcen que la funcone de cuadrado nterable no adten en eneral un líte para x ± y por lo tanto ella no necearaente e anulan en el nfnto Exten funcone contnua y de cuadrado nterable en R n etar acotada en el nfnto : un eeplo de tale funcone etá dado 8 por exp( n ) f x x x x Se puede conclur que el operador P e Herítco a pear de eto eco y e aí porqué? El dono áxo de defncón del operador P en el epaco de Hlbert de la funcone de cuadrado nterable L ( R dx) f : R C / < dx f ( x) R con el producto ecalar para f ( R dx) f dx f ( x) ( x) L ' L etá dado por ( P) { L ( R dx) / L ( R dx) } ax R La funcone que pertenecen al ( P) dfrutan por lo tanto de certa propedade de reulardad y u dervada on de cuadrado ax nterable en R En partcular eta funcone on contnua y u líte para x ± e cero (); eto plca que el operador P actuando en ( P) e Herítco (ver defncón á adelante) La funcón anterorente enconada ax la cual no etá acotada en el nfnto e dferencable pero u dervada no e de cuadrado nterable y por lo tanto ella no pertenece al ( P) ax Pá de 3

3 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Tercer eeplo d Condere lo operadore P y Q ultplcacón por x actuando obre funcone de onda que dependen de dx 3 x R Coo P y Q on operadore Herítco el operador PQ 3 Q P tabén tene eta propedad ya que u adunto (ver defncón á adelante) etá dado por ( PQ Q P) Q P PQ Coo conecuenca todo lo valore propo de on reale Sn ebaro e puede verfcar fáclente que f f con 3 f ( x) x exp( ) para x 0 4x y f ( x) 0 para x 0 lo cual nfca que adte el valor propo copleo Nótee que la funcón f e nfntaente dferencable en R y que e de cuadrado nterable ya que dx f ( x) 0 dx f ( x) 3 ( x ) ( x ) dxx e [ ] 0 0 e ónde etá el error? El epaco de Scwart S( R) L ( R dx) de la funcone rápdaente decrecente e un dono nvarante de defncón para lo operadore P y Q y entonce tabén para 3 PQ 3 Q P ; : S( R) S( R) Recuérdee que una funcón f : R C pertenece a S(R) eta e dferencable un nfnto núero de vece y ella y toda u dervada decrecen á rápdaente en el nfnto que el nvero de cualquer polnoo La nteracón por parte uetra que el operador aí defndo e Herítco: para toda la f S( R) f La funcón f dada pertenece al epaco de Hlbert L ( R dx) f pero no pertenece al dono de ya que ella no decrece á rápdaente que el nvero de cualquer polnoo en el nfnto: 3 x f ( x) x 3 exp (4x ) no etá acotada para x Coo conecuenca no e un por eeplo [ ] valor propo de Pero (3) e un valor propo del operador S( R de Para f ) la nteracón por parte conlleva a que 3 3 [( x )' x ' ] f el cual tene la a precrpcón de operacón f 3 [ x ( f )( x) ] Coo f decrece rápdaente en el nfnto el térno de frontera en el lado dereco e anula la funcón no crece á rápdo que un polnoo en el nfnto uendo que tene eta propedad la ecuacón anteror plca que el operador actúa en la a fora que [( x )' x ' ] [ 3x x ' ] aunque u dono e á rande que S(R) Ete dono contene toda la funcone tale que la expreón exte y e de cuadrado nterable Para toda eta funcone el térno de frontera en la ecuacón para anula autoátcaente f e Pá 3 de 3

4 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Por defncón ( ) { ϕ Η / ( ϕ) Η tal que ϕ ϕ para toda () } ( ) y ϕ ϕ para toda () y un operador en H e explíctaente auto-adunto ϕ e ayor que el de de donde el operador no e auto-adunto deá En reuen el dono de defncón de la funcón f dada ante no pertenece al () pero pertenece al ( ) de donde e un valor propo de Cuarto eeplo Condere una partcula confnada al ntervalo [0 ] y decrta por la funcón de onda que atface la condcone de frontera ( 0) 0 () d Entonce el operador oentu P e Herítco pueto que el térno de frontera que aparece en la dx nteracón por parte e anula: 0 dx( ϕ ( P ) ( Pϕ) )( x) [( ϕ )] 0 x 0 Coo P e Herítco u valore propo on reale Para deternar lo últo nótee que la ecuacón de valore propo ( P )( x) p ( x) p R 0 p p e olucona por p ( x) C p exp( px) con C p C { 0} La condcón de frontera p ( 0) 0 plca aora que 0 y por lo tanto P no adte valor propo aluno Sn ebaro el epectro de P e el plano copleo p entero y no repreenta un obervable p Cóo pueden entendere eto aobroo reultado? Lo reultado aobroo del anteror eeplo ndcan que no e ufcente verfcar que un operador e Herítco para dentfcarlo con un obervable S el operador del epaco de Hlbert e auto-adunto entonce u epectro e real ( 4 5) y lo vectore propo aocado a dferente valore propo on utuaente ortoonale; adeá lo vectore propo unto con lo vectore propo eneralado conforan un tea copleto de vectore eneralado del epaco de Hlbert (6) í cualquer operador auto-adunto e Herítco pero un operador Herítco no necearaente e auto-adunto Lo vectore que atfacen la ecuacón de valore propo aunque no pertenecan al epaco de Hlbert H no a un epaco ayor que contene a H e llaan uualente vectore propo eneralado En el preente eeplo ( P) { Η / ' Η y (0) 0 () } y ( P ) { ϕ Η / ( P ϕ) Η tal que ϕ P P ϕ para toda (P) } La nteracón por parte dx( ϕ ( P ) ( Pϕ) )( x) [( ϕ() () ϕ(0) (0)] 0 0 para toda (P) uetra que la condcone de frontera atfeca por (P) on ya ufcente para anular el térno de frontera y uetra que P actúa en la a fora que P E decr Pá 4 de 4

