Ensayos de Bernoulli Distribuciones Asociadas a Ensayos de Bernoulli

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1 2 Esayos de Beroulli 2 Distribucioes Asociadas a Esayos de Beroulli 2 La Distribució de Beroulli Esta es la distribució más secilla y correspode a ua variable que toma sólo dos valores: co probabilidad p y 0 co probabilidad q = p Si A es u eveto y defiimos la fució idicadora de A por { si ω A A (ω = 0 si ω / A Esta variable aleatoria vale cuado A ocurre y 0 cuado o, es decir, os idica cuádo ocurre A Por lo tato A tiee distribució de Beroulli co p = P (A Es secillo calcular los mometos de esta distribució: E(X = p + 0 q = p (2 Como X = X 2, porque la variable solo toma los valores 0 y, teemos que E(X 2 = p y e cosecuecia: 22 La Distribució Biomial Var(X = E(X 2 (E(X 2 = p p 2 = p( p (22 Para N realizamos ua serie de eperimetos de Beroulli idepedietes co igual probabilidad de éito p y llamemos S al úmero total de éitos e los esayos Cada esayo correspode a ua variable de Beroulli X i, i y S = X + X X (23 El resultado de ua serie de eperimetos lo podemos represetar por u vector -dimesioal (X, X 2,, X cuyas etradas vale 0 ó segú el resultado del eperimeto haya sido éito o fracaso Por ejemplo el vector (,, 0 correspode a ua serie de tres eperimetos e los cuales los dos primeros resultaro e éito y el tercero e fracaso Para hallar la distribució de S comezamos por respoder la siguiete preguta: Cuál es la probabilidad de obteer el vector (i, i 2,, i e ua sucesió de esayos? Como las variables so idepedietes P (X = i, X 2 = i 2,, X = i = P (X = i P (X 2 = i 2 P (X = i

2 2 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI Ahora bie, las probabilidades que multiplicamos a la derecha solo puede valer p ó q, segú correspoda a u éito o a u fracaso Por lo tato, si hay S éitos e los esayos, si importar dóde esté ubicados estos éitos, esta probabilidad será p S q S : P (X = i, X 2 = i 2,, X = i = p S q S Queremos ahora hallar P (S = k para 0 k Para esto teemos que multiplicar la probabilidad p k q k por el úmero de resultados que tiee eactamete k éitos Este úmero es igual a las maeras de seleccioar k lugares e, que es igual a ( k E coclusió P (S = k = ( p k ( p k = p k, (k = 0,,, (24 k E geeral, si ua variable aleatoria discreta X tiee esta fució de probabilidad decimos que X tiee ua distribució biomial co parámetros y p E este caso usaremos la otació X b(, p Si p = /2 la fució de probabilidad es simétrica co respecto a /2, ya que e este caso P (d = k = P (d = k Dist Biomial co p=0, =20 Dist Biomial co p=05, =20 Dist Biomial co p=08, =20 Probabilidad Probabilidad Probabilidad Valores Valores Valores Figura 2 Distribució biomial para = 20 y tres valores de p Dist Biomial co p=05, =0 Dist Biomial co p=05, =20 Dist Biomial co p=05, =40 Probabilidad Probabilidad Probabilidad Valores Valores Valores Figura 22 Distribució biomial para p = 05 y tres valores de Ejemplo Se etrae co reposició cico cartas de u juego de barajas Sea X el úmero de diamates e la muestra Cuál es la probabilidad de que haya eactamete dos diamates etre las cico cartas? Cuál es la probabilidad de que haya a lo sumo dos diamates?

3 2 DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A ENSAYOS DE BERNOULLI 3 Para respoder la primera preguta queremos calcular P (X = 2, y como la probabilidad de obteer u diamate e cada etracció es /4 teemos: P (X = 2 = Para la seguda preguta teemos que: ( 5 2 ( 4 2 ( 3 3 = P (X 2 = P (X = 0 + P (X = + P (X = 2 ( ( 5 ( ( ( 4 ( ( 2 ( = = = 0897 Relació recursiva Podemos obteer ua relació recursiva etre los térmios de la distribució Si X b(, p teemos ( P (X = k + = p k+ ( p k k +! = (k +!( k! pk+ ( p k = k! ( p p k ( p k k + k!( k! p = k ( p P (X = k (25 k + p Podemos usar esta relació comezado e P (X = 0 = ( p o e P (X = = p para calcular los valores de la distribució Mometos A partir de la epresió (23 Se deduce que ( E(S = E X i = E(X i = p i= i= Además, e virtud de que X, X 2,, X so variables aleatorias idepedietes y ( Var(S = Var X i = Var(X i i= i= Var(X i = E(X 2 i (E(X i 2 = p p 2 = p( p Reemplazado e la igualdad aterior, resulta Var(S = p( p

4 4 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI 23 La Distribució de Poisso Decimos que la variable aleatoria X tiee distribució de Poisso co parámetro λ, (λ > 0 si P (X = = λ! e λ ( = 0,, 2, Esta relació defie efectivamete ua fució de probabilidad ya que, usado el desarrollo e serie de Taylor de la fució epoecial, P (X = = e λ =0 =0 λ! = e λ e λ =, y es u ejemplo de ua variable aleatoria que toma valores e u cojuto umerable Usaremos la otació X P(λ Esta distribució tiee umerosas aplicacioes y gra iterés e sí misma, pero además es útil como aproimació a la distribució biomial para grade y p pequeño, hecho que estudiaremos a cotiuació Cosideremos la distribució biomial cuado crece y p tiede a cero de maera tal que el producto p permaece fijo Sea p = µ > 0 La distribució biomial es p k, = ( k p k ( p k = multiplicado umerador y deomiador por k obteemos p k, = = = = Ahora bie, podemos escribir ( ( k + p k k! ( p k ( ( k + k (p k ( p k k! ( ( k + µ k k k! ( p k ( ( 2 ( k µ k k! ( p k ( pero por la defiició de e sabemos que ( 2 Por lo tato, si poemos z = p obteemos ( k µ k ( p k ( p = [( p /p ] p = [( p /p ] µ lim ( + z 0 z/z = e lim ( p = lim[( p /p ] µ = e µ p 0 p 0 k! ( p (26 Además lim ( ( 2 ( k ( p k =

5 2 DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A ENSAYOS DE BERNOULLI 5 ya que hemos supuesto que p 0 cuado y p = µ permaece costate Usado estos dos resultados e (26 obteemos lim p k, = e µ µ k k! Hemos demostrado el siguiete resultado Teorema 2 (de Aproimació de Poisso Sea X b(, p y supogamos que cuado, p 0 de modo que p permaece costate y es igual a µ Etoces, cuado µ µk p k, = P (X = k e k! Dist Poisso co lambda= Dist Poisso co lambda=2 Dist Poisso co lambda=5 Probabilidad Probabilidad Probabilidad Valores Valores Valores Figura 23 Distribució de Poisso para tres valores de λ Ejemplos Las llamadas que se recibe e ua cetral telefóica por miuto tiee distribució de Poisso co parámetro µ = 4 Si la cetral puede maejar u máimo de seis llamadas por miuto, cuál es la probabilidad de que la cetral sea isuficiete para ateder las llamadas que llega e u miuto? Sea X el úmero de llamadas que se recibe e u período de u miuto Calculemos primero por lo tato P (X 6 = 6 P (X = i = i=0 6 e 4 4 i = 0889, i! i= P (X > 6 = P (X 6 = 0889 = 0 2 Se toma ua muestra de 400 fusibles fabricados usado u procedimieto que, e promedio, produce % de fusibles defectuosos Cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, haya 5 fusibles defectuosos e la muestra? Sea X el úmero de fusibles defectuosos e la muestra Sabemos que X tiee ua distribució biomial co = 400, p = 00 y deseamos calcular P (X 5 = 5 P (X = i = i=0 5 ( 400 (00 i ( i i y el cálculo de esta suma es trabajoso Por lo tato utilizaremos la distribució de Poisso co parámetro µ = p = = 4, i=0

