Matemática discreta 4º Ingeniería Informática

Transcripción

1 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Ecuetr l solució geerl pr cd u de ls siguietes progresioes geométrics:,5, ; 5, ; c,, 5; d,, 8; Se trt de u progresió geométric de rzó,5. Por tto l solució geerl es,5 Se trt de u progresió geométric de rzó 5/. Por tto l solució geerl es 5/ - c Se trt de u progresió geométric de rzó /. Siedo que 5, teemos que l solució geerl es 5/ - d Se trt de u progresió geométric de rzó /. Siedo que 8, teemos que 8./, de dode l solució geerl es / Si,, es u solució de l relció de recurreci d y 5/9, 5 77/, cuáto vle d? Al trtrse de u progresio geométric de rzó d, teemos que 5.d, es decir que d 77/.9/5 9 d ±. Hce quice ños se ivirtiero ls gcis de u egocio e u cuet que pg u 8% de iterés ul co pgos trimestrles. Si hor el sldo de l cuet es de 7.8,7, cuál fue l iversió iicil? Método : Si es el cpitl l co del trimestre, result que -,8/ -, es decir u relció de recurreci, - que es u geométric de rzó, y cuy solució geerl es c, Si el sldo de l cuet l co de 5 ños 6 trimestres es 7.8,7 result que 78, ,7, de dode podemos verigur c, y que c 6, L iversió icil es Método : Pr deducir l fórmul que me d el cpitl, hgmos lo siguiete. Llmemos C l cpitl iicil y C i l que teemos l co del trimestre i. Al co del primer trimestre tedremos C C,8/C C 8/ Al co del segudo trimestre tedremos C C,8/ C C 8/ Al co de los 5 ños 6 trimestres tedremos C 6 C,8/ 6 Es u progresió geométric de rzó 8/,. Aplicdo los dtos del ejercicio, teemos: 78,7 C., 6 ; de dode C José Muel Rmos Gozález

2 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic. Se,,, u list de úmeros reles distitos que dee orderse medite el método de l uruj. Después de cuáts comprcioes estrá ordedos e form scedete los diez úmeros más pequeños de l list? Cuáts comprcioes más se ecesit pr termir l ordeció? Necesito 9 comprcioes pr que el meor de todos quede e l primer posició. 8 pr el segudo y sí sucesivmete hst el º. El úmero de comprcioes hst quedr ordedos los diez úmeros más pequeños de l list serí: Flt pr completr l ordeció Resuelve ls siguietes relcioes de recurreci: 5 6,,, ; 5,,, 8; c,, 7, ; d,,, ; e,, ; f 6-9 -,, 5, ; g - -,,, ; - 5-6,,, Etoces c.6 Busco u p.g. c.r que verifique l relció de recurreci, es decir: c.r 5.cr cr - ; scdo fctor comú cr - oteemos c.r - r -5r-6. L ecució crcterístic es r -5r-6, cuys solucioes so 6 y - y c.- so solucioes uscds, como so lielmete idepedietes, l solució geerl es c.6 c. -. Pr hllr c y c, hcemos uso de que,. Si, teemos que c c Si, teemos que 6c - c Resolviedo el sistem, c /7 y c /7. L solució geerl es /76 /7- co 5,,, 8 decir: Busco u p.g. c.r que verifique l relció de recurreci, es c.r.cr 5.cr ; scdo fctor comú cr oteemos José Muel Rmos Gozález

3 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Etoces c.5 c.r r -r5. L ecució crcterístic es r -r5, cuys solucioes so 5 y / y c./ so solucioes uscds, como so lielmete idepedietes, l solució geerl es c.5 c. /. Pr hllr c y c, hcemos uso de que, -8. Como, teemos que c c Si -8, teemos que -8 5c /c Resolviedo el sistem, c - y c. L solució geerl es -.5 / co c,, 7, - -. Sucesió recurrete liel homogée de orde. Procediedo de form álog los csos teriores, l ecució crcterístic es r r - cuys solucioes so y -/ Etoces c. y c.-/ so solucioes uscds, como so lielmete idepedietes, l solució geerl es c c. -/. Pr hllr c y c, hcemos uso de que 7,. Como 7, teemos que 7 c c Si, teemos que c -/c Resolviedo el sistem, c y c. L solució geerl es co d,,, -/. Es liel y homogée de grdo y que podemos cosiderrl sí:.-. Etoces l ecució crcterístic es r, cuys solucioes so i, -i. π π π π i cos ise ; i cos ise L solució geerl será c. i c. i. Por el Teorem de Moivre π π π π c cos i. se c cos i. se Teiedo e cuet que cos-cos y que se --se, teemos cos π π π π c i. se c cos i. se Si llmmos k c c y k c c.i. cos π k. se π k Como, teemos que k Como, teemos que k José Muel Rmos Gozález

