Nuevos Modelos Probabilísticos. de Localización de Servicios de Emergencias 1

Transcripción

1 Departamento de Estadístca y Matemátca Aplcada Nuevos Modelos Probablístcos de Localzacón de Servcos de Emergencas Fernando Borrás Rocher Memora para optar al grado de Doctor por la Unversdad Mguel Hernández, realzada bao la dreccón de los doctores D. Jesús T. Pastor Curana y D. Marc Almñana Alemany del Área de Estadístca e Investgacón Operatva de la Unversdad Mguel Hernández. San Juan, a 9 de Juno de 2 Este trabao ha sdo parcalmente subvenconado por el Insttuto de Cultura JUAN GIL-ALBERT a través de una ayuda a la nvestgacón para la realzacón de Tess doctorales de la convocatora del año 999.

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3 D. JESÚS T. PASTOR CIURANA, Catedrátco de Estadístca e Investgacón Operatva y D. MARC ALMIÑANA ALEMANY, Ttular de Unversdad de Estadístca e Investgacón de la Unversdad Mguel Hernández, CERTIFICAN: que la presente memora "Nuevos Modelos Probablístcos de Localzacón de Servcos de Emergencas" ha sdo realzada bao nuestra dreccón en el Departamento de Estadístca y Matemátca Aplcada de la Unversdad Mguel Hernández, por D. Fernando Borrás Rocher, y consttuye su Tess para optar al grado de Doctor por la Unversdad Mguel Hernández. Y para que conste, en cumplmento de la legslacón vgente y a los efectos oportunos, frmamos la presente, en Elche a vente de Juno de dos ml. Fdo: Jesús T. Pastor Curana Fdo: Marc Almñana Alemany

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5 AGRADECIMIENTOS Quero epresar todo m agradecmento a los Profesores D. Jesús Tadeo Pastor Curana y D. Marc Almñana Alemany que a través de esta memora me permteron ncarme en el compleo mundo de la nvestgacón, hecho que habría sdo mposble sn su respaldo y apoyo. Culmnar este trabao ha necestado de la ayuda y del alento de dferentes personas, que me permteron no desfallecer en su realzacón. Vaya desde aquí m más profundo agradecmento para todos ellos.

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7 AGRAÏMENTS Als meus pares, Fernando Eloda, per l esforç que han fet durant tota la meua vda, el qual em va permetre estudar aconsegur la llcencatura en Cènces Matemàtques. Perquè, com ells mateos duen, els bancals es poden vendre, però el que t hem donat no ho podràs vendre ma. A la meua dona, Lorena, que ha patt tot aquest procés no ha pogut gaudr tot el que voldra de la meua companya. Aquesta memòra està dedcada als meus flls, Ferran Isabel, encara que han posat molts entrebancs perquè aquesta memòra arrbara a bon terme.

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9 Presentacón El proyecto de Tess Doctoral "Nuevos Modelos Probablístcos de Localzacón de Servcos de Emergencas", que se presenta a contnuacón, recurre a las tres técncas más comunes para analzar la ubcacón de undades de emergenca: modelos lneales enteros, smulacón de sstemas y modelos basados en la teoría de colas. En esta memora se pretende aunar las tres vías, hasta ahora bastante nconeas, y realzar contrbucones en el campo del estudo de modelos de cubrmento total probablístco, que ncluye tanto su dseño como su resolucón computaconal. Este tpo de modelos asume la demanda del servco dscretzada, así como la estenca de un número fnto de estacones de servco. Además, la probabldad de que una llamada de emergenca sea atendda dentro de un certo ntervalo de tempo debe ser al menos tan alta como el nvel de fabldad fado a pror. Más en concreto, buscamos modelos que mnmcen el número de undades de emergenca (ambulancas, coches de bomberos, patrullas polcales, coches grúas, etc.), cumplendo con las restrccones de que el nvel de fabldad sea mayor que un certo nvel prefado para cada zona de demanda, y capaces de proporconar buenas solucones, con tempos moderados, para grandes nstancas de los modelos. La coneón de las tres herramentas se efectuará verfcando, a posteror, s la confguracón de vehículos obtenda, resolvendo un modelo lneal entero, alcanza el nvel de fabldad prefado, usando para tal fn un smulador de sstemas de emergenca y/o la resolucón de un sstema de ecuacones no lneales, basado en los sstemas en equlbro de los modelos de la teoría de colas.

10 Todos los nuevos modelos de cubrmento total probablístco que se presentarán, unto con los ya estentes en la lteratura, resultarán ser partcularzacones del modelo de cubrmento total generalzado. Dcho modelo pertenece al campo de la programacón lneal entera y, en consecuenca, su resolucón no es senclla debdo a la ntegraldad de las varables. En la resolucón de problemas de programacón entera se utlzan comúnmente esquemas de ramfcacón y acotacón. El éto de estos métodos depende de la rapdez con la que se encuentre una buena solucón factble que permta descartar muchos nodos del árbol de ramfcacón. Con estas deas desarrollaremos técncas de obtencón de buenas solucones factbles medante heurístcos greedy y aquellos basados en la relaacón lagrangana, una de las técncas más usadas en la resolucón de problemas de optmzacón combnatora. Para la consecucón de los obetvos planteados ha sdo necesara la sguente secuencacón de tareas: - Realzar una profunda revsón bblográfca de los modelos lneales enteros estentes en la lteratura para ubcar el menor número de undades de servco bao restrccones de fabldad. - Revsar la lteratura especalzada en lo referente a los modelos basados en la teoría de colas, que permten analzar más detalladamente el comportamento de los sstemas de emergenca. - Estudar las dferentes smulacones de sstemas de emergenca aparecdas en las revstas centífcas, como últmo recurso para modelzar su etrema compledad. - Implementar computaconalmente los dferentes modelos lneales enteros para poder analzar el comportamento de las confguracones de vehículos obtendas. - Dseñar y construr un modelo, medante smulacón, que reproduzca la aleatoredad de un sstema de emergenca desde la llegada de cada llamada, la consguente asgnacón de la undad que la atende de acuerdo con el estado del sstema, hasta la duracón de cada servco.

