Capítulo II 2.1 INTRODUCCIÓN. Volumen I 2-1

Transcripción

1 Volumen I - Cpítulo II. INTRODUCCIÓN Un modelo mtemático de un item dinámico e define como un juego de ecucione que repreent l dinámic del item con exctitud, o l meno, rzonblemente bien. Un modelo mtemático no e único pr un item ddo. Un item e puede repreentr de mucho modo diferente, y por tnto, puede tener mucho modelo mtemático, dependiendo de l perpectiv individule. Aunque el nálii y dieño de item de control linele e h derrolldo mplimente, u contrprte pr item no linele e normlmente muy complejo. Por eto e necerio determinr no ólo cómo decribir exctmente un item de form mtemátic, ino má importnte ún, cómo hcer upoicione y proximcione correct, pr que el item e crcterizdo en un form relit medinte un modelo mtemático linel. L dinámic de mucho item, en mecánico, eléctrico, térmico, económico, biológico, u otro, e puede decribir en término de ecucione diferencile. E ecucione diferencile pueden obtenere utilizndo l leye fíic que rigen un item en prticulr. L repuet de un item dinámico un entrd (o función excitdor) puede obtenere i e reuelven l ecucione diferencile que modeln dicho item. E poible umentr l exctitud de un modelo mtemático incrementndo u complejidd. Sin embrgo, l determinr un modelo mtemático, hy que logrr un equilibrio entre l implicidd del modelo y l exctitud de lo reultdo del nálii. En un modelo implificdo, menudo e conveniente pr por lto ciert crcterític fíic inherente del item. Si lo efecto que e crcterític deprecid producen on pequeño en l repuet, e logr un buen concordnci entre lo reultdo del nálii de un modelo mtemático y lo reultdo del etudio experimentl del item fíico.

2 Volumen I -. PRINCIPIOS DE FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO Be L be de lo modelo mtemático on fundmentlmente leye fíic y químic, como l leye de conervción de l m, energí u momentum. Pr etudir l dinámic e urán en u form generl. Supoicione Probblemente el rol má importnte que jueg un ingeniero en el modelje e el de plicr u juicio ingenieril pr hcer upoicione válid en el modelo en etudio. Obvimente un modelo demido riguroo que incluy cd fenómeno en detlle microcópico erí muy complejo y lrgo de derrollr, e incluo podrí er impoible de reolver. E necerio un compromio entre riguroidd y fcilidd de reolución del modelo plntedo, por eto e necerio hcer upoicione rzonble, l cule deben er cuiddomente coniderd y litd, ell imponen limitcione l modelo que deben tenere en cuent l hor de evlur el reultdo obtenido. Conitenci del modelo mtemático Un vez que tod l ecucione del modelo mtemático on ecrit, e un buen ide, obretodo con item de ecucione complejo, egurre de que el número de vrible e igul l número de ecucione (grdo de libertd cero). Eto puede precer trivil, pero puede lvr much hor de frutrción y confuión. Otro po trivil y obvio puede er el de chequer que l unidde de todo lo término en tod l ecucione en conitente. Solución mtemátic L olución del modelo etá implícitmente contenid en lo reultdo de lo po nteriore. Hy vrio método de hllr l olución del modelo, pero el ingeniero debe ur l olución que le prove un mejor percepción del item. Por lo tnto un olución nlític e preferid en l myorí de lo co, porque puede ure pr () clculr

3 Volumen I -3 vlore numérico epecífico, () determinr importnte relcione funcionle entre vrible de dieño y de operción y comportmiento del item, y (3) dr un mejor percepción de l enibilidd del reultdo lo cmbio en lo dto. A vece eto reultdo on tn vlordo que e hcen upoicione pr obtener un reultdo nlítico. En lguno co, l proximción neceri pr hcer poible un olución nlític produce errore inceptble y en eto co, e u un olución numéric de l ecucione empled. Aunque l olucione numéric nunc on exct, el error introducido puede er muy pequeño en comprción lo errore ocido l upoicione y dto en el modelo, por eto olucione numéric clculd propidmente pueden er coniderd prácticmente exct. Vlidción Conite en probr que el modelo decribe l itución rel. Eto e hce comprndo lo reultdo de imulcione con reultdo rele del item. En el dieño eto puede er impoible de hcer porque l plnt ún no h ido contruid, in embrgo pueden obtenere dto experimentle de plnt imilre o de plnt piloto... Ecucione Diferencile Un grn vriedd de item en ingenierí e modeln mtemáticmente medinte ecucione diferencile. Et ecucione generlmente involucrn derivd e integrle de vrible dependiente con repecto l vrible independiente. Leye Báic en Modelción: Ecución de Continuidd Rt de cumulción en el item Rt de entrd l item Rt de - lid l + item Rt de generción dentro del item - Rt de conumo dentro del item Et ecución e válid pr relizr blnce de m y energí

4 Volumen I -4 Ley de Newton: - Sitem mecánico trlcionle F m (-) - Sitem mecánico rotcionle Torque I α (-) Ley de Kirchoff - L um lgebric de l diferenci de potencil lrededor de un circuito cerrdo debe er cero. - L um lgebric de corriente en un nodo debe er igul cero. Ecucione diferencile ordinri linele Un ecución diferencil de un item de n-éimo orden e ecribe como: n n d y(t) d y(t) dy(t) +... o y(t) f (t) n n n (-3) que tmbién e conoce como ecución ordinri linel i lo coeficiente 0,,..., n- no on funcione de y(t). Ecucione diferencile no linele L myorí de lo item fíico on no linele y e deben decribir medinte ecucione diferencile no linele. En ingenierí de control, l operción norml del item puede dre lrededor de un punto de equilibrio. Entonce, i el item funcion en l proximidde de un punto de equilibrio, y i l eñle incluid on pequeñ, e poible proximr el item no linel un item linel. Tl item linel e equivlente l item no linel coniderdo dentro de un rngo de operción limitdo... Trnformd de Lplce L trnformd de Lplce e un de l herrmient mtemátic utilizd pr l olución de ecucione diferencile ordinri linele. En comprción con el método

5 Volumen I -5 cláico de reolución de ecucione diferencile linele, l trnformd de Lplce tiene do crcterític trctiv: L olución de l ecución homogéne y l olución prticulr e obtienen en un ol operción. L trnformd de Lplce convierte l ecución diferencil en un ecución lgebric en. E poible mnipulr et ecución lgebric medinte regl lgebric imple, pr obtener l olución en el dominio. Definición de l trnformd de Lplce Dd un función rel f(t) que tifce l condición: 0 f ( t) e σ t < (-4) donde f(t) e un función de tiempo t tl que f(t)0 pr t <0. Pr lgún vlor σ finito, l trnformd de Lplce de f(t) e define como: F( ) 0 f ( t) e [ ] σ t (-5) F() L f ( t ) (-6) donde e un vrible complej y F() e l trnformd de Lplce de f(t). L trnformd de Lplce de un función f(t) exite i l integrl de Lplce converge. L integrl de Lplce h de converger i f(t) e eleccionlmente continu en todo intervlo finito dentro del rngo t >0 y i e de orden exponencil cundo t tiende infinito. Se dice que un función f(t) e de orden exponencil, i exite un contnte rel, poitiv σ tl que l función e σt f (t) (-7) tiende cero cundo t tiende infinito. Teorem importnte de l trnformd de Lplce L pliccione de l trnformd de Lplce en mucho co e implificn l empler l propiedde de l trnformd.