4 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic L solució geerl es seπ/ co e,,. Ecució crcterístic es r, co solucioes complejs ± i π π π π i cos ise i cos ise L solució geerl será c. i c. i. Por el Teorem de Moivre π π π π [ ccos i. se c cos i. se ] Teiedo e cuet que cos-cos y que se --se, teemos π π π π [ ccos i. se c cos i. se ] Si llmmos k c c y k c c.i π π k.cos k. se Como, teemos que k Como, teemos que.k ; k / L solució geerl es cosπ//seπ/ co f 6-9 -,, 5, L ecució crcterístic es r 6r 9, cuys solució es solució dole E este cso se tom como solució geerl c c. 5 c y 5. c, de dode c - L solució geerl es 5 co g - -,,, Ecució crcterístic r r ; solucioes complejs --i, -i π π π π i cos ise ; i cos ise L solució geerl será c. i c. i. Por el Teorem de Moivre π π π π [ c cos i. se c cos i. se ] Teiedo e cuet que cos-cos y que se --se, teemos José Muel Rmos Gozález

5 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic π π π π [ c cos i. se c cos i. se ] Si llmmos k c c y k c c.i π π [ k.cos k. se ] Como, teemos que k Como, teemos que k ; k L solució geerl es π π cos. se co 6. Si,, y 7 stisfce l relció de recurreci c, dode y, c so costtes, ecuetr. Segú l recurreci teemos que. c. ; es decir ; - Segú l recurreci teemos que. c. ; es decir 7. c ; c - L ecució crcterístic de l recurreci es r r, cuys solucioes so 7 y -. Por lo que l solució geerl es c 7 c Como ; c c Como ; c 7 c, de dode result que c -/ y c / L solució geerl es: 7 7. Ecuetr y resuelve u relció de recurreci pr el úmero de forms de estcior motos y coches e u fil de espcios si cd moto ocup u espcio y cd coche ocup dos. Ls motos se cosider idétics, los coches tmié y se quiere utilizr todos los espcios. Se el úmero de estcior motos y coches e espcios e ls codicioes dds. Se el úmero de los teriores cuyo último espcio esté ocupdo por u moto. m c Se el úmero de los teriores cuyo último espcio esté ocupdo por u coche. Es ovio que e el espcio terior lo ocup el mismo coche, puesto que u coche ocup c dos espcios por tto, y que d igul que dos espcios trás lo ocupe u coche o u moto y por tto tego tods ls posiiliddes que so Por otr prte si supogo que el último espcio de los es u moto, el terior puede ser u moto o u coche, por lo que tego tods ls posiiliddes e - espcios, es decir -, esto quiere decir que m José Muel Rmos Gozález 5

6 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic c m Como, teemos que pr. E u espcio solo puede estcior u moto: cso, E dos espcios puede estcior dos motos o u coche: csos. Es u sucesió de Fiocci. Vmos resolverl: Semos que l sucesió de Fiocci pr es 5 5 vle, l sucesió es: 5, como e este cso prtimos de, y que o os F 8.Pr, se el úmero de forms e que u sucesió de uos y doses sum. Por ejemplo,, pues,, ;, ;, sum. Ecuetr y resuelve u relció de recurreci pr. Se el úmero de forms e que u sucesió de uos y doses sum. Se el úmero de los teriores cuy últim cifr se u. Result evidete que - Se el úmero de los teriores cuy últim cifr se u. Result evidete que -. Por tto - - pr co y. Cuy solució geerl es F co 9. Ecuetr y resuelve u relció de recurreci pr el úmero de forms de pilr fichs de póker de color rojo, lco, verde y zul, de modo que o hy fichs zules cosecutivs. l disposició vcí si fichs Pr u fich hy csos: l verde, l roj, l lc o l zul RV, 5 el que rest es el cso Azul, zul Se e geerl el º de forms e pilr ls fichs si que hy dos zules cosecutivs. r v Llmemos,,, l úmero de csos de los teriores cuy últim fich es roj, verde, lc y zul respectivmete. r v Se verific que: José Muel Rmos Gozález 6

