Ingeniería Mecánica. Tecnología y Desarrollo ISSN: Sociedad Mexicana de Ingeniería Mecánica México

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1 Ingenieía Mecánica. Tecnología y Desaollo ISSN: fjso@sevido.nam.m Sociedad Meicana de Ingenieía Mecánica Méico Lviano Otiz, J. L.; Henández Geeo, A.; Ramos, E.; Lna, J. M. Análisis Hidodinámico del Fljo Oscilatoio Recipocante en Dcto Cilíndico Finito Ingenieía Mecánica. Tecnología y Desaollo, vol. 3, núm. 3, septiembe, 009, pp Sociedad Meicana de Ingenieía Mecánica Distito Fedeal, Méico Disponible en: Cómo cita el atíclo Númeo completo Más infomación del atíclo Página de la evista en edalyc.og Sistema de Infomación Científica Red de Revistas Científicas de Améica Latina, el Caibe, España y Potgal Poyecto académico sin fines de lco, desaollado bajo la iniciativa de acceso abieto

2 INGENIERÍA MECÁNICA TECNOLOGÍA Y DESARROLLO Fecha de ecepción: Fecha de aceptación: Vol. 3 No. 3 (009) 9-97 Análisis Hidodinámico del Fljo Oscilatoio Recipocante en Dcto Cilíndico Finito J. L. Lviano Otiz, A. Henández Geeo, E. Ramos, J. M. Lna Depatamento de Ingenieía Mecánica, nivesidad de Ganajato. Apdo. 5A, Salamanca, Ganajato, Méico, Tel j_lviano@yahoo.com.m, abelh@salamanca.gto.m, lna_fimee@yahoo.com.m Cento de Investigación en Enegía nivesidad Nacional Atónoma de Méico Apdo , Temico, Moelos, Méico em@cie.nam.m Resmen En este tabajo se pesenta n estdio nméico tidimensional paa analiza el compotamiento hidodinámico de n fljo oscilatoio ecipocante de n flido incompesible qe se encenta en el inteio de n dcto cilíndico de longitd finita. Paa genea el fljo ecipocante se colocaon en los etemos del dcto dos pistones qe se desplazan con n movimiento amónico y en fase. El númeo de Womesley fe de 6 y el desplazamiento aial/diámeto fe de no. El compotamiento hidodinámico del fljo es consideado y disctido paa las fases de aceleación y desaceleación del ciclo. Los esltados nméicos mestan la geneación de vótices paa difeentes fases del ciclo y no de los esltados específicos más epesentativos encontados es qe en la posición de 85, despés de qe los pistones alcanzan s máimo desplazamiento, el patón del fljo piede la simetía aial qe se había pesentado paa fases anteioes del ciclo. Abstact A nmeical thee-dimensional stdy has been caied ot to analyze the hydodynamic behavio of an incompessible peiodically evesing flow in a cylindical pipeline of finite length. In ode to geneate the ecipocating flow wee placed at the ends of the pipeline two pistons that move with a hamonic movement and in phase. The Womesley nmbe was set to 6 and the aial displacement/diamete was set to. The flow pattens ae discssed fo the acceleating and deceleating phases ding the oscillating cycle. The nmeical eslts show the geneation of votices fo diffeent phases. An inteesting eslt fond is that in the position of 85, jst afte the pistons eached the position of maimm displacement, the flow patten losses the aial symmety that had been peviosly developed. Palabas clave: Fljo oscilatoio ecipocante, dcto finito, númeo de Womesley, fljo incompesible Nomenclata Key wods: Peiodically evesing flow, finite length pipeline, Womesley nmbe, incompessible flow Símbolos Giegos A 0 Amplitd de la oscilación, ma /D D Diámeto del dcto [m] L p Longitd del dcto [m] p, P Pesión del flido, dimensional [Pa] y adimensional, R Coodenada adial, dimensional [m] y adimensional t, T Tiempo dimensional [s] y adimensional, Velocidad adial, dimensional [m/s] y adimensional, Velocidad aial, dimensional [m/s] y adimensional, Velocidad azimtal, dimensional [m/s] y adimensional,ma,,ma Velocidad aial máima pomedio de la sección tansvesal, dimensional [m/s] y adimensional, X Coodenada aial, dimensional [m] y adimensional ma Desplazamiento máimo del pistón [m] λ Númeo de Womesley, ω/ ν μ Viscosidad del flido [Pa s] ν Viscosidad cinemática del flido [m /s] f Ánglo de fase [ ] ω Fecencia oscilatoia [ad/s] Intodcción Los fljos oscilatoios en condctos cilíndicos se encentan con fecencia en impotantes aplicaciones de ingenieía tales como motoes de combstión intena y motoes Stiling. Las mediciones pioneas ealizadas po Richadson y Tyle (99) en fljos oscilatoios en condctos de sección cicla, indicaon qe bajo condiciones adecadas, la velocidad aial máima del flido oce ceca de la paed. Este fenómeno es conocido como efecto anla y contasta con el pefil Ingenieía Mecánica 9

