NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA Y PLASTICIDAD GENERAL.

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1 77 APÍULO NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL OBEIVOS En la primera pare de ese capíulo, se realiza un repaso general de los concepos principales que son necesarios para abordar el problema de no linealidad geomérica Se presenan diferenes ensores de deformación, poseriormene los correspondienes de ensión y las relaciones principales enre ellos En el párrafo 0, se describe un modelo no lineal geomérico hipoelásico basado en magniudes co-roadas con aplicación a maeriales en general Ese ipo de formulación lleva a ecuaciones consiuivas no siméricas al como se indica en las referencias [9] y [6] En ese rabajo, el auor presena en el párrafo, una susiución en uno de los ensores que surgen del análisis anerior (ecuación (-6 que permie una descomposición adiiva en un simérico y anisimérico (ecuación (-9 ofreciendo una solución al problema de simería denro de cieros límies Ese modelo fue iniciado con la colaboración de uan Manzollillo 5 y erminado de implemenar en compuador durane la presene esis además de epandirlo para problemas ororópicos y ridimensional En la segunda pare, se aborda brevemene el problema plásico en general haciendo un repaso de la eoría A poseriori se eiende el análisis hasa abarcar la formulación en érminos de ensiones co-roadas Se finaliza con algún comenario sobre plasicidad e isoropía EL ANÁLISIS NO LINEAL El análisis de maeriales en general debe separarse enre Lineales y No Lineales uando la deformación de un cuerpo someido a cargas eernas es infiniesimalmene pequeña, y la relación enre las ensiones y las deformaciones es linealmene elásica, las cargas y los Hécor Ariel Di Rado

2 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 78 desplazamienos del cuerpo manienen en odo momeno una relación lineal uando alguno de los supuesos aneriores no se cumple, las cargas y los desplazamienos seguirán una relación no lineal Denro de los problemas no lineales de la mecánica de los sólidos se puede disinguir dos grandes grupos: la No Linealidad Física, y la No Linealidad Geomérica La No Linealidad Física, ambién llamada No Linealidad del Maerial, se presena cuando la relación consiuiva enre ensiones y deformaciones va cambiando para disinos niveles de carga, es decir, no es consane a lo largo del proceso de deformación La no Linealidad Geomérica, en cambio, aparece cuando el cuerpo eperimena grandes desplazamienos o deformaciones, que producen cambios significaivos en su configuración geomérica al avanzar el proceso de carga Por supueso que eisen oros ipos de no linealidad como por ejemplo la que aparece en la mecánica de los sólidos por cambio en las condiciones de borde (o conorno a lo largo del proceso de deformación, pero no serán aquí abordadas El problema básico en el análisis no lineal, es enconrar la configuración carga desplazamieno que garanice el equilibrio del cuerpo en cualquier insane de iempo Esa definición no permie a priori deecar la diferencia con un caso lineal, sin embargo la diferencia subyace en el hecho que ano la geomería como las caracerísicas mecánicas del maerial no permanecen consanes a lo largo de ese iempo como sí ocurría en el caso lineal Uilizando la nomenclaura discrea (eniéndase discrea o en cieros punos elegidos del coninuo que ofrece elemenos finios (se verá en dealle en 5, se busca obener en cada insane el equilibrio enre las cargas nodales eernas y las fuerzas nodales correspondienes a las ensiones inernas del cuerpo Fin F F 0 e in Fe (- En odo análisis considerando no linealidad geomérica, el equilibrio del sisema debe ser alcanzado sobre la geomería acual o deformada del cuerpo Obviamene, como esa es aún desconocida, el equilibrio se planea gradualmene (en forma ieraiva sobre configuraciones inermedias que erminan llevando a la configuración definiiva, ras acepar un ciero valor de error Los problemas a resolver durane la presene son los denominados dependienes de la rayecoria, en los que se requiere resolver la (- en odo el rango de iempo precedene, para lo Hécor Ariel Di Rado

3 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 79 cual se uiliza una solución incremenal paso a paso Eso es debido a que se incluye el problema plásico y al modo en que se ha elegido resolver el problema no lineal geomérico, como se verá más adelane En la solución incremenal paso a paso se asume que la solución para el iempo es conocida y que la relación carga desplazamieno en el incremeno de iempo es lineal: donde K K u F ˆ Fe in (- es la mariz de rigidez del sisema de elemenos finios, angene a la relación carga desplazamieno, y û es el incremeno de desplazamienos nodales (o respuesa que eperimena el cuerpo en el inervalo debido al incremeno F de las cargas eernas: e F e F e F e (- Los desplazamienos nodales al iempo resulan: uˆ uˆ uˆ pudiéndose calcular ambién las ensiones y fuerzas nodales inernas: (-4 F in F in F in (-5 donde F es el incremeno de las fuerzas inernas en el inervalo Debido a que el com- in poramieno real del cuerpo es no lineal, la solución anerior esá sujea a errores, cuya magniud depende del amaño del paso de iempo (o de carga uilizado, por lo ano será necesario ierar hasa que la solución (- sea alcanzada con suficiene precisión Los méodos de ieración ampliamene uilizados en los análisis no lineales de elemenos finios esán basados en la écnica de Newon Raphson En ese rabajo en paricular se opó por uilizar la écnica de Newon Raphson Modificado 6 LA DEFORMAIÓN Una descripción deallada de ese ema puede verse en Simo Hughes 6 (capíulo 7 Se llama deformación al movimieno oal que sufre una fibra de maerial, el cual es resulado de desplazamienos más deformaciones específicas (o elongaciones de la fibra El movimieno o X deformación del cuerpo se describe por una función ϕ (, que represena la posición espacial de la parícula, como una función del iempo, a ravés de las coordenadas espaciales o Eulerianas, dadas por: ϕ ( X, (- Hécor Ariel Di Rado

