REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

Transcripción

1 REGRESIÓ CORRELACIÓ Método Etadítco Aplcado a la Audtoría Socolaborale Francco Álvarez González francco.alvarez@uca.e DISTRIBUCIOES BIVARIATES El etudo de la relacón etente entre do varable e conduce a la conderacón multánea de amba varable etadítca. Tal dtrbucón de la do varable e denomna bvarante. La preentacón de lo dato epermentalmente obervado puede hacere : a) Medante lo pare (, ) : ( 1, 1 ), (, ), ( 3, 3 ),... b) Tabla mple de frecuenca : c) Tabla de frecuenca de doble entrada : n 1 1 n m n 1 n 11 n 1... n 1m n 1 n... n m n n n n n n n1 n n... n nm Dtrbucone margnale : Son la obtenda de la dtrbucón bvarante, al conderar de forma ndependente cada una de la do varable. De ella obtendremo lo parámetro de centralzacón dperón caracterítco : meda devacón típca.,,,,, Covaranza : Ete índce de varacón conjunta de e e defne como : n. ( )(. ) n... nj. ( )(. j ) nj.. j j j para tabla mple de frecuenca. entrada. S 0 epreará que la varable e on ndependente. RECTAS DE REGRESIÓ para tabla de frecuenca de doble Repreentando lo pare de obervacone (,) como punto en un plano carteano, obtenemo el denomnado dagrama de dperón o nube de punto. Por recta de regreón o de ajute entendemo la recta que má e aproma a lo punto repreentatvo de la obervacone (,). El método de lo mínmo cuadrado proporcona un tema de obtencón de tale recta, etablecendo que ea mínma la uma de lo cuadrado de la eparacone etente entre cada punto la recta. Según e conderen eta eparacone en vertcal (lo repreentado en la fgura) o en horzontal, e obtenen, repectvamente, la recta de regreón de obre de obre. Regreón correlacón (F. Álvarez) - 1

2 RECTA DE REGRESIÓ DE SOBRE ' a + b. a ordenada en el orgen b coefcente de regreón de obre pendente de la recta de regreón tangente del ángulo que forma con el eje horzontal. ' predccone de para el valor obervado. Lo coefcente a b de la recta de regreón de obre e obtenen reolvendo el tema : a. a. f. + + b b.. n. n. n. n.. el cuál tene como olucón : b a b. RECTA DE REGRESIÓ DE SOBRE ' a' + b'. a' ordenada en el orgen b' coefcente de regreón de obre pendente de la recta de regreón. ' predccone de para el valor obervado. Lo coefcente a' b' de la recta de regreón de obre e obtenen gualmente al reolver : o drectamente : a'. a'. f. + + b b'. '. n. n. b' a' b'. n. n.. Otro procedmento de cálculo mplfcado permte obtener lo coefcente de regreón del guente modo :. b.. ( )(. ) ( ). b '.. ( )(. ) ( ) S utlzamo puntuacone dferencale :, la recta de regreón perden el térmno ndependente (ordenada en el orgen a a' ) al er la meda nula, endo u epreón : ' b. ' b'. COEFICIETE DE CORRELACIÓ DE PEARSO La recta de regreón e la que paa má cerca de la obervacone, pero no no ndca paa mu cerca o no de ella. Hemo de defnr una medda del grado de aocacón o relacón entre amba varable, lo cuál, en térmno de recta de ajute, ndcará la bondad de la mma. Tal coefcente e denomna coefcente de correlacón, defndo por Pearon del guente modo : r b. b' a que : r b. b'.... Según la epreone fnale obtenda para b b', podemo tambén calcularlo como : r.. ( )(. ) ( ).. [. ][ ( ) ] La epreón conduce a la guente relacone (n má que multplcar dvdr por o por ) : r b r b. '. De aquí reulta que, e trabaja con puntuacone tpfcada (la devacone típca on guale a 1) : r b b' la recta de regreón on : z' r.z' ; z' r.z' El coefcente de correlacón toma empre valore comprenddo entre -1 1 : -1 r 1 - Regreón correlacón (F. Álvarez)

3 Interpretacón : r Aocacón de la varable Bondad del ajute prómo a 0 Varable ndependente o no relaconada Mala recta de ajute. o paa cerca de la lnealmente obervacone. prómo a 1 Varable relaconada drectamente (cuando una Buena recta de ajute. Crecente (pendente b aumenta la otra tambén) b' potva) prómo a -1 Varable relaconada nveramente (cuando una Buena recta de ajute. Decrecente (pendente aumenta la otra dmnue) b b' negatva) CURVA DE REGRESIÓ DE LA MEDIA Ete método e aplcable cuando una de la do varable (o la do) contene un bajo número de valore dtnto. Curva de regreón de la meda de condconada a : El procedmento conte en uttur todo lo pare de obervacone que tenen el mmo valor de por un únco par que tene por componente dcho valor de la meda de lo valore de. De gual modo puede etablecere la curva de regreón de la meda de condconada a. Aí, por ejemplo, la fgura muetra lo pare guente: 1 : (1,1), (1,3) uttudo por el par (1,), al er la meda de 1 3. : (,1), (,4), (,) uttudo por el par (,3'33), al er 3'33 la meda de 1, etc... Con lo pare (1,), (,3'33),... obtenemo la recta de regreón por el procedmento a decrto. Razón de correlacón : 1 n. η 1. Toma valore comprenddo entre 0 1 empre verfca que η r (rcoef. de correlacón lneal). La relacón entre la varable, erá de tpo lneal, cuanto má prómo ea η a r. OTROS PROCEDIMIETOS DE CÁLCULO DEL COEFICIETE DE CORRELACIÓ r Coefcente de correlacón ϕ (ph) : El guente procedmento e puede utlzar cuando la do varable e on dcotómca. 1 0 Agnemo lo valore 0 1 a amba varable realcemo el recuento 1 a b repreentado en la tabla de la zquerda. 0 c d El coefcente de correlacón ϕ toma el valor : ϕ Coefcente de correlacón beral puntual r bp : ad bc ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) El guente procedmento e puede utlzar cuando una varable e contnua la otra dcotómca. Supueta contnua : r bp 1 0. pq. Sendo : 1 la meda de lo valore de que e correponden con un 1 en. 0 la meda de lo valore de que e correponden con un 0 en. la devacón típca de (conderado u valore globalmente). p la proporcón de uno en. q1-p la proporcón de cero en. Coefcente de correlacón por rango de Spearman ρ : El guente procedmento e puede utlzar cuando la do varable on ordnale (reordenacone de una ere de elemento). 6. d ρ 1. ( 1) Sendo d la dferenca entre lo valore de e. Regreón correlacón (F. Álvarez) - 3

