ESTIMACIÓN DEL ERROR EN SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICOS DIFERENCIALES PERTURBADAS

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1 Mecánica Comuacional Vol XXV, Albero Cardona, Norbero Nigro, Vicorio Sonzogni, Mario Sori. (Eds.) Sana Fe, Argenina, Noviembre 6 ESIMACIÓN DEL ERROR EN SISEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICOS DIFERENCIALES PERURBADAS Gusavo Boroni a, Pablo Loio a y Alejandro Clausse a,b a CONICE y Universidad Nacional del Cenro, 7 andil, Argenina b Comisión Nacional de Energía Aómica, 149 Ciudad de Buenos Aires, Argenina {gboroni, clausse, loio}@exa.unicen.edu.ar Palabras clave: Simulación, Análisis numérico, Modelización. Resumen. En ese rabajo se roone la alicación de un nuevo méodo ara la esimación del error inducido or erurbaciones en las condiciones iniciales, basado en la eoría de sisemas adjunos. A arir de dicha écnica se obiene una aroximación del error indeendienemene de las erurbaciones iniciales, lo cual facilia la esimación del error ara sisemas de ecuaciones con gran canidad de arámeros. Además se roone una exensión al méodo de esimación basada en la uilización de funciones esimadoras, ue ermien ransformar el sisema adjuno original en un sisema uramene algebraico, ara el cual es osible alicar una gran variedad de méodos numéricos eficienes. Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

2 11 G. BORONI, P. LOIO, A. CLAUSSE 1 INRODUCCIÓN La cuanificación del error es una de las reocuaciones rinciales en análisis numérico. Hay diversas fuenes de errores, incluyendo error de redondeo, error en los daos, y en la inceridumbre roia del modelo. La mayoría de esos errores no se ueden deerminar a riori, ero es osible calcular coas en base a méodos erurbaivos. Un aseco imorane del análisis numérico es consruir algorimos confiables y eficienes, ue ermian esimar o conrolar el error en la solución final denro de una olerancia adecuada cuando se soluciona un roblema. Desde los rimeros análisis numéricos de ODEs se dedicaron muchos esfuerzos al esudio de los errores, ya ue una esimación del error uede ayudar a deerminar si es osible confiar o no en la solución o aún en el modelo mismo (Dahluis 1981, Hairer 1987, Henrici 196 y Shamine 1976). La mayoría de los méodos rouesos ara esimar errores globales se basan en méodos a riori y el análisis asinóico ara eueños aso de iemo (Shamine 1976, Skeel 1986 y Seer 1978). Un méodo simle es esimar el error global calculando la solución con diversas fórmulas o asos de iemo. La diferencia sirve como esimación del error global. Sin embargo ese io de esimación no es confiable desde el uno de visa numérico. Un aseco imorane en roblemas de ingeniería es el imaco de una resuesa del modelo funcional a cambios inducidos en los arámeros; lo ue usualmene se conoce como sensibilidad. Por ejemlo, en los ronósicos climaológicos se desea enconrar ué erurbaciones en las condiciones iniciales ueden roducir el cambio más grande de la exaciud del ronósico, lo cual ayuda a idenificar las localizaciones en donde la aduisición de daos adicionales uede ser necesaria (Faucher y Koruda 4). Para ese io de roblemas sólo uede obenerse una aroximación de la medida de cambio, y a arir del esudio de erurbaciones se ha creado oda una eoría ue encierra dicha roblemáica. El aore de ese rabajo es resenar la alicación de un nuevo méodo ara la esimación del error inducido or erurbaciones en las condiciones iniciales basado en sisemas adjunos, cuya eoría fue recienemene rouesa ara ecuaciones algebraicos diferenciales (Cao 4). Aoyándose en dicha écnica se obiene ue la esimación del error es indeendiene de las erurbaciones iniciales, con lo cual es osible esimar el error inducido ara cualuier erurbación. En ese rabajo se roone una exensión de la écnica a esuemas de resolución or medio de funciones esimadoras, ue ermien ransformar el sisema adjuno original en un sisema uramene algebraico, ara el cual es osible alicar una gran variedad de méodos numéricos eficienes. EVALUACIÓN DE ERRORES INDUCIDOS POR PERURBACIÓN En esa sección se resena un méodo ara la esimación del error inducido or erurbaciones en las condiciones iniciales de un sisema dinámico gobernado or combinaciones de ecuaciones diferenciales y algebraicas (DAE). Esa aroximación se basa en el análisis de la sensibilidad or el méodo adjuno y en la esimación condicional esadísica (SCE) (Kenney 1994). Sin erder generalidad se uede exresar un sisema DAE como: F( x, x&,, ) = x( ) = x ( ) (1) Se desea enconrar un esimador del error e () = X() x () ara un iemo >, donde X () es la solución del sisema erurbado: Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