4 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 80 con X las coordenadas maeriales o referenciales y el iempo Luego, el desplazamieno de una parícula es la diferencia enre su posición acual y original: u( X, ϕ ( X, X (- La descripción de la deformación depende de la elección de las variables independienes, es decir, si se colocan las variables del problema en función de las coordenadas maeriales, se endrá una descripción Lagrangiana, en cambio, si las variables dependienes esán en función de las coordenadas espaciales, resulará una descripción Euleriana La elección del marco para describir la deformación llevará ambién consecuencias sobre la malla de elemenos finios a usar: Malla Lagrangiana de elemenos finios: esá fa en las coordenadas maeriales, es decir esá pegada a la maeria, en consecuencia los elemenos se deforman juno con el maerial, permaneciendo la malla coincidene con el cuerpo a lo largo de oda la deformación Eso puede producir severas disorsiones en los elemenos, por lo ano resula úil cuando es limiada la magniud de la deformación que puede ser simulada Es la más naural y efeciva a ser uilizada en problemas de mecánica de sólidos Malla Euleriana: esá fa en las coordenadas espaciales, maneniéndose la forma y amaño de los elemenos consanes a lo largo de la deformación Por supueso, la malla no permanece coincidene con el cuerpo y se produce raspaso de maeria a ravés de los conornos de los elemenos iene mayor aplicación en problemas de mecánica de fluidos, donde se esudia el comporamieno de la maeria que araviesa un volumen de conrol esacionario Malla ALE 9 : Usada en problemas de ineracción fluido esrucura y casos similares ya que permie la ransición enre los dos ipos mencionados Para ese rabajo se adopó la descripción Lagrangiana Acualizada : Las medidas de ensiones, deformaciones, derivadas e inegrales se realizan sobre las coordenadas espaciales o Euleriana, es decir, las variables esán descripas en la configuración acual pero la malla de elemenos finios es Lagrangiana, es decir, permie que se realicen derivadas oales sobre magniudes espaciales sin ener que recurrir a derivadas convecivas 9 4 MEDIDAS DE DEFORMAIONES Brevemene se mencionarán algunos ensores de deformación muy usados: Hécor Ariel Di Rado

5 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 8 Gradiene de deformación: F ( X, ϕ ( X X, X, ó F i (4- X j Describe odas las deformaciones específicas (o elongaciones, desplazamienos y roaciones que sufre una fibra de maerial desde la configuración original o de referencia (iempo 0 hasa la configuración deformada acual (iempo Así, por la regla de diferenciación en cadena, la fibra de maerial, de longiud dx en la configuración de referencia, en el iempo esá dada por: F( X, dx (4- d o, inversamene, ambién se puede escribir: X [ F( X, ] d (4- d donde: [ F( X, ] ϕ ( X X, X (4-4 Una imporane propiedad del gradiene de deformación es que puede ser descompueso en un único produco de dos ensores, un ensor simérico definido posiivo U, llamado ensor derecho de elongaciones, y un ensor orogonal R, llamado ensor roacional: F ( X, R ( X, U( X, (4-5 Por el principio de conservación de masa, que epresa la indesrucibilidad e impenerabilidad de la maeria, el deerminane del gradiene de deformación, ambién conocido como deerminane acobiano 48, viene dado por: dϕ( B ρ X 0 > 0 [ F( X, ] (, de db ρ (4-6 donde ρ 0 es la densidad de masa en la configuración inicial B y ρ es la densidad de masa en la configuración acual ϕ (B La asa (o derivada maerial del deerminane acobiano v div( v (4-7 i i donde v son las componenes de la velocidad v i Hécor Ariel Di Rado

6 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 8 ensor de deformación de Green: E Gradiene espacial de velocidad L L v v, ó ( F F I Por la regla de diferenciación en cadena, ambién se puede escribir: v v X X v Además se cumple que i raza(l L j (4-8 vi (4-9 L FF (4-0 i asa de deformación o velocidad de deformación ensores de roación: El gradiene espacial de velocidad puede ser descompueso adiivamene en una pare simérica D y ora anisimérica W: L D W (4- donde D es el ensor velocidad de deformación y W es el ensor de giro (o ensor voricidad, dados por: ( L L D W ( L L asa de deformación co-roada:, ó, ó D W v i j vi j v j i v j i (4- (4- Es una medida de deformación muy uilizada en el análisis no lineal de maeriales sin isoropía, y viene dada por: como: asa de la deformación logarímica simérica D R DR (4-4 Para definir la asa, debemos definir primero a la deformación logarímica 5 simérica La asa será [ ln U (ln U ] ε (4-5 Hécor Ariel Di Rado

7 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 8 ε UU U U ( (4-6 ensores de deformación incremenales En el cálculo incremenal será necesario definir algunos ensores de deformación epresados como incremenos y no en asas Así surgen, por ejemplo, el ensor gradiene espacial del incremeno de desplazamienos, definido análogamene a (4-9 como: u u, ó u i u i, j (4-7 La pare simérica de ese ensor es el incremeno de deformación lineal espacial, definida sobre la configuración acual deformada, y cuya epresión, análogamene a (4-, esá dada por: j e ( u u, ó e u i j ensores asa de deformación incremenal Epresando (4-8 en forma de asas, y recordando la (4-4, se obiene: u j i (4-8 e u u e ( Relaciones enre magniudes:, ó a eniendo en cuena (4-5, omando la asa de F se iene: F RU RU RR FF L Ω RUU R donde Ω es un ensor de giro anisimérico, epresado como: Ω RR L RUU RU RUU R v v i j e (4-9 j i F ( Ω RUU R, ó ( Usando la (4-0 y la segunda de (4-0, se puede escribir: D R F (4-0 Ω W R anisim UU R (4- ( U U R R UU (4- ( U U R W Ω R UU (4- Se observa inmediaamene que para una variación como cuerpo rígido del movimieno, eso D y W Ω es U 0, resula 0 Hécor Ariel Di Rado