4 Lo coefcente de correlacón anterore no on má que una adaptacón del coefcente de correlacón de Pearon para tpo epecale de varable. En conecuenca, u valor concde con el que habríamo obtendo guendo el procedmento de Pearon (r); por ello, u nterpretacón e la etablecda para r. OTROS COEFICIETES DE CORRELACIÓ O BASADOS E EL PEARSO Coefcente de correlacón tetracórca: Puede utlzare cuando amba varable on contnua, pero amba pueden dcotomzare artfcalmente. 1 0 Agnemo lo valore 0 1 a amba varable realcemo el recuento que e 1 a b repreenta en la tabla de la zquerda. 0 c d A) Método abrevado (apromado) : 1º Calculamo lo producto : a.d b.c. º S a.d > b.c, calculamo el cocente : C a.d / b.c (el coefcente de correlacón erá potvo) 3º S a.d < b.c, calculamo el cocente : C b.c / a.d (el coefcente de correlacón erá negatvo) 4º Conultando la tabla de cálculo del coefcente de correlacón tetracórco, localzamo el cocente C en el ntervalo que lo contene (con etremo A B). A u derecha encontramo el coefcente de correlacón tetracórco (r t ), como un valor numérco (n) má R. De aquí : rt n+ R con: C A R 100. ( B A) B) Método eacto : El coefcente de correlacón tetracórco r t erá el reultado de reolver la guente ecuacón : 3 r z z r t rt 3 3 rt ad. bc. t +. '. + ( z 1).( z' 1). + ( z 3z).( z' 3z' ). +...! 3! 4! n. f( z). f( z') Como e lógco, la maor eacttud en el cálculo r t, e obtene al conderar un maor número de umando del dearrollo en ere anteror. Eta dfcultad aconeja egur el método abrevado decrto anterormente. En la ecuacón que permte calcular r t : z valor de la curva normal tpfcada (0,1), que deja a u derecha un área m, gual a la menor de la cantdade (a+c)/n o (b+d)/n. z' valor de la curva normal tpfcada (0,1), que deja a u derecha un área m, gual a la menor de la cantdade (a+b)/n o (c+d)/n. f(z) f(z') ordenada de la curva normal, correpondente a lo valore z z' anterore. Tabulada para cada m. Coefcente de correlacón beral r b : Puede utlzare cuando amba varable on contnua, pero una de ella puede dcotomzare artfcalmente. Supueta contnua dcotomzada (valore 1 0), el coefcente de correlacón beral e calcula del modo guente : r b 1 0. pq. f( z) La ordenada f(z) : Sendo : 1 la meda de lo valore de que e correponden con un 1 en. 0 la meda de lo valore de que e correponden con un 0 en. la devacón típca de (conderado u valore globalmente). p la proporcón de uno en. q1-p la proporcón de cero en. z el valor normal tpfcado ((0,1)) que deja a u derecha (o a u zquerda) el área p. f(z) la ordenada correpondente a z en la curva normal. OTA : 4 Lo cálculo de z f(z) no e preco realzarlo a que, para cada valor de la probabldad p (o q ndtntamente), e encuentran tabulado lo valore de p.q/f(z). 4 - Regreón correlacón (F. Álvarez)

5 Coefcente de correlacón τ (tau) de Kendall : Como el de rango de Spearman, ete coefcente e aplcable cuando la do varable on ordnale (reordenacone de una ere de elemento). Procedmento de cálculo : a) Reordenamo lo pare de obervacone de modo que la varable (prmer elemento del par) quede en orden acendente. b) Comparamo cada valor de con lo guente, contando una permanenca < una nverón >. τ p n.( n 1) Sendo : n el número de pare de valore (, ) p el número total de "permanenca" el número total de "nverone" Utlzacón e nterpretacón de lo coefcente etudado en ete epígrafe: Lo coefcente tetracórco beral parten de varable contnua que pueden dcotomzare (amba o ólo una). Para u aplcacón rguroa e necearo que : 1. la dtrbucón de la varable o varable conderada contnua debe er "normal".. la relacón que uponemo ete entre amba varable e de tpo "lneal". Su valore no tenen porqué concdr con el del coefcente de correlacón de Pearon, ben verfcan la mma propedade que éte. E decr : Lo coefcente tetracórco τ toman valore comprenddo entre -1 1 : -1 coefcente 1. El coefcente beral puede er maor que 1 menor que -1. En valor aboluto, erá maor que el beral puntual. Valore prómo a cero mplcan falta de relacón entre la varable (ndependenca). FUETES DE VARIAZA E LA CORRELACIÓ Epreemo la devacón de repecto de u meda como : ( ') ( ) ( ') + ( ' ) e el error cometdo en la predccón. Repreenta la porcón de nformacón no aocada a. ( ' ) repreenta, en conecuenca, la nformacón aocada a. En térmno de varanza : ( ) ( ') + ( ' ) ( ) ( ) ' + ( ' ) Varanza total Varanza no eplcada por (varanza de lo errore o redual) Varanza eplcada por Dvdendo lo umando anterore por la varanza de obtendremo la proporcón de varanza de no eplcada eplcada por la varable. La manpulacón de eta operacón conduce a la epreone defncone guente : ( ) ( ) Varanza de la predccone ' ( ') ( ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ') ( ) r ' Proporcón de varanza de la predccone ' Proporcón de varanza eplcada por r Coefcente de determnacón ( R ) Proporcón de varanza no eplcada por 1 - r Varanza de lo errore o redual e. ' r ( ') ( ) ( '). ( ) La raíz cuadrada de la varanza redual e denomna error típco de la predccón : 1 r IMPORTATE : Oberve lo dferente gnfcado e nterpretacone de r... ( r ).1 Regreón correlacón (F. Álvarez) -

6 FORMULARIO - RESUME DEL TEMA n. n. n. n. n... Recta de regreón de obre (puntuacone drecta) ' a+ b. Predccone : ' Recta de regreón de obre (puntuacone drecta) ' a' + b'. Predccone : ' a. a'. a. a'. n. n b b. b b'.. '. n. n. n. n. n. n.. n. n.. b a b. b' a' b'. Coefcente de correlacón (de Pearon equvalente) : Pearon Phí Beral puntual Rango de Spearman r b. b'. r b. b'. ϕ ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) Coefcente de correlacón no baado en el de Pearon : r bp 1 0 pq.. ρ 6. d 1. ( 1) Tetracórco Beral Tau de Kendall (Tabulado) 1 pq C A rb 0. p. τ : f( z) n.( n 1) rt n+ R con R 100. ( B A) Puntuacone drecta (,) ' a + b. Puntuacone dferencale (d d, ) d 0, d 0,,, d d dd (a 0 ; b e mantene) Puntuacone tpfcada z z, z 0, z 0 z 1, z 1, zz r. r. d (a 0 ; b r) ' b. d z ' r. z Relacón fundamental : Varanza de Varanza redual (de errore) + Varanza de la predccone. 6 - Regreón correlacón (F. Álvarez) e + ' Varanza de la predccone : ( ' ) Proporcón de varanza eplcada o aocada a la regreón, o proporcón de varanza de la predccone, o coefcente de determnacón : ' ' r

7 Varanza de lo errore (o redual) : ( ' ) Error típco de la predccón (raíz de la varanza de lo errore): Proporcón de varanza no eplcada o no aocada a la regreón, o proporcón de varanza de lo errore : Sgno de b gno de b gno de r gno de la covaranza e r e 1 r r 0 aboluta ndependenca -1 r 1 r 1 o r -1 aboluta dependenca (drecta o 0 r 1 nvera) ( 1 r ) Regreón correlacón (F. Álvarez) - 7