6 Volumen I -6 Teorem.: Multiplicción por un contnte. Se A un contnte y F() l trnformd de Lplce de f(t). Entonce: [ ] ) L A f ( t) A F( (-8) Teorem.: Sum y Ret. Sen F () y F () l trnformd de Lplce de f (t) y f (t), repectivmente. Entonce: L [ f (t) ± f (t)] F () ± F () (-9) Teorem.3: Diferencición. Se F() l trnformd de Lplce de f(t), y f(0) el límite de f(t) cundo t tiende cero. L trnformd de Lplce de l derivd con repecto l tiempo de f(t) e: df (t) L F() lim f (t) F() f (0) t 0 (-0) En generl, pr l derivd de orden uperior de f(t), t0 n d f ( t) n n n () ( n ) L F( ) f (0) f (0)... f (0) (-) n donde f (i) (0) denot l derivd de i-éimo orden de f(t) con repecto t, evlud en Teorem.4: Integrción. L trnformd de Lplce de l primer integrl de f(t) con repecto l tiempo, e l trnformd de Lplce de f(t) dividid entre, eto e: L t 0 f ( t ) F( ) Pr l integrción de n-éimo orden: L t t tn f ( t )... n F( ) n (-) (-3) Teorem.5: Teorem del vlor inicil. Si l trnformd de Lplce de f(t) e F(), entonce:

7 Volumen I -7 lim f ( t) lim F( ) (-4) t 0 í, y ólo í, el límite exite. Teorem.6: Teorem del vlor finl. Si l trnformd de Lplce de f(t) e F(), y i F() e nlític obre el eje imginrio y en el emiplno derecho del plno, entonce: lim f ( t) lim F( ) (-5) t 0 El teorem del vlor finl e muy útil pr el nálii y dieño de item de control, y que proporcion el vlor finl de un función de tiempo medinte el conocimiento de u trnformd de Lplce en 0. El teorem del vlor finl no e válido i F() contiene lgún polo cuy prte rel e cero o poitiv, lo que equivle l requiito de que F() e nlític en el emiplno derecho. Trnformd de Lplce de funcione. L Tbl Nº. preent trnformd de funcione en el tiempo que precen frecuentemente en el nálii de item linele de control. Tbl Nº.: Pre de trnformd de Lplce TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCION TIEMPO F(x) f(t) Función de impulo unitrio δ(t) n! n+ +α ( +α ) Función eclón unitrio u t (t) Función rmp unitri t t n (n entero poitivo) e -αt te -αt

8 Volumen I -8 n! n+ ( + α ) ( + α )( + β ) t n e -α (n entero poitivo) αt βt ( e e ) ( + α )( + β ) (α β) β α βt αt βe αe (α β) β α e αt α αt αt ( e αe ) α ( ) ( ) ( + α ) ( + α ) ( + α ) ( α ) α αt ( αt + e ) αt t e α α α Trnformd inver de Lplce El proceo mtemático de pr de l expreión en vrible complej l expreión en función del tiempo, e denomin trnformción inver. L notción pr l trnformción inver e L de modo que: L - [F()] f(t) (-6) Pr hllr f(t) prtir de F(), e utiliz l Tbl Nº de trnformd de Lplce. Si no e encuentr en l tbl un trnformd F() determind, e puede derrollr en frccione prcile, y ecribir F() en término de funcione imple de, pr l cule e conocen l trnformd inver de Lplce. Ete método e b en el hecho de que l correpondenci únic entre un función del tiempo y u trnformd Lplce inver, e mntiene pr culquier función del tiempo que e continu..3 DIFERENTES REPRESENTACIONES DEL MODELO Ademá de modelr un item trvé de ecucione diferencile e poible repreentr el modelo del item de diver form. Un de ell on l función de trnferenci, el digrm de bloque y el digrm de flujo de eñle.

9 Volumen I -9 Función de Trnferenci L función de trnferenci de un item de ecucione diferencile linele invrinte en el tiempo, e define como l relción entre l trnformd de Lplce de l lid (función repuet) y l trnformd de Lplce de l entrd (función excitción), bjo l upoición de que tod l condicione inicile on cero. Se el item linel invrinte en el tiempo definido por l iguiente ecucione diferencile: n n o m m 0 y + y n y + n y b0 x + b x bm x + bm x 0 (-7) donde: y(t): e l lid del item. x(t): e l entrd del item. n m L función de trnferenci de ete item e obtiene, tomndo l trnformd de Lplce de mbo miembro de l ecución (-7), bjo l upoición de que tod l condicione inicile on cero: G y( ) b + b b + b m m 0 m m ( ) (-8) n n x( ) o n + n Utilizndo ete concepto de función de trnferenci, e puede repreentr l dinámic de un item por ecucione lgebric en. Si l potenci m lt de en el denomindor de l función de trnferenci e igul n, e dice que el item e de orden n. Fctorizndo l ecución (-8), e tiene: ( + z)( + z )...( + zm ) G( ) (-9) ( + p )( + p )...( + p ) n donde l ríce del numerdor de l función G() on llmd lo cero de l función de trnferenci y l del denomindor on llmd lo polo de l función de trnferenci. En un función de trnferenci, el denomindor expredo como un polinomio en, e llmdo ecución crcterític: D() o n + n n- + n 0 (-0) L propiedde de l función de trnferenci on:

10 Volumen I -0 E independiente de l entrd del item, l crcterític de un item on inherente en él L condicione inicile del item on igule cero. Si e conoce l función de trnferenci del item, e puede etudir l lid o repuet, pr diver form de entrd con el objetivo de logrr un mejor comprenión de l nturlez del item. L función de trnferenci etá definid olo pr un item linel e invrinte en el tiempo, no etá definid pr item no linele. L función de trnferenci de un item en tiempo continuo e expre olo como un función de l vrible complej, no e función de l vrible rel tiempo, o culquier otr vrible que e utilice como vrible independiente. L función de trnferenci incluye l unidde neceri pr relcionr l entrd con l lid; no obtnte, no brind ningun informción repecto l decripción fíic del item (l funcione de trnferenci de mucho item fíicmente ditinto pueden er idéntic). Si e deconoce l función de trnferenci de un item, e puede etblecer experimentlmente introduciendo entrd conocid y etudindo l repuet o lid del item. Un vez etblecid, un función de trnferenci brind un decripción complet de l crcterític dinámic del item, tn definid como u decripción fíic. Función de Trnferenci Lzo Abierto y Función de Trnferenci de Lzo cerrdo Pr un item retrolimentdo, como el motrdo en l figur. l relción entre l eñl de retrolimentción M() y l eñl de error ctunte E(), e denomin Función de Trnferenci de Lzo Abierto (FTLA), l cul e puede ecribir como: B( ) G( ) H ( ) (-) E( )

