Contenido. 1. Series infinitas. 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Métodos Matemáticos Propedéutico Física 1/42 42

Transcripción

1 Contenido 1. Series infinits 1 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 1/42 42

2 Contenido 1. Series infinits 1.1 Fundmentos y criterios de convergenci 1.2 Series de funciones 1.3 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio 1.4 Series de Fourier, propieddes y plicciones 1.5 Trnsformd de Fourier 2 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 2/42 42

3 Fundmentos y criterios de convergenci Definición y clsificciones Serie infinit se define como un sum de un número infinito de términos. Si tenemos un secuenci infinit de términos u 1, u 2, u 3,..., entonces definimos l i-ésim sum prcil s i y l sum totl S como, i s i = u n S = lim s i = u n, i por tnto se dice que l serie es convergente y tiene vlor S. Por otro ldo, tmbién existen series divergentes, ls cules cumplen que l sum de sus términos tienden ±. Dentro de ls divergentes, existen series llmds osciltoris, y que tienen sums prciles que osciln entre dos vlores, por ejemplo, u n = ( 1) n / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 3/42 42

4 Fundmentos y criterios de convergenci Criterios de convergenci Existen diferentes criteros pr determinr si un serie es convergente o divergente, lgunos de ellos son, Comprción Rices de Cuchy Rzón de D Almbert / Rzón de Cuchy Integrl de Cuchy / Integrl de Mclurin Criterio de Leibniz (pr series lternntes). Dentro de ls series convergentes, existe un sub-clsificción: bsoluts: si los vlores bsolutos de los términos de l serie formn su vez un serie convergente. condicionles: si l serie converge, pero no bsolutmente. 4 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 4/42 42

5 Fundmentos y criterios de convergenci Criterio de Comprción Criterio de convergenci Si un serie de términos u n stisfce término término l condición 0 u n n, en donde n form un serie convergente, entonces l serie n u n es tmbién convergente Ejemplo de serie convergente n es l geométric, α + αr + αr 2 + αr αr n +..., donde l sum prcil s n de los primeros n términos es, s n = n 1 m=0 αr m = α 1 rn 1 r. Pr el cso cundo r < 1 y n es muy grnde r n 0, por tnto, lim s n = S n = α 1 n 1 r.1 1 pr r 1 l serie clrmente diverge y que r n crece conforme n ument. 5 / 42 Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 5/42

6 Fundmentos y criterios de convergenci Criterio de Comprción Criterio de divergenci Si un serie de términos v n stisfce término término l condición 0 b n v n, en donde b n form un serie divergente, entonces l serie n v n es tmbién divergente Un ejemplo de serie divergente b n es l rmónic, 1 n = n +... Se puede pensr que l serie es convergente y que lim n 1/n = 0, pero si nlizmos l serie de l sig. mner, ( ) ( n = ) + 1 ( ) + 1 ( ) cd término en préntesis contiene p términos de l form, 1 p p p + p p 2p = 1 2. Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 6/42 6 / 42

7 Fundmentos y criterios de convergenci Criterio de Comprción Volvemos escribir, ( ) ( n = ) + 1 ( ) + 1 ( ) p p p + p p 2p = 1 2. Ahor, generndo ls sums prciles de los grupos de préntesis, llegmos lo siguiente s 1 = 1, s 2 = 3 2, s 3 > 4 2, s 4 > 5 2,..., s n > n + 1, 2 por tnto, l serie es divergente. 7 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 7/42 42

8 Fundmentos y criterios de convergenci Rices de Cuchy Criterio de convergenci Si tenemos que ( n ) 1/n r < 1 pr n suficientemente grnde, con r independiente de n, entonces n n será convergente. Pr comprobr elevemos l n l relción, ( n ) 1/n r < 1 n r n < 1, como r n es el término n de l serie geométric n n es convergente por el criterio de comprción. Criterio de divergenci Si tenemos que ( n ) 1/n 1 n suficientemente grnde, entonces n n será divergente. Comprobndo, por tnto l serie diverge. ( n ) 1/n 1 n 1, 8 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 8/42 42

9 Fundmentos y criterios de convergenci Rzón de D Almbert / Rzón de Cuchy Criterios Si n+1 / n r < 1 pr n suficientemente grnde y r independiente de n, entonces n n será convergente. Por otro ldo, si n+1 / n 1 pr n lo suficientemente grnde, entonces n n será divergente. Un descripción ltern este criterio es el siguiente, Si n+1 lim n n < 1, convergente, > 1, divergente, = 1, indetermindo. L indeterminción ocurre cundo se tiene que n+1 / n < 1 pero no se puede encontrr un r < 1 pr tod n lo suficentemente grnde tl que n+1 / n r, n+1 por ejemplo l serie rmónic: = n n 1 + n < 1. 9 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 9/42 42

