Matemátcas Aplcadas a las Cencas Socales I ACTIVIDADES ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL 1) Se ha meddo la temperatura en grados centígrados la presón atmosférca en mm en una cudad durante una semana obtenéndose los sguentes datos: Temperatura (ºC) Presón (mm) 15 16 18 15 19 13 0 700 710 730 590 780 680 760 a) Calcula la temperatura meda la temperatura medana de la semana. ( 16,57 º C ; M e = 16 ºC) b) Hubo más dspersón en las temperaturas o en las presones atmosfércas? (En las temperaturas) ) Dada la varable X por la sguente tabla de frecuencas: X 4 7 10 15 0 f 5 8 6 1 Calcula la meda la desvacón típca utlzando la calculadora. ( 10, 59, 4, 04 ) 3) El número de errores cometdos en un test por un grupo de personas vene reflejado en la sguente tabla: Nº de errores 0 1 3 4 5 6 Nº de personas 10 1 8 7 5 4 3 Halla la medana los cuartles nferor superor, eplca su sgnfcado. ( M =, Q 1, Q 3 ) e 1 = 3 = 4) En una empresa de mensajería trabajan 34 empleados 6 drectvos. El sueldo medo de todos ellos es de 909. Cuál será el sueldo medo de los drectvos s sabemos que el del resto de los empleados es de 780? ( 1640 )
5) Se ha pasado una prueba de 5 preguntas a los 10 estudantes de un centro escolar. Los resultados obtendos se recogen en el sguente tabla: Nº DE ACIERTOS PORCENTAJE 5 10% 15 45% 0 5% 5 a) Calcula el número de alumnos que respondó correctamente a todas las preguntas. ( 4 alumnos ) b) Calcula la meda de acertos de la poblacón. ( = 17, 5 ) c) Calcula la desvacón típca. ( 5, 58 ) 6) La edad de los vstantes de una eposcón está recogda en la sguente tabla: EDAD [ 15,5) [ 5,35) [ 35,45) [ 45,55) [ 55,65) [ 65,75) Nº DE VISITANTES 63 95 189 43 175 105 a) Representa los datos en un gráfco adecuado. b) Halla, C.V. ( 47, 90 años, 13, 94 años, C.V. = 9%) 7) Se ha meddo el nvel de colesterol en cuatro grupos de personas sometdas a dferentes detas. Las medas las desvacones típcas son las que fguran en esta tabla: DIETA A B C D 11,3 188,6 0, 185 37,4 5,6 39,1 43,6 Las gráfcas son, no respectvamente: Asoca a cada deta la gráfca que le corresponde.
Ejercco nº 1.- Hemos preguntado a 0 personas por el número medo de días que practcan deporte a la semana hemos obtendo las sguentes respuestas: 3 3 1 3 6 1 0 6 7 3 3 4 3 5 3 6 a) Haz una tabla de frecuencas absolutas frecuencas relatvas. b) Representa gráfcamente la dstrbucón (tomando las frecuencas absolutas). Solucón: a) f f r 0 1 0,05 1 0,10 4,0 3 7 0,35 4 1 0,05 5 1 0,05 6 3 0,15 7 1 0,05 0 1 b)
Ejercco nº.- En unas pruebas de velocdad se ha cronometrado el tempo que tardaba cada partcpante en recorrer certa dstanca fja. Los tempos obtendos, en segundos, han sdo los sguentes: 10 9 8 8,5 9 1 13 9,5 10 8 8,3 8,1 9, 9,4 10 10,1 9, 8,1 8, 8,1 8 8,3 9,3 14 15 10 9 8,5 1 8,1 a) Elabora una tabla de frecuencas, agrupando los datos en ntervalos de longtud 1, empezando en 8. b) Representa gráfcamente la dstrbucón. Solucón: a) Intervalo Frecuenca [8,9) 1 [9,10) 8 [10,11) 5 [11,1) 0 [1,13) [13,14) 1 [14,15] 30 b)
Ejercco nº 3.- Hemos lanzado un dado 100 veces, anotando el resultado obtendo cada vez. La nformacón queda reflejada en la sguente tabla: Resultado 1 3 4 5 6 o N. de veces 1 0 10 15 0 3 a) Calcula la meda la desvacón típca. b) Qué porcentaje de resultados ha en el ntervalo (, + )? Solucón: a) Σ f = n 380 = = 100 Σ f = n 3,8 = 1750 3,8 100 f f f 1 1 1 1 0 40 80 3 10 30 90 4 15 60 40 5 0 100 500 6 3 138 88 100 380 1750 = 3,06 = 1,75 Hemos obtendo una puntuacón meda de 3,8, con una desvacón típca de 1,75 puntos. b) =,05 + = 5,55 En el ntervalo (,05; 5,55 ) ha 45 resultados, que representan un 45% del total. Ejercco nº 4.- La nota meda de una clase, A, en un eamen ha sdo 5,5, con una desvacón típca de,1. En otra clase, B, la nota meda en el msmo eamen ha sdo 7,3 la desvacón típca, de,6. Calcula el coefcente de varacón compara la dspersón de ambos grupos. Solucón: C.V. C.V. A B A,1 = = = 0,38 38,% A 5,5 B,6 = = = 0,356 35,6% B 7,3 La varacón es maor en la clase A.