8 EJERCICIOS RESUELTOS 1 La tabla guente contene lo reultado de la calfcacone en Matemátca () Lengua () de un grupo de 40 alumno de Secundara. n a) Obtenga la recta de regreón de obre. 3 b) Obtenga la recta de regreón de obre. 1 c) Calcule e nterprete el coefcente de correlacón lneal d) Obtenga el error típco de la predccón. 6 7 e) Qué proporcón de varanza de no queda eplcada por? Tabla de cálculo : n n. n. n. n. n a) Recta de regreón de obre ' 9 ' ( )(. ) b 0' ( ) a b. ' 9 0' 711. ' 3 ' 1436 b) Recta de regreón de obre... ( )(. ) b' ( ) a' b'. ' 3 0' ' 9 0' Regreón correlacón (F. Álvarez) c) Coefcente de correlacón de Pearon. Conocdo lo coefcente de regreón puede calculare como : 0'96 Recta de regreón de obre : ' ' '711. Recta de regreón de obre : ' -0' '9633. r b. b' 0' ' ' 879 Ete una elevada relacón entre la calfcacone en Matemátca Lengua. Dcha relacón e potva (drecta); e decr, alumno con alta calfcacone en Matemátca e correponden con alta calfcacone en Lengua, a la nvera. Podemo afrmar que la recta de regreón obtenda on buena recta de ajute. E decr, eprean con una elevada apromacón la relacón matemátca (lneal) etente entre la calfcacone en Matemátca Lengua. d) Error típco de la predccón. n r 1' ' 879 0' 6864 Calculada la varanza de : '9 1' 497

9 e) Proporcón de varanza no eplcada por. La proporcona : 1 - r 1-0'879 0'3146. E decr el 31'46%. De la dtrbucón bvarante guente : a) Obtenga la recta de regreón de obre. b) Obtenga la recta de regreón de obre. c) Calcule e nterprete el coefcente de correlacón lneal. d) Calcule u varanza redual. e) Calcule e nterprete el coefcente de determnacón. Obtenemo la dtrbucone margnale de de totalzando la frecuenca en fla columna : 0 1 Σ Σ n n. n. n n. n La uma de lo producto de por hemo de obtenerla drectamente de la tabla proporconada :. nj.. j j Como puede obervare, ólo realzamo lo producto correpondente a frecuenca valore de varable no nulo Utlcemo la meda varanza de e, aí como la covaranza, en lo cálculo olctado ' ' ' 1739 ' 404 0' ' nj.. j j. 8 3 Covaranza.. 4' '8696 1' 1078 a) Recta de regreón de obre : b 1' ' 4607 a b. 0' 8696 ( 0' 4607). 4' 1739 ' 79 ' 404 ' '79-0'4607. b) Recta de regreón de obre : ' b' ' 007 a' b'. 4' 1739 ( ' 007). 0' 8696 ' ' 48 ' ' '007. c) Coefcente de correlacón : b. b' 0'4607. '007 ± 0' Utlzando la epreón r ( )( ) 9648 podemo tener duda en cuanto al gno del coefcente de correlacón. Ete gno e el de b b', a que e el que proporcona la covaranza. 1' 1078 Calculado como r 0' 9648 no e planteará tal dfcultad.. ' ' 486 Regreón correlacón (F. Álvarez) - 9

10 d) Varanza redual :.1 r e. e) Coefcente de determnacón : ( ) 0'48.1 ( ( 0'9648) ) 0' 0379 E el cuadrado del coefcente de correlacón, repreentando la proporcón de varanza eplcada por la varable (en el ajute de obre ). R r ( 0'9648) 0' 9309 La varable eplca el 93'09% de la varanza de. Sólo el 6'91% no e atrbuble a. 3 De la guente dtrbucón bvarante : [0,1) [1,) [,3] a) Calcule e nterprete el valor de la covaranza. b) Obtenga la recta de regreón de obre. c) Obtenga la recta de regreón de obre. d) Calcule el coefcente de correlacón lneal el de determnacón. e) De la varanza total de, determne la proporcón atrbuble a la varable. Totalzando fla columna obtendremo la dtrbucone margnale de e : 10 - Regreón correlacón (F. Álvarez) 0' 1' ' n n. n. n n. n ' ' 1' ' 10 1 ' ' 1' 31' n ' +..1' + 1..' ' ' ' ' +.4.1' ' 90 a) Covaranza : j j j ' 0 0 nj.. j j Covaranza.. 3.1' 4' 4' 0 Interpretacón : La varable on ndependente. Sendo nula la covaranza, tambén lo erán lo coefcente de regreón, el coefcente de correlacón el de determnacón, dado que en u cálculo ntervene la covaranza en el numerador. Al er nulo lo coefcente de regreón, a concdrá con la meda de a' con la de. b) Recta de regreón de obre : 0 b 0 a b. 1' ' ' 1' c) Recta de regreón de obre : 0 b' 0 a' b' ' 3 ' 3

11 d) Coefcente de correlacón de determnacón : Como e ndcó en el apartado a), al er nula la covaranza, ambo coefcente tambén lo on : 0 r b. b' r 0 R r 0.. e) Proporcón de varanza eplcada por : Proporcón de varanza eplcada por r Coefcente de determnacón 0 4 Se deea etudar la relacón entre la calfcacone obtenda en un tet (puntuado de 0 a ) el eo del alumno que lo realza. Lo reultado obervado fueron : Tet Seo º de alumno 1 Varón 3 1 Hembra 1 Varón Hembra 4 3 Varón 3 4 Hembra 4 Varón 1 Hembra 1 Varón a) Mda el grado de aocacón etente entre la do varable medante el coefcente má adecuado. b) Calcule el coefcente de correlacón de Pearon compare u valor con el calculado en el apartado anteror. a) Sendo dcotómca la egunda varable, calcularemo el coefcente de correlacón beral puntual : Denomnando a la varable eo (agnamo : 1Hombre ; 0Mujer) a la varable puntuacón en el tet, procederemo a lo cálculo necearo para u obtencón. Ello no conduce a calcular la meda de lo valore de que e correponden con un 1 con un 0 en ( 1 0 ) de forma eparada, aí como la devacón típca de. La guente tabla facltan nuetra operacone : n n. n. 1 n n. 1 0 n n q p ' ' 0909 p 0 ' q 0 ' 1 p ' 9091 ' ' ' ' ' 773 3' 0909 Con eto : rbp. pq.. 00 '. ' 0131 ' 1' 343 b) Coefcente de correlacón de Pearon : El propóto de ete apartado no e otro que comprobar que efectvamente concden lo coefcente de correlacón de Pearon beral puntual. Calculemo la meda devacón típca de, aí como la covaranza: Regreón correlacón (F. Álvarez) - 11