5 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) P d dx ( P ) { ϕ Η / ϕ' Η} P e ayor que el de P: ( P) ( P ) Entonce el dono de defncón de e donde P e Herítco pero no auto-adunto Lo reultado concernente al epectro de P ctado en ete eeplo ndcan que el epectro de un operador Herítco no e pleente el conunto de u autovalore propo o eneralado El epectro del operador P el cual no e auto-adunto contene en eneral una parte llaada el epectro redual; por defncón on todo lo núero C que no on valore propo de P pero para lo cuale e un valor propo de P í la funcone que pertenecen a ( P ) no atfacen nnuna condcón de frontera entra que aquella que pertenecen a (P) e anulan en la frontera x 0 y x Coo la funcone ϕ p ( x) exp( px) con p C on olucone de la ecuacón de valore propo para P ( P ϕ )( x) pϕ ( x) ϕ ( P ) ϕ 0 todo lo núero copleo on valore p p p propo de P Pero nnuno de eto e un valor propo de P ya que ϕ p no e anula en la frontera y por lo tanto no pertenece al (P) Coo conecuenca el epectro redual de P e C En efecto eto repreenta el epectro copleto de P ya que u epectro dcreto y contnuo on vacío p Qunto eeplo S e ntroducen coordenada polare en el plano o coordenada eférca en el epaco entonce el ánulo polar ϕ y la coponente L del oentu anular on varable canóncaente conuada en ecánca cláca En teoría cuántca la varable ϕ e d un operador de ultplcacón de la funcón de onda (ϕ ) por ϕ y L lo cual plca la relacón de dϕ conutacón [ L ϕ ] Eto operadore que actúan obre funcone de onda peródca (e decr ( 0) (π ) ) on Herítco deá L adte un tea copleto ortonoral de funcone propa L con ( ϕ) exp( ϕ) y Z π Para la funcone de onda e epecfca olaente la dependenca con la varable anular ϕ y para la ortonoralacón e ua el producto ecalar para funcone de cuadrado nterable en el ntervalo [ 0 π ) : π ϕ 0 d ϕ ( ϕ) Recuérdee que el valor proedo del operador en el etado etá dado en la fora á eneral por Evaluando el valor proedo del operador [ ϕ] e Herítco e encuentra que L en el etado (7) y toando en cuenta el eco de que L Pá 5 de 5

6 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Lϕ ϕ L L ϕ ( ) ϕ 0 ebe aber un problea deatenddo en aluna parte (8) ( π dϕ) El operador de ultplcacón por ϕ en el epaco de Hlbert [ 0 ] Η L etá defndo y e auto-adunto: ϕ f ϕ f para toda la f Η Tabén nterando por parte π dϕ ( ( L f ) ( L ) f )( ϕ) [( (π ) f (π ) (0) f (0)] 0 para toda f L ) ( ebdo al carácter peródco del ánulo polar la funcone que pertenecen al dono de peródca: L d dϕ { f Η / f ' Η y f (0) f } ( L ) π L on e acuerdo a lo anteror el térno de frontera e anula y ólo ( 0) (π ) : eto plca que L opera en la a fora que L y que ete adte el o dono de donde el operador L e auto-adunto L nótee que para cualequera do operadore y B Para deternar el dono de defncón del conutador [ ϕ] e tene que y ( B) { f ( B) / Bf ( ) } í con ( ϕ L ) f ( L ) / L f ( ϕ) Η { } ( B) ( ) ( B) ( [ L ϕ] ) ( L ) { f ( ϕ) Η / f ( L )} L ϕ) ( ϕ L ) y ( ( Lϕ ) ϕ Pero la funcón ~ f ϕ f la cual aparece en la últa expreón toa lo valore ~ f (0) ( ϕ f )(0) 0 y ~ f (π ) ( ϕ f )(π ) π f (π ) ~ ~ ~ y f ( L ) plca f (0) f (π ) e decr f ( π ) 0 En reuen ϕ L ) ( L ) ( { f Η / f ' Η y f 0} [ ϕ] { f Η / f ' Η y f (0) 0 f (π )} ( L ϕ) π y ( L ) Pá 6 de 6