3 INGENIERÍA MECÁNICA TECNOLOGÍA Y DESARROLLO Vol. 3 No. 3 (009) 9-97 de Poiseille en el qe la velocidad aial máima oce en el cento del condcto. na solción eacta a las ecaciones qe desciben el fljo dento de n condcto cicla sjeto a na difeencia de pesiones qe depende del tiempo de manea peiódica fe encontada po Womesley (955). chida (956) obtvo na solción analítica eacta paa los pefiles de velocidad de n fljo plsante spepesto a n fljo de velocidad constante. Hino et al. (976) estdiaon epeimentalmente la tansición del fljo sando n anemómeto de hilo caliente. El dcto sado po ellos tiene na asimetía en las condiciones de fontea; mientas en n etemo colocaon n pistón, el oto está abieto a la atmósfea. Ss mediciones mostaon qe paa los valoes del númeo de Reynolds vaiando de 05 a 5830, y paa los valoes del paámeto de Stokes vaiando de.35 a 6.9 se tenía n fljo lamina dante la fase de aceleación en la pimea mitad del ciclo, y paa númeos de Reynolds oscilatoios gandes, n fljo tblento dante la fase de desaceleación. Otos estdios teóicos como los de Rao y Devanathan (973) y Hall (000) saon petbaciones paa desaolla la fomlación del fljo plsante en n tbo de sección tansvesal vaiando lentamente. Del mismo modo, Ray et al. (00) consideaon el poblema inveso en el cal la azón del fljo másico plsante es especificada en lga del gadiente de pesión. Estos investigadoes ealizaon epeimentos paa confima la validez de ss modelos. En n conteto simila, Das y Aakei (996) pesentaon solciones analíticas del gadiente de pesión esltante y la distibción de velocidad paa na azón del fljo volmético vaiando con el tiempo en n dcto. Se asmió qe el fljo ea lamina y completamente desaollado. n estdio simila sobe fljo plsante en n canal con vaiación en la azón del fljo volmético fe pesentado po Mntges y Majdalani (974). Sin embago, ningno de estos estdios ha sido compobado po las validaciones epeimentales. Zhao y Cheng (005) investigaon epeimentalmente la tansición a la tblencia de n fljo oscilatoio ecipocante en n tbo con condiciones de fontea siméticas y conclyeon qe la desestabilización del fljo lamina oce también en la fase de desaceleación, confimando lo obsevado po Hino et al (976). Anqe ahoa se sabe qe paa cietas fases del ciclo el fljo aisimético piede estabilidad, las caacteísticas físicas de la desestabilización son todavía desconocidas. En este tabajo descibimos con detalle no de los mecanismos de la pédida de estabilidad sando n modelo qe inclye la solción nméica de las ecaciones de consevación de masa y cantidad de movimiento. Definición del Poblema Considéese n fljo oscilatoio ecipocante como el mostado en la Figa y qe consiste fndamentalmente de n condcto de longitd L p y diámeto D (D = L p /5). La oscilación del fljo es indcida po dos pistones qe se meven de manea sinsoidal con na fecencia (ω) y en fase (fecencia elativa ceo) dento del cilindo. El desplazamiento máimo y la velocidad máima de los pistones se denotan ma y,ma, espectivamente. Se spone qe el espacio dento del dcto está lleno de n flido newtoniano e incompesible. La velocidad m de los pistones está dada po = m, sinφ ma () donde el ánglo (f), está elacionado a la fecencia de oscilación (ω) y el tiempo (t) a tavés de la epesión f=ωt. Debe señalase qe la velocidad pomedio máima (,ma ) de la