12 n f. n. n ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 30 r 0' 0909 ' ' 0' ' 131 1' ' La guente tabla no muetra la dtrbucón por eo de un grupo de 167 perona, ndcando fuman o no. Fuma o fuma Hombre 8 1 Mujer a) Calcule el coefcente de má adecuado para medr el grado de aocacón etente entre el eo el er o no fumador. b) Calcule el coefcente de correlacón de Pearon compare u valor con el calculado en el apartado anteror. a) La do varable on dcotómca. El coefcente epecífco para eta tuacón e el coefcente de correlacón ϕ (ph). Dpueta la tabla como gue (totalzando fla columna) obtenemo : 1 (Fuma) 0 (o fuma) 1 (Hombre) a 8 b (Mujer) c 10 d ϕ ad bc ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) b) Coefcente de correlacón de Pearon : ' n n. n. n. n. n ' 808 0' 808 0' ' 43 0' ' r 0' ' ' 689 0' ' 7307 '. ' Concdente con el calculado en el apartado anteror, como era de eperar. 1 - Regreón correlacón (F. Álvarez)

13 6 Doce atleta (A, B, C,..., L) partcpan en una carrera de 100 metro en otra de lanzamento de peo. La clafcacone en dcha prueba fueron : 100 metro : A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L Peo : K, I, J, L, G, H, F, D, E, B, C, A a) Determne la relacón etente entre la do clafcacone en la prueba decrta, medante el coefcente má adecuado. b) Calcule el coefcente de correlacón de Pearon compare u valor con el calculado en el apartado anteror. o encontramo ante do reordenacone dtnta de lo 1 ndvduo. Calcularemo pue el coefcente de correlacón por el método de lo rango de Spearman. a) Coefcente de correlacón ρ : 6. d ' ρ (Ver tabla guente) ( ) ( ) A contnuacón e ofrecen la tabla aulare de cálculo de ρ r, calculado para comprobar que concden. Para el cálculo de ρ Para el cálculo de r d d b) Coefcente de correlacón de Pearon : ' 6' 11' ' ' ' 6' 11' ' ' r 11' '. ' ' 0' ' 41. 3' 41 En efecto concden lo coefcente de correlacón obtendo por lo do método. Su alto valor negatvo (prómo a -1) no ndca que ete una fuerte relacón entre la do clafcacone en la prueba atlétca, quedando mejor clafcado en una lo peor clafcado en la otra. 7 De lo archvo de la Dreccón provncal de Tráfco e han elecconado lo epedente de 64 conductore, realzando el guente recuento en funcón del eo (M mujer ; H hombre) el número de multa mpueta durante el últmo año. Seo M H º de multa en el últmo año Qué concluón puede deducre acerca de la relacón etente entre eo número de denunca?. Utlce para ello el índce de aocacón má apropado. Al er dcotómca la varable eo, obtendremo el coefcente de correlacón beral puntual : Regreón correlacón (F. Álvarez) - 13

14 1 0 M 1 H 0 n n. n. n. 1 n ' ' 1 p 0' 37 q 0' 6 1 p ' ' ' ' ' ' 0833 ' 1 Con eto : rbp. pq.. 0' 37. 0' 6 0' 831 1' 771 E decr ete una fuerte relacón, de entdo nvero, entre amba varable. Algo que podía advertre al analzar el recuento de la obervacone. 8 Para analzar ete o no relacón entre la calfcacone en matera centífca la del área lterara, elecconamo ocho alumno a lo que ometemo a do prueba (una de cada área). Clafcado por orden de puntuacón reultó : Alumno P. Centífca 3º 6º 7º 1º º 8º º 4º P. Lterara 3º º 7º 4º 1º 8º º 6º Utlzando el índce adecuado etablezca el grado de relacón que ete entre la calfcacone de dcha área de conocmento. Calcularemo el coefcente de correlacón ρ (rango de Spearman) al preentare do varable ordnale (do reordenacone de lo 8 alumno). Denomnamo e a la varable que proporconan, repectvamente, la clafcacone en la prueba centífca en la lterara. Ordenada la prmera, calculemo u dferenca : d d Con ello : 6. d 6.4 ρ 1 1. ( 1) 8. ( 8 1) 0'7143 E decr, ete una alta relacón entre la calfcacone. Generalmente un alumno con alta calfcacone en el área centífca tendrá alta calfcacone en el área de conocmento lteraro Regreón correlacón (F. Álvarez)

15 9 Un grupo de COU ntegran 17 alumno de Cenca 14 de Letra. De ello repten curo 16 de Cenca ólo de Letra. Calcule el coefcente de correlacón má adecuado para medr el grado de aocacón etente entre la varable decrta. Se trata de analzar la relacón que puede etr entre la epecaldad (Cenca o Letra) el er repetdor o no erlo. Sendo la do varable dcotómca, calculamo el coefcente de correlacón ϕ (ph). Dpueta la tabla como gue (totalzando fla columna) obtenemo : 1 (Repte) 0 (o repte) 1 (Cenca) a 16 b (Letra) c d ad bc ϕ 0' ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) alta relacón entre la varable. 10 Se omete a 10 alumno a do tet dferente encamnado a medr u percepcón vual. Lo reultado fueron lo guente : Tet A Tet B a) Obtenga la ecuacone de la recta de regreón del tet A obre el B, en puntuacone drecta, dferencale típca. b) Determne la proporcón de varanza redual que e preenta en dcho ajute. Denomnando a la puntuacone en el tet A (varable dependente en el ajute) a la correpondente al tet B, procedemo a realzar lo cálculo necearo : r.. b ( )(. ) ( ) ' a b. b. 1' ' ( )(. ) [. ( ) ] ( ) a) Recta de regreón : [ ] ( )( ) 1º.- En puntuacone drecta : ' a + b. ' 0' '0809. º.- En puntuacone dferencale : ' b. ' 1' º.- En puntuacone tpfcada: z ' r.z z ' 0'9861.z b) Proporcón de varanza redual : 0'9861 Cuando e habla de proporcón empre e refere al cocente entre la varanza total de ; e decr, a la proporcón de varanza de que repreenta la varanza olctada. Regreón correlacón (F. Álvarez) - 1

16 Sendo la varanza de lo errore (redual) : e..( 1 r ) ( 1 r ). 1 r 1 0'9861 0'077. Sólo repreenta un '77% de la varanza del tet A (), endo la proporcón de varanza no eplcada por el tet B (). 11 A partr de lo e pare de valore, correpondente a una varable bdmenonal (,), (1, 4), (, ), (3, ), (4, 6), (, 7) a) Calcule la ecuacón de la recta de regreón de obre. b) Repreente gráfcamente el dagrama de dperón la recta de regreón. c) Calcule e nterprete el coefcente de correlacón. Cálculo necearo (realzado en ete ejemplo a partr de la meda varanza de e de la covaranza) : ' 4 ' 104 ' 34. ' 14 ' 14 ' a) b 07 ' a 4 ' 073 '. 33 ' 3'3 + 0'7. b) Para 0 3'3 (0, 3'3) Para 6'8 (, 6'8) Enlazando lo do punto anterore obtenemo la gráfca de la recta. Oberve que el punto que tene por coordenada la meda de e (3, '4), e un punto contendo en la recta de regreón. Aprecamo la promdad de lo punto a la recta de ajute, aí como que dcha recta e crecente (r > 0). 14 ' c) r 0' ' 04 Elevada relacón entre la varable de gno potvo. La recta de regreón e una buena funcón de ajute, endo crecente (r > 0). Para repreentar gráfcamente la recta de regreón, localzamo do punto cualequera de ella : 3'3 + 0' Regreón correlacón (F. Álvarez)