7 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) ( ϕ) ϕ π π La funcone propa exp( ) de L no pertenecen al dono de defncón de [ ϕ] L ya que ella no e anulan en lo punto 0 y : por lo tanto la dervacón de ete eeplo no tene entdo Lo eeplo anterore aplcan ualente en teoría cuántca n portar la forulacón utlada de ella (9) (ecánca ondulatora de Scrödner ecánca atrcal de Heenber o el foralo BR KET de rac) pueto que dca forulacone on (oórfca) equvalente entre í (0) Por defncón para ea Η un epaco de Hlbert copleo eparable (lo cual nfca que adte una bae ortonoral que conte de una fala nuerable de vectore) con el producto ecalar Un operador lneal U : Η Η e llaado untaro : a) U etá defndo en todo Η Η b) La aen de Η bao U e todo Η c) U preerva el producto ecalar e decr él repreenta una oetría: Uf U f para toda Η Η la f Η o epaco de Hlbert Η y Η que etán relaconado por un operador untaro e dce que on oórfco y e ecrbe que Η Η No obtante en teoría cuántca de la edcón forulacone ateátca equvalente de la ecánca cuántca plcan dferente reultado de edda ( 3) pero ete e un problea dferente de nvetacón en lo fundaento de la teoría Prer eeplo PROS MTEMÁTCS EN ÓPTC CUÁNTC Problea lare a lo del eeplo nedataente anteror aparecen para lo operadore núero de fotone y ultplcacón de la funcón de onda por ϕ Con lo operadore creacón ( a ) y detruccón ( a ) de fotone (4) defndo en térno de lo operadore de fae (ϕ ) y núero de fotone (N ϕ ϕ y [ ] de donde a a ) e tene que a e N a aa a a Ne a a ( e ϕ N )( ϕ Ne )-( ϕ Ne )( N e ϕ ) Eta ualdad e cuple e ϕ Ne ϕ N ϕ ϕ ϕ e N Ne e [] [ N ϕ] N ϕ ϕ N unto con veao e ϕ 3 k ( ϕ) k! ϕ ( ϕ ) ( ϕ ) 3! k 0 N ϕ( ϕ N) ϕ( Nϕ ) ϕ Pá 7 de 7

8 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Slarente E decr que ora ben ϕ N Nϕ ϕ( Nϕ ) 3 ϕ N Nϕ ϕ ϕ( ϕ N) ϕ( Nϕ ϕ) 3 3 ϕ N Nϕ ϕ( Nϕ ϕ) Nϕ k k k ϕ N Nϕ kϕ 3ϕ 3 coo e abía predco e N Ne ϕ ϕ ( 6 ( k 0 ( ϕ N Nϕ ) ( 3 3 N ) ϕ Nϕ Evaluando el valor proedo del operador [ ϕ] Herítco coo tabén que N n k 0 k ( ϕ ) k! ) N N ( ( 4 k 0 N ) ϕ Nϕ k ( ϕ ) k! e ϕ N 4 4 ϕ Nϕ k ( ϕ ) k! ) ) N en el etado n y toando en cuenta el eco de que N e n n n endo el núero de fotone en el etado n n Nϕ n n n N ϕ n ϕ N n n n e encuentra que n n ϕ n ( n n) ϕ 0 [] n n La olucón a eta paradoa ateátca e uy lar a la olucón del eeplo nedataente anteror Relacón de ncertdubre HRS (Heenber- Roberton-Scrödner) canónca Utlando reultado enerale del foralo ateátco de la ecánca cuántca (5 6) e puede obtener la relacón de ncertdubre HRS cuya valde al pe de la letra no e tan eneral coo parece eún e verá en lo eeplo que uen Con operadore arbtraro obervable y B y conderando lo ket Pá 8 de 8

9 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) e tene con noralado ( ˆ ( ) y Bˆ ( B B ) ) que ˆ ˆ Â Â ( ) ( ) B ˆ ˆ B ˆB ˆB ( B B ) ( B) Entonce ( B) ( ) ( B B ) Utlando la deualdad de Caucy-Scwar para do ket arbtraro y [3] e obtene que ( B) ( )( B B ) [4] Coo el producto MK de do operadore Herítco epre e puede ecrbr coo entonce MK ( MK KM ) ( MK KM ) ( ) ( B B ) ( ( ) ( B B ) ( B B ) ( ) )/ ( ( ) ( B B ) - ( B B ) ( ) )/ { ( ) ( B B ) } /[ B] con { } bolando el antconutador de lo operadore que etán adentro Fnalente ( ) ( B) ( {( )( B B ) } [ B] ) [5] Pá 9 de 9

10 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Coo cao epecal eno aproxado e tene que llaada relacón de ncertdubre HRS ( ) ( B) [ B] Seundo eeplo Recordando que [ P Q] e evdente que ( P) ( Q) [6] deualdad conocda coo relacón de ncertdubre de Heenber Ya que la relacón de conutacón [ L ϕ ] tene la a fora e puede nferr que ( L ) ( ϕ) [7] L ( π y entonce ϕ π lo cual no tene entdo fíco pue ϕ toa valore en el ntervalo [ π ) No obtante epre e puede encontrar un etado para el cual < 4 ) tene que er ayor que 0 Ete eeplo uetra que la relacón HRS no e válda en eneral (7 7) Cóo puede er poble que la relacón de conutacón [ ] deualdad L ) ( ϕ) no? ( L ϕ ea válda pero la Sendo á cudadoo en la ecrtura e tene que donde ( ) ( ) ( B) [ B] y larente para B [8] El lado querdo de la relacón [8] etá defndo para ( B) (ubepaco de H que contene todo lo etado para lo cuale la ncertdubre o devacone cuadrátca eda y B tenen nfcado fíco) Pero el lado dereco ólo etá defndo en el ubepaco ([ B] )(B) (B) el cual e á pequeño en eneral Recuérdee que ( B) y ˆ ( ) Bˆ ( B B ) coo y B on auto-adunto (obervable) e obtene que (8) Pá 0 de 0