6 6 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI para aproimar la distribució biomial 5 e 4 4 i P (X 5 = i! i=0 = 0785 ( = e Relació recursiva Para la distribució de Poisso tambié hay ua relació recursiva que permite calcular sus valores Si X P(λ teemos P (X = i + P (X = i = e λ λ i+ /(i +! e λ λ i /i! = λ i + es decir, P (X = i + = λ P (X = i, i 0 (27 i + Mometos Teemos E(X = kp (X = k = k λk k! e λ k=0 = λe λ k= = λe λ e λ = λ, k=0 λ k (k! = λe λ dode hemos empleado el desarrollo de Taylor de la fució epoecial e λ = Además y e cosecuecia E(X(X = k=0 = λ 2 e λ E(X = λ j=0 k(k λk k! e λ = λ 2 e λ j=0 λ j j! = λ2 λ j j! k=2 λ k 2 (k 2! Var(X = E(X 2 (E(X 2 = E(X(X + E(X (E(X 2 = λ 2 + λ λ 2 = λ j=0 λj j! Por lo tato Es decir Var(X = λ

7 2 DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A ENSAYOS DE BERNOULLI 7 24 La Distribució Geométrica Cosideremos u fusible eléctrico que o se deteriora co el paso del tiempo pero que se quema debido a fallas e la corriete eléctrica que ocurre al azar pero e forma homogéea e el tiempo El fusible es observado cada día y llamaremos X al úmero de días que trascurre hasta que el fusible falla, supoiedo que el día cero el fusible es uevo Queremos hallar la fució de probabilidades de X La idea de que el fusible o se deteriora co el paso del tiempo se puede epresar co mayor precisió de la maera siguiete: si sabemos que el fusible o ha fallado ates o durate el día, es decir, X >, etoces la probabilidad de que o falle hasta después del día + m, P (X > + m X > debe ser igual a la probabilidad de que u fusible uevo el día o falle hasta después del día + m Como las fallas eléctricas que hace que el fusible falle ocurre e forma homogéea e el tiempo, esta probabilidad debe depeder solamete del úmero de días trascurridos, que es m, pero o de Por lo tato teemos la ecuació P (X > + m X > = P (X > m y usado la defiició de probabilidad codicioal podemos reescribir esta idetidad como P (X > + m = P (X > P (X > m, m = 0,, 2, (28 Si hacemos = m = 0 obteemos P (X > 0 = (P (X > 0 2 y por lo tato P (X > 0 = 0 ó Si P (X > 0 = 0 etoces P (X = 0 =, lo cual correspode a u fusible defectuoso y o es iteresate Por lo tato, P (X > 0 = Llamemos p = P (X =, etoces y usado (28 co m = obteemos P (X > = p P (X > + = ( pp (X > Iterado e obteemos que P (X > = ( p y por lo tato P (X = = P (X > P (X > = ( p ( p = p( p para Defiició 2 Decimos que la variable aleatoria Y tiee distribució geométrica si su fució de probabilidad es { p( p = 0,, 2, P (Y = = 0 para cualquier otro dode 0 < p < Usaremos la otació X G(p e este caso Observamos que e el ejemplo aterior la variable X tiee distribució geométrica

8 8 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI Dist Geométrica co p=0 Dist Geométrica co p=03 Dist Geométrica co p=05 Probabilidad Probabilidad Probabilidad Valores Valores Valores Figura 24 Distribució Geométrica para tres valores de p Mometos Teemos E(X = P (X = = p( p (29 = Para calcular esta suma, recordemos que si c z =0 es ua serie de potecias y R es su radio de covergecia (lo cual sigifica que si z < R la serie coverge y que, cuado R <, si z > R la serie o coverge, si deotamos por f(z la suma de la serie para z < R: f(z = c z ( z < R, etoces f es derivable y f (z = =0 c z =0 = ( z < R Lo cual sigifica que, para z < R, podemos calcular la derivada de la fució f(z como si fuera ua suma fiita, es decir, sumado las derivadas de cada uo de los térmios Apliquemos este resultado a la serie de potecias z =0 Primero, se verifica que el radio de covergecia de esta serie es igual a Esto es directo: si z > etoces z, es decir que el térmio geeral o tiede a cero y la serie o coverge, y si z <, la suma parcial de orde N es N =0 z = + z + z z N = zn+ z N z es decir que la serie coverge cuado z < y su suma es z, o sea =0 z = z z <

9 2 DISTRIBUCIONES ASOCIADAS A ENSAYOS DE BERNOULLI 9 Derivado térmio a térmio como hemos idicado ateriormete, se tiee ( z 2 = z = z z < (20 =0 Volviedo ahora al problema que estábamos cosiderado, reemplazado z por p e la ecuació (20 resulta E(X = p ( p = p ( ( p 2 = p = Para calcular la variaza de esta distribució comezamos por la relació y calculamos = Var(X = E(X(X + E(X (E(X 2, (2 E(X(X = ( P (X = = ( p( p = = p( p = ( ( p 2 =2 Ahora bie, para calcular f (z procedemos como ates, derivado térmio a térmio la serie que defie f (z Es decir, que para z <, z = z ( z 2 = z 2 ( z 3 = ( z 2 =0 = E cosecuecia, reemplazado z por p, resulta y volviedo a (63 =2 2 2( p E(X(X = p( p = ( ( p 3 p 2 Var(X = 2( p p 2 + p 25 La Distribució Biomial Negativa ( 2 = p p p 2 Esta distribució tambié se cooce como la Distribució de Pascal y aparece e el coteto de ua sucesió de esayos de Beroulli co probabilidad de éito p, cuado os hacemos ua preguta similar a la realizada para la distribució geométrica, pero e lugar de pregutar por el úmero de esayos ecesarios para lograr el primer éito, pregutamos por el úmero de esayos ecesarios para lograr k éitos Sea X la variable descrita ateriormete X vale si y sólo si el k-ésimo éito ocurre e el -ésio esayo, esto es, e los primeros esayos hay k éitos y e el -ésimo esayo hay u éito La probabilidad de esto último es p, mietras que la probabilidad de teer k éitos e esayos es ua distribució biomial: ( p k q k k Como los esayos so idepedietes, teemos que la probabilidad P (X = es el producto de las dos epresioes ateriores, es decir, ( P (X = = p k q k k para, k