10 Fundmentos y criterios de convergenci Integrl de Cuchy / Integrl de Mclurin Criterios Se f(x) un función contínu y monóton decreciente, en donde f(n) = n, entonces, si 1 f(x)dx es { finit convergente, infinit divergente. Si tenemos l sum prcil s i como, i i s i = n = f(n), entonces podemos estblecer Por otro ldo, tmbién se tiene, s i i+1 f(x)dx. s i 1 i f(x)dx, / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 10/42 42

11 Fundmentos y criterios de convergenci Integrl de Cuchy / Integrl de Mclurin i+1 i s i f(x)dx. s i 1 f(x)dx, 1 1 Tomndo el límite conforme i de lo nterior tenemos, f(x)dx n f(x)dx + 1, 1 por tnto l serie será convergente o divergente, según l integrl converg o diverg, respectivmente. 11 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 11/

12 Fundmentos y criterios de convergenci Series lternntes: Criterio de Leibniz Un serie lternnte se define como quell que cmbi el signo de sus elementos de form lternd, por ejemplo, Criterio de convergenci ( 1) n+1 n n > 0. Si se tiene que n > 0 y n es monónotmente decreciente, n n+1 > 0 & lim n = 0, n entonces l serie será convergente. Considerndo el remntente de s 2n como R 2n, R 2n = ( 2n+1 2n+2 ) + ( 2n+1 2n+2 ) +... = 2n+1 ( 2n+2 2n+3 ) ( 2n+4 2n+5 ) +... se cumple 0 < R 2n < 2n+1, es decir R 2n es positivo y cotdo. 12 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 12/42 42

13 Fundmentos y criterios de convergenci Operciones en series Existen lguns operciones permitids pr series infinits bsolutmente convergentes, l sum de l serie es independiente del orden en el cul los términos son ñdidos Dos series pueden ser sumds, restds o multiplicds término término, y el resultdo tmbién será un serie bsolutmente convergente. Un serie, como un todo, puede ser multiplicd por otr serie y el límite del producto será el producto de los límites de cd un de ls series. L serie producto (un serie doble) será de igul mner un bsolutmente convergente. 13 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 13/42 42

14 Series de funciones Fundmentos Si considermos en un serie infinit que los términos u n = u n (x), entonces l sum prcil se vuelve un función de x, s n (x) = u 1 (x) + u 2 (x) u n (x), si como tmbién l sum totl de l serie, S(x) = u n (x) = lim n s n(x). Convergenci uniforme Si pr un pequeño ɛ > 0 un N independiente de x en el intervlo [, b], tl que S(x) s n (x) < ɛ n N, entonces l serie es uniformente convergente en el intervlo [, b]. 14 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 14/42 42

15 Series de funciones Convergenci uniforme y propieddes Lo que estblece este criterio es que debe ser posible encontrr un N finito tl que u i (x) < ɛ x [, b], i=n+1 pr que l serie se uniformemente convergente. Alguns de ls propieddes de un serie uniformemente convergente n u n(x) en el intervlo [, b] con u n (x) contínuos, son (1) L sum totl de l serie S(x) = u n (x) es tmbién contínu. (2) L serie se puede integrr término término l sum de ls integrles es l integrl de l sum, b b S(x)dx = u n (x)dx. 15 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 15/42 42

16 Series de funciones Propieddes de un serie uniformemente convergente (3) L derivd de l sum S(x) es igul l sum de ls derivds de los términos que formn l serie, d dx S(x) = d dx u n(x), en donde se debe de cumplir que en el intervlo [, b], d dx u n(x) se contínu y diferencible, d dx u n(x) se uniformemente convergente. 16 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 16/42 42

17 Series de funciones Criterios de convergenci: Weierstrss M (Mjornt) Criterio Si es es posible construir un serie de números M i tl que M i u i (x) x [, b] y que l sumtori se convergente, entonces l serie u i (x) será uniformemente convergente en [, b]. Un restricción del criterio, debido u i (x) es que solo plic series que tmbién son bsolutmente convergentes. 17 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 17/42 42

18 Series de funciones Criterios de convergenci: Abel Criterio Si tenemos que u n (x) se puede expresr de l form n f n (x), y 1. n form un serie convergente: n n = A, 2. x [, b] ls funciones f n (x) son monótonmente decrecientes en n: f n+1 f n (x), 3. x [, b] tods ls f(n) están restringids l rngo 0 f n (x) M, donde M es independiente de x, entonces podemos decir que n u n(x) converge uniformemente en el intervlo [, b]. 18 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 18/42 42