11 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) B B ˆ Bˆ Bˆ ˆ ˆ ˆ B Bˆ ˆ de donde Bˆ ˆ Bˆ ( )( B) ( )( B) ˆ B B [9] donde el dono del lado dereco concde aora con el del lado querdo e decr ( B) El producto de la ncertdubre de lo do obervable y B no etá deternado por u conutador no por u relacón Herítca para toda la f ( B) Φ ( f ) f B Bf B d e nuevo para P y BQx en H L ( R dx) el lado dereco de la fórula [9] e evalúa nterando por dx parte obtenéndoe que ( P) ( Q) Pero L d dϕ para toda ( P) ( Q) ( π dϕ) y Bϕ en Η [ 0 ] deaparece quedando la deualdad L L ) ( ϕ) π ( L para toda la ) ( ϕ) L ( el térno frontero al nterar por parte no (π ) [0] Entonce el producto de la ncertdubre L ) y ( ϕ) puede er á pequeño que ( (9) Relacón de ncertdubre HRS varaconal En lo párrafo uente e tendrán en cuenta lo raonaento de ewtt (0 ) para llear a líte de edda de la teoría cuántca de la edcón copatble con la relacón de ncertdubre HRS pero con la oblacón de ntroducr ecano de copenacón de Bor y Roenfeld (3 3) aeno al foralo ateátco abtracto de la ecánca cuántca y propo olaente de un anál cláco de edcón Funconal de accón La ecuacone dnáca de todo tea fíco alado pueden dervare epre de un prncpo varaconal baado en la funconal de accón S la cual puede conderare coo una expreón copacta de toda la propedade dnáca del tea bao conderacón Típcaente la funconal de accón tene la etructura Pá de

12 donde dx dx µ µ y u dervada La ϕ x µ Se adopta tabén la notacón ϕ la ϕ Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) ϕ ϕ µ S L dx [] y L e la Laranana del tea; funcón real de un conunto de varable dnáca reale ϕ on funcone auda dferencable de un conunto de uno o á paráetro contínuo µ ν ν µ ϕ x x Cuando la x µ on coordenada del epaco-tepo on llaada varable de capo En tea con núero fnto de rado de lbertad en donde el tepo e un ple paráetro ϕ y x µ on reeplaada por q y t repectvaente La dervada funconal de S e S S ϕ ϕ dx [] donde S denota el cabo nfnteal en S debdo a un cabo nfnteal ϕ nteracón en [] e el o que en [] requréndoe que la ϕ Para la funconal de accón [] e tene que S L L ϕ ϕ ϕ µ µ [3] e anulen en la frontera en ϕ El dono de endo la nteracón por parte pertda pueto que la ϕ deaparecen en la frontera Ecuacone dnáca El coportaento dnáco del tea etá deternado por el prncpo etaconaro de accón el cual afra que lo etado fícaente aceptable para la varable dnáca on aquello en que la prera dervada funconale de la accón e anulan E decr S ϕ 0 o lo que e lo o S 0 [4] Cada dtnta olucón de [4] correponde a una tora dnáca cláca perble La dferencacón funconal coo la dferencacón ordnara e conutatva En partcular e tene que S S [5] Pequeña perturbacone Suponendo que el tea etudado tene un nuero fnto de rado de lbertad e reeplaarán la ϕ por la q y la x µ por t repectvaente Supónae aora que q y q q denoten olucone de la ecuacone dnáca [4] la cuale dferen nfntealente entre í Se obtene entonce que S [ q ] 0 y tabén Pá de

13 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) lo que plca [ ] S q q S [ q ] [ ] S q q 0 [ ] S q q 0 [6] la cantdad q e le puede llaar una pequeña perturbacón en el tea y la ecuacón [6] puede llaare ecuacón de pequeña perturbacone la cual e lneal y ooénea Ya que una pequeña perturbacón e uualente producda por alún aente externo débl actuando obre el tea y ya que un aente exteror débl puede decrbre por un cabo nfnteal S en la fora de la funconal de accón del tea e etá a enudo á ntereado en la ecuacón lneal no ooénea uente Se conderarán en partcular cabo de la fora [ ] S q q S [7] S r [8] donde r e certo obervable del tea y e una contante nfnteal E decr que fnalente e tene la ecuacón uente que ure de cobnar [7] con [8] [ ] S q q r 0 [9] cuya olucone dependen de la condcone de frontera adoptada Ecoendo condcone de frontera retardada la olucón q peranece nalterada ante del ntervalo de tepo nvolucrado en la defncón de r pero adquere un ncreento nfnteal q de allí en adelante La olucón que ncorpora la condcone de frontera etablecda e q r [0] donde e la funcón de reen retardada de S e decr con ndado por S k k endo la funcón delta de Kronecker y Que [0] e olucón de [9] e puede ver aí [ ] tanto r r [] 0 cuando t t k < endo t el ntante de tepo k k S q r r o ea r r y por lo En teoría Laranana S e un operador dferencal para el cual la condcón de conutatvdad [5] e una afracón de que ete operador e autoadunto tenendo eto coo conecuenca que donde e la funcón de reen avanada de S [] k Parénte de Poon Pá 3 de 3