sección tansvesal está elacionada con el desplazamiento máimo del pistón ( ma ) po m, maω = Como condición de fontea, se considea qe las componentes aial, azimtal y adial de la velocidad son igal a ceo en todas las secciones de la paed qe no son movibles, y qe en las caas de los pistones, las componentes adial y azimtal son ceo y qe la componente aial tiene n valo igal a la velocidad del pistón. En este tabajo, se spone qe los pistones se desplazan de manea sinsoidal, con la misma fecencia y con na fase elativa de medio ciclo. Sólo se eploaán casos en los qe las velocidades son sficientemente bajas, como paa despecia los efectos de compesibilidad del flido. Figa. Geometía del condcto en el qe se simlaá el fljo oscilatoio ecipocante. El eje de coodenadas cilíndicas (,, ) está fijo especto a las paedes lateales y está alineado con el eje de simetía del dispositivo. Ecaciones de Consevación y Condiciones de Fontea Paámetos Adimensionales El escalamiento de las vaiables y los paámetos se hace de acedo a las definiciones sigientes ma X =, A0 =, R = D D D =, =, φ = ωt,ma =,ma,,ma p P =, T = ωt ρ,ma () (3) Septiembe 009, Vol.3 9 Análisis Hidodinámico del Fljo Oscilatoio Recipocante en Dcto Cilíndico Finito

4 INGENIERÍA MECÁNICA TECNOLOGÍA Y DESARROLLO Vol. 3 No. 3 (009) 9-97 Ecaciones de Consevación En coodenadas cilíndicas, las ecaciones de consevación de masa y cantidad de movimiento peden se escitas en foma adimensional como: Ecación de consevación de masa. Pistón deecho: X Lp A0 D cos φ = = sin( φ) = + ( ),ma (7) ( R R R )+ R ( ) + ( 0 X )= En la epesión anteio,, y son las componentes de la velocidad en las diecciones, y espectivamente. Ecaciones de consevación cantidad de movimiento. Diección adial : A T R R R 0 P R = ( 4λ R R R R ) + + R R Diección azimtal : A T R R R (4) (5a) + P + R = ( ) λ R R R R R R 4 Diección aial : (5b) A T R R 4λ R R R + + R R Condiciones de Fontea X + P = (5c) Las condiciones de fontea paa la velocidad adoptada en el pesente análisis nméico son de no deslizamiento en las paedes del condcto; esto es = = =0 en las paedes inmóviles. La posición de los pistones y las condiciones de fontea paa velocidad de los pistones en foma adimensional son: Pistón izqiedo: X = A0 cos + = = sin( φ),ma ( φ) (6) Pocedimiento Nméico La convesión de las ecaciones difeenciales de consevación en ecaciones algebaicas, se hizo sando la técnica de volmen finito. El fljo oscilatoio implica vaiaciones tempoales, como se mesta en las Ecaciones (5, 6 y 7), y po lo tanto, la simlación debe hacese como fnción del tiempo. A fin de simla los pistones se popso na malla defomable en la cal cada nodo adqiió na neva posición en cada paso de tiempo. En los cálclos nméicos se encontó conveniente ompe la egión de cálclo en tes difeentes tipos de malla: na malla independiente del tiempo paa la zona cental del condcto y dos mallas movibles en los etemos. Resltados Los esltados mostados en este tabajo coesponden al compotamiento hidodinámico del fljo ecipocante paa n númeo de Womesley λ= 6 y con na fecencia oscilatoia de ω=0.04 ad/s. Las popiedades dinámicas del fljo indican qe se peden distingi dos compotamientos calitativos: el estado tansitoio y el estado estacionaio. En el tansitoio, el fljo cambia s estcta como fnción del tiempo y el patón de movimiento es dependiente de las condiciones iniciales. En el estado estacionaio, anqe el fljo sige dependiendo del tiempo, despés de n deteminado ciclo, se encenta el mismo patón de movimiento. En este modo, el fljo es independiente de las condiciones iniciales y basta con descibi la dinámica paa n ciclo, pes este compotamiento se epite peiódicamente paa ciclos ftos. Estictamente hablando, el estado estacionaio sólo se alcanza de manea asintótica, peo dada la pecisión finita de los cálclos nméicos, se pede considea qe despés de n tiempo de cálclo, se