11 - Obtener una solucón apromada a la dada por el smulador medante la resolucón de un sstema de ecuacones no lneales basado en un modelo de colas bao una de las hpótess alternatvas: - Independenca entre las undades de servco. Esta hpótess, curosamente, no es muy restrctva en los sstemas de emergenca poco congestonados. - Dependenca entre las undades de emergenca. Esta hpótess es mportante en el estudo de sstemas con cargas de trabao muy altas. - Valorar las dferencas estentes entre la smulacón y el sstema de ecuacones no lneales del modelo. - Detectar las defcencas en los modelos estentes en la lteratura revsada s las hubera, es decr, verfcar s las confguracones de vehículos cumplen con las restrccones de fabldad. - Dseñar nuevos modelos basados en cubrmento múltple, cuya característca es la de obtener la fabldad requerda a pror, determnando el número mínmo de undades de emergenca necesaras en el entorno de cada nodo demanda. Los modelos construdos deben asegurar el cumplmento de las restrccones de fabldad ndvduales a posteror y ser una cota superor lo más cercana posble al número mínmo de undades necesaras para atender todas las demandas dentro del nvel de fabldad prefado, bao la hpótess de ndependenca o de dependenca entre las dstntas undades de emergenca. - Construr nuevos modelos basados en cantdad de cubrmento, cuya caracterzacón es la de obtener la fabldad requerda a pror, determnando la cantdad de cubrmento que debe ser satsfecha en el entorno de cada nodo demanda y el cubrmento aportado por la ubcacón de dferentes undades de emergenca en cada estacón. Los modelos construdos deben asegurar el cumplmento de las restrccones de fabldad ndvduales a posteror y ser una cota superor lo más cercana posble al número mínmo de undades necesaras para atender todas las demandas dentro del nvel de

12 v fabldad prefado, bao la hpótess de ndependenca o de dependenca entre las dstntas undades de emergenca. - Realzar un estudo comparatvo de la efcenca de los dferentes modelos de cubrmento total probablístco analzados y etraer las conclusones pertnentes. - Construr un modelo general que ncluya todos los modelos de cubrmento total probablístco, tanto modelos basados en el cubrmento múltple, obtendos al convertr una restrccón no lneal en una restrccón lneal equvalente, como los basados en cantdad de cubrmento, que se formulan medante restrccones lneales a partr de argumentos probablístcos. - Dseñar un heurístco para obtener solucones en un tempo de eecucón razonable de los modelos construdos, basado en las sguentes etapas: a) Obtencón de una cota superor ncal medante un procedmento heurístco greedy. b) Cálculo de una cota nferor ncal medante un heurístco de ascenso dual. c) Meora de la cota nferor medante un procedmento subgradente que comenza con el últmo vector de multplcadores lagranganos calculado (en la prmera aplcacón del procedmento se utlza la solucón obtenda en la fase b). d) Meora de la cota superor medante un procedmento heurístco greedy basado en las varables duales cuando la cota nferor es meorada en la fase c). e) Crteros de parada del procedmento teratvo. S los crteros de parada no son satsfechos, las fases c) y d) son repetdas hasta que se verfque algún crtero de parada. - Valorar la efcenca de la mplementacón del algortmo desarrollado comparando su solucón con la solucón óptma obtenda medante un proceso de ramfcacón y acotacón. Los capítulos que conforman esta memora y un resumen de su contendo son:

13 v Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas: Descrpcón de la evolucón y del estado actual de la nvestgacón en el campo de la ubcacón de servcos bao restrccones de cubrmento y fabldad, revsando los tres dseños báscos estentes: modelos lneales enteros, smulacón y sstemas de colas. Capítulo 2. Nuevos Modelos de Cubrmento total Probablístco: Descrpcón de las defcencas de los modelos estentes medante la evaluacón de la fabldad a posteror de la confguracón de vehículos, recurrendo tanto al smulador del sstema de emergenca como a la resolucón de sstemas de ecuacones no lneales basado en modelos de colas. Formulacón de nuevos modelos de cubrmento probablístco, basados en cubrmento múltple o en cantdad de cubrmento, cuyo comportamento sea meor en el cumplmento de las restrccones de fabldad ndvduales y sea una cota superor lo más cercana posble al número mínmo de undades necesaras para atender, con las fabldades requerdas, las llamadas de emergenca del sstema. Capítulo 3. Modelo del Cubrmento Total Generalzado: Formulacón del modelo de cubrmento total generalzado y presentacón de los dferentes problemas que unfca. Descrpcón del heurístco, basado en la relaacón lagrangana, presentado para su resolucón y de la eperenca computaconal, sobre una coleccón de problemas de dferente dmensón y estructura, para evaluar la efcenca del algortmo. Capítulo 4. Conclusones. Eposcón de las conclusones obtendas e ntroduccón de las futuras líneas de nvestgacón. En últmo lugar, las nstancas de menor tamaño utlzadas, quedan perfectamente descrtas en el apéndce A. Por otra parte, en el apéndce B se presentan algunos de los lstados de los programas de ordenador, mplementados en lenguae FORTRAN y C, que se corresponden con dferentes rutnas utlzadas a lo largo de esta memora.

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15 Índce. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas... Introduccón El problema del cubrmento total El problema del cubrmento mamal El problema del cubrmento mamal con dferencacón de vehículos Modelzacón de servcos de emergenca como un sstema de colas Modelzacón de servcos de emergenca medante smulacón Nuevos Modelos de Cubrmento total Probablístco. 2.. Introduccón El smulador del Sstema de Emergenca El sstema de ecuacones no lneales del Sstema de Emergenca Comparatva computaconal entre el smulador y la resolucón del sstema de ecuacones no lneales Nuevos modelos de Cubrmento total Probablístco basados en cubrmento entero Modelos estentes: el Bnomal y el Queueng Probablstc Locaton Set Coverng Problem El Posson Probablstc Locaton Set Coverng Problem El Revsed Bnomal Probablstc Locaton Set Coverng Problem El Revsed Posson Probablstc Locaton Set Coverng Problem Nuevos modelos de Cubrmento total Probablístco basados en cantdad de cubrmento Modelo estente: El Posson Relablty locaton set coverng problem El Bnomal Relablty locaton set coverng problem (BRLSCP) El Queueng Relablty locaton set coverng problem (QRLSCP) Comparacón global entre los modelos de cubrmento total probablístco... 84

16 v 3. Modelo del Cubrmento Total Generalzado. 3.. Introduccón y formulacón Propedades báscas del GSCP (Generalzed Set Coverng Problem) Casos partculares del GSCP Un heurístco para el GSCP Obtencón de la cota superor ncal Obtencón de la cota nferor ncal Procedmento de meora de la cota nferor Procedmento de meora de la cota superor Crteros de parada Resultados computaconales Conclusones... 3 Referencas...43 Apéndce A. Lstado de redes utlzadas...59 Apéndce B. Lstado de programas...6 Smulador Sstema de Emergencas...62 Resolucón sstema de ecuacones no lneales Sstema de Emergenca...72