19 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Expnsión de Tylor Consideremos un función f(x) que tiene n-ésim derivd continu en x b, entonces integrndo n veces tenemos, x x x3 x f (n) (x 1 )dx 1 = f (n 1) (x 1 ) x = f (n 1) (x) f (n 1) () x2 dx 2 f (n) (x 1 )dx 1 = x ] dx 2 [f (n 1) (x 2 ) f (n 1) () = f (n 2) (x) f (n 2) () (x )f (n 1) (), x2 dx 2 f (n) (x 1 )dx 1 = f (n 3) (x) f (n 3) () (x )f (n 2) () (x )2 f (n 1) (), 2! 19 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 19/42 42

20 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Expnsión de Tylor Por tnto, después de hber integrdo n veces tenemos, x dx n... x2 f (n) (x 1 )dx 1 = f(x) f() (x )f ()... Ahor, si resolvemos pr f(x) tenemos, (x )2... f ()... 2! (x )n 1... f (n 1) (). (n 1)! f(x) = f() + (x )f (x )2 () + f () ! (x )n f (n 1) () + R n (n 1)! donde R n = x dx n... x2 dx 1 f (n) (x 1 ). 20 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 20/42 42

21 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Expnsión de Tylor El remnente R n puede ser convertido un form más práctic usndo el teorem del vlor medio, x g(x)dx = (x )g(ξ), g(ξ) x. Por tnto, usndo lo nterior pr R n, R n = = = R n = x x x x3 dx n... dx n... dx n... x3 x4 (x )n f (n) (ξ). n! x2 dx 2 dx 1 f (n) (x 1 ) ] dx 2 [(x 2 )f (n) (ξ) [ ] (x3 ) dx 3 f (n) (ξ) 2! 21 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 21/42 42

22 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Serie de Tylor Sustituyendo lo obtenido pr R n en l expnsión de Tylor de f(x) tenemos, f(x) = f() + (x )f (x )2 () + f () ! (x )n f (n 1) (x )n () + f (n) (ξ) (n 1)! n! Ahor, cundo f(x) es tl que lim n R n = 0 entonces obtenemos f(x) = f() + (x )f () + = (x ) n f (n) (0), n! n=0 lo que se conoce como l serie de Tylor. (x )2 f () ! 22 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 22/42 42

23 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Serie de Potencis Cundo l serie de Tylor tiene como punto de referenci = 0, entonces se le conoce como serie de Mclurin, f(x) = f(0) + xf (0) + x2 2! f (0) +... = n=0 x n n! f (n) (0), lo cul se puede ver que represent un serie de potencis, f(x) = x + 2 x x = n x n n=0 n = ctes. Alguns propieddes importntes de ls series de potencis son, l representción de l expnsión en serie de f(x) es únic n = 1 n! f (n) (0), Si lim n+1 n n = R 1 entonces R < x < R será el rdio de convergenci de l serie. 23 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 23/42 42

24 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Teorem del Binomio Supongmos que tenemos l siguiente función, f(x) = (1 + x) m m R, entonces plicndo l expnsión de Mclurin, f(x) = f(0) + xf (0) + x2 2! f (0) +... = (1 + x) m = 1 + mx + en donde R n viene ddo por, m(m 1) x R n 2! n=0 x n n! f (n) (0), R n = xn n! f (n) (ξ) = xn n! (1+ξ)m n m(m 1)... (m n+1) 0 < ξ < x. 24 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 24/42 42

25 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Teorem del Binomio De R n si nos centrmos en el rngo x 0, R n = xn n! (1 + ξ)m n m(m 1)... (m n + 1) 0 < ξ < x notmos que pr n > m, (1 + ξ) m n es máximo pr ξ = 0, por tnto, pr x positivo tenemos, R n xn m(m 1)... (m n + 1), n! en donde, lim R n = 0 0 x < 1, n lo cul nos indic que el rdio de convergenci pr l serie binomil será 1 < x < 1. Resumiendo, tenemos que l serie binomil es (1 + x) m = 1 + mx + en donde m R. m(m 1) x 2 + 2! m(m 1)(m 2) x , 3! 25 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 25/42 42

26 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Teorem del Binomio Los coeficientes binomiles los expresmos medinte l siguiente simbologí, ( ) m m(m 1)... (m n + 1) =, n n! por tnto l expnsión quedrá, (1 + x) m = n=0 ( ) m x n. n Tles coeficientes dependerán de l nturlez de m, m Z + : l serie será finit, y que termin con n = m y los coeficientes serán, ( ) m m! = n n!(m n)! 26 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 26/42 42