3 Mecánica Comuacional Vol XXV, (6) 113 F( X, X&, + δ, ) = X ( ) = x( + δ ) () A arir de (1) y () se genera la siguiene ecuación ara el error e ( ) : Fx & () e &() + Fx() e () + F() δ +Ο ( e () ) = (3) F Donde Fx& = x&, F F Fx =, y F = son las derivadas arciales de F reseco de x&, x x y, evaluados en ( x( ), x& ( ),, ). Si la mariz F x & no es singular, a rimer orden e ( ) saisface: F() e &() + F() e () + F() δ = x& x e ( ) = x ( ) δ, (4) De esa manera, ueda en evidencia ue el roblema esimación del error ara erurbaciones en las condiciones iniciales es el caso aricular de sensibilidad, donde el arámero es la condición inicial x. Para una erurbación δ, el sisema (4) uede resolverse a ravés de un esudio de sensibilidad hacia adelane, obeniendo la evolución emoral de e ( ) ara cualuier iemo >. Sin embargo, ese cálculo uede ser demasiado caro si se desea esimar el error ara diferenes erurbaciones, ya ue debería resolverse el roblema ara cada erurbación. 3 MÉODO ESADÍSICO PARA LA ESIMACIÓN CONDICIONAL Anes de roceder a describir el méodo se esablecerán algunas noaciones reseo de las normas. La rimera de ellas es ue: L1 Donde el vecor norm, L ( ) 1/ v = v = v i ( ) n v. Para la norma de una función f C [, ] norm, y norm son: f = f() d L1 f = () L f d f = max f( ) 1/ (5), las normas El méodo esadísico ara la esimación condicional (SCE) ofrece una alernaiva ineresane y eficiene ara la esimación condicional de funciones no lineales, con un coso moderado en cuano al error en la esimación. Una medida del error uede consruirse or medio del roduco escalar del vecor de error e () y un vecor u consane uniario. Seleccionado vecores u de manera aleaoria y (6) Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

4 114 G. BORONI, P. LOIO, A. CLAUSSE uniforme de la esfera uniaria Sn 1, se verifica ue la media de ue ( ) es roorcional a la norma de e ( ) (Gudmundsson 1995 y Kenney 1994), es decir: ue () = W e () (7) Donde X reresena el valor medio de la variable esocásica X, y W n es un coeficiene llamado facor de Wallis (Abramowiz 197) definido or: 1, si n = ( n ) Wn =, si n = imar.4...( n 1)..4...( n ), si n = ar π ( n 1) Las Ecs. (7) y (8) se ueden usar ara esimar la norma e (). Seleccionando vecores orogonales u1, u,..., u de manera aleaoria y uniforme de la esfera uniaria Sn 1, la esimación de e () viene enonces dada or la royección de e ( ) en el esacio generado or u1, u,..., u, es decir (Gudmundsson 1995 y Kenney 1994): e () n W n i = 1 i (8) W ue (9) Omiiendo la variable iemo ara faciliar la legibilidad de la exresiones, la Ec. (4) uede escribirse como: Donde 1 1 e () =Φ() x, Φ ( rf ) x Fdr δ & (1) n n Φ es la mariz fundamenal corresondiene a: FxΦ & & + FxΦ = (11) Φ ( ) = I Se uede verificar ue la solución λ del sisema adjuno: x con la condición final λ ( ) = z, saisface: Por consiguiene: x& ( Fλ) Fλ = & (1) x [ ] 1 1 λ() r = zφ() Φ () r Fx& (), r r, λ( ) F ( ) = zφ( ) (13) ze( ) = λ( ) Fx& ( ) x, λ( r) Fdr δ (14) Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