7 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic r v Ahor ie; pues se trt de ñdir u fich de color rojo o verde o lco l úmero de forms de pilr - fichs. * El prolem surge co pues se trt de ñdir u fich zul l umero de forms de pilr - fichs cuy últim fich o se zul. Esto es que su últim fich se roj, verde o lc. r v r v Por tto, pero rzodo como tes Por tto L recurreci uscd es etoces: co y y 5 Vmos resolverl: reles y distits: L ecució crcterístic es r -r-, cuys solucioes so, L solució geerl de uestr sucesió es Como c c Como c c c 5 resolviedo el sistem de ecucioes result que c y c por lo que l solució uscd es 5 c 5 5 pr. U lfeto S cost de los cutro crcteres uméricos,,, y los siete crcteres lféticos,, c, d, e, f, g. Ecuetr y resuelve u relció de recurreci pr el úmero de plrs de logitud e S, tles que o prezc crcteres lféticos cosecutivos. Si los uscdos c e úmero, l ctidd de ellos es - y que el terior puede ser letr o úmero y por tto so todos los csos de - crcteres. Como teemos úmeros, l ctidd totl de los que c e úmero es. -. Si los uscdos c e letr, los teriores ecesrimete h de cr e úmero. Así pues, los que c e u letr de ls dds so todos los csos cuyo crcter terior es úmero, que rzodo como e el primer párrfo so. -, pero como teemos 7 letrs, el totl de los cdos e letr es 8 -. L relció de recurreci uscd es Su ecució crcterístic es r r 8, cuys solucioes so los úmeros reles,. Por tto l solució geerl es c c José Muel Rmos Gozález 7

8 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Cosiderdo crcter vcío y c c c c 8 9 resolviedo el sistem se otiee c y c 6 L solució geerl es: Resuelve ls relcioes de recurreci relizdo u trsformció propid: 5 ;,, ;, c ;, d ;, 8 e, ;, Hcemos. L recurreci es equivlete : 5 ;, 6, 69, que es liel homogée de orde. Su ecució crcterístic es r 5r que tiee por solucioes y. L solució geerl es c c. De ls codicioes iiciles se otiee el sistem 6 c c y 69 c c, oteiédose que c 5 y c , por tto 5. 5 Hcemos, oteiédose l siguiete relció de recurreci liel y homogee de orde : ;, L ecució crcterístic es r r, cuys solucioes so y - L solució geerl pr es: c c. De ls codicioes iiciles se sigue el sistem siguiete: c c y c c, resolviedol se otiee c / y c / por lo que José Muel Rmos Gozález 8

9 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic [ ]. L solució fil e es 9 [ ] c Simplificmos ;, Hcemos el siguiete cmio., y oteemos l ecució o homogée ;. Pr resolver est recurreci se cosider l homogée socid que es ; co solució c- y uscmos otr solució del tipo A e l geerl, de tl modo que A. A.. Dividiedo por -, result: A A, de dode A/. L solució geerl es c, puesto que, teemos que c /, de dode c -/. queddo etoces: [ ] como / result que [ ] pr y co d ;, 8 Hgo el cmio siguiete log Así, tomdo log os qued log log log, queddo etoces co ; l solució geerl pr el cso homogéeo es c/ y usco otr solució del tipo A. que l sustituir e l recurreci d A-A, por lo que A/. L solució geerl es c, como c ½, c 5/ 5, deshciedo el cmio iicil por tto l solució pedid es 5 e, ;, Como y so potecis de. Tomo log, de este modo y José Muel Rmos Gozález 9

