COMUNICACIÓN. XI JORNADAS ASEPUMA Oviedo, 11 y 12 de Septiembre de 2003

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1 COMUICACIÓ XI JORADA AUMA Ovedo y de eptemre de 3 IULO: "DIRIBUCIO D IIRALIDAD GURO D VIDA: IIRALIDAD OAL CARRA D ÓLIZA CO RIGO D FALLCIMIO" "LO DIRIBUIO I LIF IURAC: OAL AGGRGA CLAIM FROM ORFOLIO WIH MORALIY RIK" AUOR : ÁCHZ LÓZ JOÉ MARÍA MDIA LÓZ AA IIUCIO: UIVRIDAD RY JUA CARLO FACULAD D CICIA JURÍDICA Y OCIAL aeo de lo Artllero /; 83; Madrd LFOO Y DIRCCIO D COACO : eléoo: // // eléoo: // ALABRA CLAV: etraldad vda eora del rego dvdual Cálulo eato Cálulo apromado Algortmo de apromaó eora del rego oletvo Dtruó oo ompueta rrore de apromaoe Comparaó de método KY WORD: Aggregate lam le urae Idvdual r theory at alulu Appromate alulu Appromato algorthm Colletve theory o r Compoud oo dtruto Appromato error Method omparo ARA MAICA: X 4 5 6: MAMÁICA D LA ORACIO FIACIRA Y CÁLCULO ACUARIAL RUM el tratameto téo atuaral del eguro de vda tra valorar uattatvamete la proaldad dvdual de allemeto de ada póla e eearo agregar lo reultado dvduale para oteer ua repreetaó de la etraldad total de la artera e preta e ete traao epeal ateó a artera de póla o eguro de muerte vetgádoe la má adeuada dtruoe repreetatva de la

2 etraldad e aala método para oteer la dtruó eata y dtruoe apromada egú la eoría del Rego Idvdual e epoe y rta el método láo detro de la eoría del Rego Idvdual ue aproma la dtruó de etraldad a ua dtruó ormal e epoe pole apromaoe medate la dtruó de oo ompueta o geeralada guedo la eoría del Rego Coletvo toda la apromaoe e reala u etudo de lo errore y del úmero de álulo eearo Ademá e aala la hpóte má relevate aumda: la depedea etre rego eeto y oluoe y e oluye o reomedaoe egú la poldade de álulo para la artera de póla o ue e traae ABRAC Atuaral aaly appled to uattatve meauremet o dvdual mortalty r o dvdual le urae pole drve to aggregate all dvdual reult order to ota the total mortalty r repreetato or the ot dtruto o loe rom a le portolo h wor pay peal atteto to poly portolo aout death urae developg a vetgato o the mot repreetatve dtruto or lo dtruto Method to ota he at Dtruto ad Appromate Dtruto ollowg the Idvdual R heory wll e aalyed he Claal Method eplaed ad rted the otet o the Idvdual R heory whh appromate the r dtruto to a ormal dtruto Colletve R heory o R gude pole appromato y mea o Compoud or Geeraled oo Dtruto For every appromato made a aaly o error ad the eeary umer o alulu he mot relevat uderlyg hypothe tae over ally aalyed: the depedee etwee r eet ad oluto he overall aaly olude wth reommedato ollowg the alulu proalte or eah determed portolo