10 0 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI Ejemplo U pescador va todos los dias al muelle y se queda pescado hasta que haya pasado dos horas o hasta que logre pescar u pez Si la probabilidad de que o pesque ada es 06, cuál es la probabilidad de que tega que esperar cico días para pescar tres peces? Sea X el úmero de días ecesarios para pescar tres peces Esta variable tiee distribució biomial egativa co parámetros 3 y 04, por lo tato P (X = 5 = ( 4 (04 3 (06 2 = Dist Biomial Neg co p=05, k=2 Dist Biomial Neg co p=05, k=5 Dist Biomial Neg co p=05, k=0 Probabilidad Probabilidad Probabilidad Valores Valores Valores Figura 25 Distribució Biomial Negativa co p = 05 para tres valores de k 22 La Ley Débil de los Grades Números Lema 2 (Desigualdad de Markov Sea X 0 ua variable aleatoria y a u úmero positivo, etoces P (X a E(X (22 a Demostració Si E(X = +, o hay ada que probar E caso cotrario, llamado A al eveto A = {X a}, se tiee las desigualdades siguietes, X(ω X(ω A (ω a A (ω La primera desigualdad se debe simplemete a que X(ω 0 y A (ω es igual a 0 ó E cuato a la seguda, si ω / A etoces A (ω = 0 y ambos miembros so iguales y si ω A, por u lado A (ω = y por otro, dada la defiició del eveto A, X(ω a Se deduce que E(X E(a A = a E( A = ap (A Dividiedo por a se obtiee (22 Lema 22 (Desigualdad de Chebychef Sea X ua variable aleatoria co variaza fiita y sea ε > 0 Etoces P ( X E(X ε Var(X (23 ε2

11 22 LA LEY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS Demostració El eveto { X E(X ε} es igual a {(X E(X 2 ε 2 } Apliquemos la desigualdad de Markov poiedo ε 2 e lugar de a y (X E(X 2 e lugar de X Resulta P ( X E(X ε = P ((X E(X 2 ε 2 ε 2 E((X E(X2 = ε 2 Var(X que es (23 Teorema 22 ( Ley Débil de los Grades Números Sea {X } ua sucesió de variables aleatorias idepedietes, E(X = µ, Var(X = σ 2 =, 2, Etoces, cualquiera que sea ε > 0, se tiee ( lim P X + X X µ ε = 0 (24 Demostració Pogamos S = X +X 2 + +X y apliquemos la desigualdad de Chebychef a la variable aleatoria S / Teemos ( S E = E(X i = µ = µ, Var Aplicado (23 co ε > 0 ( S i= = ( 2 Var X i = 2 i= ( S p µ ε i= Var(X i = σ2 2 σ 2 ε 2 0 = σ2 cuado (para ε > 0 fijo Esto prueba la ley débil de los grades úmeros 22 Ejemplos y Cometarios E el caso de la distribució biomial, e el cual cosideramos la variable aleatoria S que represeta el úmero de veces que ocurre u suceso A co probabilidad p = P (A e observacioes idepedietes del mismo, hemos cosiderado oportuamete la estimació del parámetro p e geeral descoocido mediate la frecuecia relativa ˆp = S del úmero de veces que ocurre A e las observacioes, co relació al total de observacioes realizadas Se verifica etoces que P ( ˆp p ε 0 para todo ε > 0 cuado (25 La propiedad (25, de aproimació etre ˆp (que es fució de las observacioes empíricas que podemos efectuar, y el úmero p (que es u parámetro del problema, os idica que si el úmero de observacioes es bastate grade, etoces es pequeña la probabilidad de que la distacia de ˆp a p sea mayor que u úmero dado La desigualdad de Chebychef os dá, además, ua acotació de la velocidad co la que el primer miembro de (25 tiede a cero cuado E el ejemplo que estamos cosiderado, como ya hemos visto e la secció 22, E(ˆp = p Var(ˆp = p( p

12 2 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI y etoces P ( ˆp p ε p( p ε 2 Esta desigualdad puede ser utilizada para resolver problemas como el siguiete: (26 Supogamos que p es la probabilidad descoocida de que resulte defectuoso u objeto producido e ua fábrica y S es el úmero de objetos defectuosos e ua muestra de objetos observados e u muestreo al azar co reposició Calculamos ˆp = S Co frecuecia se platea el problema de hallar el tamaño que debe teer la muestra para que se satisfaga ciertos márgees de toleracia Por ejemplo, supogamos que descoocemos el verdadero valor de p y queremos estimarlo por ˆp pero de modo que la probabilidad de que p difiera de ˆp e a lo sumo 00, o sea iferior a 095 Es decir, queremos elegir de modo que o equivaletemete Usado (26 teemos P ( ˆp p P ( ˆp p (27 p( p P ( ˆp p 00 (00 2 (28 Si o teemos igua iformació adicioal sobre p teiedo e cueta que p( p /4 para 0 p, si elegimos de modo que resultará ( , (29 4 P ( ˆp p Es secillo ver que (29 se verifica si ˆp ε p ˆp ˆp + ε Figura 7 E pricipio, la acotació dada por la desigualdad de Chebychef es grosera E el ejemplo umérico que estamos aalizado, se podría dar acotacioes mucho más precisas del primer miembro que figura e la desigualdad (28, lo cual permitiría reducir cosiderablemete el valor de a partir del cual se verifica (27 E particular, si aproimamos por la distribució ormal cosa que veremos más adelate se puede ver que si el verdadero valor de p es /2 (para dar algú valor y = 50000, etoces el primer miembro de (27 está acotado por 00000, es decir, es mucho meor que el segudo miembro Retomaremos este puto e la próima secció 2 E el caso de la distribució de Poisso, que aparece e el estudio de fallas de aparatos que o evejece, hemos visto que los tiempos de vida de los aparatos sigue ua distribució epoecial del tipo P (T > t = e λt, t 0,

13 22 LA LEY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS 3 dode λ es u parámetro positivo El úmero (aleatorio de fallas e el itervalo [0, t] tiee la fució de probabilidad P (N t = k = (λtk e λt, k = 0,, k! como veremos más adelate e el curso al estudiar el proceso de Poisso Etoces, si ˆλ t = N t t que represeta el úmero de fallas por uidad de tiempo que efectivamete ha ocurrido durate uestro período de observació, se tiee E(ˆλ t = t E(N t = t λt = λ E cosecuecia para cada ε > 0, Var(ˆλ t = t 2 Var(N t = t 2 λt = λ t 0 P ( ˆλ t λ ε < ε 2 λ t, P ( ˆλ t λ ε 0 (t + (t + y podemos aplicar cosideracioes aálogas a las del ejemplo aterior 3 E la demostració de la ley débil de los grades úmeros, hemos supuesto que las variables aleatorias X, X 2, so idepedietes y tiee igual variaza Se puede verificar, si gra esfuerzo, que vale ua demostració aáloga si las variables o está correlacioadas y 2 σi 2 0 i= ( + dode σ i = Var(X i E realidad, hay u bue úmero de geeralizacioes de la ley débil de los grades úmeros, alguas de las cuales requiere complicacioes técicas para su demostració, que está más allá del alcace de este curso El lector iteresado puede cosultar, por ejemplo, los tetos clásicos de M Loève y de W Feller, citados e la bibliografía 4 Vale la pea teer e cueta que la ley débil epresa, e algú setido, la idea comúmete aceptada de que se puede reemplazar promedios teóricos por promedios eperimetales El promedio teórico del feómeo bajo cosideració es µ, es decir, la esperaza matemática, y el promedio eperimetal es X + X X, es decir, la media aritmética de las observacioes La ley débil dice que si las observacioes se repite bajo ciertas codicioes (idepedecia, etc e el setido de la epresió (24, la media eperimetal está cerca del promedio teórico Dicho de otro modo, si el úmero de observacioes es grade, resulta poco probable que uo y otro esté alejados 222 El Teorema de Aproimació de Weierstrass El teorema de aproimació de Weierstrass dice que cualquier fució cotiua f defiida e u itervalo acotado [a, b] puede ser aproimada de maera uiforme por poliomios: Dado ε > 0 eiste u poliomio g tal que sup f( g( < ε [a,b] Serge Berstei dió ua demostració de este resultado usado la LDGN, que presetamos a cotiuació para fucioes defiidas e el itervalo [0, ] La etesió al caso geeral es secilla