14 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Cualquer obervable contrudo con la varable dnáca q ufrrá el cabo retardado expreado por E convenente ntroducr la uente notacón q r [3] [4] r l r 0 El parénte de Poon de do obervable r y puede defnre entonce coo ( r ) r r r r r r r e decr que ~ ~ donde ~ [5] ( r ) r ora por aruento de correpondenca e defne la rela de cuantacón endo [ r ˆ ] ( rˆ ˆ ) ˆ ( ) [6] rˆ y ˆ lo operadore cuyo análoo cláco on r y y ( rˆ ˆ ) e el operador cuyo análoo cláco e el parénte de Poon ( r ) Medcón de un obervable ndeternacone y ecano de copenacón Para acer una edda obre el tea e debe ntroducr un aparato y un acople apropado En auenca del acople la funconal de accón cobnada del tea y el aparato tendrá la fora S[ q ] [ Q ] donde [ Q ] e la funconal de accón del aparato y lo íbolo Q denotan u varable dnáca Se upondrá conocdo el etado ncal del aparato y de aquí la trayectora de él no etuvera acoplado al tea Eta trayectora etará dada por la funcone Q que atfacen la ecuacone dnáca [ ] Q 0 [7] La trayectora deconocda por lo eno parcalente del tea etá dada larente por la funcone deconocda q que atfacen la ecuacone [4] La ntroduccón del térno de acople en la funconal de accón total produce perturbacone en el tea y el aparato e decr devacone en la trayectora q ( t) y Q ( t) repectvaente Suponendo un térno de acople débl de la fora con repreentando un producto entre el obervable del tea y la varable del aparato o ea e puede ntroducr una expanón funconal de Taylor El cabo en la funconal de accón e S Σ S Σ [8] í denotando la trayectora perturbada del tea y del aparato por q q y Q Q repectvaente Pá 4 de 4

15 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) e tene que e decr que S S [ q q ] [ Q Q ] [ q q Q Q ] [ q q ] [ q q Q Q ] 0 S S q S k q q k q Q k 0 S q S k q q q Q [9] y larente e tene que de donde [ ] [ ] 0 S q q Q Q [ q q Q Q ] [ Q Q ] K Q K Q Q Q q K 0 Q K Q Q Q q [30] donde lo coefcente en la expanón e evalúan para la trayectora no perturbada La ecuacone [9] y [30] e pueden oluconar por teracón uendo que q y Q atfacen condcone de frontera retardada para [9] en el á bao orden de e tene q [3] donde e la funcón de reen retardada ntroducda en la ecuacón [0] Cuando e pequeña la ecuacón [3] da la contrbucón predonante a la perturbacón en el tea producda por el acople l calcular la perturbacón en el aparato debe tenere en cuenta tabén la perturbacón en el tea Por contenca e requere oluconar [30] ata el eundo orden en de donde y utlando la ecuacón [3] e tene Q q q Pá 5 de 5

16 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) ( ) Q [3] Sea aora un obervable arbtraro del aparato entonce el cabo retardado producdo por el acople e puede exprear coo y acendo e puede obtener que ( ) Obérvee que el térno Q ( ) [33] de donde [34] que debería abere ncludo en la defncón [33] no aparece pueto que e upone que el aparato e ucío á avo que el tea acendo eto que la expreone donde uran producto de la funcone de reen la cuale dependen nveraente de la aa del aparato puedan deprecare El obervable etá contrudo con la Q toada de un ntervalo de tepo en el futuro del ntervalo teporal aocado con la varable dnáca fuera de la cuale e contruye y por la condcón de funcón de reen retardada eto plca que y de aquí 0 [35] ( x ) [36] Para utfcar la expreón [36] e uen la palabra del o ewtt En u fora á ple la teoría de la edda condera un undo copueto de do entdade dnáca un tea y un aparato El papel del aparato e edr el valor de alún obervable ŝ del tea Para ete propóto lo do e deben acoplar en un certo ntervalo de tepo upueto fnto Suponendo prero que el tea y el aparato etán deacoplado e pueden exanar eparadaente Será la devacón en u coportaento al acoplare lo que conttuye la edda En la condcón deacoplada el tea e aoca con certa álebra de operadore ŝ y el aparato e aoca con otra álebra ndependente de operadore  El nfcado de la palabra ndependente y de aquí de deacoplado e que la do álebra conutan quí e un valor propo de ŝ y un valor propo de  ado entonce un tea y un aparato lo cuale cuando etán deacoplado e encuentran en un etado no correlaconado qué e puede decr acerca de ete etado cuando e actva el acople? l coparar lo etado acoplado y deacoplado del tea y el aparato e uarán condcone de frontera retardada S el operador correpondente a certo obervable (del tea o el aparato) e contruye de varable dnáca toada del ntervalo de tepo precedente al ntervalo de acople entonce ete operador (y de aquí el obervable en í) peranecerá nvarable por el acople e otra fora él ufrrá un cabo En partcular el obervable ŝ eneralente e perturbará Supona el operador del aparato  contrudo de varable dnáca toada del ntervalo de tepo en el futuro del ntervalo de acople En eneral e tranforará en un nuevo operador  cuando e actva el acople Coo el acople no Pá 6 de 6