17 1 La recta de regreón de obre, calculada en el etudo de la relacón etente entre do varable, tene por ecuacón ' '4-0'9., endo la varanza de la varable dependente gual a 1'84. S la dtrbucón de la predccone de tene como meda 3'6 varanza 1'619936, a) calcule la meda varanza de b) determne la ecuacón de la recta de regreón de obre c) obtenga el valor del coefcente de correlacón. Incamo aquí una ere de ejemplo que requeren para u reolucón el empleo de la dferente relacone funconale (fórmula para entenderno) tratada en el tema. Reulta de utldad ecrbr la epreone en la que ntervenen lo dato umntrado, uttuendo u valore conocdo. Tal vez aí podamo obtener lo que no pda el problema. ' '4 0'9. a b. '4 + 0'9. b 0' 9 1º.- ( ) º.- 1' 84 1' 84 1' 36 3º.- ' 3'6 ' 1' Sendo 3'6 la meda de, la epreón de a no permte obtener la meda de : 4 ' 36 ' 4 ' + 09 '. 4 ' 36 ' + 09 '. 09 ' La varanza de no puede obtenere de momento (para etraerla del valor del coefcente de regreón b necetamo conocer ante la covaranza o el coefcente de correlacón). Partendo, por ejemplo, de la proporcón de varanza eplcada (hace referenca a la varanza de la predccone) : ' 1' r 0' 8804 r 0' 8804 ± 0' ' El coefcente de correlacón erá negatvo, a que lo e el coefcente de regreón b (b -0'9), luego : r 0'9383. La epreón r b. no permtrá calcular la devacón típca de : r b 0' ' 36. 0' ' 9. 1' 414 1' ' ' Fnalmente, calculemo la recta de ajute de obre : b r ' '. 0' ' 9783 a' b'. ( 0' 9783). 3' 6 ' 17 1' 36 Su ecuacón e : ' '17-0' La recta de regreón de obre corta a lo eje coordenado en lo punto (0',0) (0,-0'4), endo la proporcón de varanza no eplcada por del '8%. a) Calcule lo coefcente de correlacón de determnacón. b) Sendo, qué pronótco dferencal correponde a una puntuacón drecta 4?. a) Lo coefcente de correlacón de determnacón e obtenen drectamente de la proporcón de varanza no eplcada : 1 - r 0'8 r 1-0'8 0'744 Luego : Coefcente de determnacón : R r 0'744 Coefcente de correlacón : r 0' 744 ± 0' 867 Para determnar el coefcente de correlacón e potvo o negatvo e pueden egur dtnto procedmento. Uno podría contr en dbujar la recta de regreón (enlazando lo do punto conocdo) obervando e crecente (b > 0 r > 0) o decrecente (b < 0 r < 0). Aí reulta que e crecente, por tanto, r 0'867. b) Determnemo la recta de regreón en puntuacone drecta dferencale : S la recta de regreón ' a + b. paa por (0',0) (0,-0'4), gnfca que : - para 0' ' 0 : 0 a + b.0' - para 0 ' -0'4 : -0'4 a + b.0-0'4 a 0-0'4 + b.0' b 0'4 / 0' 0'8 Regreón correlacón (F. Álvarez) - 17

18 La recta de regreón e : en puntuacone drecta : en puntuacone dferencale : ' -0'4 + 0'8. ' 0'8. A la puntuacón drecta 4, le correponde una puntuacón dferencal : 4 1 luego el pronótco dferencal correpondente e : ' 0'8. 0'8. (-1) ' -0'8 OTA : Calculado b 0'8 > 0, concluremo que el coefcente de correlacón e tambén potvo (r 0'867), tal como e dedujo en el apartado a). 14 A la puntuacone drecta 6 de la varable le correponden predccone 3' 7' repectvamente. S la proporcón de varanza aocada a e del 70'4% lo valore de la varable dependente on: 1, 3,, 6 11 a) obtenga la ecuacone de la do recta de regreón b) calcule el coefcente de correlacón c) un pronótco tpfcado 1'1868, a qué puntuacón drecta de correponde?. a) b) En la recta de regreón de obre : ' a + b. - Para, ' 3' : 3' a +.b - Para 6, ' 7' : 7' a + 6.b Reolvendo el tema obtenemo : a 1' b 1 ' 1' + Para el cálculo de la recta de regreón de obre no dponemo de elemento ufcente de momento. Con lo valore conocdo de calculamo u meda, varanza devacón típca : ' ' 11' 36 11' 36 3' 370 S la proporcón de varanza aocada e del 70'4%, deducmo que : r 0'704, endo b 1 > 0, el coefcente de correlacón r tambén erá potvo. E decr : r + 0' 704 0' 839 De la recta de regreón de obre deducmo (para la meda) : ' 1 ' + 1 ' ' 1 ' 4 La devacón típca de la podemo obtener ahora de la relacón : r b r. 0' ' 370. ' 884 ' b 1 a b) c) Etamo en condcone de calcular la recta de regreón de obre : r b r. 0' 839. ' 884 '. b' 0' 704 3' 370 a 0' ' 704. ' 0' 3380 La recta de regreón de obre tene por ecuacón : ' 0' '704. La recta de regreón de obre en puntuacone típca e : z' r. z z' 0' 839. z Para el pronótco tpfcado 1'1868 deducremo el valor tpfcado de. Tenendo en cuenta el proceo de tpfcacón, deducremo la puntuacón drecta de 1' z' 1' 1868 z 1' 414 1' 414. ' ' 839 ' En un grupo de 10 ujeto e han aplcado do prueba (,). La puntuacone obtenda en fueron dcotomzada por la Medana formándoe do categoría: alto (A) bajo (B). Lo reultado on lo guente : 18 - Regreón correlacón (F. Álvarez) Sujeto B A B A A B B A A B Elja calcule el índce de correlacón adecuado para medr la relacón etente entre e.