ha alcanzado el estado estacionaio. En este tabajo, sólo se disctián los esltados obtenidos en el estado estacionaio. En la Figa se mesta la compaación de la solción obtenida paa el modelo nméico en el condcto cilíndico con especto a la solción analítica pesentada po chida (956) paa el pefil de velocidad. La solción de chida (956) paa el desplazamiento f=0 es mostada con ombos y se pede obseva qe se tiene na bena apoimación con la solción obtenida en el pesente tabajo. En las figas coespondientes a los campos de velocidad (Figas (3-0)) se tienen dos líneas amaillas veticales en cada no de los lados del dcto. Las líneas amaillas en los etemos del dcto coesponden a la posición de los pistones mientas qe las otas dos líneas amaillas coesponden Ingenieía Mecánica Lviano O. J. L., Henández G. A., Ramos E., Lna J. M. 93

5 INGENIERÍA MECÁNICA TECNOLOGÍA Y DESARROLLO Vol. 3 No. 3 (009) 9-97 al máimo desplazamiento qe los pistones alcanzan. Po lo tanto, cando no de los pistones se localice ceca de s máimo desplazamiento sólo se obsevaá na línea vetical amailla en ese etemo pes la línea coespondiente a la posición del pistón se spepondá con la línea qe coesponde al máimo desplazamiento del pistón. Se inicia la descipción del compotamiento, a pati de la posición f= 6º. En esta posición el flido se está aceleando en la diección +X, s compotamiento es simila al de n fljo nidieccional pes la mayo velocidad del flido se encenta en n adio mayo a R > /5. Ente las fases 90 <f< 80 los pistones, al igal qe el flido, se están desaceleando. Ceca de la posición f=50º (Figa 3), la velocidad del fljo cecano a la paed ha disminido y el fljo localizado ceca de la paed del dcto etona a pesa de qe en esta posición los pistones no han alcanzado aún s máimo desplazamiento. Debido a esto, en este pnto se foma n fljo a contacoiente, ya qe el flido localizado en el cento del dcto continúa moviéndose en la diección del movimiento de los pistones (+X) mientas qe el flido ceca de la paed se desplaza en la diección contaia (-X). La estcta de la capa límite en esta zona del dcto y en esta fase coesponde a la de la capa de Stokes paa n fljo oscilatoio. El fljo qe etona lo hace hasta na posición cecana a X=3/, donde es eincopoado al flido qe flye a lo lago de la pate cental del dcto. Figa. Veificación del pefil de velocidad adimensional con la solción analítica de chida [9]. En la posición f=50º (Figa 3) la velocidad de los pistones es meno qe la velocidad del flido localizado en la pate cental del dcto, po lo tanto, en esta posición el pistón es na baea qe fena al flido y esto ocasiona qe el flido etone my lentamente ceca de las paedes del dcto. Confome el ánglo de desplazamiento (f) se incementa, la velocidad del fljo cecano a la paed también incementa s magnitd, mientas qe la velocidad de fljo localizado en el cento del dcto decece y el compotamiento del fljo en la pate cental del dcto pasa a se simila al de n fljo nidieccional. En la posición f=70º, el flido cecano a la paed del dcto etona hasta na posición póima a X= 4/5 en la cal es eincopoado al flido qe flye po la pate cental del cilindo (ve Figa 4). Las líneas amaillas veticales localizadas en los etemos del dcto epesentan la posición de los pistones. Paa esta fase, f=70º el compotamiento del fljo en la pate cental del dcto es pácticamente nidieccional. Además, en esta posición el pistón deecho hace la fnción de na baea qe fena al flido qe flye po la pate cental del dcto pesto qe la velocidad del pistón es meno qe la velocidad del fljo, obligando de esta manea a qe el fljo etone ceca de las paedes del dcto. En la Figa 4 se pede apecia además qe el flido qe etona jnto a las paedes del dcto foma n fljo a contacoiente con el flido qe se meve en la pate cental del dcto en la diección +X. En la posición f=76º, el flido qe se encenta ceca de las paedes