FUNCIÓN CUADRÁTICA. Cundo los elementos de un onjunto los elementos de un onjunto se soin medinte un regl de orrespondeni definid por un euión de segundo grdo en, l llmmos funión de segundo grdo o udráti. Definiión. L funión definid por l euión f()== ++ se llm funión udráti. En donde represent l inógnit,, son onstntes. es el oefiiente del término udrátio, 0. es el oefiiente del término linel. es el término independiente. GRÁFICAS QUE SE PRODUCEN EN UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA. L gráfi que se produe en un funión udráti es un óni llmd práol, que se re sore el eje. Vértie = Cundo es positivo, l práol se re hi rri. =- Cundo es negtivo, l práol se re hi jo. = =4 El vlor numério de indi que tn iert o errd es l práol.
= + = - Si el oefiiente del término linel es positivo l práol se desplz hi l izquierd si es negtivo se desplz hi l dereh. = ++ = +- El oefiiente del término independiente, nos indi en qué punto tiene interseión l práol on el eje. VÉRTICE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA. En l gráfi de un funión udráti se pueden identifir lgunos puntos importntes, los ules se presentn ontinuión: Vértie, se enuentr un punto máimo de l funión. Ríes Vértie, se enuentr un punto mínimo de l funión. Ríes
EL VÉRTICE. El vértie es un punto que form prte de l práol, el ul tiene omo ordend (vlor de ) ) el vlor mínimo o máimo de l funión. En ese punto se puede trzr un eje imginrio que he simétri l gráfi de l funión, el ul es llmdo eje de simetrí. El vértie l ser un punto que form prte de l práol se represent por medio de un oordend V(h, k), donde: V represent l vértie. h represent el vlor de su sis (vlor de ). k represent el vlor de su ordend (vlor de ). El vlor de h se puede lulr on l fórmul h==. El vlor de k se dee otener sustituendo el vlor de h en l funión k= = ++. MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA. Eiste un punto máimo en un funión undo l urv ps de reiente dereiente. Eiste un punto mínimo en un funión undo l urv ps de dereiente reiente. Se die que un funión es reiente en un intervlo I, si pr d pr de vlores, que perteneen l intervlo I, donde <, se tiene f( )<f( ). Se die que un funión es dereiente en un intervlo I, si pr d pr de vlores, que perteneen l intervlo I, donde <, se tiene f( )>f( ). Punto máimo. Eje de simetrí L urv ps de reiente dereiente. Punto mínimo. L urv ps de dereiente reiente.
CEROS O RAÍCES DE UNA FUNCIÓN. Le llmmos eros o ríz de un funión los vlores de que umplen o stisfen que l euión udráti se hg ero. Ls ríes representn los puntos en los que l gráfi ort l eje Un funión puede o no tener ríes, el número de ríes que h en un funión depende diretmente de grdo del polinomio, omo se muestr ontinuión. Sin ríz, no ort l eje. ríz, =- ríz, =0 ríes =-.73 =.73 3 ríes; =-.95, =-. 3 =0.88 4 ríes; = -.5, = -0.33, 3 =0.75 4 =.7
CEROS O RAÍCES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA. Ls euiones udrátis se lsifin, según sus oefiientes en: Inomplets. Si en l euión ++=0 el vlor de /o entones, se trt de un euión udráti inomplet. son nulos (es ero), Ejemplos: =0 =0 =0 +=0 =0 +3=0 =0 Complets. Si en l euión ++=0 el vlor de, ó entones se trt de un euión udráti omplet. son distintos de ero, Ejemplos: ++4=0 +-3=0 3-4+=0 RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA. Pr otener ls ríes de un euión udráti inomplet tenemos tres sos: Cso. Cundo l euión udráti tiene l form =0 Pr que l euión se hg ero se requiere usr un número que l ser multiplido por otro distinto ero (en este so por ), nos dé omo produto ero. El vlor pr que ondue esto es únimente el ero, sí que: Pr ulquier euión de l form =0 tiene omo úni ríz o soluión: =0 Esto se puede oservr gráfimente omo ontinuión se muestr: Ríz =0 Ríz =0 = =-3