14 4 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI Proposició 2 (Poliomios de Berstei Sea f : [0, ] R ua fució cotiua, etoces cuado sup [0,] f( k=0 ( f ( k k ( k 0 k Demostració Sea ε > 0 Como f es uiformemete cotiua, eiste δ > 0 tal que si 0, y satisface y < δ etoces se tiee f( f(y < ε Por otro lado cosideramos variables biomiales S co parámetros y Cosideremos ahora la variable aleatorias f(s / cuyo valor esperado es [ ( S ] E f = = f ( k P (S = k ( f ( k k ( k k Por la LDGN eiste u etero 0 que o depede de p, tal que, si 0 ( S P > δ < ε Usado la desigualdad triagular obteemos k=0 k=0 [ ( S ] ( ( k E f f( = f f( P (S = k k=0 ( k f f( P (S = k k=0 k δ E cosecuecia, para todo 0, E ( k f f( P (S = k + k >δ ( f ( k εp (S = k + 2 sup f( P (S = k k δ k >δ 0 ( S ( = εp S δ + 2 sup f( P 0 > δ [ f ( S ] f( ε + 2ε sup 0 f( + f( P (S = k y esto demuestre la proposició 23 Desigualdad de Cheroff La desigualdad de Chebychef os da ua cota geeral para la probabilidad P ( X E(X ε que e muchos casos, como hemos mecioado, puede ser mejorada y e esta secció veremos como hacer esto para variables co distribució biomial Si embargo, es importate resaltar que si queremos ua desigualdad que valga para cualquier va co segudo mometo fiito, o es posible mejorar la desigualdad de Chebychef Sea S = X i dode las variables X i so idepedietes y tiee distribució de Beroulli co probabilidad de éito p

15 23 DESIGUALDAD DE CHERNOFF 5 Lema 23 Para cualquier u R, E ( e us = ( p + pe u Demostració Como las variables X i, i so idepedietes, las variables e uxi, i tambié lo so Por otro lado, para cualquier i, E(e uxi = pe u + ( pe 0 = p + pe u Usado ahora la idepedecia E ( e us = E ( e uxi = E(e uxi i= i= = ( p + pe u Si X es ua variable aleatoria, la fució ψ(u = E(e ux (para los valores de u tales que el valor esperado está bie defiido se cooce como la fució geeradora de mometos de X E el lema aterior calculamos esta fució para variables co distribució biomial Teorema 23 (Desigualdad de Cheroff Sea S ua variable co distribució biomial de parámetros y p y sea λ = p = E(S Para 0 < λ + t < ( λ λ+t ( λ λ t P (S λ + t (220 λ + t λ t Demostració Sea u > 0 Como la fució f( = e u es ua fució creciete teemos P (S λ + t = P ( e us e u(λ+t e u(λ+t E ( e us dode la desigualdad se obtiee aplicado la desigualdad de Markov Usado el resultado del lema 23 obteemos P (S λ + t ( p + pe u e u(λ+t (22 Pogamos g(u = ( p + pe u e u(λ+t y hallemos el valor de u que miimiza esta fució Derivado obteemos g (u = e u(λ+t (λ + t( p + pe u + e u(λ+t ( p + pe u pe u = e u(λ+t ( p + pe u [ pe u (λ + t( p + pe u ] = e u(λ+t ( p + pe u [ (λ + t( p + pe u ( λ t ] Para que esta epresió se aule es ecesario que el tercer factor valga cero, pues los otros dos so positivos Obteemos e u (λ + t( p = p( λ t (222 Para ver que este valor es u míimo para g observamos que g(0 =, g(u (u porque λ + t < y es fácil verificar que g (0 < 0 Como la fució es cotiua debe teer u míimo e el valor de u defiido por (222 Regresamos a la epresió (22 y reemplazamos e u por (222 ( (λ + t( p ( p( λ t (λ+t P (S λ + t p + = ( λ t ( ( p ( p( λ t λ t (λ + t( p (λ + t( p (λ+t

16 6 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI recordado que λ = p y por lo tato ( p = λ obteemos co lo que queda demostrada la desigualdad = ( λ ( λ t (λ+t ( λ λ+t λ t λ λ + t Para 0 < < defiimos ϕ( = log p + ( log p (223 Corolario 2 Para y ε (0, p se tiee Demostració Recordado que λ = p y usado (220 obteemos ( S P p + ε e ϕ(p+ε (224 ( S P p + t ( p p+t ( p p t p + t p t siempre que 0 < λ + t < Poiedo ε = t/ esta codició es 0 < p + ε < y obteemos ( S { P p + ε ep (p + ε log { [ = ep (p + ε log p + ε p = ep{ ϕ(p + ε} p + ( p ε log p + ε p } p ε + ( p ε log p ε p Corolario 22 Si 0 < ε < p etoces ϕ(p ε está bie defiida, es positiva y ( S P p ε e ϕ(p ε (225 Demostració Este resultado sigue de itercambiar éitos y fracasos, S y S y p y p Corolario 23 Si 0 < ε < mi(p, p etoces Demostració Usar los dos corolarios ateriores 23 Comparació ( S P p ε e ϕ(p+ε + e ϕ(p ε (226 La desigualdad de Chebychef e el caso biomial os dice que P ( X E(X ε p( p ε 2 Observamos que para y p fijos, esta cota tiede a cuado ε 0, de modo que la desigualdad deja de ser útil para valores muy pequeños de ε Veamos alguos ejemplos para comparar los resultados que se obtiee co esta desigualdad y la cota de Cheroff ]}

17 23 DESIGUALDAD DE CHERNOFF 7 Ejemplos 2 Vamos a cosiderar el caso de ua distribució biomial co parámetro p = 05, que correspode al caso simétrico Para = 00 y ε = 0 la desigualdad de Chebychef os da ( P 00 S 00 > = 025 mietras que co la desigualdad de Cheroff obteemos h + (0 = h (0 = y e 00h+(0 + e 00h (0 = 0267, de modo que la desigualdad de Cheroff o mejora la de Chebychef e este caso Si cambiamos el valor de ε a 005 obteemos que la cota de Chebychef es, que o os dice ada, mietras que la cota de Cheroff es Para = 000 y ε = 0, la desigualdad de Chebychef da ua cota de 0025 mietras que Cheroff da ua cota meor que Si cambiamos a ε = 005 co Chebychef obteemos 0 mietras que para Cheroff la cota es meor que Fialmete para = 0, 000 y ε = 0 obteemos y mietras que para ε = 005 las cotas so 00 y Notació para el Comportamieto Asitótico de Fucioes Itroducimos la otació usual para comparació de sucesioes, propuesta por E Ladau Sea f y g, dos fucioes de úmeros reales Decimos que f = O(g o co mayor precisió que f( = O(g( cuado, si eiste ua costate k > 0 y o R tales que f( kg( para todo 0 E este caso decimos que f es, a lo sumo, del mismo orde que g cuado Decimos que f( = O(g( cuado si para todo ε > 0 eiste 0 R tal que o equivaletemete, si f( εg( para todo 0 f( g( 0 cuado E particular, si f( 0 cuado escribimos f( = O( cuado Escribimos f g o f( g( cuado si g( 0 para todo grade y f( cuado g( Notacioes similares se usa cuado 0 o, co las modificacioes obvias y tambié para sucesioes Ejemplo 22 La fució f( = satisface las relacioes: f( = O( 3, f( = O( 4 y f( 2 3 cuado