11 Volumen I - R() + E() C() _ G () M() H() Figur Nº.: Sitem de lzo cerrdo L relción entre l lid C() y l eñl de error ctunte E() e denomin Función de Trnferenci de Lzo Directo (FTLD) l cul e puede exprer por: C( ) G( ) (-) E( ) E importnte notr que i l función de trnferenci de retrolimentción H() e igul uno, l do ecucione nteriore on exctmente igule. Pr el mimo item retrolimentdo motrdo en l Figur Nº., l relción entre l lid C() y l entrd R() e denomin Función de Trnferenci de lzo cerrdo (FTLC) y puede obtenere de l iguiente mner: E( ) R( ) M ( ) (-3) M ( ) C( ) H ( ) (-4) C ( ) G( ) E( ) (-5) Sutituyendo l ecución (-3) en l ecución (-5): [ R( ) M ( ) ] C( ) G( ) (-6) Sutituyendo l ecución (-4) en l ecución (.6): C ( ) R( ) G( ) C() H ( ) G( ) (-7) Depejndo: [ H ( ) G( S) ] R( ) G( ) C ( ) + (-8) Función de Trnferenci de Lzo Cerrdo (FTLC) C( ) G( ) (-9) R( ) + G( ) H ( )

12 Volumen I - Et ecución relcion l dinámic del item de lzo cerrdo con l dinámic de lo elemento de l cción direct y lo de retrolimentción. Por otro ldo, de l función de trnferenci de lzo cerrdo e puede encontrr un expreión pr l lid del item, l cul viene dd por: G( ) R( ) C( ) (-30) + G( ) H( ) donde el denomindor e llmdo ecución crcterític, o e: + G() H() 0. (-3) Sitem de lzo cerrdo ometido un perturbción: N() En l Figur Nº. e ve un item de lzo cerrdo ometido un perturbción Perturbción N() R() C() _ G () G () H() Figur Nº.: Sitem de lzo cerrdo ujeto un perturbción Cundo do entrd (l eñl de referenci y l de perturbción) etán preente en un item linel, cd entrd puede trtre independientemente de l otr; y l lid correpondiente e pueden umr cd un de l entrd individule, pr obtener l lid totl. En el punto de um e indic, y e por medio de un igno poitivo o negtivo, l form en que cd entrd e introduce l item. Pr hcer eto, e necerio clculr l funcione de trnferenci de lzo cerrdo tnto de l referenci como de l perturbción. L función de trnferenci entre l lid y l referenci e clcul como e mencionó nteriormente tomndo en cuent que N() 0.

13 Volumen I -3 C R ( ) G ( ) G( ) (-3) R( ) + G ( ) G ( ) H ( ) L función de trnferenci de lzo cerrdo entre l lid y l perturbción e clcul hciendo R() 0, como: C N ( ) N( ) G( ) (-33) + G ( )G ( ) H( ) L repuet l plicción imultáne de l entrd de referenci y de l perturbción e puede obtener umndo l do repuet individule; e decir, l repuet del item C() debid l plicción imultáne de et do entrd etá dd por: C( ) ( G ( ) R( ) + N( )) G( ) CR( ) + CN ( ) (-34) + G ( )G ( ) H( ) donde l ecución crcterític viene dd por: + G () G () H() 0 (-35) Digrm de Bloque Un digrm de bloque e un repreentción gráfic de l funcione de trnferenci de un item. En l figur.3 e preent un digrm de bloque donde: U()... vrible de entrd o de excitción l item. G()... función de trnferenci del item. C()... Vrible de lid o controld. U(S) G(S) C(S) Figur Nº.3: Digrm de bloque En ete co C() U() G().

14 Volumen I -4 Ete digrm indic l interrelcione que exiten entre lo divero componente, y demá tiene l ventj de indicr en form má relit que l repreentción mtemátic el flujo de eñle del item rel. Sin embrgo tiene como deventj el no contener ningun informción cerc de l contitución fíic del item. Lo digrm de bloque tienen tre elemento principle: Bloque: e un ímbolo de l operción mtemátic que el bloque produce l lid, obre l eñl que tiene l entrd. Dentro de cd bloque e coloc generlmente l funcione de trnferenci de lo componente y eto etán interconectdo por flech pr indicr l dirección del flujo de eñle. Punto de um: e un ímbolo en form circulr que e udo pr umr y/o retr eñle. Ete puede tener culquier número de eñle de entrd, pero con l excepción de que tiene olo un eñl de lid. E importnte tener cuiddo en que l eñle umre o retre deben tener l mim dimenione y unidde. Punto de bifurcción: e un punto dede el cul l eñl de un bloque prte hci vrio bloque o punto de um. L Figur Nº.4 muetr lo elemento del digrm de bloque. Sumdor + _ Bloque Punto de Bifurcción Figur.4: Elemento del digrm de bloque Procedimiento pr trzr el digrm de bloque Pr repreentr un modelo fíico trvé de digrm de bloque, e procede : Ecribir l ecucione diferencile que decriben el comportmiento dinámico en cd componente.

15 Volumen I -5 Tomr l trnformd de Lplce de et ecucione, uponiendo condicione inicile igule cero. Cd ecución de trnformd de Lplce e repreent individulmente en form de bloque funcionl. Integrr lo elemento en el digrm de bloque completo..3.3 Ejemplo Problem.3.3.: Sitem Hidráulico En l figur nex e muetr un item de llendo de tnque. Figur.5: Equem del item hidráulico Ete item cont de un tnque de áre trnverl contnte A, el cul dipone de un válvul que ejerce un reitenci fluídic de mgnitud R. Supoicione: - El flujo volumétrico q o (t) que p trvé de R preent l iguiente relción: h(t) q o () t () R (Eto olo e plicble pr flujo lminre, un reitenci que teng un relción linel e llmd RESISTENCIA LINEAL. Pr flujo turbulento, l relción pr válvul y tuberí viene dd en generl por C. h. Cundo l tuberí tienen form geométric e K. h n. Por ejemplo, tuberí rectngulre e K. 3 h )

16 Volumen I -6 - Se conider que: lb ρ denidd contnte. 3 ft Aplicndo l ecución de continuidd en un blnce de m donde: q(t) y q o (t) on flujo volumétrico. [ ρ.a.h] ρ. q() t ρ.q o () t t () En etdo etcionrio e cumple que tod l vrible con repecto l tiempo on nul, lo que implic que en l ecución diferencil (), l derivd [ ] t 0. Emplendo l notción q pr etdo etcionrio, l ecución () e trnform en: ρ q ρ qo 0 q q o (3) L cul e válid pr el item en etdo etcionrio. Pr poder derrollr l función de trferenci del item, e necerio definir el problem en término de vrible de perturbción, l cule e definen tl y como e muetr continución: DEFINICION DE VARIABLES DE PERTURBACION ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q t q t q h t h t h qo t qo t qo Donde qhq,, o on lo vlore obtenido del item operndo en etdo etcionrio. Sutryendo l ecución (3) l ecución (), e obtiene que:

17 Volumen I -7 [ Ah( t) ] ρ ρqt ( ) ρqo ( t) t [ ρah] ρq ρqo t ( ' ) Acomodndo et ecución e obtiene: ρ ( q() t q) ρ ( q ( t) q ) o o [ ρ A( h( t) h) ] t ρ q () t ρ q () t o [ ρ Ah () t ] ( ' ') t L ecución ( ) repreent l item ecrito en vrible de perturbción. Eliminndo ρ y uponiendo vricione muy pequeñ lrededor del punto de operción podemo formr T.L. () quedndo:.. () Q () A H ()...() 3 Q o ( ) H Tomndo T.L. () Qo () (4) R Sutituyendo (4) en (3) y regrupndo término, tenemo: H Q ( ) R.. () R A + (5) Nuevmente, i τ R. A, y KR. H Q ( ) K. () τ + Sitem de primer orden (6)

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19 Volumen I -9 - Tod l cpcidd térmic qued en el mercurio. - Se upone que l T t (t) e uniforme. El vidrio no e contre ni e expnde durnte l repuet trniente. Et upoicione hcen que etemo trbjndo con un item en PARAMETROS CONCENTRADOS (LUMPED) porque loclizmo tod l reitenci en un lugr í como l cpcidd térmic. Aplicndo un blnce encillo de energí y uponiendo que etmo lrededor del punto en etdo etcionrio, e tiene que: dtt h A ( T Tt) O m Cm () Entrd - Slid Rt de Acumulción Donde: A: Superficie del áre de trnferenci de clor [ft ] C m : Cpcidd clóric del mercurio [BTU/lbmºF] m : m del mercurio en el bulbo [lbm] h : coeficiente de trnferenci de clor de l películ [BTU/?] h dependerá de l rt de flujo y del fluido í como de l dimenione del bulbo. Lo upondremo contnte. Supongmo que el termómetro eté en etdo etcionrio, e decir, T y T t. L ecución qued: h A T T t 0 () Si retmo () - (): ( T ) dtt t h A [ ( T T ) ( Tt Tt )] m Cm (3)

20 Volumen I -0 Si definimo t T T T T T T t t T y Por lo tnto: T t on vrible de perturbción. dtt ( T Tt ) O m Cm h A (4) Tomndo Trnformd de Lplce (4): ( ) ( ) ( ) h A T h A Tt m Cm Tt (5) Al dividir (5) por h.a y rreglr el reultdo obtenemo: T T t ( ) () m Cm + h A Problem.3.3.3: Sitem Eléctrico E() Ddo el iguiente circuito, queremo hllr u función de trnferenci V() i(t) Figur.0: Equem del circuito A prtir de l leye de Kirchoff, e pueden obtener l iguiente expreione mtemátic:

21 Volumen I - V() t R( T) u() t + it () C E o (t) i(t) C de o (t) > C i(t) () () Sutituyendo () en () V t R C de o () () t + E 0 () t (3) V o R C de + Eo (4) Retndo (3) - (4) V t V RC d ( E 0 ( t ) E o ) () V t RC de o () () t + E o Aplicndo Trnformd de Lplce: () t + ( E ( t) E o o ) (5) V() R C E () + E () V() ( R C + ) E () o o o Depejndo: Eo () V() RC+ Tomndo τ RC, e tiene que Eo () k V() τ + Sitem de er Orden.

22 Volumen I - Problem.3.3.4: Sitem Mecánico rotcionl Figur.: Equem del item mecánico rotcionl Se dee determinr l función de trferenci del item mecánico motrdo en l figur.. Pr ello, e definen lo iguiente prámetro: T(t): Torque plicdo [ N. m ] T D : Torque de opoición [ N. m ] J: Momento de inerci del eje y ventildor [ Kg. m ] B: Coeficiente de rrtre [ N m ] rd eg w(t): Velocidd Angulr [rd eg] α (t): celerción ngulr [rd eg ] A prtir de l egund ley de Newton, e tiene que: T t T t J dw () () t D () () Ademá: T B w T D ( ) () Sutituyendo () en () no qued: T t B w T J dw () () ( ) t (3) T B w J dw (3 )

23 Volumen I -3 Retndo (3) - (3 ): ( ( ) ) ( T T) B ( w( t) w) J d w t w (3 ) T t B w t J dw () () () t (3 ) Tomndo Trnformd de Lplce en (3 ) T Agrupndo Término no qued: ( ) B W ( ) + J W ( ) W T ( ) ( ) B J + B De quí podemo obervr: Vrible de Entrd: Vrible de Slid: T( ) W( ) J B tiene unidde de tiempo Llmremo: J B τ B k Por lo tnto : W () k T () τ + Sitem de er Orden

24 Volumen I -4 Problem.3.3.5: Sitem mecánico trlcionl y(t) Figur.: Amortigudor de Vibrcione Se dee determinr l función de trferenci: Y () / F () Aplicndo l Ley de Newton: Donde: W m [lbm] W g g c 3, lbm. ft / lbf. eg c d y K y C dy + Ft () () C coeficiente de mortigución vico [lbf / (ft/eg)] K Contnte de Hooke [lbf/ft] F(t) Fuerz Aplicd [lbf] Rerreglndo: Si dividimo () por K tenemo: W d y C dy y + g K K τ c Ecribiendo el Etdo etcionrio de (3): τ Ft () K d y() t dy() t + ζ τ + yt () xt () (3) d y dy + ζ τ + y x (3 ) ()

25 Volumen I -5 d ( y( t) y) d( y( t) y) (3-3 ) τ + ζ τ + ( yt ( ) y) xt ( ) x (3 ) Aplicndo T. L. ( τ ζ τ ) + + Y () X () Y () X () τ + ζ τ + Y F Y F () () τ + ζ τ + K () () τ / K + ζ τ + donde: de donde: τ τ W g K c W g K c Sitem de Segundo Orden ; ζ τ C K ; xt () Ft () K (4) [eg] debe er > 0 ζ gc C 4 W K (5) dimenionl debe er > 0 Un item de orden neceit do prámetro pr er definido, en ete co on ζ y τ. L repreentción en digrm de bloque e muetr en l figur.3.

26 Volumen I -6 X() τ + ζ τ + Y() Figur.3: Repreentción en digrm de bloque del item Y ( ) X ( ) wn ξ + + wn Problem.3.3.6: Sitem eléctrico LRC Se dee determinr l función de trnferenci del circuito LRC que e muetr en l figur.3. Figur.4: Equem del circuito LRC A prtir de l leye de Kirchoff, e pueden deducir l iguiente ecucione diferencile que reproducen el comportmiento del item: et () L di R i + + C i () Aplicndo T. L. y CI 0 E () L I () + R I () + C I () ()

27 Volumen I -7 E () ( C L + R C + ) I( ) C I() C E () C L + R C + Donde: I( ) E( ) R ξ. ω n L ω n CL C CL RC + + CL CL Problem.3.3.7: Modeldo de un Mnómetro + L R + L CL Figur.4: Equem de un mnómetro de mercurio Se dee determinr l relción H () P( ) Supoicione: - Conidermo flujo lminr. - Fricción deprecible.

