Tema 9 : Movimientos en una y dos dimensiones 1

Transcripción

1 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione En la fiura e repreenta la ecuación de poición de un cuerpo. Deterina dicha ecuación y calcula a partir de ella, qué poición tendrá el cuerpo en t 0. Poición inicial x 0 4 x x0 Pendiente de la recta v 3 4 t Ecuación: x(t) + 3t () Lueo x(0) Repreenta la ráfica velocidad-tiepo y aceleración-tiepo durante lo diez priero eundo de un cuerpo que e deplaza en línea recta con a 0,6 / en la dirección y entido del oviiento i: aa) ) parte del repoo bb) ) Su velocidad inicial e de 5 /. aa) ) v 0 0 / y a 0,6 / v(t), lueo a v 0 + at 0,6t, repreentación: 0,6 t v 0,6,,8,4 3 3,6 4, 4,8 5,4 6 bb) ) v 0 5 / y a 0,6 /, lueo v(t) v0 + at 5 + 0,6t a 0,6, repreentación: Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

2 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione t v 5,6 6, 6,8 7,4 8 8,6 9, 9,8 0,4 3 La ecuación de poición de un cuerpo que e deplaza a lo laro de una recta viene dada por la iuiente expreión: x 80-3t aa) ) Deterina u ecuacione de velocidad y aceleración en función del tiepo. Qué inificado tienen lo ino de la velocidad y la aceleración? bb) ) Calcula en intervalo de 0,5 y durante lo cinco priero eundo, lo valore de u poición y velocidad. cc) ) Repreenta, en el intervalo indicado, la ráfica x-t v-t y a-t. aa) ) La velocidad intantánea e la derivada de la poición repecto del tiepo: dx d(80 3t ) v(t) 6t dt dt La aceleración intantánea e la derivada de la velocidad repecto del tiepo: dv d( 6t) a 6 dt dt Lo ino neativo de la velocidad y la aceleración inifican que actúan en entido contrario a la poición. bb) ) cc) ) t () 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 x(t) 79, ,5 68 6, ,5 3 9,5 5 v(t) / Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

3 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 3 4 Cuál e la ecuación de velocidad que correponde a la ráfica adjunta? v v v0 Coo a v v0 + at en donde la aceleración e t t la pendiente de la ráfica de la velocidad frente al tiepo y cuyo valor e: 5 60 a,44,5 La ecuación de la velocidad e: v v 0 + a t 60,44 t /. 5 Un cuerpo e deplaza a lo laro de una recta con una aceleración contante de +0,8 /. Repreenta u ráfica velocidad-tiepo en lo diez priero eundo i partió con una velocidad inicial de - /. Deterina poteriorente la ecuación de velocidad en función del tiepo. En qué intante e hace cero u velocidad? Vuelve a er cero en alún otro intante? Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

4 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 4 Aceleración a 0,8 / Velocidad inicial v 0 - /. Tiepo t 0 t v -, -0,4 0,4,,8 3,6 4,4 5, 6 v (t) v 0 + at - + 0,8 t (/) La velocidad e anula para t.5 coo puede vere en la ráfica y al er la celeración 0,8 poitiva, la velocidad va creciendo y no e vuelve a anular 6 Cuánto tarda la luz del Sol en llear a nootro teniendo en cuenta que aquél e halla a una ditancia edia de la Tierra de k y que la luz e propaa aproxiadaente a /? (Reuelve la actividad ituándote tú io coo orien del itea de referencia.) e e Coo la velocidad de la luz e contante: v t 498,7 8, 3 in. t v / 7 Do vehículo (A y B) inician iultáneaente un viaje en la ia dirección y entido. El vehículo A, con una velocidad de 80 k/h, parte de una localidad que e halla a 30 k del vehículo B, que e deplaza a 0 k/h. aa) ) Cuánto tiepo trancurrirá hata que el eundo vehículo dé alcance al priero? Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

5 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 5 bb) ) Qué ditancia habrá recorrido el vehículo A en el oento del encuentro? Y el vehículo B? aa) ) Cuando el óvil B alcance al A, la ditancia que recorre el óvil B e 30 k á que la recorre el óvil A, en el io tiepo t: x B 30 + x A, 0t t; 0t 80t 30; 30t 30; t 30/30 hr. bb) ) x A 80t 80 k y x B k. 8 Qué repreenta la pendiente de la ráfica x - t del oviiento rectilíneo unifore? (Si tiene aluna duda, repreenta la ecuacione de poición x 3 + t y x 3 + 4t y copárala.) x x x0 Coo v x x0 + vt, la t t pendiente del deplazaiento en un.r.u. e la velocidad (contante) del oviiento. Veo en la ráfica adjunta que la pendiente del deplazaiento de la priera e la itad del deplazaiento de la eunda, e ueve con la itad de la velocidad, lueo recorre la itad de epacio en el io intervalo de tiepo. t x x Cuál de la iuiente ráfica repreenta un valor á alto de la velocidad? Coo la pendiente de la ráfica x-t e la velocidad del oviiento, la priera ráfica que e la que tiene ayor pendiente e la que repreenta un oviiento de ayor velocidad, in ebaro en la tercera el ódulo de la velocidad e ayor pero la pendiente e neativa pue la velocidad lleva entido contrario al deplazaiento. Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