8 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 84 b En conrase con la deformación de Green, la velocidad de deformación es una medida en asas omando la derivada en el iempo de (4-8, y llevando en cuena a (4-0 y (4-, se obiene: E ( F F F F F ( F F FF F F DF (4-4 Esa úlima epresión es similar a la deformación usada en eoría infiniesimal ecepo que involucra derivadas sobre la configuración acual deformada de la asa de los desplazamienos c onsiderando la epresión (4-4, podemos compararla con (4- y se obiene la epresión: D R DR ( U U R R ( UU U U R R UU (4-5 la que, al igual que D, sólo presena valores no nulos cuando eise una variación en las elon- gaciones, es decir U 0, o en oras palabras, D 0 ane variaciones como cuerpo rígido del movimieno d onsiderando las epresiones (4-6 y (4-5 se obiene: ( UU U U ε D (4-6 En la anerior queda claramene esablecido que la asa de deformación corroada equivale a la asa de deformación logarímica 5 MEDIDAS DE ENSIONES En la mecánica no lineal de los medios coninuos se uilizan normalmene varios medidas de ensiones además del clásico ensor de auchy, σ Brevemene, mencionaremos algunos de ellos y especialmene los usados en esa esis: Primer ensor de Piola-Kirchhoff P: Segundo ensor de Piola-Kirchhoff S: F P σ (5- F σ F S Dealles de esos, se pueden ver en [50], enre oros auores (5- Hécor Ariel Di Rado

9 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 85 Oras medidas de ensiones pueden definirse ambién a parir del principio de conservación de energía 9,6 Esableciendo la igualdad de la poencia mecánica (o asa de energía específica en la configuración inicial o sin deformación, ρ 0 w, se puede escribir: ρ σ : D P : F S : E : D : 0 w D (5- y en base a las definiciones de las medidas de deformaciones, dadas en la sección 4, se puede despejar las relaciones enre las disinas medidas de ensiones ensor de ensiones de Kirchhoff: σ P F F S F (5-4 ensor co-roado de la ensión de Kirchhoff (o simplemene ensión co-roacional de Kirchhoff: R R R σ R U P R U S U (5-5 ensor asa de aumann de la ensión de auchy: σ σ Wσ σw (5-6 ensor asa de aumann del ensor de Kirchhoff: W W ensor asa de ruesdell de la ensión de auchy: σ σ Lσ σl raza( L σ (5-7 (5-8 ensor derivada de Lie de la ensión de Kirchhoff: L F S F F v ( F F F L L ensor asa de Green-Naghdi de la ensión de auchy: σ G σ Ωσ σω ensor asa de Green-Naghdi de la ensión de Kirchhoff: G Ω Ω (5-9 (5-0 (5-6 MOVIMIENOS SUPERPUESOS DE UERPO RÍGIDO OBEIVIDAD onsidérese un movimieno de cuerpo rígido superpueso a la deformación ϕ : B S R La posición X (, ϕ de cada parícula X B cambia a: c( Q( R S ϕ (B (6- Hécor Ariel Di Rado

10 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 86 donde c( es una función sólo del iempo que represena un desplazamieno, y Q( es una mariz orogonal, función sólo del iempo, que represena una roación El movimieno es llamado rígido porque se preserva la disancia enre dos punos cualesquiera que: - ( ( - Q, S, o sea (6- donde - ( - ( - es el cuadrado de la disancia Euclidiana El gradiene de deformación, ane un movimieno de ese ipo, se ransforma en: F Q( Q( F (6- X X Un ensor espacial se dice objeivo cuando ane un movimieno como cuerpo rígido se ransforma según las reglas de ransformación de ensores, es decir, para ensores de segundo orden, según el doble produco de marices de roación: ( Q ( ( Q( donde ( es un ensor objeivo de segundo orden (6-4 El gradiene espacial de velocidad, eniendo en cuena (4-0 y (6-, resula: L F F QL Q QQ ( el cual no se ransforma objeivamene debido al érmino adicional anisimérico QQ (6-5 Sin embargo, de acuerdo a (4- y (6-5, la velocidad de deformación se ransforma objeivamene: D Q DQ Mienras que, de acuerdo a la (4-, el ensor roación resula no objeivo: W QWQ Q Q (6-6 (6-7 Los ensores maeriales, que son ensores definidos en la configuración de referencia, permanecen inalerados ane movimienos espaciales superpuesos de cuerpo rígido Así, por ejemplo, de (4-8 y (6-: E [( F F I ] ( F Q Q F I E (6-8 Lo mismo sucede con U, de (4-5 y (6-: [( F F ] ( F Q Q F ( F F U U (6-9 Hécor Ariel Di Rado