28 Volumen I -8 Aplicndo Newton: Donde: m d h P A h A γ () m m del Hg h ltur deplzd A Sección Trnverl γ Vicocidd del Hg ρ denidd Por otro ldo: γ ρ.g () m ρ.a.l m Sutituyendo (3) en (): γ g A L (3) γ A L d h P A γ h A f(p, h) (4) g No hy término no linele. Procedemo regrupr h + L g d h P γ (5) Etdo Etcionrio: h P (6) γ Retndo (5) - (6) L g d h + h P (7) γ

29 Volumen I -9 Aplicndo T. L. pr un egund derivd F( ) F( 0) f ( 0) / L g H P () + ( ) γ de donde H () P() / γ L G + Sitem de º orden Problem.3.3.8: Motore DC I f (t) Figur.5: Equem de un motor DC Supoicione: - L corriente I (ctte) puede er uminitrd por un fuente DC, ó un líne AC (uo de trnformdore y rectificdore). - El voltje Ef plicdo l cmpo e obtiene de un mplificdor de bj potenci.

30 Volumen I El circuito de cmpo e encuentr repreentdo por un reitenci Rf y un inductnci Lf. Aumiendo un comportmiento linel, e tiene que: El flujo mgnético φ( t ) del cmpo: φ( t) kf. I f ( t) () El torque derrolldo por el motor e directmente proporcionl l flujo mgnético y l corriente de l rmdur: Donde: k T k () φ I - contnte propi del motor, función del número de conductore de l rmdur, del número de polo del cmpo, etc. -φ Flujo mgnético del cmpo función del tiempo - I Corriente de l rmdur. φ (t) k f ( t) ; I f : corriente del cmpo I f kf II () t ( t) kmiif ( t) Τ k f Hciendo umtori de torque, en l prte mecánic: () t B ω () t Τ ( t) J & ω( t) Τ (3) Τ r L (4) Donde: ω velocidd ngulr. B r Coeficiente vicoo de fricción. J Inerci de l rmdur. T L Torque de l crg. Aplicndo Kichoff, en l prte eléctric: E I ( t) R + L f f f f I f ( t) t L ecucione (3), (4) y (5) repreentn lo tre blnce necerio pr un item electro-mecánico. Deemo como función de trnferenci l relción: que llevr cumplir lo iguiente: ω( ) E ( ) f (5), pr ello e tienen

31 Volumen I -3 - e debe eliminr. I f -Τ quede como un perturbción l proceo. l - no hy no-linelidde. - exprendo l ecucione en vrible de perturbción ó de devición: Τ Τ E f () t k m I I f () t... ( 3' ) () t Bvω () t Τl () t jω& () t... ( 4' ) () t R I () t + L & I () t... ( 5' ) Aplicndo T. Lplce tod, y mnipulándol convenientemente: f f ( ) ( ) ( ) R E I f f f I + Τ f L f ; con Τ f ctte de tiempo. R f f f f f Depejndo: I ( ) ( ) R E f f ( + Τf ) Sutituyendo (6) y (3 ) trnformd en (4 ) trnformd: (6) ( B + j) () Relción de trnferenci. r E f ω + ΤL km I R (7) f ( + Τ ) f ω () R f k I m E f T L ( + Τ ) B + J f r J Figur.6: Digrm de bloque del item

32 Volumen I -3 A continución e procederá hcer un nálii de l rmdur del motor DC. i(t) i(t) Figur.7: Equem de l rmdur del motor DC Supoicione: - L velocidd del motor e controld por el voltje de l rmdur. - I f normlmente e mntiene contnte. - E normlmente uplido por un generdor. Ecución circuitl pr l rmdur: E di c f ω L () () t k I () t R I () t + El torque derrolldo por el motor e: ( ) ( ) Τ t k I I t () m f Blnce de torque: () t ω ( t) Τ ( t) J & ω( t) Τ B r l (3) Donde : ω& dw relizndo lo po correpondiente, e lleg l iguiente digrm de bloque, prtir de l ecucione - 3:

33 Volumen I -33 T L Figur.8: Digrm de bloque del motor DC Donde: Τ ki c L R f : ctte de l f.e.m. Problem.3.3.9: Sitem de tnque interconectdo Q h R P MN CN h Q A R Figur.9: Sitem de tnque interconectdo Se dee obtener l función de trnferenci del item, í como u repreentción en digrm de bloque. Lo prámetro que definen l item e muetrn continución: Dto: Áre: A

34 Volumen I -34 Corriente: Q,Q,Q 3 Altur de lo tnque: h, h Contnte: C Válvul: Q f(h ) Q R h donde : :...pr tod bertur Q 3 f(h, ) Q 3 R h +R 3 de l válvul. Ahor e procede relizr lo blnce de m pr cd uno de lo tnque. Primer tnque : (... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + k Q H H A H R Q trnformcion dh A h R Q dh A dv Q Q τ donde : k R ; τ A R Segundo tnque : dh A R h R R h dh A Q Q 3 3 Trnformción: )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 k H k H H R H A R H R + + τ donde: R A τ ; R R k ; 3 3 R R k

35 Volumen I -35 Q () H () H r + E - G C G V k K - + τ +. K 3. () τ. + H () H M Figur.0: Digrm de bloque del item retrolimentdo.3.4 No linelidde en lo item L no linelidde on inherente en lo proceo y en el control de lo mimo. Entre ell podemo eñlr:. Sturción. Zon muert 3. Hitérei 4. Bcklh 5. Fricción (etátic, colombo, etc.) 6. Reorte no linel 7. Compreibilidd de lo fluido 8. Prendido-pgdo 9. Otro. - (ecucione cinétic, correlcione de trnferenci de m y cl, etc...) Su preenci fect lo item de control. Por ejemplo: - Bcklh: cu inetbilidd en el item. - Zon muert: cu errore en el etdo etcionrio. Ht el momento hemo nlizdo item fíico linele. Sin embrgo en l relidd eto no e cierto.

36 Volumen I -36 Prtmo del problem.3.3., donde e upuo un reitenci linel. Hblemo hor de: ) ( 0 t h C q () C ctte. Nuevmente nuetro blnce de m, eri: dh A h C q () En ete punto obervmo que e m difícil tomr Trnformd de Lplce por l preenci de un termino vrible no linel h. Et dificultd puede ltre i plicmo un expnión de Tylor. Condicione: - L vrible deben er continu - L derivd deben er continu Supongmo que tenemo un función f que depende de do vrible x x > f(x x ) y queremo linelizrl lrededor de u vlor etcionrio x x,. Aplicndo erie de Tylor:... ) (! ) (! ) ( ) ( ), ( ), (,,,, x x x f x x x f x x x f x x x f x x f x x f x x x x x x x x Por lo generl, e tom en cuent ht l primer derivd, porque lo término (x x n ) tienden hcere muy pequeño. Por lo tnto el termino ) (t h

37 Volumen I -37 Donde h h en etdo etcionrio. Sutituyendo (4) en (): h h + h ( h h) (4) dh q( t) C h h + h ( h h) A (5) L ecución (5) en etdo etcionrio: Retndo (5) - (6): qt () C h0 (6) C ( ) ( q q) h ( h h) A d h h (7) Donde C' C h Vrible de perturbción: Q ( q q) h ( h h) > Q C' h A dh (8) Tomndo Trnformd de Lplce (8): Donde Q ( ) H ( ) ( A + C') H Q ( ) k ( ) τ +