6 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 6 0 La ecuacione de oviiento de do óvile A y B on xa 5t y xb 40 t (). Deterina: aa) ) Qué ditancia le epara inicialente? bb) ) En que entido relativo e ueven uno repecto del otro? cc) ) En que intante e cruzan? dd) ) Repreenta el oviiento de aba en una ia ráfica x-t. aa) ) Para t 0, x A0 0 y x B0 40 lueo la ditancia que le epara inicialente (para t 0) e de 40. bb) ) La velocidad del óvil A e de 5 / (pendiente de la ecuación del oviiento de A) y la del B e / (pendiente del B) lueo A y B tienen entido opueto. cc) ) Cuando e encuentre el epacio recorrido erá el io: 5t 40 t; 7t 40; t 40/7 0. dd) ) Gráfica adjunta. t x A x B Do vehículo (A y B) parten uno al encuentro de otro dede do localidade que ditan entre í 400 k. El vehículo A viaja a 00 k/h, ientra que el B, que inicia el viaje un cuarto de hora depué, lo hace a 0 k/h. aa) ) Cuánto tiepo paa dede que partió A hata que e produce el encuentro? bb) ) Qué ditancia ha recorrido ete vehículo? Reuelve la cuetión nuéricaente y repreéntala en una ráfica poición-tiepo. aa) ) Si llaao E al punto de encuentro la ua de ditancia recorrida por lo do vehículo hata encontrare ha de er la que le epara e decir 400 k, adeá i noinao t al tiepo que tarda A en llear al punto de encuentro, el tiepo que tarda B erá t 0,5 ya que ale un cuarto de hora depué: Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

7 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 7 AE + BE 400 k; 00t + 0(t -0,5) 400; 00t + 0t ; 0t 430; t 430/0,954 hr bb) ) x A 00t 00,954 95,45 k. t 3 4 x A x B Deterina la aceleración correpondiente a la ráfica. Sabría deterinar por procediiento ráfico el deplazaiento efectuado? v a t v f v t 0 v0 v v 0 Coo la velocidad intantánea e: de v de vdt de vdt e e0 vdt dt Lueo para calcular el epacio en la ráfica v-t bata con hallar el área bajo ella que e lo que inifica la interal, en ete cao el área del trapecio: v 0 v0 + B + b 3 0 h 0 v0 e 3 3 Un equiador de alto deciende con aceleración contante, de odo que duplica u velocidad de 0 / a 0 / en 3. Deterina ráficaente ( o uando el teorea de Merton) el epacio que habrá recorrido en ee intervalo. Ya que en el ejercicio anterior heo utilizado el procediiento ráfico ahora uao el teorea de Merton: Velocidad edia 5 e v t Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

8 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 8 4 La nave tranbordadora Dicovery lleva una velocidad de 70 k/h en el oento del aterrizaje. Cuando entra en contacto con el uelo, depliea lo paracaída de frenado que, junto con lo propio freno de la nave, hacen que éta e detena totalente en 0. aa) ) Cuál ha ido la aceleración, uponiéndola contante, de frenado? bb) ) Qué ditancia ha recorrido la nave durante el frenado? k 000 h Velocidad inicial v h k 3600 Velocidad final v 0 / (ya que e detiene). Tiepo de frenado t 0. aa) ) v v a t bb) ) e e0 + v0 t + at k. 5 PAU Un tieto cae obre un viandante dede el balcón de un quinto pio que etá a 3. De cuánto tiepo dipone la perona en cuetión para evitar el olpe i u etatura e de,75? (En u caída, el tieto e acelera a razón de 9,8 /.) El epacio que ha de recorrer el tieto hata ipacta con la cabeza del viandante e de x 3,75,5. Coo la velocidad inicial del tieto e nula: x,5 x t t,5. 9,8 6 Contruye la ráfica poición-tiepo correpondiente a la ecuación x x0 -/at durante lo 0 priero eundo, abiendo que x0 00 y a /. A continuación, deterina en qué tiepo x e iual a 0. La ecuación de la poición del oviiento repecto del tiepo queda, al utituir valore: Si x 0 t 00 4, 4. x 00 - t 00 t La tabla de valore y la repreentación ráfica de la poición hata t 0 on: Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