en la diección X, etona hasta na posición cecana a X=/ y es eincopoado al flido qe se meve en la pate cental del dcto. Además, en la pate deecha del dcto se continúa fenando el fljo. En la posición f=78.5 (Figa 5) el fljo cecano al pistón deecho foma n vótice con estcta simila a la de n tooide cyo cento está localizado en X=58/00, R= /50. na pate del flido qe se meve en la pate cental del dcto divege paa foma el vótice mientas qe ota pate sige moviéndose a lo lago del eje aial. En la posición f=79.5º (Figa 6) el fljo aial localizado jstamente antes del vótice es fozado a choca con esta estcta. En esta posición, se genea n pnto de estancamiento debido a la colisión de fente de los dos fljos aiales. En el cote bidimensional esta estcta se pede identifica como n pnto silla. En la zona más cecana al pistón, se foma n segndo pnto silla qe en conjnto con el pimeo definen el vótice. Paa esta fase, el cento de vótice está localizado en X=46/5, R=69/000, mientas qe las posiciones de los dos pntos silla son X=563/00, y X=9/5 espectivamente. En la posición f=80 (Figa 7), ceca del pistón izqiedo y sobe el eje aial, se localiza n pnto de estancamiento geneado po la nión del flido qe se meve ceca de las paedes y es eincopoado al flido qe se encenta en la pate cental del dcto. En esta fase, el cento del vótice deecho se ha desplazado a la posición X=463/50 y R=83/000 y la posición de cada no de los dos pntos silla es X=77/50, y X=7/0 espectivamente. A pati de esta fase (f=80º), el pnto silla localizado en el lado izqiedo segiá desplazándose hacia el lado deecho, mientas el oto pnto silla, localizado en el lado deecho se desplazaá hacia el lado izqiedo y ambos ián nidos al vótice qe simltáneamente incementa s tamaño. Paa f=8º (Figa 8) po na dinámica simila a la descita anteiomente, se foma n pnto silla en na posición cecana al pistón izqiedo, en la posición X=67/00. La estcta voticosa tooidal qe en fases anteioes se encontaba ceca del pistón deecho, se tansfoma en na speficie voticosa en foma de naiz qe avanza hacia la izqieda. Se encenta qe el pnto de estancamiento de mayo avance de esta estcta, se encenta en la posición X=537/000. El oigen de la fomación de la speficie de vótice obedece a la Septiembe 009, Vol.3 94 Análisis Hidodinámico del Fljo Oscilatoio Recipocante en Dcto Cilíndico Finito

6 INGENIERÍA MECÁNICA TECNOLOGÍA Y DESARROLLO Vol. 3 No. (009) 9-97 Figa 3. Campo de velocidad adimensional ( ) en la posición φ = 50 º en el plano XY (= 0). Los coloes de la velocidad coesponden a s magnitd y la baa está en nidades adimensionales Figa 4. Campo de velocidad adimensional ( ) en la posición φ = 70 º en el plano XY ( = 0). Los coloes de la velocidad coesponden a s magnitd y la baa está en nidades adimensionales. Figa 5. Campo de velocidad adimensional ( ) en la posición f=78.5 º en el plano XY ( = 0). Los coloes de la velocidad coesponden a s magnitd y la baa está en nidades adimensionales. acción qe el pistón deecho ejece en el fljo pes el pistón está etonando y po lo tanto a pati este pnto en el ciclo el vótice comenzaá a desapaece gadalmente. En la fase f=85º (Figa 9), el pnto silla izqiedo está localizado en X= 7/8 y el pnto de estancamiento del lado deecho ha desapaecido. El compotamiento de fljo del lado deecho es desodenado, compesto po peqeños vótices ieglaes qe son podcto de la desestabilización de la speficie voticosa. En la posición f=85.5 (Figa 0) la mayo pate del flido se desplaza en la diección -X, sin embago, na peqeña cantidad de flido continúa desplazándose en la diección +X. Así, el fljo qe va a la deecha, se encenta confinado a na bbja qe tiene na estcta de fljo simila a n vótice tooidal y los dos pntos silla qe se foman en el eje aial, delimitan las fonteas de la bbja. En esta fase, las posiciones de estos pntos de estancamiento son X=9/0 y X=7/5. A pati de esta fase los dos pntos de estancamiento continaán acecándose e indciendo de esta manea a na edcción gadal del tamaño del vótice. na vez qe el vótice desapaece, el compotamiento global del movimiento del flido seá simila al de n fljo nidieccional. Conclsiones Motivados po las aplicaciones de vangadia en las cales n fljo oscilatoio podía se sado paa divesas aplicaciones, se analizó el compotamiento hidodinámico del fljo Ingenieía Mecánica Lviano O. J. L., Henández G. A., Ramos E., Lna J. M. 95

