Cálculo estocástico. David Nualart Universitat de Barcelona

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1 Cálculo esocásico David Nualar Universia de Barcelona 1

2 a) Demosrar que M = M + p x (s, B s)db s. b) Sea H = p (, B x ). Probar que 1 H2 d < casi seguramene, 1 pero E H2 d =. 2.9 Sean Y y X procesos de Iô. Demosrar la siguiene fórmula de inegración por pares: X Y = X Y + X s dy s + Y s dx s + dx s dy s. 3 Ecuaciones diferenciales esocásicas Queremos resolver ecuaciones diferenciales del ipo dx = b(, X )d + σ(, X )db. (34) Los coeficienes b(, x) yσ(, x) se denominan, respecivamene, coeficiene de deriva y coeficiene de difusión. Si el coeficiene de difusión se anula, enonces, endremos una ecuación diferencial ordinaria: dx d = b(, X ), que puede resolverse, si conocemos la condición inicial X. Por ejemplo, en el caso lineal b(, x) =b()x, la solución es X = X + e b(s)ds. Una ecuación diferencial del ipo (34) se denomina una ecuación diferencial esocásica. La solución será un proceso esocásico {X, } con rayecorias coninuas adapado a la filración browniana. Los procesos solución se denominan procesos de difusión. Una inerpreación heurísica de la ecuación diferencial (34) sería la siguiene: El incremeno X = X + X se expresa como una suma de b(, X ) más un érmino que depende del incremeno del movimieno browniano: σ(, X ) B y que se inerprea como una impulso aleaorio. Por 69

3 Preliminaries Pricing by binomial ree mehod Compuaional Mehods for Quaniaive Finance Models, Algorihms, Numerical Analysis Chrisoph Schwab N. Hilber, C. Winer ETHZ-UNIZ Maser of Advanced Sudies in Finance Spring Term 28 Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

4 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Compuaional Mehods for Quaniaive Finance Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Chrisoph Schwab N. Hilber, Ch. Winer Lecure 2 Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

5 Ouline Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

6 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Seup Consider he SDE dx = b(, X )d + σ(, X )dw, X = x. (2.1) Assume K > such ha x, y R, T (A1) b(, x) b(, y) + σ(, x) σ(, y) K x y (A2) b(, x) + σ(, x) K(1 + x ) (A3) he RV x is independen of he σ algebra generaed by W and saisfies E[ x 2 ] < (A1) (A3) for any T (2.1) admis an unique soluion (X ) T wih he properies (X ) T is coninuous, (X ) T is adaped o he filraion generaed by x and W, E[ T X 2 d] <. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

7 Seup Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Assume he risky underlying (X ) T evolves according o he SDE dx = b(, X )d + σ(, X )dw, X = x. Assume r(, x) is a bounded and coninuous funcion modelling he riskless ineres rae. Objecive: Compue he value of an opion wih payoff h( ) which is he condiional expecaion V = u(, X )=E e R T r(s,xs,x )ds h(x,x ) F, (2.2) where Xs,x. is he soluion of he SDE (2.1) saring from x a ime T Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

8 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Infiniesimal generaor Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Soluion: characerize u(, x) as soluion of a parial differenial equaion. We need some auxiliary resuls. Assume ha σ,b in (2.1) are independen of. Denoe by A he differenial operaor acing on funcions f C 2. (Af)(x) = 1 2 σ2 (x)f (x)+b(x)f (x), (2.3) Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

9 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Infiniesimal generaor Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Proposiion Assume ha σ,b in (2.1) are independen of. Thenheprocess M := f(x ) (Af)(X s )ds (2.4) is a maringale wih respec o he filraion of W.Inparicular, for all, E f(x ) = f(x)+e Af(X s )ds. (2.5) Proof. Iô s Lemma, sochasic inegral w.r. o W is a maringale. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

10 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Infiniesimal generaor Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Based on his Proposiion, we have Theorem Denoe by X x he soluion of he SDE (2.1) wih iniial condiion X x = x. Then for any funcion f C2, he funcion E[f(X x )] is coninuously differeniable and wih A as in (2.3) d d E f(x x ) = =(Af)(x) Remark The operaor A is called infiniesimal generaor of he diffusion process X x. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

