TEMA 5: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS

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1 AIGNATURA: ETADÍTICA II (Grado ADE,MIM,FB) TEMA 5: CONTRATE DE HIPÓTEI PARAMÉTRICA 5.. Cotrastes aramétricos ara ua oblació 5... Cotrastes ara la media de ua distribució Normal 5... Cotrastes ara la media. Caso geeral Cotrastes ara la variaza de ua distribució Normal 5.. Cotrastes ara dos oblacioes: muestras ideedietes 5... Cotrastes ara la diferecia de medias e variables Normales 5... Cotraste de igualdad de variazas e variables Normales Cotrastes ara la diferecia de medias. Caso geeral 5.3. Cotrastes ara la diferecia de medias: muestras areadas 5.4. Cotrastes ara roorcioes Cotrastes ara ua roorció Cotrastes ara la diferecia de roorcioes

2 OBJETIVO: Al fializar este tema, el alumo será caaz de: realizar cotrastes sobre la media y la variaza de ua distribució ormal comarar dos oblacioes ormales e térmios de la diferecia de medias y la igualdad de variazas idetificar los roblemas co muestras ideedietes y co muestras areadas realizar cotrastes ara ua y dos roorcioes elegir e cada situació el estadístico de cotraste más adecuado y justificar su elecció defiir la regió crítica aroiada ara cada tio de roblema iterretar críticamete los resultados de u cotraste, señalar sus cosecuecias y tomar las decisioes oortuas e base a dichos resultados.

3 5.. CONTRATE PARAMÉTRICO PARA UNA POBLACIÓN 5... CONTRATE PARA LA MEDIA DE UNA DITRIBUCIÓN NORMAL Ejemlo : ea X la variable retabilidad de cierto tio de fodos de iversió. e cosidera que la media de esta variable es 5. U ecoomista afirma que dicha retabilidad media ha variado, or lo que lleva a cabo u estudio sobre ua muestra de 9 fodos cuya media muestral resulta ser de 5,38 y cuya variaza muestral corregida (cuasivariaza) es,93. Co estos datos, cómo cotrastar la afirmació del ecoomista al 5%? ea (X,...,X ) m.a.s. de X N(µ,σ) Ejemlo tomado de la asigatura Estadística II de la Uiversidad Carlos III de Madrid (htt:// 3

4 5... Co variaza σ coocida H :µ=µ Estadístico de cotraste: PivoteI.b. Z*= Hiótesis alterativa: X σ/ µ H N(,) H :µ>µ -α N(,) α Rechazo H cuado: X µ σ/ z α -valor=(z* z obs ) z α H :µ<µ α -α Rechazo H cuado: X µ σ/ -z α -valor=(z* z obs ) -z α H :µ µ α/ -α α/ Rechazo H cuado: X µ σ / z α/ -valor=(z* z obs ) -z α/ z α/ 4

5 5... Co variaza σ descoocida H :µ=µ Estadístico de cotraste: PivoteI.c. t*= Hiótesis alterativa: X µ c / H t - H :µ>µ -α t - α Rechazo H cuado: X µ c / t α -valor=(t* t obs ) t α H :µ<µ α -α t - Rechazo H cuado: X µ c / -t α -valor=(t* t obs ) -t α H :µ µ α/ -α α/ Rechazo H cuado: X µ c / t α/ -valor=(t* t obs ) -t α/ t α/ 5

6 Relació etre cotrastes bilaterales e itervalos de cofiaza: H :µ=µ H :µ µ Regió crítica: C={ X µ c / t α/ } = { X µ c / -t α/, X µ c / t α/ } co H (C)=α Regió de acetació: A= {-t α/ ={ X t c α / µ X + t α / c X µ }={ µ c / α / c c t α/ } = { t X µ t }= c α / X ± t }, co H (A)=-α i µ Itervalo de Cofiaza ara µ co ivel de cofiaza -α Aceto H :µ=µ co ivel de sigificació α α / Cotrastar H :θ=θ frete a H :θ θ co u ivel de sigificació α EQUIVALE A: Costruir u itervalo de cofiaza ara θ, co ivel de cofiaza -α, y rechazar H si θ o está e dicho itervalo. 6

7 Ejemlo : (cotiuació) Formular la hiótesis ula y la hiótesis alterativa: Defiir el estadístico de cotraste: Defiir la regió crítica ara el ivel de sigificació dado: Calcular el valor del estadístico de cotraste ara la muestra dada: Tomar la decisió: Calcular el -valor: Obteer el itervalo de cofiaza ara µ al 95% y cometar resultados 7