7 INGENIERÍA MECÁNICA TECNOLOGÍA Y DESARROLLO Vol. 3 No. 3 (009) 9-97 Figa 6. Campo de velocidad adimensional () en la posición φ =79.5 º en el plano XY ( = 0). Los coloes de la velocidad coesponden a s magnitd y la baa está en nidades adimensionales. Figa 7. Campo de velocidad adimensional () en la posición φ = 80 º en el plano XY (= 0). Los coloes de la velocidad coesponden a s magnitd y la baa está en nidades adimensionales. Figa 8. Campo de velocidad adimensional () en la posición φ =8 º en el plano XY (= 0). Los coloes de la velocidad coesponden a s magnitd y la baa está en nidades adimensionales. Figa 9. Campo de velocidad adimensional () en la posición φ =85 º en el plano XY (= 0). Los coloes de la velocidad coesponden a s magnitd y la baa está en nidades adimensionales. Figa 0. Campo de velocidad adimensional () en la posición φ = 85.5 º en el plano XY (= 0). Los coloes de la velocidad coesponden a s magnitd y la baa está en nidades adimensionales. Septiembe 009, Vol.3 96 Análisis Hidodinámico del Fljo Oscilatoio Recipocante en Dcto Cilíndico Finito

8 INGENIERÍA MECÁNICA TECNOLOGÍA Y DESARROLLO Vol. 3 No. 3 (009) 9-97 oscilatoio en n condcto cilíndico. Se popso na metodología de integación de las ecaciones de consevación qe inclye na malla defomable paa simla la posición de los pistones en cada paso de tiempo. Además de obseva en este tabajo el conocido efecto de Richadson, así como la capa límite de Stokes, fe posible apecia la fomación y el desaollo de vótices del tipo tooide geneados en el ciclo, ceca de f=80º. De manea my inteesante, este estdio pemitió analiza los pntos cíticos como los pntos silla o pntos hipebólicos y los centos de vótice o pntos elípticos. Además el análisis tidimensional pemitió obseva qe paa los paámetos eploados, el compotamiento del fljo no es aialmente simético en n beve intevalo del ciclo. Refeencias E. G. Richadson and E. Tyle, The tansvese velocity gadient nea the moths of pipes in which an altenating o continos flow of ai is established, London Vol. 4, pp. -5, (99). J. R. Womesley, Method fo the calclation of velocity, ate of the flow and viscos dag in ateies when the pesse gadient is known,. Vol. 7, pp , (955). S. chida, The plsating viscos flow speposed on the steady lamina motion of an incompessible flid in a cicla pipe",. Vol. 7, pp , (956). M. Hino, M. Sawamoto, and S. Takas, Epeiments on the tansition to tblence in an oscillating pipe flow,, Vol. 75, pp , (976). Rao, A. R., and Devanathan, R., Plsatile Flow in Tbes of Vaying Coss-Sections",, Vol. 4, No. 4, pp. 03 3, (973). D. Das, and J.H Aakei. nsteady lamina dct flow with a given volme flow ate vaiation. Tans. ASME:, Vol. 67, Isse, pp. 74-8, (000). Mntges, D. E., and Majdalani, J., Plsatoy Channel Flow fo an Abitay Volmetic Flowate, 3nd AIAA Flid Dynamics Confeence and Ehibit. St. Lois, Missoi AIAA Pape , Jne, (00). T. Zhao, and P. Cheng, Epeimental stdies on the onset of tblence and fictional losses in an oscillatoy tblent pipe flow, Vol. 7, pp , (996). Hall, P., nsteady Viscos Flow in a Pipe of Slowly Vaying Coss-Section,, Vol. 64, No., pp. 09 6, (974). S. Ray, B. Ünsal, F. Dst, Ö. Etnc, O. A. Bayomi. Mass flow ate contolled flly developed lamina plsating pipe flows", Tans. ASME:, Vol. 7, Isse 3, pp , (005). Ingenieía Mecánica Lviano O. J. L., Henández G. A., Ramos E., Lna J. M. 97