11 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 87 El ensor roación queda: R F ( U Q F U Q R (6-0 y ambién, de (4-: Ω R R Q Ω Q ( Q Q (6- El ensor de ensiones de auchy es objeivo, es decir que cumple: pero su asa, que viene dada por: σ Q σ Q σ Q Q Qσ Q σ σ Q Q (6- ( ( (6- resula claramene no objeiva debido a los úlimos dos érminos Análogamene, el ensor de Kirchhoff es objeivo, es decir: sin embargo, su asa es no objeiva: Q Q σ Q QQ Q QQ (6-4 ( ( (6-5 Al igual que los ensores maeriales, los ensores espaciales definidos en configuración corroada, como por ejemplo (4-4 y (5-5, se manienen inalerados ane movimienos espaciales superpuesos de cuerpo rígido: D ( R D R R Q Q D Q Q R D (6-6 y ( R R R Q Q Q Q R (6-7 Por supueso, los escalares ampoco se ven afecados por esos movimienos de cuerpo rígido Por ejemplo, de (4-6 y (6-, y eniendo en cuena que el deerminane de cualquier mariz de roación es igual a la unidad, se obiene: de( F de( Qde( F de( F (6-8 Oros ensores, como los (5-6 a (5-, son ambién objeivos pero no se demuesran 7 INFLUENIA DE LA OBEIVIDAD EN LAS EUAIONES ONSIUIVAS En las soluciones incremenales (mas adelane se darán dealles las ecuaciones consiuivas relacionan asas de ensiones con asas de deformaciones específicas: Hécor Ariel Di Rado

12 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 88 σ : D, ó σ D (7- kl Pero la anerior no es una ecuación válida a ser uilizada cuando se producen roaciones de cuerpo rígido como se muesra en Belyschko e al 9 Las roaciones como cuerpo rígido son enidas en cuena por las asas objeivas de los ensores de ensiones El ensor de aumann (5-6, por ejemplo, es una medida objeiva y presena una ecuación consiuiva en asa de la forma: donde σ σ : D, ó σ σ Dkl (7- σ es el ensor consiuivo de cuaro orden, que coniene las caracerísicas del maerial, correspondiene a esa medida de ensiones Por lo ano, la forma correca de la ecuación (7-, para el cálculo de la asa del ensor de auchy, es: σ σ σ Wσ σw : D Wσ σw (7- maerial 44 roación Se aprecia que el cálculo de la asa del ensor de auchy esá compueso de dos pares: la respuesa objeiva del maerial, debido a deformaciones específicas, y el cambio de las ensiones debido a las roaciones de cuerpo rígido ualquiera de los ensores asas objeivas aneriores puede ser uilizado para calcular σ ; en consecuencia, para que el resulado no varíe, los ensores consiuivos deben definir según la asa objeiva elegida Por lo ano, se les agrega superíndices para especificar la asa objeiva a la que esá asociada Por úlimo, ambién se pueden definir la ecuación consiuiva en érminos de magniud corroada, especialmene usada en esa esis: : D (7-4 Una ecuación como la (7-4, es insensible a cualquier movimieno espacial superpueso de cuerpo rígido En (6-6 se demosró que D D, en ano, la asa de la ensión corroada de Kirchhoff, pariendo de (5-5, realizando la derivada en forma semejane de como se hizo en (6- en érminos de R y conformando los producos para poder usar (4-, resula: ( R Ω Ω R (7-5 Además, observando la (7-5 y la (5- vemos que la asa de ensión corroada de Kirchhoff equivale al ensor asa de Green Naghdi de Kirchhoff corroada: G R R (7-6 Hécor Ariel Di Rado

13 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 89 Luego, a parir de que (5- es objeiva y usando (6-0, se obiene: (7-7 De esa forma, como ambién es insensible a roaciones de cuerpo rígido, lo será la relación (7-4 8 FORMA DÉBIL DE LA EUAIÓN DE EQUILIBRIO EXPRESADA EN ASAS La descripción Lagrangiana de la ecuación de movimieno, o ecuación de conservación de momeno, esá dada por 9 : ~ DIV P ρ 0B ρ 0 A, ó P X j X V (, B ~ i ρ ρ 0 i 0 en B (8- donde ρ 0 es la densidad de masa en la configuración de referencia B, P es la primer ensión de Piola-Kirchhoff, B ~ son las fuerzas de masa, A las fuerzas de inercia y V velocidad en coordenadas maeriales Además, las fuerzas de superficie vienen dadas por: 0 P n 0 (8- donde 0 es la fuerza por unidad de área prescripa en una porción B del conorno B B En problemas esáicos las aceleraciones (o fuerzas de inercia son despreciadas, obeniéndose la ecuación de equilibrio: ~ DIV P 0B 0 ρ en B (8- La forma en asas de esa ecuación, necesaria en las soluciones incremenales, se calcula asumiendo que las cargas de masa B ~ y las de superficie 0 son configuracionalmene independienes, es decir, no dependen de la deformación ϕ Enonces, la ecuación de equilibrio en asas se escribe como: ~ DIV P ρ 0B 0 en B (8-4 que es una epresión válida para un incremeno de carga dado por B ~ y 0 en un ciero iempo fo La deducción de la forma débil de (8-4 puede verse en las referencias [9], [5] y [6] con ligeros cambios enre versiones, llegándose a: ϕ ( B δ L : dϕ B [ L L ] δv b ρ dϕ B v ( ϕ ( B ( δv dϕ ( B (8-5 ϕ ( B Hécor Ariel Di Rado