3 - RACIÓ Admtedo la hpóte de depedea etre la dtta póla de rego de allemeto a orto plao y e puede determar para ada póla ua varate repreetatva de u omportameto aleatoro la etraldad total e puede oteer omo X X X X e eeta oteer la dtruó para la uma de toda la póla La dtruó eata utla la dtruó de ada póla reulta de erta dultad oteer y utlar la dtruó reultate to determa el empleo de método preo o dreto apromaoe o reuroe o modelo apromado epealmete uado la dtruó ormal uato a la hpóte de depedea etre rego e dee advertr ue o empre relea la realdad Hay tuaoe reale ue uera ete upueto: póla duplada e la artera vara póla para la mma vda aegurada parea aegurada e la mma ompañía ovve y omparte rego odo de peoe de peroa ue traaa e la mma emprea e dvduo aegurado ue vve e área deamete polada rego tpo múltple o atátroe ompartdo Algua tuaoe e puede evtar uedo póla o o reaeguro Otra oluoe epealmete la relatva a parea e etuda e Dhaee Ja ad Goovaert MJ CÁLCULO XACO e trata de método deomado preo eato o dreto Calula la dtruó de la etraldad total de orma reurva pero e lo álulo o e utla apromaoe La teraoe e emplea para el álulo eato de la dtruó de etraldad de toda la artera de póla egú u prmer método tutvo e odera la varale aleatora dreta deda ore valore etero o egatvo X X X o uó de uatía [ X X X ] para e puede oteer partedo de [ X ] para y alulado reurvamete X para 3 medate la epreó y y para X y hata llegar a para te método eeta gra atdad de álulo e mpla o otate al empleare e tuaoe amlada a eguro de muerte aual: proaldad de etro o demaó preada la uatía o múltplo de erta ra ue e utla omo udad tpo aparee a pole valore La etraldad total e preeta omo * ** para X X X o X p X X > e alula de orma reurva egú a álulo egú < X X X o e 3

4 4 < p p el método ateror e proede de ua orma dreta e epoe otra orma de proeder método De rl ue e propuo almete e elo De rl e 986 ara platear el método e dee dvdr la artera de póla egú la uatía de la demaó y la proaldad de etro e ada póla e toma omo el úmero de póla o tamaño dode I{a} y proaldad de etro dode J{} e llega ua uó geeratr de proaldad: [ ] a omado logartmo y dereado a otuaó e otee ' a lo ue permte uatar la etraldad total eperada a ' amé a partr de la ateror epreó de ' e tee ue ' a eto e { } a m o ' < e deoma A e puede eprear ' A a edo A ua uma poderada ue deree rápdamete egú aumeta e tee valore peueño e ta últma epreó e puede traormar medate la órmula de Let utlado la dervada de orde - para tomado omo la oreoe de la varate oervado ue A > y edo [] el etero mayor para e [ ] para A a m lo ue permte alular la proaldade de orma reurva para la varale ue repreeta la etraldad total de la artera e empea o a

5 [ m a ] y e otúa o A para a hata llegar al mámo valor de pole eto e Má reetemete Karl-He Waldma platea u uevo euema de teraó l proeo o método de Waldma e ua reormulaó eete del algortmo ateror e ua redur el úmero de operaoe artméta eeara y el úmero de dato ue e dee mateer e ada pao de la teraó e etala el algortmo troduedo ua uó de eala má útl e artera de póla muy grade Ia el proeo o la mma epreó ue De rl: a Y ama la euaó de teraó por: m a r para ; dode I{a} J{} y e tee r [ r ] edo r e ualuer otro ao Fado e u determado pao la órmula de De rl eeta 3/ multplaoe y / uma metra ue la órmula de Waldma eeta multplaoe y uma e odera el úmero de operaoe algeraa e u etado de la teraó e puede valorar la meora e el úmero de álulo ue e utla: m a m a [ 3 / ] [ / ] [ a 3 log a ] [ a log a ] U l prolema ore la etalaó del algortmo e produe e grade artera de póla hatuale e eguro del ramo de vda e repreeta por w y por Ω el má peueño y el mayor úmero ue utla el ordeador e el ue e programa el algortmo Cuado e tee ue < w la euea de degeera Ua prmera orma mple de evtar eto utla ua uó de eala Ua eguda orma má reada oma uó de eala otate y uó de eala epoeal 3- CÁLCULO AROXIMADO MDIA ALGORIMO e alula la dtruó de la etraldad total de orma reurva pero para mplar y evtar el eevo úmero de álulo e utla apromaoe al terar e parte de la epreó ya aalada ue e euetra e el método De rl [ m a ] A para y ue preupoe ua artera dvdda egú la uatía de la demaó y egú la proaldad de etro para ada póla e puede a partr de auí redur el úmero de teraoe eeara para determar la proaldade elemetale de la dtruó de proaldad de la etraldad total 5