9 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 9 t() x() Qué lleará ante al uelo, una pila alcalina rande o un folio? Por qué? Copruébalo. En la realidad, lleará ante al uelo la pila alcalina. Llea ante la pila porque el rozaiento con el aire e enor y la fuerza de epuje del aire hacia arriba tabién e enor. 8 Repite la operación haciendo una bola copacta con el folio. Qué ocurre ahora? Pea ahora á el folio? Cuál puede er entonce el factor ditorionador de la experiencia? Que llean cai al io tiepo porque ahora el rozaiento ( que depende de la uperficie de rozaiento) y el epuje acenional ( que depende del voluen) on á parecido. El folio pea lo io que ante pero ocupa un enor voluen y tiene una uperficie enor. El efecto ditirionador era el rozaiento con el aire y el epuje acenional que ejerce el aire obre lo objeto en u eno. 9 Oberva el vídeo copleto de la caída de la plua y el artillo en la Luna en y haz una etiación, uando la etiacione pertinente, de la aceleración ravitatoria de caída libre en la Luna. Medio el tiepo (cronóetro en ano) que eplean lo objeto en recorrer un cierto epacio, 3, por ejeplo dede la poición de repoo v 0 0 /, y obteneo t, i aplicao la fórula del epacio podeo depejar el valor de la ravedad en la Luna ( L ): Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

10 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 0 e 3 e v 0t + Lt e Lt L,5 t () 0 PAU En un capeonato de alto obre picina dede palanca, uno de lo participante e deja caer dede la potura inicial de «pino». Si la platafora tiene 0 de altura: aa) ) De cuánto tiepo dipone para ejecutar u pirueta? bb) ) Con qué velocidad entrará en el aua? Reponde a la cuetione dede el punto de vita tanto del hipotético altador coo dede el de un jurado que etuviera ituado a ra de aua. Coprueba la identidad de lo reultado. aa) ) Dede el punto de vita del altador Velocidad inicial v0 0 Altura inicial y0 0 Aceleración ravedad 9,8 Altura y 0 y y0 + v0t + t y t t y 0 9,8,43 Dede e punto de vita del jurado Velocidad inicial v0 0 Altura inicial y0 0 Aceleración ravedad 9,8 Altura y 0 y y0 + v0t t y y0 t t y0 0 9,8,43 bb) ) Dede el punto de vita del altador v v 0 + t v t v v v t y y y0 + v0t + t y t Dede e punto de vita del jurado v y 9,8 0 4 v v 0 t y y0 + v0t t v t y0 t v t y0 v v v y0 9,8 0 4 Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

11 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione Revia tu contetación a la cuetión previa núero por i cree neceario odificar tu idea. Si dejao caer iultáneaente do cuerpo, de ditinta aa, dede la ia altura lo do llean al uelo a la vez y con la ia velocidad ya que ea anitude no dependen de la aa, ólo de la altura y velocidade iniciale ( i etán en un io punto, iual ravedad). v v0 + t y y0 + v0t + t Suponao una pelota lanzada verticalente. Coprueba que exite ietría entre el oviiento de aceno y el de deceno Por que cree que e aí? Velocidad inicial v 0 a) Hallao el tiepo que la pelota tarda en llear al punto á alto, en que u velocidad erá nula: v0 v v0 t t v0 v0 v0 v0 v0 En ete tiepo la pelota llea a una altura y v0 t t v0, ahora hallao el tiepo que tarda en caer, e decir en recorrer, hacia abajo, ea altura, teniendo en cuenta que ahora la velocidad inicial e nula : v0 v0 v0 y v0 t + t t t t Veo pue que el tiepo que eplea en ubir e el io que en bajar, iendo el oviiento iétrico repecto del tiepo. b) Coo ya abeo el tiepo que tarda en caer, calculao la velocidad con que lleará al uelo: v0 v v0 + t v0 Que coincide con la velocidad inicial con que fue lanzada, lueo tabién tiene ietría repecto de la velocidad ( relación epacio/tiepo). 3 El faoo «jet d eau» (chorro de aua) del lao Lean en Ginebra (Suiza) alcanza una altura de 40 Con qué velocidad ana el aua de la fuente? Cuánto tarda el aua aliente en alcanzar u altura áxia? Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