17 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) etá actvo durante el ntervalo teporal aocado con  el tea y el aparato una ve á durante ete tepo erán dnácaente ndependente cada uno evoluconando n er perturbado por el otro Eto nfca que la varable dnáca de la cuale  etá contrudo atfacen exactaente la a ecuacone dnáca atfeca por la varable de la cuale  etá contrudo e decr lo do conunto de varable on equvalente o relaconado por una tranforacón untara En partcular  y  deben relaconare por ˆ exp[ ˆ ] ˆ exp[ ˆ ] donde ˆ e certo operador Herítco contrudo con la varable dnáca del tea y el aparato y e una contante de acople El obervable ŝ no perturbado del tea por otro lado no etará relaconado en eneral con u fora perturbada ŝ de la a fora Eto debdo a que la varable dnáca de la cuale ŝ depende pertenecen a un ntervalo teporal que eneralente concde con el ntervalo de acople pueto que el acople e deña precaente para edr ŝ El deño del acople etá obernado por la ecoenca de ˆ Se aurá que ˆ y  an do ecodo para atfacer la relacone de conutacón [ ˆ ˆ ] ˆ ( ) [ ˆ ˆ ] 0 Se encuentra entonce que ˆ ˆ ˆ Bao eta condcone el acople ˆ aeura una edda de ŝ y el reultado de la edda e alacena en el obervable  del aparato en vrtud de u tranforacón coo reultado del acople en el operador ˆ ˆ El obervable  conttuye aí una undad de eora en el aparato Nótee que una fora enclla de lorar la anterore relacone de conutacón e ecoer ˆ en la fora ˆ ~ ~ ~ ˆ donde e el operador del aparato canóncaente conuado con  ( ) tal que [ ˆ ] Obérvee tabén que el operador perturbado  del aparato depende del operador no perturbado ŝ del tea Eto nfca que el aparato uarda lo que el obervable del tea abría do n acople Eto por upueto e la eor clae de edda y uetra que no ay en prncpo ltacón en la precón con la cual un ple obervable de un tea puede deternare Solaente cuando e ntentan edr do obervable a la ve uren ltacone en la precón coo e verá á adelante La ecuacone [34] y [36] conducen al uente obervable del aparato perturbado o ea ( ) [37] Soluconando [37] para obtener el valor experental de e encuentra a partr de [34] y [36] que o ea ( ) [38] El cabo en conttuye un alacenaento en el aparato de nforacón concernente a Ya que el ntervalo teporal aocado con etá en el futuro del ntervalo de acople eta nforacón puede er leída en prncpo dede el aparato por otro aparato en un tepo poteror n afectar el tea E decr puede deternare con precón arbtrara y la precón con la cual e puede defnr dependería olaente de la precón con la cual la trayectora no perturbada uberan do conocda o ea el acople no ubera etado preente Se aurá que ólo depende de la varable del aparato Entonce la precón con la cual [38] deterna depende olaente de la precón con la cual la trayectora no perturbada del aparato e conocda Pá 7 de 7

18 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Pá 8 de 8 Recordando lo dco en lo párrafo nedataente anterore a [37] y denotando por y la ndeternacone en el conocento de y no perturbada el error cuadrátco edo en el valor experental de que eta ndeternacone eneran etá dado por y coo > y > e tene entonce que Fnalente [39] Se oberva de [39] que cuando la contante de acople e uy rande e rande debdo a la ndeternacón en la perturbacón producda en el tea Lo portante aquí e la ndeternacón en la perturbacón y no la

19 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) perturbacón en í la cual en prncpo podría er tenda en cuenta y copenare poterorente Cuando e uy pequeña de nuevo e rande a caua de la dfcultad en obtener un valor nfcatvo para opacada por la ndeternacón Para obtener el valor íno de [39] por varacón de e tene que allar prero u valor crítco y lueo probar que efectvaente e un íno E decr que d d 4 ( ) 0 Lueo Tabén d d ( ) crítco ( ) 6 crítco 3 > 0 Reeplaando entonce el valor de de donde crítco en [39] e obtene que ín o ( ) ( ) ín o [40] En fíca cláca y pueden en prncpo reducre tanto coo e deee n ebaro en fíca cuántca ella etán ltada por la relacón de ndeternacón HRS uente ( ) ( ) [4] Nótee que de aquí en adelante la boloía e refere a lo operadore aocado con u análoo cláco Pero ( ) y coo el obervable del aparato no depende de la varable q ( ) ( ) ( ) del tea e tene que 0 e decr ( ) ( ) y utlando fnalente la ecuacón [36] e obtene que ( ) [4] Reeplaando la ecuacón [4] en la expreón [4] y poterorente lo que reulte en [40] e obtene que ín o [43] Pá 9 de 9