Ejercco nº 5.- Un grupo de atletas ha obtendo las sguentes puntuacones en una prueba deportva que se valoraba de 0 a 5 puntos: Puntuacón 1 3 4 5 o N. de atletas 4 4 1 18 1 Calcula Me, Q 1 Q 3. Solucón: a) Hacemos la tabla de frecuencas acumuladas: f F % 1 4 4 8 4 8 1 6 3 1 0 4 0 4 1 8 3 8 7 6 5 1 5 0 1 0 0 Me = 4 Q1 = 3 Q3 = 4 P10 =
Ejercco nº 6.- La sguente dstrbucón corresponde a las edades de un grupo de personas: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] horas 0, 4 4,8 8,1 1,16 16,0 0,4 o N. de vahículos 16 14 110 10 150 5 Calcula numércamente Me Q 1. Solucón: Construmos el polígono de frecuencas acumuladas: Etremos F % 0 0 0 5 4 4 10 9 9 15 19 19 0 38 38 5 66 66 30 100 100 Obtenemos los valores eactos razonando sobre el polígono de frecuencas: Me: Q 1 : 50% 1 8 66 38 0 Me 5 5 8 1 = 5 =,14 Me = 0 +,14 =,14 19 6 = 5 = 1,58 Q1 = 15 + 1,58 = 16,58 Los valores eactos son: Me =,14; Q 1 = 16,58
Ejercco nº 7.- Se pregunta a un grupo de estudantes de Bachllerato sobre el número de horas que dedca daramente a estudar. Las respuestas se recogen en la sguente tabla: ( ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Tempo h 0; 1,5 1,5; ; 3 3; 4 4; 6 o N. de alumnos 5 10 6 a) Representa gráfcamente los datos. b) Se consdera que un estudante de este nvel debe estudar un mínmo daro de 3 horas meda. Según esto, qué porcentaje de alumnos lo hace? Solucón: a) Representamos los datos en un hstograma. Como los ntervalos son de dstnta longtud, calculamos la altura (h ) de cada barra, sabendo que el área de cada rectángulo ha de ser proporconal a la frecuenca (f ). 0; 1,5 = = 1,3 1,5 [ ) h1 5 1,5; = = 10 0,5 [ ) h 10 ; 3 = = 10 1 [ ) h3 6 3; 4 = = 6 1 [ ) h4 4; 6 = = 1 [ ) h5 b) Construmos una tabla de frecuencas acumuladas: Etremo % F 0 0 0 1,5 8 7 8 3 17 68 4 3 9 6 5 100 Calculamos el porcentaje de alumnos que estudan menos de 3 horas meda:
4 = = 1 0,5 Estudan menos de 3 horas meda el 68 + 1 = 80% de los alumnos. Por tanto, el 0% estudan al menos 3 horas meda.
MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES EXAMEN ESTADÍSTICA 1 1.- Con la varable edad, en años, de una muestra de 100 personas se forma la sguente tabla de frecuencas: Edad en años Frecuenca acumulada [10,30) 10 [30,50) 30 [50,70) 60 [70,90) 84 [90,110) 100 a) Completa la tabla de frecuencas. (0,75 puntos) b) Usando la tabla, calcula la meda la desvacón típca. (1 punto) c) Calcula eactamente la moda. (0,75 puntos) d) Calcula eactamente la medana. (0,75 puntos) e) A partr de qué valor podemos encontrar el 5% de las personas más jóvenes? (1 punto).- Hemos calculado la covaranza de una certa dstrbucón ha resultado negatva. Justfca por qué podemos afrmar que tanto el coefcente de correlacón como las pendentes de las dos rectas de regresón son tambén números negatvos. (1 punto) 3.- Sean = gastos en publcdad de un producto (en mles de euros) e = ventas consegudas de ese producto (en mles de euros). 1 3 4 5 6 10 17 30 8 39 47 a) Calcula el coefcente de correlacón. (1 punto) b) Comenta la nfluenca del gasto publctaro en las ventas. (1 punto) c) Halla la ecuacón de la recta de regresón de las ventas respecto del gasto publctaro. (1 punto) d) Halla las ventas esperadas para un gasto en publcdad de 300 euros. (1 punto) e) Dbuja la nube de puntos la recta de regresón hallada en el apartado c). (0,75 puntos)
MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES 1.-a) SOLUCIONES Edad en años f F h H.f ( ) ( ) f [10,30) 0 10 10 0 1 0 1 00-43 0 1866 4 [30,50) 40 0 30 0 0 3 800-3 0 10764 8 [50,70) 60 30 60 0 3 0 6 1800-3 0 307 [70,90) 80 4 84 0 4 0 84 190 16 80 6773 76 [90,110) 100 16 100 0 16 1 1600 36 80 1667.84 630 b) = f f ( ) = = 63' 0 años = 5817'6 = 4' 1 años = n 100 n f f 1 c) Intervalo modal [50,70) (f maor) Mo= L +.c = 6' 5 (f f 1 ) + (f f + 1) d) Intervalo medano: [50,70) a que F =60>50 n F 1 50 30 M = L +. c = 50 +.0 = 63'33 f 30 e) Nos pden P 5 =Q 1 ; está en el ntervalo [30,50) a que n/4=5 n F 1 4 5 10 Q3 = L +. c = 30 +.0 = 45 luego el 5% está por debajo de 45 años f 0.- S la covaranza es negatva ( < 0 ) entonces como el coefcente de correlacón es las desvacones típcas son sempre postvas, tendremos que el coefcente es tambén negatvo. Por otra parte, las pendentes de las rectas de regresón son: que, por la msma razón son tambén negatvas. 3.- a). 1 10 1 100 10 17 4 89 34 3 30 9 900 90 4 8 16 784 11 5 39 5 151 195 6 47 36 09 8 1 171 91 5803 73 1 171 Medas: = = 3' 5mles de euros (3500 ) = = 8' 5 (8500 ) 6 6 Desvacones típcas: 91 3'5 = = 1, 71 5803 8'5 = = 1' 45 6 6
MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO SOCIALES 73 Covaranza: = 3'5.8'5 = 0' 75 6 0'75 Coefcente de correlacón: r = = 0, 97 1'71 1'45 b) Es una correlacón mu fuerte (próma a 1) postva. Lo que sgnfca que a más gastos en publcdad mas ventas, con una ncdenca mu clara. c) tenemos que hallar la recta de sobre : 0'75 = ( ) ; 8'5 = ( 3'5) ; 8'5 = 71' ( 3'5) 1'71 8'5 = 71' 4'85, luego la recta pedda es: = 71' + 3' 65 d) Para un gasto de 300 euros ( = 3 ) en publcdad, las ventas esperadas serán: = 71' 3' + 3'65 = 6'37 mles de euros, es decr 6370 euros. e) Ventas (mles de euros) 50 40 30 0 10 0 0 4 6 8 Gastos (mles de euros)