8 5... CONTRATE PARA LA MEDIA. CAO GENERAL ea (X,...,X ) m.a.s. de X co E(X)=µ y Var(X)=σ H :µ=µ H :µ=µ H :µ=µ H :µ>µ H :µ<µ H :µ µ Teorema Cetral del límite: Z*= X σ/ µ A ~ N(,) σ descoocida! sustituirla or u estimador suyo σ cosistete Estadístico de cotraste: Z*= X µ σ / A ~ N(,) 8

9 5..3. CONTRATE PARA LA VARIANZA DE UNA DITRIBUCIÓN NORMAL H :σ = σ Estadístico de cotraste: PivoteI.d. σ H χ - Hiótesis alterativa: H :σ > σ -α H :σ < σ α Rechazar H cuado: σ χ -,-α α -α Rechazar H cuado: σ χ -, α H :σ σ Rechazar H cuado: χ σ χ ó α, /, α/ σ 9

10 5.. CONTRATE PARA DO POBLACIONE INDEPENDIENTE 5... CONTRATE DE DIFERENCIA DE MEDIA EN VARIABLE NORMALE Ejemlo : El deartameto de cotrol de calidad de ua emresa sosecha que la calidad media de los roductos fabricados e el turo de oche es iferior a la de los roductos fabricados e el turo de día. Para cotrastar esta sosecha, se elige al azar 8 roductos fabricados e cada turo y se obtiee los siguietes ídices de calidad Turo de día Turo de oche X,...,X m.a.s. de ua N(µ,σ ) X,...,X m.a.s. de ua N(µ,σ ) ideedietes

11 5... Variazas coocidas H :µ -µ =δ H :µ -µ >δ Estadístico de cotraste: Pivote II.a. Bajo H Z * = N(,) ( X X ) δ σ σ + N(,) -α α Rechazar H si Z * z α. z α Y si queremos cotrastar alterativas distitas: de otro lado o bilateral? H :µ -µ =δ H :µ -µ <δ Rechazar H si Z * -z α. H :µ -µ =δ H :µ -µ δ Rechazar H si Z * -z α/ o si Z * z α/ si Z * z α/

12 5... Variazas descoocidas iguales H :µ -µ =δ H :µ -µ >δ Estadístico de cotraste: Pivote II.b. Bajo H t * = t + t +- -α α Rechazo H cuado: t * ( X X X + + tα X ) δ + t α H :µ -µ =δ H :µ -µ <δ Rechazar H si t * -t α H :µ -µ =δ H :µ -µ δ Rechazar H si t * t α / o t * tα/ si t * t α/ Variazas descoocidas distitas: Idem co Pivote II.c.

13 5... CONTRATE DE VARIANZA EN VARIABLE NORMALE Ejemlo 3: U iversor quiere comarar los riesgos asociados a dos mercados diferetes (A y B), teiedo e cueta que dicho riesgo se mide or la variabilidad e las fluctuacioes diarias de recios. Para ello se obtiee datos de cambios de recios diarios ara el mercado A y de 6 ara el mercado B, obteiédose los siguietes resultados: Mercado A Mercado B X A =,3 X B =,4 ca =,5 cb =,45 X,...,X m.a.s. de ua N(µ,σ ) X,...,X m.a.s. de ua N(µ,σ ) ideedietes Ejemlo tomado de htt:// 3

14 Cotraste bilateral: H : σ = σ H : σ σ C Estadístico de cotraste: PivoteII.d. Bajo H F, C α/ -α α/ C Rechazo H cuado: { C F α/ F -α/ C F α/, C F -α/ } Otra oció: obteer el Itervalo de Cofiaza -α ara σ / σ y rechazar H si I.C. Cotrastes uilaterales: H : σ > σ Rechazar H cuado H : σ < σ Rechazar H cuado C C C C > F -α < F α 4

15 Ejemlo3: (cotiuació) X = fluctuacioes diarias de recios e el mercado A N(µ A,σ A ) Y = fluctuacioes diarias de recios e el mercado B N(µ B,σ B ) Formular la hiótesis ula y la hiótesis alterativa: Defiir el estadístico de cotraste y calcular su valor ara la muestra dada: Defiir la regió crítica Calcular el -valor: Tomar la decisió: Obteer el itervalo de cofiaza ara σ / σ y cometar resultados 5