18 8 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI Para el próimo resultado vamos a utilizar el desarrollo de la fució log(+ para <, alrededor de = 0, hasta el segudo grado: cuado 0, que se obtiee a partir de u desarrollo de Taylor Proposició 22 Cuado ε 0 se tiee que log( + = O(3 (227 ϕ(p + ε = Demostració Usado la ecuació (227 obteemos ( ϕ(p + ε = (p + ε log + ε p + ( p ε log ε 2 2p( p + O(ε3 (228 ( ε ( ε = (p + ε p ( ε 2 + O(ε 3 + ( p ε 2 p = ε2 2p + ε 2 2( p + O(ε3 = ε 2 2p( p + O(ε3 24 Desigualdad de Cheroff (2 p ( ε p 2 ( ε 2 + O(ε 3 p E esta secció veremos que la desigualdad de Cheroff (Corolario 2 es asitóticamete el mejor resultado posible Para la demostració requerimos la fórmula de Stirlig, que demostraremos e el siguiete capítulo Lema 24 (Fórmula de Stirlig Cuado, se tiee Proposició 23 Para todo ε (0, p! 2π e ( ( lim log S P p + ε = ϕ(p + ε (229 Demostració El resultado del Corolario 2 dice que para log P ( S (p + ε ϕ(p + ε Para hallar ua cota iferior poemos α = + [(p + ε] que represeta al meor etero mayor que (p + ε Etoces P ( S (p + ε P (S = α =! α!( α! pα ( p α Usado la fórmula de Stirlig para los factoriales que aparece e la epresió aterior P (S = α ( /2 ( p ( α ( p α 2π α ( α α α (230

19 25 LA FÓRMULA DE STIRLING 9 y por lo tato los logaritmos de ambos lados de la relació tambié so asitóticamete equivaletes A partir de las relacioes α (p + ε y α ( p ε obteemos y e cosecuecia Por otro lado ( /2 ( /2 ( /2 = (p + ε( p ε α ( α 2 (p + ε( p ε ( p α log = (p + ε log α = (p + ε log (( lim log /2 = 0 (23 2πα ( α ( p(p + ε α (p + ε ( p p + ε + ( α (p + ε ( p log + (p + ε log Usado de uevo que α (p + ε obteemos que lim α ( (p + ε + ( α (p + ε log α ( p α (232 ( ( (p + ε (p + ε log = 0 (233 α Por otro lado la diferecia α (p + ε está acotada y e cosecuecia lim Usado (233 y (234 e (232 obteemos De maera similar se demuestra que ( (α (p + ε ( p log = 0 (234 α ( p lim log α ( p = (p + ε log α p + ε ( ( p lim log α ( p = ( p ε log α p ε y esto cocluye la demostració 25 La Fórmula de Stirlig E la próima secció estudiaremos la aproimació de la distribució biomial mediate la distribució ormal Para ello, utilizaremos la siguiete proposició sobre sucesioes de úmeros reales Lema 25 (Fórmula de Stirlig Cuado, se tiee Demostració Se trata de probar que lim! 2π e! e = 2π Dividimos la demostració e dos pasos E el primero veremos que eiste y es fiito el límite idicado e el primer miembro; e el segudo veremos que dicho límite vale 2π

20 20 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI Paso Cosideremos la fució f( = log para y acotemos iferiormete el área A limitada por su gráfica, el eje 0 y la vertical por =, sustituyedo cada trozo de la curva P k P k+ por el segmeto P k P k+ (ver Figura 26 Teiedo e cueta que el área del trapecio k P k P k+ (k + es obteemos A = (log k + log(k + 2 log d > k= (log k + log(k + 2 = log 2 + log log( + log (235 2 y P k+ P k k k + Figura 26 Aproimació a la fució log Sea a = A (log 2 + log log( + 2 log, la diferecia etre el área A y la suma de las áreas de los trapecios Es claro que la sucesió {a } es moótoa creciete P k+ P k+ P k P k k k + 2 k + Figura 27 Acotació de la aproimació a la fució log Además, si llamamos b k al área sombreada e la figura 27, dode el segmeto P k P k+ es tagete al gráfico de f( = log e el puto de abcisa = k + /2, es claro que a < b k, ( >, (236 k=

21 25 LA FÓRMULA DE STIRLING 2 dode b k es la diferecia de las áreas de los trapecios k P k P k+ (k + y k P k P k+ (k + Por lo tato ya que log( + Sustituyedo e (236 b k = log(k [log k + log(k + ] = 2 log (k k(k + = /4 log( + 2 k(k + 8k(k + a < 8 k=0 k(k + < 8 k= k 2 = C < porque la serie k /k2 es covergete E cosecuecia, la sucesió {a } es moótoa creciete y acotada superiormete Por lo tato tiee u límite fiito que llamaremos a Por otra parte, itegrado por partes A = log d = log d = log + y e cosecuecia Tomado epoeciales e ambos miembros de dode a = log + (log log( + log 2 e a = e /2,!! e = α cuado /2 ea Paso 2 Probemos ahora que α = 2π Para ello cosideramos de dode I = π/2 0 = I 2 se d = π/2 0 π/2 0 se 2 ( cos 2 d se 2 cos cos d [ = I 2 se cos = I 2 I π/2 0 π/2 + 0 se se d I = I 2 (237 Por lo tato, cosiderado separadamete los casos e los cuales es par e impar, y aplicado (237 reiteradamete, obteemos I 2p = 2p 2p 3 2p 2p I 0; I 2p+ = 2p 2p 2 2p + 2p I

22 22 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI Además o sea que I 0 = π/2 I 2p = 2p 2p 3 2p 2p d = π 2, I = 2 π/2 π 2 ; I 2p = 2p 0 se d =, 2p 2 2p + 2p (238 Observamos ahora que {I } es ua sucesió decreciete, ya que para 0 π/2 se tiee 0 se, se decrece co, y por lo tato, tambié la itegral I De aquí resulta que: Usado (237 teemos y por lo tato la sucesió itermedia I 2p+2 I 2p < I 2p+ I 2p < I 2p+2 I 2p = 2p + 2p + 2 I 2p+ I 2p cuado p tambié tiede a cuado p Usado ahora (238 esto idica que y e cosecuecia I 2p+ [2p(2p 2 4 2] 2 2 = I 2p (2p + [(2p (2p 3 5 3] 2 cuado p, π 2p(2p (2p (2p Multiplicado umerador y deomiador por obteemos 2 cuado p π(2p + 2p(2p = 2 p p(p (p 2 = 2 p p! (2 p p! 2 (2p! Utilizamos ahora el resultado del paso Sabemos que 2 cuado p π(2p +! α e Sustituyedo (2 p p! 2 (2p! 2 π(2p + (2p α p p e p p 2 α(2p 2p e 2p 2p 2 π(2p + α 2π Como el límite es, debe ser α = 2π Esto termia la demostració de la fórmula de Stirlig 26 El Teorema de De-Moivre - Laplace Podemos ahora probar el teorema de De-Moivre - Laplace, que permite aproimar la distribució biomial por la distribució ormal Recordemos que la distribució ormal típica co parámetros (0, es aquella cuya desidad es la fució φ( = 2π e 2 /2 (239