10 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Tomdo log e l recurreci teemos que: log log log, que l hcer el cmio os qued l siguiete recurreci liel y homogee de orde co y cuy ecució crcterístic es r /r, que pr resolver más cómodmete trsformo e r -r cuys solucioes so i i,, que vmos psr l epresió polr pr trjr de u modo más secillo. E mos csos el módulo de ms solucioes es el rgumeto de l primer solució es θ el rgumeto de l segud solució es rctg, 9,9 rdies θ rdies Not teóric: Recordemos que si u úmero complejo es de l form i. E form polr se epres medite su módulo r y su rgumeto θ rctg Siedo su epresió trigoométric rcosθiseθ Así pues uestrs solucioes ls podemos escriir como: cosθ iseθ ; cosθ iseθ y que cos -θ cos θ y se -θ - se θ Por tto l solució geerl de uestr sucesió será: [ cosθ iseθ ] c [ cos ise ] θ cos θ iseθ c cos θ ise c por l fórmul de Moivre teemos: k θ c que podemos simplificr e θ cos θ k se θ siedo k c c y k ic -c Teiedo e cuet que y, oteemos el siguiete sistem de ecucioes: k y k seθ, de dode k.seθ L solució pr es Y l solució pr pedid es. se θ seθ se θ seθ siedo θ rctg,9 rdies José Muel Rmos Gozález

11 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic. Demuestr que dos úmeros de Fiocci cosecutivos so primos reltivos. Lo hgo por reducció l surdo supoiedo que etre los úmeros de Fiocci eiste dos cosecutivos que o so primos reltivos, prtir de, Puesto que l sucesió es,,,... y por tto, o so primos reltivos es decir que k Ν / k y k o so primos etre sí, co k. Como k > k-, p Ν, p > / k p. k Como se verific que - -, E prticulr pr k, k k- k-, p. k- k- k- ; k- p- k-. Semos que p>, por lo que puede ocurrir dos csos: Si p, result que k-, y pr k> o eiste igú úmero de Fiocci que se. Si p>, etoces k- es k-, lo cul es flso pr todo úmero de Fiocci y que es u sucesió estrictmete creciete. Flsedd que result de supoer que eiste dos cosecutivos que o so primos.. Resuelve ls siguietes relcioes de recurreci: 5! Propuesto e el eme de Ferero 9 c d e E geerl i El segudo sumdo es l sum de los primeros i o térmios de u progresió ritmétic cuy solucio es Not teóric: Recordemos que e u progresió ritmétic,,..., - l sum de esos primeros térmios pues empezmos e de l mism es -./ primer térmio último térmio. º de térmios/ Por tto l sucesió uscd es co José Muel Rmos Gozález

12 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Esto es: i i i i Pr hllr mos sumtorios utilizmos l fució sumtori vist e el temrio. Hy que hllr e primer lugr l fució geertriz socid.. Procedemos como siempre prtir de l fució f... /- Derivmos y oteemos... /- Multiplico por y tego... /- vuelvo derivr:... /- Multiplico por pr llegr l fució uscd, es decir... /-. Semos pues que i es el coeficiete de de l fució /- i que es: Hcemos lo mismo pr el otro sumtorio: Hy que hllr e primer lugr l fució geertriz socid.. Procedemos como siempre prtir de l fució f... /- Derivmos y oteemos... /- Multiplico por y tego... /- que y es l fució uscd. Semos pues que i i es el coeficiete de de l fució /- que es: Por tto l sucesió uscd es. - 6 Método por fucioes geertrices He de ecotrr l fució geertriz de l sucesió cuyo coeficiete de es el térmio geerl uscdo., es decir f... Si l multiplico por -, otego -f Sumdo ms epresioes result: -f , por tto f, cuyo coeficiete de grdo es - José Muel Rmos Gozález

13 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic c 5 Método clásico L solució de l homogée es c y por otr prte usco u solució del tipo A verificdo l recurreci, es decir: A-A 5, por lo que A-5. Etoces l solució geerl es -5c Como, teemos -5c, de dode c6. L solució es -56. Método por fucioes geertrices He de ecotrr l fució geertriz de l sucesió cuyo coeficiete de es el térmio geerl uscdo., es decir f... Si l multiplico por -, otego -f -... Sumdo ms igulddes result: -f , por tto f que resolvemos por el método de los coeficietes idetermidos A B ; A-B- Pr, teemos B 5; B-5; Pr /, teemos /A ; A Filmete f, cuyo coeficiete de es y que f d!! Escriámosl sí: ;!; ;!... E geerl! si si impr pr e L solució de l homogée es c ; como l posile solució de l o homogée serí A result ms lielmete depedietes por lo que hy que uscr otr solució del tipo A., que sustituid e l relció de recurreci produce l siguiete iguldd: A..A.. ; dividiedo por tego A. A es decir A ; de dode A/. L solució geerl será: c /. ; como result que c L solució fil es: José Muel Rmos Gozález

