UN PROBLEMA LOGÍSTICO DE PROGRAMACIÓN DE VEHÍCULOS CON VENTANAS DE TIEMPO(VRPTW)

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1 Scenta et Technca Año XIV, No 39, Septembre de Unversdad Tecnológca de Perera. ISSN UN PROBLEMA LOGÍSTICO DE PROGRAMACIÓN DE VEHÍCULOS CON VENTANAS DE TIEMPO(VRPTW) A logstc case of programmng vehcle routng problem wth tme wndows RESUMEN Éste documento presenta la solucón a un caso logístco de programacón de vehículos con ventanas de tempo conocdo como VRPTW (vehcle routng problem wth Tme Wndows). En este problema se utlza como ventana de tempo el tempo prometdo. Para determnar el orden en que cada vehículo debe vstar a sus clentes que mnmza los costos de transporte, usamos la heurístca R. El algortmo fu mplementado en Vsual Basc para Excel. PALABRAS CLAVES: Programacón de vehículos con ventanas de tempo, heurístca R ABSTRACT Ths document presents the soluton to a logstc case of programmng vehcle routng problem wth tme wndows. We used the due date as tme wndow. We used the R heurstc for determnng a sequence wth transport mnm cost. KEYWORDS: VRPTW (vehcle routng problem tme wndows), R heurstc. JORGE HERNAN RESTREPO Ingenero Industral, M. Sc. Profesor Asstente Unversdad Tecnológca de Perera hrestrepoco@utp.edu.co PEDRO DANIEL MEDINA V Ingenero Mecánco, M. Sc. Profesor Especal Unversdad Tecnológca de Perera pmedn@utp.edu.co EDUARDO ARTURO CRUZ T Ingenero Industral, M. Sc. Profesor Asstente Unversdad Tecnológca de Perera ecruz@utp.edu.co 1. INTRODUCCIÓN Todos los días se entregan productos en dferentes puntos de una cudad, tenendo como referenca un orgen que es el punto de dstrbucón. Uno de los obetvos de los dstrbudores es determnar el número de vehículos que se requeren para la entrega de benes a los clentes con el obetvo de mnmzar el costo de transporte. Este documento presenta un caso de estudo de una empresa dstrbudora de comestbles en la cudad de Santa Rosa de Cabal Rsaralda que desea determnar el número de vehículos mnmzando sus costos de transporte. El problema tene un almacén y 20 clentes para atender con requermentos defndos. Los vehículos tenen una capacdad de 100 undades del producto de entrega y los clentes restrngen las entregas a unas ventanas de tempo. El problema se modela como un VRPTW (VRP wth Tme Wndows) donde se tenen vehículos de capacdad (carga) fnta. Para determnar la solucón se utlza la heurístca R. El algortmo se mplementa en Vsual Basc para Excel. 2. TEORÍA El VRP(vehcle routng problem) tene dferentes varacones[1]. Estas varacones son: 2.1 CVRP(capacted VRP) Es el VRP más general y consste en uno o varos vehículos con capacdad lmtada y constante encargados de dstrbur los productos según la demanda de los clentes. 2.2 MDVRP (Mult-Depot VRP) Es el VRP con múltples depóstos. Cada depósto (con su flota de vehículos) debe servr a todos los clentes. 2.3 PVRP (Perod VRP) Contempla en su planteamento un horzonte de operacón de M días, perodo durante el cual cada clente debe ser vstado una vez. 2.4 SDVRP (Splt Delvery VRP) Contempla entrega dvdda, donde se permte que un clente pueda ser atenddo por varos vehículos s el costo total se reduce, lo cual es mportante s el tamaño de los peddos excede la capacdad de un vehículo. 2.5 SVRP (Stochastc VRP) Contempla uno o varos componentes aleatoros; clentes, demanda y tempos pueden ser estocástcos. 2.6 VRPPD (VRP pcup and Delvery) Fecha de Recepcón: 5 de Juno de Fecha de Aceptacón: Agosto 5 de 2008.