5 Mecánica Comuacional Vol XXV, (6) 115 El caso de erurbaciones en la condiciones iniciales se obienen definiendo F ( ) =, y x, = I. Si se consideran vecores orogonales z j, con 1 j, seleccionados de forma uniforme y aleaoria de una esfera uniaria Sn 1, se obiene el esimador SCE: 1/ W e () ze j () Wn j= 1 W = λ( ) F ( ) x λ( r) F dr δ W n j= 1 x&, Donde λ es la solución del sisema adjuno (1) con condiciones finales λ () = zj. Una roiedad imorane en esa esimación del error es ue el sisema adjuno (1) es indeendiene de la erurbación δ. Así las mismas soluciones adjunas λ ueden ser usadas ara esimar el error roducido or cualuier ora erurbación (eviando recalcular). Por ora are, uede verificarse ue con sólo 4 vecores z j se uede alicar la écnica SCE obeniendo resulados aceables (Cao 4). 4 ORAS ÉCNICAS DE ESIMACIÓN DEL ERROR Una écnica amliamene usada en el análisis de sensibilidad es la aroximación or diferencias finias. Se resuelve numéricamene el sisema DAE con las condiciones iniciales x( ) = x( ) y X ( ) = x( + δ ), con lo cual se calcula e () X() x (). La venaja de ese méodo es la simleza y la raidez de imlemenación, mienras ue la rincial desvenaja es ue el error en la esimación es significaivo. Ora écnica ue se uede alicar ara la esimación de e () roviene del cálculo de la sensibilidad or el méodo adjuno. Acualmene los modelos maemáicos ue se esán uilizando ara invesigar fenómenos físicos, uilizan a menudo arámeros cuyos valores no ueden ser conocidos exacamene. A raíz de eso hay una necesidad de realizar análisis de sensibilidad aramérica de los modelos algebraicos diferenciados. Recienemene en Cao (3) se rouso una nueva écnica denominada méodo de sensibilidad adjuna, en el cual es osible calcular la sensibilidad de arámeros uilizando sisemas lineales adjunos asociados sin necesidad de exender el sisema original, lo cual ermie mejorar susancialmene la eficiencia en el cálculo. En ese senido el inerés es calcular la sensibilidad dg de una función objeivo (, ) d Gx definida como: Gx (, ) = gxd (,, ) (16) O en su defeco la sensibilidad dg de una función gx (,, ) definida solamene en el d iemo. Para la esimación del error es osible uilizar esa écnica considerando el esudio de la 1/ (15) Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

6 116 G. BORONI, P. LOIO, A. CLAUSSE sensibilidad dg d sobre la función escalar gx (,, ) (Cao 3), el cual esa dado or: dg d * * * λ λ λ = x = = ( g (, ) F ) ( (, ) F ) d+ (, ) F& x (17) Donde la variable adjuna λ (, ) deende de los arámeros y, y donde λ (, ) es dλ(, ). A arir de (17) se obiene ue el sisema adjuno es: d * * & α() λ(, ) Fx = (18) * α() λ(, ) Fx & = Por ejemlo ara δ escalar uede verse ue si gx (,, ) = x (, ) enonces: dg dx x (, + δ ) x (, ) e() = = (19) d d δ δ No obsane en el esudio de sensibilidad or el méodo adjuno, se necesian los valores de las erurbaciones de los arámeros δ en el cálculo de las condiciones iniciales de la variable adjuna λ (, ) (Cao 3), con lo cual la esimación de la norma del error no uede indeendizarse de dichas erurbaciones. 5 RESULADOS NUMÉRICOS Para la solución numérica del sisema (1) (roblemas de condiciones iniciales) acualmene se disone de una variedad de méodos numéricos ue ueden clasificarse en res caegorías: méodos de un aso, muliaso y de exraolación. La eficiencia de cada io de aroximación deende del roblema aricular. En ese rabajo se resuelve el sisema (1) ransformándolo en un sisema uramene algebraico mediane aroximaciones numéricas. Para ello se define una ransformación reemlazando λ y & λ or funciones Λ ( λn, λn 1, λn,...) y DΛ ( λn, λn 1, λn,...), ue reresenan esimadores muliaso de las variables adjunas y sus derivadas, es decir: k λ() a λ( iδ) i= k & λ() b λ( iδ) i= Esecíficamene en ese rabajo se emleó un esimador imlício ara las variables adjunas y un esimador muliaso lineal clásico (Jackson 198) en las derivadas, es decir: k αλ i ( iδ) λ = λ(), & λ = (1) Δ i i i= Para analizar la alicación del méodo SCE en la esimación de e () se rousieron 3 casos de rueba: Un sisema lineal: el objeivo en ese caso fue esudiar el error enre la solución () Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