14 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic. El primero de Noviemre se depositro e u cuet que pg itereses mesulmete rzó de u 6% ul. Al pricipio de cd mes, se relizrá u igreso por vlor de. Si se cotiú relizdo esto durte los próimos cutro ños, cuáto diero hrá e l cuet trs esos cutro ños? Se el diero que hrá e l cuet primeros del mes eésimo.,6 Es ovio que. Teemos l relció de recurreci siguiete:,5 pr y Resolvemos dich relció de recurreci: U solució pr l homogée es c,5 y uscmos u solució de l recurreci del tipo A, de modo que: A-,5A, de dode A - Etoces l solució geerl de uestr relció de recurreci es: c,5. Teiedo e cuet que, teemos que c, de dode c L solució fil es:,5. Por tto l co de ños es decir 8 meses tedremos 8 y que e ese mes o cotmos los depositdos, pues el depósito filiz. 8.,5 8.89,5 5. Resuelve l relció de recurreci 6 9 7,, E primer lugr uscmos l solució prticulr pr l correspodiete homogée, es decir pr 6 9 cuy ecució crcterístic es r -6r9 que tiee por riz dole. Por tto l solució es c c.. Buscmos cotiució u solució pr 6 9 Lo itetmos co l form A, de modo que A -6A 9 ; dividiedo por, result que A A 9 A ; de dode A. Buscmos por último u solució pr Como c c. er y solució prticulr pr l homogée, teemos que itetrlo co B, de modo que B -6B 9B 7 ; dividiedo por, result: 9B -8B 9B 7; oteiedo que B7/8 Por tto l solució geerl es de l form: 7 c. c.... ; como, y, teemos: 8 José Muel Rmos Gozález

15 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic c ; de dode c - -. c. 7/8..; c 7/ Resuelve ls siguietes relcioes de recurreci utilizdo fucioes geertrices:, y., y. c, y 5 d, y, 6 e, y, Se f l fució geertriz de l sucesió uscd, es decir: f... etoces -. f Sumdo ms epresioes, result: - f... Multiplico por y otego -f... Recordemos que /-... A B Por tto f A- B - - Pr, - -A; A / de dode Pr / B /. Así pues teemos que el coeficiete de grdo de es / /.. L solució pedid es etoces: / / Se f l fució geertriz de l sucesió uscd, es decir: f... etoces -. f Sumdo ms epresioes, result: - f... Pr oteer l fució geertriz del miemro de l derech hgo lo siguiete: Se h... /- h... /-.h... /- José Muel Rmos Gozález 5

16 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic.h... /-..h 5... /- L fució geertriz de... /- Por tto f cuyo coeficiete de grdo es: pr 6 c, y 5 Se f l fució geertriz de l sucesió uscd, es decir: f... etoces -. f Sumdo ms epresioes, result: - f Multiplicdo por 5, result 5-f , cuy fució geertriz socid es /-5 Por tto teemos que A B f A- B-5 Pr /, teemos -/ B.-/; B / Pr /5, teemos /5 A/5; A / L fució geertriz es f cuyo coeficiete de es 5 5 d, y, 6 pr Se f l fució geertriz de l sucesió uscd, es decir: f... etoces -. f y....f... Sumdo ls tres epresioes, result: José Muel Rmos Gozález 6

17 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic - f - f /-. De dode: A Pr ; A; Pr /; 5/ -/B; B-5 5 f cuyo coeficiete de grdo es: 5. B ; A-B- e, y, Se f l fució geertriz de l sucesió uscd, es decir: f... etoces -. f y....f... Sumdo ls tres epresioes, result: - f Semos que /-... de modo que si lo multiplico por, otego / que difiere de l epresió e. Por tto teemos que - f /-, de dode f por tto el coeficiete de es co 7. Resuelve los siguietes sistems de relcioes de recurreci: co, ; 6 co, ; Se f l fució geertriz de l sucesió, es decir Se g l fució geertriz de l sucesió, es decir José Muel Rmos Gozález 7