11 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Prices of European conracs are momens of he price process X x of he form u(x, ) =E e R r(xx s )ds h(x x ) (2.6) where h(x) and r(x) are coninuous funcions of x R. Such momens are soluions of deerminisic PDEs, as he following heorem, he so-called Feynman-Kac heorem, shows. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

12 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Feynman-Kac Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Theorem Le u(x, ) C 2,1 (R R + ) be a soluion of he parabolic Cauchy problem u + Au ru = inr R + (2.7) u(x, ) = h(x) inr wih A as in (2.3). Thenu(x, ) can be represened as in (2.6), i.e. u(x, ) =E e R r(xx s )ds h(x x ). Viceversa, any u(x, ) as in (2.6) which is in C 2,1 (R R + ) solves he deerminisic Fokker Planck equaion (2.7). Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

13 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion This resul is sill rue in a muli-dimensional model and for he case when he coefficien funcions b, σ and he discouning facor c depend also on. For p N consider he sysem of SDEs dx k = b k (, X )d + Denoe by A he operaor p σ kj (, X )dw j, 1 k n. (2.8) j=1 (Au)(x, ) = 1 2 r[σσ D 2 u]+b, u, (2.9) where D 2 =( xi x j ) 1 i,j n is he Hessian, σ =(σ ij ) 1 i n,1 j p and, denoes he sandard inner produc in R n. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

14 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Feynman-Kac (baskes) Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Theorem (baskes) (i) If (X ) is a soluion of (2.8) and u(x, ) :R n R + R has bounded, second order derivaives in x and bounded firs order derivaives in and if r(, x) :R + R n R is a coninuous, bounded funcion on R + R n,henheprocess M := e R r(s,xs)ds u(x,) is a maringale. e R s r(τ,xτ )dτ ( u + Au ru)(x s,s)ds Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

15 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion (ii) Le u(x, ) C 2,1 (R n [,T]) be a soluion of he parabolic Cauchy problem u + Au ru = inr n R + u(x, T ) = h(x) inr n (2.1) wih A as in (2.9). Thenu(x, ) can be represened as u(x, ) =E e R T r(s,xs,x )ds h(x,x T ). (2.11) Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

16 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Applicaion o he Black Scholes model Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Assume for simpliciy ha no dividends are paid. Dynamics of risky underlying: Geomeric Brownian moion ds = S (rd + σdw ), S = S (2.12) i.e. we have b(s) =rs, σ(s) =σs. The infiniesimal generaor A is A =: A BS = 1 2 σ2 S 2 SS + rs S. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

17 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion The discouned price of a European conrac wih payoff h(s), i.e. V (S, ) :=E[e r(t ) h(s T ) S = S], is equal o a regular soluion V (S, ) of he Black Scholes (BS) equaion V + A BS V rv = inr + [,T) V (S, T ) = h(s) inr +, (2.13) where A BS = 1 2 σ2 S 2 SS + rs S. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

18 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Hea equaion Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion By change of variables y(x, τ) :=e αx βτ V (e x,t 2τ/σ 2 ), α, β R he Black-Scholes equaion can be ransformed o he hea equaion (see exercise): τ y xx y = inr (, 1/2σ 2 T ] y(x, ) = y (x) inr We firs sudy finie difference mehod on his simple example. Boundary condiions If he equaion is saisfied for x (a, b), we need condiions a x = a and x = b, forallτ. Examples: Dirichle condiions: y(a, τ) =g a (τ), y(b, τ) =g b (τ). Neumann condiions: x y(a, τ) =g a (τ), x y(b, τ) =g b (τ). Remark If x R, we choose a bounded compuaional domain (a, b) and impose arificial boundary condiions. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