20 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Coo toda referenca al aparato a deaparecdo la ecuacón [43] parece uerr que ay en fíca cuántca un líte fundaental en la precón con la cual el valor de cualquer obervable ple puede conocere (4) No obtante eto etá en flarante conflcto con el prncpo ben etablecdo de que el valor de cualquer obervable ple e deternable con precón arbtrara aún en fíca cuántca La fora de obrepaar eta dfcultad fue decuberta por Bor y Roenfeld (3) quene odfcaron el térno de acople entre el tea y el aparato nertando un térno adconal en la funconal de accón total endo tabén un térno de acople para edr precaente a tal que [8] e reeplaa por S Σ S Σ [44] E portante obervar en fora epeculatva qué ubera eco ewtt no ubera contado con el trabao de Bor y Roenfeld para ntroducr ete térno adconal y llear a partr de [44] a la olucón del problea dada por [54] Pobleente no abría avanado y abría etado de acuerdo con la concluone de Landau y Peerl (4) uerda por [43] El últo térno e llaado térno de copenacón y tene lo uente efecto de donde fnalente e tene En fora copletaente lar e obtene que S [ q q ] [ Q Q ] [ q q Q Q ] ( ) S [ q q ] [ q q Q Q ] 0 ( ) S S q k S k q q q Q ( ) q Q ( ) 0 S q k S k q q q Q ( ) q ( ) Q [45] 0 S [ q q ] [ Q Q ] [ q q Q Q ] ( ) [ Q Q ] [ q q Q Q ] Q K Q Q K Pá 0 de 0

21 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Pá de q Q q de donde fnalente e obtene 0 Q K K Q Q q Q q [46] La olucón de [45] e en el orden á bao de aproxacón q [47] y la olucón de [46] e tabén en el orden á bao de aproxacón Q [48] la cual e puede tranforar coo Q q q abendo utlado la ecuacón [47] ora ben Q e utla la ecuacón [] Contnuando e obtene que Q o ea Q ~ [49] Entonce Q ~ ~

22 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) Pá de de donde fnalente e obtene que [50] S e obervan lo pao anterore a la fórula [50] e puede etablecer la uente relacón de donde ~ [5] donde e an utlado la expreone [] [5] y [36] El térno de acople e a ecodo precaente para edr lo que plca que y deben conutar o ea 0 [5] obtenéndoe entonce que [53] y de aquí ; [54] Con la ntroduccón del térno de copenacón la ndeternacón puede acere arbtraraente pequeña ya ea toando ufcenteente rande pero no tan rande coo para retener lo térno de orden uperor en la expanone funconale de Taylor [45] y [46] o acendo ufcenteente pequeña a travé de una ecoenca

23 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) rande para la aa del aparato E entonce eor autar en ve de pero e podría alcanar el líte donde lo efecto ravtaconale del aparato nvaldarían la aproxacón de acople débl Medcón de do obervable La extenón del anál de ewtt a la edda de do obervable r y de un tea e planteará n lo detalle del cálculo ya que eto e loran de anera á extena pero lar a lo ya planteado La edda en cuetón e ntenta obvaente a travé de un acople de la fora ( Y ) ( )( Y ) ( Y ) Y ( Y Y Y Y ) [55] en el cual un térno de copenacón tpo Bor y Roenfeld a do aderdo Se requere tabén que e Y atfaan la relacone ( r) 0 [56] ( Y ) 0 [57] ( ) r [58] Y B ( Y B) [59] B ( B) 0 [60] Y ( Y ) 0 [6] donde y B on lo obervable del aparato que alacenan la obervacone de r y repectvaente y lo parénte de Poon etán evaluado en la trayectora no perturbada Se notará que un térno copleto de copenacón para Y e equvalente a la adcón de térno ndvduale de copenacón para e Y eparadaente unto con otro térno ( Y Y ) el cual puede llaare térno de correlacón parte de la ecuacone [56] [57] [58] [59] [60] y [6] y B deben cuplr B 0 [6] B Toda eta ecuacone unta exprean el eco de que y B deben er cantdade dnácaente ndependente y que u edda deben er operacone ndependente una de otra en lo poble tal que cualquer nterferenca que apareca entre la edda de r y no ura de lo proceo de retro en el aparato no de la propedade dnáca del ólo tea ebe notare que no e puede eperar que lo parénte de Poon ( ) y ( Y r) anulen a eno que ( r ) 0 ya que eto contradría la relacone ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) ( r) [63] Se puede n ebaro requerr que ( B ( Y r) ) ( Y ( r B) ) ( r ( B Y) ) ( r ) [64] (( ) ( Y r) ) e 0 [65] coo puede vere acendo la ecoenca epecale r Y Y [66] donde e Y on obervable del aparato que atfacen ( ) ( Y B ) ( ) [67] Y Y 0 [68] Por edo de una ere de pao análoo a lo realado en la eccón anteror e relatvaente fácl verfcar que el acople [55] produce la uente perturbacone en y B ( Y ) ( Y ( Y ) ) r ( Y r) [69] Pá 3 de 3