18 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic José Muel Rmos Gozález 8 Multipliquemos ms recurrecis por, oteiedo: 6 Tomdo sumtorios desde hst teemos: 6 que epresds e térmios de f y g serí: 6 g f g g f f resolviedo este sistem cuys icógits serí ls fucioes f y g, oteemos: g f Result ovio que el coeficiete de de g es.coeficiete de - e - - es decir:.. Por tto y teemos que. Pr resolver clculmos el coeficiete de e f. pr lo que hy que recurrir l método de los coeficietes idetermidos: C B A. Resolviedo est iguldd result A, B y C- Así pues el coeficiete de e l epresió es:... Se f l fució geertriz de l sucesió, es decir Se g l fució geertriz de l sucesió, es decir Multipliquemos ms recurrecis por, oteiedo: Tomdo sumtorios desde hst teemos:

19 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic José Muel Rmos Gozález 9 que epresds e térmios de f y g serí: g f g g f f multiplicdo por l segud ecució y sumádosel l primer, oteemos g f g de dode g f Sustituyedo e l segud ecució teemos [ ] g g g ; desrrolldo: g ; g g ; g Utilizdo el método de los coeficiete idetermidos: g C B A ; A--B-C- - Si ; - B - ; B / Si /; /9C -/9 ; C-/ Si ; ABC ; A/ / / /, cuyo coeficiete de es 5 Puesto que g f como y vimos, sustituimos el vlor fuciol de g oteiedo: f C B A ; A--B-C- - Si ; - B - ; B / Si /; /9C /9 ; C/ Si ; ABC ; A-/

20 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic / / / cuyo coeficiete de es 8 U prtícul se mueve e direcció horizotl. L distci que recorre e cd segudo es igul dos veces l distci que recorre e el segudo terior. Si deot l posició de l prtícul e el segudo -ésimo, ecotrr u relció de recurreci pr Propuesto e el eme de Ferero 9 Si deot l posició e el segudo -ésimo y - es l posició de l prtícul e el segudo terior, l distci recorrid por l prtícul e el segudo -ésimo es - -. Ddo que es distci es el dole que l recorrid e el segudo terior - -, l relció de recurreci pedid es: PROBLEMAS DE LA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID Resolver ls siguietes relcioes de recurreci homogées, co sus codicioes iiciles:,, 6, 8 7,,,,,, 5,,, 6 6,,, 5, 5 6,,, c d 8 e 5 f Método trdiciol: Es u relció de recurreci homogée cuy ecució crcterístic es r -r que tiee u ríz dole:. Por tto su solució geerl es c c Segú ls codicioes iciles: 6 c; 8 6.c.; c - L solució es por tto: Método de fucioes geertrices: Se f... l fució geertriz de l sucesió uscd. -f f 5 Sumdo ls tres epresioes: José Muel Rmos Gozález

21 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic f - ; de dode f l sucesió que estmos uscdo: 6 6 A B A-B6-6 ; si /; B - si ; -A- 6; A -8 8 siedo el coeficiete de 8.. pr cuyo coeficiete de es Método trdiciol: Es u relció de recurreci homogée cuy ecució crcterístic es r -7r que tiee dos ríces reles: 5 y. Por tto su solució geerl es c c 5 Segú ls codicioes iiciles: cc ; c5c ; c - y c L solució es por tto:. 5 Método de fucioes geertrices: Se f... l fució geertriz de l sucesió uscd. -7f f 5 Sumdo ls tres epresioes: -7 f -7 ; de dode f cuyo coeficiete de 7 es l sucesió que estmos uscdo: A B 5 5 A-5B--; si /5; /5B -/5; B- si /; -/A -9/; A siedo el coeficiete de 5. 5 pr c Método trdiciol: Es u relció de recurreci homogée cuy ecució crcterístic es r -r que tiee u ríz dole:. Por tto su solució geerl es c c Segú ls codicioes iiciles: c; cc ; c - L solució es por tto: Método de fucioes geertrices: José Muel Rmos Gozález