17 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas.. Introduccón. Los servcos de emergencas, tales como ambulancas, bomberos o reparacones urgentes operan en un entorno compleo debdo a la varabldad, tanto temporal como espacal, de la demanda que debe ser atendda. Durante los últmos trenta años, estos servcos se han benefcado del desarrollo de dferentes modelos de nvestgacón operatva aplcados a la localzacón de estacones y vehículos de emergencas. La modelzacón aplcada a la ubcacón de servcos de emergencas se estructura a partr de una red de nodos y arcos. Los nodos pueden representar tanto a los puntos de demanda, como a las posbles ubcacones de las estacones de servco. El arco que conecta cada par de nodos representa el camno más corto entre ellos. La fnaldad de estos modelos es encontrar la meor ubcacón de las estacones, así como la determnacón de los dferentes tpos de vehículos estaconados en ellas. Estos modelos pueden ser clasfcados en dos grandes bloques según el tpo de obetvo utlzado: Modelos de cubrmento, basados en que el nodo demanda se consdera cuberto s este un servco de emergenca a menos de una dstanca máma S, o s el nodo demanda puede ser atenddo dentro de un tempo mámo S con determnada probabldad. Modelos de la p-medana, basados en la mnmzacón del tempo medo de respuesta del servco de emergenca sobre la red, donde por respuesta se entende el tempo

18 2 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca transcurrdo desde que se recbe la llamada hasta que el vehículo llega al nodo demanda solctante. Los modelos de la p-medana no son enteramente satsfactoros dentro del conteto de los sstemas de emergencas, dado que pueden dar solucones en las cuales algunos puntos demanda se stúan ecesvamente aleados de la estacón más cercana. El mayor auge de los modelos de cubrmento se debe al hecho de recoger más eplíctamente las regulacones estentes en el ámbto de los sstemas de emergencas. De hecho, la regulacón asocada con la Emergency Medcal Servce (EMS) Act (973) amercana ndca que el número adecuado de vehículos de emergenca es aquel que permta que el 95% de las solctudes de asstenca puedan ser atenddas en menos de 3 mnutos en zonas rurales y en menos de mnutos en áreas urbanas. El orgen de esta regulacón está en un nforme de la Carnege Commsson on Hgher Educaton de 97. En dcho dctamen se egía que los 55 hosptales que ban a ser ubcados a lo largo de todo el país, debían ser localzados de forma que el 95% de la poblacón estuvese a menos de una hora en coche. Por otra parte, la Insurance Servces Offce (ISO) (974) ha dctado normas para la proteccón contra-ncencos que son smlares a las dadas por la EMS Act, ecepto que son dadas en térmnos de dstancas y no ncluyen la especfcacón del 95%. La respuesta estándar a un ncendo determna el número de coches-csterna y el número de cochesescalera que son necesaros tener ubcados dentro de una dstanca prefada respecto del nodo demanda, tanto para los coches-csterna como para los coches-escalera. Los requermentos varían drectamente con el fluo de agua requerdo, en galones por mnuto ( galón 4.5 ltros), refleando el tamaño del ncendo, que generalmente es determnado por el tpo de edfco en la zona ncendada. En la tabla sguente se presenta el número necesaro de coches-csterna y coches-escalera para dar una respuesta estándar según el tamaño del ncendo. Por eemplo, para un tamaño de ncendo cuyo fluo de agua requerdo es de menos de 2 galones por mnuto, se debe tener ubcados en un entorno de 4 mllas, 2 cochescsterna; y en un entorno de 2 mllas, coche-escalera.

19 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 3 Tabla. Respuesta estándar (ISO,974) Fluo de agua requerdo, Coches- csterna Coches-escalera en galones por mnuto Número Mllas Número Mllas Menos de Tradconalmente, las tres vías para abordar el problema de la ubcacón de las undades de emergenca respecto al concepto del cubrmento han sdo: la modelzacón de los sstemas medante formulacones lneales enteras, basadas en certas smplfcacones de los sstemas de emergenca. Modelos basados en teoría de colas, que permten analzar más detalladamente el comportamento de los sstemas de emergenca. Smulacón del sstema como últmo recurso para modelzar su etrema compledad. En las seccones sguentes se realzará una revsón del estado en que se encuentra la nvestgacón en las dferentes áreas.

20 4 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca.2. El problema del cubrmento total. El prmer modelo en la secuenca de modelos de cubrmento aplcado a la localzacón de servcos de emergenca es el Locaton Set Coverng Problem (LSCP) (Toregas et al., 97). El obetvo del LSCP es determnar la ubcacón del menor número posble de estacones de emergenca de forma que cada punto demanda tenga una estacón no más allá de una dstanca o tempo S. La formulacón del problema es la sguente Mn J (. ) s.a. N I {,} J, (. 2) (. 3) donde: J es el conunto de potencales ubcacones de servcos de emergenca; I es el conunto de nodos cuya demanda debe ser atendda; d es la dstanca que separa el nodo del potencal puesto de servco ; S es el tempo o dstanca máma permtda para que una llamada de emergenca se consdere cuberta; N = { J/ d S} es el conunto de ubcacones potencales que pueden servr al nodo dentro del tempo mámo o dstanca permtda S;, s una estacón es ubcada en el lugar =, en caso contraro. El obetvo (. ) mnmza el número de estacones necesaras de manera que, de acuerdo con (. 2), cada nodo demanda tenga al menos un servco de urgencas dentro de la dstanca máma S. Fnalmente (. 3) determna el carácter bnaro de las varables, es decr, establece los puestos de servco en funconamento ( = ) y los nactvos ( = ). Para resolver este problema los autores recurren a una técnca basada en la resolucón del problema lneal relaado y la adcón, s fuera necesaro (sólo el 5% de los casos según su eperenca), de un corte adconal que elmna resultados fracconaros, basado en que la funcón obetvo sea menor o gual que el valor entero por defecto de la solucón del problema lneal. El aparente éto de la adcón del corte sólo es eplcable por el hecho de trabaar con problemas de tamaño reducdo. No obstante, es posble encontrar muchos eemplos en los