19 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Discreizaion of he domain Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Compuaional domain [a, b] [, τ max ] is replaced by discree grid: {(x i, τ m )}, i =,...,N +1, m =,...,M, where x i are equidisan space grid poins wih space sep size h: x i = a + ih, h x = b a N +1, and τ m he ime levels wih ime sep size k: τ m = mk, k τ = τ max M. Remark I is possible o use variable sep sizes x i and τ m : for example, o refine he grid near he irregulariies of he soluion. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

20 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Soluion on he grid Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion The exac soluion y(x, ) is a surface on [a, b] [, τ max ]: infiniely dimensional objec. Compuer can work only wih finie quaniies. Therefore, we represen he soluion by is values on he grid: he surface is replaced by (N + 2) (M + 1) poins: y(x, ) {y m i = y(x i, τ m )}, i =,...,N+1,m=,...,M. The goal is o approximae he values {yi m }. Values of he soluion beween grid poins are hen found by some inerpolaion. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

21 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Difference Quoiens (= Finie Differences) Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion We wan o approximae he derivaives of y using only is values on he grid. Firs, le us consider a funcion f(x) of one variable. Assume ha f is wice differeniable wih coninuous derivaives; we wrie f C 2.Then,usingTaylor sformula, f (x) = f(x + h) f(x) h + h 2 f (ξ), ξ [x, x + h]. If f i = f(x i ) are he values of f on he grid {x i }, we obain f (x i ) f i+1 f i h wih a remainder ha goes o zero as h. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

22 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Noaions f (x i )= f i+1 f i h + O(h) =:(δ + x f) i + O(h) f (x i )= f i f i 1 + O(h) =:(δx f) i + O(h) h (δ x + f) i and (δx f) i are called one-sided difference quoiens of f wih respec o x a x i.theyareaccurae of firs order (O(h)). Oher examples (valid for more regular funcions): f (x i )= f i+1 f i 1 2h + O(h 2 )=:(δ x f) i + O(h 2 ) f C 3, f (x i )= f i+1 2f i + f i 1 h 2 + O(h 2 )=:(δ 2 xxf) i + O(h 2 ) f C 4, f (x i )= f i+2 +4f i+1 3f i 2h Chrisoph Schwab + O(h 2 )=:( δ + x f) i + O(h 2 ) f C 3. Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

23 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Explici (Euler) finie difference scheme Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion We replace PDE y τ 2 y x 2 y m+1 i yi m k for m =,...,M 1, i =1,...,N. Iniializaion: y i = y (x i ), i =,...,N +1. For m =,...,M 1: =by he se of algebraic equaions ym i+1 2ym i + yi 1 m h 2 = y m+1 i = k h 2 y m i 1 +(1 2 k h 2 )y m i + k h 2 y m i+1, i =1,...,N y m+1 = g a (τ m+1 ), y m+1 N+1 = g b(τ m+1 ) (if Dirichle boundary condiions) Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

24 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Neumann boundary condiions Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion If boundary condiions are specified in Neumann form: y x (a, τ) =g a(τ), y x (b, τ) =g b(τ), τ [, τ max ] we can approximae he derivaives by one-sided finie differences: y m 1 ym h = g a (τ m ), y m N+1 ym N h = g b (τ m ), m =,...,M which gives boundary condiions for he discree scheme: y m = y m 1 hg a (τ m ), y m N+1 = y m N + hg b (τ m ), m =,...,M. Remark We can also use more accurae approximaions of y x as, for example, ( δ + x y). Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

25 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Implici finie difference scheme Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Here, he space derivaive is aken on he ime level m +1: y m+1 i yi m k for m =,...,M 1, i =1,...,N. Iniializaion: ym+1 i+1 2ym+1 i + yi 1 m+1 h 2 = y i = y (x i ), i =,...,N +1. For m =,...,M 1: y m+1 = g a (τ m+1 ), solve k y m+1 h 2 i 1 +(1+2k )y m+1 h 2 i k y m+1 h 2 i+1 = yi m, i =1,...,N y m+1 N+1 = g b(τ m+1 ). Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