22 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Se f... l fució geertriz de l sucesió uscd. -f f 5 Sumdo ls tres epresioes: - 7 f - ; de dode f cuyo coeficiete de es l sucesió que estmos uscdo: 7 A B A- B-7; si ; B -; si ; A- ; A 7 7 siedo el coeficiete de pr d Método trdiciol: Es u relció de recurreci homogée cuy ecució crcterístic es r r-5 que tiee dos rices, -5 Por tto su solució geerl es c c -5 Segú ls codicioes iiciles: cc ; 8 c-5c ; c y c - L solució es por tto: 5 Método de fucioes geertrices: Se f... l fució geertriz de l sucesió uscd. f f Sumdo ls tres epresioes: -5 6 f ; de dode f cuyo coeficiete de es 5 l sucesió que estmos uscdo: 6 A B 5 5 A5B-6; si -/5; 6/5 B -6/5; B- si ; 6A 8; A siedo el coeficiete de pr e 6,,, 5, 5 6 Método trdiciol: Es u relció de recurreci homogée de orde cuy ecució crcterístic es r - 6r r-6 que tiee tres rices,, José Muel Rmos Gozález

23 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Por tto su solució geerl es c c c Segú ls codicioes iiciles: cc c ; 5 cc c ; 5 cc 9c de dode c, c - y c L solució es por tto:. Método de fucioes geertrices: Se f... l fució geertriz de l sucesió uscd. -6f f 5-6 f Sumdo ls cutro epresioes: -6-6 f ; 7 7 de dode f cuyo coeficiete de es l sucesió que estmos uscdo: 7 7 A B C A--B--C Si /; B///9; B Si ; A ; A Si / ; C/-//; C- tiee por coeficiete de. - f 5 6,,, Método trdiciol: Es u relció de recurreci homogée cuy ecució crcterístic es r -5r6 que tiee dos rices: y Por tto su solució geerl es c c Segú ls codicioes iiciles: cc ; cc ; de dode c - y c L solució es por tto:.. Método de fucioes geertrices: Se f... l fució geertriz de l sucesió uscd. -5f f Sumdo ls tres epresioes: f -5 ; de dode f cuyo coeficiete de es 5 6 l sucesió que estmos uscdo: 5 A B 5 6 A-B--5; si /; -/B -/; B ; Si /; /A-/; A- si ; A- ; A 7 José Muel Rmos Gozález

24 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic siedo el coeficiete de.. pr Se el úmero de plrs de logitud formds co los dígitos {,}, que o tiee dos ceros cosecutivos. Ecotrr u relció de recurreci pr clculr y resolverl. Descrtmos pues o tiee setido pr osotros. Se y,, Se el úmero de plrs pedids e ess codicioes. Llmemos ls cds e de ls Llmemos ls cds e de ls Es ovio que Si c e, l cifr terior puede ser o, co lo que - Si c e, l cifr terior solo puede ser, co lo que - - Por tto - -, pr > L resolvemos: Su ecució crcterístic es r ± 5 -r-, cuys solucioes so L solució geerl es del tipo 5 5 c c '. Bjo ls codicioes iiciles y, y resolviedo el sistem que geer, teemos que L solució es: pr solució comprod Hllr u relció de recurreci pr el úmero de forms e que u perso puede suir escloes si puede suir uo o dos peldños e cd pso. Aálogo l terior. Cosidermos, y que teemos u solo escló y solo hy l posiilidd de suir u peldño. Por otr prte, y que lo podemos suir de uo e uo o de dos e dos, es decir,. Cosideremos como tes, lo siguiete: Se el úmero de forms pedids e ess codicioes. Llmemos ls cuyo último escló lczo trs suir u peldño Llmemos ls cuyo último escló lczo trs suir dos peldños Es ovio que José Muel Rmos Gozález