21 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 5 cuales el corte no conduce a nnguna solucón entera (véase Pastor (993)). En 972 y 973, Toregas y Revelle publcan dos trabaos donde ntroducen técncas de reduccón para consegur que el LSCP sea más fácl de resolver en problemas de mayor tamaño. Desafortunadamente, la estacón más cercana no sempre está dsponble cuando una llamada llega al sstema. En la localzacón de servdores en sstemas congestonados, el LSCP puede ser usado, en un prmer paso, para determnar la ubcacón de las estacones, pero no es capaz de determnar cuántos vehículos deben ser asgnados a cada base. Algunas veces, un únco vehículo en cada estacón selecconada puede ser bastante para cubrr las necesdades del sstema, s aseguramos que cada nodo demanda pueda ser servdo por dferentes estacones dentro del tempo S. Por esta razón un grupo de modelos se han drgdo al problema del cubrmento múltple. Berln (974) y Daskn y Stern (98) buscan el óptmo alternatvo al LSCP con el que se obtene el mayor número de cubrmentos adconales sobre el conunto de todos los nodos demanda. Matemátcamente, su formulacón es: Ma s.a. r I N J r = = p (. 7), J + r, r Z I, (. 8) donde: r es el número de estacones adconales capaces de responder a una llamada en la zona en un tempo menor o gual a S; { } I (. 4) (. 5) (. 6) p es el número de estacones a ubcar de forma que cada nodo demanda sea cuberto al menos una vez, es decr, la solucón óptma del LSCP. El defecto de esta formulacón es que mamza el total de cubrmentos redundantes sn tener en cuenta la magntud o el número de llamadas de cada nodo demanda. Benedct (983) y Eaton et al. (986) corrgen esta defcenca y encuentran el óptmo alternatvo al LSCP que mamza la suma de cubrmentos adconales ponderado por la frecuenca de llamadas de cada nodo. Es decr, en el modelo anteror, susttuyen (. 4) por el sguente obetvo

22 6 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca donde: Ma f r I f es el número o frecuenca de llamadas efectuadas desde el nodo demanda. (. 9) Otra desventaa de estos modelos es que los cubrmentos adconales pueden concentrarse en algunos nodo demanda, deando otros con un únco servdor. Hogan y ReVelle (986) mamzan el número de nodos con un segundo servdor (prmer recubrmento) en su BAckup COverage Problem (BACOP). Su modelo es smlar al anteror, úncamente reemplazan la restrccón (. 5) por N donde ahora r es una varable bnara, con r I, (. ) r, s el número de servdores es mayor o gual a 2 =, en caso contraro. El sguente paso natural dado por los nvestgadores consstó en ncorporar en los modelos de localzacón la dsponbldad de los servdores. Chapman y Whte (974) formulan la prmera versón probablístca del LSCP. En su modelo, para cada zona demanda, la probabldad de ser atenddo dentro de un tempo S es oblgada a ser mayor o gual que un certo nvel de fabldad prefado α, habtualmente un número prómo a. Su modelo puede ser formulado como: Mn J (. ) (. 2) N s.a. ρ α I + (. 3), Z J, donde: ρ es la fraccón de ocupacón meda, es decr, una estmacón de la probabldad de que un servdor esté atendendo una llamada en el sstema; es el número de vehículos a ubcar en la estacón. La funcón obetvo (. ) mnmza el número de vehículos necesaros para satsfacer las restrccones de fabldad mpuestas. Bao la hpótess de que los servdores actúan ndependentemente, el conunto de restrccones (. 2) mpone que la probabldad de ser

23 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 7 atenddo dentro del tempo de desplazamento S para un nodo demanda es gual al complementaro de no poder ser servdo por los vehículos ubcados en un entorno de rado S y oblga a esta probabldad a ser mayor que el nvel de fabldad prefado α. (. 3) defne las varables como enteras, permtendo ocuparse drectamente del número de vehículos necesaros en cada base. Es evdente, que cuando dcho número es, la base está nactva. El modelo presentado es no lneal, aunque es lnealzable tomando logartmos. Para resolver este modelo es obvo que necestamos una estmacón a pror de ρ. Esta estmacón plantea seras dfcultades, ya que la fraccón de ocupacón meda depende del número total de llamadas generadas por el sstema y del número total de vehículos ubcados. Es decr, sólo se conoce eactamente a posteror, una vez resuelto el modelo planteado. ReVelle y Hogan (988) presentan el Bnomal Probablstc Locaton Set Coverng Problem (BPLSCP) un modelo que ntenta elmnar la lmtacones del modelo anteror consderando que la fraccón de ocupacón de cada vehículo es unforme para cada nodo demanda. Utlzando la ecuacón propuesta por Daskn (983), defnen la fraccón de ocupacón local basada en cada nodo demanda como: ρ t = 24 k M N f k I, (. 4) donde: f es el número o frecuenca de llamadas del nodo demanda (en llamadas por día); t es la duracón meda de un servco de emergenca (en horas); M = {k I/ d k S} es el conunto de nodos demanda que están ubcados en un entorno de rado S del nodo. La fraccón de ocupacón local ρ defnda en (. 4) es nterpretada como el cocente entre la cantdad de tempo de servco, meddo en horas, necesaro para atender los nodos demanda stuados alrededor del nodo, calculada como la cantdad de llamadas atenddas por la duracón meda de cada emergenca, y el número daro de horas dsponble para el servco, suponendo que cualquer vehículo está dsponble 24 horas al día. El BPLSCP es formulado como:

24 8 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca Mn J (. 5) s.a. ρ N α, I Z J. (. 6) (. 7) Las restrccones de cubrmento probablístco (. 6) basadas en la dstrbucón bnomal, es decr, en la ndependenca entre los servdores, pueden ser reescrtas como t 24 k M N f k N α I. (. 8) Aunque (. 8) no tene una epresón lneal analítca equvalente, ReVelle y Hogan (988) han encontrado la sguente epresón lneal numérca equvalente: donde: N b I, (. 9) b t = mn n N / k M 24n f k n α. (. 2) La formulacón lneal del BPLSCP queda entonces como: Mn J (. 2) s.a. N b, I Z J. (. 22) (. 23) Batta y Mannur (99) generalzan la formulacón lneal del BPLSCP presentando un modelo donde el cubrmento es alcanzado cuando esten múltples undades de emergenca dspuestas de forma escalonada. Denotando por b la cota superor del número de undades necesaras para responder una solctud de servco del nodo y S k el tempo estándar para una llamada requrendo k estacones de servco, se asume la sguente relacón: s k < k 2 b, entonces S k < S k 2.