26 θ-scheme Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion For a parameer θ [, 1], θ-scheme is a combinaion of explici and implici schemes: E m i := ym+1 i = ym+1 i yi m k yi m k (1 θ)(δxxy) 2 m i + θ(δxxy) 2 m+1 i (1 θ) ym i+1 2ym i + yi 1 m h 2 +θ ym+1 i+1 2ym+1 i + yi 1 m+1 θ = = explici scheme. θ =1 = implici scheme. θ =1/2 = Crank-Nicolson scheme. h 2 = Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

27 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs θ-scheme in marix form Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion Le us inroduce column vecors y m =(y1 m,...,yn m ), E m =(E1 m,...,en m ) and he ridiagonal N N marix 2 1. G = Then he FD θ-scheme E m =becomes, in marix form, I + θ k h 2 G y m+1 = I (1 θ) k h 2 G y m. /here, we assume homogeneous Dirichle boundary condiions/ Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

28 Noaion Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion To shoren he noaion, le us inroduce marices B = I + θ k h 2 G and C = I (1 θ) k h 2 G. The scheme becomes By m+1 = Cy m. To find y m+1, we have o solve his linear sysem: y m+1 = B 1 Cy m. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

29 Pricing by Finie Difference Soluion of PDEs θ-scheme for some modificaions of he PDE Inhomogeneous hea equaion: Opion prices as soluions of PDEs: Fokker-Planck equaion Finie Difference mehod for he hea equaion y τ = 2 y + f(x, τ) = x 2 By m+1 = Cy m + k[θf m+1 +(1 θ)f m ]. where f m =(f m 1,...,fm N ) and f m i = f(x i, τ m ). Inhomogeneous Dirichle BC: y(a, τ) =g a (τ), y(b, τ) =g b (τ) By m+1 = Cy m + k h 2 [θgm+1 +(1 θ)g m ]. where g m = g a (τ m ),,...,,g b (τ m ). Neumann BC: y x (a, τ) =g a(τ), y x (b, τ) =g b(τ) = (B θ k h 2 F )ym+1 =(C+(1 θ) k h 2 F )ym + k h [θgm+1 +(1 θ)g m ]. where g m = g a (τ m ),,...,,g b (τ m ),andf conains only wo non-zero elemens: F ij =excep F 11 = F NN =1. Chrisoph Schwab Compuaional Mehods for Quaniaive Finance

30 ano, el incremeno X endrá una ley normal de media b(, X ) y varianza σ(, X ) 2. La formalización de esas ecuaciones se realiza ransformándolas en ecuaciones inegrales y uilizando inegrales esocásicas: X = X + b(s, X s )ds + σ(s, X s )db s. (35) El resulado fundamenal sobre la exisencia y unicidad de soluciones es el siguiene: Teorema 18 Fijemos un inervalo de iempo [,T]. Supongamos que coeficienes de la ecuación (34) verifican: los b(, x) b(, y) D 1 x y (36) σ(, x) σ(, y) D 2 x y (37) b(, x) C 1 (1 + x ) (38) σ(, x) C 2 (1 + x ), (39) para odo x, y R, [,T]. Supongamos que Z es una variable aleaoria independiene de la σ-álgebra F T generada por el movimieno browniano en [,T], al que E(Z 2 ) <. Enonces, exise un único proceso {X, [,T]} coninuo, adapado, solución de (35) y al que Observaciones: T E X s 2 ds <. 1.- Ese resulado es ciero en dimensión superior, cuando B es un movimieno browniano m-dimensional, la solución X es un proceso esocásico n- dimensional, y los coeficienes son funciones b : [,T] R n R n, σ : [,T] R n R n m. 2.- La condición de crecimieno lineal (38,39) garaniza que la solución no exploa anes del iempo final T. Por ejemplo, la ecuación diferencial deerminisa dx = X 2,X =1, d 7