38 Volumen I -38 k C h A τ C' C h Vemo que en ete co l Función de Trnferenci e un item de primer orden como en lo otro co pero el vlor de k y τ dependen de l condicione en etdo etcionrio. Ejemplo Problem.3.5.: Tnque con válvul reguldor de lid Q MCN h Q Figur.: Sitem de tnque con válvul reguldor de lid Se dee clculr l función de trnferenci del item, í como u repreentción en digrm de bloque dv ρ ρq ( t) ρq ( t) El flujo Q depende de l diferenci de preione y de l porción del vátgo de l válvul m(t). Ete e repreent de mner implificd como igue: y luego ( f ) Q k P + P P + k. m 0 0 Q k lgh + k. m

39 Volumen I -39 dh( t) A Q ( t) k ρ gh( t) k. m El elemento no linel ρ gh puede linelizre lrededor del punto de equilibrio h ρ ρ ρ como : gh gh + ( gh) ( h h ) y que δf δ. f f( x, x,... ) f( x, x,... ) + ( x x) + ( x x) +... e puede iempre δx δ. x x x,.. x, x... utituir en l ecución originl, l prte linelizd, ecribiendo todo en término de vrible de vrición. A dh trnformndo: Q k. h k. m g k k ρ h donde ( ) AH() Q() kh() k M() H () ( Q() km()) A + k Figur.: Digrm de bloque del item Problem.3.5.:Tnque de mezcldo Se tiene un tnque de mezcldo, el cul e muetr en l figur.3, l cul e dee controlr l C A vrindo l C A. El flujo de entrd e coniderdo un perturbción. Se

40 Volumen I -40 conider l lid como flujo lminr. Conidere ρ contnte. Lo flujo on volumétrico y F Rh. F, C A CC A h TE R F, C A Figur.3: Equem del tnque de mezcldo Blnce de m dv dh F F F Rh A. () Blnce del componente A i F C dc AV FC A. (`) A. F C dhc A. RhC A. A () A. Término que on funcione del tiempo: F, C A, h, C A Término no linele: F C A, hc A Linelizndo y utituyendo en (), umndo y utilizndo vrible de perturbción : ha dc A. dh + AC A. F C A. + C A.F hrc A. RC A. h (3) Tomndo T.L y regrupndo l ecucione () y (3) tenemo:

41 Volumen I -4 ( A h. R. h ) C ( ) C A. F ( ) ( AC. A.. + R. C A. ) H ( ) F C ( ). A. + A. + (4) H ( )( A. + R ) F ( ) (5) F ( ) A. + C A. H() A C + RC. A. A + C A. ref. C A. - + C A. ( ) G C Gv F A. h. + Rh TC Figur.4: Repreentción en digrm de bloque del item Problem.3.5.3: Tnque con tuberí Figur.5: Equem del tnque con tuberí

42 Volumen I -4 Se dee hllr l función de trnferenci del item motrdo en l figur.3, del cul e conocen lo iguiente prámetro: Dto: A Are del tnque. h(t) Nivel en el tnque. q 0 (t) Flujo de entrd. A Are de l tuberí. d Diámetrode l tuberí. f Coeficiente de fricción. n n Velocidd del flujo. No depende de L. En ete item e dee controlr el nivel mnipulndo el flujo de entrd. Inicilmente, e procede relizr un blnce de m obre el tnque: Por otro ldo: qt ( ) Avt ( ) q ( t) q( t) A dh o () () dh q o () t A v() t A (3) Vrible: q o (t), v(t), h(t); e debe eliminr v(t). Ecución de Bernoulli pr flujo no permnente: dv d p v p v L v gz + + gz f p p d (4) dv 3 dv d d + 3 dv d dv L (5) Sutituyendo (5) en (4): Linelizndo v : dv L 0 ( t) L v gh() t f + d (6)

43 Volumen I -43 ( t) dv () - v f ( v - v) L v L L gh t f + + (7) d d y en etdo etcionrio: K 0 gh kv 0 (8) dv L dividiendo (9) por vk, y tomndo T.L. V H gh vkv (9) g vk () () L + poniendo en vrible de perturbción (3) y tomndo T.L: depejndo V() de (): i utituimo () en (0): vk ( ) ( ) ( ) Qo A V A H ( ) ( ) H Q o (0) () ( ) ( ) Q A H o A ( ) V ( ) A b + A ( ) A b + + () donde: g vk, y b L vk

44 Volumen I -44 Problem.3.5.4: Rector con cmi de clentmiento Figur.6: Rector de tnque gitdo con cmi de clentmiento En l figur.4 e muetr el equem de un tnque de gitdo continuo donde e llev cbo l iguiente rección: k C AB orden n y k k(t) Se dee determinr l función de trnferenci del item, í como el digrm de bloque del mimo: Dto: V contnte Condición térmic de l prede: lt Conocido: U y H r (cl / gr de C) Perturbcione T y C Solución: Blnce de m en el componente C: Q C Q C V γ V Blnce de energí en el rector: dc molc h lt Donde γ () ρ Q Cp T ρ Q Cp T U A T T H V r ρ V Cp dt ( ) r () L rt r e lineliz en form genéric:

45 Volumen I -45 r r r r + ( C C) + ( T T) C T C, T C, T k k Se ecriben hor l ecucione () y () en término de vrible de perturbción: Q C Q C V k C V k T V dc, ( ) y dividiendo entre ρ.q.cp pr l ec. () T T dt τ UA ρqcp ( T T H ) rvk ρqcp UA H rvk + + T ρqcp ρqcp R Trnformndo () y () e obtiene: donde: τ C τ ; k + τ k C HrVk ρqcp + T T UA H rvk + T C ρqcp ρqcp R R dt τ 3 ; con τ V Q ) ( kc C( ) + kt T ( ) ) τ + (3) ( c + τ k ; k t τ k + τ k ; τ V Q T R T R R T R3 () () () R C () + τ Pr definir l influenci de F obre T : Blnce de energí en l cmi: (4) ρ Cp F ( T T ) + U A ( T T ) ρ Cp V dt 0 (5) c ρ ρ Cp Cp F V c T dt 0 ρ Cp F T ρ Dividiendo entre ρ.cp y trnformndo: Cp F T + U A T U A T

46 Volumen I -46 T F () F T () T F () + R T () R T () V T () ; c donde: R T 4 U A ρ Cp (6) () ( R F() R T () ) τ ; con 3 R 5 T 0 F T + R 4 ; R 6 R4 F + R 4 Vc ; τ 3 F + R4 Digrm de Bloque: Figur.7: Digrm de bloque del rector con cmi de clentmiento Reducción del digrm de bloque Lo bloque e pueden conectr en erie olmente i l lid de un bloque no e fectd por el bloque inmeditmente iguiente. Culquier cntidd de bloque en ccd que repreente componente que no producen efecto de crg e pueden repreentr como un bloque individul, iendo l función de trnferenci de ee bloque implemente el producto de l funcione de trnferenci individule. A trvé de l regl del álgebr de bloque e pueden ir implificndo po por po un complejo digrm de bloque,