Cso. Cundo l euión udráti tiene l form +=0. Pr enontrr ls ríes h que onsiderr lo siguiente: Como en el primer segundo término de l euión pree, se dee ftorizr l euión nos qued omo: (+)=0 El primer miemro de l euión tiene dos ftores, +. El produto de estos dos ftores dee ser igul ero, pr que esto se umpl es neesrio que ulquier de estos dos ftores se ero, es deir: =0 ó +=0 Si =0 l euión se stisfe por lo tnto es un ríz o soluión. Si +=0, l euión tmién se stisfe, sólo st determinr uál es el vlor de pr el que +=0. Este vlor se determin despejndo de l epresión +=0, quedndo despejdo de l siguiente mner: = Por lo tnto, ls ríes de un euión udráti de l form +=0 son: =0 = Esto se puede oservr gráfimente omo ontinuión se muestr: =0 =0 =- =.5 = +=0 =- +3=0 +=0 +=0 Al omprr ls euiones = = Al omprr ls euiones =- =3 = = = - =0 =0 = = 3 = +.5 -
Cso 3. Cundo l euión udráti tiene l form +=0 Ls ríes se otienen l despejr de l euión +=0, quedndo de l siguiente mner: = smos ríz udrd =+ = - siempre que 0 Esto se puede oservr gráfimente omo ontinuión se muestr. =- =+ =+ = +=0 +=0 Al omprr ls euiones = = = omo no es 0 L euión no tiene ríes o soluión. =4 -=0 +=0 Al omprr ls euiones =4 =- = ± = ± = ± = ± 4 4 =+ =-
Ejemplos resueltos. Ejemplo. Construir l gráfi de l siguiente funión =f()= -3, estleiendo su dominio, rngo, ls oordends de su vértie sus ríes. Soluión = -3 (, ) -3 ( -3 ) -3= 9-3= 6 (-3,6) - (- ) -3= 4-3= (-,) - (- ) -3= -3= - (-,-) 0 (0 ) -3= 0-3= -3 (0,-3) ( ) -3= -3= - (,-) ( ) -3= 4-3= (,) 3 ( 3 ) -3= 9-3= 6 (3,6) Dominio + Rngo 3 L euión de l funión es que; =, =0 = -3. -3=0, l omprr on l euión del tipo +=0, tenemos El vértie V(h, k) 0 h== = = 0 () Pr enontrr k= + k= -3 sustituimos el vlor de, por lo que k=()(0) -3= -3 Por lo que ls oordends del Vértie son (0,-3). Pr enontrr sus ríes. Se trt del so 3. Cundo l euión udráti tiene l form +=0 =+ =+ 3 = 3 =+.73 = - = -.73 Reordemos que los vlores =.73 =-.73, son los puntos que stisfen l euión, en l gráfi representn los puntos donde l urv ort on el eje.
Ejemplo. Un lón de fútol merino es ptedo por un jugdor, de mner que l tretori desrit por el lón está representd por l funión f(t)= -t +5t, donde t es el tiempo de vuelo en segundos. Elor l gráfi de l funión f(t)= -t +5t, estleiendo su dominio, rngo, punto máimo que lnz el lón los puntos donde se pteo ó el lón. t f(t)= -t +5t ( t, f(t) ) - -(-) + 5(-)= -4-0= -4 - -(-) + 5(-)= --5= - 6 ( -,-4) ( -,-6) 0 -(0) + 5(0)= 0 ( 0,0 ) -() + 5()= -+5= 4 (, 4 ) -() + 5()= -4+0= 6 (, 6 ) 4 -(4) + 5(4)= -6+0= 4 ( 4, 4 ) 5 -(5) + 5(5)= -5+5= 0 ( 5, 0 ) Vértie (.5, 6.5) Dominio0 5 Rngo 0 6.5 L euión de l funión es -t +5t=0, l omprr on l euión del tipo +=0, tenemos que; =-, =5 =0. El vértie V(h, k) 5 ( ) 5 h=t= = = =. 5 Pr enontrr k= +, en nuestro so k=-t +5t=0 sustituimos el vlor de t, por lo que k=-(.5) +5(.5)=-6.5+.5= 5= 6.5 Vértie (.5, 6.5) El punto máimo se enuentre en el vértie de l funión. Los puntos donde se pteó ó el lón representn ls ríes de l euión. Se trt del so. Cundo l euión udráti tiene l form +=0 =0 es el punto donde se pteó el lón. 5 = = = 5 Es el punto donde ó el lón. Podemos oservr los resultdos en l gráfi nterior.