27 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Teorem del Binomio m Z : hcemos m = p p Z +, entonces ( ) p n p(p + 1)... (p + n 1) = ( 1) = ( 1)n (p + n 1)! n n! n!(p 1)! m no-entero: se hce uso del símbolo de Pochhmmer, () n, () 0 = 1, () 1 =, () n+1 = ( + 1)... ( + n), n 1, por tnto, los coeficientes serán, ( ) m n = (m n + 1) n. n! 27 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 27/42 42

28 Series de Tylor, de Potencis y teorem del Binomio Series importntes Alguns de ls series más mplimente utilizds son, exp(x) = Sen(x) = Cos(x) = Senh(x) = Cosh(x) = n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 x n n!, ( 1) n x 2n+1, (2n + 1)! ( 1) n x 2n, (2n)! x 2n+1 (2n + 1)!, x 2n (2n)!, 1 1 x = ln(1 + x) = (1 + x) p = = 1 < x < 1. n=0 n=0 n=0 x n, ( 1) n 1 x n, n ( ) p x n, n (p n + 1) n x n n! < x < 28 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 28/42 42

29 Series de Fourier, propieddes y plicciones Definición Un serie de Fourier está definid como un expnsión de un función en términos de series de funciones Seno y Coseno, f(x) = n Cosnx + b n Sennx en donde los coef. 0, n, y b n vienen ddos por ls sig. integrles, n = 1 π b n = 1 π 2π 0 2π 0 f(s)cosnsds, n = 0, 1, 2,... f(s)sennsds, n = 1, 2,... y ls condiciones que se deben cumplir son que f(x) sólo teng: un número finito de discontinuiddes, un número finito de vlores extremos en el intervlo [0, 2π]. Lo nterior se conoce como condiciones de Dirichlet. 29 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 29/42 42

30 Series de Fourier, propieddes y plicciones Propieddes L serie de Fourier tmbién puede ser expresd en form exponencil, donde, f(x) = n= c n e inx, c 0 = 1 2 0, c n = 1 2 ( n ib n ), c n = 1 2 ( n + ib n ), n > 0. De l expnsión de f(x) en series de Fourier se tienen ls siguientes propieddes, los términos de l expnsión son funciones ortogonles, puede describir funciones con singulriddes/discontinuiddes, convergiendo l vlor medio lrededor de l singulridd. 30 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 30/42 42

31 Series de Fourier, propieddes y plicciones Ejemplo: ond diente de sierr Consideremos l siguiente función, { x, 0 x < π f(x) = x 2π, π < x 2π. f(x) en series de Fourier, f(x) = en donde,... + n Cosnx +... b n Sennx 2π π 2π 0 = 1 f(s)ds = 1 sds + 1 π 0 π 0 π π [ ] π [ = (1/π) s 2 /2 + 1/π (s 2π) 2 /2 0 ] 2π (s 2π)ds = 0. π 31 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 31/42 42

32 Series de Fourier, propieddes y plicciones Ejemplo: ond diente de sierr Clculndo hor n, n = 1 π 2π 0 f(s)cosnsds = 1 π π lo cul integrndo por prtes nos d, Ahor pr b n, b n = 1 π 2π 0 0 scosnsds+ 1 π 2π n = 1 (Cosnπ Cosnπ) = 0. πn2 f(s)sennsds = 1 π π 0 ssennsds+ 1 π π 2π lo cul tmbién integrmos por prtes y obtenemos, b n = 1 πn 2 ( nπcosnπ nπcosnπ) = 2 n Cosnπ. π (s 2π)Cosnsds (s 2π)Sennsds 32 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 32/42 42

33 Series de Fourier, propieddes y plicciones Ejemplo: ond diente de sierr Anlizndo el resultdo nterior, tenemos { +1, if n = 2k k Z + Cosnπ = 1, if n = 2k + 1 k Z + b n = 2 n ( 1)n = 2 n ( 1)n+1 n > 1. construyendo finlmente l trnsformd de Fourier, 2 f(x) = n ( 1)n+1 Sennx [ = 2 Senx 1 2 Sen2x ] 3 Sen3x / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 33/42 42

34 Series de Fourier, propieddes y plicciones Funciones periódics Pr el cso en el que f(x) se periódic con periodo L, el intervlo nturl de l expnsión de Fourier será el mismo, por tnto, f(x) = n = 1 L b n = 1 L L L L L n Cos nπx L + b n Sen nπx L, f(s)cos nπs ds, n = 0, 1, 2... L f(s)sen nπs ds, n = 1, 2... L Si por el contrrio, f(x) no es periódic, ún podemos expndirl en Fourier, sin embrgo, el resultdo dependerá del intervlo elegido pr l expnsión, no se puede segurr que se tendrá un descripción relist de f(x) fuer del rngo de expnsión. 34 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 34/42 42