6 Bata o reordar ue A e A Dode tede a ero al aumetar para valore peueño e e da ue el úmero de umado eearo e el álulo teratvo puede lmtare ue la preó del reultado la proaldad ue e deea alular e euetre aetada de orma gatva todo ao e puede uar epreoe ue orme ore el error mámo produdo La epreó reurva ueda tra la retaó omo m a m r [ ] r r A para La derea etre la proaldade empleado todo lo álulo y la proaldade empleado u mámo de r térmo e la varale e matee detro de erto límte: M r < e ε r a a edo ε r y M r to permte garatar erta preó e la apromaó al poder alulare para ada valor de r u εr y por tato omo de el límte pueto al umatoro e el error aoluto aumulado mámo de toda la proaldade Ua geeralaó para la apromaoe meoada y lo límte de lo errore ometdo e epoe e De rl elo ad Dhaee Ja 994 y e Dhaee Ja ad udt Bor 998 Ademá eta geeralaó permte aalar lo límte e lo errore de la dtruoe de etraldad total para la derete apromaoe e upoe ua varate ue repreeta lo etro agregado de ua artera de póla e u perodo de reerea de meda ta o proaldad de o etro etrtamete potva y o valore agado a lo etro múltplo de ua udad moetara elegda La uó geeratr de proaldad erá [ ] r p o proaldade eata p o ooda ue e pretede alular dede ara el álulo e reurre a u euema reurvo troduedo uo oeete t dedo omo l t e eta últma epreó e halla la dervada e amo lado de la gualdad y e guala lo oeete del mmo grado de e llega a la reuró ue orma de la proaldade de etraldad total: t p e p t p para 6

7 l prolema e tralada y ote e hallar lo oeete adeuado t la aplaoe para la ue e otega ua epreó eplíta de t e llega al álulo eato de la etraldad A pear de eto el álulo omo e do puede er vale materalmete ara oteer ua apromaó al álulo eato e reurre a lo oeete h e utla omo proaldade apromada y ueda la reuró omo: t e h para to e dee a ua uó geeradora de proaldad ue e guala a h e F oda la apromaoe meoada reurre a ete euema or ello e utla para aalar lo límte e lo errore ometdo e la derete apromaoe elo De rl y Ja Dhaee demuetra u teorema ue da u límte de error e la derea etre proaldade eata e deoma y apromada e deoma p ete u úmero real ε tal ue t h ε ε etoe e matee lo límte de error p e laro ue ólo valore de h muy erao a t proporoa uo límte aeptale a vel práto A partr del teorema ateror e gue reultado de utldad uado terea el error para ua proaldad aumulada r e ε r e ε para o o má preó aedo ue ε<l reomedale porue garata ue el álulo apromado de la proaldade aumulada e potvo para ualuer valor de la varale etoe e tee ε e r para ε e e deea aotar la proaldad de u outo de valore de la varate tamé e puede reurrr al teorema ateror para llegar a ε ε up r J [ e F ] e J J 4- CÁLCULO AROXIMADO MDIA CL e detaa la utldad e ete ao del teorema de Ldeerg-Feller ya ue upoe ua geeralaó del teorema etral del límte ue hae reerea al omportameto de la dtruó de la uma de u úmero elevado de varale aleatora ue dvdualmete eere u eeto temal ore el omportameto total de la uma to e ogue gú eguro de muerte tee ua uatía uda a ua proaldad outamete detaale ue lleve a ua varaldad gatva 7