7 Mecánica Comuacional Vol XXV, (6) 117 numérica y la solución exlícia; Péndulo elásico: en ese ejemlo se analizó la aroximación de la norma del error variando la canidad de vecores orogonales (ver (15)); Sisema aracor de Rossler: ara esudiar un caso con inesabilidad inrínseca. 5.1 Sisema lineal Una ecuación diferencial muy simle ue uede servir de base ara el análisis de sensibilidad es el sisema de rimer orden dado or: F( x&, x,, ) = x& + x= () x() = El cual osee un único arámero, y donde la solución exlícia es: x(, ) = e (3) El objeivo de rabajar con ese sisema lineal es obener una medida del error enre la solución exlícia y la solución esimada de los érminos x, β λ () rfdr = = y λ ( ) F& ( ) x, siendo β una variable de cuadraura uilizada ara calcular el érmino inegral de la ecuación (15). Para esimar e ( ) uilizando (1) hallamos la solución del siguiene sisema adjuno (Cao 3 y Cao 4): & α() λ() Fx = α() λ() Fx& = & β ( λ( F ) ) = donde Fx =, Fx& = 1, F = x son las derivadas arciales de F. Dado ue λ ( ) = zj y =, se obiene ue la variable adjuna esá dada or: λ() Mienras ue el érmino inegral esa dado or: β (4) ( ) = zje (5) = λ ()() s x s ds = z je ds = zje = A arir de (15), (5) y (6) se obiene ue: (6) W e ( ) λ() Fx() x, λ( r) Fdr δ & Wn j= 1 1/ W = ( zjδe (1 ) ) = δ e (1 ) Wn j= 1 La evolución emoral de la esimación de la norma del error e ( ) uede verse en la 1/ (7) Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

8 118 G. BORONI, P. LOIO, A. CLAUSSE figura 1. Figura 1. Evolución emoral de la esimación de e ( ) ara = 3. Figura. Cálculo del error absoluo ara los érminos β, λ () y e ( ). = En la figura se observa el error absoluo ε ara los érminos β =, λ () y e ( ) con reseco a la solución exlícia (or ejemlo ε λ () es la diferencia absolua enre la solución exlícia y la solución numérica ara λ () ). En la misma se uede ver ue dicha medida iene forma de camana sesgada a izuierda, roduco de ue en la esimación del error ara enre y 1 exisen cambios abruos en la derivadas, con lo cual se genera una eueña imrecisión numérica. El error absoluo asociado al érmino inegral es el de mayor orden, no 3 obsane es relaivamene eueño comarado con el aso de iemo d = 1. 1 uilizado ara el cálculo numérico. 5. Péndulo elásico El éndulo elásico es un sisema de ecuaciones diferenciales no lineales de cuaro orden, cuyas variables de esado naural son la longiud del brazo elásico, el ángulo de inclinación reseco a la verical, y sus resecivas derivadas emorales: Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

9 Mecánica Comuacional Vol XXV, (6) 119 z = r& w= & θ k z& rw = ( r L) + g cos( θ ) m rw& + zw= g sen( θ ) En ese caso no exise solución exlícia analíica. En la figura 3 se muesra la evolución numérica de la osición de la masa ara los siguienes arámeros y condiciones iniciales: k = 7, L = 1, m =.1, g = 9.8, r () = 1, θ () = π, r &() = y & θ () =. (8) Figura 3. Posición de la masa. Donde y = rcos( θ ) y x= rsin( θ ). En la figura 4 se grafica la esimación de e ( ) en función de (canidad de vecores orogonales) según (15), en la cual se uede ver ue a medida ue se acerca a 4 la diferencia enre las aroximaciones de e ( ) va disminuyendo, obeniendo los mejores casos ara = 3, 4. Por oro lado en la figura 5 se reresena la esimación de e ( ) ara disinos órdenes del esimador muliaso (1). En dicha figura se uede observar ue ara ordenes k los resulados se aroximan enre si, obeniendo una diferencia ara k = 1 de aroximadamene el 5%. Figura 4. Esimación de e ( ) en función de. Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