14 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 90 De acuerdo a referencia [6] se puede susiuir η por v, y η por L v (la velocidad espacial, en un iempo fo, es una variación admisible v V ϕ En el aparado siguiene (9, se verá que la relación consiuiva para el ensor derivada de Lie viene dada por: L v : D ϕ ( B δ L :, enonces, la (8-5 queda epresada: dϕ B [ L D] B δv b ρ dϕ : ( ϕ ( B ( δv dϕ ( B (8-6 ϕ ( B Esa es la forma débil de la ecuación de equilibrio epresada en asas, que permie calcular, en un ciero iempo, la velocidad espacial acual v, para una ciera carga, dada por el miembro derecho de (8-6, sobre una ciera configuración ϕ en la que se halla en equilibrio un ciero ~ campo de ensiones En la anerior, b ( B( X es la asa de la fuerza de masa y d ϕ ( B db la asa de fuerzas de superficie 0 9 EUAIONES ONSIUIVAS HIPER E HIPOELÁSIAS La relación consiuiva de un maerial ambién puede ser epresada, a diferencia del capíulo previo, en érminos de asa de magniudes espaciales: aquí SE SE S : E, ó S Ekl (9- SE es llamado ensor consiuivo angene 9 Esos ensores se deducen de una función energía de deformación almacenada 6 omo se asume que esa mariz es definida posiiva y SE los ensores involucrados en la relación anerior son siméricos, presena simería mayor: y simería menor: SE (9- SE SE kl (9- SE jikl La (9- es una ecuación consiuiva hiperelásica en érminos de asas de magniudes maeriales, pero ambién puede escribirse en érminos de asas de magniudes espaciales Por ejemplo, recordando la primer igualdad de (5-9 y eniendo en cuena la úlima de (4-4, en noación indicial, se deduce que: SE lk SE SE L v Fim ( mnpqe pq F jn Fim ( mnpqfkp Dkl Flq F jn Hécor Ariel Di Rado

15 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 9 de donde: F F F F D D (9-4 im jn kp lq SE mnpq im jn kl kp lq kl SE mnpq F F F F (9-5 Por lo ano, la correspondiene ecuación consiuiva hiperelásica espacial en asas es: v : D L (9-6 Una imporane consideración a realizar es que, a parir de relaciones hiperelásicas invarianes de la forma (9-, se pueden deducir ecuaciones consiuivas espaciales en asas, ambién invarianes, de la forma (9-6 Pero la inversa no se cumple, es decir, a parir de cualquier ecuación en asas de la forma (9-6 (cualquier ensor consiuivo, no siempre es posible obener un funcional de energía almacenada w al que las ensiones sean calculadas con (9- Para ampliar el comenario, ver el capíuo 7 de la referencia [6] Las ecuaciones consiuivas en asas de la forma (9-6 que no derivan de un funcional de energía almacenada se denominan relaciones hipoelásicas En forma genérica, las relaciones hipoelásicas, se epresan como: donde σ y respecivamene, y, σ : σ D, ó D : (9-7 son cualquiera de las asas objeivas de la ensión de auchy y Kirchhoff, σ y son sus correspondienes ensores consiuivos En hipoelasicidad es común considerar que alguno de esos es igual al ensor consiuivo consane obenido de la eoría de elasicidad infiniesimal, en consecuencia, ese poseerá simería mayor de acuerdo con (9- y como la asa de deformación D y las asas objeivas de ensiones son siméricas, ambién posee simería menor como es indicado en (9- Según el párrafo previo, epresiones análogas a (9-6 pueden ser obenidas para cualquiera de los ensores asas objeivas deduciéndolas pariendo de (9-6, considerando las relaciones enre dichos ensores ((5-6 a (5- y recordando que para odos ellos, la deformación conjugada es D Obviamene cada epresión se compleará por un ensor consiuivo ad-hoc diferene según la asa de ensión elegida Paricularmene, son dos las relaciones que especialmene ineresan para ese rabajo: la (9-6, y la (7-4 La primera porque surge nauralmene de la forma débil de ecuación de equilibrio (8-5, y la segunda por ser una forma objeiva de la relación consiuiva (sección 7 Ese úlimo puno, juno con la preservación de la simería del sisema de ecuaciones generado por aplicación de elemenos finios, Hécor Ariel Di Rado

16 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 9 son punos de fundamenal imporancia en el modelado del comporamieno de maeriales basados en relaciones consiuivas hipoelásicas Una relación del ipo (9-7 es incremenalmene lineal y reversible, eso significa que para pequeños incremenos de deformación sobre un cuerpo finio deformado, los incremenos de ensiones y deformaciones esán linealmene relacionados y son recuperados en la descarga Sin embargo, para grandes deformaciones, la energía no es necesariamene conservada y el rabajo realizado en un ciclo cerrado de deformación no es necesariamene igual a cero A pesar de eso, eisen algunas cuesiones que hacen conveniene recurrir a relaciones hipoelásicas Enre esas razones, quizás la de mayor peso es la facilidad con que se puede represenar problemas de plasicidad, como se vera en la sección Ahora bien, Qué ocurre con el problema de la energía no conservada? Algunos rabajos, por ejemplo, la referencia [0], indican en que condiciones especiales ese problema no raerá mayores consecuencias Sin enrar en dealles y muy brevemene, en el próimo puno se darán indicios de esas condiciones 0 MODELO NO LINEAL HIPOELÁSIO Las descripciones hipoelásicas de la respuesa del maerial son muy cómodas cuando se desea modelar en conjuno plasicidad y no linealidad geomérica Sin embargo, como se viera en la sección 9, la energía no es conservada en un ciclo cerrado de deformación elásica para maeriales hipoelásicos, pero si las deformaciones elásicas son pequeñas el error en la energía es muy pequeño, es decir, el rabajo remanene de un ciclo cerrado de deformación no es significaivo Hacia el final de la sección 9 se señaló que en la elección de la ecuación consiuiva hipoelásica, que gobernará la respuesa del maerial, se ienen en cuena disinos requerimienos Uno de esos requerimienos es la independencia de las consanes del maerial respeco del sisema coordenado caresiano adopado como referencia onsiderando una relación como la (9-7, Hécor Ariel Di Rado : D, la indiferencia referencial del maerial requiere que: : D (0- Recordando la ransformación objeiva de los ensores de segundo orden (6-4, se puede escribir: Q Q : Q D Q, ó Q Q Q Q D (0- im jn mn kp lq pq