23 26 EL TEOREMA DE DE-MOIVRE - LAPLACE 23 Deotamos la fució de distribució respectiva por Φ( = φ(t dt = 2π e t2 /2 dt (240 Como ateriormete, llamaremos S a ua variable aleatoria co distribució biomial, que represeta el úmero de veces que ocurre el eveto A e observacioes idepedietes Sea p = P (A, 0 < p < y q = p La distribució de S está dada por ( p,k = P (S = k = p k q k k = 0,,,, k y tiee E(S = p, Var(S = pq E los próimos dos teoremas probaremos que cuado el úmero de observacioes crece idefiidamete, la distribució de la variable aleatoria S = S p pq tiede a la distribució ormal dada por (240 Teorema 24 Sea a < b úmeros reales, etoces P (a < S b Φ(b Φ(a = Demostració Teemos que estudiar el límite cuado de b P (a < S b = P (a < S p pq b dode la suma se etiede sobre los eteros k tales que = = a a< k p pq b a< k p pq b φ(t dt, cuado (24 P (S = k p,k a < k p pq b (242 Comecemos por dar ua aproimació para cada sumado p,k, dode k verifica (242 Para facilitar la otació poemos δ = k p Si k verifica (242, etoces ya que etoces, δ = k p δ 0 cuado (243 es ua sucesió acotada, porque a pq < k p b pq y como / 0 teemos δ = δ 0

24 24 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI Por otro lado p,k = ( p k q k! = k k! ( k! pk q k Utilizamos ahora la fórmula de Stirlig co la siguiete otació: podremos! = 2π e e γ dode γ 0 (y por lo tato e γ cuado Teiedo e cueta que bajo la codició (243 que se verifica puesto que sólo os iteresa los valores de k que cumple (242 tato k como k tiede a + cuado, teemos 2π e p k q k e γ γ k γ k p,k = 2πkkk e k 2π( k( k ( k e ( k = 2π (p + δ(q δ El primer factor lo podemos escribir como ( p ( k k q e γ γ k γ k (244 k k (p + δ(q δ = ( ( p + = e γ δ q δ pq co γ 0 cuado Tomado logaritmos e el segudo y tercer factor teemos k log ( p ( ( q + ( k log = (p + δ log + δ ( (q δ log δ k k p q Usamos el desarrollo de MacLauri de la fució log( + cuado < : log( + = ( + θ 3 3, (0 < θ < Si < /2 y A = 3 (+θ 3 se tiee A < 3, es decir, que e esta situació vale log( + = A3 co A < 3 Apliquemos este desarrollo a log( + δ p y log( δ q, lo cual es posible si es suficietemete grade, ya que δ δ 0, y e cosecuecia, tato p como δ q so meores que /2 a partir de u cierto valor de e adelate Resulta ( p ( q k log + ( k log k k ( δ = (p + δ p δ2 2 2 p 2 + A δ3 ( = δ2 2 p + q + B δ3 2, 3 p 3 ( (q δ δ q δ2 δ q 2 + A 3 q 3

25 26 EL TEOREMA DE DE-MOIVRE - LAPLACE 25 dode A < 3, A < 3 y B está acotado por ua cierta costate fija, digamos B M Tomado el atilogaritmo del segudo factor y sustituyedo e (244 p,k = 2πpq ep{ δ2 2pq + B δ3 2 + θ,k} (245 = pq φ(,k ep{b δ3 2 + θ,k} = pq φ(,k e α,k (246 co θ,k = γ γ k γ k γ, α,k = B δ3 2 + θ,k y,k = δ pq = k p pq, dode δ3 2 0 cuado ya que δ 3 2 = ( δ 3 y el primer factor permaece acotado cuado k verifica (242 Volvamos ahora a uestra suma iicial Sustituyedo e ella la epresió hallada e (246 para p,k, obteemos P (a < S b = a< k p pq b pq φ( k, e α,k = a< k p pq b pq φ( k, + a< k p pq b pq φ( k, [e α,k ] (247 Dado que pq es justamete el icremeto k+, k,, y que pq 0 el primer sumado tiede a b a φ(t dt (248 cuado y a b φ k, k+, Figura 28 Aproimació a la desidad Gaussiaa E cuato al segudo sumado de (247, dado que e e,

26 26 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI el mismo se acota por sup k α,k a< k p pq b pq φ( k,, y ahora el primer factor tiede a cero cuado mietras que el segudo tiede a la itegral (248 Por lo tato el segudo sumado de (247 tiede a cero Esto termia la demostració del teorema 24 Teorema 25 P (S Φ( = φ(t dt cuado Demostració Nos apoyamos e el teorema 73 Sea ε > 0, elegimos a y b tales que a < < b (ver figura 76 y Φ(a < ε 2, Φ(b < ε 2 (249 Etoces P (a < S P (S = P (S > P (b S > El primer miembro tiede a y el último a Φ( Φ(a (Φ(b Φ( = Φ( + ( Φ(b cuado y φ a b Figura 29 Selecció de los úmeros a y b Por lo tato, eiste N tal que para N se tiee Φ( Φ(a ε 2 P (S Φ( + ( Φ(b + ε 2 y dada la forma e que ha sido elegidos a, b, para N Φ( ε P (S Φ( + ε o sea P (S Φ( ε y co esto alcaza para demostrar el resultado

27 26 EL TEOREMA DE DE-MOIVRE - LAPLACE 27 Observació 2 Para geeralizar e diversos setidos el teorema de De-Moivre - Laplace, se puede utilizar ua técica de demostració esecialmete aáloga Observado lo que hemos hecho, se ve que el procedimieto depede solamete de que y Ahora bie, es claro que (25 implica (250 ya que δ = /3 δ 0 (250 δ 3 0 (25 2 ( δ 3 /3 Por lo tato, siempre que se verifique (25 para todos los eteros k tales 2 a k p pq b, se podrá obteer la misma coclusió Esta observació permite geeralizar el resultado aterior al caso e el cual los límites a y b varía co A título de ejemplo, se puede utilizar la misma demostració de los teoremas 24 y 25 para probar que si a 3 0 cuado es decir, que a puede teder a +, pero sólo más letamete que /6, etoces ( S p + P > a φ(tdt cuado (252 pq a dode φ es, como ates, la desidad ormal típica y el símbolo dice que ambos térmios so ifiitésimos equivaletes Estos resultados permite estudiar desviacioes grades del úmero de aciertos S (co distribució biomial, del valor esperado p Para u uso eficaz de esta relació, coviee saber cómo tiede a cero, cuado, la epresió Φ( = Veamos e primer lugar que si > 0 etoces E efecto, Φ( = 2π ya que e la última itegral t/ Etoces + 2π e t2 /2 dt Φ( 2π e 2 /2 dt (253 e t2 /2 dt 2π Φ( te t2 /2 dt 2π ( = e t2 /2 2π + t 2 e t /2 dt, = 2π e 2 /2