12 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione Si depejao el tiepo de la ecuación de la velocidad v v 0 t, teniendo en cuenta que la velocidad a la altura áxia (y 40 ) e nula y lo utituio en la ecuación de la altura teneo: v 0 y v0 y 9, ,38 Ahora para hallar el tiepo de ubida del aua ólo heo de utituir en la ecuación de la velocidad: 5,38 0 v0 v v v 0 t t 5, 34. 9,8 4 Indica cuále erían la ecuacione que decribirían un lanzaiento vertical hacia abajo eún: aa) ) El propio lanzador. bb) ) Un obervador ituado en el uelo. aa) ) Altura inicial y 0 0 ( ya que el orien etá en el lanzador) Velocidad inicial con que e lanza el cuerpo v 0 Aceleración con que e ueve el cuerpo la de la ravedad en ee punto. Ecuacione: De la velocidad : v v + 0 t Del epacio, poición o altura : y t bb) ) Altura inicial y 0 0 ( ya que el orien etá en el uelo) Velocidad inicial con que e lanza el cuerpo -v 0 Aceleración con que e ueve el cuerpo la de la ravedad en ee punto -. De la velocidad : v v 0 t Ecuacione: Del epacio, poición o altura : y y0 - t La velocidad e neativa pue e aproxia al orien (obervador en el uelo) y la poición o altura irá diinuyendo dede el punto de lanzaiento (y 0 ) hata hacere nula cuando lleue al uelo. 5 Si da una patada a un balón a de altura del uelo, éte ale depedido verticalente. Al cabo de 5 el balón cae. Calcula: aa) ) Cuál fue la velocidad con qué alió diparado el balón? bb) ) Hata qué altura aciende? cc) ) Al cabo de cuánto tiepo vuelve a paar por la altura inicial de? aa) ) Si toao el orien en el uelo, cuando el balón lleue al uelo la altura y erá nula, y 0, lueo: Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

13 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 3,5 y y0 + v0t t 0 + v v0,5 v0 4,3. 5 bb) ) Priero hallao el tiepo epleado en llear al punto á alto de la trayectoria ( v 0): 4,3 v v0 t 0 4,3 9,8t t,48 9,8 y, ahora, la altura a que llea en ee tiepo: y y0 + v0t t y + 4,3,48 9,8,48 3,. cc) ) Coo tarda en ubir lo io que en bajar, paa de nuevo por a loe,48 4,96. 6 Un altador de trapolín ejecuta un alto vertical en la picina con una velocidad inicial de 5 / dede una altura de 5. aa) ) Cuánto tiepo tarda en llear al aua? bb) ) Se te ocurre aluna explicación para el valor neativo del tiepo que aparece en la olución. aa) ) Si toao el itea de referencia el aua, cuando el altador lleue al aua, la altura erá nula, y 0, lueo: y y0 + v0t Lueo t,64. t t 9,8 t 5 ± ,9t + 5t t 9,8 5 ±,09 0,6 9,8,64 bb) ) el valor neativo t -0,6 ería el tiepo que tardaría en llear al aua dede lo 5 de altura. 7 Una pelota de teni e acada horizontalente dede,0 de altura a una velocidad de 40 k/h. A qué ditancia horizontal caerá? Qué velocidad llevará al contactar con el uelo? Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

14 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 4 El oviiento de avance eún el eje horizontal e rectilíneo y unifore: v x vox x v x t v0 cte. El oviiento de caída e rectilíneo y uniforeente acelerado: v y t y y0 t Ya que la coponente vertical de la velocidad inicial, e nula. Para hallar la ditancia a la que cae, alcance áxio x ax, hallao el tiepo que tarda en llear al uelo (y 0) eún el oviiento vertical y lo utituio en la ditancia recorrida en horizontal:,0 y y0 t 0,0 9,8 t t 0,67 9,8 lueo x ax v x t ax v 0 t 38,9 / 0,67 6,06 e el alcance áxio. La velocidad al llear al uelo erá la copoición de la velocidade eún lo do eje, la coponente horizontal e conocida y contante v x v 0x v 0, y la vertical la hallao: v y t 9,8 0,67 6,57 El vector velocidad e, pue: v v x i + v y j 38,9 i 6,57 j y u ódulo e: v v x + v y 38,9 + ( 6,57) 39,45 8 Deduce la ecuación de la trayectoria del altador de lonitud que relaciona x con y. Coprueba que e trata de la ecuación de una parábola. Eplea el io procediiento que e dearrolló en la aplicación del lanzaiento horizontal. Depejao el tiepo de x x v0x t t v0x y lo utituio en la ecuación de la altura y: x x x y v0 yt t v0y v0 en x t x x ax bx v v α α + v co 0x 0x 0 α v 0x v 0x Que e la ecuación de un parábola hacia abajo (áxio). 9 Deuetra, de un odo iilar a coo e hacía con el lanzaiento vertical que el valor de la velocidad en el punto de aterrizaje en un oviiento parabólico e iual al valor de la velocidad de lanzaiento. Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