16 Ejemlo : (cotiuació) X = ídice de calidad de roductos fabricados de día N(µ x,σ x ) Y = ídice de calidad de roductos fabricados de oche N(µ y,σ y ) X,Y ideedietes Cotraste ara comarar las medias: H :µ Y µ X H :µ Y <µ X Para resolver este roblema, ecesitamos decidir reviamete si las variazas de las dos variables so iguales cotraste revio: H : σ X = σ Y H : σx σ Y 6

17 5..3. CONTRATE PARA DIFERENCIA DE MEDIA. CAO GENERAL Ejemlo 4: Novales (997,. 395) Para cotrastar la igualdad salarial etre hombres y mujeres de igual ocuació se toma ua muestra de 6 mujeres, que arroja u salario medio de,4 mil /mes co ua cuasi-variaza de,56, y ua muestra de hombres, co u salario medio de,5 mil /mes y cuasi-variaza,5. Existe evidecia de que el salario (medio) de los hombres es suerior al de las mujeres? α=.5 X = salario hombres; X = salario mujeres; E(X i )=µ i ; Var(X i )=σ i ; H :µ =µ H :µ >µ 7

18 Teorema cetral del límite: ( X X ) ( µ µ ) σ σ + A ~ N(,) Variazas descoocidas! sustituirlas or estimadores cosistetes: Estadístico de cotraste: Bajo H Z * = ( X X σ σ + ) A ~ N(,) H : µ =µ H : µ >µ H : µ =µ H : µ <µ H : µ =µ H : µ µ 8

19 Ejemlo 4: (cotiuació) Defiir el estadístico de cotraste Defiir la regió crítica Obteer el valor crítico ara el ivel de sigificació dado Obteer el valor del estadístico de cotraste ara la muestra dada Tomar la decisió: Calcular el -valor: 9

20 5.3. CONTRATE DE DIFERENCIA DE MEDIA. DATO PAREADO Ejemlo 5: (Casas, 997,. 6-64) e tiee los siguietes datos del cosumo de gasolia or km de ua muestra aleatoria de 9 coches utilizado dos carburates X e Y (coches coducidos or los mismos coductores, e las mismas carreteras, las mismas distacias, etc). X Y D=X-Y uoiedo ormalidad, cotrasta al % si el cosumo medio co ambos carburates es igual.

21 X... Y X m.a.s. de ua Normal bidimesioal X N Y Y Diferecia: D=X-Y N(µ D,σ D ), co µ D =µ x -µ y, σ D = µ x σ x µ y σ xy + σ X σ Y σ xy σ y Tego ua m.a.s: D,...,D de ua v.a. uidimesioal: D N(µ D,σ D ) Cotraste bilateral: 3 H :µ x -µ Y =δ H : µ D =δ H :µ X -µ Y δ H : µ D δ σ XY Estadístico de cotraste : Pivote I.c. bajo H D C D δ / t - Rechazo H si: Dδ / C D t α/ Otra oció: obteer el Itervalo de Cofiaza -α ara µ D y rechazar H si δ I.C. Imortate: las muestras areadas reduce el efecto de otros factores 3 Para alterativas H uilaterales se rocede como e los casos ateriores

22 Ejemlo 5: (cotiuació) Cotraste bilateral: H :µ D = H :µ D D = D i= i =; D = (D i= i D) =5.7 PIVOTE (I.c): D C D µ D t - I.C. ara µ D al (-α)% µ D D±t α/ C D / (-α)= =(t 8 t α/ ) t α/ = ,7 I.C.: [ ±3.355x ]=[-3.78, 7.78] Como µd = I.C. Aceto H al % 9 (-α)= =(t 8 t α/ ) t α/ =.36 5,7 I.C.: [ ±.36x ]=[-.97, 5.97] Como µd = I.C. Aceto H al 5% 9

23 5.4. CONTRATE PARA PROPORCIONE CONTRATE PARA UNA PROPORCIÓN Ejemlo 6: U fabricate de automóviles trabaja co u roveedor que afirma que o más del 5% de sus iezas so defectuosas. El fabricate decide cotrastar esta afirmació seleccioado de su ivetario iezas y robádolas. Deberá sosechar el fabricate de la afirmació del roveedor si se descubre iezas defectuosas e la muestra? Ejemlo 7: Peña (,.393) La roorció de gete que votó a cierto artido e las eleccioes asadas fue el 5%. e toma hoy ua muestra de 5 electores y se obtiee que el % votaría a dicho artido. Hay evidecia de u cambio e la iteció de voto? ea X,...,X m.a.s de ua Beroulli b(), X i = si ocurre A (éxito) si ocurre A (fracaso) ΣX i =º de éxitos e la muestra; = _ X= roorció de éxitos e la muestra 3