31 iene por única solución la función que diverge en el insane =1. X = 1 1, <1, 3.- La condición de Lipschiz (36,37) garaniza que no exisa más de una solución. Por ejemplo, la ecuación diferencial deerminisa dx d =3X 2/3,X =, iene infinias soluciones ya que para cada a>, la función si a X = ( a) 3 si >a es solución. En ese ejemplo la función b(x) = 3x 2/3 no cumple la condición de Lipschiz ya que la derivada de b no esá acoada. 4.- Si los coeficienes b(, x) yσ(, x) son diferenciables en la variable x, la condición de Lipschiz significa que las derivadas parciales b y σesán x x acoadas por las consanes D 1 y D 2, respecivamene. Demosración del Teorema 18: Consideremos el espacio L 2 a,t de los procesos adapados a la filración F Z T = σ(z) F y ales que E X s 2 ds <. En ese espacio inroducimos la siguiene norma T X = e λs E 1/2 Xs 2 ds, donde λ es una consane al que λ > 2(TD D 2 2). Definimos un operador en ese espacio de la forma siguiene (LX) = X + b(s, X s )ds + σ(s, X s )db s. Ese operador esá bien definido debido a la propiedad de crecimieno lineal (38,39) de los coeficienes de la ecuación. 71

32 La desigualdad de Schwarz y la isomería de la inegral esocásica nos permien escribir E (LX) (LY ) 2 2 2E (b(s, X s ) b(s, Y s )) ds 2 +2E (σ(s, X s ) σ(s, X s )) db s 2TE (b(s, X s ) b(s, Y s )) 2 ds +2E (σ(s, X s ) σ(s, X s )) 2 ds. Uilizando la propiedad de Lipschiz (36,37) se obiene E (LX) (LY ) 2 2 TD D 2 2 E (X s Y s ) 2 ds. Pongamos C =2(TD D 2 2). Por consiguiene, muliplicando por el facor e λ e inegrando en [,T] se obiene T e λ E (LX) (LY ) 2 d C Por lo ano, y como L 2 a,t C λ LX LY C C λ T T T e λ E (X s Y s ) 2 ds d T e λ d E (X s Y s ) 2 ds s e λs E (X s Y s ) 2 ds. C λ X Y < 1. Eso nos dice que el operador L es una conracción en el espacio. El eorema del puno fijo nos asegura que ese operador iene un único puno fijo, lo que implica la unicidad y exisencia de solución de la ecuación (35). 72

33 3.1 Soluciones explícias de ecuaciones diferenciales esocásicas La fórmula de Iô permie resolver explíciamene algunas ecuaciones diferenciales esocásicas. Veamos algunos ejemplos. A) Ecuaciones lineales. El movimieno browniano geomérico saisface la ecuación lineal X = X e µ σ 2 +σb 2 dx = µx d + σx db. Más generalmene, la solución de la ecuación lineal homogénea dx = b()x d + σ()x db será X = X exp b(s) 1 2 σ2 (s) ds + σ(s)db s B) El proceso de Ornsein-Uhlenbeck. Consideremos la ecuación diferencial esocásica dx = a (m X ) d + σdb X = x, donde a, σ > ym es un número real. Como se raa de una ecuación lineal no homogénea, uilizaremos el méodo de variación de las consanes. La solución de la ecuación homogénea dx = ax d x = x es x = xe a. Enonces hacemos el cambio de variable X = Y e a, es decir, Y = X e a. El proceso Y saisface dy = ax e a d + e a dx = ame a d + σe a db. 73

34 Por ano, lo que implica Y = x + m(e a 1) + σ e as db s, X = m +(x m)e a + σe a eas db s El proceso esocásico X es gaussiano. La media y varianza de cada variable X pueden calcularse fácilmene: E(X ) = m +(x m)e a, 2 V arx = σ 2 e 2a E e as db s = e 2a e 2as ds = σ2 1 e 2a. 2a La disribución de X cuando iende a infinio converge hacia la ley normal N(m, σ2 2a ). Esa ley se denomina la ley invariane o esacionaria. En el caso m = ese proceso se denomina el proceso de Ornsein-Uhlenbeck. C) Consideremos una ecuación diferencial esocásica del ipo dx = f(, X )d + c()x db,x = x, (4) donde f(, x) y c() son funciones deerminisas coninuas, ales que f saisface las condiciones de crecimieno lineal y propiedad de Lipschiz en la variable x. Esa ecuación se puede resolver siguiendo los pasos siguienes: a) Se considera el facor inegrane F =exp c(s)db s c 2 (s)ds, al que F 1 es solución de la ecuación (4) si f =yx =1. El proceso Y = F X cumple dy = F f(, F 1 Y )d, Y = x. (41) 74