28 28 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI E segudo lugar mostraremos que Φ( 2π e 2 /2 cuado (254 Queremos probar ahora que lim Φ( 2π e =, 2 /2 Aplicamos la regla de L Hôpital El cociete de las derivadas es 2π e 2 /2 ( 2π e 2 2 /2 + ( e 2 /2 = + 2, de modo que tiee límite el cociete de las derivadas y por lo tato tambié el de las fucioes, y vale lo mismo Esto prueba (254 2 E las aplicacioes, geeralmete iteresa saber o sólo que cuado el úmero de observacioes crece idefiidamete, la distribució biomial tiede a la distribució ormal, sio además, cuál es la velocidad de covergecia Dicho de otra maera, iteresa coocer ua acotació del error cometido cuado, para u dado, sustituímos la distribució biomial por la distribució ormal Dicho error depede, aturalmete, del valor de, pero además depede del valor de p; la covergecia es tato mas rápida cuato más cercao es p a /2 Siguiedo el procedimieto de la demostració del teorema de De-Moivre - Laplace, para dar ua acotació del error e cosideració, el paso fudametal es el de afiar la fórmula (246, que aproima la fució de probabilidad de la distribució biomial, mediate la desidad de la distribució ormal Para ello debe darse, por u lado, ua estimació del error e la aplicació de la fórmula de Stirlig que puede obteerse por el mismo método que hemos seguido para probarla y por otro, tomar más térmios e el desarrollo de log( + Para fijar las ideas, podemos tomar como mejora de la fórmula de Stirlig! = 2π e e α dode 0 < α < 2 E cuato al desarrollo del logaritmo podemos tomar, por ejemplo, log( + = Fialmete, e la fórmula (725, tambié aproimamos mediate u desarrollo de Mac-Lauri 5 ( + θ 5 para 0 < θ <, < ( + δ /2 ( δ /2 ( + δ p ( δ q p q Sustituyedo e (244, si agregamos, por ejemplo, la codició k p = δ C pq (255 dode C es ua costate, y tomamos lo bastate grade como para que C pq < 3, (256 Cuado p está cerca de 0 ó de y o es muy grade, puede ser más precisa la aproimació de la distribució biomial por la de Poisso Sobre este y otros aspectos de aproimació, así como para la eposició de diversos ejemplos, recomedamos al lector cosultar el Vol del libro de W Feller, icluido e la bibliografía

29 27 EJEMPLOS 29 obteemos, e lugar de (246, ua fórmula del tipo p,k = pq φ( k, e ε (257 dode ε ( + C3 (q p pq + ( + C4 pq (258 Observamos que la costate C que aparece e la codició (255, iterviee e la acotació del error (257, e el setido de que, cuato mayor es C, para u mismo, meos precisa es la aproimació Lo que idica C, es cuá distates del valor medio p puede ser los valores k de la variable aleatoria S que estamos cosiderado Cuato más lejao del promedio p so dichos valores de k, mayor es el ecesario para obteer la misma aproimació La codició (256 puede ser cambiada, dado que C pq 0 cuado Cuato más pequeño es el segudo miembro que e este caso es /3 es decir, cuato mayor es para u valor dado de C, más precisa es la cota del error que se obtiee e lugar de (258 Agreguemos fialmete que la acotació (258 sugiere la depedecia del error cometido al sustituir la distribució biomial por la ormal, e fució de los valores de p Si p = q = /2, el primer térmio del segudo miembro de (258 vale 0, y la covergecia a cero cuado es esecialmete más rápida Por otra parte, para u dado, la cota depede de pq, o sea que es tato meos precisa cuato más distate es p de /2 (o sea, cuato más próimo es p de 0 ó de 27 Ejemplos Se laza u dado 6,000 veces Aproimar mediate la distribució ormal la probabilidad de obteer el úmero 6 etre 990 y,00 veces Sea X el úmero de veces que obteemos 6 e 6,000 lazamietos Sabemos que X b(6, 000, /6 P (990 X 00 = P 990, 000 X, , 000 6, , , π e 2 d E 5,000 lazamietos de ua moeda se obtuviero 2,800 caras Es razoable supoer que la moeda o está cargada? La preguta puede reformularse tambié de este modo: Si la moeda o está cargada, cuá ecepcioal es el eveto de que el úmero de caras ocurridas e 5,000 lazamietos eceda de 2,500 al meos e 300? Si la probabilidad de este eveto es muy pequeña, más que atribuir el resultado a u rarísimo acotecimieto, uo tederá a atribuirlo a que, e realidad, la moeda está cargada, y e cosecuecia la probabilidad ha sido calculada sobre ua base erróea Veamos Primero acotamos dicha probabilidad usado la desigualdad de Chebychef: = 5, 000, p = 05 p = 2, 500

30 30 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI P (S 2, 800 = P (S p 300 = 2 P ( S p (300 2 Var(S = 5, ( Es decir que la probabilidad del suceso ecepcioal, está acotada superiormete por 0,0068 Si recurrimos a la aproimació mediate la distribució ormal ( S p 300 P (S p 300 = P + p( p p( p 2π a e 2 /2 d co a = 300/ 5, 000/4 848 La última itegral se acota por 2π a e a2 /2 y reemplazado resulta para el último térmio ua acotació por , que es astroómicamete pequeño 3 Etre los años 2000 y 2009 iclusive aciero e Méico 3,249,775 iñas y 3,230,79 iños Queremos ver si este resultado es compatible co la hipótesis de que el seo de los recié acidos se distribuye al azar co probabilidad 05 Para ver cosideramos que el seo de cada recié acido es ua variable de Beroulli co probabilidad de éito 05, y diremos que ocurre u éito si ace ua iña El úmero total de esayos es 26,479,954 y el valor esperado del úmero de iñas es p = 3, 239, 977 La diferecia etre el úmero de iñas y su valor esperado es 9, 798 y queremos hallar la probabilidad de observar ua diferecia mayor o igual a este valor: ( S p 3, 239, 977 p P (S 3, 239, 977 = P pq pq P (N 3, Este úmero es suficietemete pequeño como para pesar que la distribució o tiee probabilidad uiforme 28 Simulació de Esayos de Beroulli E esta secció revisamos alguos aspectos de la simulació de sucesioes de variables de Beroulli y sus variables asociadas, usado R Comezamos por recordar la simulació de variables aleatorias e R 28 Geeració de Variables Aleatorias e R El leguaje R tiee icorporadas ua serie de rutias para geerar variables aleatorias La sitais precisa de la istrucció correspodiete depede de la distribució, pero todas tiee el formato comú rdist, dode dist desiga la distribució; por ejemplo, para geerar valores a partir de la distribució ormal usamos rorm Segú la distribució, puede ser ecesario especificar uo o varios parámetros La tabla que presetamos a cotiuació icluye las distribucioes más comues, los parámetros requeridos y sus valores por defecto represeta siempre el tamaño de la muestra

31 28 SIMULACIÓN DE ENSAYOS DE BERNOULLI 3 Distribució Fució e R Biomial rbiom(, size, prob Poisso rpois(, lambda Geométrica rgeom(, prob Hipergeométrica rhyper(, m,, k Biomial Negativa rbiom(, size, prob Multiomial rmultiom(, size, prob Uiforme ruif(, mi=0, ma= Epoecial rep(, rate= Gaussiaa rorm(, mea=0, sd= Gamma rgamma(, shape, scale= Weibull rweibull(, shape, scale= Cauchy rcauchy(, locatio=0, scale= Beta rbeta(, shape, shape2 t rt(, df Fisher rf(, df, df2 χ 2 rchisq(, df Logística rlogis(, locatio=0, scale= Logormal rlorm(, mealog=0, sdlog= Tabla 2: Fucioes para geerar valores de distitas distribucioes e R Además, R tiee la fució sample que permite obteer muestras co o si reposició de cojutos fiitos de valores La sitais es dode sample(, size, replace = FALSE, prob = NULL es el cojuto a partir del cual queremos obteer la muestra, escrito como u vector, size es el tamaño de la muestra, replace permite idicar si se permite repeticioes (replace = TRUE o o y fialmete prob es u vector de probabilidades si se desea hacer u muestreo pesado y o uiforme Adicioalmete, asociada a cada distribució hay otras tres fucioes que correspode a la desidad, la fució de distribució y la fució de cuatiles Estas fucioes tiee ua sitais similar a la que hemos estudiado e esta secció para la geeració de variables aleatorias, pero cambiado la primera letra por d, p o q Así, para la distribució ormal, dorm( correspode los valores de la desidad e los putos del vector, porm(q correspode los valores de la fució de distribució e los putos del vector q y qorm(p os da los cuatiles correspodietes al vector de probabilidades p 282 Esayos de Beroulli Para simular variables de Beroulli e R usamos los comados para geerar variables biomiales co parámetro = Co las siguietes istruccioes geeramos 00 variables de Beroulli co parámetro p = 0 y las graficamos La primera istrucció fija la semilla del geerador de úmeros aleatorios para que los resultados se pueda reproducir setseed(92837 ide <- :00 muestra <- rbiom(00,,0 plot(ide, muestra, type= h,lwd=2