24 Muestras equeñas Estadístico de cotraste: ΣX i H B(, ) H := H :< H := H :> H := H : -valor=(σx i (Σx i ) obs ) -valor=(σx i Σx i ) obs ) -valor=mi{(σx i (Σx i ) obs ),(ΣX i (Σx i ) obs )} Ejemlo 6: (cotiuació) Formular la hiótesis ula y la hiótesis alterativa: Defiir el estadístico de cotraste y su distribució: Defiir la regió crítica: Obteer el valor del estadístico ara la muestra dada y calcular el -valor: Tomar la decisió: 4

25 ( ) Muestras grades Teorema Cetral del Límite: ~ N(, ) ( Estadístico de cotraste: Bajo H Z*= (, ) H := H :< ) ~ N A A α N(,) Rechazo H si ( ) / -z α -valor=(z* z obs ) -z α H := H :> -α N(,) α Rechazo H si ( ) / z α -valor=(z* z obs ) z α 5

26 H := H : α/ N(,) -α α/ Rechazo H si: z α/ -valor=( Z* z obs )=(Z* z obs ) -z α/ z α/ OJO! diferecia imortate resecto al itervalo de cofiaza! Para costruir el Itervalo de Cofiaza ara, el ivote es: ( ) ~ N(,) A sustituimos or su estimador E roblemas de roorcioes, los cotrastes bilaterales o se resuelve a través del I.C. sio lateado la regió crítica de colas 6

27 Ejemlo 7: (cotiuació) Formular la hiótesis ula y la hiótesis alterativa: Defiir el estadístico de cotraste: Defiir la regió crítica: Calcular el valor del estadístico de cotraste ara la muestra dada: Calcular el -valor: Tomar la decisió: 7

28 5.4.. CONTRATE PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONE Ejemlo 8: (Newbold, 998,. 7) e extrajero dos muestras aleatorias ideedietes de estudiates uiversitarios de último curso de sexo masculio y femeio. De hombres seleccioados, 7 eseraba disfrutar de u trabajo fijo e u máximo de años. De 4 mujeres seleccioadas, 73 teía esa eseraza. Podemos cocluir, co u ivel de sigificació del 5%, que las exectativas de emleo so iguales e hombres y e mujeres co estudios uiversitarios? X,...,X m.a.s. de ua v.a. X b( X ) Y,...,Y m m.a.s. de ua v.a. Y b( Y ) ideedietes 8

29 9 Teorema Cetral del Límite: ) (, ~ ) ( ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X Y X N A m , dode X =X, Y =Y Hiótesis ula: H : X = Y = Estadístico de cotraste: Bajo H + = + m m ) ( ) ( ) ( Y X Y X ) ~ N(, A Estimar co la media oderada: m m Y X + + = Hiótesis alterativa: H : X > Y H : X < Y H : X Y Rechazar H si: + m ) ( Y X z α Rechazar H si: + m ) ( Y X -z α Rechazar H si: + m ) ( Y X z α/

30 Ejemlo 8: (cotiuació) Formular la hiótesis ula y la hiótesis alterativa: Defiir el estadístico de cotraste: Defiir la regió crítica ara el ivel de sigificació dado: Calcular el valor del estadístico de cotraste ara la muestra dada: Tomar la decisió: Calcular el -valor: Obteer el itervalo de cofiaza ara µ al 95% y cometar resultados 3

31 BIBLIOGRAFÍA BÁICA Caavos, G.C. () Probabilidad y estadística: alicacioes y métodos, Madrid: McGraw-Hill. eccioes 9.6, 9.7, 9.8 Casas, J.M. (997) Iferecia estadística (icluye ejercicios resueltos). Madrid: Cetro de Estudios Ramó Areces. Caítulo 6 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA: Newbold (998) Estadística ara los Negocios y la Ecoomía. 4ª ed. Madrid: Pretice Hall. Caítulo 9 Novales (997) Estadística y Ecoometría. Madrid: McGraw Hill. Caítulo Peña, D. (8) Fudametos de estadística, Madrid: Aliaza. eccioes.4,.5,.6 3