25 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 9 En la Fgura. podemos observar el proceso de generalzacón efectuado respecto del BPLSCP, escalándose la ubcacón de las undades de emergenca necesaras para dstntos nveles de tempo S k. Para S 3 debemos ubcar 3 estacones, b =3, las dos confguracones presentadas serían solucones para el BPLSCP, pero una de ellas no escalona la poscón de estacones al aumentar el tempo. Estacón S Nodo demanda S 2 S 3 S 3 Cubrmento posble para BPLSCP con b =3 Cubrmento posble para BPLSCP con b =3 Cubrmento modelo Batta -Mannur con b =3 Fgura.. Dferenca entre cubrmento BPLSCP y el cubrmento del modelo de Batta-Mannur. La modelzacón propuesta por Batta y Mannur es como sgue: Mn J (. 24) s.a. k N k, Z J, (. 25) (. 26) donde: N k = { J/ d S k } es el conunto de ubcacones potencales que pueden servr al nodo dentro del tempo mámo S k. Obsérvese que este modelo requere la defncón de una red de estacones de servco más densa que el BPLSCP. I, k =,2,...,b Recentemente, Ball y Ln (993) han formulado una nueva versón probablístca del LSCP. Las hpótess de su modelo son: Las llamadas de emergenca se dstrbuyen según una dstrbucón de Posson. T es una cota superor para el tempo de servco.

26 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca El modelo necesta las sguentes defncones: R es un subconunto de ubcacones potencales de estacones en la red. D(R) es el número de llamadas que llegan a U B R durante el ntervalo (t -T,t ), donde B ={ I/ d S} es el conunto de nodos demanda que pueden ser atenddos por la estacón. NA() = I { D(R) R N R } es el suceso aleatoro de que el nodo no sea atenddo en el tempo t dentro de S, es decr, que el número de llamadas que llegan en el ntervalo anteror de longtud T sea mayor que el número de vehículos ubcados. La cadena de desgualdades utlzada para la modelzacón se basa en establecer una cota superor de la probabldad de no ser atenddo para cada nodo demanda y restrngr dcha cota a ser menor que l-α. donde: P I { D(R) } R N R N P(D( ) ) α (. 27) D() es el número de llamadas que llegan a B durante el ntervalo (t -T,t ) y que sgue T una dstrbucón de Posson con meda λ = ( f ) 24 B I, llamadas por hora. La prmera desgualdad se obtene al utlzar que las llamadas generadas son basadas en una dstrbucón de probabldad con la propedad nuevo meor que usado,.e., una varable aleatora no negatva X cumplendo que P(X u+v X u) P(X v) u>, v>. Redefnendo, el número de vehículos a ubcar en la estacón, con las varables k, s k vehículos son ubcados en la estacón =, en caso contraro, y tomando L como el número mámo de vehículos que se pueden ubcar en cada estacón podemos reescrbr (. 27) como L N k= P(D( ) k) L k= k k α I J. (. 28) (. 29)

27 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas La restrccón (. 28) mpone la condcón de que la probabldad de que una llamada de emergenca desde un nodo demanda cualquera no sea atendda debe ser nferor a la cota -α. Las restrccones (. 29) son necesaras para convertr la varable entera en L varables bnaras y afrma que en cada estacón o no se ubca nngún vehículo o se ubca un número k de vehículos. Tomando logartmos en ambos lados y cambando los sgnos, (. 28) puede ser transformada en una restrccón lneal. La formulacón completa del Posson Relablty Locaton Set Coverng Problem (PRLSCP) de Ball y Ln (993) es Mn s.a. L J k= L N k= k k log(p(d( ) k)) k log( α) I (. 3) (. 3) L k= k k {,} J J, k =,2,...,L. (. 32) (. 33) La últma versón probablístca del LSCP, debda a Maranov y ReVelle (994), se conoce como el Queueng Probablstc Locaton Set Coverng Problem (QPLSCP). En esta versón se modelza el comportamento en cada entorno de un nodo demanda como una cola con llegadas dstrbudas Posson, tempo de servco eponencal y pérdda de llamadas cuando el sstema está saturado. La probabldad de que todos los vehículos dsponbles en el entorno de rado S de un nodo demanda estén ocupados puede ser calculada usando la funcón de probabldad de una Posson truncada de meda λ /µ : P nodo no sea atenddo dentro del tempo S = λ + + µ (. 34) donde: k es el número de undades de emergenca que pueden atender al nodo demanda en no más del tempo estándar S; λ es la meda de llamadas de emergenca, por día, en el entorno de tempo S del nodo, que puede ser calculada como f I ; 2! k! λ µ λ µ 2 k M k k k! λ µ k I,

28 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca 2 /µ es el tempo medo de servco necesaro para atender una llamada, en días, que puede ser calculado como 24 t. Las restrccones de cubrmento probablístco basadas en la dstrbucón Posson truncada, pueden ser escrtas como (. 35) Aunque (. 35) no tene una epresón lneal analítca equvalente, Maranov y ReVelle (994) han encontrado la sguente epresón lneal numérca equvalente: (. 36) donde: (. 37). La formulacón lneal del QPLSCP es análoga a la del BPLSCP, (. 2), (. 22) y (. 23), ecepto en el cálculo de b que utlza (. 37) en lugar de (. 2). Los modelos anterores presentaban la característca de la oblgatoredad de que cada nodo demanda fuese cuberto determnístca o probablístcamente. En la sguente seccón presentaremos modelos donde se optmza el cubrmento, de manera determnsta o probablístca para un número de vehículos fado a pror. ( ) ( ) I.... 2! N N N 2 N!! α µ λ + + µ λ + µ λ + µ λ I, b N. n!... 2! n! N / n mn b n 2 n α µ λ + + µ λ + µ λ + µ λ =

29 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 3.3. El problema del cubrmento mamal. El LSCP requere que cada nodo sea cuberto al menos una vez, crcunstanca que muchas veces no puede ser satsfecha, dado que el número de estacones que deben ser ubcadas para verfcar la restrccón es ecesvo. Además, en muchas ocasones, se ubcan estacones que cubren nodos perfércos con muy poca demanda. Para evtar estos ncovenentes, Church y Revelle en 974, formulan el Mamal Coverng Locaton Problem (MCLP) que mamza el número de llamadas que son atenddas por al menos una estacón cuando se dspone de p estacones, donde p es menor o gual que el valor óptmo del LSCP. En un artículo de ese msmo año, Whte y Case formulan un caso partcular del MCLP, donde se mamza el número de nodos cubertos con p estacones. El MCLP se modelza como Ma f y I (. 38) s.a. N J y = p, y I {,} J, I, (. 39) (. 4) (. 4) donde las varables y parámetros no defndos todava son: p es el número de estacones a ubcar;, s el nodo es cuberto y =, en caso contraro. El obetvo (. 38) mamza el número de llamadas que son atenddas por una estacón ubcada a menos de la dstanca S prefada. Las desgualdades (. 39) egen que un nodo no puede ser cuberto mentras no se haya posconado al menos una estacón en un lugar que dste menos de S undades de dstanca. Con la gualdad (. 4) se asegura que el número de estacones a ubcar sea p. Por últmo, (. 4) eplcta el carácter bnaro de las varables. En 983, Church y Roberts formulan el Weghted Beneft Mamal Coverng Locaton problem (WBMCLP), donde crtcan la curva de benefco relatvo del MCLP, debdo a que nodos cubertos en el rango de a S, presentan un benefco relatvo del % y en cambo, nodos aleados una dstanca S+ε no son consderados cubertos y el benefco, por tanto, es cero.