8 repeto del outo de la artera aalada e apoya e u reparto del rego muy amplo De tal orma ue u mayor reparto de rego permte ua meor apromaó a la dtruó ormal para toda la artera de póla e ormala la odó epueta eeara para la overgea de la etraldad total a ua dtruó ormal de la orma: lm [ ] y µ df y dy o yµ ε ε > σ σ σ σ σ σ edo el úmero total de póla σ la varaa de la póla -éma µ la meda de la póla -éma e y lo valore de la varate uatía del etro e ua póla dvdual Reulta ua varate para la etraldad total ue utla eluvamete la meda y la varaa de ada póla dvdual: X o µ ; σ A eeto práto e puede dvdr la artera de póla egú la uatía de la demaó y la proaldad de etro e ada póla e toma omo el úmero de póla o tamaño dede r y proaldad de etro dede m e puede agrupar la póla e wr m ategoría o gual proaldad áa o gual atdad e la pretaó y para ada ategoría ue gue ua dtruó B utlar la apromaó ormal del teorema etral del límte egú el teorema de Ldeerg-Lévy ue eeta de ua uma umeroa de varale aleatora d o eperaa y varaa ta e llegaría a la overgea a ua dtruó ormal e ada ategoría e toda ella huera u úmero uetemete grade de póla o guale aptale aegurado el eulro podría oegure medate ua políta de reaeguro oretada a tal A otuaó e umaría toda la varale aleatora ormale repreetatva de ada grupo ue por er depedete oduría a ua varate uma ormal repreetatva de la etraldad total todo ao la apromaó ormal puede er apropada e oerva ua eeva ametría o urto e la dtruó eata de la etraldad total Ademá tal omo e epoe e aer Harry H ad Wllmot Gordo G 986: luo atdade peueña de ametría puede teer u eeto grade ore la prma eta top-lo ya ue la prma eta top-lo e ua uó del etremo de la ola dereha de la dtruó de etraldad 5- CÁLCULO AROXIMADO MDIA LY OIO o empre e pole oteer ormaó ueteete ompleta del omportameto aleatoro de la póla dvduale e eeta ademá la etea o oometo de grupo umeroo de rego homogéeo para agar y etmar ada ao oreto la eoría del Rego Coletvo e eama el omportameto etadíto de la do varale aleatora ue tervee e la determaó de orma agrupada de la etraldad: el úmero de etro y la uatía o ote de ada uo 8

9 de ello egú ete plateameto la artera de póla e odera omo u outo tegrado por ua oletvdad de rego e toma omo u proeo geeral de rego ue provoa u luo de etro l volume total de lo etro e la artera daño total o etraldad total depederá del úmero de etro y de u mporte La uó de dtruó para la etraldad total de la artera erá: F τ t ξ τ t τ t V / edo el valor total e udade moetara de demaoe por etro τ el tempo atuaral o de oervaó t el tempo ío o tempo roológo ξτt ζ τtζ τt ζ τt ζ τt ζ τt la uatía del ueo -émo e odera otua τ t la uó de uatía de la varate dreta úmero de etro y V / uó de dtruó de la uatía del daño total e produe etro Admtedo la hpóte de depedea etre la varale áa de úmero y uatía de etro o e tee eedad de dtruoe odoada y e alta lo dearrollo poterore y la apromaoe e otee la dtruó de etraldad total omo: * * F τ t τ t V τ t edo V τ t la ovoluó -éma de V τ t La teoría del rego oletvo e ha aplado poo e el ámto de vda A ete tpo de tuaoe e adapta la dtruó de oo ompueta u utldad a vel práto e ue el modelo de rego oletvo puede er alulado rápdamete y o la eperaa de ue el error ue evtalemete e da ea lo uetemete peueño e agrupa la póla e w ategoría la etraldad total puede epreare w w g g edo ada g la etraldad de ada grupo de póla ara oteer g e proede de orma emeate a la eoría de Rego Coletvo la epoó e prede del uíde ue mara el grupo para mayor mpldad e la epreoe Queda aí u grupo ualuera omo: C C C C edo la varate ue da la etraldad total del grupo la varate úmero de etro y C la varate ue da la uatía de u etro produdo e admte ue para toda la póla del grupo ete la mma proaldad de ourrea del etro y ue C C C 3 o mutuamete depedete La varale aleatora e odera e B oo La omal ormada por la póla o proaldad de etro ada ua de e aproma a ua dtruó de oo por oderare uetemete grade gra 9

10 úmero de póla del grupo uetemete peueño proaldad peueña de muerte y parámetro real tamaño adeuado para el álulo errore gatvo ara la dtruó de proaldad de C e toma la proporoe de la dtta uatía de aptale aegurado detro del grupo de póla elegdo ya ue e tee omo euparale ue ea ua u otra póla detro del grupo la ue tega el etro e tedría ua uó de uatía empíra de la orma: d d C edo d la dtta oertura ue tee e el grupo de póla y d el úmero de póla del grupo o ea oertura de orma ue d Co eto e otedrá de orma medata la uó de dtruó de la uatía de ua póla ue e etro e omrará omo F ara el outo de póla o etro e el grupo e dee reurrr a la ovoluó F dado ue la uatía de ada daño e aume depedete del úmero de etro Como e tomó la dtruó de oo para el úmero de etro o la hpóte etaleda e tee ue la dtruó de la etraldad total e el grupo erá ua dtruó de oo ompueta o geeralada!! C F e F e F o meda y varaa egú e muetra C F Var C F α α e puede uar u método para oteer la dtruó de la etraldad de todo lo grupo e outo etraldad total e reurre a la propedade de la dtruó de oo geeralada Dado ue g w o varale aleatora depedete tal ue ada g tee ua dtruó de oo geeralada o parámetro g y la uó de dtruó de uatía del etro e F g g w etoe w tee ua dtruó de oo geeralada o w g g w g g C g FC F y! C F e F e upoe ue ada grupo o lae de egoo oderado tee ua dtruó de proaldad y ada lae de egoo eta orrelaoado o lo otro edo la dtruó de la atdade de etro oo multvarate e puede alular la dtruó agregada para la artera total medate ua oo ompueta to e