35 b) La ecuación (41) es una ecuación diferencial deerminisa, paramerizada por ω Ω, que podrá resolverse mediane méodos habiuales. Por ejemplo, supongamos que f(, x) =f()x. En al caso la ecuación (41) es dy = f()y d, de lo que se deduce y, por lo ano, Y = x exp f(s)ds X = x exp f(s)ds + c(s)db s 1 2 c2 (s)ds D) Ecuación diferencial esocásica lineal general. Consideremos la ecuación dx =(a()+b()x ) d +(c()+d()x ) db, con condición inicial X = x, donde a, b, c y d son funciones coninuas. Uilizando el méodo de variación de las consanes propondremos una solución de la forma X = U V (42) donde y du = b()u d + d()u db dv = α()d + β()db, con U =1yV = x. Por el aparado C sabemos que U = exp b(s)ds + d(s)db s 1 d 2 (s)ds. 2 Por ora pare, diferenciando la igualdad (42) obenemos a() = U α() +β()d()u c() = U β() 75

36 es decir Finalmene, X = U x + β() = c() U 1 α() = [a() c()d()] U 1. [a(s) c(s)d(s)] U 1 s ds + 1 c(s) Us db s La ecuación diferencial esocásica de Iô X = X + b(s, X s )ds + σ(s, X s )db s, puede ransformarse en una ecuación de Sraonovich, uilizando la fórmula (27) que nos relaciona ambos ipos de inegral. Así, se obiene X = X + b(s, X s )ds 1 2 (σσ )(s, X s )ds + σ(s, X s ) db s, ya que la expresión del proceso σ(s, X s ) como proceso de Iô sería σ(, X ) = σ(,x )+ σ b 12 σ σ 2 (s, X s )ds + (σσ )(s, X s )db s. Yamada y Waanabe demosraron en 1971 que la condición de Lipschiz podía debiliarse de la forma siguiene, en el caso de ecuaciones diferenciales esocásicas unidimensionales. Supongamos que los coeficienes b y σ no dependen del iempo, el coeficiene b es Lipschiz, pero el coeficiene σ saisface la condición de Hölder σ(x) σ(y) D x y α, donde α 1. En al caso exise una única solución de la ecuación. 2 Por ejemplo, la ecuación dx = X r db iene una solución única si r 1/2. X = 76

37 3.2 Soluciones fueres y soluciones débiles La solución X que hemos enconrado anes es una solución fuere porque es un proceso adapado a la familia de σ-álgebras F Z = σ(b s,s, Z). Podemos planear el problema de forma diferene. Nos dan los coeficienes b(, x) yσ(, x) y nos piden que enconremos un par de procesos X,B en un espacio de probabilidad (Ω, F,P) ales que B es un movimieno browniano relaivo a una filración H y X saisface la ecuación (34) en ese espacio. Diremos enonces que (Ω, F,P,H,X,B ) es una solución débil de la ecuación (34). Pueden demosrarse los siguienes resulados: Toda solución fuere es ambién una solución débil. Una ecuación con coeficienes b(, x) yσ(, x) se dice que iene unicidad débil si dos soluciones débiles ienen la misma ley (las mismas disribuciones en dimensión finia). Si los coeficienes saisfacen las condiciones del Teorema (18) enonces se saisface la unicidad débil. La exisencia de soluciones débiles puede asegurarse suponiendo solamene que los coeficienes b(, x) y σ(, x) son funciones coninuas y acoadas. La ecuación de Tanaka dx = sign (X ) db,x =, no iene ninguna solución fuere pero iene una solución débil única. 3.3 Aproximaciones numéricas Muchas ecuaciones diferenciales esocásicas no pueden resolverse explíciamene. Por ello es conveniene disponer de méodos numéricos que permien la simulación de soluciones. 77