30 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca 4 S dstanca T R S dstanca S dstanca T R W S W T W R W S W R W T Benefco relatvo Benefco relatvo Benefco relatvo MCLP Curva Curva 2 Fgura. 2 Dferentes curvas de benefco en funcón de la dstanca. La curva del benefco relatvo del MCLP y otras curvas se presentan en la Fgura. 2. La curva representa una funcón escalonada que decrece con la dstanca y que permte evaluar el cubrmento alcanzado de una manera más efcente. La curva 2 presenta una evaluacón más realsta de los servcos de emergenca, consderando como negatvo estar demasado cerca de ellos por las ncomoddades que produce, pero valorando adecuadamente su cercanía. La modelzacón del WBMCLP es como sgue (. 42) (. 43) (. 44) (. 45) (. 46) (. 47) (. 48) (. 49) (. 5) donde: N S-T = { J/ S<d T} es el conunto de ubcacones potencales que pueden servr al nodo entre los tempos mámos S y T; N T-R = { J/ T<d R} es el conunto de ubcacones potencales que pueden servr al nodo entre los tempos mámos T y R; { }, I J,, y, y, y, p N I, y N I, y I y y y I y I y I y s.a. R T T S S J T S R T T S R T T S S R T N T S N S N R T T S = I R T R I T S T I S S y f W y f W y f W Ma

31 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 5 y -S, y S-T, y T-R, s =, en caso contraro. el nodo es cuberto, respectvamente, por al menos una estacón, que no dsta más de S, entre S y T o entre T y R undades de dstanca. La funcón obetvo (. 42) permte establecer medante los pesos W S, W T y W R, dferentes curvas de benefco relatvo. Las desgualdades (. 43), (. 44) y (. 45) condconan que un nodo no puede ser cuberto, mentras no se haya posconado al menos una estacón en un lugar que dste menos de S, entre S y T o entre T y R undades de dstanca. Por su parte (. 46) asegura que el cubrmento de un nodo será ben de [,S], ben de ]S,T] o de ]T,R]. Las restrccones (. 47) y (. 48) son necesaras para poder asegurar que cada nodo es cuberto por la estacón más próma. De hecho, el prmer bloque de desgualdades mpde contar el cubrmento de S a T s hay una estacón ubcada dentro de S y el segundo bloque descarta el cubrmento de un nodo de T a R s hay una estacón ubcada entre S y T. Con la gualdad (. 49) se asegura que el número de estacones a ubcar sea eactamente p. Fnalmente, (. 5) ndca el carácter bnaro de las varables. El MCLP no tene en cuenta s un nodo demanda es cuberto más de una vez. En 982, Storbeck formula el Goal Locaton Coverng Problem (GLCP), basado en la programacón por metas, cuyo obetvo es mamzar el número de llamadas que tene una estacón ubcada a menos de la dstanca S prefada y, adconalmente, mamzar el cubrmento múltple. Su modelo es como sgue: Ma W I f y + I z (. 5) s.a. N J, y z = y = p + z {,} I, I J, I (. 52) (. 53) (. 54) (. 55) donde: z es el número de cubrmentos adconales del nodo, y

32 6 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca W representa un peso sufcentemente grande que propca que en la funcón obetvo (. 5) prmero se mamce el cubrmento y, en segundo lugar, se optmce el cubrmento múltple. Las restrccones (. 52) determnan que el número de servdores del nodo es gual al prmer cubrmento más el cubrmento múltple adconal. Con la gualdad (. 53) se asegura que el número de estacones a ubcar sea p. Por últmo, (. 54) y (. 55) determnan el carácter de las varables. S ben el GLCP consttuye el prmer modelo de cubrmento que aúna dos aspectos hasta entonces nconeos, tambén es certo que presenta certa falta de flebldad. De hecho, busca la solucón con cubrmento mamal que, subsdaramente, ofrezca el mayor cubrmento múltple. Para salvar este nconvenente, Storbeck y Vohra (988) han dseñado el Natural Slack Coverng Problem (NSCP), que recurrendo a la programacón multobetvo, permte el balanceo entre cubrmento mamal y múltple. Ma Ma s.a. z f y I f z I N J k y, y z = y = p {,} I I J, I I, donde: k es el número entero que lmta la cobertura adconal en cada punto demanda. + z (. 56) (. 57) (. 58) (. 59) (. 6) (. 6) (. 62) Para homogenezar la formulacón (. 56) mamza la demanda de llamadas cubertas una vez y (. 57) mamza la suma ponderada por la cantdad de llamadas de cada nodo de los cubrmentos adconales en cada punto demanda. Las restrccones (. 58) determnan que el número de cubrdores del nodo es gual al prmer cubrmento más el cubrmento múltple adconal. Con la gualdad (. 59) se asegura que el número de estacones a ubcar sea p. Las restrccones (. 6) mpden el cubrmento adconal en el caso de que no haya prmer

33 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 7 cubrmento y s lo hay aseguran que el nodo demanda no será cuberto adconalmente más de k veces. Por últmo, (. 6) y (. 62) eplctan el carácter de las varables. Desafortunadamente, la estacón más cercana no sempre está dsponble cuando una llamada llega al sstema, y por tanto, el cubrmento mamal alcanzado por una confguracón de undades de emergenca no permte una evaluacón realsta del sstema. Reconocendo estas defcencas, Daskn (983) formula el Mamum Epected Coverng Locaton Problem, denotado por MEXCLP, donde mamza el cubrmento esperado por el sstema de emergenca. Dcho cubrmento esperado de cada nodo se modelza suponendo que las undades de emergenca actúan ndependentemente y suponendo conocda la fraccón de ocupacón meda ρ del sstema. Matemátcamente: Ma f p I k= ( ρ) ρ k y k (. 63) s.a. N J = p { },,2,..., p J yk {,} I k =,2,...,p, donde: es el número de vehículos ubcado en cada estacón ;, s el nodo es cuberto por al menos k undades de emergenca; y k =, en caso contraro; = p k= y k I (. 64) (. 65) (. 66) (. 67) t ρ = f I 24p es la estmacón de la fraccón de ocupacón meda del sstema. La funcón obetvo (. 63) representa el número esperado de llamadas servdas, sendo el térmno dentro del paréntess la probabldad de que una llamada del nodo sea atendda por el sstema, dependendo de la cantdad de servdores dsponbles dentro del tempo estándar S. Las restrccones (. 64) mponen que un nodo es cuberto por al menos k undades de emergenca, y k = s, y sólo s, k undades de emergenca son ubcadas en el entorno de rado S del nodo demanda. La gualdad (. 65) determna el número de vehículos a ubcar en el sstema. (. 66) y (. 67) determnan el carácter entero de las varables del modelo.