11 epoe e Amagaptya Rohaa 998a Lo álulo para la reuroe de la dtruoe multvarate e trata a partr de ua prmera apromaó varate e Amagaptya Rohaa 998 Ua alteratva para la utlaó de la oo geeralada o reurre a la dvó e grupo homogéeo e aproma e tema de eguro la alteratva de modelo de rego oletvo e dvduale e tomaa la etraldad total omo X X X dode X era el reultado de la póla -éma B I X edo I la varate ue da etea valor uo o o valor ero del etro B la uatía del etro la uó de dtruó de B y la proaldad de ourrea Hay depedea etre etea y uatía I y B l úmero total de póla o e aleatoro pero el úmero de póla o etro e aleatoro egú lo ateror [ ] B V B V B σ µ µ Co eto elemeto e llega a ua dtruó para la etraldad total e orma de omal ompueta A u ve a partr de éta e otee la dtruó de oo ompueta apromado la uó geeradora de mometo y u logartmo e tee etoe ua prmera apromaó ao uo a la dtruó de oo geeralada o u parámetro edo y o ua dtruó de la atdad del etro dvdual de la orma Lo reultado o oherete o lo otedo eparado e grupo de póla homogéeo uato a meda y varaa e tee [ ] B V B V B σ µ µ eto e gual meda y varaa mayor ue e el ao de omal ompueta derea peueña la proaldade de muerte o peueña Ua eguda apromaó ao do toma el parámetro de la orma o log y la dtruó de la atdad del etro de la orma La proaldad de o etea de etro erá guale a la ue e otee e lo modelo de rego dvdual J e e! La do últma apromaoe tedrá meore derea uato meore ea la proaldade ya ue u meor error e omete al gualar

12 log el traao de Gerer Ha U 984; de Mhel R 987; de De rl elo ad Dhaee Ja 99 y e lo traao de Dhaee Ja ad udt Bor e aala lo límte de lo errore ometdo o la apromaó medate el modelo de oo ompueto repeto del modelo de rego dvdual La relaó de mayor teré detalla límte para la derea etre la uó de dtruó egú la teoría del rego dvdual y la uó de dtruó egú la teoría del rego oletvo: ara todo e tee ue [ ] d p e F F p e e ara el ao uo ualuera ue ea el valor de e llega a / d < p e F F [ e ] < / ara el ao do ualuera ue ea el valor de e llega a p l p < / l p d F F De gual orma tamé e puede aotar la derea de proaldade para u outo de ueo outo de Borel ore la reta real ea µ F A la proaldad de ue ua varate o uó de dtruó F tome valore e el outo A e puede armar ue para ualuer outo A [ ] d F A µ F A p e e µ ara el ao uo e llega a d F A µ F A e < µ ara el ao do e llega a d F A µ F A p l p < / l p µ e tee o eto u trumeto para medr el error 6- COCLUIÓ e etuda la dtruoe de proaldad de la artera de póla de la emprea de eguro de vda o póla para el ao de muerte e eleoa el método eato má eete algortmo optmado de Waldma y la meor apromaó la órmula reurva de De rl e detalla lo errore ometdo e la dtta apromaoe ya ea apromaoe apoyada e la teoría del rego dvdual o e la teoría del rego oletvo e rta epealmete la apromaó ormal