19 n A n A. n B n B. n n. n A B S ; 3; ; 1483 ' r bp A S B 1. pq ' 1483 ' Certa relacón entre la varable, de gno nvero. A maor puntuacón en la prueba menor nvel en. 16 La puntuacón etmada de la varable para un valor 0 de la varable e 0 44, endo la varanza de eta varable 16. Sabendo que el porcentaje de varanza de la varable no aocada a la varacón de e 4 4% que la varanza del error e , hallar : a) la correlacón de Pearon entre e. b) la ecuacón de regreón para pronotcar a partr de. c) la varanza de la puntuacone pronotcada. Dato : Se ' a+ b. 044 ' a+ b. 0 a 044 ' ; S 16 ' ; 1 r 0' 044 ; Se 0' S a) 1 - r r r b) a ' ' 044 S 7' 003 S ' 646 S r b S r. S 0' 977. ' 646. b 0' 6364 ' 0' ' S S 16 ' c) S Se + S' S' S Se 7' 003 0' ' La puntuacone etmada de la varable para lo valore 3 de la varable on repectvamente. El coefcente de correlacón entre e e 0 977, la varanza de la varable e 16. Con eto dato calcular : a) la ecuacón de la recta de regreón. b) la varanza de la puntuacone pronotcada. c) la proporcón de varanza de la varable no aocada a la varacón de. Dato : ' 44 a+ 3. b ' a+ b. 377 ' a+. b r 0' 977 S 16 ' a) Reolvendo el tema anteror : a 0 44 b b) ' r ' r. r b S '. 0' 977 0' ' 6364 S ' 6694 S' 0' 977. ' ' 7366 S S c) 1 - r (4 471%) Regreón correlacón (F. Álvarez) - 19

20 18 La puntuacone drecta obtenda por ujeto en la ecala LKS (Ecala de Luca) la obtenda por eo mmo ujeto en el factor C (Control Socal) del PSI on la que fgura en la tabla fnal. a) Encuentre la puntuacón pronotcada en LKS de un ujeto cua puntuacón drecta en C e 1. b) Encuentre la parte de la varanza de LKS aocada a la varacón de C. c) Interprete el reultado obtendo al calcular el etadítco que eprea la relacón entre LKS C. Sujeto A B C D E LKS C LKS C a) ; 40 ; S ; S S ; S 6 ; S ' 4 b -0 4 / a 40 - (.1 7) b) r -0 4 / r 0 7 (7 %) c) Alta relacón entre la do prueba (r-0 8) de gno nvero. E decr, un ujeto con alta puntuacón en LKS tendrá baja puntuacón en C 19 La emprea de publcdad VEDEBIE quere aber la aceptacón o rechazo dependen del eo. Para ello e encueta a 00 perona de la cuále el 0% on mujere; 40 hombre rechazan el producto mentra que 30 mujere lo aceptan. Elja calcule el índce de correlacón adecuado para nterpretar eto dato. H M Aceptan a60 b30 Rechazan c40 d70 ϕ ad bc ( a + b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) ' Ecaa relacón entre la aceptacón el eo. De aceptarla, el maor rechazo e produce en mujere. 0 La ecuacón de la recta de regreón que permte pronotcar la calfcacone en Pcología Matemátca II () a partr de la calfcacone en Pcología Matemátca I () e la guente : Sabendo que S (4/).S ; S 3 que 174 ', calcule : a) r,,. b) la varanza de la puntuacone pronotcada. c) la proporcón de varanza error cometda al pronotcar, utlzando la recta de regreón anteror. 0 - Regreón correlacón (F. Álvarez)

21 Dato : 4 ' 08 '. 0 ' ; S. S ; S 3; 174 ' b 08 ' 4 r b S S S a) '. '. 064 '. ' 3 a b. 0 ' 08 '. 74 ' 174 ' 71 ' b) ' r ' r. 0' ' 6864 c) 1 - r 1-0'64 0'904 (9'04%) 1 La recta de regreón de obre, que permte el pronótco en el rendmento en un trabajo manual a partr de la puntuacone en un tet de detreza manual, corta al eje de ordenada en 8 al de abca en -4, en puntuacone drecta. a) Calcule la ecuacón de la recta de regreón anteror en puntuacone drecta. b) Repreente gráfcamente la recta de regreón anteror. c) Calcule el coefcente de correlacón entre e abendo que la varanza de lo errore e la cuarta parte de la varanza de. a) Para 0, 8, para -4, 0 8 a a ' a+ b. 8 0 a 4. b b ' 8+. b) 1 S S 1. e 4 3 Se S Se S 1 r r 1 1 r 0866 ' 4 S S 4 c)..( ) a) Etudando la relacón entre la varable e e obtuveron lo guente dato : 119, 130 ', S 10, S 0', r 0' 70, n 10 a) Elena C. obtuvo una puntuacón de 130 en. Etme u puntuacón en. b) Se etmó la puntuacón 1 8 en la varable para Gonzalo S.. Cuál fue u puntuacón en la varable?. c) Determnar el valor de S. la devacón típca de la puntuacone pronotcada (S ). b r '. 07 '. 0 0' 038 ; a 130 ' 0' ' 81 ' 3' 81+ 0' ' 3' 81+ 0' ' 73 b) c) S S. 1 r 0 '. 1 0' 7 0' 398. '. ' S S S 0' ' 0148 ' S 0' 38 Regreón correlacón (F. Álvarez) - 1

22 3 La guente gráfca muetra la calfcacone obtenda por do grupo de alumno que han etudado con do método de eneñanza dtnto (A B). Elja, calcule e nterprete el coefcente de correlacón má adecuado para etudar la relacón entre el método de eneñanza la calfcacone. A B Beral puntual (r bp ). Una cuanttatva (calfcacón) la otra dcotómca (método) A ; B 6 ; 6 ' ; S 6 ' 61 ' r bp A S B. pq ' 61 ' r 0 03 (3 %) Ete una relacón mu baja (del 3 %) entre el método egudo la calfcacone. De aceptare la relacón dríamo que lo alumno que guen el método B obtenen mejore reultado (gno negatvo de r). 4 Sabemo que la puntuacone dferencale pronotcada ( ) on cnco vece la puntuacone dferencale de la varable, que la proporcón de varanza aocada entre e e gual a 0. Calcular : a) La pendente de la recta de regreón de obre en puntuacone drecta dferencale. b) La pendente de la recta de regreón de obre en puntuacone típca. c) La pendente de la recta de regreón de obre en puntuacone drecta. Dato : r ' 0 ' a) b b) r 0 r 0 c) b.b r.b 0 b 0 / 0 0 Para un grupo de 100 ujeto en do varable e, dponemo de lo guente dato : Σ480 ; Σ 400 ; Σ Σ900. Sabendo ademá que e on do varable cuanttatva que mantenen una relacón lneal que, lógcamente, Σ Σ 0 a) Cuánto valdrá el coefcente de correlacón de Pearon entre e?. b) Cuánto valdrá la devacón típca de lo errore cometdo al pronotcar a partr de?. c) Qué puntuacón drecta pronotcaremo en a un ujeto que ha obtendo una puntuacón -?. Se gue en el enuncado la notacón uual de repreentacón de puntuacone drecta (maúcula) dferencale (mnúcula). Recordemo que : - Regreón correlacón (F. Álvarez)