38 Consideremos la ecuación diferencial esocásica con coeficienes independienes del iempo dx = b(x )d + σ(x )db, (43) con condición inicial X = x. Fijemos un inervalo de iempo [,T] y consideremos la subdivisión formada por los punos j = it,i=, 1,..., n. n La longiud de cada subinervalo será δ n = T. n El méodo de Euler consise en el esquema recursivo siguiene: X (n) ( i )=X (n) ( i 1 )+b(x (n) ( i 1 ))δ n + σ(x (n) ( i 1 )) B i, i = 1,...,n, donde B i = B i B i 1. El valor inicial será X (n) = x. En los punos de cada inervalo ( i i+1 ) el valor del proceso X (n) se deduce por inerpolación lineal. El proceso X (n) es una función del movimieno browniano y podemos medir el error comerido al aproximar X por X (n) : e n = E X T X (n) T Puede demosrarse que e n es del orden δ 1/2 n e n cδ 1/2 n 2. es decir, si n n. Para simular una solución mediane el méodo de Euler, basa con obener valores de n variables aleaorias ξ 1,...., ξ n independienes con ley N(, 1), y subsiuir B i por δ n ξ i. El méodo de Euler puede mejorarse mediane una corrección adicional. Eso nos lleva a inroducir el méodo de Milsein. El valor exaco del incremeno enre dos punos de la parición es i X( i )=X( i 1 )+ b(x s )ds + σ(x s )db s. (44) i 1 i 1 En el méodo de Euler se basa en aproximar las inegrales de la forma siguiene: i b(s)ds b(x (n) ( i 1 ))δ n, i 1 i σ(s)db s σ(x (n) ( i 1 )) B i. i 1 78 i

39 En el méodo de Milsein, aplicaremos la fórmula de Iô a los procesos b(x s )y σ(x s ) que aparecen en (44), con objeo de obener una aproximación mejor. De esa forma obenemos = X( i ) X( i 1 ) i b(x (n) ( i 1 )) + + i 1 i i 1 s σ(x (n) ( i 1 )) + i 1 s bb + 12 s b σ 2 (X r )dr + i 1 = b(x (n) ( i 1 ))δ n + σ(x (n) ( i 1 )) B i + R i. bσ + 12 σ σ 2 (X r )dr + El érmino dominane en el reso es la inegral esocásica doble i s (σσ )(X r )db r db s, i 1 i 1 i 1 (σb )(X r )db r s ds i 1 (σσ )(X r )db r y puede demosrarse que las demás componenes del reso son de órdenes inferiores y pueden despreciarse. La inegral esocásica doble puede, a su vez, aproximarse por i (σσ )(X (n) ( i 1 )) i 1 s i 1 db r db s. Las reglas del cálculo esocásico nos permien calcular la inegral doble que nos queda: i s i db r db s = Bs B i 1 dbs i 1 i 1 i 1 = 1 B 2i B 2i 1 B i 1 Bi B i 1 δ 2 n 2 = 1 2 ( B i) 2 δ 2 n. En conclusión, el méodo de Milsein consise en el sisema recursivo siguiene db s X (n) ( i ) = X (n) ( i 1 )+b(x (n) ( i 1 ))δ n + σ(x (n) ( i 1 )) B i (σσ )(X (n) ( i 1 )) ( B i ) 2 δ 2 n. 79