15 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 5 Coo la velocidad eún el eje horizontal peranece contate, ólo heno de deotrar que eún el eje vertical, la velocidad con que llea al uelo, v y, e iual, en ódulo, que la de lanzaiento, v 0y, : Hallao el tiepo que el cuerpo tarda en llear al punto á alto, en que u velocidad erá nula: v0y v v0 y t t Coo ya abeo el tiepo que tarda en caer, que e iual a l de ubida, calculao la velocidad con que lleará al uelo: v0y v y t v0y Que coincide con la velocidad inicial con que fue lanzada. 30 Con qué ánulo de depeue e coniue el ayor alcance en un oviiento parabólico a iualdad de lo deá factore? v0enα Partio de la fórula del alcance áxio: xáx, que tendrá u valor áxio cuando enα (que e el ayor valor que puede toar el eno de un ánulo), coo el eno e uno cuando el ánulo e 90º, α 90º, lueo α 45º, el alcance áxio e coniue cuando el lazaiento e realiza eún la biectriz del prier cuadrante. 3 La aceleración lunar e una ei vece enor que la terretre. En una de la iione Apolo, un atronauta dedicó parte del tiepo a juar a olf. Si con un olpe counicó a la pelota una velocidad de 7 / con un ánulo de elevación de 40, a qué ditancia cayó la bola? x áx v0enα 7 en80º 9,54 9,8 / 6 3 Coprueba, a partir de la expreión del alcance áxio, cóo puede lorare un io alcance con do ánulo ditinto (uponiendo que peranezcan fijo lo deá factore). Qué relación uardan ea pareja de ánulo? v0enα x áx xáx enα k coo el eno de un ánulo v0 e poitivo en el priero y eundo cuadrante: Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

16 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 6 α arcenk α arcenk y α 80º arcenk lueo lo ánulo on copleentario, i el α 90º arcenk enor e de 5º el otro ánulo que lora el io alcance áxio e de 90º - 5º 65º. 33 Qué arca habría coneuido el ítico Bob Beaon i u alto hubiera tenido luar en lo árido y pedreoo deierto arciano? (Dato: arca de Bob Beaon en México en 968 8,90 ; Marte 3,6 /.) Coo xáx v 0 enα, ( x ) áx ( x ) áx Marte Tierra 4, de lonitud habría altado en Marte. 0 v enα Marte 0 v enα Tierra Tierra Marte 9,8 3,6 Tierra ( x ) ( x ) 8,90 áx Marte áx Tierra Marte 34 Para uperar lo,30 de altura, un atleta alta con una velocidad de 5, / y un ánulo de 75º. Si u centro de ravedad etá a, del uelo, e dan la condicione para que pueda batir la arca? v0en α 5, en 75º y y0 +, +,34 altaría, lueo í bate la arca. 9,8 35 Una trainera avanza contracorriente, ientra un obervador en repoo ituado en la orilla ide u velocidad neta: 3 k/h. Sabeo que la velocidad de de la corriente e de 8 k/h. aa) ) A qué velocidad avanzaría la trainera en aua repoada?. bb) ) Qué velocidad edia ediría el obervador de la orilla i la trainera avanza a favor de la corriente? aa) ) Si toao el entido poitivo el contrario al del oviiento el de la corriente: Velocidad de la trainera n aua repoada v, ya que avanza en entido contrario. Velocidad de la corriente v c - 8 k/h. Velocidad neta v n 3 k/h. v n v c + v v v n v c 3 (- 8) 40 k/h. Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN

17 Tea 9 : Moviiento en una y do dienione 7 bb) ) v n v c + v k/h ya que ahora la velocidad de la corriente e del io entido que el oviiento y vale v c 8 k/h. 36 Sabiendo que la Luna copleta u órbita alrededor de la Tierra en 7,3 día (período idéreo) y que u ditancia edia e de k, cuál e la aceleración centrípeta (ravitacional) que actúa obre la órbita de ete atélite? ac 4π r T 4π ,7 0 ( 7, ) 37 La Tierra copleta una vuelta alrededor del Sol en 365 día. Si la ditancia edia al Sol e de k, calcula: aa) ) bb) ) aa) ) La velocidad anular orbital de la Tierra. bb) ) Su velocidad lineal. π π rad ω 0 7. T rad v ω R 0, Fíica y Quíica º Bachillerato - OXFORD EDUCACIÓN