23 S n. En puntuacone drecta ( )(. ) n... S n. ( ) a) Para puntuacone dferencale : n ' 3 n 100 n 100 n 100 r 4 8 / '3 0 8 b) e.. 1 r ' 18 ' c) En puntuacone dferencale : b., con b r. 08 '. 3 1 ' Para - : 1. (-) - 4 Como : ' ' ' ' + ' + 4 ' ' ' 100 En puntuacone dferencale S S n.. n. 6 La emprea de publcdad VEDEBIE quere aber ete relacón entre la duracón de un anunco en T.V. la aceptacón o rechazo del mmo. Lo reultado de la encueta e ncluen en la guente tabla. Elja calcule el índce de correlacón adecuado para nterpretar eto dato. Duracón Aceptacón Rechazo n A n A. n R n R. n n. n A 13 ' ; R 0' 7; 16' ; S 16' ' A R 13' 0' rbp. pq ' S 974 ' 0 0 Certa relacón entre la varable, de gno nvero. A maor duracón maor rechazo. 7 El gabnete de etudo obre Maletar Socal deea conocer ete relacón entre la conumcón de droga la comón de delto obre la propedad. Para ello e eleccona una muetra e comprueba que 0 ndvduo han conumdo algún tpo de droga a la vez han etado mplcado en delto contra la propedad. Tenendo en cuenta que un 0% de la muetra ha cometdo delto contra la propedad, que 0 no conumen droga n han etado mplcado en delto contra la propedad que la muetra contaba de 00 ndvduo, qué concluón obtendrá el gabnete de etudo?. (Elja, calcule e nterprete el coefcente de correlacón adecuado). Regreón correlacón (F. Álvarez) - 3

24 Droga SI Droga O Delto SI a0 b0 Delto O c10 d0 ϕ ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) ' Ecaa relacón entre conumo de droga comón de delto. De aceptarla, la maor comón de delto e produce en conumdore de droga. 8 Un grupo de hombre mujere reponde a una prueba (). Lo dato obtendo aparecen en la guente tabla. Elja razonadamente, calcule e nterprete el coefcente de correlacón adecuado, para etudar la relacón entre la puntuacone de la prueba la varable eo. Mujere Hombre n M n M. n H n H. n n. n M 91 ' ; H 67 ' ; 79 ' ; S 79 ' 3186 ' r bp M S H 91 ' 67 ' 0 0. pq ' 3186 ' Mu débl relacón entre la varable, de gno drecto. De aceptare, la maor calfcacón e produce en mujere. 9 Elja el coefcente de correlacón má apropado entre la varable puntuacone en un tet de ntelgenca (), prejuco antprotetante (), tenendo en cuenta el cuadro adjunto. En ete cuadro, fa gnfca frecuenca con alto prejuco fb frecuenca con bajo. Calcule el coefcente de correlacón elegdo comente brevemente el reultado obtendo f A f B n A n A. n B n B. n n. n A 8 ' ; B ' ; 73 ' ; S 73 ' 83 ' r bp A S B 8 ' ' pq ' 83 ' Elevada relacón entre la varable, de gno drecto. A maor puntuacón en el tet maor prejuco antprotetante. 4 - Regreón correlacón (F. Álvarez)

25 30 Etudando la relacón entre la varable e e obtuveron lo guente dato : 0, 6, S 6, S, r 0' 8, n a) Qué puntuacón drecta en pronotcaremo a un ujeto que obtuvo una puntuacón drecta en de?.) b) Cuánto valen S ' S.?. a) b r. 08 '. 0' 67 ; a 6 0' 670 7' 3 6 ' 73 ' '. ' 73 ' ' 634 '. '. b) S S. 1 r ' 1 ' S S S ' 6 ' 31 Etudando una muetra de 0 alumno de BUP e obervó que una proporcón de 0 10 etaba compueta por alumno hjo únco. De lo 0 alumno, una proporcón de 0 6 comían en el Colego. S abemo que una proporcón de 0 04, con repecto al total, on hjo únco que no comen en el Colego. Ete una relacón entre er hjo únco o no comer o no en el Colego?. Halle el coefcente de correlacón que correponda e nterprete el reultado. Únco SI Únco O Comen SI a3 b7 Comen O c d18 ϕ ad bc ( a+ b).( c+ d).( a+ c).( b+ d) La varable on ndependente. o ete nngún tpo de relacón entre er hjo únco comer en el colego. 3 La devacón típca de un determnado grupo de perona en la varable anedad () e gual a. Tambén conocemo para eta varable la meda de lo varone (10) la de la mujere (). Sabendo que el índce de aocacón entre la varable anedad eo e gual a +1, que el número de varone e uperor al de mujere : a) Qué coefcente de correlacón habrá do utlzado?. b) Interprete el valor del coefcente de correlacón. c) Calcule la proporcón de varone que componen nuetra muetra. a) Beral puntual (r bp ). Una cuanttatva la otra dcotómca. b) Relacón perfecta. Lo varone preentan alta puntuacone en anedad la mujere baja. c) 33 r bp v m. pq pq. pq. 04 ' pq. 016 ' 1 p p p p p p p+ p ± ' 1 ± 06 ' 08 '.( 1 ) 016 ' 016 ' 016 ' 0 p 0 ' La olucón e 0 8 al ndcar que ha má varone que mujere. Con la preente dtrbucón bvarante obtenga : [0,10) [10,0) [0,30) [30,40] a) recta de regreón de la meda de condconada a b) coefcente de correlacón de la meda de condconada a c) recta de regreón de obre d) coefcente de correlacón lneal (de obre ) e) razón de correlacón. Compare lo reultado obtendo en lo apartado a), b) con lo de lo apartado c), d). Interprete el gnfcado de la razón de correlacón calculada. Regreón correlacón (F. Álvarez) -

26 a) b) Para cada valor de la varable, determnamo la meda de lo correpondente valore de. Obtendremo tambén la varanza de cada valor para calcular poterormente la razón de correlacón (apartado e). [0,10) [10,0) [0,30) [30,40] f Σ 17 f Σ 7 f Σ 18 [0,10) [10,0) [0,30) [30,40] f Σ 8 f Σ 680 f Σ [0,10) [10,0) [0,30) [30,40] 1 3 f Σ 9 f Σ 44 f Σ 79 [0,10) [10,0) [0,30) [30,40] f Σ 6 f Σ 70 f Σ 110 Con la tabla de cálculo anterore obtenemo : ( * ) n ' 1 1 4' 3 3 1' ' 4 ' '8 17 8' '3 8 37' 811 1'3 9 ' '7 6 ( * ) Meda de cada condconado a Con eta dtrbucón procedemo a calcular la recta de regreón el coefcente de correlacón (omtmo la tabla de cálculo) : Σ n. 104 Meda de 1'3 Recta de regreón de la meda de condconada a Σ n. 198 Varanza de 0'78 ' 3'8998-8'989. Σ n. 1768'9 Meda de '11 Coefcente de correlacón de la meda de condconada a Σ n. 436'1 Varanza de '67 r -0'986 (r 0'9714) Σ n '4 Covaranza -6'146 c) d) n n. n.² n. n.² n Regreón correlacón (F. Álvarez)