35 Series de Fourier, propieddes y plicciones Considerciones de simetrí De l expnsión en Fourier de f(x) y de ls expresiones de los coeficientes n y b n se puede deducir l form de dich expnsión sólo nlizndo l simetrí de f(x), si f(x) es pr l expnsión será pr: f(x) = n Cosnx si f(x) es impr l expnsión será impr: f(x) = b n Sennx. Ls series nteriores se conocen tmbién como series coseno de Fourier y series seno de Fourier, respectivmente. 35 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 35/42 42

36 Trnsformd de Fourier Trnsformds integrles En generl, existen pres de funciones, f(t) y g(x), relcionds por expresiones del siguiente tipo, g(x) = b f(t)k(x, t)dt, en donde K(x, t) es conocido como el kernel de l trnsformción. Por tnto, podemos considerr l relción integrl como un operdor g(x) = Lf(t) en donde g(x) se le conoce como l trnsformd integrl de f(t) por el operdor L. Un propiedd de tles operdores es que son lineles, b [f 1 (t) + f 2 (t)] K(x, t)dt = b cf(t)k(x, t)dt = c b b f 1 (t)k(x, t)dt + f(t)k(x, t)dt. b f 2 (t)k(x, t)dt 36 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 36/42 42

37 Trnsformd de Fourier Trnsformds integrles Otr propiedd pr que l trnsformción se útil es que debe existir el inverso del operdor L, L 1 g(x) = f(t) Con ls propieddes de ls trnsformciones integrles podemos plicr l siguiente metodologí pr l solución de problems, 37 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 37/42 42

38 Trnsformd de Fourier Definición l trnsformd de Fourier, expresd g(ω) = F{f(t)}, viene dd como, g(ω) = 1 f(t)e iωt dt. 2π De l trnsf. de Fourier se obtienen descripciones lterns en términos de funciones Cos y Sen, considerndo demás l pridd de f(t), g c (ω) = g s (ω) = 2 f(t)cosωtdt π 0 2 f(t)senωtdt π 0 ls cules se conocen como trnsformds coseno de Fourier y seno de Fourier, respectivmente. 38 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 38/42 42

39 Trnsformd de Fourier Integrl de Fourier L función δ de Dirc se define de l siguiente mner, con n, δ n (x) = 1 2π n n en donde lguns de sus propieddes son, b e iωx dω. δ(x x ) = 0, x x ; { δ(x x 0, x > b or x <, )dx = 1, < x < b. Utilizndo l función δ, podemos expresr lo siguiente, f(t) = lim n = lim n 1 2π f(x)δ n (x t)dx [ n ] f(x) e iω(x t) dω dx n 39 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 39/42 42

40 Trnsformd de Fourier Integrl de Fourier Intercmbindo los órdenes de integrción tenemos, f(t) = 1 2π = 1 2π dω e iωt dω dxf(x)e iω(x t) f(x)e iωx dx. L ec. nterior se le conoce como l integrl de Fourier de f(t). Si, demás, integrmos l prte de x, obtenemos lo siguiente, f(t) = f(t) = 1 2π 1 2π e iωt dω 1 2π g(ω)e iωt dω, f(x)e iωx dx. llegmos l expresión de l trnsformd invers de Fourier, f(t) = F 1 {g(ω)}. 40 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 40/42 42

41 Trnsformd de Fourier Trnsformd invers de Fourier L trnsformd invers de Fourier tmbién se encuentr pr el cso de l prte de ls funciones Cos y Sen, g(ω) = F{f(t)} f(t) = F 1 {g(ω)} g(ω) = g c (ω) = g s (ω) = 1 2π 2 π 2 π 0 0 f(t)e iωt dt f(t)cosωtdt f(t)senωtdt f(t) = f c (t) = f s (t) = 1 2π 2 π 2 π 0 0 g(ω)e iωt dω g(ω)cosωtdω g(ω)senωtdω 41 / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 41/42 42

42 Trnsformd de Fourier Ejemplo: trnsformd de Fourier L trnsformd de Fourier de f(t) = e α t α > 0, es g(ω) = F{f(t)} = 1 2π f(t)e iωt = grficndo f(t) y g(ω) vrindo α tenemos, 2 α π α 2 + ω 2, f(t) g(ω) / Omr De l Peñ-Semn IFUAP Métodos Mtemáticos Propedéutico Físic 42/42 42