47 Volumen I -47 pero in embrgo lo nuevo bloque que e vn obteniendo e vuelven má complejo, debido que e genern nuevo polo y cero. Al implificr un digrm de bloque, e debe recordr:. El producto de l funcione de trnferenci en entido directo qued igul.. El producto de l funcione de trnferenci lrededor del lzo qued igul. En l Tbl. e muetr l regl del álgebr de digrm de bloque. Tbl.: Fórmul de álgebr de bloque Digrm de bloque originle Digrm de bloque equivlente A + A-B + A-B+C A + A+C + A+C-B - + B C C A + + A-B+C - B + - C B C A + A-B + A-B+C A A G A G G A A G A G G G G G G A A G A G G A AG G G G G G A AG + AG + AG G A AG + AG + G + G AG G - B A AG + AG - B G - B A + A-B AG BG G - B A G AG AG A + A-B/G AG - B G - B/G B /G A AG + AG - BG G B G BG A - AG G AG G

48 Volumen I A G A AG A G AG AG A /G 0 A + A-B B - A-B A B + - B + A-B A- A AG + AG +AG G + AG G A AG + B AG +AG G G /G - + A + - G G B A /G + G G B - 3 A + - G G B A G /(+G G ) B Obtención de l F. T. prtir del digrm de bloque: No intere hllr: F. T. C () R () E() R() M() () M() C() H() () C ( ) E( ) G( ) (3) C () R () M () G () (4) Sutituyendo () en (3): [ ] Sutituyendo () en (4): C() R() G() C() H() G() (5) C () + HG () () RG () () Depejndo: [ ]

49 Volumen I -49 Función de Trnferenci de Lzo Cerrdo (FTLC) C () R () + G () GH () () Función de Trnferenci de Lzo Abierto (FTLA) M () GH () () E () Función de Trnferenci de Lzo Directo (FTLD) C () G () E () G( ) Repuet: C( ) R( ) + G( ) H ( ) Ecución Crcterític: + G() H() 0 Digrm de Flujo de Señle Un digrm de flujo de eñle e en un red en l cul lo elemento llmdo nodo etán conectdo por otro elemento llmdo rm con dirección y entido. Et e otr form de etblecer l relción entre l trnformd de Lplce de l eñle de entrd y lid de un item de form gráfic, por lo tnto e equivlente l digrm de bloque en cunto l objetivo que perigue. L ventj de repreentr l item trvé de ete gráfico de flujo de eñle, e l plicción de l fórmul de Mon que permite determinr l función de trnferenci de un item directmente, in neceidd de relizr ningun reducción como e hcí en el digrm de bloque. Elemento báico El digrm de flujo de eñle cont de principlmente vrio elemento: - Nodo: on lo punto donde precen eñle y cd rm conectd entre do nodo ctú como un multiplicdor de eñl. Lo nodo on equivlente l flech en el digrm de bloque. - Señle: on l vrible del item. - Rm: un rm e un egmento de líne con dirección y entido, que une do nodo. L rm on equivlente lo bloque en el digrm de bloque.

50 Volumen I Gnnci o trnmitnci de un rm: e un gnnci rel o un gnnci complej entre do nodo. Tle gnnci pueden exprere en término de l función de trnferenci entre do nodo y e l cntidd ocid cd rm. - Nodo de entrd o fuente: e un nodo que ólo tiene rm que len. Eto correponde un vrible independiente. - Nodo de lid o umidero: e un nodo que ólo tiene rm de entrd. Se correponde un vrible dependiente. - Nodo mixto: e un nodo que tiene tnto rm que llegn, como rm que len. - Cmino o tryectori: e culquier colección de un uceión continu de rm que e dirigen en l mim dirección. Si no e cruz ningún nodo má de un vez e llmdo cmino directo. Si el cmino regre l nodo de prtid, in pr por otro nodo má de un vez, e llm bucle o lzo. Si un cmino cruz lgún nodo má de un vez, pero finliz en un nodo diferente de quel del cul prtió, el cmino no e ni bierto ni cerrdo. - Gnnci de bucle o lzo: e el producto de l trnmitnci de rm de un lzo. - Gnnci del cmino directo: e el producto de l trnmitnci de un rm de un cmino o tryecto directo. - Lzo dijunto: lo lzo que no tienen ningún nodo en común. Propiedde báic de lo gráfico de flujo de eñl L propiedde má importnte de ete tipo de repreentción on: - L gráfic de flujo de eñl e plicn olo item linele. - L ecucione prtir de l cule e dibuj un gráfic de flujo de eñl deben er lgebric en l form de cu y efecto. - Un rm indic l dependenci funcionl de un eñl repecto otr. L eñl vij trvé de l rm olmente en l dirección decrit por l flech. - Un nodo e encrg de umr l eñle de tod l rm de entrd y trnmite e um tod l rm de lid. Tmbién e utilizn pr exprer vrible. - Un nodo mixto e puede coniderr como un nodo de lid ñdiendo un rm de lid de trnmitnci unitri. Pero e debe notr que utilizndo ete método un nodo mixto no e puede trnformr en un fuente.

51 Volumen I -5 - Pr un item culquier, el gráfico de flujo de eñl no e único. Se pueden dibujr mucho gráfico de flujo de eñl diferente pr un item, ecribiendo l ecucione del item en form diferente..3.8 Algebr de gráfico de flujo de eñl. Pr dibujr un gráfico de flujo de eñl e deben colocr lo nodo de entrd (fuente) l izquierd y lo nodo de lid (umidero) l derech. L vrible independiente y dependiente de l ecucione obtenid en el modelje, e convierten en nodo de entrd y nodo de lid. L trnmitnci de rm e pueden obtener trvé de lo coeficiente de l ecucione. L regl eguir pr reducir un gráfico de flujo de eñl un gráfico que conteng olo nodo de entrd y lid on l iguiente: - El vlor de un nodo con un rm de entrd e x x. Figur Nº.8 () - Un conexión en erie de rm unidireccionle e puede remplzr por un ol rm con gnnci igul l producto de l gnnci de l rm. Figur Nº.8 (b) - L rm prlel con un mim dirección que conectn do nodo e pueden remplzr por un ol rm con gnnci igul l um de l gnnci de l rm prlel. Figur Nº.8 (c) - Se puede eliminr un nodo mixto. Figur Nº.8 (d) - Se puede eliminr un lzo. Figur Nº.8 (e) L Figur.8 muetr gráfico de flujo de eñl y implificcione.

52 Volumen I -5 () X X (b) b b X X X 3 X X (c) (d) + b X X X X b X X c X3 c X4 X4 X b X b (e) X b X b X3 X X3 X X3 b/(+bc) c bc Figur.8: Gráfico de flujo de eñl y implificcione Fórmul de Mon Permite l determinción de l relcione entrd - lid de un gráfic de flujo de eñl medinte inpección, cuntificndo l gnnci rel de trnmiión T entre culquier entrd x i y culquier lid x 0. L Regl de Mon etblece: P T k k (-38) donde: k: e el tryecto k-éimo directo diferente entre x i y x 0. P k : e l gnnci de tryectori o trnmitnci de l k-éim tryectori. : e el determinnte del gráfico. k : e el cofctor del determinnte de l k-éim tryectori direct del gráfico, eliminndo lo lzo que tocn en má de un nodo dich tryectori. T: e l función de trnferenci entre l lid y l entrd del item.