27 Meda de 1'3 Varanza de 0'78 Meda de '1 Varanza de 87'9844 Covaranza -6'1 e) Concluone : Razón de correlacón : 1 n. η ' 143. Recta de regreón de obre ' 3'91-8'96. Coefcente de correlacón lneal r -0'7836 (r 0'6141) + 8.8' ' '6 0' '9844 Comprobamo que η toma un valor comprenddo entre 0 1 verfca que η r (0'6317 0'6141). Al er mu prómo η a r, conclumo que la relacón entre la varable, e de tpo lneal. Eta últma concluón habríamo deducdo al comprobar que la recta de ajute de obre la de la meda de condconada a práctcamente concden : ' 3'91-8'96. ' 3'8998-8'989. La uttucón de la obervacone por u promedo, ha permtdo aumentar el valor del coefcente de correlacón : r -0'7836 r -0'986 ncrementando aí la proporcón de varanza eplcada por el ajute : r 0'6141 (61'41%) r 0'9714 (97'14%) 34 a) b) De un grupo de COU, ntegrado `por 40 alumno, conocemo u calfcacone fnale en Matemátca en Floofía. El número de aprobado en amba acendó a 1, upendendo 1 la do matera, mentra que ólo aprobó Matemátca el 10% de lo alumno. a) Calcule el coefcente de correlacón má adecuado para medr el grado de aocacón etente entre la varable decrta. b) Aumendo que la calfcacone en Matemátca en Floofía e dtrbuen normalmente, determne otro coefcente que etude el nvel de aocacón no eté baado en el concepto de correlacón de Pearon Se trata de analzar la relacón que puede etr entre la calfcacone en la do matera. Sendo la do varable dcotómca, calculamo el coefcente de correlacón ϕ (ph). Dpueta la tabla como gue (totalzando fla columna) obtenemo : - Floofía 1 (Aprueban) 0 (Supenden) 1 (Aprueban) a 1 b 4 19 Matemátca 0 (Supenden) c 9 d ad bc ϕ 0' ( a + b)(. c + d )(. a + c)(. b + d ) El aprobar o upender una matera no condcona el reultado fnal en la otra. baja relacón entre la varable. Sendo la do varable dcotómca (normalmente dtrbuda ncalmente), calculamo el coefcente de correlacón tetracórca (r t ). 1º Calculamo lo producto : a.d b.c º Como a.d > b.c, calculamo el cocente : C a.d / b.c 180 / 36 (r t erá potvo) 3º Conultamo la tabla V, para el cálculo del coefcente de correlacón tetracórco, localzando el cocente C en el ntervalo (A,B) (4'830, '007), al cuál correponde un coefcente 0'6 + R. De aquí : C A 4'830 R 0'0098 rt 0'6 + R 0'6 + 0'0098 0' OTA : ( B A) 100. ( '007 4'830) Generalmente e verfca que el coefcente de correlacón tetracórca el coefcente ϕ verfcan la relacón : Regreón correlacón (F. Álvarez) - 7

28 r t 1'. ϕ (con maor rgor para valore del coefcente tetracórco, menore o guale a 0'). En nuetro cao : 1'. ϕ 1'. 0'3679 0'18 r t Eto permte tener una referenca obre el ntervalo (-1, 1), a la hora de nterpretar el valor obtendo con el coefcente de correlacón tetracórca. Calculando el valor apromado de ϕ, podremo medr el grado de aocacón : r ϕ t 0698 ' 0' 3797 baja relacón entre la varable 1 ' 1 ' 3 a) b) Con el fn de etudar ete o no relacón entre la calfcacone en Matemátca en Floofía de COU, elecconamo e alumno. Clafcado por orden de puntuacón fnal en cada matera reultó : Alumno Matemátca 3º 6º 4º 1º º º Floofía 3º º 6º 4º 1º º a) Utlzando el índce adecuado, baado en el concepto de correlacón de Pearon, etablezca el grado de relacón que ete entre la calfcacone de la do agnatura. b) Reuelva lo olctado en el apartado anteror medante un índce que no eté baado en el concepto de correlacón de Pearon Calcularemo el coefcente de correlacón ρ (rango de Spearman) al preentare do varable ordnale (do reordenacone de lo 8 alumno). Denomnamo e a la varable que proporconan, repectvamente, la clafcacone en Matemátca en Floofía. Ordenando la prmera (), calculamo u dferenca con la egunda : Con ello : d d ρ 1.. d ( 1) 6. ( 6 1) E decr, apena ete relacón entre la calfcacone. 0' 3143 Procede ahora el cálculo del coefcente de correlacón τ (tau) de Kendall : Reordenamo lo pare de obervacone de modo que la varable (prmer elemento del par) quede en orden acendente comparamo cada valor de con lo guente, contando una permanenca (P) < una nverón (I) >. : (4,1) I 3 3 (4,3) I (1,3) P 4 6 (4,6) P (1,6) P (3,6) P (4,) I (1,) P (3,) I 6 (4,) P (1,) P (3,) P (,) P En total hemo encontrado 8 permanenca (P) 4 nverone (I). Con ello : p τ 0667 ' n.( n 1) 6.( 6 1) 1 E decr, como ocurró con el coefcente ρ, ete una ecaa relacón entre la calfcacone en Matemátca Floofía. 8 - Regreón correlacón (F. Álvarez)

29 36 a) b) 37 Con el fn de etudar ete o no relacón entre la calfcacone en Matemátca en Floofía de COU, elecconamo 30 alumno analzando la puntuacón fnal en cada matera. Tenendo en cuenta que e no proporconó en Floofía olamente el alumno aprobó (A) o upendó, etablezca el grado de relacón que ete entre la calfcacone en dcha matera. Floofía A S Matemátca a) utlzando el índce adecuado, baado en el concepto de correlacón de Pearon. b) medante un índce que no eté baado en el concepto de correlacón de Pearon. Al er dcotómca la ª varable, obtendremo el coefcente de correlacón beral puntual : 1 0 A 1 S 0 n n. n. n. 1 n ' 0 48 ' p 0833 ' q ' 43 ' 1 ' 1 ' 1487 ' Con eto : r bp ' 48 '. pq.. 0' ' 010 ' 1487 ' E decr apena ete relacón entre amba varable. Calculemo ahora el coefcente de correlacón beral r b : 0167 ' Tomando el menor de lo valore de p q : mn (p,q) mn (0'833, 0'167) 0'167 p. q obtenemo el valor tabulado del cocente (Tabla III), que reulta er gual a 0'609. f() z Con eto : 1 0 pq rb.. 4 ' 48 '.' ' 44 f( z) 1487 ' Aunque no concde u valor con el coefcente de correlacón beral puntual, tambén podemo conclur que apena ete relacón entre amba varable. Hemo encontrado, utlzando el crtero de mínmo cuadrado, que la recta de regreón de obre en puntuacone drecta típca on, repectvamente : ' 1'. + 4 z ' 0'8. z Sabendo que :, 10, S, S 3, calcular : a) La varanza de la puntuacone pronotcada en. b) La recta de regreón de obre, en puntuacone drecta, umamo a todo lo valore de. c) La recta de regreón de obre, en puntuacone drecta, umamo 3 a todo lo valore de multplcamo por todo lo valore de. Regreón correlacón (F. Álvarez) - 9