17 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 9 y reordenando se iene: Pero la relación consiuiva es (Q Q Q Q D (0- mn im jn : D kp lq pq, por lo ano debe cumplirse: Q mnpq QimQ jnqkpqlq, (0-4 condición que se saisface sólo para un maerial isorópico Para eliminar esa resricción, se elige la relación consiuiva (7-4, : D, en érminos de los ensores asa de la ensión co-roada de Kirchhoff y asa de deformación co-roada, insensibles a roaciones de cuerpo rígido, es decir, y D D En consecuencia: : D : D (0-5 cumpliéndose la condición (0- para oda roación rígida, no imponiendo resricciones a ese ensor consiuivo, eso es, puede ser no isorópico Por oro lado, cuando se inegra la asa D en forma objeiva y se oma en el cenro del inervalo, se puede asemejar al ensor de pequeñas deformaciones 6 omo D es esricamene D en ejes que roan con el puno 9, vale la misma consideración Así, cuando el maerial es isorópico y eniendo en cuena inervalos de carga pequeños, resula: siendo δ el dela de Kronecker, y: m δ δ (0-6 ( λδ δ kl µ ( δ ikδ jl il jk µ E ( ν, y λ νe ( ν ( ν (0-7 las consanes de Lamé en función del módulo Young E y del coeficiene de Poisson ν, mienras que m es una consane que debe ener en cuena el ensor de ensiones usado en la configuración co-roada Oro de los requerimienos a ener en cuena en la elección de la ecuación consiuiva hipoelásica es la simería de la mariz de rigidez angene de los elemenos finios, necesaria para acelerar la solución del sisema de ecuaciones que resule de aplicar elemenos finios y reducir la demanda de almacenamieno en memoria en el cálculo compuacional La mariz σ es simérica por ser simérico el ensor de auchy y el ensor consiuivo posee simería mayor Recordando (7-5, (5-9, (9-6 y (4-, se iene: R [ W W ( W Ω ( W Ω ]R : D R ( Ω Ω R Hécor Ariel Di Rado

18 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 94 donde: R [ D D ( W Ω ( W Ω ]R L v [ ( D]R R : (0-8 y : ó ( δ ik jl δ il jk δ jk il δ jl ik (0-9 D D D D Ω : ( W Ω ( W (0-0 Recordando la (4-4 y realizando operaciones sobre (0-8, se iene: R ( : R DR R ( : D (0- o en noación indicial: de donde se despeja: R im R jn Rkp Rlq mnpqdkl ( D (0- kl RR R R, ó Rim R jn Rkp Rlq mnpq (0- Los ensores y poseen simería menor y mayor, pero el ensor no posee simería mayor (dealles en apíulo 7 de referencia [6] ornando no simérico al ensor, en consecuencia, la mariz de rigidez maerial que involucre la relación consiuiva (9-6 resula no simérica Por lo ano, para conservar la simería de la mariz de rigidez angene debería eliminarse el ensor, es decir, se debería considerar que W Ω, resulando, a parir de la primer igualdad de (0-8, que: R R (0-4 donde es la asa de aumann de la ensión de Kirchhoff definida en (5-7 La suposición simplificaiva de considerar 0 aparenemene no provoca errores apreciables cuando las ensiones inernas del cuerpo se manienen con valores cuyos órdenes de magniud son menores respeco a los valores esablecidos por las consanes del maerial, o ambién, cuando las ensiones de core, definidas según el sisema caresiano elegido como referencia, son muy reducidas respeco de las ensiones normales 6 Ese ipo de simplificaciones ambién aparecen cuando se rabaja con formulaciones hiperelásicas y es en ese caso donde encuenran su mejor adapación Pero en los casos hipoelásicos no es del odo viable, por lo que en ese rabajo se presena el formao final de la alernaiva que ya fuera bosquejada en Manzolillo 5 Hécor Ariel Di Rado

19 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 95 PROPUESA PARA MODELO NO LINEAL HIPOELÁSIO La asa de, calculada en (0-8, ambién puede ser epresada como: onsiderando además la anisimería de Ω, se puede escribir: R ( Ω Ω R R [ L ( L Ω ( L Ω ]R (- v ( L L [( L Ω ( L Ω ] D (- Reemplazando esa epresión en las relaciones consiuivas: : D y D L : susiuyendo ambas en (- y sumando algebraicamene los érminos que daban origen a : D y : D, para crear ahora a : ( L Ω, se iene: v : R [( L Ω ( L Ω ] R [ ] ( L Ω ( L Ω : ( L Ω R R : (- donde: (-4 ( L Ω Ω : ( L Ω ( L, ó δ ik jl δ il jk La epresión (- puede modificarse de modo de que en ambos miembros quede cada ensor consiuivo muliplicado por la deformación ( L Ω Para ello engamos presene que omo posee simería menor y puede ser escrio: mnpq ( mnpq mnqp (-5 a priori no nos asegura nada, inroducimos, en noación indicial, un ensor: ˆ ( (-6 lk ˆ ˆ Ese ensor, con simería menor:, puede ser uilizado en lugar de lk para el modelo de elemenos finios, pueso que es conjugado de la velocidad de deformación D kl (ver (9-6,es simérica, lo que no alerará el produco, y no inroduce error Al inroducir (-5 y (-6 en (-, se puede resolver las semisumas que resulan y obener la epresión: ˆ : R ( L Ω R R { ( L Ω : ( L Ω }R (-7 Hécor Ariel Di Rado