EXAMEN ESTADÍSTICA Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales I 1.- En una fábrca de lámparas se hace un estudo de las bombllas que ha en el mercado, para lo que se toma una muestra de 500 bombllas los resultados son: Vda (horas) [300-500) [500-700) [700-900) [900-1100) [1100-1300) Nº bombllas 50 150 00 75 5 a) Completa la tabla de frecuencas. (1 punto) b) Usando la tabla de frecuencas halla la medana la moda. (1 punto) c) Cuál es la vda meda de las bombllas? Y la desvacón típca?(1 punto) d) Cuántas horas duran el 5% de las bombllas menos duraderas? (1 punto).- La nota meda de 100 estudantes de º de Bachllerato en Selectvdad es de 5,75 con una desvacón típca de 1,5. La recta de regresón de la nota en Selectvdad () respecto a la nota en el Insttuto () es = 0,55 + 0,8 a) Cuál es la nota meda en el Insttuto de esos estudantes? (0,75 puntos) b) Cuál es el sgno del coefcente de correlacón entre la nota en el Insttuto la nota en Selectvdad? Por qué? (0,75 puntos) 3.- Se ha realzado una encuesta preguntando por el número de personas que habtan el hogar famlar () el número de dormtoros que tene la casa (). La tabla sguente recoge la nformacón obtenda: 1 3 4 6 1 1 0 0 0 0 3 1 0 0 3 0 0 4 4 1 4 0 0 0 a) Halla la meda la desvacón típca del número de personas del hogar famlar del número de dormtoros (dstrbucones margnales). (1 punto) b) Calcula el coefcente de correlacón lneal entre ambas varables e nterprétalo.(1,5 puntos) c) Obtén la recta de regresón de sobre. (1 punto) d) S en una casa ha 5 personas qué número de dormtoros podemos estmar que ha en la msma? Esta estmacón es buena? Por qué? (1 punto)
Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales I SOLUCIONES 1.- a) Vda(h) f F h H [300-500) 400 50 50 0,1 0,1 [500-700) 600 150 00 0,3 0,4 [700-900) 800 00 400 0,4 0,8 [900-1100) 1000 75 475 0,15 0,95 [1100-1300) 100 5 500 0,05 1 b) La medana estará en el ntervalo [700,900) la moda en el msmo. Calculemos: n F 1 50 00 M = L +.c = 700 +.00 = 750 horas f 00 f f 1 00 150 Mo = L +.c = 700 + 00 = 757,14 horas (f f 1 ) + (f f + 1) 50 + 15 c) Vda(h) f F f ( ) ( ) f [300-500) 400 50 50 0000 1500 615000 [500-700) 600 150 00 90000 500 3375000 [700-900) 800 00 400 160000 500 500000 [900-1100) 1000 75 475 75000 6500 4687500 [1100-1300) 100 5 500 30000 0500 506500 375000 19750000 = = 750 horas de vda meda = = 198, 74 horas 500 500 d) El 5% de las bombllas que menos duran es el percentl 5 o el prmer cuartl, es decr, está en el ntervalo [500,700) (prmero que pasa de N/4=15) n F 1 4 15 50 Q 3 = L +.c = 500 + 00 = 600 horas o menos duran el 5% peores. f 150.- = 0,55 + 0,8 recta de regresón, sabemos que = 5, 75 a) Como la recta de regresón sempre pasa por el centro de gravedad (, ), tenemos que al susttur tene que verfcarse la ecuacón, es decr: 5,75 = 0,55 + 0,8, de donde tendremos que 5, 0,8 = 5,75 0,55 = = 6,5 = por lo tanto, la nota meda en el Insttuto 0,8 ha sdo de 6,5. b) La pendente de la recta de regresón es postva (0,8), de donde podemos deducr que el coefcente de correlacón tambén lo es, así como la covaranza.
Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales I 3.- a) Las dstrbucones margnales son: X 1 3 4 6 f 4 5 6 3 Y 1 3 4 f 3 4 9 4 Podemos hallar las medas las desvacones típcas con la calculadora tenemos que: 3,35 personas = 1,459 per. =,7 dormtoros 0,954 dorm. = f 04 b) Para hallar la covaranza = = 3,35,7 = 1, 155 N 0 f = 1 1 + 1 1 + 3 + 3 1 + 3 3 4 + 4 3 4 + 4 4 + 6 3 1 + 6 4 = = 04 1,155 El coefcente de correlacón lneal será r = = = 0, 83 que ndca 1,459 0,954 que la correlacón es fuerte postva, es decr que a más personas mas dormtoros. c) La fórmula de la recta de regresón de sobre es: = + ( ) 1,155 por tanto, =,7 + ( 3,35) =,7 + 0,543 1, 818 1,459 por lo que la ecuacón de la recta pedda es: = 0,543 + 0, 88 d) S ha 5 personas, usando la recta de regresón tendremos que: = 0,543 5 + 0,88 = 3,597 o sea que la casa tendrá 3 o 4 dormtoros. La estmacón es bastante aceptable a que el coefcente de correlacón lneal es bastante prómo a 1 (0,83) el número de personas (5) está dentro del ntervalo en que se ha trabajado.
Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales I EXAMEN ESTADÍSTICA 3 1.- Los números 0 1, 0 99, 0 6 0 89 son los valores absolutos del coefcente de correlacón de las dstrbucones bdmensonales cuas nubes de puntos representamos en las sguentes fguras. Asgna razonadamente a cada dagrama su coefcente de correlacón cambando el sgno cuando sea necesaro. (1,5 puntos) a) b) c) d).- Del auntamento de un pueblo se han obtendo los sguentes datos sobre el número de fncas agrícolas en relacón con su superfce: Superfce (Ha) [0,5) [5,10) [10,15) [15,0) [0,5] Número de fncas 5 9 4 a) Halla, a partr de la tabla, la meda, la desvacón típca. (1 punto) b) Halla la medana moda de esta dstrbucón. (1,5 puntos) c) Halla el porcentaje de fncas que tenen 15 o más Hectáreas. (1 punto) d) Halla el tercer cuartl. (1 punto) 3.- Se han estudado los errores cometdos por un grupo de 30 personas en una prueba de ortografía () en otra de cálculo numérco (). Los resultados están recogdos en la tabla adjunta: 0 1 3 4 0 1 1 0 0 1 3 0 0 1 3 1 0 3 0 0 3 1 4 0 0 0 4 a) Calcula el coefcente de correlacón lneal entre e. ( puntos) b) Utlza la recta de regresón de sobre para estmar el número de errores ortográfcos que tendría alguen con 5 errores de cálculo. (1,5 puntos) c) Es fable el resultado obtendo en el apartado anteror? Por qué? (0,5 puntos)
Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales I SOLUCIONES 1.- La correlacón en la gráfca a) es postva fuerte, pero más fuerte es en la d), aunque ésta es negatva, la c) es meda negatva la b) es baja podría se r postva o negatva. Luego, la solucón sería: a) 0 89 b) 0 1 c) 0 6 d) 0 99.- Intervalo f F f ( ) ( ) f [0,5) 5 5 95 459 190 9058 [5,10) 7 5 5 7 37 5 759 113 7645 [10,15) 1 5 9 16 11 5 0 059 0 4761 [15,0) 17 5 4 0 70 7 359 109 4116 [0,5) 5 45 104 659 09 3058 N= 70 63 8638 70 63'8638 a) = = 1' 7 Ha = = 5' 35 Ha b) Intervalo modal: [10,15) Intervalo medano: [10,15) n F 1 11 7 ) M = L +.c = 10 +.5 = 1' Ha f 9 f f 1 9 5 ) Mo = L +.c = 10 + 5 = 1' Ha (f f ) + (f f ) 4 + 5 1 + 1 c)las fncas que tenen 15 o más Ha son: 9+4+=15 de en total, lo que supone un porcentaje de 68 18% d) El tercer cuartl está en el ntervalo [15,0) ( 3 n = 16' 5 ) 4 3n F 1 4 16'5 16 Q 3 = L +.c = 15 + 5 = 15'65 Ha f 4 3.- 3.- a) Las dstrbucones margnales son: X 0 1 3 4 f 6 6 8 7 3 Y 0 1 3 4 f 4 7 7 6 6 Podemos hallar las medas las desvacones típcas con la calculadora tenemos que: ) 1,83 errores 1,67 errores =,1 errores = 1,35 errores
Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales I f 154 ) b) Para hallar la covaranza = = 1,83,1 = 1, 8334 N 30 f = 1 1 + 1 + 1 3 + + 3 1 + 3 3 + 3 3 + 4 3 1 + + 3 4 4 + 4 4 = 154 1,8334 El coefcente de correlacón lneal será r = = = 0, 76 1,67 1,35 b) Recta de regresón de sobre : = + ( ) 1,8334 por tanto, = 1,8333 + (,1) = 1,8333 + 0,731 1, 535 1,35 por lo que la ecuacón de la recta es: = 0,731 + 0, 98 Alguen con 5 errores de cálculo tendría, por tanto = 0,731 5 + 0,98 = 3. 953 Apromadamente 4 errores ortográfcos. c) No es mu fable a que el coefcente de correlacón no es demasado alto además el valor que damos (5) está fuera del rango de los valores estudados.