2 230 Scenta et Technca Año XIV, No 39, Septembre de Unversdad Tecnológca de Perera. Contempla entrega y recogda. Es aquel donde cabe la posbldad de que los clentes pueden devolver determnados benes, por tanto se debe tener presente que el vehículo tenga capacdad para las dos accones. Esta restrccón hace el problema más compleo y puede causar una mala utlzacón de los vehículos. Sí el problema tene una restrccón de culmnar todas las entregas antes de ncar las recogdas da lugar a un VRPB (VRP Bachauls). 2.7 MFVRP (Mx Fleet VRP) Contempla vehículos con dstntas capacdades, por lo tanto hay que consderar estas capacdades en la ruta que segurá cada recurso, ya que un vehículo con mayor capacdad podrá cubrr una ruta más ampla (mayor demanda). 2.8 VRPTW (VRP wth Tme Wndows) En el se ncluye una restrccón adconal donde se asocal una ventana de tempo a cada clente, es decr, cada clente sólo está dspuesto a recbr la vsta del vehículo durante un ntervalo de tempo dado. 3. FORMULACIÓN MATEMÁTICA 3.3 PARÁMETROS Los parámetros del problema son: c, d u n = Costo de transporte del nodo al nodo = Demanda en el nodo =capacdad del recurso = número de clentes H = Costo del vehículo = tempo de servco H para el clente s [ e, l ] = ventana de tempo para el clente = tempo de nco de la ventana de tempo para el a clente b clente = tempo de cerre de la ventana de tempo para 3.1 INDICES Los índces del modelo son: = nodo de partda (1,2,..,n) = nodo de llegada (1,2,., n) n = nodos totales = Vehículo (1,2,., K) 3.2 Varables Las varables que se defnen son: 3.4 MODELO [2].[3] Mnmzar A Sueto a: K n n x y H, y =,, + 0 C, y (, ) _ A, ;, (2) y = 1 ; (3), y = 1 ; (4), (1) x, = 1 s se asgna el vehículo para recorrer el arco del nodo al nodo. cero(0) de lo contraro. y = 1 s se realza el recorrdo desde hasta o cero, (0) de lo contraro. K= Número de vehículos a utlzar. p = tempo de nco del servco para el clente y = n n 0, y =,0 (5) (6)

3 Scenta et Technca Año XIV, No 39, Septembre de Unversdad Tecnológca de Perera. 231 n x d n ( ), p + p a x e n p s x u ; (7), t +, (8) p y (9), l b x, n (10) 4. DATOS DEL PROBLEMA Numero de clentes: 20 Cada vehículo tene una capacdad d de 100 undades Costo por vehículo : 1000 Tempo de servco: 10 La tabla 1 presenta los requermentos de los clentes Clente Requermento Clente Requermento Tabla 1. Requermentos de los clentes y Q Q, Q (11) La tabla 2 presenta los tempos comprometdos para la entrega y los tempos de servco. subconunto Q de (1,2,.n) K (12) y, { 0,1} ; (,) A (13) x, { 0,1} ; (,) A, (14) El conunto A se defne como A ={ (,) : y = 1 }, La restrccón (2) se encarga de hacer oblgatora la asgnacón de un vehículo a la ruta (,), 1 s esta es recorrda, y 0 s no. Las restrccones (5) y (6) ndca que es la cantdad de vehículos utlzados en la solucón y que todos los que parten del almacén deben regresar al msmo. La restrccón (7) garantza que los vehículos no sobrepasen su capacdad. La restrccón (8) garantza que el vehículo cumpla con las ventanas de tempo. La restrccón (9) oblga a que p = 0 cada vez que el vehículo no vsta al clente La restrccón (10) vgla que la solucón no contenga cclos usando los nodos 1,2, n. La restrccón (11) lmta el número de vehículos a usar. Las restrccones (12) y (13) ndcan que las varables son bnaras. Clente Tempo Entrega T empo servco Clente Tempo Entrega Tempo servco Tabla 2. Tempos prometdos de entrega y tempos de servco La tabla 3 y 4 presentan las dstancas (costo) para moverse entre clentes Tabla 3. Dstancas(costo) de moverse entre clentes