34 8 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca Reconocendo el hecho de que el MEXCLP consume mucho tempo computaconal en la obtencón de la solucón óptma, Daskn en el msmo trabao, desarrolla un heurístco para su resolucón. Posterormente, Saydam y NcKnew (985) reformulan el MEXCLP como un problema de cubrmento esperado mamal no lneal, que permte obtener la solucón óptma rápdamente y realzar etensones para asegurar certo nvel de cubrmento para cada nodo demanda. Batta et al. (989) constatan la neacttud del MEXCLP debda a la smplfcacón asumda por el modelo, la ndependenca entre los servdores. Su versón, denotada por Adusted MEXCLP (AMEXCLP), smplemente susttuye (. 63) por Ma f p I k= Q(p, ρ,k )( ρ) ρ k y k, (. 68) donde los Q(p,ρ,k) son los factores Q de Larson (975) que se presentarán a contnuacón en la seccón.5 dedcada a la modelzacón de los sstemas de emergenca medante colas. Más recentemente, Repede y Bernardo (994) etenden el MEXCLP, denotado por TIMEXCLP, al obeto de nclur dferentes fraccones de ocupacón meda, debdo a su varabldad a lo largo de un día. ReVelle y Hogan (989a) etenden el uso de las restrccones de cubrmento probablístco a la stuacón donde el cubrmento con fabldad α es deseado para el mámo de número de nodos demanda desde donde se producen más llamadas. Este nuevo modelo es llamado Mamum Avalablty Locaton Problem (MALP), basado en el BPLSCP, y su formulacón es Ma s.a. I N J f y y y k k,b b k= = p y y k,k I I k = 2,...,b {,,2,...,p} J {,} I k =,2,..., b, (. 69) (. 7) (. 7) (. 72) (. 73) (. 74)

35 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 9 donde: b y t = mn n N /, b k M 24n f k n α ;, s el nodo es cuberto por al menos b =, en caso contraro. undades de emergenca. La funcón obetvo (. 69) representa el número de llamadas atenddas con fabldad α, aunque en el modelo se obtene el número de llamadas de cada nodo que son cubertas al menos b veces. Las restrcones (. 7) afrman que el nodo es cuberto b veces sólo s hay al menos b undades de emergenca estaconadas dentro del entorno de rado S. El conunto de restrccones (. 72) asegura que el nodo no será cuberto k veces s no es cuberto k- veces. Más recentemente, Maranov y ReVelle (996) han formulado el Queueng Mamal Avalablty Locaton Problem (QMALP), ncorporando al MALP el comportamento en cada entorno de un nodo demanda de una cola con llegadas dstrbudas Posson, tempo de servco eponencal y pérdda de llamadas cuando el sstema está saturado..4. El problema del cubrmento mamal con dferencacón de vehículos. Una nueva sere de modelos han sdo formulados para ntentar reflear con mayor realsmo el comportamento de un sstema de emergencas. El prmer paso fue la generalzacón del cubrmento mamal a la proteccón de ncendos realzada por Schllng et al. (979). Su modelo FLEET (Faclty Locaton, Equpment Emplacement Technque model) localza un número lmtado de coches-csterna y coches con escalera, así como las estacones que los albergan. El obetvo de este modelo es mamzar el número de llamadas atenddas, smultáneamente, por un coche-csterna dentro de la dstanca máma prefada para este tpo de vehículos, S E, y por un coche con escalera dentro de la dstanca máma S T. Matemátcamente, puede ser epresado como:

36 2 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca Ma s.a. E, f y I T E N T N J J J y y = p = p = p S,, y E T E T E T S S S E T S I I J J {,} J, I, (. 75) (. 76) (. 77) (. 78) (. 79) (. 8) (. 8) (. 82) (. 83) donde: S E es la dstanca máma permtda para los coches-csterna; N E = { J/ d S E } es el conunto de ubcacones potencales que pueden servr al nodo dentro del tempo mámo o dstanca permtda para los coches-csterna; S T es la dstanca máma permtda para los coches con escaleras etensbles; N T = { J/ d S T } es el conunto de ubcacones potencales que pueden servr al nodo dentro del tempo mámo o dstanca permtda para los coches con escaleras etensbles; p S, p E, p T son, respectvamente, el número de estacones a ubcar, la cantdad de coches-csterna y la de coches con escaleras etensbles; S, E, T, s coche - csterna o =, en caso contraro. en el lugar son ubcados, respectvamente, una estacón, un un coche - escalera Las restrccones (. 76) y (. 77) determnan que un nodo se consdera cuberto s al menos un coche-csterna y al menos un coche-escalera están, respectvamente, dentro de las dstancas S E y S T. El conunto de restrccones (. 78) y (. 79) permten ubcar los dstntos tpos de vehículos sólo donde se ha localzado una estacón de bomberos. Las gualdades (.

37 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 2 8), (. 8) y (. 82) determnan, respectvamente, el número de coches-csterna, coches-escalera y estacones a ubcar. Por últmo, (. 83) determna el carácter bnaro de las varables del modelo. La etensón probablístca del modelo FLEET fue propuesta por ReVelle y Maranov en 99. En este modelo se mamza el número de llamadas que tene un coche-csterna, dsponble dentro de la dstanca máma prefada para este tpo de vehículos, S E, con fabldad α y un coche con escalera etensble, dsponble dentro de la dstanca máma S T con fabldad α, suponendo ndependenca entre ambos tpos de servdores y suponendo dsponbldad conunta. La formulacón completa del modelo es la sguente: Ma f y I (. 84) s.a. y E,, y E N T N J J J E k T y y y y, y E T E k T k E T E T S S T k e k= t k= y y y y = p = p = p, S S E T S y y E k T k E (e ) T (t ) E (k ) T (k ) + y + y I I, I, J J I I I k = 2,3,...,e k = 2,3,..., t {,} J {,} I, k =,2,...,e ó t, (. 85) (. 86) (. 87) (. 88) (. 89) (. 9) (. 9) (. 92) (. 93) (. 94) (. 95) (. 96) (. 97) donde:

38 22 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca y y E k, y T k, s coches - csterna, o por =, en caso contraro., s por un =, en caso contraro. el nodo demanda es cuberto al menos por k coche - escalera, ambos con fabldad k coches - escalera, respectvamente. el nodo demanda es cuberto por un coche - csterna e = número de coches-csterna que deben ser localzados dentro de la dstanca S E del nodo para asegurar que es cuberto por un coche-csterna con fabldad α. t = número de coches-escalera que deben ser localzados dentro de la dstanca S T del nodo para asegurar que es cuberto por un coche-escalera con fabldad α. α. y El conunto de restrccones (. 85) ndca que el número de veces que cada nodo es cuberto por coches-csterna, es menor o gual que el número de coches-csterna que se localzan en el entorno de rado S E de. El conunto de restrccones (. 86) afrma que el número de veces que cada nodo es cuberto por coches- escalera, es menor o gual que el número de coches-escalera que se localzan en el entorno de rado S E de. La varable y no puede tomar el valor, mentras que no se ubquen en el entorno de rado S E, e cochescsterna y en el entorno de rado S T, t coches-escalera, gracas al conunto de restrccones (. 87), (. 88) (. 89) y (. 9). Las restrccones (. 9), (. 92), (. 93), (. 94) y (. 95) son análogas a las del modelo FLEET. Por últmo, (. 96) y (. 97) determnan el carácter bnaro de las varables del modelo. Maranov y ReVelle (99) presentan el Standard Response Fre Protecton Stng Problem (SRFPSP) que localza un número lmtado de coches-csterna y coches-escalera, así como las estacones que los albergan, con el obetvo de mamzar el número de llamadas que tenen al menos tres coches-csterna dentro de la dstanca máma S E y al menos dos coches-escalera dentro de la dstanca máma S T, que es la respuesta consderada estándar por la Insurance Servces Offce para un ncendo, con un volumen de fluo de agua requerdo de al menos 85 galones por mnuto. El modelo matemátco es el sguente:

39 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas 23 Ma I f y E3T2 (. 98) s.a. y E, y E2, y E T E N T N y y,, y y J J J T E2 E3T2 E3T2 E T E T E T S S E3T2 y y y y y = p = p = p, E T E E2 T S S E T S + y + y E2 E3T2 + y I I I J J {,} J {,} I E3T2 I I (. 99) (. ) (. ) (. 2) (. 3) (. 4) (. 5) (. 6) (. 7) (. 8) (. 9) (. ) donde: y E, y E2, y T, y E3T2, s =, en caso contraro. el nodo demanda es cuberto al menos por un coche - csterna, por dos coches - csterna, por un coche - escalera o por tres coches - csterna y dos coches - escaleras, respectvamente. Las restrccones (. ) y (. 2) mpden el cubrmento por el segundo cochecsterna hasta que no esté cuberto por el prmero y que el tercer cubrmento no puede alcanzarse mentras no se alcance el segundo. Estas dos restrccones en combnacón con (. 99) ndcan que el prmer cubrmento requere uno o más coches-csterna, el segundo cubrmento requere dos o más y el tercero sólo es alcanzado por la presenca de 3 o más coches-csterna. La restrccón (. 3) en combnacón con (. ) ndcan que el prmer cubrmento requere uno o más coches-escalera y el segundo cubrmento requere dos o más. Las restrccones (. 4), (. 5), (. 6), (. 7) y (. 8) son análogas a aquellas en el modelo

40 24 Nuevos modelos probablístcos de localzacón de servcos de emergenca FLEET. Por últmo, (. 9) y (. ) determnan el carácter bnaro de las varables del modelo. La etensón probablístca del modelo SRFPSP fue propuesta por Maranov y ReVelle en 992. En este modelo se mamza el número de llamadas que tenen tres coches-csterna dsponbles dentro de la dstanca máma prefada para este tpo de vehículos, S E, con fabldad α y dos coches con escalera etensble dsponbles dentro de la dstanca máma S T con fabldad α, suponendo ndependenca entre ambos tpos de servdores. Recentemente, ReVelle y Snyder (995) presentan un modelo determnsta que ntegra los servcos de emergencas médcas con los departamentos de bomberos, permtendo la ubcacón de ambulancas en las estacones de bomberos. Como colofón a las seccones.2,.3,.4, donde se han revsado los dferentes modelos de cubrmento aplcados a la localzacón de servcos de emergenca podemos ctar dferentes revsones del tema como las realzadas por ReVelle (989), Schllng et Al. (993) y Maranov y ReVelle (995). En la sguente seccón presentaremos un nuevo enfoque que permtrá descrbr con mayor verosmltud el comportamento de los sstemas de emergenca dada su etrema compledad, es decr, se analzarán modelos descrptvos que permtrán obtener meddas muy precsas de la actuacón de dferentes confguracones espacales de los vehículos.

41 Capítulo. Modelos de Localzacón de Servcos de Emergencas Modelzacón de servcos de emergenca como un sstema de colas. A partr de hpótess apropadas respecto a la llegada de llamadas y de tempos de servcos, se ha analzado, dentro de la lteratura especalzada, un sstema de emergenca con N vehículos como un proceso de Markov con un número fnto de estados contnuos en el tempo. Recordemos que con la notacón de Kendall (953), una cola se representa con una cadena de símbolos A/B/X/Y/Z, donde A ndca la dstrbucón del tempo entre llegadas, usando M para dstrbucón eponencal E k para dstrbucón Erlang tpo k (k=,2,...) G para dstrbucón general B es la dstrbucón de probabldad para el tempo de servco, usando M para una eponencal E k para una dstrbucón Erlang tpo k (k=,2,...) G para una dstrbucón general X es el número de servdores, Y es la capacdad del sstema, y Z es la forma en que los usuaros son atenddos, usando FIFO para Frst In, Fsrt Out(el prmero en llegar es el prmero en ser atenddo) LIFO para Last In, Frst Out(el últmo en llegar es el prmero en ser atenddo) SIRO para Servce In Random Order( atenddos aleatoramente). En este conteto, Larson (974), presenta el Hypercube Queueng Model (HQM), una generalzacón de una cola M/M/N/N/FIFO, que permte la dentfcacón de los vehículos que están ocupados. El modelo supone que los I nodos demanda generan llamadas de emergenca ndependentes sguendo una dstrbucón de Posson con meda f (número de llamadas por undad de tempo). Por tanto, la meda de llamadas por undad de tempo en el total del sstema es: λ = f I (. ) La meda del tempo del servco es /µ, ndependente de la dentdad del servdor, de la localzacón del demandante y de la hstora del sstema. Cada servdor tene dos posbles