20 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 96 que en noación indicial, resula, ( R R R R lk im jn kp lq mnpq Ĉ (-8 El ensor, como generalmene se hace en los modelos hipoelásicos, es asumido con simería mayor Sin embargo, el ensor no posee simería mayor: no simérico a, ornando Ĉ y consecuenemene a la mariz de rigidez del sisema de elemenos finios Separando en una pare simérica donde: sim sim y ora asimérica asim kl asim, se obiene: (-9 sim ( δ ik jl δ il jk δ jk il δ jl ik, (-0 jikl lk kl que posee simería mayor y menor, y: asim ( δ ik jl δ il jk δ jk il δ jl ik, que no posee simería mayor asim y asim jikl asim lk (- asim asim kl omo se desprende de las epresiones (-6, (-9 y (-, para manener la simería mayor de (y de la mariz de rigidez de los elemenos finios, se puede eliminar el asim érmino, en general, cuando las ensiones inernas del cuerpo son de un orden de magniud menor respeco a las consanes del maerial, es decir: cuando las ensiones angenciales (con i j y ( son de valor despreciable, re- asim sulando: 0 Por lo ano, en esos casos se podrá calcular errores significaivos, uilizando la epresión: asim <<, y en paricular ii jj de (8-5, sin generar Ĉ R R R R im jn kp lq mnpq (- asim posea un valor no despreciable, el ensor Por supueso, en los demás casos, en que se iene que calcular con (0- o (-6, debiendo resolverse necesariamene sisemas no siméricos de ecuaciones de elemenos finios Hécor Ariel Di Rado

21 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 97 ELASOPLASIIDAD Los maeriales que desarrollan deformaciones oalmene recuperables (deformaciones elásicas sólo hasa un ciero nivel de ensiones o límie elásico, y deformaciones irrecuperables (deformaciones plásicas más allá de ese límie, se denominan maeriales elasoplásicos Esos maeriales ambién son clasificados como independienes de la asa (o independienes del iempo porque la respuesa del maerial no depende de la asa de deformación, es decir, de la velocidad con que se aplica la carga, conrasando con los maeriales viscoelasoplásicos 69, ípicamene dependienes de la asa (o del iempo, que no serán raados en ese rabajo En el campo plásico los maeriales elasoplásicos presenan un comporamieno disipaivo y dependiene de la rayecoria, eso es, pare de la energía de deformación es irreversiblemene ransformada a oras formas de energía, como calor, generándose deformaciones plásicas irreversibles cuya magniud habrá que conocer anes de calcular las ensiones En consecuencia, al depender las ensiones de la hisoria complea de la deformación, no pueden calcularse con una simple función de la deformación acual En esos casos sólo pueden esablecerse relaciones enre asas de ensiones y de deformaciones, adopándose, como fuera señalado en las secciones y, procesos incremenales de solución con formulaciones lagrangianas La inclusión del análisis de la no linealidad geomérica permie la represenación de los grandes desplazamienos, roaciones y elongaciones que sufre el maerial a lo largo del proceso de carga, pero requiere del uso de magniudes y relaciones consiuivas objeivas, de acuerdo a lo viso en la sección 7 Además, esas leyes consiuivas pueden ser hiperelásicas o hipoelásicas, según deriven o no de un funcional de energía almacenada (ver sección 9 En consecuencia, los modelos de plasicidad se denominan hiperelasoplásicos o hipoelasoplásicos, según la respuesa del maerial en el campo elásico siga una ley hiperelásica o hipoelásica, respecivamene En ambos casos, la formulación del campo plásico se desarrolla de manera análoga a la plasicidad infiniesimal (o de pequeñas deformaciones, es decir, se uiliza la eoría clásica de plasicidad 7 pero debe reierarse que en el caso de hiperelasoplasicidad, la eensión de modelos lineales (plasicidad infiniesimal no es an direca (ver capíulo 7 de Simo Hughes 6 A modo de recordaorio, se mencionará los principales elemenos de la eoría clásica de plasicidad: Hécor Ariel Di Rado

22 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 98 a Descomposición de la deformación, en una pare reversible elásica y ora irreversible plásica, que define la relación incremenal ensión deformación elasoplásicas b Una superficie de fluencia que deermina el límie elásico, a parir del cual se producen las deformaciones plásicas c Un crierio de carga que define cuando eise carga en el senido de la plasicidad d Una regla de flujo (o de fluencia que gobierna el flujo plásico, es decir, deermina el vecor de deformaciones plásicas e Una regla de endurecimieno que gobierna las variables inernas que definen la evolución de la superficie de fluencia EORÍA DE PLASIIDAD EN ÉRMINOS DE ENSIONES O-ROADAS La formulación de plasicidad en forma hipoelásica basada en configuraciones roadas de la forma (7-4 agrega a las venajas mencionadas aneriormene un puno fundamenal: la posibilidad de no quedar resringidos a isoropía En los modelos hipoelasoplásicos, el ensor velocidad de deformación es ípicamene descompueso adiivamene en pares elásica y plásica, opción válida si las deformaciones elásicas son pequeñas 0 : D D E D P (- La pare elásica es la que se relaciona, a ravés de la ecuación consiuiva (0-5, con la asa corroada de la ensión de Kirchhoff, eso es: D E : : P ( D D (- La pare plásica queda definida por la regla de flujo plásico como: (- P D Λ a(, k donde Λ es la asa del muliplicador plásico, k es el conjuno de variables inernas, ligadas al endurecimieno, que gobiernan la evolución de la superficie de fluencia k (, es la dirección del flujo plásico: G, a ( k F y, ( k a(, k (-4 siendo G (, k un poencial plásico que define el incremeno de deformaciones plásicas Esas deformaciones plásicas se producen sólo si las ensiones saisfacen el crierio de plasi- Hécor Ariel Di Rado