4 232 Scenta et Technca Año XIV, No 39, Septembre de Unversdad Tecnológca de Perera Tabla 4.dstancas(costo) de moverse entre clentes 5. DETERMINACIÓN DE LAS SECUENCIAS DE ENTREGA Las secuencas de entrega de cada vehículo se determnan utlzando la heurístca R[4]. Ésta heurístca toma algunos eventos y elementos que ntervenen en un partdo de fútbol (campo de uego, balón, ugadores). El campo de uego es el espaco de solucones posbles, las poscones del balón y de un grupo de ugadores son solucones buenas y malas del problema. Cuando se nca el partdo de fútbol la prmera poscón del balón se toma como prmera solucón del problema y se guarda como la meor solucón hasta el momento. Ahora las poscones que tenen los ugadores que están cerca o leos del balón, son tambén posbles solucones canddatas del problema, las cuales se deben comparar con la meor solucón hasta el momento. S alguna de ellas la supera, pasa temporalmente a ser la meor hasta ahora. Segudamente los ugadores tratan de apoderarse del balón, y para lograr este obetvo se tenen que desplazar (cambar de poscón). Estas nuevas poscones o pasos son comparados con la meor solucón calculada hasta el momento. En caso de ser superada, será reemplazada. Es posble que algunos de los ugadores tengan que realzar más movmentos para buscar el balón. El escenaro anteror, se repte contnuamente durante el partdo, con la partculardad que el balón va ocupando nuevas poscones en el campo de uego e nclusve se puede dar el evento que se reptan algunas. Y para cada una de estas nuevas poscones del balón aparecen los msmos( en cantdad y posblemente en poscón) y/o nuevos ugadores. Después de correr todos los escenaros, se presenta como solucón del problema la meor explorada hasta ese momento. El número de teracones depende del número de poscones del balón que el nvestgador defne prevamente. El tempo entre teracones depende del número de ugadores y de las poscones que éstos toman con respecto a la poscón del balón. En conclusón, el número de poscones del balón y el número de ugadores depende del tempo que tenga el nvestgador de esperar la respuesta. 5.1 PRESENTACIÓN DE LA HEURÍSTICA R. 1. Defnr el número de poscones del balón y número de ugadores 2. Generar una solucón ncal como prmera poscón del balón 3. Guardar esta secuenca como la meor hasta el momento 4. S el número de poscones del balón no se han agotado hacer lo sguente: Generar los ugadores a partr de la poscón del balón Hacer que cada ugador se mueva hacía el balón y evaluar cada movmento: Sí el movmento supera al meor, hacer este como el meor Generar una nueva poscón del balón a partr de la meor secuenca y evaluar: Sí la poscón supera la meor, hacer ésta como la meor Retornar al paso MECANISMOS DE PERTURBACIÓN 1. Generacón de la nueva poscón del balón: Para generar la nueva poscón del balón se perturba la meor solucón que se lleva hasta el momento, selecconando de manera aleatora dos elementos de esta secuenca y se ntercamba de poscón. 2. Generacón de las nuevas poscones de los ugadores: Se genera la nueva poscón para cada ugador perturbando la poscón del balón, selecconando de manera aleatora dos elementos de esta secuenca y se ntercamba de poscón. 3. Movmento de los ugadores: Cada movmento de los ugadores se hace perturbando de manera sstemátca un elemento a la vez de la secuenca que representa la poscón actual, buscando calcar la secuenca de la poscón del balón. Se observa que se utlzan dos mecansmos de perturbacón aleatoros y uno sstemátco. En el cuadro 1, se presenta gráfcamente la heurístca y el cuadro 2, muestra las convencones respectvas.