24 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) B ( Y B) ( Y ( Y B) ) ( ) [70] correcta ata el eundo orden en Soluconando eta ecuacone para lo valore experentale de r y e encuentra que r ( Y r) [7] B ( ) [7] la cuale conllevan a la relacone de ndeternacón ( r) [ ( Y r) ] [73] 4 ( B) [ ( ) ] [74] 4 Multplcando eta do ecuacone y allando el valor íno del producto de la ndeternacone r y el valor de la contante de acople e 4 4B crítca [75] ( Y r) ( ) En ete valor e obtene que ( r) ín o [ ( ) B( Y r) ] [76] Y r dependerán déblente de la Bao la eore crcuntanca anable lo parénte de Poon ( ) y trayectora del tea tal que la ndeternacone ( ) y ( Y r) urrán bácaente de la precón en el conocento de la trayectora del aparato plcando la fora cuacláca de la relacón de ndeternacón HRS a eta ndeternacone y acendo uo de la ecuacone [63] y [64] e encuentra que y por lo tanto ( ) r B( Y r) r ( r) ín o [77] r [78] E decr e a obtendo de nuevo la relacón de ncertdubre HRS pero con aruento de teoría cuántca de la edcón S el térno de correlacón ( Y ) e otdo del acople entonce la deualdad [78] e tranfora en la deualdad á débl r ) ín o ( r ) ( Y r La ecuacón [78] repreenta lo eor que e puede acer El reultado [78] conttuye una prueba de la contenca entre el foralo ecánco-cuántco expreado en relacone de ncertdubre y la teoría cuántca de la edcón S la relacone cuántca de ncertdubre e cuplen para el aparato ella entonce e propaan nedataente a todo el tea que nteractúe con él La precón con la cual e pueden acer edda utuaente relaconada a cualquer nvel e tan buena pero no eor que lo pertdo por la relacone de ncertdubre cuántca E por eto que coo olucón Pá 4 de 4

25 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) a la paradoa ateátca encontrada en óptca cuántca e prefere defnr de otra anera lo operadore N ϕ y (6 8 9) en ve de tratar de cabar la relacón de ncertdubre HRS (5 7) L Tercer eeplo Recuérdee que e cuple la relacón N ϕ ϕ N la cual plca que ( N) ( ϕ) [79] Problea lare a lo encontrado en el eeplo anteror para el preente cao pueden vere en la referenca (7) Cuando ( N) e ace uy pequeña ( ϕ) debe crecer á que π lo cual no tene entdo fíco Para el lector ntereado en á detalle tórco y técnco de la paradoa ateátca en óptca cuántca y u poble olucone e recoenda leer la referenca (5) (6) (7) (8) y (9) REFERENCS Rctyer R ; Prncple of dvanced Mateatcal Pyc Sprner Verla Berln 978 elbau B R and Olted M H; Counterexaple n naly Holden-ay San Francco Boolubov N N Lounov and Todorov T; ntroducton to xoatc Quantu Feld Teory Mateatcal Pyc Monorap Sere Vol 8 Benan/Cun Publ Co Readn Re F and S-Nay B; Functonal naly Frederck Unar Publ Co New York Krey E; ntroductory Functonal naly wt pplcaton Wley Clac Lbrary Edton on Wley New York Bereank M; Expanon n Eenfuncton of Selfadont Operator Tralaton of Mateatcal Monorap Vol 7 ercan Mateatcal Socety Provdence Carruter P and Neto M M; Pae and nle Varable n Quantu Mecanc Rev Mod Py 40 pp ubn Hennn M and St T B; Quantaton and Pae-Conceptual and Mateatcal pect Cabrde Unverty Pre Cabrde ere F; LNL e-prnt quant-p/ (v 00) 0 von Neuann ; Mateatcal Foundaton of Quantu Mecanc Prnceton Unverty Pre Prnceton 955 Saavedra L P; P te Unverdad del Valle Facultad de Cenca epartaento de Fíca 000 Saavedra L P; Feynan Retrcted nteral n te Meaureent Lt of Electroanetc and ravtatonal Feld Revta Epcclo Vol No p Saavedra L P; Foral Peudorealtc Meaureent of Electroanetc Feld Uncertanty Relaton 9 t nternatonal Conference on Squeeed State and Uncertanty Relaton Beançon France -6 May 005 nternatonal ournal of Modern Pyc B Vol 0 No -3 p Téore Quantque de Cap Captre Captre V Captre V 994: ttp://wwwncunv-par7fr/alan/ 5 Coen-Tannoud C u B and Laloë F; Quantu Mecanc Vol copléent on Wley and on Mea ; Quantu Mecanc Vol capter V and V over Publcaton nc ude ; On te Uncertanty Relaton for L and ϕ Py Lett 5 p Krau K; Reark on te Uncertanty Between nle and nular Moentu Z Py 88 p alndo and Pacual P; Quantu Mecanc Vol and Sprner Verla 990 and 99 Pá 5 de 5

26 Luí Pedraa / Me Enc Nal Ópt & CNCO (008) 0 ewtt B; nt our Mod Py 3 No p ewtt B; Te lobal pproac to Quantu Feld Teory capter and Oxford Unverty Pre 003 ewtt B; n Scence and Ultate Realty ed by Barrow et al Cabrde Unverty Pre p Bor N and Roenfeld L; Mat-fy Medd an Vd Selk No 8 p Enl tranlaton n Quantu Teory and Meaureent ed by Weeler and W H Zurek Prnceton Unverty Pre p Landau L and Peerl R; Z Py 69 p Enl tranlaton n Quantu Teory and Meaureent ed by Weeler and W H Zurek Prnceton Unverty Pre p Uffnk ; P te Meaure of Uncertanty and te Uncertanty Prncple Unverty of Utrect 990: ttp://wwwpyuunl//o/ 6 Neto M M; LNL e-prnt ep-t/ (993) 7 Uffnk ; Two New Knd of Uncertanty Relaton 994: ttp://wwwpyuunl//o/ 8 ötte B Zabrn R Franke-rnold S and Barnett S M; LNL e-prnt quant-p/ (V 005) 9 ötte B Zabrn R Readore P M and Barnett S M; LNL e-prnt quant-p/05077 (V 006) Pá 6 de 6