40 Puede demosarse que el error e n es del orden δ n es decir, si n n. e n cδ n 3.4 Propiedad de Markov Consideremos un proceso de difusión n-dimensional {X, } que saisface una ecuación diferencial esocásica del ipo dx = b(, X )d + σ(, X )db, (45) donde B es un movimieno browniano m-dimensional y los coeficienes b y σ son funciones que saisfacen las hipóesis del Teorema (18). Seguidamene demosraremos que los procesos de difusión saisfacen la propiedad de Markov. Esa propiedad nos dice que el comporamieno fuuro del proceso, conociendo la información hasa el insane solo depende del valor del proceso en el insane presene, X. Definición 19 Diremos que un proceso esocásico n-dimensional {X, } es un proceso de Markov si para odo s<se iene E(f(X ) X r,r s) =E(fX ) X s ), para oda función medible y acoada f en R n. La ley de probabilidad de los procesos de Markov se caraceriza mediane las denominadas probabilidades de ransición: P (C,, x, s) =P (X C X s = x), donde s<, C B n y x R n. Es decir, P (,, x, s) es la ley de probabilidad de la variable X condicionada por X s = x. Si esa ley condicionada iene densidad, la designaremos por p(y,, x, s). Por ejemplo, el movimieno browniano real B es un proceso de Markov con probabilidades de ransición dadas por 1 p(y,, x, s) = e (x y) 2 2( s). 2π( s) 8

41 Designaremos por {X s,x, s} la solución de la ecuación diferencial esocásica (45) en el inervalo de iempo [s, ) y con condición inicial Xs s,x = x. Si s =, escribiremos X,x = X x. Puede demosrarse que exise una versión coninua en los res parámeros del proceso esocásico {X s,x, s, x R n }. Por ora pare, para cada s se cumple la siguiene propiedad: X x = X s,xx s (46) En efeco, X x para s saisface la ecuación diferencial esocásica Por ora pare, X s,y X x = X x s + verifica X s,y = y + s s b(u, X x u)du + b(u, X s,y u )du + s s σ(u, X x u)db u. σ(u, Xu s,y )db u y subsiuyendo y por Xs x obenemos que los procesos X x y X s,xx s son soluciones de la misma ecuación en el inervalo [s, ) con condición inicial Xs x. Por la unicidad de soluciones deben coincidir. Teorema 2 (Propiedad de Markov de las difusiones) Sea f una función medible y acoada definida en R n. Enonces, para cada s<endremos E [f(x ) F s ]=E [f(x s,x )] x=xs. Demosración: Tenemos, uilizando (46) y la Regla 7 de la esperanza condicionada: E [f(x ) F s ]=E f(x s,x s ) F s = E [f(x s,x )] x=xs, ya que el proceso {X s,x, s, x R n } es independiene de F s y la variable X s es medible respeco de F s. Ese eorema nos dice que los procesos de difusión ienen la propiedad de Markov y sus probabilidades de ransición son P (C,, x, s) =P (X s,x 81 C).

42 Si el proceso de difusión es homogéneo en el iempo, la propiedad de Markov se escribe E [f(x ) F s ]=E f(x x s) x=xs. 3.5 Generador de una difusión Consideremos un proceso de difusión n-dimensional {X, } que saisface una ecuación diferencial esocásica del ipo dx = b(, X )d + σ(, X )db. donde B es un movimieno browniano m-dimensional. Supondremos que los coeficienes b y σ saisfacen las hipóesis del Teorema 18 y que X es consane. Podemos asociar a un proceso de difusión un operador diferencial de segundo orden. Dicho operador, que denoaremos por A s, s, se denomina el generador de la difusión, y se define por A s f(x) = n i=1 b i(s, x) f x i + 1 n 2 i,j=1 (σσ ) i,j (s, x) 2 f x i x j. (47) En esa expresión f es una función en R n dos veces derivable con derivadas parciales coninuas (de clase C 1,2 ). La mariz (σσ )(s, x) es simérica y semidefinida posiiva: (σσ ) i,j (s, x) = n σ i,k (s, x)σ j,k (s, x). k=1 La relación enre el operador A s y la difusión viene dada por la siguiene propiedad, consecuencia de la fórmula de Iô: Si f(, x) es una función de clase C 1,2, enonces, f(, X ) es un proceso de Iô con diferencial f df (, X ) = (, X )+A f(, X ) d + n i=1 m j=1 f x i (, X )σ i,j (, X )db j. 82

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