13 BIBLIOGRAFÍA Amagaptya Rohaa 998a O the dtruto o a um o orrelated aggregate lam Iurae: Mathemat ad oom úm3 ág:5-9 orth- Hollad Amagaptya Rohaa 998 Compoud varate Lagraga oo dtruto Iurae: Mathemat ad oom úm3 ág:-3 orth- Hollad Amagaptya Rohaa ad Balarha 994 O the ompoud geeraled oo dtruto At Bullet Vol4 ág:55-64 Bühlma Ha 984 umeral evaluato o the ompoud oo dtruto: reuro or Fat Fourer raorm? adava Atuaral Joural ág:6-6 Cha B 98 Reurve ormula or drete dtruto Iurae: Mathemat ad oom Vol ág:4-43 orth-hollad Chauey Yogedra ; Garrdo Joé ad rudeau oa 998 O the omputato o aggregate lam dtruto: ome ew appromato Iurae: Mathemat ad oom úm3 ág:5-3 orth-hollad Coette H et all O two depedet dvdual r model Iurae: Mathemat ad oom úm3 ág:53-66 orth-hollad Cumm JD ad Derrg A edtore 988 Claal Iurae olvey heory Kluwer Aadem ulher Boto Cumm JD; mth BD; Vae R ad VaDerhe JL 983 R laato le urae Kluwer Aadem ulher Boto Cumm JD ad Wlta LJ 984 A multvarate model o the total lam proe At Bullet Vol 4 ág:45-5 Day C D; etäe ad eoe M 994 ratal r theory or atuare Kluwer Aadem ulher Boto De rl elo 985 Reuro or ovoluto o arthmet dtruto At Bullet Vol5 úm ág:35-39 De rl elo 986a O the eat omputato o the aggregate lam dtruto the dvdual le model At Bullet Vol6 úm ág:9- De rl elo 986 Improved reuro or ome ompoud oo dtruto Iurae: Mathemat ad oom Vol5 úm ág:9-3 orth-hollad De rl elo 986 Momet o a la o ompoud dtruto adava Atuaral Joural úm ág7- De rl elo 988 Improved apromato or the aggregate lam dtruto o a le urae portaolo adava Atuaral Joural úm- ág6-68 De rl elo 989 he aggregate lam dtruto the dvdual model wth artrary potve lam At Bullet Vol9 úm ág:9-4 3

14 De rl elo ad Dhaee Ja 99 rror oud or ompoud oo appromato o the dvdual r model At Bullet Vol úm ág:35-48 De rl elo ad Dhaee Ja 994 O a la o appromatve omputato method the dvdual r model Iurae: Mathemat ad oom Vol4 ág8-96 orth-hollad Deut Mhel 997 A ew dtruto o poo-type or the umer o lam At Bullet Vol7 úm ág:9-4 Dhaee Ja 99 Dtruto le urae At Bullet Vol ág:8-9 Dhaee Ja ad Goovaert MJ 996 Depedey o r ad top-lo order At Bullet Vol6 úm ág:- orth-hollad Dhaee Ja ad Goovaert MJ 997 O the depedey o r the dvdual le model Iurae: Mathemat ad oom Vol9 úm ág:43-53 orth-hollad Dhaee Ja ad udt Bor 997 O error oud or appromato to aggregate lam dtruto At Bullet Vol7 úm ág:43-6 Dhaee Ja ad udt Bor 998 O apromatg dtruto y apromatg ther De rl traorm adava Atuaral Joural úm ág:-3 Dhaee Ja; udt Bor ad Wllmot Gordo 999 Reuro or dtruto uto ad top-lo traorm adava Atuaral Joural úm ág:5-65 Dhaee Ja ad Vaderoe Marta 995 Reuro or the dvdual model Iurae: Mathemat ad oom Vol6 úm ág3-38 orth-hollad Do Davd CM; edeo Leaa M ad Zehwrth Be 998 redtve aggregate lam dtruto Joural o R ad Iurae Vol65 úm4 ág: Do G 98 Quattatve method a appled to urae he CII uto erve Lodre Duree F Betwee the dvdual ad olletve model revted ulato de I IA Uverty o Lauae GeetC; Mareau ad Meou M 3 Compoud oo appromato or dvdual model wth depedet r Iurae: Mathemat ad oom úm 3 ág: 73-9 orth-hollad Gerer H U 984 rror oud or the ompoud oo appromato Iurae: Mathemat ad oom Vol3 ág:9-94 orth-hollad Goovaert MJ ad Kaa R 99 valuatg ompoud geeraled oo dtruto reurvely At Bullet Vol ág:93-98 Goovaert MJ; Kaa R; Bawel ad Va Heerwaarde A 99 etve Atuaral Method orth-hollad Amterdam 4