23 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 99 ficación, es decir, si alcanzan el límie elásico o superficie de fluencia F, k 0 El caso paricular en que G F (, es conocido como plasicidad asociada, concepo que deberá revisarse para el caso de modelos de consolidación no saurada Por lo ano, la (-, epresada en forma diferencial y recordando la úlima equivalencia de (4-6, resula: P F (, k d ε d Λ (-5 El reso de las ecuaciones de plasicidad, incluidas las deducciones del parámero plásico d Λ y de la mariz consiuiva elasoplásica se desarrollan de manera oalmene EP análoga al caso de plasicidad infiniesimal (linealidad geomérica, pero en érminos de las ensiones co-roadas El incremeno oal de la deformación logarímica simérica (4-5 resula: E P d ε dε dε d d Λ F (, k (-6 Se mencionó que la condición de plasificación, que deermina el nivel de ensiones para el cual se inician las deformaciones plásicas, puede ser escria en forma genérica como: (, k 0 F (-7 Sobre esa superficie de fluencia F 0 se manienen las ensiones durane un proceso de carga plásica ( d Λ > 0 Eso ambién puede ser esablecido por la condición de consisencia d F 0 que, por la regla de diferenciación en cadena, puede ser escria como: df F F F d dk d Ad Λ 0 k (-8 donde el parámero A viene dado por: A F dk (-9 k d Λ Luego, a parir de (-6 y (-8, análogamene a la plasicidad infiniesimal, se deduce el incremeno del muliplicador plásico: d Λ a a dε a A (-0 donde a es la dirección del flujo plásico (-4, represenado en la plasicidad asociada por el vecor normal a la superficie de fluencia: a F (, k (- Hécor Ariel Di Rado

24 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 00 Para los casos de endurecimieno isorópico: (, k f ( g ( k 0 F (- donde f ( es una función escalar que deermina el nivel de las ensiones, y g (k es el límie elásico que depende de un conjuno de variables inernas k del maerial Resula en esos casos: f ( a f f f f f f, ó a,,,,, (- La mariz consiuiva elasoplásica, definida por: E P d d ( d d (-4 EP ε EP ε ε puede ser deducida a parir de (-6 y (-0, obeniéndose en noación maricial o de Voig: y en noación ensorial: a a (-5 EP a a A EP a a a a A, ó a mn a rs rsu a a u mn pq pqkl (-6 EP A 4 PLASIIDAD EN ENSIONES O-ROADAS Y LA ISOROPÍA La formulación de plasicidad en forma hipoelásica basada en configuraciones roadas de la forma (7-4 agrega a las venajas mencionadas en, un puno fundamenal: la posibilidad de no quedar resringidos a maeriales con isoropía La condición de respuesa isóropa esablece fueres resricciones a las formas admisibles de una función respuesa, como puede serlo la función de fluencia Una función f:s R (donde R es el espacio de los números reales de ensores siméricos H S es isóropo si y solo si: Hécor Ariel Di Rado

25 apíulo : NO LINEALIDAD GEOMÉRIA Y PLASIIDAD GENERAL 0 f ( f ( H Q SO( QHQ (4- Esa función f puede ser la energía de la deformación o cualquier ora función respuesa, como por ejemplo, la función de fluencia en plasicidad Dependiendo de lo que se analice, H S puede ser el ensor derecho de Green, de auchy o el de ensión corroada de Kirchhoff; solamene debe cumplir la condición de ser simérico Ahora bien, si se usara el ensor de auchy eise una relación que no puede dejarse de lado y es la de objeividad de auchy, σ Qσ Q, dada por (6-, por lo que siempre que se use auchy, se cumplirá (4- y la formulación quedará resringida a la condición de isoropía omo las ensiones co-roadas de Kirchhoff se manienen invariables ane roaciones rígidas, eso es de acuerdo a (6-7, enonces no se imponen resricciones a la función de fluencia, es decir, la función escalar de variable ensorial saisface la condición de objeividad según (6-8: f f, ó f ( f ( (4- sin obligación de cumplir (4-, por lo que f ( puede represenar un comporamieno no isorópico en la plasificación (ver capíulo 7 de Simo Hughes 6 Ahora bien, si el maerial modelado es isóropo, la función escalar de variable ensorial, queda represenada oalmene a ravés de sus invarianes Enonces, si ese es el caso, f ( puede ser epresada en érminos de los invarianes I, y θ de la ensión corroada I es el primer invariane del ensor de ensiones, es el segundo invariane del ensor desviador y θ una forma conveniene de epresar el ercer invariane del ensor desviador 58, que puede verse poseriormene en el aparado 44 Por la regla de diferenciación en cadena, el vecor de flujo plásico (- puede ser rescrio como (ver Owen Hinon 58 : f ( I,, f I f f θ ( θ a a a I ( θ a (4- donde: a I {,,, 0, 0, 0} d d d {,,,,, } ( a (4-4 Hécor Ariel Di Rado

26 Simulación numérica de problemas con no linealidad física y geomérica Análisis de consolidación de suelos no saurados 0 a θ d d d d d d d d,,,,, Las consanes, al igual que la forma eplícia de la función de fluencia (-7, esán de- i finidas según el crierio de plasificación que se adope, el cual depende del maerial en esudio Para el caso de maeriales geológicos, la forma de esas consanes se verá en la sección 44 Los invarianes formulados en érminos de, serán: d σ : ii Epresándolo en función de las ensiones co-roadas se iene: I σ I (4-5 I E E E E ( R σr : I σ : R I( R σ I I ii (4-6 : El segundo invariane del ensor desviador de las ensiones de auchy es: d d d d σ : σ σ σ (4-7 y en érminos de la ensión corroada resula: d d d : d E d E E d E d d [ ( σ R : ( R σ R ] ( σ : σ R (4-8 El ercer invariane del ensor desviador de auchy, eniendo en cuena la simería de σ, es: d d d d d d d d d σ : ( : σ jkσ ki σ σ σ σ σ σ (4-9 y epresado en érminos de la ensión corroada de Kirchhoff es: σ d d d d d d d d d : ( : jk ki σ σ (4-0 Hécor Ariel Di Rado