25 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Si co co solo peldño, el escló terior lo puede her lczdo suiedo peldño o dos - Si llego l último escló suiedo dos peldños, el escló terior - form prte de esos dos peldños, co lo que - - Por tto - -, pr > L resolvemos como tes y el resultdo cmi porque cmi ls codicioes iiciles,. Procediedo como e el prolem terior el resultdo fil es: pr. Tmié se puede epresr sí: F Por ejemplo. E efecto, los csos e que podemos suir escloes so:,, Por ejemplo 5. E efecto, los csos e que podemos suir escloes so:,,,, Este ejercicio es equivlete este: Pr, se el úmero de forms e que u sucesió de uos y doses sum. Por ejemplo,, pues,, ;, ;, sum. Ecuetr y resuelve u relció de recurreci pr. hecho teriormete. Se C {A, B, C} y se S el cojuto de cdes de logitud formds co ls letrs de C que tiee u úmero pr de letrs A cosecutivs. Ecotrr u relció de recurreci pr clculr S y resolverl. S ; S AA Se S el cojuto pedido. Se S A el cojuto de ls teriores que ce e A Se S B el cojuto de ls teriores que ce e B Se S C el cojuto de ls teriores que ce e C S S A S B S C Si l cde c e B o e C, l cde de - letrs puede cr e A, B o C idistitmete, co lo que S B S C - Ahor ie, si l cde de letrs c e A, result que l letr terior tiee que ser A, puesto que si o fuese sí tedrímos u A isld úmero impr Por tto si c e A, result que l letr terior tiee que ser tmié A, pero l tepeúltim y puede ser culquier letr A, B o C. Co lo que S A S - José Muel Rmos Gozález 5

26 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic L relció de recurreci es S S - S - L resolvemos y su ecució crcterístic es r -r- cuys solucioes so ± Por tto l solució geerl es: c c'. Como S ; S, resolviedo el sistem se otiee que c c' L solució es:, pr > Solució comprod pr,, Pr. E efecto so los csos AAB, BAA, AAC, CAA 5 Resolver ls siguietes relcioes de recurreci,, 7.5,.5, 8 c d e ; ; ; - f ; ;, Procedemos sí: ; ; 5... e geerl i i * i- pr i,... es u progresió ritmétic. L sum de los primeros térmios de u progresió ritmétic es S./. E uestro cso i, 8 i * José Muel Rmos Gozález 6

27 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic Lo hré por fucioes geertrices: Se f... l fució geertriz de l sucesió uscd. -f Sumdo ms igulddes, result -f 8... Vmos deducir l fució geertriz socid l serie... Se g... /- g... / -.g... /-.g... /-..g... /- Etoces -f 8. E cosecueci: 8 f cuyo coeficiete de es el térmio geerl que estoy uscdo pr l sucesió c 7.5, L recurreci homogée socido es u geométric de rzó, por lo que u solució pr ést serí c. Ahor uscmos u solució e A7 verificdo l recurreci dd, es decir: A7 - A Dividiedo por 7 -, teemos que 7A A 5, de dode A5/ L solució es del tipo c 5/7. Como, teemos que c 5/, de dode c 5/ -7/ L solució geerl es pr Sle ie por fucioes geertrices, uque se hce más pesdo d.5, Pudier precer idétic l terior, pero vrí e que l solució de l homogée que es c y l supuest solució pr l recurreci A so ovimete depedietes, por lo que e este cso hy que tomr A como posile solució de l recurreci dd, es decir que se verifique: A A- -.5, divido por - y otego: A A-5, de dode José Muel Rmos Gozález 7

28 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic A 5. L solució geéric es c5. Como, teemos c, siedo por tto l solució 5. pr e ; ; ; - Vmos resolverlo por fucioes geertrices y que es de orde y es el primero que prece de este tipo osérvese que el coeficiete de - es Se f... l fució geertriz de l sucesió uscd. -f f Sumdo ls tres epresioes: - f ; - f f A B C D E F resultdo que A- - B-- C - D- - E- -F- Si ; C; C Si -; 88 7D; D Si /; -/6 F/6 ; F - Si ; ABE-; ABE7 Si ; 97 A-7B9E-6; A-BE Si -; 5A5B9E99 Resolviedo ese sistem de tres ecucioes co icógits, oteemos A8; B; E- 8, siedo el coeficiete e 8. 5 pr f ; ; Se f... l fució geertriz de l sucesió uscd. José Muel Rmos Gozález 8

29 Sucesioes recurretes. Mtemátic discret º Igeierí Iformátic José Muel Rmos Gozález 9 -f f 5 Summos - f Es fácil demostrr que... Por tto - f 5 5 f D C B A 5 A- -B- C- -D- Si ; B Si /; /D/; D Si ; AC; AC- Si ; AC; de dode A, C-5 5 cuyo coeficiete de es 5. - pr