15 Goovaert MJ; Kaa R ad va Heerwaarde A 987 ew upper oud or top-lo premum or the dvdual model Iurae: Mathemat ad oom Vol6 úm4 ág:89-93 orth-hollad Goovaert MJ; Kaa R ad va Heerwaarde A 988 Betwee dvdual ad olletve model or the total lam At Bullet Vol8 úm ág:69-74 Goovaert MJ; Vylder F ad Haeedo J 986 Iurae ad R heory D Redel ulhg Compay Dordreht Hollad Hpp C 985 Appromato o aggregate lam dtruto y ompoud oo dtruto Iurae: Mathemat ad oom Vol4 ág:7-3 orth-hollad Hpp C 986 Improved appromato or the aggregate lam dtruto the dvdual model At Bullet Vol6 úm ág:89- Korya 983 Dtruto o aggregate lam the dvdual r theory model raato o the oety o Atuare Vol35 ág: duo Kuo ; Radte M ad Reh A 993 A approprate way to wth rom the dvdual r model to the olletve oe At Bullet Vol3 úm ág:3-54 Kuo ; Reh A ad Remer L 987 aer v Korya v De rl: a omparo rom a pratal pot o vew At Bullet Vol7 ág:83-9 Mhel R 987 A mproved error oud or the ompoud oo apromato o a early homogeeou portolo At Bullet Vol7 úm ág:65-69 aer Harry H 98 Reurve evaluato o a amly o ompoud dtruto At Bullet Vol ág:-6 aer Harry 986 dtor Atuaral mathemat Amera methematal oety Rhode Ilad aer Harry H ad Wag 993 O the talty o reurve ormula At Bullet Vol3 ág:7-58 aer Harry H ad Wllmot Gordo G 986 Computatoal apet o reurve evaluato o ompoud dtruto Iurae: Mathemat ad oom Vol5 ág:3-6 orth-hollad aer Harry H ad Wllmot G 99 Iurae r model oety o Atuare haumurg etäe ad eoe M 988 tohat dam aaly o le urae Iteratoal Cogre o Atuare-Hel Vol I ág:83-93 Rappl G ad vo Choy R 983 ome apromato method or the dtruto o radom um Iurae: Mathemat ad oom Vol ág:5-7 orth- Hollad Rva C; Marí-olao J ad Alegre A 3 O the omputato o the aggregate lam dtruto the dvdual le model wth varate depedee Iurae: Mathemat ad oom úm 3 ág:-5 orth-hollad 5

16 Ruohoe Matt 988 O a model or the lam umer proe At Bullet Vol8 úm ág:57-68 áhe Lópe Joé María Cuataó de rego y aál gloal de la emprea aeguradora de vda Dyo L Madrd eal HL 983 he oo proe: t alure r theory Iurae: Mathemat ad oom Vol úm4 ág:87-88 orth-hollad udt Bor 988 A reurve algorthm or ovoluto o drete uorm dtruto Iurae: Mathemat ad oom Vol7 ág:83-85 orth- Hollad udt Bor 99 O ome eteo o aer la o outg dtruto At Bullet Vol ág:6-8 udt Bor 995 O ome properte o De rl traorm o outg dtruto At Bullet Vol5 ág:9-3 udt Bor 998 A geeralato o the De rl traorm adava Atuaral Joural ág:4-48 udt Bor 999 Reuro or ovoluto o drete uorm dtruto revted Iurae: Mathemat ad oom Vol4 ág:5- orth-hollad udt Bor Reurve evaluato o aggregate lam dtruto Iurae: Mathemat ad oom úm: 3 ág:97-33 orth-hollad Verral RJ 989 he dvdual r model: a ompoud dtruto Joural o the Ittute o Atuare úm6 Vol ág:-7 Waldma Karl-He 994 O the eat alulato o the aggregate lam dtruto the dvdual le model At Bullet Vol4 úm ág:89-96 Waldma Karl-He 996 Moded reuro or a la o ompoud dtruto At Bullet Vol6 ág:3-4 Wooddy J 973 tudy ote or r theory oety o Atuare 6

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