53 Volumen I -53 L fórmul pr hllr el determinnte del gráfico e l iguiente: - (um de l gnnci de todo lo lzo) + (um de producto de tod l combincione de lo pre de lzo que no e tocn) - (um de producto de l gnnci de tod l combincione de tod l combincione de tern de lzo que no e tocn). (-39) E importnte detcr que i el item poee m de un entrd, pr hllr l función de trnferenci entre l lid y un de et entrd, e necerio hcer cero l entrd retnte. Poteriormente i e dee hllr l olución del item tomndo en cuent tod l entrd involucrd en el mimo e utiliz el principio de uperpoición. Ejemplo Problem.3.9.: Supongmo que tenemo el iguiente flujogrm: dd por: Cálculo de : Figur.9: Flujogrm del item Pr hllr l función de trnferenci del item, e necerio clculr l relción - # de bucle: 3 L, L, L 3 T P k (-L ) (-L ) (-L 3 ) -(L +L +L 3 )+(L L + L L 3 + L L 3 ) (L L L 3 ) - Bucle que e tocn: L y L 3 -(L +L +L 3 )+(L L + L L 3 ) Número de cmino directo entre x i y x 0 k

54 Volumen I -54 K Do término en el numerdor T P + P Tryecto : P b c d e f Tryecto : P g e f Bucle que toc cd tryecto: Tryecto : L, L, L 3 ; Tryecto : L, L 3 Cálculo de i : - Pr ello primero e ecribe, e decir: -(L +L +L 3 )+(L L + L L 3 ) - Táchee cd término que conteng un L de un bucle tocdo por el tryecto i -(L +L +L 3 )+(L L + L L 3 ) -(L +L +L 3 )+(L L + L L 3 ) - L Reumiendo, tenemo: -(L +L +L 3 )+(L L + L L 3 ) ; ; -L P() + P( L) T ( L + L + L ) + ( L L + L L ) 3 3 x0 bcdef () + gef ( cj) T x ( cj + eh + efi) + ( cjeh + eficj) i Problem.3.9.: Conideremo un item de retrolimentción unitri cuyo digrm de bloque e: Figur.30: Digrm de bloque del item

55 Volumen I -55 C Figur.3: Flujogrm del item Cálculo de - # de bucle: 4 L, L, L 3, L 4 L -G G G 3 G 5 ; L -G H ; L 3 -G 5 H ; L 4 -G G G 4 G 5 (-L )(-L )(-L 3 )(-L 4 ) -(L +L +L 3 +L 4 ) + (L L +L L 3 +L L 4 +L L 3 +L L 4 +L 3 L 4 ) - - (L L L 3 +L L 3 L 4 +L L 3 L 4 +L L L 4 ) +(L L L 3 L 4 ) - Bucle que e tocn: L L L 3 L 4 ; L L 4 ; L 3 L 4 -(L +L +L 3 +L 4 ) + (L L 3 ) + G G G 3 G 5 +G H +G 5 H +G G G 4 G 5 +G G 5 H H # de cmino directo entre R y C K P G G G 3 G 5 ; P G G G 4 G 5 Bucle que toc cd tryecto: Tryecto : L, L, L 3, L 4 ; Tryecto : L, L, L 3, L 4 ; C R T GGGG GGGG GGGG + GH + GH + GGGG + GGHH Problem.3.9.3: Se dee clculr C (, f C A F) A pr un tnque de mezcldo Ecucione: H() K 6 F () - K 7 H() () C () K C () + K F () - K 3 C () - K 4 H() - K 5 H() ()

56 Volumen I -56 Donde: K F / ha; K C / ha; K3 R/A; K4 R C / ha; K C / h; K 6 /A ; K 7 R/A 5 3 Entrd: F, C Slid: C,H() Cálculo de - # de bucle: L -K 3. / ; L -K 7. / Figur.3: Flujogrm del item KK - (L +L ) + L L + K 3 + K7 + - bucle que e tocn: NINGUNO # de cmino directo entre: - C y C : P K 0 F F y C : P K ; P K6K5 ; P3 KK C 0 A Bucle que toc cd tryecto: - P toc L -L + K P toc L -L + K 7

57 Volumen I -57 P toc L, L ; P 3 toc L, L 3 Luego: T T C + T F (plicndo el teorem de uperpoición) - T C P K + K7 K K K K T T C F T F C K K + K 3 C C F / hr TC A R + K KK KK ( + K K 7)( + 3) ( C C) ha + R / A K( + K7) ( + K ) ( + K ) 7 3 (I). Derrollndo, e lleg : (II) ( C F ha C) / C + ha () F () R + + R / A A Problem.3.9.5: Supongmo que hemo trnformdo un item de ecucione diferencile y hemo obtenido: A..X() + B.X() + C..Y() + D.Y() U () () E..X() + F..X() + G..Y() U () () Donde: A, B, C, D, E, F, G contnte U, U on entrd dd l item X(), Y() lid. Primero e hce un conteo de l vrible que hy en el item:

58 Volumen I Vrible:.X(),.X(), X(),.Y(), Y(), U (), U (), 7 nodo - Depejndo de cd ecución el término myor en. A Y C X B C X D () () () C Y () + C U () () F G X ( ) X ( ) Y ( ) + U ( ) () E E E - Nº de incógnit: 5 : X(), X(), X(), Y(), Y() Nº de ecucione uxilire: 3 X() { X() } X() { X() } Y () { Y() } (3) (4) (5) Figur.33: Flujogrm del item de ecucione diferencile Problem.3.9.5:

59 Volumen I -59 Se dee clculr E ( ) ( ) 0 V, pr el circuito motrdo continución: Figur.33: Equem del circuito RC L ecucione diferencile que determinn el item on: t R i() t + it () + vc ( 0) + Vt () C 0 () V C Voltje en el condendor pr t 0 E 0 C it () + v c() 0 () Ecribiendo () y () en T. L. ( y vrible de perturbción) De ( ) R I() + C I () V () E 0 ( ) ( ) C I () ( ) I R V () () R C I() De ( ) E0() (4) C () I (3)

60 Volumen I -60 Figur.34: Flujogrm del circuito RC Donde e tiene que: Vrible: V(), I(), I()/, Entrd: V() Slid: E 0 () Nodo entrd: ; Nodo de lid: ; Mixto:, Rm:, b, f, g Gnnci de l rm: /R ; f /RC Cmino directo: -b-g Problem Se dee hcer el flujogrm de un item m-reorte Figur.35: Sitem m-reorte Decripción del modelo en función de l velocidd de l m. m dv t f v K v K x( 0) + F( t) () 0

61 Volumen I -6 En vrible de perturbción: t m dv f v K v + F () t 0 () Tomndo T. L. y deprecindo el término myor en : f V () m V() K V m () + m F () (3) Señle: V() ; V() ; V () ; F() 4 nodo Entrd: F() ; Slid: V() Figur.36: Flujogrm del item m-reorte

62 Volumen I -6