5 Scenta et Technca Año XIV, No 39, Septembre de Unversdad Tecnológca de Perera. 233 explorar la secuenca con los clentes que no han sdo asgnados a una ruta o vehículo. La heurístca genera múltples secuencas que son exploradas, guardando la de mínmo costo. Al eecutar la heurístca se encontró como meor programacón de vehículos la sguente: El almacén se dentfca como el nodo 0. Cuadro1. Representacón gráfca de la heurístca R. Poscón del balón Poscón del ugador Cuadro 2 Convencones del gráfco. Para la aplcacón de la heurístca se desarrolló un programa en Vsual Basc para Excel donde el usuaro puede defnr el tamaño de su matrz de dstancas y los parámetros de entrada que el método requere. Se asumó los sguentes valores para los parámetros: Parámetros: Poscones del balón: 100 Número de ugadores: 3 Para eecutar la heurístca se utlza la matrz de costos (dstancas) determnada por Restrepo y Sánchez( 1 ) y los datos correspondentes al problema RESULTADOS La heurístca resuelve el problema generando una secuenca que luego ella explora evaluando el modelo matemátco. Ella utlza el valor de la dstanca como tempo para r de un lugar a un lugar. cuando llega temprano, utlza como tempo de nco de servco p el tempo prometdo. Cuando el clente esta dentro del tempo, se evalúa la capacdad del vehículo. S el clente cumple con ambos requstos es adconado a la ruta del vehículo. el proceso se repte para cada clente, garantzando que todos sean evaluados para la ruta del vehículo. cuando un vehículo ya no puede admtr nngún clente en su ruta, se genera otro vehículo para Vehículo 1: 0,5,4,8,0 Costo ruta: 2531 Q: 52 Vehículo 2: 0,10,3,0 Costo ruta: 2872 Q: 26 Vehículo 3: 0,2,14,0 Costo ruta: 3080 Q: 25 Vehículo 4: 0,9,0 Costo ruta: 2311 Q: 49 Vehículo 5: 0,13,0 Costo ruta: 2200 Q: 15 Vehículo 6: 0,11,0 Costo ruta: 2200 Q:13 Vehículo 7: 0,7,6,0 Costo ruta: 2420 Q: 77 Vehículo 8: 0,1,0 Costo ruta: 2531 Q: 15 Vehículo 9: 0,12,15,0 Costo ruta: 2640 Q: 73 Vehículo 10: 0,16,0 Costo ruta: 1980 Q: 21 Vehículo 11: 0,18,19,0 Costo ruta: 2070 Q: 56 Vehículo 12: 0,17,0

6 234 Scenta et Technca Año XIV, No 39, Septembre de Unversdad Tecnológca de Perera. Costo ruta: 1760 Q: 49 Vehículo 13: 0,20,0 Costo ruta: 1910 Q:29 El costo total de la programacón de vehículos es: Costo total de la ruta: Costo por vehículo: 1000* 13 = Costo total del programa: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES El problema VRPTM es un problema compleo que lmta las posbldades de programacón por las restrccones de capacdad y el cumplmento de los tempos prometdos a los clentes. Se recomenda utlzar metodologías como las metaheurístcas para observar su comportamento frente al tempo de computo y la solucón encontrada. 7. BIBLIOGRAFÍA [1]Agulera Jorge, Cálculo de rutas de vehículos con ventanas temporales(vrptw), doctorado/trabaos_pdf/jorge_agulera_vrptw.pdf [2]Cordeau J.F, Desaulners Guy, Desrosers Jacques, Solomon Marus, Soums Francos,The VRP wth Tme Wndows, /data/artcles/vrptw.ps. [3]Restrepo Jorge Hernán, Medna Pedro Danel Un problema logístco de ruteo de vehículos y una solucón con la heurístca R: Un caso de estudo. Scenta Technca. Año XIII - Número 37 - Dcembre de 2007 Pag 407 [4]Restrepo Correa Jorge Hernán, Sánchez Castro John Jaro. Aplcacón de la teoría de grafos y el algortmo de dstra para determnar las dstancas y las rutas más cortas en una cudad. Scenta et Technca Año X, No 26, Dcembre 2004, Pag 121