32 32 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI Las siguietes istruccioes sirve para graficar e cuatro paeles, muestras de tamaño 00 para variables de Beroulli co probabilidades éito p = 0; 03; 05 y 07 El resultado se muestra e la figura 2 par(mfrow=c(4, plot(ide,rbiom(00,,0, type= h,lwd=2, mai= Esayos de Beroulli p=0, ylab=,bty=,yat= plot(ide,rbiom(00,,03, type= h,lwd=2, mai= Esayos de Beroulli p=03, ylab=,bty=,yat= plot(ide,rbiom(00,,05, type= h,lwd=2, mai= Esayos de Beroulli p=05, ylab=,bty=,yat= plot(ide,rbiom(00,,07, type= h,lwd=2, mai= Esayos de Beroulli p=07, ylab=,bty=,yat= par(mfrow=c(, Esayos de Beroulli p= ide Esayos de Beroulli p= ide Esayos de Beroulli p= ide Esayos de Beroulli p= ide Figura 2: Muestras de 00 esayos de Beroulli co probabilidades de éito 0, 03, 05 y 07 Las barras verticales idica los éitos Ua de las distribucioes asociadas a sucesioes de esayos de Beroulli es la geométrica, que correspode a la variable que cueta el úmero de esayos hasta el primer éito La siguiete istrucció idica e cuál esayo ocurre el primer éito e el vector muestra: ide[muestra==][] [] 7 Si, e cambio, quisiéramos el lugar del tercer éito la epresió sería ide[muestra==][3] [] 28 Para facilitar la repetició de este procedimieto vamos a defiir ua fució que os permita hallar el primer éito: geo <- fuctio(=000,p=0 (:[rbiom(,,p==][] La fució tiee dos parámetros, el tamaño de la muestra, que tiee valor por defecto igual a 000, y la probabilidad de éito p, que tiee valor por defecto 0 Ambos puede fijarse al llamar la fució, pero al teer valores asigados por defecto, la fució se ejecuta aú cuado o se idique valores para estos parámetros: geo(

33 28 SIMULACIÓN DE ENSAYOS DE BERNOULLI 33 [] 7 cuyo resultado es el lugar que ocupa el primer éito El úmero de esayos se icluye como parámetro pues si queremos usar valores muy pequeños de la probabilidad de éito, puede ser ecesario aumetar e proporció su valor Si queremos repetir esta fució para obteer ua muestra podemos usar la fució replicate: replicate(0,geo( [] que os da ua muestra de tamaño 0 de la distribució geométrica A cotiuació usamos la fució tabulate para crear ua tabla de valores de ua muestra de tamaño 0,000 de la distribució geométrica co p = 0 Trucamos los valores de la tabla e 50 y los graficamos El resultado se muestra e la figura 22 (izq valores <- tabulate(replicate(0000,geo(,50 plot(:50,valores,pch=6, mai= Distribució Geométrica co p=0 ablie(h=0, col= red ablie(v=0, col= red Distribució Geométrica co p=0 Distribució Geométrica co p=0 valores Frecuecia : k Figura 22: Frecuecia empírica de los valores para ua distribució geométrica co parámetro p = 0 basado e ua muestra simulada de tamaño 0,000: (izq usado la fució geo que costruimos, (der usado la fució rgeom E R eiste la fució rgeom que geera muestras de la distribució geométrica, pero o es eactamete la misma que simulamos ateriormete La fució rgeom cueta el úmero de fracasos previos al primer éito, y o icluye el esayo e el cual éste ocurre E cosecuecia, los valores difiere e y la distribució que simula R icluye como valor posible 0, que correspode a ua sucesió e la cual el primer resultado es u éito Costruimos ua gráfica similar a la que acabamos de realizar co esta fució, que se muestra e la figura 22 (der plot(0:49,tabulate(rgeom(0000,0,50,pch=6,lab= k,ylab= Frecuecia, mai= Distribució Geométrica co p=0 ablie(h=0, col= red ablie(v=0, col= red E cosecuecia, para obteer valores que correspoda a la distribució que defiimos ateriormete, debemos añadir ua uidad a los valores geerados co la fució rgeom o, equivaletemete, desplazar los valores hacia la derecha ua uidad al realizar las gráficas Como mecioamos e la secció 28, la fució dgeom os da los valores de la desidad (o fució de probabilidad de la distribució geométrica Usamos esta fució a cotiuació para hacer gráficas de

34 34 CAPÍTULO 2 ENSAYOS DE BERNOULLI las fucioes de probabilidad correspodietes a distribucioes geométricas co parámetros 0, 03, 05 y 07 El resultado se preseta e la figura 23 val <- 0:40; clrs <- raibow(50 plot(val+, dgeom(val,08, type= l,mai= Desidad de la Distribució Geométrica, lwd=2, ylab= Desidad, lab=,col=clrs[4] lies(val+, dgeom(val,05,col=clrs[4],lwd=2 lies(val+, dgeom(val,03,col=clrs(50[34],lwd=2 lies(val+, dgeom(val,0,col=clrs[44],lwd=2 leged( topright, c( 07, 05, 03, 0,lwd=rep(2,4, col=c(clrs[4],clrs[4],clrs[34],clrs[44] ablie(h=0, col= red ablie(v=0, col= red Desidad de la Distribució Geométrica Desidad Figura 23: Desidades para la distribució geométrica co parámetros 0, 03, 05 y 07 Si embargo, la represetació de la fució de probabilidad que hemos hecho para estas distribucioes o es la más adecuada, pues las variables so discretas A cotiuació haremos ua represetació más apropiada, usado barras verticales para los valores de la fució de probabilidad La primera istrucció guarda e op los valores por defecto de los parámetros gráficos, de modo que si los modificamos para lograr ua gráfica mejor, los podemos restaurar al fial co la última istrucció E el proceso de elaboració de las gráficas cambiamos e dos ocasioes los márgees, cuyos valores por defecto tiede a ser muy grades cuado se usa varios paeles e ua misma represetació El resultado se preseta e la figura 24 op <- par(oreadoly = TRUE par(mfrow=c(2,2 par(mar=c(4,4,4,2+0 plot(val+, dgeom(val,07, type= h,mai= Distribució Geométrica, p=07,lwd=2, ylab= Desidad, lab= plot(val+, dgeom(val,05,col=clrs[4],lwd=2,type= h, mai= Distribució Geométrica, p=05,ylab= Desidad, lab= par(mar=c(5,4,3,2+0 plot(val+, dgeom(val,03,col=clrs[28],lwd=2,type= h, mai= Distribució Geométrica, p=03,ylab= Desidad, lab= plot(val+, dgeom(val,0,col=clrs[34],lwd=2,type= h, mai= Distribució Geométrica, p=0,ylab= Desidad, lab=