10 111 G. BORONI, P. LOIO, A. CLAUSSE Figura 5. Esimación de e ( ) en función de k (muliaso). 5.3 Sisema de Rossler El úlimo caso de rueba es un sisema no lineal caóico conocido como sisema de Rossler (homson 1987). El sisema de ecuaciones es: x& = y z y& = x+ ay (9) z& = b+ z( x c) Donde x, yz, son las variables de esado y abc,, son los arámeros. Ese sisema iene roiedades oscilaorias (auovalores comlejos) y resena caos ara algunos valores de los arámeros (or ejemlo a =.398, b = y c = 4, figura 6). Ese comoramieno caóico es ineresane orue nauralmene se resenan inesabilidades ue amlifican cualuier erurbación. Usando los arámeros de la figura 6, se comararon los errores esimados con los méodos SCE, adjuno y diferencias finias. Los resulados se muesran en la figura 7. En la misma se uede observar ue el logarimo de la esimación del error crece de manera lineal, lo cual es caracerísico de los sisemas caóicos (sensibilidad a las condiciones iniciales (homson 1987)). Puede observarse ue ara los 3 méodos alicados los resulados son similares, aunue levemene mejores ara los méodos SCE y adjuno. Figura 6. Esacio de las fases ( x e y ). Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

11 Mecánica Comuacional Vol XXV, (6) 1111 Figura 7. Esimación del error los méodos SCE, sisema adjuno y diferencias finias. 6 CONCLUSIONES De los ejemlos aneriores, se uede ver ue la esimación de e () como medida del error, es obenida casi siemre con errores de recisión basane eueños. Para el sisema lineal (5.1), el méodo SCE ermie obener una solución mucho más aroximada. Cuando el sisema es no lineal (5. y 5.3), la esimación del error or el méodo SCE roduce una solución basane aceable. Se uede discuir incluso, ue se resenan casos con imrecisión en los resulados, ero ara los méodos comarados, claramene el méodo roueso ermie mejorar el resulado final. No obsane, la roiedad más imorane en la esimación del error usando el méodo SCE, es ue el cálculo del sisema adjuno asociado es indeendiene del arámero erurbado, or lo ano las soluciones adjunas, obenidas ara un arámero aricular, ueden ser usadas ara esimar el error roducido or cualuier ora erurbación, eviando de esa manera ener ue recalcular. REFERENCIAS G. Dahluis, On he conrol of he global error in siff iniial value roblems, in Numerical Analysis, Dundee, 1981, Lecure Noes in Mah. 91, Sringer-Verlag, E. Hairer, S. Norse, and G. Wanner, Solving Ordinary Differenial Euaions I: Nonsiff Problems, Sring-Verlag, New York, P. Henrici, Discree Variable Mehods in Ordinary Differenial Euaions, John Wiley & Sons, New York, 196. L. F. Shamine and H. A. Was, Global error esimaion for ordinary differenial euaions, ACM rans. Mah. Sofware, (1976), R. D. Skeel, hireen ways o esimae global error, Numer. Mah., 48 (1986),. 1. H. J. Seer, Global error esimaion in ODE-solvers, in Numerical Analysis, Lecure Noes in Mah. 63, Sringer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1978, P. Faucher, M. Gavar, and P. D. Mey, Isoycnal emirical orhogonal funcions (EOFs) in he Norh and roical Alanic and heir use in esimaion roblems, J. Geohys. Res- Oceans, 17 (), H. Kuroda and M. Kishi, A daa assimilaion echniue alied o esimae arameers for he NEMURO marine ecosysem model, Ecological Modelling, 17(1) (4), Y. Cao and L. Pezold, A Poseriori Error Esimaion and Global Error Conrol for Ordinary Differenial Euaions by he Adjoin Mehod, SIAM J. Scienific Comuing 6(), 359- Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://

12 111 G. BORONI, P. LOIO, A. CLAUSSE 374, 4. C. S. Kenney and A. J. Laub, Small-samle saisical condiion esimaes for general marix funcions, SIAM J. Sci. Comu., 15 (1994), Gudmundsson, C. Kenney, and A. Laub, Small-samle saisical esimaes for marix norms, SIAM J. Marix Anal. Al., 16(3) (1995), Y. Cao, S. Li, L. R. Pezold, and R. Serban, Adjoin Sensiiviy Analysis for Differenial- Algebraic Euaions: he Adjoin DAE Sysem and is Numerical Soluion, SIAM J. Sci. Comu. 4(3) (3), J. homson and H. Sewar, Nonlinear Dynamics and Chaos. Wiley Jackson R. and Sacks-Davis R An Alernaive Imlemenaion of Variable Se-Size Mulise Formulas for Siff ODEs. ACM ransacions on Mahemaical Sofware, 6, Abramowiz, M. and Segun, I. A Handbook of Mahemaical Funcions wih Formulas, Grahs, and Mahemaical ables, 9h rining. New York: Dover,. 58. Coyrigh 6 Asociación Argenina de Mecánica Comuacional h://